Alternative Rechenverfahren. Welche gibt es und was sind ihre Vor- und Nachteile (im Unterricht)?


Facharbeit (Schule), 2017
43 Seiten, Note: 1

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abstract

Vorwort

1. Einleitung

2. Begriff der Rechenverfahren und ihres Algorithmus
2.1. Beispiel eines Rechenverfahrens anhand des Heron-Verfahrens

3. Rechenverfahren im österreichischen Schulsystem
3.1. Internationale Abweichungen

4. Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel
4.1. Multiplikation von Zahlen, die mit der Ziffer 5 enden
4.2. Errechnung der kubischen Wurzel von Kubikzahlen
4.3. Russische Bauernmultiplikation (Verdopplungs-Halbierungsmethode)
4.4. Vedische Multiplikation
4.5. Japanische Multiplikation

5. Alternative Rechenverfahren mit Hilfsmittel
5.1. Graphisches Multiplizieren mithilfe einer Parabel
5.2. Logarithmentafel und der Briggsscher Logarithmus
5.3. Rechenschieber
5.3.1. Entwicklung des Rechenschiebers
5.3.2. Aufbau eines Rechenschiebers
5.3.3. Funktionsweise eines Rechenschiebers
5.3.4. Verschiedene Skalen eines Rechenschiebers

6. Mathematiktestung an einer österreichischen Volksschule
6.1. Experimentsaufbau
6.1.1. Gruppenzusammenstellung
6.1.2. Russische Bauernmultiplikation
6.1.3. Japanische Multiplikation
6.2. Ergebnis des Experiments
6.3. Nachbesprechung des Experiments

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Anhang

Abstract

Schon in der Schule wird uns Österreichern beigebracht, nach einer bestimmten „Mustervor­lage" zu rechnen. Diese sogenannten „Standardverfahren" helfen uns ein Leben lang, bei ma­thematischen Problemen von A nach B zu gelangen. Was den Schülern aber gerne verschwiegen wird: Die Mathematik erlaubt uns, andere Rechenwege zu verwenden, um dasselbe Ergebnis zu erhalten. Solch alternative Rechenverfahren gibt es reichlich und in verschiedensten Ausführun­gen. Jede hat ihre Vor- und Nachteile und nutzt die Regeln der Mathematik auf unterschied­lichste Weise aus. In dieser vorwissenschaftlichen Arbeit (VwA) werden einige der bekanntesten alternativen Rechenverfahren genau beschrieben und die Vormachtstellung der Standardver­fahren näher ergründet. Zudem geben ein Experiment und ein Expertengespräch Ausblick über einen möglichen Einsatz zweier alternativer Rechenverfahren im Unterricht

Vorwort

Die alternativen Rechenverfahren lernte ich erstmals während eines Ferialpraktikums im Som­mer 2015 kennen, als mein damaliger Arbeitskollege Dominik Hilgartner, welchen ich an dieser Stelle besonders danken möchte, mir die Japanische Multiplikation näherbrachte. Bis dahin war mir nie richtig bewusst, dass andere Menschen auch „anders" rechnen. Für mich galt bis dahin immer der Merksatz: „Mathematik ist überall gleich". Dass das aber eben nicht der Fall ist und die Mathematik zumindest in der Ausführung einen sprachenähnlichen Charakter besitzt, ver- anlasste mich dazu, tiefer in die Materie einzutauchen

Mein ausdrücklicher Dank gilt vor allem meinem VwA-Betreuer, Herrn Professor Peter Fleißner, für seine Mithilfe und Ausbesserung von Fehlern, egal ob inhaltlicher oder grammatikalischer Art. Weiters danke ich Lukas Egger für seine Unterstützung beim Erstellen einiger Grafiken und Professor Ernst Hofer für die Beantwortung meiner kleineren inhaltlichen Fragen. Nicht zuletzt gebührt noch meinem ehemaligen Volksschullehrer, Herrn Dieter Walcher, vollster Dank, dass er mir seine 4. Klasse für das Experiment und sich selbst für ein Expertengespräch zur Verfügung gestellt hat

1. Einleitung

Es ist schwieriger zu erklären, was alternative Rechenverfahren nicht sind, anstatt eine makel­lose Begriffsdefinition zu verfassen (siehe mehr unter „Begriff der Rechenverfahren..."). Sie sind keine Rechentricks, sondern legitime, alternative Methoden, um ein mathematisches Problem zu lösen. Die vorliegende vorwissenschaftliche Arbeit befasst sich vor allem mit den multiplika­tiven Alternativverfahren, den Logarithmentafeln und den Rechenschiebern.

Von der Arbeit ausgeschlossen sind mathematische Zufälle wie beispielsweise.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder andere Verfahren, die nur eine äußerst begrenzte Einsatzfähigkeit vorweisen - zum Bei­spiel Division durch 19 oder Division durch 13.

Außerdem möchte ich darauf hinweisen, dass alle im weiteren Verlauf angeführten Rechenver­fahren als Algorithmus in einem Computerprogramm darstellbar sind, aus Platzgründen wird darauf aber nicht näher eingegangen.

In dieser Arbeit werden überwiegend die mathematischen Hintergründe der einzelnen Metho­den erklärt und die Vor- bzw. Nachteile hervorgehoben. Die selbst auserkorenen alternativen Rechenverfahren (insgesamt neun an der Zahl) wurden nach zuvor erklärten Kriterien ausge­wählt.

Daraus ergibt sich folgende Fragestellung:

> Welche alternativen Rechenverfahren gibt es und was sind ihre Vor- und Nachteile (im Unterricht)

Der Anhang „im Unterricht" wurde deshalb gewählt, weil diese vorwissenschaftliche Arbeit ein Experiment und ein Expertengespräch an einer österreichischen Volksschule beinhaltet.

2. Begriff der Rechenverfahren und ihres Algorithmus

Die schriftlichen Rechenverfahren sind eine Art Routenplaner, ein Rezept, eine definierte Me­thode, oder mathematisch ausgedrückt, ein Algorithmus bzw. ein normiertes Lösungsverfahren mit dem Ziel, eine bestimmte Aufgabe möglichst genau und effizient zu erledigen. (vgl. Löscher 2007; S. 5|Winter 2001)

Eine Definition des Algorithmus lieferte der Mathematiker Dähn folgendermaßen:

„Ein Algorithmus dient dazu, alle Aufgaben eines bestimmten Typs zu lösen. Es ist ein Verfahren, das durch endlich viele Anweisungen beschrieben wird. Dabei ist jede Anweisung eindeutig, d.h. wenn zwei verschiedene Personen eine Anweisung befolgen, erhalten sie stets das gleiche Ergebnis. Jeder Algorithmus ist im Blick auf einen Anwendungsbereich konstruiert." (Dähn 1974; S. 12)

Die schriftlichen Rechenverfahren lassen sich in der Beziehung nicht nur mit dem Algorithmus gleichsetzen, sie übernehmen auch dessen Charaktereigenschaften.

Algorithmen zeichnen sich durch insgesamt sechs Eigenschaften aus. (vgl. Agnieszka Czernik 2016)

> Eindeutigkeit → Ein Algorithmus darf keinen Widerspruch beinhalten

> Ausführbarkeit → Jeder Einzelschritt muss ausführbar sein

> Finitheit (Endlichkeit) → Die Anzahl der Einzelschritte muss ungleich да sein

> Terminierung → Der Algorithmus muss ein Ende haben und ein Ergebnis liefern

> Determiniertheit → Gleichen Startbedingungen müssen zum gleichen Ergebnis führen

> Determinismus → Jeder Einzelschritt hat höchstens einen Folgeschritt

Ohne diese sechs Regeln wäre es zumindest für ein Programm bzw. eine Maschine unmöglich, einen Algorithmus auszuführen. Menschen besitzen dagegen eine herausragende Interpretati­onsfähigkeit, eine Gabe, die den Maschinen (bis jetzt noch) gänzlich fehlt. Darum ist der Mensch nicht in einem derartigen Ausmaß von Algorithmen abhängig. Wäre ein uns aufgegebener Algo­rithmus fehlerhaft oder gänzlich neu, so könnten wir ihn trotzdem sinngemäß verstehen (inter­pretieren) und eine Ergebnisprognose ausstellen.

Der Einfachheit halber bevorzugen Menschen eindeutige und verständliche Algorithmen (Anlei­tungen). In vielen Bereichen des Alltags existieren derartige Algorithmen in Textform und erfül­len meist keinen mathematischen Zweck (bspw. Anleitung für Backrezepte). Nichtmathemati­sches wird dann oft in Schritten (Schritt 1, Schritt 2 usw.) oder in Diagrammen (Bspw. vgl. Fluss­diagramm Abb. 2) gegliedert und erklären die Vorgangsweise ausschließlich mit Text.

Mathematiker lehnen sprachlich basierte Algorithmen eher ab und legen starken Wert auf ma­thematische Formeln, welche typischerweise mit wenig Text und Erklärung modifiziert werden.

2.1. Beispiel eines Rechenverfahrens anhand des Heron-Ver- fahrens

Heron von Alexandria beschrieb im 1. Jahrhundert n. Chr. in seinem Buch „Metrika" (Buch der Messung) ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln. Das später nach ihm benannte Heron-Verfahren baut auf die Erkenntnisse der Babylonier auf, welchen es bereits 1700 v. Chr. möglich war, einen Algorithmus zur Lösung von quadratischen Gleichungen zu de­finieren. (vgl. Ziegenbalg 2016; S. 55)

Mit dem Heron-Verfahren kann man folgendes Problem näherungsweise lösen:

Algebraische Problemdarstellung: Die Zahl a sei gegeben. Gesucht werde nun eine Zahl b, wel­che mit sich selbst multipliziert die Gleichung b2 = a erfüllt. Konkret will man daraufhin einen Wert für die Gleichung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ermitteln.

Man darf annehmen, dass die Intention des Mathematikers Heron jenes mathematische Prob­lem zu lösen, weniger algebraischer als vielmehr geometrischer Natur war. Nicht zuletzt, da He­ron von Alexandria sich intensiv mit Flächen- bzw. Landschaftsvermessung beschäftigt hat. Da­her lässt sich das Heron-Verfahren dementsprechend geometrisch interpretieren.

Geometrische Problemdarstellung: Man will die Seitenlänge b eines Quadrats mit dem Flächen­inhalt A ermitteln. (Der Flächeninhalt A stellt dabei das Pendant zur Zahl a aus der algebraischen Problemdarstellung dar)

Falls b keine Quadratzahl ist, sprich eine Zahl aus der Menge N (allgemein Z), so gestaltet sich die Suche nach der Seitenlänge schwieriger, da ansonsten ein Wert aus den irrationalen Zahlen (M\Q) benötigt wird. Ohne elektronisches Hilfsmittel ist es dem Laien in der Regel nicht möglich (abgesehen vom reinen Raten), die Quadratwurzel/Seitenlänge zu bestimmen.

Man wähle deshalb zuerst etwas leichter konstruierbares, beispielsweise ein Rechteck mit einer Breite von 1, einer Länge von b und dem Flächeninhalt A (siehe Abb. 0). Das Ziel soll es sein, dieses Rechteck zu einem Quadrat zu formen. Um dies zu bewerkstelligen, definiert man eine Seite des Rechtecks als arithmetisches Mittel der Seiten des Ausgangsrechtecks. Die zweite Seite wird anschließend so angepasst, dass sich der Flächeninhalt a nicht verändert. (vgl. Ziegenbalg 2016; S. 56)

Mittels diesen Parametern kommt man zu den beiden Formeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wiederholt man denselben Prozess mehrfach, so bekommt man das allgemeine Iterationsver­fahren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dieser Beschreibung gilt der Algorithmus als anwendbar.

Überprüfung der Anwendbarkeit des Heron-Verfahrens durch die Ermittlung der[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Näherung mit der Eingrenzung [a; b]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Überprüfung mit dem Taschenrechner:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Vergleich mit dem errechneten Wert nach Heron:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Bereits nach nur 4 Rechenschritten kann man die Wurzelzahl auf drei Dezimalen genau ermit­teln. Abbildung 0 setzt das Heron-Verfahren in einen geometrischen Kontext.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 0: Geometrische Annäherung der[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Mit folgendem Code kann man das Heron-Verfahren beispielsweise in C++ anwenden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Cpp-Quelldatei des Heron-Verfahrens. Mit einem kompatiblen Programm (Bspw. Visual c++) kann man ein iteratives Verfahren ausführen, (vgl. Ν lob)

3. Rechenverfahren im österreichischen Schulsystem

Im Bildungs- und Lehrplan des Bundesministeriums für Bildung (BmB) in Österreich wird den Schülern bis zum Ende der 3. Schulstufe (entspricht der 3. Klasse Volksschule) die Beherrschung des schriftlichen Rechnens mit den Grundrechnungsarten abverlangt. Besonderes Augenmerk legt das Unterrichtsministerium dabei auf den additiven und multiplikativen Bereich. Addition und Subtraktion sollte dennoch unter Benützung des Ergänzungsverfahrens, auch Österreichi­sche Methode (Austrian method) genannt, im dreistelligen Zahlenbereich beherrscht werden. Bei der Multiplikation und der Division wird vorerst nur mit einstelligem Multiplikator bzw. Divi­sor gerechnet. (vgl. BmB 2003; S. 10)

Die österreichische Bundesbehörde räumt den schriftlichen Rechenverfahren damit eine ge­wisse Vormachtstellung ein. Dadurch stimmt das österreichische System mit den gängigen eu­ropäischen Vorstellungen im Bereich der Mathematikdidaktik überein, besonders mit jenen aus Deutschland. Dort wurden bereits Ende des 20. Jahrhunderts in Fachbüchern in Summe vier Re­chentypen mit ihrer jeweiligen Wertigkeit angegeben. (vgl. Plunkett 1987; S. 21 |Krauthausen 1993; S. 2,3)

Folgende vier Rechentypen werden nach Plunkett (1987; S. 43-46) definiert:

> Kopfrechnen (Alle Lösungsansatz, Rechenschritte etc. finden im Kopf statt; Verzicht auf schriftliche Notizen)

> Halbschriftliches Rechnen (Notlösung für denklastigere Rechnungen; Zwischenschritte und Teilergebnisse werden notiert)

> Schriftliche Rechenverfahren (Das Ergebnis wird mittels algorithmisch definierten Re­geln mathematisch korrekt ermittelt; Dritte können Rechenschritte in der Regel nach­vollziehen)

> Taschenrechner

In Österreich zeigt sich ein deutliches Bestreben, die Schüler vom Bereich des Kopfrechnens zum Bereich des schriftlichen Rechenverfahrens zu geleiten. Da junge Schüler aufgrund ihrer kogni­tiven Kapazitäten nicht in der Lage sind, sofort algorithmisch zu denken, wird in österreichischen Volksschulen zunächst Kopfrechnen mit den Grundrechnungsarten gelehrt. Zumeist geschieht dies auf spielerische Weise oder durch diversen Aktionen mit dem Ziel, den Ehrgeiz der Schüler zu wecken (siehe Einmaleins-Führerschein). Im Zahlenbereich von 1 bis 100 kann der Schüler problemlos alle vier Grundrechenarten im Kopf anwenden und üben. Wird der Zahlenbereich allerdings auf 1 bis 1000 expandiert, so stoßen vor allem Schüler der dritten Schulstufe auf ihre Grenzen und greifen selbstständig auf die halbschriftliche Rechentechnik zurück. Ob das öster­reichische Unterrichtsministerium dies befürwortet, bleibt offen. In offiziellen Dokumenten wird das Kopfrechnen und das halbschriftliche Verfahren jedenfalls nicht erwähnt, lediglich die Be­herrschung der schriftlichen Normalverfahren ist im österreichischen Lehrplan vorgeschrieben. (vgl. BmB 2003; S. 8) Anzunehmen ist daher, dass es den Lehrern freisteht, welche Rechentypen erlaubt sind. Theoretisch sind Volksschullehrer also dazu befugt, Taschenrechner oder Ähnliches im Unterricht einzusetzen.

Volksschullehrer wie zum Beispiel Herr Walcher (vgl. Expertengespräch) halten dem entgegen und finden, dass der Taschenrechner (zumindest in Volksschulen) nur aus Jux verwendet werden sollte.

Wieso also setzt man in Volksschulen angesichts der jüngsten digitalen Revolution nicht auf elektronische Hilfsmittel (vorzugsweise auf Rechenprogramme) und vernachlässigt die drei rest­lichen, mühsamen Rechentechniken? Dass im Unterricht Kopfrechnen und halbschriftliche Ver­fahren angesichts der wachsenden Anforderungen an das Gehirn irgendwann obsolet werden, ist unumstritten.

Der Grund, warum Lehrer dennoch die schriftlichen Algorithmen den vergleichsweise einfache­ren Computerprogrammen vorziehen, liegt einigen Experten zufolge in der allgemeinen traditi­onellen Sichtweise.

„Wenn für Mathematiklehrer in der Grundschule das Reizwort „Taschenrechner" in die Dis­kussion eingebracht wird, kann man oft mit Empörung und Ablehnung rechnen. [...] Ver­stärkter Taschenrechnereinsatz wird gleichgesetzt mit „weniger Rechnen" [...] darum gehen die Befürchtungen bis hin zur Angst, potentielle Zukunftschancen der Schülerinnen und Schüler zu beschneiden." (Krauthausen 1993; S. 3)

Andere wiederum schreiben den schriftlichen Rechenverfahren reale Ursachen für ihre domi­nierende Position zu. Begriffe wie Effizienz und Allgemeinheit werden gerne genannt. Zum bes­seren Verständnis soll hierbei ein Vergleich zwischen Mensch und Maschine dienen. Gleiche Al­gorithmen können so konzipiert werden, dass sie sowohl vom Menschen als auch von Maschi­nen gleich erfasst und erfolgreich ausgeführt werden können. Dass Letzteres imstande ist, einen Algorithmus zu „verstehen", lässt darauf schließen, dass schriftliche Rechenverfahren in der Ma­thematik gänzlich ohne menschlicher Beurteilung (Emotion) funktioniert. Ergo: Es sollte einem Menschen nicht möglich sein, Algorithmen falsch zu interpretieren, wenn selbst Maschinen ohne jeglicher Erfahrung oder Einsicht in die zugrundeliegende mathematische Struktur dazu in der Lage sind.

Genau darum ist für Leute vom Fach das schriftliche Verfahren die „Krönung" des Mathematik­unterrichts. Sie wirken eleganter (weil optimierter und ökonomischer) und vor allem „mathe­matischer" als eine lieblose Eingabe in ein Rechenprogramm. (vgl. Krauthausen 1993; S. 5)

Algorithmen brauchen jedoch ein „Medium" - maßgeschneidert für den Anwender - um die Information zu übermitteln. Für Maschinen bietet sich idealerweise der Binärcode an, Menschen hingegen sind auf Anweisungen in Textform angewiesen. Abbildung 2 zeigt, wie ein solcher men­schengerechter Algorithmus aufgebaut sein kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: „schriftlicher" Algorithmus für Menschen. Hier wird Schritt für Schritt erklärt, wie man eine Multiplikation ausführt. (vgl. Grote)

3.1. Internationale Abweichungen

Seit mehreren Jahrzehnten gilt Österreich als ein Einwanderungsstaat, wodurch auch die Bevöl­kerungszahl massiv stieg. Trotz Integrationsmaßnahmen kann die Herkunft des Kindes im Ma­thematikunterricht zu Problemen führen. Die kulturelle Vielfalt hat dazu geführt, dass sich in anderen Staaten andere Rechenverfahren entwickelt haben beziehungsweise zumindest leichte Abweichungen. Eingewanderte Eltern, die ihren Kindern bei den Hausaufgaben helfen wollen, wenden logischerweise lieber ihre eigenen ländertypischen Verfahren an. Für den Minderjähri­gen eine äußerst verwirrende Situation.

In Europa unterscheidet sich zum Glück ausschließlich die Notationsform (Schreibweise)

Jene vier Schreibweisen für die Grundrechnungsarten (siehe Abb. 3) sind für den Staat Öster­reich gültig:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Notationsform der Standardverfahren in Österreich

Internationale Gepflogenheiten bei der Notation der Multiplikation...

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gonas, Gürsoy)

4. Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel

Darunter versteht man alle Verfahren, die im Kopf oder auf dem Papier durchführbar sind und von unseren Standardverfahren abweichen. Nicht inkludiert sind leichte Abwandlungen der No­tationsform, weswegen alternative Rechenverfahren im Bereich der Addition und Subtraktion gänzlich wegfallen.

4.1. Multiplikation von Zahlen, die mit der Ziffer 5 enden

Diese Methode verfügt selbst im Internet über einen eher geringen Bekanntheitsgrad. Nicht etwa, weil sie nichts taugt, sondern weil sie eher als „Rechentrick" abgestempelt wird. (Was eigentlich nicht der Fall ist) Unter vifer Ausnutzung geltender mathematischer Rechenregeln, ist es dem Benutzer möglich, größere Zahlen einfacher im Kopf zu multiplizieren. Vorausgesetzt beide Zahlen a und b enden auf die Zahl 5. (Bspw. 35 * 75)

Im Grunde geht man so vor:

1. Schritt: Nimm die Einerstellen der Zahl weg (Z ^ E; H ^ Z usw.)
2. Schritt: Addiere das Produkt und das arithmetische Mittel der verbleibenden Ziffern (leading numbers)
3. Schritt: Multipliziere das Ergebnis zuerst mit 100, anschließend addiere 25 Verfahren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dasselbe Verfahren lässt sich für beliebig große Zahlen anwenden, solange die richtigen Grund­konditionen gegeben sind. Für viele mag diese Technik nun ein mathematisches „Phänomen" darstellen. Der mathematische Beweis durch Termumformung beseitigt aber meist alle Zweifel.

Mathematischer Beweis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Koeffizient 10 steuert die Zehnerstelle, die Zahl 5 wird nach der Addition zur Einerstelle. x und y können mit allen Zahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen N (für Ъ müsste man Be­träge verwenden) besetzt werden. Die oben verwendete Gleichung 145 * 385 = ? kann unter Besetzung von x = 14 und y = 38 ausgedrückt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

Ende der Leseprobe aus 43 Seiten

Details

Titel
Alternative Rechenverfahren. Welche gibt es und was sind ihre Vor- und Nachteile (im Unterricht)?
Note
1
Autor
Jahr
2017
Seiten
43
Katalognummer
V367388
ISBN (eBook)
9783668458468
ISBN (Buch)
9783668458475
Dateigröße
1313 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Alternative Rechenverfahren, Rechenschieber, Logarithmus, Logarithmentafel, Vedische Multiplikation, Russische Bauernmultiplikation, Schule, Mathematik, Japanische Multiplikation, Graphisches Multiplizieren
Arbeit zitieren
Andreas Egger (Autor), 2017, Alternative Rechenverfahren. Welche gibt es und was sind ihre Vor- und Nachteile (im Unterricht)?, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/367388

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