Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab


Libro Especializado, 2016

200 Páginas


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ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ALIMENTADOS CON CORRIENTE
ALTERNA
Ileana Moreno Campdesuñer
Juan Curbelo Cancio
Ingeniera Electrónica
Ingeniero Eléctrico
Profesor Titular
Profesor Asistente
Dr. en Ciencias de la Educación
MSc. en Ingeniería Eléctrica
2016

3
Prólogo
Este libro, dirigido fundamentalmente a estudiantes de carreras de perfil eléctrico, tiene
la pretensión de orientarlos en el análisis de circuitos alimentados con corriente alterna,
la cual es ampliamente utilizada en el mundo pues es fácil de generar, su uso predomina
en la industria eléctrica y todos los laboratorios eléctricos poseen un número de
generadores sinusoidales que operan en un amplio rango de frecuencias útiles.
El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus
autores y recurriendo a fuentes bibliográficas reconocidas internacionalmente, además
de haber sido enriquecida con otros textos actualizados. (Ayllón & Montó, 1987;
Boylestad, 2006; Edminister & Nahvi, 1997; Kathey & Nasar, 1984; Nilsson & Riedel,
2011; Svoboda & Dorf, 2014; William H. Hayt, Kemmerly, & Durbin, 2007)
Para la mejor comprensión de los temas que se tratan en el libro, los estudiantes deben
dominar las diferentes técnicas de análisis de circuitos alimentados con corriente
directa, lo que constituye la base teórica de la teoría de circuitos eléctricos.
En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y
propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en el
análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna. En el caso de los
ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial, empleando el lenguaje de
programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por
los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al vincular su empleo
en el análisis y diseño de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren dejar claro
que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda y no como
un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver
problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda
verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en cuatro capítulos.
En el primer capítulo se dirige la atención a señales periódicas de corriente y voltaje de
tipo sinusoidal y se explican las razones por las cuales las señales de tipo sinusoidal
(estímulo, respuesta) son importantes. Son definidas, además, las características de las
señales sinusoidales. Se define el fasor y se demuestra cómo su empleo (método
fasorial) permitirá que las ecuaciones íntegrodiferenciales que describen la respuesta en
estado estable sinusoidal, de un circuito lineal, puedan ser convertidas en ecuaciones
algebraicas, mucho más simples. En la parte final del capítulo se definen y se ilustra el
proceso de cálculo, de los valores eficaces y medios de corrientes y voltajes.
En el segundo capítulo se aborda, cómo transformar las relaciones que caracterizan al
resistor, inductor y capacitor, en el dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia. Se
definen los conceptos de impedancia, reactancia, admitancia y susceptancia para cada
uno de los elementos pasivos, lo cual permitirá dibujar el circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia. La aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y

corrientes fasoriales y las expresiones de impedancia y admitancia para cada uno de los
elementos pasivos, permitirá resolver circuitos RLC serie, paralelo y mixto.
En el tercer capítulo se emplearán los métodos generales de solución y teoremas,
aprendidos durante el estudio de los circuitos de corriente directa. Se empleará el
método fasorial en la solución de circuitos de corriente alterna en estado estable
sinusoidal.
En el último capítulo se definen las potencias de mayor interés práctico: potencia activa
(promedio), potencia aparente y potencia reactiva. Se desarrolla el concepto de potencia
compleja. El factor de potencia es definido y se detalla el procedimiento para mejorar el
mismo y hacer más eficiente el empleo de la energía eléctrica.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las
sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y
profundizar.
Los autores

5
Tabla de contenido
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal ... 1
Introducción ... 1
1.1 Función de excitación sinusoidal ... 1
·
Problemas de consolidación ... 13
1.2 El fasor ... 14
·
Problemas de consolidación ... 21
1.3 Diagramas fasoriales ... 22
·
Problemas de consolidación ... 27
1.4 Valores eficaces de corriente y voltaje ... 27
·
Problemas de consolidación ... 38
1.5 Valores medios de corriente y voltaje ... 39
·
Problemas de consolidación ... 44
·
Problemas de final de capítulo ... 45
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito ... 49
Introducción ... 49
2.1 Características V/A de los elementos del circuito ... 49
·
Problemas de consolidación ... 59
2.2 Leyes de Kirchhoff en circuitos de corriente alterna... 60
·
Problemas de consolidación ... 62
2.3 Impedancia en el circuito RLC serie ... 63
·
Problemas de consolidación ... 76
2.4 Admitancia en el circuito RLC paralelo ... 77
·
Problemas de consolidación ... 90
·
Problemas de final de capítulo ... 91
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA ... 97
Introducción ... 97
3.1 Método de las corrientes de mallas (MCM) ... 97
·
Problemas de consolidación ... 103
3.2 Método de los voltajes de nodos (MVN) ... 104
·
Problemas de consolidación ... 115

3.3 Teorema de Superposición ... 117
·
Problemas de consolidación ... 123
3.4 Teorema de Thevenin ... 123
·
Problemas de consolidación ... 128
3.5 Teorema de Norton ... 129
·
Problemas de consolidación ... 133
·
Problemas de final de capítulo ... 134
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna ... 140
Introducción ... 140
4.1 Potencia instantánea ... 140
·
Problemas de consolidación ... 145
4.2 Potencia activa ... 145
·
Problemas de consolidación ... 148
4.3 Potencia aparente... 148
·
Problemas de consolidación ... 151
4.4 Factor de potencia ... 152
·
Problemas de consolidación ... 155
4.5 Potencia reactiva o reactivo ... 155
·
Problemas de consolidación ... 158
4.6 Triángulo de potencias ... 158
·
Problemas de consolidación ... 161
4.7 Potencia compleja ... 162
·
Problemas de consolidación ... 169
4.8 Balance de potencia ... 169
·
Problemas de consolidación ... 174
4.9 Máxima transferencia de potencia ... 175
·
Problemas de consolidación ... 182
4.10 Medición de potencia ... 182
·
Problemas de consolidación ... 187
·
Problemas de final de capítulo ... 188
Bibliografía ... 193
Sobre los autores ... 194

1
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
Introducción
La corriente alterna, de la cual se trata en este libro, presenta ventajas indiscutibles
sobre la corriente directa, lo que ha contribuido desde sus inicios a su creciente empleo
a escala mundial.
La corriente alterna (CA) ha permitido que los sistemas de generación, transmisión y
distribución de energía eléctrica, sean mucho más eficientes que los de corriente directa
(CD). La corriente alterna junto a los transformadores empleados en las redes de
transmisión y distribución, los cuales permiten la transmisión a alto voltaje
disminuyendo drásticamente las pérdidas, ha hecho posible desde el punto de vista
económico, suministrar grandes cantidades de energía eléctrica a enormes distancias.
La construcción de generadores y motores eléctricos de CA es menos compleja que en
el caso de CD. Los generadores y motores de CA son más robustos y eficientes que los
de CD, ya que no se requiere de conmutadores rotatorios.
Prácticamente la totalidad de los equipos empleados en el sector industrial, comercial y
residencial emplean la CA como alimentación primaria. Si una determinada aplicación
requiere de corriente directa, se emplean dispositivos llamados rectificadores para
transformar la CA en CD.
1.1 Función de excitación sinusoidal
En circuitos eléctricos alimentados con corriente directa, las fuentes de voltaje o
corriente tienen polaridades invariables y magnitudes constantes y las variables en el
circuito (corrientes o voltajes) tienen esas mismas características, en condiciones de
estado estable. En circuitos alimentados con corriente alterna, las polaridades de las
fuentes y las magnitudes de sus salidas varían, provocando un comportamiento similar
en los voltajes y corrientes existentes en el circuito. La razón de cambio en el tiempo de
la magnitud de los voltajes o corrientes en el circuito (respuestas), dependerá de la
forma de onda de la señal alterna (estímulo).
Los voltajes y corrientes de CA, pueden ser periódicos, no periódicos y aleatorios.
Un voltaje o corriente (señal) no periódica, no puede ser definida para cualquier instante
de tiempo, si solo se conoce una porción finita de la misma. Un ejemplo de una señal no
periódica es la función escalón unidad, empleada en el estudio de los circuitos
alimentados con CD.
Los valores de una señal aleatoria, no pueden ser determinados con exactitud en
cualquier instante, solo pueden ser determinados de manera parcial mediante análisis
estadístico. Un ejemplo de una señal aleatoria es una señal de televisión captada por una
antena.
Una de las clases más importantes de señales (voltaje o corriente), son las señales
periódicas. Estas señales se encuentran con gran frecuencia en sistemas y equipos y
representan con bastante exactitud diferentes fenómenos físicos.
Una señal periódica
)
(t
v
o simplemente v , es una señal que cumple con la siguiente
expresión:

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
2
...
3
,
2
,
1
)
(
)
(
=
+
=
n
nT
t
v
t
v
Para todo valor de t.
En la expresión anterior, T es el período. El período de una señal, es el intervalo de
tiempo en segundos, durante el cual la señal recorre un juego completo de valores. El
patrón de variación de una señal periódica, se repite una y otra vez al transcurrir el
tiempo.
Las figuras 1.1 a 1.4, ilustran algunas de las formas de onda (gráfico resultante de
dibujar una cantidad que varía en el tiempo con respecto al tiempo) de las señales
periódicas que se encuentran con gran frecuencia en los circuitos eléctricos: triangular,
diente de sierra, cuadrada y sinusoidal, señalándose el período de cada una de ellas (el
período puede ser medido entre dos puntos cualquiera que sean correspondientes).
En los laboratorios y talleres de electrónica existen generadores de señales que pueden
entregar diferentes voltajes periódicos. Independientemente de su forma de onda, una
señal periódica es caracterizada por un grupo de atributos (período, frecuencia,
amplitud, etc.).
Figura 1.1:
Voltaje con forma de onda triangular.
Figura 1.2:
Voltaje con forma de onda diente de sierra.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
3
Figura 1.3:
Voltaje con forma de onda cuadrada.
Figura 1.4:
Voltaje con forma de onda sinusoidal.
A través de todo este libro, la atención principal estará dirigida a señales periódicas de
voltaje y corriente de tipo sinusoidal (la gráfica de voltaje o corriente contra tiempo,
tiene la misma forma que la gráfica de la función trigonométrica seno o coseno) y el
análisis de los circuitos eléctricos que se consideren, será en condiciones de estado
estable (respuesta forzada). Por tanto, a menos que se realice algún señalamiento
específico acerca de la forma de onda de un voltaje o una corriente alterna (CA), se
considerará que se hace referencia a una señal de tipo sinusoidal.
La importancia de la señal de tipo sinusoidal (estímulo, respuesta), está dada por las
siguientes razones:
· La respuesta natural de un circuito subamortiguado de segundo orden es una
sinusoide amortiguada y si no hay pérdidas en el circuito, es una sinusoide pura.
La sinusoide aparece en forma natural (igual que la exponencial negativa).

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
4
· Las derivadas e integrales de las funciones sinusoidales son también funciones
sinusoidales, por tanto, un estímulo sinusoidal producirá una respuesta forzada
sinusoidal en cualquier parte de un circuito lineal. El análisis matemático en este
caso, es más fácil que con otros tipos de funciones excitatrices.
· Los voltajes sinusoidales son fáciles de generar. Es el tipo de voltaje
característico en la generación, transmisión, distribución y consumo de la
energía eléctrica.
· Las señales periódicas, no importa cuan complejas sean, pueden ser
representadas mediante una suma de señales sinusoidales.
En la figura 1.5 se muestran los símbolos que se usarán en este libro para indicar fuentes
independientes de CA de voltaje o de corriente.
a) Fuente de voltaje de CA b) Fuente de corriente de CA
Figura 1.5:
Símbolos para fuentes independientes de CA de voltaje o de corriente.
Anteriormente se definió el período
T de una señal periódica. Un parámetro más usado
en la práctica para definir la velocidad con que la onda recorre un ciclo completo de
valores es la frecuencia (pulsación)
f . La unidad de la frecuencia es el hertz ( Hz ), la
cual representa el número de ciclos de la onda recorridos durante un segundo. La
frecuencia de la energía eléctrica que se genera, transmite y distribuye en la mayoría de
los países del continente americano es de 60
Hz , mientras que en Europa es de 50 Hz .
El período y la frecuencia son matemáticamente recíprocos uno del otro.
)
(
1
)
(
s
T
Hz
f
=
Si un voltaje tiene un período de
s
6667
0166666666
,
0
, tendrá una frecuencia de
Hz
60
.
La frecuencia de una señal también puede ser expresada en kilohertz ( kHz ), megahertz
( MHz ) o gigahertz ( GHz ).
Hz
kHz
MHz
GHz
Hz
kHz
MHz
Hz
kHz
9
6
3
6
3
3
10
10
10
1
10
10
1
10
1
=
=
=
=
=
=
El rango de frecuencia de las señales empleadas en la ciencia y la técnica es muy
amplio: la energía eléctrica se transmite y distribuye con frecuencias de 50 o
Hz
60
,
como se señaló anteriormente, los sistemas de audio trabajan con frecuencias de
Hz
20
a
kHz
20
, las señales de radio de AM poseen frecuencias en el rango de
kHz
550
a
kHz
1600
, la señales de radio de FM ocupan una banda de frecuencias que va desde
MHz
88
hasta
MHz
108
, las señales de TV ocupan diferentes bandas, desde
MHz
54

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
5
hasta
MHz
890
, por encima de los
GHz
300
, se encuentran las frecuencias ópticas y los
rayos X.
La expresión matemática que describe un voltaje sinusoidal es:
V
t
V
t
v
m
)
cos(
)
(
+
=
)
(t
v
: es el valor instantáneo (el valor del voltaje en cualquier instante de tiempo).
cos
: es la abreviatura de coseno en trigonometría.
m
V
: es el valor máximo (amplitud, magnitud, valor de cresta, valor pico) de la onda. Es
la diferencia entre el valor promedio y el valor pico (el valor máximo con respecto a
cero).
: es la frecuencia angular. Es el valor de la frecuencia expresada en radianes por
segundo (rad/s).
: es el ángulo de fase (fase inicial). En las ciencias físicas se acostumbra a expresar el
ángulo de fase en radianes, pero en la ingeniería eléctrica el ángulo se expresa en grados
(
).
Teniendo en cuenta que un ángulo de
rad
2
es equivalente a un ángulo de 360º. Un
ángulo expresado en radianes puede expresarse en grados, mediante:
rad
rad
180
=
En este libro generalmente se usará la función coseno, para describir un voltaje o una
corriente sinusoidal (el término sinusoidal se usa de manera genérica), los cuales
también pueden ser descritos si se requiere, empleando la función seno. No hay
diferencia substancial entre el uso de una u otra, lo cual está dado por las identidades
trigonométricas )
90
cos(
-
=
sen
y
)
90
(
cos
+
=
sen
.
Durante un período de
)
(s
T
la onda pasará por el valor tomado como inicial
T
1
veces
en un segundo.
Entre el período, la frecuencia angular y la frecuencia, existen las siguientes relaciones:
2
1
1
2
2
=
=
=
=
=
f
T
T
f
f
T
La frecuencia en rad/s se usa cuando se define la frecuencia en términos de
revoluciones alrededor de un círculo trigonométrico, mientras que la frecuencia en Hz
se emplea cuando esta se define en términos de frecuencia de repetición (ciclos por
segundo).
De acuerdo a lo expresado anteriormente, un voltaje
V
t
t
v
)
6
1000
2
cos(
100
)
(
-
=
, se
escribirá como
V
t
t
v
)
30
1000
2
cos(
100
)
(
-
=
. El ángulo de fase, define el valor de la
sinusoide en
0
=
t
(origen de coordenadas).
Si se desea encontrar el valor del voltaje anterior en un instante de tiempo específico,
por ejemplo
s
t
4
10
-
=
,
t
1000
2
toma el valor
rad
2
,
0
que equivale a
36 , cantidad a

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
6
la que debe restársele
30 antes de calcular el coseno (en MATLAB el argumento de las
funciones trigonométricas debe expresarse en radianes, por lo que en ese caso el ángulo
en grados debe convertirse a radianes).
Un valor utilizado con frecuencia en algunas especialidades de la ingeniería eléctrica, es
el valor pico a pico (
pp
V ). El valor pico a pico para una onda que es simétrica con
respecto al valor de reposo (generalmente cero) es igual a dos veces el valor pico
(máximo).
Como se observa de las figuras 1.6 a 1.9, el eje de las abscisas puede estar expresado en
períodos (T ), en radianes ( rad ), en grados (
) o en unidades de tiempo ( s ). El período
de la señal sinusoidal en unidades de períodos siempre es T , en radianes siempre es de
rad
2
y cuando se expresa en grados siempre es de
360 , pero el período de la señal
expresado en segundos dependerá de la frecuencia de la señal.
Figura 1.6:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en unidades de período
(
T ).
Figura 1.7:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en radianes ( rad ).

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
7
Figura 1.8:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en grados (
).
Figura 1.9:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en segundos ( s ).
(
s
rad
H
f
s
T
z
/
2832
,
6
;
1
;
1
=
=
=
).
En todas las gráficas anteriores, la fase inicial (
) es de
0 . La fase inicial de un voltaje
o corriente sinusoidal, se mide del origen de coordenadas al valor máximo positivo más
cercano de la función cosinusoidal. Si la función es sinusoidal se mide desde el origen
de coordenadas hasta el valor nulo más cercano a partir del cual la onda se hace
positiva. Se acostumbra a expresar la fase inicial de una señal sinusoidal, con un ángulo
cuya magnitud es menor o igual a
180 .
En ambos casos, si el punto se encuentra a la izquierda del origen de coordenadas el
ángulo es positivo. En caso contrario, es negativo.
Las figuras 1.10 y 1.11 ilustran señales de voltajes con desfases de 45º en adelanto y
atraso.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
8
Figura 1.10:
La señal
)
45
cos(
+
t
V
m
está adelantada
45 a la señal
)
cos( t
V
m
.
Figura 1.11:
La señal
)
45
cos(
-
t
V
m
está atrasada
45 a la señal
)
cos( t
V
m
.
Ejemplo 1.1
Determinar el período (T ) y la frecuencia ( f ) de los siguientes voltajes y dibujarlos en
un mismo gráfico empleando MATLAB.
a)
V
t
t
v
)
cos(
)
(
1
=
b)
V
t
sen
t
v
)
(
)
(
2
=
c)
V
t
t
v
)
2
cos(
2
)
(
3
=
d)
V
t
t
v
)
60
10
cos(
5
)
(
4
+
=
R:
a)
Hz
T
f
s
T
1592
,
0
2
1
1
2832
,
6
2
1
2
2
=
=
=
=
=
=
=
b)
Hz
T
f
s
T
1592
,
0
2
1
1
2832
,
6
2
1
2
2
=
=
=
=
=
=
=

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
9
c)
Hz
T
f
s
T
1
1
1
1
1
2
2
2
=
=
=
=
=
=
d)
Hz
T
f
s
T
5915
,
1
2
,
0
1
1
6283
,
0
2
,
0
10
2
2
=
=
=
=
=
=
=
MATLAB:
>> t=0:0.01*pi:2*pi;
>> v1=cos(t);v2=sin(t);v3=2*cos(2*pi*t);v4=5*cos(10*t+60*pi/180);
>> plot(t,v1,'-',t,v2,':',t,v3,'--',t,v4,'.-')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1, v2, v3, v4 (V)')
>> title('Voltajes v1(t), v2(t), v3(t) y v4(t)')
>> legend('v1','v2','v3','v4')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.12.
Figura 1.12:
Voltajes sinusoidales con diferentes amplitudes y ángulos de fase.
Si se necesita comparar la relación de fase de dos ondas sinusoidales, ambas deben
escribirse como ondas coseno ó ambas deben escribirse como ondas seno, las
amplitudes de las dos ondas deben ser positivas y las dos ondas deben tener la misma
frecuencia (el desfasaje entre dos ondas solo tiene sentido si las ondas tienen la misma
frecuencia; si las frecuencias de las ondas difieren, aunque sea en una magnitud
pequeña, la relación de fase entre las ondas cambia constantemente).

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
10
El desfasaje entre las dos señales estará dado por la diferencia entre las fases de las
mismas. Si no existe diferencia de fase entre dos ondas sinusoidales, se dice que las
señales están en fase (coincidencia de fase), si la diferencia de fase de dos ondas
sinusoidales es de
90
2
=
se dice que las señales están en cuadratura de fase y si la
diferencia es de
180
=
se dice que están en oposición de fase.
En el proceso de determinar el desfasaje entre dos ondas, las siguientes relaciones entre
las funciones seno y coseno, son útiles:
)
90
(
cos
+
=
sen
)
90
cos(
-
=
sen
)
90
(
cos
-
=
-
sen
)
180
(
±
=
-
sen
sen
sen
sen
-
=
- )
(
cos
)
cos(
=
-
El desfasaje angular entre dos ondas, puede expresarse también como un desfasaje
temporal
)
(s
t
r
, teniendo en cuenta que un período T , corresponde a un ángulo de
360 .
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
360
360
Hz
s
s
r
f
T
t
=
=
Para un desfasaje angular dado, cuanto mayor es la frecuencia menor es el desfasaje en
tiempo
.
Ejemplo 1.2
Hallar el desfasaje entre los voltajes
V
t
sen
V
v
m
)
30
5
(
1
1
-
=
y
V
t
V
v
m
)
10
5
cos(
2
2
+
=
.
R:
V
t
V
t
V
t
sen
V
v
m
m
m
)
120
5
cos(
)
90
30
5
cos(
)
30
5
(
1
1
1
1
-
=
-
-
=
-
=
130
10
120
2
1
-
=
-
-
=
-
Se puede decir que el voltaje
1
v
está atrasado al voltaje
2
v
por
130 o que el voltaje
2
v
está adelantado al voltaje
1
v
por
130 . También pudiera decirse que el voltaje
1
v
adelanta a
2
v
por
230 , pero como se señaló anteriormente, se acostumbra a expresar
no solo la fase inicial de una señal sinusoidal, sino también el desfasaje entre dos
señales sinusoidales, con un ángulo cuya magnitud es menor o igual a
180 . En un
mismo gráfico
)
(
2
t
v
se encuentra a la izquierda de
)
(
1
t
v
.
MATLAB:
>> t=0:0.01:4*pi/5;
>> v1=sin(5*t-30*pi/180);v2=cos(5*t+10*pi/180);
>> plot(t,v1,'-',t,v2,':')

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
11
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1, v2 (V)')
>> title('El voltaje v2 adelanta al voltaje v1')
>> legend('v1','v2')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.13.
Figura 1.13:
Voltajes desfasados 130
o
.
Ejemplo 1.3
Obtener el ángulo de atraso de
1
i con respecto a
1
v si:
V
t
v
)
40
120
cos(
5
1
-
=
e
1
i es
igual a:
A
t
)
110
120
cos(
8
,
0
-
-
.
R:
A
t
t
t
i
)
70
120
cos(
8
,
0
)
180
110
120
cos(
8
,
0
)
110
120
cos(
8
,
0
1
+
=
+
-
=
-
-
=
110
70
40
1
1
-
=
-
-
=
-
i
v
(
1
i
atrasa a
1
v
en
110
-
)
MATLAB:
>> t=-0.005:0.0001:0.01676;
>> v1=5*cos(120*pi*t-40*pi/180);
>> i1=-0.8*cos(120*pi*t-110*pi/180);
>> plotyy(t,v1,t,i1)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1 (V)')

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
12
>> ylabel('i1 (A)')
>> title('i1 atrasa a v1 en -110 grados')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.14.
Figura 1.14:
La corriente
1
i
atrasa al voltaje
1
v
en
110
-
(
1
i
adelanta a
1
v
).
Ejemplo 1.4
Encuentre el desfasaje (diferencia) en tiempo entre las corrientes sinusoidales
A
t
i
)
30
4
cos(
1
+
=
e
A
t
sen
i
)
4
(
2
2
-
=
.
R:
)
90
4
cos(
2
)
4
(
2
2
+
=
-
=
t
t
sen
i
60
90
30
2
1
-
=
-
=
-
s
T
5708
,
1
4
2
2
=
=
=
s
T
t
s
s
r
2618
,
0
360
5708
,
1
60
360
)
(
)
(
)
(
-
=
-
=
=
La corriente
1
i
se atrasa a la corriente
2
i
en 0,2618 s.
MATLAB:
>> t=0:0.01:2*pi/4;
>> i1=cos(4*t+30*pi/180);i2=-2*sin(4*t);
>> plot(t,i1,'*',t,i2,'o')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('i1, i2 (A)')

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
13
>> title('La corriente i1 se atrasa a la corriente i2')
>> legend('i1','i2')
>> grid
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.15.
Figura 1.15:
Corrientes desfasadas.
· Problemas de consolidación
1-1. Un voltaje
V
t
sen
V
t
v
m
)
(
)
(
=
tiene un valor máximo de
V
20 y una frecuencia de
Hz
50
. Determinar el valor instantáneo de la señal de voltaje que existe en: a)
ms
5
,
2
; b)
ms
15
.
R:
a)
V
14
,
14
; b)
V
20
-
1-2. Una señal periódica de corriente, completa 5 ciclos en
ms
8
. Determinar la
frecuencia de la señal.
R:
Hz
625
1-3. ¿Cuál es la relación de fase entre las señales de voltaje y corriente dadas por:
V
t
sen
v
)
30
(
10
+
=
e
A
t
sen
i
)
70
(
5
+
=
.
R:
El voltaje atrasa a la corriente en
40 o la corriente adelanta al voltaje en
40 .
1-4. ¿Cuál es la relación de fase entre las señales de corriente y voltaje dadas por:
A
t
i
)
60
cos(
2
-
-
=
y
V
t
sen
v
)
150
(
3
-
=
.
R:
Las señales de corriente y voltaje están en fase.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
14
1.2 El fasor
En un circuito lineal, en condiciones de estado estable, una señal de excitación
sinusoidal siempre producirá una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia, de
manera que al aplicar una excitación real (puede ser generada realmente en condiciones
de laboratorio)
)
cos(
)
(
+
=
t
V
t
v
m
, se obtendrá una respuesta
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
.
Si al circuito lineal, se le aplica una excitación imaginaria (puede ser aplicada como
función matemática, pero no puede ser generada en la vida real)
)
(
+
t
sen
jV
m
, se
obtendrá una respuesta
)
(
+
t
sen
jI
m
.
Teniendo en cuenta que la red es lineal, cumple el principio de superposición, por tanto
al aplicar una señal de excitación compleja (parte real y parte imaginaria)
)
(
)
cos(
+
+
+
t
sen
jV
t
V
m
m
, la respuesta será
)
(
)
cos(
+
+
+
t
sen
jI
t
I
m
m
.
Al aplicar a la red lineal la excitación compleja, cuya parte real es la excitación real
dada, se obtendrá una respuesta compleja cuya parte real es la respuesta real deseada.
Empleando la identidad de Euler, el estímulo complejo y la respuesta también compleja,
pueden ser representados de una forma más sencilla como
)
(
+
t
j
m
e
V
e
)
(
+
t
j
m
e
I
,
respectivamente.
Este procedimiento, permitirá que las ecuaciones íntegro diferenciales que describen la
respuesta en estado estable sinusoidal, de un circuito lineal, puedan ser convertidas en
ecuaciones algebraicas, mucho más simples.
Ejemplo 1.5
El circuito mostrado en la figura 1.16, se encuentra en estado estable sinusoidal.
Determinar la corriente )
(
t
i
.
Figura 1.16:
Circuito RL en estado estable sinusoidal.
R:
Al aplicar a la red lineal una excitación compleja, cuya parte real es la excitación real
dada (identidad de Euler):
t
j
m
s
e
V
v
=
Se obtendrá una respuesta compleja cuya parte real es la respuesta real deseada:
)
(
+
=
t
j
m
e
I
i

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
15
Al escribir la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV) para este circuito de un solo lazo,
se tiene:
s
v
dt
di
L
Ri
=
+
Sustituyendo el estímulo y la respuesta compleja (estado estable sinusoidal):
t
j
m
t
j
m
t
j
m
e
V
e
I
dt
d
L
e
RI
=
+
+
+
)
(
)
(
)
(
Al llevar a cabo la derivación indicada se obtiene una ecuación algebraica compleja.
t
j
m
t
j
m
t
j
m
e
V
e
LI
j
e
RI
=
+
+
+
)
(
)
(
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre
t
j
e
:
m
j
m
j
m
V
e
LI
j
e
RI
=
+
Factorizando el lado izquierdo:
m
j
m
V
L
j
R
e
I
=
+
)
(
Despejando
j
m
e
I
:
L
j
R
V
e
I
m
j
m
+
=
Expresando el lado derecho de la ecuación en forma exponencial o polar, se identifican
los valores de
m
I y
:
))
(
tan
(
2
2
2
1
R
L
j
m
j
m
e
L
R
V
e
I
-
-
+
=
(I)
Por tanto:
2
2
2
L
R
V
I
m
m
+
=
R
L
1
tan
-
-
=
La respuesta real )
(
t
i
puede ser obtenida reinsertando el factor
t
j
e
en ambos lados de
la ecuación (I) y tomando la parte real con ayuda de la identidad de Euler. No obstante
como
m
I y
se identifican de forma directa, la expresión para
)
(t
i
, puede escribirse
directamente:
)
tan
cos(
)
cos(
)
(
1
2
2
2
R
L
t
L
R
V
t
I
t
i
m
m
-
-
+
=
+
=
MATLAB:
>> syms t w Vm R L
>> it=dsolve('R*it+L*Dit=Vm*cos(w*t)')
it =
C2/exp((R*t)/L) + (Vm*(w*sin(t*w) + (R*cos(t*w))/L))/(L*(R^2/L^2 + w^2))

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
16
Al considerar que t tiende a infinito (estado estable), el término exponencial se anula y
utilizando
)
tan
cos(
)
(
)
cos(
1
2
2
A
B
t
B
A
t
Bsen
t
A
-
-
+
=
+
, se llega al resultado
encontrado anteriormente, de forma analítica.
Ejemplo 1.6
El circuito mostrado en la figura 1.17, se encuentra en estado estable sinusoidal.
Encontrar el voltaje complejo
)
(t
v
en los terminales de la fuente de corriente.
Figura 1.17:
Circuito RL en estado estable sinusoidal.
R:
El voltaje complejo en los terminales de la fuente, tendrá un valor
V
e
V
t
j
m
)
3000
(
+
.
Aplicando LKV en el circuito de un solo lazo:
)
008
,
0
(
)
095
,
0
(
)
008
,
0
)(
500
(
3000
3000
)
3000
(
t
j
t
j
t
j
m
e
dt
d
e
e
V
+
=
+
Derivando:
)
28
,
2
4
3000
3000
)
3000
(
t
j
t
j
t
j
m
e
j
e
e
V
+
=
+
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre
t
j
e
3000
:
7
,
29
60
,
4
28
,
2
4
j
j
m
e
j
e
V
=
+
=
La representación en forma compleja del voltaje deseado, se obtiene insertando el factor
t
j
e
3000
:
V
e
t
v
t
j
)
7
,
29
3000
(
60
,
4
)
(
+
=
MATLAB:
>> V=4+2.28i
V =
4.0000 + 2.2800i
>> [Ang, Vm]=cart2pol(4,2.28)
Ang =
0.5181
Vm =

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
17
4.6042
>> Ang*180/pi
ans =
29.6831
El fasor es un número complejo, que al especificar la magnitud y el ángulo de fase de
una sinusoide, la determina completamente, como si la sinusoide fuera descrita por una
función analítica del tiempo (
)
cos(
+
t
V
m
). El trabajo con fasores (método fasorial)
simplifica enormemente el análisis de estado estable sinusoidal (respuesta forzada) en
circuitos RLC, al no tener que resolver las ecuaciones íntegrodiferenciales que se
obtendrían al aplicar las leyes de Kirchhoff en la solución de un circuito dado. El
método fasorial es una transformación matemática (transformación fasorial) que
simplifica la solución de los problemas de análisis de circuitos.
Las transformaciones matemáticas son muy utilizadas en la ciencia para simplificar
diversos problemas. Una de las más conocidas es la transformación logarítmica, que
permite pasar del dominio de los números comunes al dominio de los números
logarítmicos y luego regresar al dominio de los números comunes, simplificando las
operaciones aritméticas de multiplicación y división.
En cualquier circuito lineal en estado estable sinusoidal, operando a una frecuencia
determinada, todos los voltajes o corrientes sinusoidales, están caracterizados por su
magnitud y ángulo de fase:
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
(Expresión instantánea).
)
(
)
(
+
=
t
j
m
e
I
t
i
(Representación en forma compleja).
El factor
t
j
e
, es el mismo para todos los voltajes y corrientes, por lo tanto no contiene
información útil, es suficiente conocer el valor de
.
La representación en forma compleja, puede abreviarse y expresarse como:
j
m
e
I
(Representación
en
forma
exponencial).
m
I
(Representación
en
forma
polar).
))
(
)
(cos(
jsen
I
m
+
(Representación en forma binómica o rectangular).
El paso de la forma exponencial a la forma polar y viceversa, es directa. El paso de la
forma exponencial (polar) a la binómica y viceversa, se lleva a cabo teniendo en cuenta
que:
)
(
)
(
j
m
j
m
e
I
j
e
I
I
+
=
2
2
)]
(
[
)]
(
[
j
m
j
m
m
e
I
e
I
I
+
=
)
(
)
(
tan
1
I
I
=
-
Cualquiera de estas representaciones complejas abreviadas de un voltaje o una corriente
recibe el nombre de fasor.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
18
En la representación fasorial, la frecuencia angular no aparece explícitamente, debido a
que
es constante. No obstante la respuesta depende de
. Por esta razón, el dominio
fasorial también se conoce como dominio de la frecuencia.
En este libro, el fasor se representa con una letra mayúscula. Se emplea una letra
mayúscula porque el fasor no es una función del tiempo, solo contiene información de
la magnitud y fase del voltaje o la corriente. La representación de una corriente o
voltaje en el dominio del tiempo se simboliza respectivamente por
)
(t
i
o
)
(t
v
. La
representación de una corriente (voltaje) en el dominio de la frecuencia (fasorial) se
simboliza por
)
(V
I
.
La corriente
)
(t
i
y el voltaje
)
(t
v
siempre son cantidades reales, mientras que los
fasores I o V son generalmente magnitudes complejas.
El proceso por el cual la corriente, expresada en forma instantánea )
(t
i
, se transforma
en la corriente expresada en forma fasorial I , consiste en extraer la amplitud y el
ángulo de fase de la onda expresada en forma de una función coseno.
Ejemplo 1.7
Transformar al dominio de la frecuencia:
a) el voltaje expresado en forma instantánea
V
t
t
v
)
30
400
cos(
100
)
(
-
=
;
b) la corriente expresada en forma instantánea
A
t
sen
t
i
)
150
377
(
5
)
(
+
=
.
R:
a)
V
V
30
100
-
=
(Representación en forma polar).
b)
A
t
t
t
sen
t
i
)
60
377
cos(
5
)
90
150
377
cos(
5
)
150
377
(
5
)
(
+
=
-
+
=
+
=
A
I
60
5
=
(Representación en forma polar).
A
j
I
3301
,
4
5000
,
2
+
=
(Representación en forma binómica o rectangular).
MATLAB:
I =
2.5000 + 4.3301i
>> Magnitud=abs(I)
Magnitud =
5.0000
>> Angulo=angle(I)*180/pi
Angulo =
59.9998
Ejemplo 1.8
Transformar al dominio del tiempo, el voltaje expresado en forma fasorial
V
j
V
3173
,
81
3173
,
81
-
=
.
R:

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
19
115
3173
,
81
3173
,
81
2
2
=
+
=
m
V
45
3173
,
81
3173
,
81
tan
1
-
=
-
=
-
V
V
j
V
45
115
3173
,
81
3173
,
81
-
=
-
=
V
t
t
v
)
45
cos(
115
)
(
-
=
MATLAB:
>> V=81.3173-j*81.3173
V =
81.3173 -81.3173i
>> compass(V)
>> title('Fasor V (V)')
El gráfico del fasor del voltaje, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 1.18.
Figura 1.18
Fasor de voltaje.
En el análisis de circuitos en corriente alterna y estado estable sinusoidal, con frecuencia
se requiere la suma o resta de voltajes o corrientes. Este proceso llevado a cabo
gráficamente, sumando o restando punto a punto los valores de las señales para cada
valor del tiempo, sería un proceso largo, tedioso y con una precisión limitada. El empleo
de los fasores permite resolver este problema con gran facilidad.
Ejemplo 1.9
Expresar en forma instantánea el voltaje
2
1
v
v
v
T
+
=
, siendo
V
t
v
)
2
cos(
2
1
=
y
V
t
v
)
90
2
cos(
2
-
=
.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
20
R:
V
V
0
2
1
=
V
V
90
1
2
-
=
V
j
j
j
V
V
V
T
5651
,
26
2361
,
2
2
1
tan
1
2
1
2
1
0
0
2
90
1
0
2
1
2
2
2
1
-
=
-
+
=
-
=
-
+
+
=
-
+
=
+
=
-
V
t
t
v
)
5651
,
26
2
cos(
2361
,
2
)
(
-
=
MATLAB:
>> t=-0.5:0.01:1;
>> v1=2*cos(2*pi*t);
>> v2=cos(2*pi*t-90*pi/180);
>> vT=v1+v2;
>> subplot(1,2,1)
>> plot(t,v1,':',t,v2,'r-.',t,vT,'m')
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('v1,v2 y vT=v1+v2')
>> legend('v1','v2','vT')
>> V1=2+0i;
>> V2=0-1i;
>> VT=V1+V2;
>> subplot(1,2,2)
>> fasores=[V1 V2 VT]
fasores =
2.0000 0 - 1.0000i 2.0000 - 1.0000i
>> compass(fasores)
>> title('Voltajes fasoriales V1, V2 y VT=V1+V2')
Los gráficos obtenidos en MATLAB se muestran en la figura 1.19.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
21
Figura 1.19
Formas de onda y representación fasorial de los voltajes
1
v
,
2
v
y
T
v
.
· Problemas de consolidación
1-5. Determinar y expresar en forma instantánea el voltaje
2
1
v
v
v
T
+
=
, siendo
V
t
sen
v
)
(
10
1
=
y
V
t
sen
v
)
60
(
15
2
+
=
.
R:
V
t
)
4
,
53
cos(
8
,
21
-
1-6. Expresar la señal de voltaje mostrada en la figura 1.20, tanto en el dominio del
tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Figura 1.20
Señal de voltaje.
R:
V
t
V
m
)
45
cos(
+
,
V
V
m
)
45

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
22
1.3 Diagramas fasoriales
Se denomina diagrama fasorial, a un bosquejo en el plano complejo, que muestra las
magnitudes y posiciones relativas de los fasores de voltajes y corrientes a través de un
circuito específico.
Como los voltajes y las corrientes expresados fasorialmente, son números complejos,
pueden representarse como puntos en el plano complejo. Por ejemplo el voltaje fasorial
V
e
j
V
j
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
=
°
=
+
=
se dibuja en el plano complejo de voltaje, como se
muestra en la figura 1.21. Los ejes son, el eje real del voltaje y el eje imaginario del
voltaje; el voltaje fasorial
1
V
se localiza por medio de una flecha dibujada desde el
origen hasta el punto correspondiente.
Figura 1.21
Diagrama fasorial del voltaje
V
e
j
V
j
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
=
°
=
+
=
.
El diagrama fasorial permite una interpretación interesante de la transformación
recíproca entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
Un vector de giro es aquel cuyo argumento varía con el tiempo en la forma
t
j
e
. Si ese
vector se mueve sobre una circunferencia de radio 1, con velocidad angular , en
sentido contrario a las manecillas del reloj, a medida que el tiempo aumenta, las
sucesivas posiciones del vector se van desplazando por los distintos cuadrantes hasta
llegar a repetir los mismos valores.
Al analizar la magnitud compleja
)
(
+
t
j
m
e
I
, su representación en el plano complejo será
para t = 0, un número complejo de módulo
m
I y argumento
. Para
1
t
t
= será una
magnitud compleja de módulo
m
I y argumento
)
(
1
+
t
, y para sucesivos valores del
tiempo, la representación de esta magnitud, corresponderá a un vector de módulo
siempre igual a
m
I , pero con argumento variable.
Si se traza la proyección de esa magnitud sobre el eje real, se obtiene una función
cosinusoidal de frecuencia angular
. Se puede decir que para cada instante de tiempo,
el valor de la proyección sobre el eje real de la magnitud compleja
)
(
+
t
j
m
e
I
, es igual al
valor instantáneo de la función real
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
.
De modo que entre la magnitud compleja de la corriente y la función real del tiempo de
la misma, existe una relación biunívoca que se ilustra en la figura 1.22: el fasor (número
complejo) de corriente, girando en el plano complejo a una velocidad angular
,
proyecta sobre el eje real de corriente la función cosinusoidal y por otro lado, la función
cosinusoidal de corriente solo puede ser proyectada sobre el eje real de corriente del

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
23
plano complejo, por el fasor (número complejo) de corriente girando a una frecuencia
angular . Por tanto:
)
cos(
)
(
+
+
t
I
e
I
m
t
j
m
.
Figura 1.22:
Relación entre el fasor y la función (cosinusoidal) real del tiempo.
Teniendo en cuenta la identidad de Euler, puede plantearse:
)
(
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
t
j
t
j
j
m
t
j
m
m
Ve
e
e
V
e
V
t
V
t
v
=
=
=
+
=
+
Donde:
=
=
m
j
m
V
e
V
V
)
(
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
t
j
t
j
j
m
t
j
m
m
Ie
e
e
I
e
I
t
I
t
i
=
=
=
+
=
+
Donde:
=
=
m
j
m
I
e
I
I
La derivada con respecto al tiempo del voltaje
)
(
)
cos(
)
(
t
j
m
Ve
t
V
t
v
=
+
=
será:

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
24
)
(
)
(
)
90
cos(
)
(
90
t
j
j
j
t
j
m
m
m
Ve
j
e
e
e
V
t
V
t
sen
V
dt
dv
=
=
+
+
=
+
-
=
La expresión anterior indica que la derivada con respecto al tiempo de
)
(t
v
, se
transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
V
j
. De manera similar
dt
di
se
transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
I
j
.
Derivar una señal sinusoidal en el dominio del tiempo, es equivalente a multiplicar su
fasor correspondiente en el dominio de la frecuencia por
j .
Un análisis similar brinda el siguiente resultado:
vdt
se transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
j
V
idt
se transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
j
I
Integrar una señal sinusoidal en el dominio del tiempo, es equivalente a dividir su fasor
correspondiente en el dominio de la frecuencia por
j
.
Las ecuaciones anteriores permiten encontrar la solución de un circuito en estado
estable sinusoidal, sin necesidad de conocer las condiciones iniciales de las variables
consideradas. Esta es otra de las importantes aplicaciones del uso de los fasores, en el
análisis de circuitos en estado estable sinusoidal.
Ejemplo 1.10
Utilizando el método fasorial (dominio de la frecuencia), determinar la corriente )
(t
i
en
un circuito, en estado estable sinusoidal, descrita por la ecuación íntegrodiferencial
)
75
2
cos(
50
3
8
4
+
=
-
+
t
dt
di
idt
i
.
R:
Teniendo en cuenta que el método fasorial brinda la solución en estado estable
sinusoidal, no es necesario conocer los valores iniciales de las variables del circuito.
Transformando cada miembro de la ecuación del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia (fasorial):
75
50
3
8
4
=
-
+
I
j
j
I
I
De la ecuación íntegrodiferencial se observa que
2
=
, por tanto:
75
50
6
4
4
=
-
-
I
j
I
j
I
75
50
)
10
4
(
=
- j
I
A
j
I
2
,
143
642
,
4
2
,
68
77
,
10
75
50
10
4
75
50
=
-
=
-
=
Expresando la corriente fasorial en forma instantánea:
A
t
t
i
)
2
,
143
2
cos(
642
,
4
)
(
+
=

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
25
MATLAB:
>> I=solve('4*I+8*I/(sqrt(-1)*2)-3*sqrt(-1)*2*I=50*(cos(75*pi/180)+sqrt(-
1)*sin(75*pi/180))')
I =
(25/174+125/348*i)*6^(1/2)*(3-3^(1/2)+3*i+i*3^(1/2))
>> numeric(I)
ans =
-3.7172 + 2.7810i
>> I=numeric(I)
I =
-3.7172 + 2.7810i
>> Im=abs(I)
Im =
4.6424
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
143.1986
En el análisis de circuitos de CA, en estado estable sinusoidal, se emplean con gran
frecuencia, los operadores de giro. Un operador de giro es un número complejo de
módulo 1 y argumento diferente de cero que, al operar sobre otro número complejo,
solo altera su argumento. Por ejemplo:
j
± imprime un giro de
90
±
.
1
- imprime un giro de
180
±
.
j
e imprime un giro de grados.
Ejemplo 1.11
Expresar en forma polar: a)
V
j
V
3173
,
81
3173
,
81
1
-
=
, b)
1
2
jV
V
=
, c)
1
3
jV
V
-
=
, d)
1
4
V
V
-
=
, e)
1
45
5
V
e
V
j
=
R:
a)
115
3173
,
81
3173
,
81
2
2
=
+
=
m
V
45
3173
,
81
3173
,
81
tan
1
-
=
-
=
-
V
V
j
V
45
115
3173
,
81
3173
,
81
1
-
=
-
=
b)
V
jV
V
45
115
1
2
=
=

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
26
c)
V
jV
V
135
115
1
3
-
=
-
=
d)
V
V
V
135
115
1
4
=
-
=
e)
V
V
e
V
j
0
115
1
45
5
=
=
MATLAB:
>> V1=81.3173-j*81.3173
V1 =
81.3173 -81.3173i
>> V2=j*V1
V2 =
81.3173 +81.3173i
>> V3=-j*V1
V3 =
-81.3173 -81.3173i
>> V4=-V1
V4 =
-81.3173 +81.3173i
>> V5=exp(j*45*pi/180)*V1
V5 =
1.1500e+002 -7.1054e-015i
>> Voltajes=[V1 V2 V3 V4 V5]
Voltajes =
1.0e+002 *
0.8132 - 0.8132i 0.8132 + 0.8132i -0.8132 - 0.8132i -0.8132 + 0.8132i 1.1500 -
0.0000i
>> compass(Voltajes)
>> title('Voltajes fasoriales V1, V2, V3, V4, V5 (V)')
El gráfico de los operadores de giro, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura
1.23.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
27
Figura 1.23:
Operadores de giro actuando sobre el fasor de voltaje V1.
Los diagramas fasoriales solo se pueden dibujar (solo tienen sentido), para voltajes y
corrientes pertenecientes a un mismo circuito, los cuales deben tener además la misma
frecuencia. Si en el diagrama fasorial aparecen representados voltajes y corrientes, las
escalas para cada una de las magnitudes serán en general diferentes.
En muchos casos, los diagramas fasoriales facilitan la comprensión y solución de
problemas de circuitos de corriente alterna, al mostrar claramente las magnitudes de los
distintos voltajes y corrientes y las diferencias de fase entre dichas señales, teniendo en
cuenta que los fasores, como se señaló anteriormente, giran en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
· Problemas de consolidación
1-7. Por la combinación serie de un resistor de
10
y un inductor de
mH
20
, circula
una corriente
A
t
i
)
10
500
cos(
5
+
=
. Representar en un diagrama fasorial, la
corriente y el voltaje aplicado a la combinación serie de los dos elementos.
R:
A
I
10
5
=
,
V
V
55
7
,
70
=
1-8. Si
A
t
sen
i
)
55
(
4
,
14
1
-
=
e
A
t
sen
i
)
15
(
4
2
+
=
. Representar en un diagrama
fasorial
1
I ,
2
I e
2
1
I
I
I
T
+
=
.
R:
A
I
145
4
,
14
1
-
=
,
A
I
75
4
2
-
=
,
A
I
T
4
,
131
98
,
15
-
=
1.4 Valores eficaces de corriente y voltaje
El voltaje disponible en los contactos eléctricos de las viviendas es un voltaje
sinusoidal, con una frecuencia de 60 Hz y un valor eficaz de 115 V.
El valor eficaz de un voltaje, es una medida de la efectividad de la fuente que genera
dicho voltaje, para entregar potencia a una carga resistiva.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
28
El valor eficaz de cualquier corriente periódica, es igual al valor de la corriente directa,
que fluyendo a través de un resistor con una resistencia de
)
(
R
, entrega al resistor,
una potencia igual a la potencia promedio en un período que entrega la corriente
periódica a dicho resistor.
El valor eficaz se determina de la siguiente manera: se deja que una corriente periódica
dada )
(i , fluya a través de un resistor, se obtiene la potencia instantánea
)
(
2
R
i
, y se
calcula el valor promedio de la potencia instantánea
)
(
2
R
i
en un período, o sea la
potencia promedio en un período. Posteriormente, se hace circular una corriente directa
por ese mismo resistor y se ajusta el valor de la corriente directa, hasta que se obtenga
un valor para la potencia, igual al valor de la potencia promedio obtenida para la
corriente periódica. La magnitud de la corriente directa es igual al valor eficaz de la
corriente periódica dada.
El desarrollo de la expresión matemática general, que permite calcular el valor eficaz de
una corriente o un voltaje periódico dado (no necesariamente sinusoidal), se muestra a
continuación.
La potencia promedio en un período entregada al resistor R por )
(t
i
es:
=
=
T
T
dt
i
T
R
Rdt
i
T
P
0
2
0
2
1
(T es el período de )
(t
i
).
La potencia entregada por la corriente directa es:
R
I
P
rms
2
=
Igualando ambas expresiones y despejando el valor eficaz de la corriente
rms
I
:
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
Una expresión análoga se obtiene para el valor eficaz de un voltaje periódico.
El valor eficaz recibe también el nombre de raíz media cuadrática o valor rms (del
inglés root ­ mean ­ square).
Un caso de especial importancia es el de una señal periódica de tipo sinusoidal.
Ejemplo 1.12
Calcular el valor eficaz, de una corriente sinusoidal
)
cos(
+
=
t
I
i
m
.
R:
2
=
T
+
=
=
2
0
2
2
0
2
)
(
cos
2
1
1
dt
t
I
dt
i
T
I
m
T
rms
Aplicando la expresión trigonométrica
)
2
cos(
2
1
2
1
cos
2
+
=
:

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
29
+
+
=
2
0
)
2
2
cos(
2
1
2
1
2
dt
t
I
I
m
rms
Teniendo en cuenta que la integral de una función sinusoidal sobre un número entero de
periodos (n=1, 2, 3,...) es igual a cero (en este caso n=2):
m
m
m
rms
I
I
t
I
I
707
,
0
2
4
2
0
=
=
MATLAB:
>> syms Im w zita T t
>> T=2*pi/w;
>> it=Im*cos(w*t+zita);
>> Irms=sqrt(1/T*int(it^2,t,0,T))
Irms =
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
>> simple(Irms)
simplify:
1/2*2^(1/2)*csgn(Im)*Im
radsimp:
1/2*2^(1/2)*Im
combine(trig):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
factor:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
expand:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
combine:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(exp):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(sincos):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(tan):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
collect(Im):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
ans =

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
30
1/2*2^(1/2)*Im
Como se ha demostrado, el valor eficaz de una corriente sinusoidal, es una cantidad real
independiente de la frecuencia, del ángulo de fase y numéricamente igual a
707
,
0
2
1
veces la amplitud de la corriente.
De manera que, una corriente de valor
(
)
A
+
t
cos
2
tiene un valor eficaz de
A
1 y
entregará a cualquier resistencia la misma potencia que le entregaría una corriente
directa de
A
1 .
El factor 2 solo se aplica a señales sinusoidales. El número por el cual debe dividirse
el valor máximo de una función periódica de corriente o voltaje para obtener el valor
eficaz, depende de la forma matemática de la función periódica dada.
Ejemplo 1.13
Calcular el valor eficaz de un voltaje sinusoidal con rectificación de media onda, dado
por:
=
T
t
T
T
t
t
sen
V
t
v
m
2
0
2
0
)
(
)
(
R:
2
=
T
=
T
rms
dt
v
T
V
0
2
1
=
=
0
2
2
2
0
2
)
(
2
1
1
dt
t
sen
V
dt
v
T
V
m
T
rms
Aplicando la expresión trigonométrica
)
2
cos(
2
1
2
1
2
-
=
sen
:
-
=
0
)
2
cos(
2
1
2
1
2
dt
t
V
V
m
rms
Teniendo en cuenta que la integral de una función sinusoidal sobre un período completo
es igual a cero:
2
4
0
m
m
rms
V
t
V
V
=
=
MATLAB:
>> syms T w Vm t

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
31
>> v=Vm*sin(w*t)
v =
Vm*sin(w*t)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vrms=sqrt(1/T*int(v^2,t,0,T/2))
Vrms =
1/2*(Vm^2)^(1/2)
>> simple(Vrms)
simplify:
1/2*csgn(Vm)*Vm
radsimp:
1/2*Vm
combine(trig):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
factor:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
expand:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
combine:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(exp):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(sincos):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(tan):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
collect(Vm):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
ans =
1/2*Vm
Ejemplo 1.14
Calcular el valor eficaz de la corriente periódica con forma de onda diente de sierra de
la figura 1.24.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
32
Figura 1.24:
Corriente con forma de onda diente de sierra.
R:
En este ejemplo se tiene como dato la forma de onda de la corriente periódica, cuya
expresión matemática en función del tiempo (para el primer período) se determina
fácilmente.
T
t
I
i
m
=
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
3
3
1
1
0
3
3
2
0
2
3
2
0
2
2
2
0
2
m
T
m
T
m
T
m
T
rms
I
t
T
I
dt
t
T
I
dt
T
t
I
T
dt
i
T
I
=
=
=
=
=
MATLAB:
>> syms T Im t
>> i=Im*t/T
i =
Im*t/T
>> Irms=sqrt(1/T*int(i^2,t,0,T))
Irms =
1/3*3^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
Teniendo en cuenta que en la expresión
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
, la integral de
2
i representa el
área bajo la forma de onda
2
i , puede emplearse un método gráfico para encontrar el
valor eficaz de cualquier onda periódica i(t), aun cuando no se conozca la función del
tiempo que la describe.
El procedimiento a emplear consta de los siguientes pasos:

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
33
-
Elevar al cuadrado la gráfica de i contra tiempo (en un período).
-
Determinar el área bajo la curva
2
i .
-
Dividir el área entre el período (longitud) de la curva.
-
Determinar la raíz cuadrada del resultado anterior.
Ejemplo 1.15
Calcular el valor eficaz del voltaje con forma de onda cuadrada de la figura 1.25:
Figura 1.25:
Voltaje con forma de onda cuadrada.
R:
La gráfica de
2
v
se muestra en la figura 1.26:
Figura 1.26:
Gráfica de
2
)
(t
v
.
Área bajo la curva
2
v
:
s
V
A
v
2
3
3
3
10
*
32000
10
*
10
*
1600
10
*
10
*
1600
2
-
-
-
=
+
=

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
34
Período (longitud) de la curva:
s
T
3
10
*
20
-
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
2
3
3
1600
10
*
20
10
*
32000
V
=
-
-
Raíz cuadrada del resultado anterior.
V
V
rms
40
1600
=
=
MATLAB:
>> Vrms=sqrt((1600*10*10^-3+1600*10*10^-3)/(20*10^-3))
Vrms =
40
El proceso de determinar el área bajo la curva
)
(
2
2
v
i
, es relativamente fácil para formas
de onda rectangular, triangular y con características similares, donde se emplean para
ello, expresiones simples de geometría.
Para otras formas de onda, diferentes a las señaladas anteriormente y de las cuales
tampoco se conocen las funciones matemáticas que las describen, el área bajo la curva
no puede ser calculada exactamente, en esos casos deben emplearse métodos numéricos
(regla trapezoidal, regla de la ordenada media o regla de Simpson, etc.) para determinar
de manera aproximada el área bajo la curva.
Ejemplo 1.16
Calcular el valor eficaz del voltaje periódico, con la forma de onda que se muestra en la
figura 1.27:
Figura 1.27:
Gráfica del voltaje periódico
)
(t
v
.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
35
R:
Área bajo la curva
2
v (usando la regla de la ordenada media con 5 intervalos, cada uno
de ancho
s
2 ):
s
V
A
v
2
2
2
2
2
2
836
)
5
10
15
8
2
(
*
2
2
=
+
+
+
+
=
Período (longitud) de la curva:
s
T
10
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
2
6
,
83
10
836
V
=
Raíz cuadrada del resultado anterior:
V
V
rms
1433
,
9
6
,
83
=
=
Al usar la regla de la ordenada media con intervalos iguales, el valor eficaz puede
obtenerse directamente mediante:
V
ervalos
de
cantidad
cuadrado
al
medias
ordenadas
V
rms
1433
,
9
5
5
10
15
8
2
int
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
=
=
MATLAB:
>> t=0:10;
>> v=[0 2 5 8 9 15 13 10 8 5 0];
>> plot(t,v,':',t,v.^2,'--')
>> xlabel('t(s)')
>> ylabel('v(V), v cuadrado(V al cuadrado)')
>> title('v(t) y v(t) al cuadrado')
>> grid
>> legend('v','v^2')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.28.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
36
Figura 1.28:
Gráfica de
2
)
(
)
(
t
v
y
t
v
.
Al emplear métodos numéricos, debe tenerse en cuenta que mientras mayor sea el
número de intervalos escogidos, mayor será la precisión del resultado que se obtenga.
Ejemplo 1.17
Calcular el valor eficaz del voltaje, con la forma de onda que se muestra en la figura
1.29:
Figura 1.29:
Señal de voltaje con componentes de CD y CA.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
37
R:
La señal de voltaje mostrada está compuesta por una componente de corriente directa y
una componente cosinusoidal (puede obtenerse prácticamente colocando una fuente de
voltaje de CD y otra de CA en serie, de valores adecuados). Este tipo de señal aparece
con frecuencia en circuitos electrónicos.
La componente de directa tiene un valor de V
6 y la componente alterna tiene un valor
máximo de
V
5
,
1
y por tanto un valor eficaz de
V
V
V
m
rms
CA
0607
,
1
2
5
,
1
2
)
(
=
=
=
.
En casos como este, el valor eficaz de la señal compuesta no es la suma de los valores
eficaces de cada componente, sino que se calcula mediante:
2
)
(
2
rms
CA
CD
rms
V
V
V
+
=
Sustituyendo valores:
V
V
rms
093
,
6
0607
,
1
6
2
2
=
+
=
MATLAB:
>> t=0:0.01:2*pi;
>> vCD=6*ones(size(t));vCA=1.5*cos(t);vresultante=vCD+vCA;
>> plot(t,vCD,'-',t,vCA,':',t,vresultante,'--')
>> legend('vCD','vCA','vresultante')
>> axis([0 2*pi -1.5 7.5])
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('Voltajes vCD, vCA, vresultante')
El gráfico de la señal de voltaje, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 1.30.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
38
Figura 1.30:
Señal de voltaje
V
t
t
v
)
cos(
5
,
1
6
)
(
+
=
.
· Problemas de consolidación
1-9. Determinar el valor eficaz de la señal de voltaje que se muestra en la figura 1.31.
Figura 1.31:
Señal de voltaje.
R:
V
236
,
2
1-10. Determinar el valor eficaz de las señales de corriente: a)
A
t
i
)
30
377
cos(
2
1
+
=
;
b)
A
t
i
)
50
314
cos(
2
2
+
=
; c)
A
t
sen
i
)
50
314
(
2
3
+
=
.
R:
a) A
1 ; b) A
1 ; c) A
1

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
39
1.5 Valores medios de corriente y voltaje
Otro valor empleado con gran frecuencia en diferentes especialidades de la ingeniería
eléctrica, es el valor medio o promedio (average en idioma inglés).
El valor medio o promedio de una corriente alterna periódica, que varía de manera
simétrica por encima (positiva) y por debajo (negativa) del valor cero, cuando se mide
en el intervalo de un período o un número entero de períodos será igual a cero. En estos
casos, los valores promedios (average), se toman sobre un medio ciclo completo en
lugar de sobre el ciclo completo.
Una señal periódica que no varíe simétricamente alrededor del valor cero, tendrá un
valor medio que podrá ser positivo o negativo, de acuerdo al signo resultante de la suma
algebraica de las áreas (áreas por encima del eje cero consideradas positivas y áreas por
debajo del eje cero tomadas como negativas).
La expresión matemática general, que permite calcular el valor medio o promedio de
una corriente o un voltaje periódico dado, se muestra a continuación.
=
T
av
idt
T
I
0
1
Un amperímetro o voltímetro de corriente directa, indicará el valor medio de una señal
periódica de corriente o voltaje respectivamente. En un período de la señal el valor
medio es el valor equivalente de corriente directa.
Ejemplo 1.18
Calcular el valor medio sobre un ciclo completo, de un voltaje sinusoidal
)
cos(
+
=
t
V
v
m
.
R:
2
=
T
0
]
(
[
2
)
cos(
2
1
1
2
0
2
0
0
=
+
=
+
=
=
t
sen
V
dt
t
V
vdt
T
Vav
m
m
T
MATLAB:
>> syms T w Vm t Zita
>> v=Vm*cos(w*t+Zita)
v =
Vm*cos(w*t+Zita)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vav=1/T*int(v,t,0,T)
Vav =

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
40
0
Ejemplo 1.19
Calcular el valor medio sobre un medio ciclo, de un voltaje sinusoidal
)
( t
sen
V
m
.
R:
2
=
T
m
m
m
m
T
V
V
t
V
dt
t
sen
V
vdt
T
Vav
637
,
0
2
)]
cos(
[
)
(
1
2
1
0
0
2
0
=
-
=
=
=
MATLAB:
>> syms T w Vm t
>> v=Vm*sin(w*t)
v =
Vm*sin(w*t)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vav=1/(T/2)*int(v,t,0,T/2)
Vav =
2/pi*Vm
Ejemplo 1.20
Calcular el valor medio de la corriente con forma de onda diente de sierra de la figura
1.32.
Figura 1.32:
Corriente con forma de onda diente de sierra.
R:

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
41
La expresión matemática en función del tiempo (para el primer período) de la corriente
con forma de onda de diente de sierra, se determina fácilmente (ecuación de una línea
recta que pasa por el origen de coordenadas, con una pendiente determinada).
T
t
I
i
m
=
2
2
1
1
0
2
2
0
0
m
T
m
T
m
T
I
t
T
I
dt
T
t
I
T
idt
T
Iav
=
=
=
=
MATLAB:
>> syms T Im t
>> i=Im*t/T
i =
Im*t/T
>> Iav=1/T*int(i,t,0,T)
Iav =
1/2*Im
Teniendo en cuenta que en la expresión
=
T
av
idt
T
I
0
1
, la integral de i representa el área
bajo la forma de onda i , puede emplearse un método gráfico para encontrar el valor
medio de cualquier onda periódica )
(t
i
, aun cuando no se conozca la función del tiempo
que la describe.
El procedimiento es similar al empleado con anterioridad para determinar el valor
eficaz. Las áreas por encima del eje de las abscisas se consideran positivas, mientras que
las áreas por debajo se consideran negativas.
Ejemplo 1.21
Calcular el valor medio del voltaje, con la forma de onda que se muestra en la figura
1.33.
Figura 1.33:
Señal de voltaje
)
(t
v
.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
42
R:
Área bajo la curva v :
s
V
A
v
1
3
*
1
2
*
2
=
-
=
Período (longitud) de la curva:
s
T 5
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
V
A
v
2
,
0
5
1
=
=
MATLAB:
>> t=[0 0 1 2 2 0];
>> v=[0 2 2 2 0 0];
>> fill(t,v,'r')
>> hold on
>> t=[2 2 3 4 5 5 2];
>> v=[0 -1 -1 -1 -1 0 0];
>> fill(t,v,'g')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('Voltaje v(t)')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.34.
Figura 1.34:
Áreas positivas y negativas de la señal de voltaje
)
(t
v
.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
43
El valor eficaz (rms) siempre es mayor que el valor medio (average), excepto para una
onda con forma rectangular, donde estos valores son iguales (valor medio tomado sobre
medio ciclo).
Además del valor máximo, pico a pico, eficaz y medio, de una señal de voltaje
(corriente), en CA se usan frecuentemente relaciones que expresan la proporcionalidad
entre estas magnitudes. Estas relaciones reciben el nombre de factores. Entre estos
factores se encuentran, el factor de pico (cresta) y el factor de forma.
El factor de pico (cresta) es el cociente entre el valor máximo (pico) y el valor eficaz
(rms).
rms
m
V
V
pico
de
Factor
=
El factor de forma es el cociente entre el valor eficaz (rms) y el valor medio.
av
rms
V
V
forma
de
Factor
=
Ejemplo 1.22
Determine los factores de pico y de forma, para una señal de voltaje con forma de onda:
a) sinusoidal; b) diente de sierra.
R:
a)
Para una onda sinusoidal:
41
,
1
2
2
=
=
=
=
m
m
rms
m
V
V
V
V
pico
de
Factor
11
,
1
2
2
2
2
=
=
=
=
m
m
av
rms
V
V
V
V
forma
de
Factor
b)
Para una onda diente de sierra:
73
,
1
3
3
=
=
=
=
m
m
rms
m
V
V
V
V
pico
de
Factor
15
,
1
3
2
2
3
=
=
=
=
m
m
av
rms
V
V
V
V
forma
de
Factor
MATLAB:
>> T=1;w=2*pi/T;Vm=1;
>> t=[0:0.01:1];

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
44
>> v=Vm*sin(w*t);
>> plot(t,v)
>> hold on
>> Vrms=Vm/sqrt(2)*ones(size(t));
>> plot(t,Vrms,'r--')
>> Vav=2*Vm/pi*ones(size(t));
>> plot(t,Vav,'g:')
>> grid
>> legend('v(t)','Vrms','Vav')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v(t), Vrms, Vav (V)')
>> title('Voltaje sinusoidal. Valor eficaz. Valor medio.')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.35.
Figura 1.35:
Valor eficaz y medio de un voltaje sinusoidal.
· Problemas de consolidación
1-11. Determinar el valor medio de la forma de onda de voltaje que se muestra en la
figura 1.36.

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
45
Figura 1.36:
Señal de voltaje.
R:
V
0
1-12. Hallar la lectura de un amperímetro de corriente directa, por el cual circula la
corriente periódica mostrada en la figura 1.37.
Figura 1.37:
Corriente periódica.
R:
A
1
· Problemas de final de capítulo
1. Un voltaje
V
t
sen
t
v
)
(
20
)
(
=
tiene una frecuencia de
Hz
50
. Determinar el
valor de la señal de voltaje, cuando ha transcurrido desde el inicio del ciclo
un tiempo de: a)
ms
5
,
2
; b)
ms
15
.
R:
a)
V
14
,
14
; b)
V
20
-
2. Se desea encontrar el valor de una corriente
mA
t
sen
i
)
1000
(
6
=
en el
instante de tiempo
ms
t 2
=
.
R:
mA
46
,
5

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
46
3. En un circuito de CA el valor máximo del voltaje es
V
200 . Calcular el valor
eficaz del voltaje.
R:
V
4
,
141
4. En un circuito de CA el valor máximo de la corriente es
A
10 . Calcular el
valor medio de la corriente.
R:
A
37
,
6
5. Determinar el período de señales de voltaje con frecuencias de: a)
Hz
60
; b)
kHz
1
.
R:
a)
ms
7
,
16
; b) ms
1
6. Calcular las frecuencias de señales de corriente con períodos de: a)
ms
20
;
b)
s
1
.
R:
a)
Hz
50
; b) MHz
1
7. Un voltaje de CA, tiene un período de
s
01
,
0
y un valor máximo de
V
40 .
Cuando t es igual a cero,
V
v
20
-
=
. Exprese el voltaje instantáneo como
)
cos(
)
(
+
=
t
V
t
v
m
.
R:
V
t
t
v
)
120
200
cos(
40
)
(
-
=
8. La expresión en forma instantánea de una corriente es
A
t
sen
t
i
)
36
,
0
100
(
120
)
(
1
+
=
. Hallar: a) el valor máximo, el período, la
frecuencia y el desfasaje con respecto a
A
t
sen
t
i
100
120
)
(
2
=
; b) el valor de
1
i cuando
0
=
t
; c) el instante de tiempo en que
A
i
60
1
=
; d) el instante de
tiempo en que
1
i
alcanza su primer máximo.
R:
a)
62
,
20
,
50
,
02
,
0
,
120
Hz
s
A
adelantada con respecto a
2
i
; b)
A
3
,
49
;
c)
ms
521
,
0
; d)
ms
85
,
3
9. Obtener el ángulo de atraso de
1
i
con respecto a
1
v
si:
V
t
v
)
40
120
cos(
1
-
=
e
1
i
es igual a: a)
A
t
)
20
120
cos(
5
,
2
+
; b)
A
t
sen
)
70
120
(
4
,
1
-
.
R:
a)
60
-
; b)
120
10. Transforme cada una de las siguientes funciones del tiempo a la forma
fasorial: a)
)
110
580
(
5
-
-
t
sen
; b)
)
110
600
(
5
600
cos
3
+
-
t
sen
t
; c)
)
100
4
(
4
)
30
4
cos(
8
-
+
-
t
sen
t
.
R:
a)
20
5
-
; b)
8
,
134
41
,
2
-
; c)
9
,
47
46
,
4
-
11. Escribir en forma instantánea las corrientes expresadas fasorialmente si la
frecuencia es
Hz
60
: a)
A
I
30
10
=
; b)
A
I
70
115
-
=
R:
a)
A
t
i
)
30
377
cos(
10
+
=
; b)
A
t
i
)
70
377
cos(
115
-
=

Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
47
12. Escribir en forma instantánea el voltaje y la corriente expresados
fasorialmente: a)
V
e
j
V
j
20
8
-
=
; b)
A
j
I
4
3
+
-
=
R:
a)
V
t
t
v
)
70
cos(
8
)
(
+
=
; b)
A
t
t
i
)
87
,
126
cos(
5
)
(
+
=
13. Sean
s
rad /
2000
=
y
ms
t 1
=
. Encuentre el valor instantáneo de cada una
de las siguientes corrientes dadas en forma fasorial: a)
A
j10 ; b)
A
j10
20
+
;
c)
A
j
20
10
20
+
.
R:
a)
A
09
,
9
-
; b)
A
42
,
17
; c)
A
44
,
15
-
14. Expresar en forma instantánea el voltaje
b
a
ent
v
v
v
+
=
, siendo
V
t
v
a
)
30
377
cos(
50
+
=
y
V
t
v
b
)
60
377
cos(
30
+
=
.
R:
V
t
)
17
,
41
377
cos(
45
,
77
+
15. Utilizando el método fasorial (dominio de la frecuencia), determinar el
voltaje )
(t
v
en un circuito, en estado estable sinusoidal, descrito por la
ecuación íntegrodiferencial
)
30
5
cos(
20
10
5
2
-
=
+
+
t
vdt
v
dt
dv
.
R:
V
t
t
v
)
88
5
cos(
12
,
2
)
(
-
=
16. Un voltaje alterno tiene un valor medio (promedio) de V
4 y un factor de
forma de 25
,
1
. Calcular: a) el valor eficaz; b) el valor máximo (amplitud) de
un voltaje sinusoidal que tenga el mismo valor eficaz.
R:
a) V
5 ; b)
V
07
,
7
17. Para el voltaje periódico mostrado en la figura 1.38, hallar: a) frecuencia; b)
valor promedio (
av
V ) en un medio ciclo; c) valor rms; d) factor de pico; e)
factor de forma.
Figura 1.38:
Voltaje periódico.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
48
R:
a)
Hz
50
; b)
V
100 ; c)
V
6
,
114
; d) 75
,
1
; e) 15
,
1
18. Un voltaje está dado por
V
t
sen
v
314
2
.
282
=
. Hallar: a) el voltaje rms; b) la
frecuencia; c) el voltaje para
ms
t 4
=
.
R:
a)
V
200 ; b)
Hz
50
; c)
V
9
,
268
19. Un voltaje de CA se expresa mediante
V
t
sen
v
)
25
,
0
200
(
75
1
-
=
.
Encontrar: a) la amplitud; b) el valor pico a pico; c) el valor eficaz; d) el
período; e) la frecuencia; f) el atraso en grados con respecto al voltaje
V
t
sen
v
200
75
2
=
.
R:
a)
V
75 ; b)
V
150 ; c)
V
53 ; d)
s
01
,
0
; e)
Hz
100
; f)
32
,
14
20. Determinar el valor medio (
av
V ) de la señal periódica de voltaje mostrada en
la figura 1.39.
Figura 1.39:
Señal periódica de voltaje.
R:
V
7
-

49
Capítulo 2. Características V/A de los elementos
del circuito
Introducción
En este capítulo se abordará cómo transformar las relaciones que caracterizan al
resistor, inductor y capacitor, en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Se definen los conceptos de impedancia, reactancia, admitancia y susceptancia para
cada uno de los elementos pasivos, lo cual permitirá dibujar el circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia.
La aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y corrientes fasoriales y las
expresiones de impedancia y admitancia para cada uno de los elementos pasivos,
permitirá resolver circuitos RLC serie, paralelo y mixto.
En el capítulo se muestra que la posibilidad de una representación gráfica de las señales
sinusoidales mediante fasores, permite aplicar diversas propiedades geométricas y
trigonométricas al análisis de circuitos de corriente alterna, desarrollándose los
triángulos de voltajes, corrientes, impedancias y admitancias, de gran utilidad en la
solución de los circuitos de corriente alterna en estado estable sinusoidal.
Finalmente, se demuestra que un circuito (a una frecuencia determinada) formado por la
combinación en serie, de una resistencia y una reactancia, en condiciones de estado
estable sinusoidal, puede ser representado por un circuito equivalente, formado por la
combinación en paralelo de una resistencia y una reactancia (de la misma naturaleza) y
viceversa.
2.1 Características V/A de los elementos del circuito
· El resistor ideal
)
0
(
=
R
L
,
)
0
(
=
R
C
En la figura 2.1, se muestra un resistor ideal
)
(
R
:
Figura 2.1:
Resistor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del resistor de la figura 2.1 se expresa
por:
Ri
v
R
=
Si a través del resistor ideal
)
(
R
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
V
t
V
t
RI
v
Rm
m
R
)
cos(
)
cos(
=
=
, que puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
RI
V
Rm
R
0
=
=
, donde
V
RI
V
m
Rm
=
.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
50
0
=
i
0
=
R
v
0
=
-
i
v
R
La corriente y el voltaje en el resistor están en fase.
La relación V/A en el resistor se define como:
RI
V
R
=
I
V
R
R
=
(resistencia)
La relación V/A en forma fasorial para un resistor, tiene la misma forma que la relación
V/A en el dominio del tiempo.
Al inverso de la resistencia se le denomina conductancia, se simboliza por G y su
unidad de medida es el siemen (S):
S
R
V
I
G
R
1
=
=
Tanto la resistencia como la conductancia, no dependen de la frecuencia angular ( )
.
Ejemplo 2.1
A un resistor de
4
, se le aplica un voltaje
V
t
)
50
100
cos(
8
-
. Hallar la expresión
instantánea de la corriente, trabajando: a) en el dominio del tiempo; b) en el dominio de
la frecuencia.
R:
a)
A
t
t
R
t
v
t
i
)
50
100
cos(
2
4
)
50
100
cos(
8
)
(
)
(
-
=
-
=
=
b)
A
R
V
I
50
2
4
50
8
-
=
-
=
=
Transformando el resultado al dominio del tiempo:
A
t
t
i
)
50
100
cos(
2
)
(
-
=
MATLAB:
a)
>> syms t it vt R
>> vt=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> R=4;
>> it=vt/R
it =
2*sin(100*t+2/9*pi)
>> it=2*cos(100*t+2/9*pi*180/pi-pi/2*180/pi)
it =

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
51
2*cos(100*t-50)
b)
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> R=4
R =
4
>> I=V/R
I =
1.2856 - 1.5321i
>> moduloI=abs(I)
moduloI =
2
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
-50.0000
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vR=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iR=2*cos(100*t-50*pi/180);
>> plot(t,vR,t,iR,':')
>> grid
>> legend('vR','iR')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('vR (V), iR (A)')
>> title('En un resistor ideal el voltaje y la corriente se encuentran en fase')
El gráfico de ambas señales, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.2.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
52
Figura 2.2:
En un resistor puro el voltaje y la corriente están en fase.
>> V=8*exp(-j*50*pi/180)
V =
5.1423 - 6.1284i
>> I=2*exp(-j*50*pi/180)
I =
1.2856 - 1.5321i
>> Fasores=[V I]
Fasores =
5.1423 - 6.1284i 1.2856 - 1.5321i
>> compass(Fasores)
>> title('Fasores de voltaje y corriente en un resistor puro')
El gráfico de fasores, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.3.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
53
Figura 2.3:
En un resistor ideal los fasores de voltaje y corriente están en fase.
· El inductor ideal
)
0
(
=
L
R
,
)
0
(
=
L
C
En la figura 2.4, se muestra un inductor ideal
)
(H
L
:
Figura 2.4:
Inductor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del inductor de la figura, se expresa
por:
dt
di
L
v
L
=
Si a través del inductor ideal
)
(H
L
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
))
cos(
(
)
90
cos(
)
(
))
cos(
(
t
I
L
j
t
LI
t
sen
LI
t
I
dt
d
L
v
m
m
m
m
L
=
+
=
-
=
=
, que
puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
LI
j
V
Lm
L
90
=
=
, donde
V
LI
V
m
Lm
=
.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
54
0
=
i
90
=
L
V
90
=
-
i
V
L
.
El voltaje
L
v
adelanta a la corriente i en
90 .
La relación V/A en el inductor se define como:
LI
j
V
L
=
A la expresión L
, se le llama reactancia inductiva y se simboliza por
L
X
:
=
=
m
Lm
L
I
V
L
X
La reactancia inductiva representa la oposición que una inductancia presenta a la
circulación de corriente alterna sinusoidal.
Al inverso de la reactancia inductiva se le llama susceptancia inductiva y se simboliza
por
L
B
, su unidad de medida es el siemen (S):
S
V
I
L
X
B
Lm
m
L
L
=
=
=
1
1
La impedancia inductiva se define como:
=
=
=
L
L
L
jX
L
j
I
V
Z
Al inverso de la impedancia inductiva se le denomina admitancia inductiva:
S
jB
L
j
L
j
V
I
Z
Y
L
L
L
L
-
=
-
=
=
=
=
1
1
1
Tanto la impedancia (reactancia) como la admitancia (susceptancia) inductivas,
dependen de la frecuencia angular (
)
. La reactancia inductiva es directamente
proporcional a la frecuencia
)
( f
; si la frecuencia se duplica la reactancia inductiva se
duplica. La reactancia inductiva también es directamente proporcional a la inductancia
)
(L . Cuando
0
=
(corriente directa),
0
=
L
X
, lo que significa que un inductor ideal
con una inductancia )
(L , se comporta como un cortocircuito en condiciones de estado
estable en corriente directa.
Analizar un circuito en el dominio del tiempo implica el uso de voltajes
)
(t
v
, corrientes
)
(t
i
, resistencias, inductancias y capacitancias. El análisis en estado estable sinusoidal,
se simplifica enormemente empleando el método fasorial. Para ello debe construirse una
red operacional equivalente, en la cual se utilizan fasores de voltajes, fasores de
corrientes e impedancias, este circuito estará en el dominio de la frecuencia.
Las respuestas obtenidas en el dominio de la frecuencia (
I
V
, ) se transforman
fácilmente al dominio del tiempo (
)
(
),
(
t
i
t
v
), teniendo en cuenta la relación entre el
fasor y la función (cosinusoidal) real del tiempo.
Ejemplo 2.2
A un inductor de H
4
, se le aplica un voltaje
V
50
8
-
, con una frecuencia
s
rad
/
100
=
. Hallar la expresión instantánea de la corriente, trabajando en el
dominio de la frecuencia.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
55
R:
A
j
L
j
V
Z
V
I
L
140
02
,
0
)
4
)(
100
(
50
8
-
=
-
=
=
=
A
t
t
i
)
140
100
cos(
02
,
0
)
(
-
=
MATLAB:
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> ZL=j*100*4
ZL =
0 +4.0000e+002i
>> I=V/ZL
I =
-0.0153 - 0.0129i
>> magnitudI=abs(I)
magnitudI =
0.0200
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
-140
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vL=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iL=0.02*cos(100*t-140*pi/180);
>> plotyy(t,vL,t,iL)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> title('En un inductor ideal el voltaje adelanta a la corriente en 90 grados')
El gráfico que representa el desfase entre el voltaje y la corriente en el inductor ideal,
obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.5.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
56
Figura 2.5:
En un inductor puro el voltaje adelanta a la corriente en 90
o
.
· El capacitor ideal
)
0
(
=
C
R
, )
0
(
=
C
L
En la figura 2.6, se muestra un capacitor ideal
)
(F
C
:
Figura 2.6:
Capacitor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del capacitor de la figura, se expresa
por:
=
t
C
idt
C
v
0
1
(
0
)
0
(
=
C
v
)
Si a través del capacitor ideal
)
(F
C
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
))
cos(
(
1
)
90
cos(
1
)
(
1
)
cos(
1
0
t
I
C
j
t
I
C
t
sen
I
C
dt
t
I
C
v
m
m
m
t
m
C
=
-
=
=
=
, que
puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
I
C
j
V
Cm
C
90
1
-
=
=
, donde
V
I
C
V
m
Cm
1
=
.
0
=
i
90
-
=
C
V
90
-
=
-
i
V
C
.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
57
El voltaje
C
v
atrasa a la corriente i en
90 .
La relación V/A en el capacitor se define como:
I
C
j
V
C
1
=
A la expresión
C
1
, se le llama reactancia capacitiva y se simboliza por
C
X
:
=
=
m
Cm
C
I
V
C
X
1
La reactancia capacitiva representa la oposición, que una capacitancia presenta a la
circulación de corriente alterna sinusoidal.
Al inverso de la reactancia capacitiva se le llama susceptancia capacitiva y se simboliza
por
C
B
:
S
V
I
C
C
X
B
Cm
m
C
C
=
=
=
=
1
1
1
La impedancia capacitiva se define como:
-
=
=
=
C
C
C
jX
C
j
I
V
Z
1
Al inverso de la impedancia capacitiva se le denomina admitancia capacitiva:
S
jB
C
j
V
I
Z
Y
C
C
C
C
=
=
=
=
1
Tanto la impedancia (reactancia) como la admitancia (susceptancia) capacitivas
dependen de la frecuencia angular
)
(
. La reactancia capacitiva es inversamente
proporcional a la frecuencia
)
( f
; si la frecuencia se duplica la reactancia capacitiva
se reduce a la mitad. La reactancia capacitiva también es inversamente proporcional a la
capacitancia
)
(C . Cuando
0
=
(corriente directa),
=
C
X
, lo que significa que un
capacitor ideal con una capacitancia
)
(C , se comporta como un circuito abierto en
condiciones de estado estable en corriente directa.
Ejemplo 2.3
A un capacitor de F
4 , se le aplica un voltaje
V
50
8
-
, con una frecuencia
s
rad /
100
=
. Hallar la expresión instantánea de la corriente, trabajando en el
dominio de la frecuencia.
R:
A
j
CV
j
C
j
V
Z
V
I
C
40
3200
)
50
8
)(
4
)(
100
(
1
=
-
=
=
=
=
A
t
t
i
)
40
100
cos(
3200
)
(
+
=

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
58
MATLAB:
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> ZC=1/(j*100*4)
ZC =
0 - 0.0025i
>> I=V/ZC
I =
2.4513e+003 +2.0569e+003i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(2.4513e+003,2.0569e+003)
angulo =
0.6981
magnitud =
3.2000e+003
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
40.0002
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vC=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iC=3200*cos(100*t+40*pi/180);
>> plotyy(t,vC,t,iC)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> title('En un capacitor ideal la corriente adelanta al voltaje en 90 grados')
El gráfico que representa el desfase entre el voltaje y la corriente en el capacitor ideal,
obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.7.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
59
Figura 2.7:
En un capacitor puro la corriente adelanta al voltaje en 90
o
.
La tabla 2.1 resume las relaciones voltaje ­ corriente para el resistor, inductor y
capacitor.
Tabla 2.1:
Relaciones voltaje ­ corriente en R, L y C.
Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
R
Ri
v
R
=
RI
V
R
=
L
dt
di
L
v
L
=
LI
j
V
L
=
C
=
t
C
idt
C
v
0
1
C
j
I
V
C
=
El análisis anterior, ha permitido obtener las relaciones V/A para los tres elementos
pasivos del circuito, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la
frecuencia. Todas las ecuaciones fasoriales son algebraicas y lineales. La magnitud del
fasor puede representar el valor máximo (pico) o el valor eficaz de la señal sinusoidal
(se emplea uno u otro de acuerdo a las exigencias del problema).
Las ecuaciones para el inductor y el capacitor, guardan una gran semejanza con las de la
ley de Ohm. De hecho, se usan en igual forma en que se manejan las ecuaciones de la
ley de Ohm.
· Problemas de consolidación
2-1. A través de un capacitor conectado a una fuente de alimentación de kHz
1
, circula
una corriente de
A
90
83
,
2
. Determine el voltaje existente entre los terminales de
la fuente.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
60
R:
V
150
2-2. Un voltaje
V
t
v
)
45
60
cos(
12
+
=
, se aplica a un inductor de
H
1
,
0
. Determinar la
corriente de estado estable a través del inductor.
R:
V
t
i
)
45
60
cos(
2
-
=
2-3. Un voltaje
V
t
v
)
30
100
cos(
6
-
=
, se aplica a un capacitor de
F
50
. Determinar
la corriente de estado estable a través del capacitor.
R:
mA
t
i
)
60
100
cos(
30
+
=
2.2 Leyes de Kirchhoff en circuitos de corriente alterna
Los fasores obedecen a las leyes de Kirchhoff. A continuación, se muestran las
expresiones corresponden a las leyes de Kirchhoff, expresadas en el dominio del tiempo
y en el dominio de la frecuencia (fasorial):
Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC):
Dominio del tiempo:
0
1
=
=
K
n
n
i
Dominio de la frecuencia:
0
1
=
=
K
n
n
I
Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV):
Dominio del tiempo:
0
1
=
=
K
n
n
v
Dominio de la frecuencia:
0
1
=
=
K
n
n
V
Las leyes de Kirchhoff se cumplen tanto para valores instantáneos como fasoriales. No
se cumplen para los módulos de los fasores (números complejos) ya que el módulo de
una suma de números complejos es distinto, en general, a la suma de los módulos de
dichos números.
Ejemplo 2.4
En el circuito mostrado en la figura 2.8,
V
t
v
cos
10
1
=
y
V
t
v
)
60
cos(
15
2
+
=
.
Determinar el voltaje v y expresarlo en forma instantánea.
Figura 2.8:
Fuentes ideales de voltaje conectadas en serie.
R:
Expresando fasorialmente los voltajes de las fuentes:
V
V
0
10
1
=

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
61
V
V
60
15
2
=
Aplicando LKV:
0
2
1
=
-
+
V
V
V
V
j
j
j
V
V
V
36
8
,
21
13
5
,
17
)
13
5
,
7
(
)
0
10
(
60
15
0
10
2
1
=
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
Expresando en forma instantánea:
V
t
v
)
36
cos(
8
,
21
+
=
MATLAB:
>> V=solve('10+15*exp(j*60*pi/180)-V=0')
V =
35/2+15/2*i*3^(1/2)
>> V=double(V)
V =
17.5000 +12.9904i
>> magnitudV=abs(V)
magnitudV =
21.7945
>> anguloV=angle(V)*180/pi
anguloV =
36.5868
Ejemplo 2.5
En el circuito que se muestra en la figura 2.9, determinar la corriente
2
I y expresarla en
forma polar.
Figura 2.9:
Circuito LC paralelo.
R:
0
2
1
=
+
+
-
I
I
I
(Aplicando
LKC).
A
I
I
I
180
8
8
10
2
1
2
=
-
=
-
=
-
=

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
62
MATLAB:
>> I=2;
>> I1=10;
>> I2=I-I1
I2 =
-8
>> ParterealdeI2=real(I2)
ParterealdeI2 =
-8
>> ParteimaginariadeI2=imag(I2)
ParteimaginariadeI2 =
0
>> moduloI2=abs(I2)
moduloI2 =
8
>> anguloI2=angle(I2)*180/pi
anguloI2 =
180
· Problemas de consolidación
2-4. En la red mostrada en la figura 2.10:
V
t
sen
v
)
16
(
2
1
=
,
V
t
sen
v
)
90
(
)
24
(
2
2
+
=
y
V
t
sen
v
)
90
(
)
15
(
2
3
-
=
.
Determinar el voltaje de la fuente ( e ) y expresarlo en forma instantánea.
Figura 2.10:
Circuito serie.
R:
V
t
sen
)
4
,
29
(
)
4
,
18
(
2
+
2-5. En el circuito mostrado en la figura 2.11:
mA
t
sen
i
)
23
(
2
1
=
,
A
t
sen
i
)
63
(
)
29
,
0
(
2
2
+
=
e
A
t
sen
i
)
72
(
10
*
)
127
(
2
3
3
-
=
-
.
Determinar la corriente total
T
i
y expresarla en forma instantánea.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
63
Figura 2.11:
Circuito paralelo.
R:
mA
t
sen
)
4
,
35
(
)
238
(
2
+
2.3 Impedancia en el circuito RLC serie
En la figura 2.12 se muestra el esquema de un circuito RLC serie.
Figura 2.12:
Circuito RLC serie.
El voltaje aplicado al circuito es:
V
t
Vm
v
v
)
cos(
+
=
(Expresado en forma instantánea).
V
V
V
v
m
=
(Expresado en forma fasorial).
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes en el campo fasorial:
C
L
R
V
V
V
V
+
+
=
Empleando las relaciones V/A de cada elemento:
)
(
C
L
C
L
jX
jX
R
I
I
jX
I
jX
RI
V
-
+
=
-
+
=
La posibilidad de una representación gráfica de las señales sinusoidales mediante
fasores permite aplicar diversas propiedades geométricas y trigonométricas al análisis
de circuitos de corriente alterna.
Como el voltaje aplicado es la suma fasorial de
R
V
,
L
V
y
C
V , puede dibujarse el
triángulo rectángulo mostrado en la figura 2.13 (considerando que
C
L
V
V ) y teniendo
en cuenta que
R
V
y la corriente I , común a todos los elementos, están en fase.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
64
Figura 2.13:
Triángulo de voltajes.
El triángulo de voltajes de la figura 2.1 corresponde a un circuito predominantemente
inductivo. En el caso de un circuito predominantemente capacitivo,
y
C
L
V
V
+
son
negativos, desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario. En un circuito RLC
serie, los voltajes a través del inductor (
L
V
) y a través del capacitor (
C
V ), se encuentran
desfasados entre sí
180 (en oposición de fase).
La impedancia total del circuito será:
=
=
-
+
=
-
+
=
=
Z
e
Z
X
X
j
R
jX
jX
R
I
V
Z
j
C
L
C
L
)
(
Donde:
2
2
2
2
)
(
X
R
X
X
R
Z
C
L
+
=
-
+
=
(Módulo
de
Z )
R (Parte
real
de
Z ).
X (Parte
imaginaria
de
Z ).
R
X
R
X
X
C
L
i
v
1
1
tan
tan
-
-
=
-
=
-
=
(Argumento
de
Z )
De las expresiones anteriores:
cos
Z
R
=
(Parte real de Z )
sen
Z
X
=
(Parte imaginaria de
Z )
La resistencia R siempre es positiva, pero la reactancia X puede ser positiva o
negativa ya que esta es la suma algebraica de
L
X
y
C
X . Esto implica que el carácter
resistivo, inductivo o capacitivo del circuito, dependerá de los valores relativos de estas
magnitudes.
Carácter resistivo:
C
L
X
X
=
0
=
X
0
=
Carácter inductivo:
C
L
X
X
0
X
0
Carácter capacitivo:
C
L
X
X
0
X
0
Como la reactancia inductiva (
L
X
) y capacitiva (
C
X ) dependen de la frecuencia (
o
f ), si esta cambia, cambian los valores de las reactancias, pudiendo cambiar el carácter
del circuito.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
65
Dividiendo los lados del triángulo de voltajes, entre la corriente
I , común a todos los
elementos, es posible representar las impedancias estudiadas. El triángulo de
impedancias de la figura 2.14 corresponde a un circuito predominantemente inductivo.
En el caso de un circuito predominantemente capacitivo,
y
C
L
X
X
-
son negativos,
desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario.
Figura 2.14:
Triángulo de impedancias.
El ángulo de la impedancia tendrá un valor comprendido entre los límites siguientes:
90
90
-
Los valores extremos de
90 y
90
-
corresponden a un inductor ideal o a un capacitor
ideal respectivamente. Lo anterior implica que el desfasaje entre el voltaje aplicado a un
circuito RLC serie y la corriente que circula por dicho circuito, nunca podrá ser
modularmente mayor que
90 .
De acuerdo al análisis realizado individualmente con el resistor, inductor, capacitor y de
manera general con el circuito RLC serie, la impedancia se define como el cociente
entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial y en cada caso se simboliza con la letra Z .
La impedancia es un término que representa la oposición de un circuito formado por
resistores, inductores, capacitores o algunos de ellos, a la circulación de la corriente
alterna sinusoidal por el mismo. Cuando en un circuito RLC serie, a una frecuencia
determinada, la reactancia inductiva es igual a la reactancia capacitiva, se dice que el
circuito se encuentra en resonancia serie, un fenómeno muy importante en los sistemas
eléctricos.
En general, la impedancia es una cantidad compleja y se expresa en ohm (
). La
impedancia no es un fasor, ya que no representa una cantidad que varía
sinusoidalmente.
En el dominio del tiempo, un inductor se representa por su inductancia ( L ) y en el
dominio de la frecuencia por su impedancia (
L
j
), mientras que un capacitor en el
dominio del tiempo, se representa por su capacitancia ( C ) y en el dominio de la
frecuencia por su impedancia (
C
j
1
). El resistor se representa tanto en el dominio del
tiempo como en el dominio de la frecuencia por su resistencia (
R ).
Un circuito serie se representa fácilmente por una impedancia. La impedancia
equivalente de impedancias conectadas en serie o en paralelo, se obtiene, mediante las
mismas reglas que se emplean para las combinaciones correspondientes de resistencias.
...
2
1
+
+
=
Z
Z
Z
eq
(Impedancias en serie).

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
66
...
1
1
1
2
1
+
+
=
Z
Z
Z
eq
(Impedancias en paralelo).
2
1
2
1
Z
Z
Z
Z
Z
eq
+
=
(Caso especial de dos impedancias en paralelo)
A diferencia de la resistencia equivalente de resistores conectados en paralelo, la
impedancia equivalente de impedancias conectadas en paralelo, puede ser mucho mayor
que cualquiera de las impedancias individuales.
Para analizar un circuito en estado estable sinusoidal en el dominio de la frecuencia
(fasorial), el circuito en el dominio del tiempo, debe ser transformado al dominio de la
frecuencia (voltajes y corrientes expresados fasorialmente, impedancias, admitancias).
Ejemplo 2.6
Determine los valores de la resistencia y la inductancia o capacitancia conectadas en
serie para cada una de las siguientes impedancias: a)
+ 5
12 j
; b)
-
30
10
*
20
,
2
6
.
Considere en cada caso que la frecuencia es de
Hz
50
.
R:
a)
=12
R
=
=
5
2 fL
X
L
mH
H
f
X
L
L
9
,
15
0159
,
0
)
50
(
2
5
2
=
=
=
=
b)
-
=
-
+
-
=
-
=
)
10
*
10
,
1
10
*
905
,
1
(
)]
30
(
)
30
[cos(
10
*
20
,
2
30
10
*
20
,
2
6
6
6
6
j
jsen
Z
=
=
M
R
905
,
1
10
*
905
,
1
6
=
=
6
10
*
10
,
1
2
1
fC
X
C
nF
F
fX
C
C
894
,
2
10
*
894
,
2
)
10
*
10
,
1
)(
50
(
2
1
2
1
9
6
=
=
=
=
-
MATLAB:
a)
>> Z=12+5i
Z =
12.0000 + 5.0000i
>> RXL=[real(Z) imag(Z)]
RXL =
12 5
>> bar(RXL)

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
67
>> set(gca,'XTickLabel',{'Resistencia','Reactancia'})
>> ylabel('\Omega')
>> title('Impedancia 12+j5 \Omega')
El gráfico de barras de la partes real e imaginaria de la impedancia
Z , obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.15.
Figura 2.15:
Gráfico de barras de la partes real e imaginaria de la impedancia
Z .
b)
>> Z=2.20*10^6*(cos(-30*pi/180)+j*sin(-30*pi/180))
Z =
1.9053e+006 -1.1000e+006i
>> RXC=abs([real(Z) imag(Z)])
RXC =
1.0e+006 *
1.9053 1.1000
>> pie(RXC)
>> title('Impedancia (1,905-j1,10)*10^6 \Omega')
El gráfico circular de la parte real e imaginaria de Z, obtenido en MATLAB, se muestra
en la figura 2.16.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
68
Figura 2.16:
Gráfico circular de la partes real e imaginaria de la impedancia Z .
Ejemplo 2.7
Un circuito eléctrico conectado en serie, con una impedancia
- 50
30 j
, es alimentado
por una fuente de
V
240 con una frecuencia de
Hz
50
. Determine: a) la resistencia, b)
la capacitancia, c) el módulo de la impedancia, d) expresar la corriente que circula por
el circuito en forma polar.
R:
a)
-
=
50
30 j
Z
= 30
R
b)
= 50
C
X
fC
X
C
2
1
=
F
fX
C
C
66
,
63
)
50
)(
50
(
2
1
2
1
=
=
=
c)
-
=
-
+
=
-
+
=
-
=
-
-
04
,
59
31
,
58
30
50
tan
50
30
tan
1
2
2
1
2
2
R
X
X
R
jX
R
Z
C
C
C
=
31
,
58
Z
d)

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
69
A
Z
V
I
04
,
59
12
,
4
04
,
59
31
,
58
0
240
=
-
=
=
MATLAB:
d)
>> V=240
V =
240
>> Z=58.31*exp(j*(-59.04*pi/180))
Z =
29.9970 -50.0024i
>> I=V/Z
I =
2.1174 + 3.5295i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(2.1174,3.5295)
angulo =
1.0304
magnitud =
4.1159
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
59.0398
Ejemplo 2.8
El circuito equivalente de un inductor práctico, consiste de un inductor ideal en serie
con un resistor de pequeño valor, que representa las pérdidas en el inductor. Hallar la
impedancia del inductor práctico, cuyo circuito equivalente se muestra en la figura 2.17,
a las frecuencias de: a) Hz
1
; b)
Hz
60
.
Figura 2.17:
Circuito equivalente de un inductor práctico.
R:
R
Z
=
1
L
j
Z
=
2
L
j
R
Z
Z
Z
+
=
+
=
2
1
a)

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
70
=
+
=
+
=
+
=
5461
,
77
6306
,
0
6158
,
0
136
,
0
)
098
,
0
)(
1
(
2
136
,
0
j
j
L
j
R
Z
b)
=
+
=
+
=
+
=
7891
,
89
9454
,
36
9451
,
36
136
,
0
)
098
,
0
)(
60
(
2
136
,
0
j
j
L
j
R
Z
Se observa como el comportamiento del inductor práctico, depende en gran medida de
la frecuencia de trabajo. Mientras mayor es la frecuencia de trabajo, más se aproxima el
comportamiento de un inductor práctico al de un inductor ideal.
MATLAB:
>> f=1:0.001:60;
>> R=0.136;
>> L=0.098;
>> modulodeZ=abs(R+j*2*pi*f*L);
>> semilogx(f,modulodeZ)
>> grid
>> xlabel('f (Hz)')
>> ylabel('|Z| (\Omega)')
>> title('Magnitud de Z al variar f')
El gráfico de la impedancia de un inductor práctico al variar la frecuencia, obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.18.
Figura 2.18:
Impedancia de un inductor práctico al variar la frecuencia.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
71
Ejemplo 2.9
El circuito equivalente de un capacitor práctico, consiste de un capacitor ideal en
paralelo con un resistor de valor elevado, que representa las pérdidas en el capacitor.
Hallar la impedancia del capacitor práctico, cuyo circuito equivalente se muestra en la
figura 2.19, a las frecuencias de: a)
Hz
60
; b)
MHz
800
.
Figura 2.19:
Circuito equivalente de un capacitor práctico.
R:
R
Z
=
1
C
j
Z
1
2
=
CR
j
R
C
j
R
C
j
R
Z
Z
Z
Z
Z
+
=
+
=
+
=
1
1
1
2
1
2
1
a)
-
=
+
=
+
=
-
4805
,
88
)
10
(
6516
,
2
)
10
)(
10
)(
1
,
0
(
60
2
1
10
1
4
6
6
6
j
CR
j
R
Z
b)
-
=
+
=
+
=
-
90
002
,
0
)
10
)(
10
)(
1
,
0
)(
10
(
800
2
1
10
1
6
6
6
6
j
CR
j
R
Z
Se observa cómo el comportamiento del capacitor práctico, depende en gran medida de
la frecuencia de trabajo. Mientras mayor es la frecuencia de trabajo, más se aproxima el
comportamiento de un capacitor práctico al de un capacitor ideal.
MATLAB:
>> f=60:10^3:800*10^6;
>> R=10^6;

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
72
>> C=0.1*10^-6;
>> modulodeZ=abs(R./(1+j*2*pi*f*C*R));
>> semilogx(f,modulodeZ)
>> grid
>> xlabel('f (Hz)')
>> ylabel('|Z| (\Omega)')
>> title('Magnitud de Z al variar f')
El gráfico de la impedancia de un capacitor práctico al variar la frecuencia, obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.20.
Figura 2.20:
Impedancia de un capacitor práctico al variar la frecuencia.
Ejemplo 2.10
En el circuito mostrado en la figura 2.21, hallar: a) la impedancia total (
)
T
Z
; b) I ; c)
R
V
; d)
C
V .

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
73
Figura 2.21:
Circuito RLC serie.
R:
a)
-
=
-
=
-
+
=
+
+
=
45
36
,
35
25
25
225
200
25
3
2
1
j
j
j
Z
Z
Z
Z
T
b)
A
I
45
283
,
0
45
36
,
35
0
10
=
-
=
c)
V
RI
V
R
45
07
,
7
)
45
283
,
0
)(
25
(
=
=
=
d)
V
I
jX
V
C
C
45
67
,
63
)
45
283
,
0
)(
90
225
(
-
=
-
=
-
=
El voltaje en los terminales del capacitor es mucho mayor que el voltaje de la fuente. El
ejemplo muestra que es importante calcular el voltaje a través de los elementos
reactivos, para evitar que se exceda el voltaje máximo permisible de los mismos.
MATLAB:
a)
>> Z1=25;Z2=200i;Z3=-225i;
>> ZT=Z1+Z2+Z3
ZT =
25.0000 -25.0000i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(25,-25)
angulo =
-0.7854
magnitud =
35.3553
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
-45
c,d)
>> Vs=10;VR=7.07*exp(j*45*pi/180);VC=63.67*exp(j*-45*pi/180);
>> Voltajes=[Vs VR VC]
Voltajes =
10.0000 4.9992 + 4.9992i 45.0215 -45.0215i
>> compass(Voltajes)
>> title('Voltajes Vs, VR, VC (V)')

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
74
El gráfico de fasores, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.22.
Figura 2.22:
Voltajes
s
V ,
R
V
y
C
V .
Ejemplo 2.11
Encontrar los valores de
)
(t
v
e
)
(t
i
, en el circuito mostrado en la figura 2.23. Trabajar
en el dominio de la frecuencia (método fasorial).
Figura 2.23:
Circuito RC serie.
R:
s
rad /
4
=
-
=
-
=
=
=
90
5
,
2
5
,
2
)
1
,
0
)(
4
(
1
1
j
j
C
j
Z
C
El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la figura 2.24:

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
75
Figura 2.24:
Circuito en el dominio de la frecuencia.
-
=
5
,
2
5 j
Z
A
j
j
Z
Vs
I
57
,
26
789
,
1
8
,
0
6
,
1
5
,
2
5
0
10
=
+
=
-
=
=
V
IZ
V
C
43
,
63
47
,
4
)
90
5
,
2
)(
57
,
26
789
,
1
(
-
=
-
=
=
Expresando en forma instantánea los voltajes y corrientes fasoriales:
V
t
t
v
)
43
,
63
4
cos(
47
,
4
)
(
-
=
A
t
t
i
)
57
,
26
4
cos(
789
,
1
)
(
+
=
Los archivos script generados en MATLAB se muestran en la figura 2.25.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
76
Figura 2.25:
Archivo script de Matlab.
· Problemas de consolidación
2-6. Determine los valores de la resistencia y la inductancia o capacitancia conectadas
en serie para cada una de las siguientes impedancias: a)
- 40
j
; b)
60
30
.
Considere en cada caso que la frecuencia es de
Hz
50
.
R:
a)
F
C
R
6
,
79
;
0
=
=
; b)
mH
L
R
7
,
82
;
15
=
=
2-7. Una fuente de
V
200 y frecuencia
Hz
50
, alimenta una bobina de resistencia
despreciable e inductancia de
H
15
,
0
, conectada en serie con un resistor de
32
.
Hallar: a) la impedancia del circuito, b) la corriente que circula por el circuito, c) el
voltaje a través del resistor de
32
, d) el voltaje a través de la bobina.
R:
a)
81
,
55
0
,
57
; b)
A
I
81
,
55
51
,
3
-
=
; c)
V
81
,
55
3
,
112
-
; d)
V
19
,
34
3
,
165
2-8. Determinar en el circuito mostrado en la figura: a)
)
(t
v
; b) )
(t
i
.
Figura 2.26: Circuito RL serie.
R:
a)
V
t
sen
)
43
,
63
10
(
236
,
2
+
; b)
A
t
sen
)
57
,
26
10
(
118
,
1
-

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
77
2.4 Admitancia en el circuito RLC paralelo
En la figura 2.27se muestra el esquema de un circuito RLC paralelo.
Figura 2.27:
Circuito RLC paralelo.
La corriente aplicada al circuito es:
A
t
i
i
)
cos(
Im
+
=
(Expresado en forma instantánea).
A
I
I
i
m
=
(Expresado en forma fasorial).
Aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes en el campo fasorial:
C
L
R
I
I
I
I
+
+
=
Empleando las relaciones V/A de cada elemento:
)
(
C
L
C
L
jB
jB
G
V
V
jB
V
jB
GV
I
+
-
=
+
-
=
La admitancia total del circuito será:
S
Y
e
Y
B
B
j
G
jB
jB
G
Z
V
I
Y
j
L
C
C
L
=
=
-
+
=
+
-
=
=
=
)
(
1
Donde:
2
2
2
2
)
(
B
G
B
B
G
Y
L
C
+
=
-
+
=
(Módulo de Y ).
G
(Parte
real
de
Y ).
B (Parte
imaginaria
de
Y ).
G
B
G
B
B
L
C
v
i
1
1
tan
tan
-
-
=
-
=
-
=
(Argumento
de
Y ).
-
=
De las expresiones anteriores:
cos
Y
G
=
(Parte real de Y ).
sen
Y
B
=
(Parte
imaginaria
de Y ).
La conductancia G siempre es positiva, pero la susceptancia B puede ser positiva o
negativa ya que esta es la suma algebraica de
L
B
y
C
B . Esto implica que el carácter,
resistivo, inductivo o capacitivo del circuito, dependerá de los valores relativos de estas
magnitudes.

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
78
Carácter resistivo:
L
C
B
B
=
0
=
B
0
=
Carácter inductivo:
L
C
B
B
0
B
0
Carácter capacitivo:
L
C
B
B
0
B
0
Como la susceptancia inductiva (
L
B
) y capacitiva (
C
B ) dependen de la frecuencia (
o
f ), si esta cambia, cambian los valores de las susceptancias, pudiendo cambiar el
carácter del circuito.
Anteriormente se señaló que la admitancia (en general compleja) de un elemento o rama
que contiene a varios elementos, es el recíproco de la impedancia del elemento o rama
en cuestión.
Cuando la impedancia es puramente real,
0
j
R
Z
+
=
, la admitancia Y , es real e
idéntica a la conductancia G . Cuando la impedancia es un número complejo, la
admitancia también es un número complejo,
jB
G
Y
+
=
.
La conductancia G y la susceptancia B , están relacionadas a la resistencia R y a la
reactancia X , de una forma que no es simplemente un inverso.
2
2
2
2
2
2
*
1
1
1
X
R
X
j
X
R
R
X
R
jX
R
jX
R
jX
R
jX
R
jX
R
Z
Y
+
-
+
=
+
-
=
-
-
+
=
+
=
=
Por tanto:
2
2
X
R
R
G
+
=
2
2
X
R
X
B
+
=
Si la reactancia es inductiva (capacitiva), la susceptancia correspondiente es inductiva
(capacitiva). En general, G no es el recíproco de R , al igual que en general, B no es el
recíproco de X .
Las últimas dos expresiones, permiten obtener con facilidad un circuito paralelo
equivalente (a una frecuencia dada) de un circuito serie. Son muy utilizadas en el
análisis de circuitos en estado de resonancia.
De manera similar a como se llevó a cabo en el circuito RLC serie, en el circuito RLC
paralelo, es posible representar las admitancias estudiadas en un triángulo rectángulo. El
triángulo de admitancias de la figura 2.28 corresponde a un circuito predominantemente
capacitivo. En el caso de un circuito predominantemente inductivo,
y
L
C
B
B
-
son
negativos, desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario.

Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
79
Figura 2.28:
Triángulo de admitancias.
El ángulo de la admitancia tendrá un valor comprendido entre los límites siguientes:
90
90
-
Los valores extremos de
90 y
90
-
corresponden a un capacitor o a un inductor ideal
respectivamente. Lo anterior implica que el desfasaje entre la corriente aplicada a un
circuito RLC paralelo y el voltaje entre los terminales de dicho circuito, nunca podrá
ser modularmente mayor que
90 .
Un circuito paralelo se representa fácilmente por una admitancia, sobre todo cuando
más de dos impedancias están conectadas en paralelo. La admitancia equivalente de
admitancias conectadas en serie o en paralelo, se obtiene, mediante las mismas reglas
que se emplean para las combinaciones correspondientes de conductancias.
...
1
1
1
2
1
+
+
=
Y
Y
Y
eq
(Admitancias en serie).
...
2
1
+
+
=
Y
Y
Y
eq
(Admitancias en paralelo).
2
1
2
1
Y
Y
Y
Y
Y
eq
+
=
(Caso especial de dos admitancias en serie).
La tabla 2.2 resume las expresiones de impedancia y admitancia para el resistor,
inductor y capacitor.
Tabla 2.2
Impedancia y admitancia para los elementos R , L y C .
Elemento Impedancia Admitancia
R
R
Z
=
R
Y
1
=
L
L
j
Z
=
L
j
Y
1
=
C
C
j
Z
1
=
C
j
Y
=

Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
80
El circuito RLC paralelo es el dual del circuito RLC serie.
Ejemplo 2.12
Determine la admitancia, conductancia y susceptancia de las siguientes impedancias: a)
- 5
j
; b)
40
50
.
R:
a)
S
S
j
j
Z
Y
90
2
.
0
2
,
0
5
1
1
=
=
-
=
=
0
=
G
S<