Solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de representaciones icónicas

ÍNDICE

AGRADECIMIENTOS

1. INTRODUCCIÓN

2. PROBLEMA, PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN Y OBJETIVOS

3. MARCO TEÓRICO Y ANTECEDENTES
3.1 Marco teórico
3.1.2 Fundamento psicopedagógico y didáctico
3.2 Antecedentes
3.2.1 La representación icónica y la solución de los sistemas de ecuaciones
3.2.2 Los métodos formales de solución de los sistemas de ecuaciones

4. INNOVACIÓN APLICADA
4.1 Justificación de la innovación
4.2 Características de la innovación

5. METODOLOGÍA
5.1 Contexto de la investigación
5.2 Población - muestra
5.3 Instrumentos de recogida de datos
5.4 Organización de los datos
5.5 Resultados de la diagnosis
5.6 Resultados de la prueba evaluativa
5.7 Categorización de los datos

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
5.1 Análisis descriptivo
5.2 Análisis interpretativo
5.2.1 De la primera sesión
5.2.2 De la sesión evaluativa (sesión 6)

6. CONCLUSIONES
6.1 En relación a los objetivos
6.2 De la pregunta de investigación
6.3 En relación a la metodología
6.4 Implicaciones en relación a la innovación y la investigación
Perspectivas de futuro

7. BIBLIOGRAFÍA

ANEXOS

I PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA DE LA

INNOVACIÓN

II. INSTRUMENTOS DE INVESTIGACIÓN
II.1 Prueba diagnóstica del módulo I
II.2 Sesión # 1 del módulo III
II.3 Sesión # 6 del módulo III

Agradecimientos

- A Dios por darme la inteligencia y la voluntad para superar todos los obstáculos que se me presentaron en el transcurso de esta maestría.

- A mi compañera de vida por el apoyo y comprensión, por muchas noches de descuido de su presencia.

- A mis hijas Xochilt y Grethel, que aunque niñas, con su cariño y presencia alen- taron mi ánimo de superación y por ser la razón de mi vida.

- A mis tutores y asesores Dras. Cecilia Calvo, Edelmira Badillo, Mar Moreno y al Msc. Sergio Vado, en especial a la Dra. Núria Planas que con sus orientaciones y consejos incidieron en mí, para obtener una mejor visión de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

1. INTRODUCCIÓN

Esta memoria contiene los diferentes aspectos de desarrollo y de implementación del trabajo realizado para optar al título de Máster en educación en la especialidad de Matemática en la que participaron 38 estudiantes y maestros observadores del Instituto Nacional Público Maestro Gabriel de la ciudad de Managua.

La investigación realizada corresponde a la inquietud pedagógica de conocer si las actividades diseñadas en la unidad didáctica, en la cual, el uso de íconos se ha to- mado como un recurso didáctico indispensable para el aprendizaje de los procedi- mientos necesarios para la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables, habrán sido las más idóneas para el logro de esta habilidad y por lo tanto determinar si lo han facilitado.

Durante el diseño de la unidad se dio gran relevancia el uso de imágenes (íconos), no solo como un código motivador de los aprendizajes sino también, como un medio de enseñanza que permitiera dentro de las actividades diseñadas, realizar las conexiones matemáticas necesarias para suplir la necesidad de usar el lenguaje algebraico en el planteamiento y solución de los sistemas en cuestión.

Con el uso de los íconos también se pretendió facilitar la traducción del lenguaje normal al lenguaje algebraico para que los alumnos tuvieran una nueva alternativa de solución menos abstracta y más representativa del problema a resolver.

Los apartados que comprende este documento son:

1. Introducción; en la que se brinda información del contenido de la investigación.
2. Planteamiento del problema, pregunta de investigación y objetivos; en el cual se presenta el problema de interés educativo a ser investigado, la pregunta de in- vestigación y los objetivos con los que se concreta.
3. Antecedentes y marco teórico; en cuyo desarrollo se informa de las fases imple- mentadas en la investigación y las bases teóricas que la fundamentan.
4. Metodología; apartado que incluye la información de los procedimientos usados para recolectar la información y su procesamiento.
5. Análisis de resultados; siendo este apartado el más extenso y con el cual se quiere determinar la respuesta a la pregunta de investigación y la consecución de los objetivos mediante el análisis tanto descriptivo como interpretativo de los resultados a los ítems presentados.
6. Conclusiones; en este acápite de la investigación se ofrecen afirmaciones y po- sibilidades de modificación de la teoría en la cual se fundamentó la pregunta de investigación y los objetivos. Se reflexiona sobre otras preguntas surgidas como efecto de los análisis realizados y sobre el impacto metodológico a mediano o largo plazo en la educación nicaragüense derivado de las actividades innovadoras propuestas en este estudio.

2. Problema, pregunta de investigación y objetivos

Dentro del quehacer educativo, se puede decir, en base a más de 22 años de la- bor docente, que un maestro investigador es aquel que constantemente está pendiente de cada respuesta oral o de expresión corpórea que sus alumnos ma- nifiestan ante las diferentes situaciones de aprendizaje que se les plantean, iden- tifica todas las variantes a las mismas y valora las condiciones en las que se ge- neran, las prevé, las compara con otras realidades y las analiza a fin de obtener insumos para redirigir, reformar o reorientar los procesos educativos, antes, du- rante y después de la clase.

De acuerdo a lo expresado, “Por medio de mis prácticas de enseñanza, mis lecturas y trayectoria científica…he ido creciendo como formadora al investigar sobre mi propia práctica profesional”. (Planas, 2012: pp.117-118)

Además, un maestro investigador considera las diferencias individuales de sus alumnos, sus capacidades diferentes, intereses y realidad socioeducativa por esto se puede decir que “Un planteamiento inclusivo de la educación - y de la escuela, por lo tanto - es necesario, y lo es para todos. Lo es, por supuesto, en primer lugar para alumnos con capacidades diferentes, que tienen algunas <<diferencias>> más acentuadas”. (Pujolàs, 2008: p.35)

Por lo anterior, dentro del presente estudio, la pregunta de investigación y los objetivos que se han planteado son los siguientes:

¿Favorece el aprendizaje de los procesos formales de solución de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, el uso de la representación icónica? Si es así, ¿cómo los favorece?

1. Identificar estrategias iniciales de los alumnos en la solución de los siste- mas de ecuaciones lineales con dos variables mediante íconos.
2. Identificar estrategias posteriores, más formales, de estos alumnos en la solución intuitiva de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
3. Comparar las estrategias intuitivas y las formales, identificadas.
5 Trabajo de investigaci ó n
4. Analizar la apropiación de procedimientos algebraicos de solución de sis- temas de ecuaciones.

3. Marco teórico y antecedentes

3.1 Marco teórico

En los siguientes sub-apartados se consideran el fundamento ontológico, se- miótico epistemológico, psicopedagógico y didáctico del objeto matemático en es- tudio (Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas), cuyo contenido es el siguiente.

3.1.1 Referente ontológico, semiótico y epistemológico

El objeto matemático de este informe, así como cualquier otro tuvo su origen y evolución de los métodos de solución a medida que se fue considerando un ente matemático con sus propiedades, procedimientos de resolución, características y significancia epistemológica al considerar su surgimiento dentro de un contexto social dinámico y evolucionante en la medida en que la ciencia matemática esta- blecía sus reglas, definiciones, teoremas y principios que la rigen. Tal como plan- tea Godino (2003):

El fin específico de la didáctica de las matemáticas como campo de investi- gación es el estudio de los factores que condicionan los procesos de ense- ñanza y aprendizaje de las matemáticas y el desarrollo de programas de mejora de dichos procesos. Para lograr este objetivo, la didáctica de las matemáticas debe considerar las contribuciones de diversas disciplinas como la psicología, pedagogía, filosofía, sociología, etc. (Godino, 1991). Además debe tener en cuenta y basarse en un análisis de la naturaleza de los contenidos matemáticos -a los que se ha de problematizar-, su desarro- llo cultural y personal, particularmente en el seno de los sistemas didácti- cos. Este análisis ontológico y epistemológico es esencial para la didáctica de las matemáticas ya que difícilmente podría estudiar los procesos de en- señanza y aprendizaje de objetos difusos o indefinidos.

Así pues, la investigación en didáctica de la matemática no puede ignorar cuestiones filosóficas tales como:

- ¿Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos?
- ¿Qué papel juegan la actividad humana y los procesos socioculturales en el desarrollo de las ideas matemáticas?
- ¿Las matemáticas se descubren o inventan?
- ¿Las definiciones formales y los enunciados de las proposiciones agotan el significado integral de los conceptos?
- ¿Cuál es el papel que juegan en el significado de los objetos matemáticos, sus relaciones con otros objetos, las situaciones problemáticas en las cuales se usan como herramientas? (pp.14-15)

Como se señaló antes, en cuanto a la evolución de los procedimiento de solución del ente mencionado, una evidencia de formas no contemporá- neas de solución de los sistemas de ecuaciones a partir de resolver una ecuación lineal como requisito previo a la solución de estos sistemas, es el método usado en la antigüedad conocido como “El método de la doble fal- sa posición” en el cual se identifica la aplicación de propiedades de la igualdad necesarias hoy para la solución de los sistemas de ecuaciones.

De acuerdo a Socas, Camacho, Palarea y Hernández (1996), el método es el si- guiente:

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Una aproximación histórica más apegada a la solución de los Sistemas de Ecua- ciones Lineales con dos incógnitas se encuentra en las contribuciones matemáti- cas sobre este tema de algunos pueblos como los babilonios, hindúes, egipcios y griegos cuyos aportes matemáticos fueron ampliados y recopilados por los ára- bes.

En tiempos antiguos los sistemas de ecuaciones eran resueltos por los babilonios usando palabras como: longitud, anchura, área o volumen para llamar así a la in- cógnita sin que en la realidad estas palabras hicieran referencia a medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

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Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podría ser anchura =20, longitud =30 (Socas, 1996: p. 61)

Esta visión de interpretación de las ecuaciones por medio del uso de vocablos se evidenció aún más en el trabajo del gran matemático árabe Abu Abdallah Muḥammadibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yāffar) en su “Tratado de algebra”. “ El au- tor del tratado del álgebra (siglo XIV) estableció 25 reglas para resolver ecuacio- nes de los primeros cuatro grados…Resolvió las primeras 22 ecuaciones aplicando transposición de términos signo”)…” (Malisani, 1999: p.15)

(esto es, “cambiar de lado, cambiar de En otro momento, la búsqueda de la simplificación en los planteamientos de pro- blemas, para su posterior solución trajo como consecuencia la introducción en el siglo XVI del “Algebra Nueva” por François Viéte quien fue el primero en introdu- cir letras como variables iniciando así una transformación sobre los planteamien- tos de las ecuaciones generadas en la interpretación de problemas, la cual preva- lece hasta nuestros días, surgiendo con esto una visión didáctica del trabajo cien- tífico metodológico en los Sistemas de Ecuaciones Lineales al usar letras como variables.

Según Gómez (1989):

Franciscus Vieta soluciona,…, uno de los problemas más curiosos de la historia del álgebra: la utilización de un mismo simbolismo para representar dos objetos que juegan, en una ecuación, dos papeles distintos: la incógnita y los valores dados.

…Vieta propone el uso de un mismo símbolo para ambos conceptos: las primeras letras del abecedario, de las cuales las vocales simbolizarían las incógnitas y las consonantes los valores dados. (p.9)

En el ejemplo tomado de “las tablillas de Babilonia”, se nota que la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales, en sus inicios se realizó mediante el em- pleo de palabras y otras formas de comunicación como jeroglíficos o símbolos (no necesariamente lingüísticos) en la cual no existía la obligatoria necesidad de hacer uso de lo que hoy llamamos variable. Una muestra, de acuerdo a Boyer (1994), de estos símbolos y jeroglíficos son los mostrados en la siguiente imagen donde se presenta la traducción jeroglífica del Papiro de Moscú.

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Imagen #1.Reproducción (arriba) de un fragmento del Papiro de Moscú que presenta el problema de un tronco de pirámide cuadrada, junto con su transcripción al jeroglífico (abajo).

Además Boyer describe que el sistema de numeración jeroglífico egipcio estaba estructurado en base numérica 10 y afirma que los números los formaban:

… utilizando un sencillo esquema iterativo y con ayuda de un conjunto de símbolos distintos…Un palote vertical aislado representa una unidad, un arco se usa para el 10, una especie de lazo que recuerda una C mayúscula representa el 100, una flor de loto para el 1000, un dedo doblado para el

10.000, un tipo de pez parecido a una lota para 100.000 y una figura hu- mana de rodillas y con los brazos por alto (quizá una especie de Dios de lo infinito) para representar el 1.000.0000. Repitiendo convencionalmente es- tos símbolos puede escribirse, por ejemplo, el número 12.345, de la forma

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A veces los dígitos aparecen ordenados de menor mayor o de izquierda a derecha y otras veces en columna verticalmente… (pp. 30-31)

De acuerdo a Dancing, citado por Gómez (1989) en la historia del álgebra se pueden apreciar tres momentos, a saber:

A) Un álgebra terminológica, que se caracterizaba por la ausencia total de símbolos y solo se recurría al lenguaje natural para el planteamiento y solución de las ecuaciones, como por ejemplo, la ecuación a+b = b+a se formulaba en lenguaje escrito con la expresión; “la suma es independiente del orden de los términos”.

B) Un álgebra sincopada, que se usaba por los egipcios e hindúes, entre otros, y se caracteriza por la abreviación del lenguaje corriente llegando incluso a perder su origen, a tal punto que el símbolo correspondiente no tenía nada que ver con la operación que representaba, de esta forma, la palabra sincopada se transformaba en símbolo. Por ejemplo, lo que ocurrió con los símbolos = y+-, los cuales eran expresados durante largo tiempo en su forma latina como “p” y “m”.

C) Un algebra simbólica, que se fue desarrollando progresivamente hasta culminar con Franciscus Vieta quien a partir del siglo XVI propuso el uso de letras para re- presentar los objetos matemáticos.

Ubicando este estudio, en épocas recientes, hubo una corriente matemática llamada “matemática moderna”, que de acuerdo a Gil y Guzmán (1993), indican que:

El movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la «matemática moderna» tra- jo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su talante profundo como en los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las principales característi- cas del movimiento y los efectos por él producidos se pueden contar los siguientes:

- Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, especialmente en álge- bra.
- Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos.
- Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor es fácilmente alcanzable.
- La geometría elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento. La geometría es, en efecto, mucho más difícil de fundamentar rigurosamente. (pp. 64-65)

Como se puede entender, la “matemática moderna” limitó el uso de la creatividad y sumergió al alumno en ejercitaciones tediosas, algorítmicas y mecanicistas alejándolo de poder desarrollar una lógica matemática que resultara de la reflexión propia y cons- ciente de su entorno sobre las alternativas a seguir en la solución de los problemas. “Lo que sucedió es de todos conocidos la lógica derivó en logicismo y se quiso com- prenderlo todo. Se llegó a situaciones un tanto curiosas, en las que se consideraba más importante comprender la lógica de un algoritmo que saber aplicarlo.” (Callejo, 2010: 23)

Contrariamente a los planteamientos de la “matemáticas modernas” uno de los enfo- ques en que se basa esta investigación es la “matematización”, es decir pensar mate- máticamente, en los diferentes aspectos de la realidad social y científica de tal manera que se logre un aprendizaje significativo, sustentado en el desarrollo de las ideas intui- tivas que poseen los alumnos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables que luego le permitan evolucionar en su pensamiento matemático, sin hacer uso necesariamente de variables para lograr una solución satisfactoria al problema.

No está demás tener en cuenta que la resolución de problemas implicados en todos los sistemas de ecuaciones juega un papel importante en el logro de competencias matemáticas que conllevan al individuo a adquirir una educación matemática que le permitirá el desarrollo pleno de sus capacidades y por ende contribuirá como individuo al desarrollo social (MINED, 2009).

De esta forma, la resolución de problemas empleando Sistemas de Ecuaciones Li- neales con dos variables, constituye un elemento sumamente importante para la educación del ciudadano tanto en su carácter personal como científico y social ya que mediante esta competencia podrá obtener las habilidades y destrezas necesarias para ser una persona competente en sus actividades laborales, sociales y familiares, en- tendiéndose como Competencia Matemática de acuerdo a la OCDE (2006):

… una capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempe- ñan las matemáticas en el mundo que los rodea, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivos . ( p. 74)

3.1.2 Fundamento psicopedagógico y didáctico

El facilitar a los alumnos la representación icónica de los sistemas de ecuaciones permite mayor asequibilidad al desarrollo de los procesos cognitivos ya que estimula los procesos intuitivos, como plantea Piaget (1983):

…Con los comienzos del pensamiento representativo, y sobre todo con los procesos del pensamiento intuitivo, la inteligencia llega ser capaz de evocar los objetos ausen- tes y, por consiguiente, de fijar su atención en realidades invisibles, pasadas y, en parte, futuras. Pero ella no procede todavía sino por figuras más o menos estáticas, imágenes semiindividuales, semigenéricas en el caso del preconcepto, configuracio- nes representativas de conjunto siempre mejor articuladas, en el periodo intuitivo, pe- ro siempre figuras…el pensamiento intuitivo proporciona un mapa de lo real…(pp. 165 -166)

También afirmaba en cuanto al tanteo y la estructuración que:

Si ni el hábito ni la inteligencia pueden explicarse por un sistema de coordinaciones asociativas correspondientes a relaciones ya dadas en la realidad externa, sino que ambos suponen una actividad del sujeto, ¿no consiste la interpretación más simple en reducir esta actividad a una serie de ensayos que se despliegan al azar (es decir sin relación directa con el medio) pero seleccionados poco a poco gracias a los éxitos o fracasos a que ella llega?... (p.126)

Consistente con las condiciones psicológicas de los alumnos con los cuales se llevó a cabo esta investigación se consideró el desarrollo de la conducta y la inteligencia. De acuerdo a Piaget (1991), en el proceso de desarrollo de éstas, se distinguen seis etapas. De ellas se valoran en esta investigación, las siguientes:

a) La cuarta etapa de la inteligencia intuitiva (de los dos a los siete años) que se carac- teriza por la manifestación de sentimientos interindividuales y por relaciones de sumi- sión al adulto.

b) La quinta (de los siete a los once-doce), corresponde a la de las operaciones con- cretas (inicio de la lógica) y de los sentimientos morales y sociales de cooperación.

c) La sexta es la etapa de las operaciones intelectuales abstractas (la adolescencia) que se caracteriza por la formación de la personalidad.

En referencia a la intuición, el autor expresaba

A la intuición, que es la forma superior de equilibrio que alcanza el pensamien- to característico de la primera infancia, corresponden las operaciones en el pen- samiento ulteriores a los siete años…Existen operaciones lógicas, como de las que está compuesto un sistema de conceptos o clases (reunión de individuos) o de re- laciones, operaciones aritméticas (suma, multiplicación, etc., y sus inversas),…

Una operación es pues, en primer lugar, psicológicamente, una acción cualquiera (reunir individuos o unidades numéricas, etc.), cuyo origen es siempre motriz, perceptivo o intuitivo. Estas acciones que están en el punto de partida de las operaciones tienen, por tanto como raíces, por sí mismas, esquemas sensorio-motores y experiencias efectivas o mentales (intuitivas) y constituyen, antes de convertirse en operatorias, la materia misma de la inteligencia sensorio-motriz y, posteriormente, de la intuición… (p. 67)

Por lo anterior, también se partió de las ideas intuitivas de los alumnos por consi- derarse las más simples, para luego orientarlos hacia la comprensión y apropia- miento de la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógni- tas.

El conocimiento de las características anteriores, indicadas por Piaget, permite ubicar dentro de la psicología del desarrollo del pensamiento de los alumnos, la etapa que le corresponde y valorar las condiciones conductuales y cognoscitivas de los discentes lo que permite tener una visión del estado que se encuentra en la evolución del pensamiento y además categorizar su aprendizaje.

De acuerdo a Godino, Batanero, y Font, (2003), también se debe de estar claro que en el manejo de las variables, el desarrollo del lenguaje algebraico, el gene- ralizar y formalizar reglas, elementos propios del razonamiento algebraico, se de- be de tomar en cuenta el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para la co- municación del pensamiento algebraico ya que no hay un área de las matemáti- cas en los que tales elementos no sean centrales, por lo que dentro de esta in- vestigación se valoró adecuadamente el lograr que los alumnos alcanzasen di- chas competencias .

Otro elemento tomado en cuenta, en el contexto de este trabajo, ha sido el aprendizaje cooperativo. Como señala Pujolàs (2011):

En un aula transformada en una pequeña comunidad <<comunidad de aprendizaje>>, organizada en equipos cooperativos de trabajo, más o me- nos estables, los alumnos y alumnas aumentan su protagonismo y partici- pan de una forma mucho más activa en el proceso de enseñanza aprendi- zaje y en la gestión en la clase, y comparten con el profesorado las res- ponsabilidades de enseñar, también ellos, a sus propios compañeros. Esto los convierte en sujetos mucho más autónomos… (pp. 137-138)

También, se ha considerado la autorregulación de los aprendizajes como un me- dio de reflexión que le permite al alumno ser autodidacta y tomar las dediciones, en cuanto a su aprendizaje, que mejor se adapte a sus intereses y procesos del pensamiento.

Según Torrano y González (2004):

El aprendizaje autorregulado es una fusión de skill y will, de destreza y vo- luntad. El estratégico es aquel que ha aprendido a planificar, controlar y evaluar sus procesos cognitivos, motivacionales/afectivos, comportamenta- les y contextuales; sabe cómo aprende, está automotivado, conoce sus po- sibilidades y limitaciones y, en función de ese conocimiento, controla y re- gula sus procesos de aprendizaje para adecuarlos a los objetivos de las tareas y al contexto, optimizar su rendimiento y mejorar sus habilidades mediante la práctica. (p. 23)

Así también, de las corrientes didácticas tomadas como referencia, se consideró la teoría de aprendizaje de Ausubel (1973) que con sus planteamiento de aprendizaje significativo, hizo poner atención a aquellos procesos de enseñanza aprendizaje en que para obtener conocimientos, sólidos y perdurables en el tiempo debería de tomarse en cuenta la realidad externa de los alumnos, sus intereses, la aplicación de los conocimientos de manera que éstos sean significativos y sobre todo sus ideas previas, tal como planteaba:

Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría éste: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto, y enséñese en consecuencia. (Ausubel, 1993, p.1)

En este trabajo de investigación, se valora además de las apreciaciones de los personajes anteriores, una teoría que trata ahora de dar respuestas a las dificultades educativas como es el modelo constructivista y la enseñanza aprendizaje basada en competencias.

Como plantean Coll, Mauri, Miras, Solé y Zabala (1993):

…desde la concepción constructivista se asume que en la escuela los alumnos aprenden y se desarrollan en la medida que pueden construir sig- nificados adecuados en torno a los contenidos que configuran el currículum escolar. Esa construcción incluye la aportación activa y global del alumno, su disponibilidad y conocimientos previos en el marco de una situación in- teractiva, en la que el profesor actúa de guía y mediador entre el niño y la cultura… (p.15)

A manera de complemento de la visión constructivista de los aprendizajes la aceptación de un currículum basado en competencias¹ predomina en las corrientes pedagógicas actuales . Tal como plantea Sol, Jiménez y Rosich (2007), en cuanto a los proyectos matemáticos realistas:

Nuestra hipótesis es que, en los proyectos matemáticos realistas (PMR), se perciben tres grandes grupos de competencias:

Razonamiento y pensamiento matemático. Modelización y resolución de problemas.

Comunicación (que reúne consigo la representación, simbolización, formalización, y uso de herramienta o instrumentos). (p. 48)

3.2 Antecedentes

No cabe duda, de la posibilidad de que alguna de las estrategias e ideas imple- mentadas en este trabajo ya hayan sido sugeridas, exploradas o aplicadas en otros contextos socioeducativos. Los siguientes párrafos se refieren a esto.

Por ejemplo, Socas, Camacho, Palarea y Hernández (1996) en su libro “Iniciación al álgebra” sugieren y plantean tareas que han sido retomadas o modificadas, adaptándolas a este trabajo. El modelo de la balanza para la solución de Siste- mas de Ecuaciones Lineales es notorio en la propuesta didáctica sobre la ense- ñanza de su solución y sirvieron de punto de partida en la realización de la diag- nosis durante el primer módulo de este máster conteniendo ésta un primer ítem con este modelo.

También en dicha diagnosis, se les propuso a los alumnos tres ejercicios más en los cuales se exploraba el desarrollo del lenguaje algebraico, pensamiento lógico e intuitivo para la solución de los problemas presentados con el fin de obtener una visión de la situación matemática del alumnado respecto a la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables. (ver anexo II.1)

Los últimos dos párrafos resumen el trabajo realizado durante el primer módulo de este máster “Diagnosis del punto de partida del alumnado para el aprendizaje de un tema de Matemáticas” en compañía del Lic. René Ramírez quedando después este estudio en forma individual.

En el segundo módulo se elaboró la unidad didáctica y se pusieron en práctica dos de las actividades con el fin de realizar una pre experimentación de las situa- ciones didácticas diseñadas y realizar posteriores ajustes para determinar su per- tinencia y validez.

Algunas actividades de la unidad didáctica del módulo dos estaban enfocadas, en promover el desarrollo del lenguaje algebraico y la solución de ecuaciones linea- les requiriendo la aplicación de las propiedades de la igualdad. Para esto se usó representaciones icónicas y el modelo de la balanza. Además se les presentaban a los alumnos problemas de lógica para que superaran las dificultades detecta- das en estos tópicos durante el primer módulo del máter ya que se valoró, en ese momento, que serían útiles para el aprendizaje de la solución los Sistemas de Ecuaciones lineales con dos variables.

Mediante las reflexiones y valoraciones realizadas durante el tercer módulo del máster, se llegó a la conclusión de que, a pesar de que la propuesta de actividades era adecuada para el desarrollo de la unidad didáctica, no era la secuencia didáctica más o menos idónea para la enseñanza aprendizaje del ente en estudio ya que se dedicaban dos sesiones para el desarrollo y afianzamiento de las habilidades y conocimientos señalados en el párrafo anterior.

En la primera sesión de clase (sesión de diagnosis) del módulo tres, durante la puesta en práctica de la unidad didáctica, además del modelo mencionado se usaron las representaciones icónicas para darle solución a los sistemas de ecuaciones, tanto para la representación inicial de los mismos, como para la apropiación de los procesos de solución auxiliándose de dicha representación, previamente al de las variables. (ver anexo II.2)

De acuerdo con Meavilla (1995), algunas recomendaciones para el estudio de los sistemas de ecuaciones en alumnos de segmento educativo 14-16 son: “Tableros de ecuaciones y balanzas para la comprensión del concepto de ecuación para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de ecua- ciones lineales” (p.104)

Según Rojano (1994, p.49), “…un común denominador es la ausencia de méto- dos algebraicos en respuestas de los alumnos entre 12 y 16 años de edad”. También plantea que los estudiantes no logran integrar los dos aspectos de su conocimiento; el manejo sintáctico del álgebra y la resolución de problemas la cual está condicionada por la posibilidad de construir una semántica de los signos y de las operaciones algebraicas. Aspecto que se tomó en cuenta en esta inves- tigación.

Por lo anterior, durante el módulo tres, se reelaboró la unidad didáctica realizando cambios significativos en las sesiones de clases (se narran en los párrafos si- guientes), dedicándolas exclusivamente a contener una secuencia didáctica, en la que el eje primordial de las actividades, solo estaban enfocadas a la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables. Dicha secuencia par- te del uso de una sesión de diagnosis con la utilización de un Sistema de Ecua- ciones Lineales con representación icónica y otro sistema haciendo uso del mo- delo de la balanza. (ver anexo I)

En la sesión número dos, se presentaron a los alumnos tres sistemas de ecua- ciones representados icónicamente, para que luego tradujeran al lenguaje natural la situación presentada y posteriormente al lenguaje algebraico, solicitándoles además la solución de los mismos y la explicación de los procedimientos em- pleados, fue una sesión en la que las representación icónica de los sistemas de ecuaciones constituyó el punto de partida para las siguientes sesiones de la uni- dad.

En la sesión tres, se adaptó a la representación icónica, la propuesta didáctica de Socas y otros (1989) en la que hace uso de recursos visuales como líneas verticales y cuadros, para representar un sistema de ecuaciones lineales y los procesos de solución a la vez que se traducen al lenguaje algebraico.

En la actividad diseñada para la sesión se orientó la completación de las ecuaciones algebraicas e icónicas que surgían como consecuencia matemática del proceso de solución del sistema de manera que el alumno pudiera deducir la correcta al relacionarlas entre ellas. A continuación se les propuso la solución de dos sistemas de ecuaciones, dados icónicamente, pidiéndoles su solución algebraica y la explicación de sus procesos empleados.

La sesión cuatro presentó el reto a los alumnos, de que dado un Sistema de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas con representación algebraica y otro con representación icónica, realizaran los proceso de representarlos en forma algebraica, el icónico, y determinar su solución y dado el icónico representarlo en forma algebraica y darle solución. Se solicitó, en otro punto de la sesión, que redactaran un problema y formaran el sistema de ecuaciones ya sea con íconos o con variables para determinar la respuesta al mismo.

Durante la sesión cinco, se propuso a los discentes la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales con representación icónica para que lo representaran y le dieran solución algebraica. Luego se les propuso tres Sistemas de Ecuaciones, siempre lineales, con representación algebraica para que determinaran su solución, culminando la sesión con dos problemas en los que el estudiante debía formar el Sistema de Ecuaciones dejándolos en libertad de realizar los procedimientos que consideraran más adecuados para resolverlo.

[...]

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¹ Niss (1993) en Goñi (2011) define competencia como: “Poseer habilidad para comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una gran variedad de situaciones y con- textos intra y extra matemáticos y situaciones en las que las matemáticas juegan o pueden tener un protagonismo”. (p. 80)