Mathematik und Statistik für Ökonomen

Mathematik an der DHBW


Script, 2018
107 Pages

Excerpt

Inhalt

Vorwort

1. Mathematik
1.0. Zur Bedeutung der Mathematik in den Wissenschaften
1.1. Elementare Funktionen
1.1.1. Der Funktionsbegriff
1.1.2. Lineare Funktionen
1.1.3. Ganzrationale Funktionen
1.1.4. Die Hyperbel
1.1.5. Die Exponentialfunktionen
1.1.6. Die Umkehrfunktion
1.2. Einführung in die Infinitisimalrechnung
1.2.1. Der Grenzwert
1.2.2. Elementare Differentialrechnung
1.2.3. Grundbegriffe der Integralrechnung
1.2.3.1. Das unbestimmte Integral
1.2.3.2. Das bestimmte Integral

2. Statistik
2.0. Zur Bedeutung der Statistik
2.1. Grundlagen der Deskriptiven Statistik
2.2. Elementare Mengenlehre
2.3. Wahrscheinlichkeiten
2.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.5. Einführung in die Kombinatorik
2.6. Die Binomialverteilung
2.7. Die Normalverteilung

Vorwort

Der vorliegenden Monographie liegen je zwei dreißigstündige Vorlesungen in Mathematik und Statistik an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg zugrunde. Primäres Ziel war es hierbei, sowohl die allgemeine Bedeutung der Mathematik für die theoretischen Wissenschaften, als auch diejenige der Statistik für die empirischen Wissenschaften exemplarisch zu verdeutlichen.

Allerdings sind in der Ökonomie, im Gegensatz zu der Physik, die theoretischen mathematischen Erkenntnisse nicht direkt übertragbar auf die Realität. Während in der Physik die mathematische Theorie und die empirische Erfahrung praktisch kongruent sind, ist dies in der Ökonomie im Allgemeinen nicht der Fall. Oft wirken hier mathematische Modelle gekünstelt und haben mit der tatsächlichen Erfahrung wenig bis nichts gemein, was nicht selten zu einem Misstrauen gegenüber der Mathematik in der Ökonomie geführt hat.

Dennoch gilt auch für die Ökonomie, was Kant im Zusammenhang mit der Naturlehre sagt, dass nämlich hier „nur soviel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden kann, als darin Mathematik anzutreffen ist“ (Kant). Denn auch die Ökonomie basiert auf einer Theorie, will zu allgemeingültigen Aussagen kommen und kausale Zusammenhänge erfassen. Derartige logische Aussagen haben aber ihr Fundament in der Mathematik.

Speziell können wir viele Denkschemata, die wir bereits im Alltag unklar verwenden und die in der Wissenschaft einen präzisen Sinn erhalten, gerade in Mathematik prägnant und klar formulieren. So zum Beispiel den Zusammenhang von Sachverhalten durch die Funktion, das Schema der Proportionalität bei der Linearen Funktion, die Änderung durch den Differentialquotienten, um nur einige zu nennen. Des Weiteren sehen wir an einem Schaubild unmittelbar die relevanten Zusammenhänge. An diesem Leitfaden orientiert sich die vorliegende Abhandlung.

Wir haben gesehen, dass zwischen der theoretischen Erkenntnis und der praktischen Erfahrung eine nicht zu überwindende Kluft besteht. Wesentliche Aufgabe der Statistik ist es nun, diesen Hiatus in eine berechenbare Wahrscheinlichkeit zu transformieren. Erst dann dürfen wir berechtigt von einer empirischen Erfahrung reden.

Wegen der fundamentalen Bedeutung der Statistik ist es vom praktischen Interesse her durchaus gerechtfertigt, wenn die Prüfung an Hand normierter Tabellen schematisch erfolgt, wie übrigens auch in den Ingenieurwissenschaften oft nicht anderes vorgegangen wird. Für den Hochschulunterricht kann ein derartiges Vorgehen nach dem Prinzip eines Kochrezeptes jedoch nicht genügen.

Natürlich ist es weder im vorgegebenen Rahmen, noch im Sinne der allgemeinen Zielsetzung, sinnvoll, hier mit aller mathematischer Strenge vorzugehen. Demzufolge wurde hier versucht, ein Mittelweg zwischen formaler Exaktheit und anschaulicher Darstellung einzuschlagen, wobei trotz dieses Kompromisses der Student erkennen kann, wie hier der Weg zu der fundamentalen Normalverteilung führt. Dieselben Überlegungen waren im Übrigen auch analog für das Vorgehen in der Mathematik leitend.

Ich danke meinem Freund und Kollegen, Herrn Studienrat Dorsch, für seine Mitarbeit und Hilfe bei der Erstellung des Manuskriptes, sowie der Dualen Hochschule Heilbronn, dass sie es ermöglicht hat, das angesprochene Konzept in der Vorlesung zu realisieren.

Flein, im Juni 2017

1. MATHEMATIK

„Die Frage, wie natürliche, ‚verworrene‘ Erfahrungen zu wissenschaftlichen Erfahrungen werden, wie es zu objektiv gültigen Erfahrungsurteilen kommen kann, ist die methodische Kardinalfrage jeder Wissenschaft“ (Edmund Husserl)

1.0. ZUR BEDEUTUNG DER MATHEMATIK IN DEN WISSENSCHAFTEN

„Die mathematische Form der Behandlung bei allen streng entwickelten Theorien (im eigentlichen Sinne des Wortes) ist die einzige wissenschaftliche, die einzige welche systematische Geschlossenheit und Vollendung, welche Einsicht über alle möglichen Fragen und Formen ihrer Lösung bietet“ (Edmund Husserl)

Haben wir zu einem Problem eine Meinung, so können wir nicht wissen, wie unser Gegenüber hierüber denkt. Selbst in vielen Wissenschaften, sind hier oft mehrere Ansichten möglich. Welche Folgen können sich zum Beispiel aus einer Änderung des Wechselkurses ergeben, wie wirken sich neue Lehrmethoden auf den Lernerfolgt aus und viele andere mehr?

In der Mathematik ist so etwas jedoch nicht möglich. Egal zu welcher Zeit, an welchem Ort, wer die Gesetze der Mathematik kennt, kann in einer mathematischen Frage stets nur eine Antwort geben: 2 + 2 = 4. Egal ob er die Regeln kannte oder nicht, auch für einen Steinzeitmenschen galt, dass bei einem Dreieck in der Ebene die Winkelsumme stets 180o beträgt. Wenn ein Marsmensch je auf der Erde landen wird, so wird auch für ihn 17 eine Primzahl sein.

Somit ist die Mathematik die einzige Wissenschaft in der die objektive Wahrheit herrscht. Diese wird durch die konsequente Anwendung der Logik garantiert, diese bildet sozusagen das Gerüst, auf dem die Mathematik aufbaut. Somit ist für ‚Exaktes Wissen‘ notwendige Bedingung, dass wir es in der Sprache der Mathematik darstellen können. Hinzu muss aber auch noch das ‚Verstehen‘ der jeweiligen Aussagen hinzukommen. Oft eines der schwierigsten Probleme.

Wir müssen unsere obige Behauptung etwas einschränken. Tatsächlich gibt es eine weitere Wissenschaft, die ebenfalls die Kriterien des ‚Exakten Wissens‘ erfüllt, die Theoretische Physik. Auch sie baut auf der axiomatischen Methode der Logik auf, wir kennen beispielsweise alle die drei Newton‘schen Axiome auf denen die Mechanik ruht. Warum wir allerdings die Mathematik in der physischen Realität wiederfinden ist eines der großen Rätsel. „Das Unerklärlichste an der Natur ist, dass wir sie überhaupt verstehen können“, sagt Albert Einstein. „Warum können wir uns bei der Naturbeschreibung der Mathematik bedienen, ohne den dahinter befindlichen Mechanismus zu beschreiben? Niemand weiß es“, meint Richard Feynman. Denn Mathematik und Natur gehören zwei völlig verschiedenen Dimensionen an: Die Mathematik ist im rein geistigen, dem ideellen beheimatet, während die Natur der ‚res extensia‘ (Descartes), der materiellen Außenwelt angehört.

Dennoch wurde, aufgrund ihrer überragenden Erfolge, die Physik zum Vorbild für nahezu alle anderen Wissenschaften. Da die Mathematik diese Erfolge garantierte, war es nun naheliegend, dass diese auch für die anderen Wissenschaften leitend sein sollte. War die mathematische Anwendung jedoch in der Physik schon äußerst problematisch, alleine der Erfolg rechtfertigte sie, so bedarf es hier bei den anderen Wissenschaften erst recht einer ausführlichen Rechtfertigung.

Diese dürfte für die Ökonomie, soweit das Rechnungswesen im weitesten Sinne angesprochen ist, im wesentliche unstreitig sein. Problematischer sind die Verhältnisse in der theoretischen Volkswirtschaftslehre. Diese kann weder in einem widerspruchsfreien Axiomensystem dargestellt werden, noch wird hier die Realität im exakten Sinne durch die mathematische Theorie abgebildet. Beispielsweise kann man in manchen Lehrbüchern lesen, ein Haushalt rechne mit einer exakt definierten Indifferenzkurve, wo dann auf deren Grundlage mit Hilfe einer Lagrangefunktion dessen Nutzenmaximum präzise errechnet wird. Hier wird eine Genauigkeit vorgetäuscht, die es so nicht gibt. Kein Haushalt dürfte je eine derartige Rechnung durchgeführt haben, weder in der Vergangenheit noch in der Gegenwart.

Weshalb wenden wir dann trotzdem die Mathematik in der Ökonomie an? Wie jede Wissenschaft beruht aber auch diese auf gewissen logischen Schlussfolgerungen. Und diese können wir in der Sprache der Mathematik prägnant und durchsichtig formulieren. Beispielsweise erhalten wir so theoretisch exakte Gesetze für die Monopolpreisbildung, wir können das Erfahrungsgesetz des abnehmenden Ertragszuwachses präzise formulieren, sowie viele andere Gesetze, wobei wir uns allerdings immer den oben genannten Einschränkungen bewusst sein müssen.

Daneben ist unser Denken von gewissen grundlegenden Schemata geprägt. Besondere Bedeutung haben hier beispielsweise die Proportionalität und umgekehrte Proportionalität. Beide lassen sich funktional exakt darstellen. Unter anderem werden wir auch am Beispiel der oben genannten Indifferenzkurve exemplarisch zeigen, wie hier allgemeine Überlegungen auf eine Hyperbel führen. Dabei wird nicht der Anspruch erhoben, eine exakte Gleichung hierfür angeben zu können. Es soll lediglich demonstriert werden, wie die mathematische Darstellung hierbei zu einer prägnanten Formulierung dient. In vielen Fällen verfährt übrigens die Physik genauso, beispielsweise bei der allgemeinen Formulierung der Kräfte im Atomkern. Ebenso lassen sich weitere fundamentale ökonomische Prozesse funktional beschreiben, beispielsweise das Wachstum. Somit sollte der Student der Ökonomie mit den grundlegenden mathematischen Methoden vertraut sein.

Die elementaren Rechentechniken, wie Bruchrechnen, einfache Termumformungen, das Lösen von elementaren Gleichungen, Prozent – und Zinsrechnen sollten von der Schule her bekannt sein.

EXKURS:

DIE POLARITÄT OBJEKTIVITÄT VERSUS SUBJEKTIVITÄT

„Wir fühlen, dass selbst, wenn alle möglichen wissenschaftlichen Fragen beantwortet sind, unsere Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind.“ (Ludwig Wittgenstein)

Aus furchteinlösenden Kometen wurden berechenbare Himmelskörper. Ununterbrochen, immer weiter, haben die Wissenschaften unser Wissen in phantastischer Art und Weise bereichert. Die Spannweite reicht vom Kleinsten, dem Atom, bis in die Weiten des Universums. Über die zahllosen Anwendungen in Medizin, Technik, Sozialwissenschaften usw. brauchen wir kein Wort zu verlieren. Ohne in Details zu gehen, die dringendsten menschlichen Probleme:

- das Energieproblem,
- die Gestaltung der ökonomischen Bedingungen so, dass die gesamte Weltbevölkerung zu akzeptablen Bedingungen leben kann,
- diesen Prozess so umzusetzen, dass die unvermeidlich hierbei verbundenen Nebenbedingungen beherrschbar bleiben,

diese Herkulesaufgaben können nur auf wissenschaftlicher Basis gelöst werden. Kein vernünftiger Mensch wird den Wert und die Bedeutung der Wissenschaften bezweifeln.

So ist es auch verständlich, dass von dem Elan, der Wucht, mit der die Wissenschaften unser Leben grundsätzlich veränderten, nicht wenige der großen Philosophen mitgerissen wurden: Voltaire, Karl Marx, der Wiener Kreis und viele andere. Vorurteile würden verschwinden, „alle Kenntnisse werden sich auf die verschiedensten Gebiete ausdehnen. … Die Natur, einschließlich der Materie wird uns besser gehorchen; der Mensch wird seine Stellung in dieser Welt leichter und angenehmer gestalten“ (Priestley). Und für Auguste Comte stand zunächst fest, dass nach der kindliche Phase der Religion, der jugendhaften der Metaphysik nun die dritte männliche Phase der positiven Wissenschaften regieren würde.

Tatsächlich bestimmen heute die Wissenschaften bis in die subtilsten Bereiche unser Leben: Vor der Geburt steht auf Grund eines Ultraschallbildes unser Geschlecht bereits fest, möglich Defekte werden bereits ohne unser Wissen korrigiert. Anschließend durchlaufen wir mehrere Eignungstests, in der Schule werden wir nach wissenschaftlichen Methoden unterrichtet, bei unserem ersten Einstellungsgespräch werden wir psychologisch getestet, unsere Arbeitsabläufe sind wissenschaftlich gestaltet, unsere Lebensversicherung wird nach wissenschaftlichen Methoden berechnet und wenn alles vorbei ist werden wir in einer exakten Sterbestatistik registriert. Und so sind auch wir überzeugt, dass der unklaren subjektiven Meinung die exakte wissenschaftliche Erkenntnis gegenüber steht.

Doch wie würde eine Welt aussehen, die nur die Wissenschaften kennt? Wie wir wissen, ist wissenschaftliche Denken durch Objektivität gekennzeichnet. In einer exakten Theorie muss jeder zum selben Ergebnis kommen. Egal ob einem Steinzeitmenschen sein Werkzeug zu Boden fiel, ob irgendwo im brasilianischen Regenwald momentan ein Blatt von einem Baum fällt, denken wir exakt wissenschaftlich, so verstehen wir dies alle nach den nach demselben Galilei‘schen Fallgesetz. Bezüglich der Monopolpreisbildung denken wir alle nach denselben Kategorien, weshalb wir in einer Klausur alle dasselbe schreiben. In einer Welt, die ausschließlich wissenschaftlich denkt, würden alle letztlich dasselbe denken. Individualität hätte hier keinen Raum. Begriffe, die nicht exakt wissenschaftlich definiert werden können blieben außen vor. Werte wie Treue, Ehrlichkeit, Verantwortungsgefühl gegenüber dem Nächsten würde es eben so wenig geben wie Kunst, Glaube und Religion.

„Lässt sich alles naturwissenschaftlich erklären“, fragte einmal Max Borns Ehefrau Einstein? „Ja“, antwortete dieser, „das ist denkbar, aber es hätte keinen Sinn. Es wäre eine Abbildung mit inadäquaten Mitteln, so als ob man eine Beethoven - Symphonie als Luftdruckkurve darstellte“. Und im weiteren fährt er fort: „Wenn also einer fragt: ‚Wozu sollen wir einander fördern, einander das Leben erleichtern, schöne Musik machen und feine Gedanken zu erzeugen suchen?‘, so wird man ihm sagen müssen: ‚Wenn Du es nicht spürst, so kann es Dir niemand erklären‘. Ohne dies Primäre sind wir nichts und lebten am besten gar nicht“.

„Wir müssen verhüten, dass das naturwissenschaftliche Denken in abstrakte Begriffe übergreift, in Gebiete wo es nichts zu suchen hat“, sagt Max Born. „Die Wissenschaft alleine kann nicht beweisen, dass es etwas Schlechtes ist, Vergnügungen an Grausamkeiten zu finden. Jedes Wissen ist nur mit Hilfe der Wissenschaften möglich; alle Dinge aber, die von Rechts wegen das Gefühl angehen, bleiben außerhalb diese Bereiches“ (Bertrand Russel)

AUFGABEN

Afg. 1:

Nennen Sie die wesentlichen Bedingungen, die exaktes Wissen charakterisieren.

Afg. 2:

Die Mathematik definiert den Rahmen, in dem exaktes Wissen möglich ist. In welcher Wissenschaft ist ebenfalls exaktes Wissen möglich. Warum?

Afg. 3:

„Alles was Gegenstand des wissenschaftlichen Denkens überhaupt sein kann, verfällt, sobald es zur Bildung einer Theorie reif ist, der axiomatischen Methode und damit mittelbar der Mathematik“ (David Hilbert). Erläutern Sie diesen Satz.

Afg. 4:

Diejenigen, die sich der Praxis ohne Wissenschaft hingeben, sind wie der Steuermann, der das Schiff ohne Ruder und Kompass lenkt, der niemals die Sicherheit hat, wo er hinfährt.“ (Leonardo da Vinci). Erläutern sie diesen Satz.

Afg. 5:

„Savoir pour prevoir“ (Auguste Comte). Erläutern Sie diesen Satz.

Afg. 6:

Man nenne zwei plausible Gründe, weshalb die Wissenschaften für die Menschheit existentiell sind.

Afg. 7:

Wie würde eine Welt aussehen, in der ausschließlich wissenschaftlich gedacht werden würde.

Afg. 8:

„Die Wissenschaft alleine kann nicht beweisen, dass es etwas Schlechtes ist, Vergnügungen an Grausamkeiten zu finden. Jedes Wissen ist nur mit Hilfe der Wissenschaften möglich; alle Dinge aber, die von Rechts wegen das Gefühl angehen, bleiben außerhalb diese Bereiches“ (Bertrand Russel) Erläutern Sie diesen Satz.

1.1. ELEMENTARE FUNKTIONEN

1.1.1. DER FUNKTIONSBEGRIFF

Durch Beziehungen werden zunächst getrennte Sachverhalte, Eigenschaften usw. in einen gewissen Zusammenhang gebracht. Unser ganzes alltägliches Leben ist geprägt hierdurch. Zum Beispiel finden wir eine bestimmte Landschaft als schön, mit einem bestimmten Gut verknüpfen wir einen gewissen Nutzen, ein Getränk als heiß, ein Paar Schuhe in einem Geschäft als zu teuer.

In den Wissenschaften werden derartige Relationen objektiviert. Sie sollen nicht nur für uns, sondern möglichst allgemein gelten, sie sollen für jedermann richtig bzw. falsch sein. Von besonderer Bedeutung sind dann hierbei die kausalen Beziehungen, das heißt, wenn eine zweite Größe in eindeutiger Art und Weise von einer ersten Größe abhängt. Solche Beziehungen können dann oft in idealer Art und Weise durch Funktionen beschrieben werden.

Beispiele:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Mathematik abstrahieren wir von den konkreten Bedeutungen und analysieren nur die Relation als Ganzen. Wir schreiben dann oft x für die erste Größe, y für die zweite und schreiben hierfür kurz:

y = f(x) „y ist der Funktionswert von x“

Allgemein:

Definition der Funktion:

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen D und W. f ist eine Funktion von D nach W, genau dann, wenn jedem Element x aus D genau ein Element y aus W zugeordnet ist. D heißt Definitionsbereich und W Wertevorrat. x aus D heißt Argument und y aus W Funktionswert.

Man schreibt:

y = f(x) „y ist der Funktionswert von x“

Bemerkung:

Durch den Definitionsbereich wird festgelegt, welche Werte die erste Größe annehmen darf, der Werteberreich gibt an, welche Werte die zweite Größe annehmen kann.

Darstellung von Funktionen:

a) Formale Darstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

d) Koordinatensystem:

W Y y=f(x)

y=f(x)

x

Generelle Vereinbarung:

Wenn nichts anderes gesagt ist, gilt als allgemeine Voraussetzung, dass wir stets als Definitionsbereich und Wertevorrat die Menge der reellen Zahlen R annehmen:

D = W = R

Die jeweilige Funktion geben wir dann einfach durch ihre Funktionsgleichung an:

y = f(x)

AUFGABEN

Afg. 1:

Man definiere den Begriff „Funktion“.

Afg. 2:

Worin liegt die allgemeine Bedeutung des Definitionsbereiches.

Afg. 3:

Man erläutere die allgemeinen Bedingungen des Funktionsbegriffes an Hand dreier konkreter Beispiele.

Afg. 4:

Worin besteht die allgemeine Bedeutung des Funktionsbegriffes.

Afg. 5:

Man nenne drei ökonomische Beispiele, die durch Funktionen beschrieben werden.

1.1.2. LINEARE FUNKTIONEN

Die ‚Linearen Funktionen‘ sind die einfachste und zugleich wichtigste Funktionenklasse. Denn mit ihnen beschreiben wir exakt das Denkschema der ‚Proportionalität‘. Und derartige Beziehungen lassen sich in der Realität am leichtesten auffinden.

Lineare Funktionen:

Eine Funktion f heißt linear, genau dann wenn für ihre Funktionsgleichung gilt:

„a heißt Proportionalitätsfaktor“

Beispiel:

Wertetafel:

x -2 --1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f(x) 6

Graphische Darstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir sehen:

Als Schaubild erhalten wir eine Gerade. Offensichtlich hätten hier zwei Punkte genügt. Wählen wir hier naheliegend den Ursprung und als weiteren Punkt einen mit ganzzahligen Koordinaten, so können wir die Gerade ohne weiteres konstruieren, indem wir:

Start: Ursprung (0/0)

Dann: Fünf Einheiten nach rechts drei Einheiten nach oben

Erweiterte lineare Funktionen:

Beispiel:

Von unserer obigen Funktion müssen wir nun offenbar von jedem Funktionswert 4 subtrahieren. Es genügen hierzu unsere bereits ausgewählten Punkte (0/0) und (3/2), so dass wir wie folgt vorgehen können:

Start: Ordinatenabschnitt (0/-4)

Dann: Fünf Einheiten nach rechts drei Einheiten nach oben

Konstruktion linearer Funktionen:

Gegeben:

Start: Ordinatenabschnitt (0/b)

Dann: n Einheiten des Nenners nach rechts

z Einheiten des Zählers nach oben

Ist a = negativ so gehen wir die z Einheiten des Zählers nach unten.

Anwendungsbeispiele:

1) Gleichförmige Bewegung: v: Geschwindigkeit, s0: Anfangspunkt

2) Kosten: GK: Grenzkosten, Kf: Fixkosten

3) Umsatz: p: Preis

4) Konsum: m: marginaler Consum,

Bemerkungen:

1) Die streng linearen Funktionen der Form erfüllen die Linearitätsbedingung:

(L1)

(L2)

2) Man beachte bei der Definitionsgleichung den Sonderfall a = 0. Welches Schaubild erhält man dann?

Bedeutung des Ordinatenabschnitts b:

Offenbar bedeutet b den Schnittpunkt mit der y – Achse:

Allgemein gibt b den „Startpunkt“ an.

Bedeutung des Proportionalfaktors a:

Gegeben sei eine Gerade g:

Zwei Punkte auf der Geraden g:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die zwei Punkte auf der Geraden liegen müssen sie auch die Funktionsgleichung erfüllen:

Wir subtrahieren (1) von (2):

Also:

Somit:

Oder mit y = f(x) und dem Operator können wir auch schreiben:

Ergebnis:

„Differenzenquotient“

Also:

Der Differenzenquotient gibt somit die Steigung der Geraden g an.

Beispiel:

Gegeben:

Dann:

(vgl. oben)

Fundamentale Bedeutung des Differenzenquotienten:

Wir setzen , also: in den Differenzenquotienten ein:

Ergebnis:

Der Differenzenquotient gibt somit an, um wieviel der Funktionswert sich ändert, wenn sich das Argument um eine Einheit ändert.

Beispiel:

Die Geschwindigkeit v gibt somit an, um wieviel sich der Ort ändert, wenn eine Zeiteinheit verflossen ist.

Merke:

Sämtliche Prozesse die proportional ablaufen werden durch lineare Funktionen beschrieben.

AUFGABEN

Afg. 1:

Definieren Sie den Begriff „linear“.

Afg. 2:

Zeigen Sie: Die Funktionen der Form f(x) = a x erfüllen die funktionale Linearitätsbedingung:

f(x1+x2) = f(x1) + f(x2); f(λ x) = λ f(x)

Afg. 3:

Erklären Sie den Begriff „proportional“.

Afg. 4:

Was bewirkt der Summand b bei der verallgemeinerten Definition der Linearen Funktion?

Afg. 5:

Erläutern Sie die Bedeutung des Summanden b für Anwendungen an drei aussagekräftigen Beispielen.

Afg. 6:

Worin besteht die fundamentale Bedeutung der Steigung a?

Afg. 7:

Erläutern Sie die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors a für Anwendungen an drei aussagekräftigen Beispielen.

Afg. 8:

Eine Unternehmung rechne mit linearen Kosten und linearen Erlösen. Es ergeben sich aus dem Rechnungswesen folgende Zahlen: Die Grenzkosten betragen 3 GE (Geldeinheiten).

Bei 5 ME (Mengeneinheiten) fallen Kosten von 27 GE an.

Der Verkaufspreis beträgt 5 GE.

8.1. Geben Sie die Kostenfunktion an.

8.2. Welche Kosten fallen bei 9 ME an?

8.3. Wie hoch sind die Fixkosten?

8.4. Wann erreicht die Unternehmung die Gewinnzone (Nutzenschwelle)?

8.5. Wie hoch ist der Grenzgewinn?

8.6. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 10 ME. Kann der angestrebte Gewinn von 12 GE erreicht

werden?

Afg. 9:

Eine Unternehmung rechne mit linearen Kosten und linearen Erlösen. Es ergeben sich aus dem Rechnungswesen folgende Zahlen:

Bei 4 ME fallen Kosten von 18 GE an, bei 8 ME Kosten von 28 GE.

Die Gewinnzone wird bei ME erreicht.

9.1. Geben Sie die Kostenfunktion an.

9.2. Bei welcher Produktionsmenge fallen Kosten von 23 GE an?

9.3. Wie hoch ist der Grenzgewinn?

Afg. 10:

Aus dem Rechnungswesen ergeben sich folgende Zahlen:

Der Grenzgewinn beträgt 2 GE. Bei 6 ME betragen die Kosten 26 GE und die Fixkosten 8 GE.

10.1. Ermitteln Sie den Verkaufspreis und die Grenzkosten.

10.2. Wie hoch ist der Gewinn bei 6 ME?

10.3. Wann wird die Gewinnzone erreicht?

1.1.3. GANZRATIONALE FUNKTIONEN

Kompliziertere Beziehungen können sehr oft annähernd durch ganzrationale Funktionen oder Polynome beschrieben werden. Dabei stellen diese in einem gewissen Sinn die einfachste Funktionenkasse dar. Insbesondere sind auch unsere in 1.1.2 beschriebenen Lineare Funktionen derartige Polynome.

Ganzrationale Funktionen oder Polynome:

„Ganzrationale Funktion oder Polynom vom Grad n“

Die , i = 1, … ,n heißen die Koeffizienten des Polynoms.

Beispiele:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Idealtypischer Kostenverlauf:

Unabhängig von der Produktionsmenge beginnen wir bei einem Punkt oberhalb der Ordinate und berücksichtigen so die Fixkosten. Dann nehmen die Kosten degressiv (unterproportional) zu. Dies erklärt sich damit, dass wir mit zunehmender Produktionsmenge die Produktionsfaktoren effizienter einsetzen können (Beispiel?), insbesondere wird hier auch die Arbeitsteilung zunehmend wirksam. Ab einem gewissen Punkt schlägt jedoch der weitere Prozess um, die Kosten wachsen progressiv (überproportional). Wir sind nun nämlich zunehmend gezwungen weniger produktive Faktoren einzusetzen, die Maschinen können infolge der hohen Auslastung nicht mehr effektiv gewartet werden usw. Den genannten Sachverhalt können wir nun kurz und prägnant in einem Funktionsverlauf darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir sehen, dass die Kurve mindestens einen Wendepunkt hat, als ist die allgemeine Form ein Polynom dritten Grades:

Typische ökonomische Funktionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fundamentale ökonomische Größen:

1.) Nutzengrenze und Nutzenschwelle:

Ansatz:

Sind und die positiven Lösungen dieser Gleichungen, so heißen:

Gilt: , so folgt:

2.) Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximaler Gewinn

Ansatz:

„Hochpunkt des Gewinns (vgl. hierzu 1.2.2.)

3.) Betriebsminimum

Minimum der variablen Stückkosten

„Tiefpunkt der variablen Stückkkosten“

Ökonomische Bedeutung:

Das Betriebsminimum definiert die kurzfristige Preisuntergrenze (Warum?).

4.) Betriebsoptimum:

Minimum der Stückkosten

Ansatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

„Tiefpunkt der Stückkosten (vgl. hierzu 1.2.2.)

Ökonomische Bedeutung:

Das Betriebsoptimum definiert die langfristige Preisuntergrenze (Warum?)

Graphische Bestimmung:

Gegeben sei die Kostenkurve y = K(x):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine beliebige Ursprungsgerade schneide diese im Punkt . Offenbar gilt für deren Steigung: . Ebenso gilt für .

Wegen folgt:

Also ist das Minimum an der kleinstmöglichen Steigung einer Ursprungsgeraden zu finden, die mit der Kostenkurve gerade noch einen gemeinsamen Punkt hat und das ist die Tangente.

Ergebnis:

Das Betriebsoptimum ist dort, wo eine Ursprungsgerade zur Tangente an die Kostenkurve wird.

[...]

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Details

Title
Mathematik und Statistik für Ökonomen
Subtitle
Mathematik an der DHBW
College
Duale Hochschule Baden-Württemberg Heilbronn
Author
Year
2018
Pages
107
Catalog Number
V369946
ISBN (eBook)
9783668469303
ISBN (Book)
9783668469310
File size
1475 KB
Language
German
Tags
mathematik, statistik, ökonomen, dhbw
Quote paper
Dr. Wolfgang Schlageter (Author), 2018, Mathematik und Statistik für Ökonomen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/369946

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