Über den Hauptsatz in der Kunst des Vermutens. Die Anfänge der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Vorbemerkungen – Jakob Bernoullis Wahrscheinlichkeitsbegriff
2.1. Der quasi-physikalische Charakter der neuen Wahrscheinlichkeit
2.2. Introduktion des Urnenmodells

3. Der Hauptsatz in der Ars conjectandi – Bernoullis schwache Formulierung des Gesetzes der großen Zahl

4. Kritische Bewertung und die Grenzen des Gesetzes der großen Zahl
4.1. Aus dem Briefwechsel zwischen Leibniz und Jakob Bernoulli
4.2. Direkte versus inverse Anwendung des Hauptsatzes
4.3. Ausblick

5. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

One of the fundamental concepts of the probability theory is the law of large numbers and large-scale phenomena. In fact, this particular law has become the stepping stone between the theories of probability on the one hand and statistics on the other. 1

Dieses Gesetz der großen Zahl^[1] ist verbunden mit dem Namen des Basler Mathematikprofessors Jakob Bernoulli (1654-1705), in dessen Schrift Ars conjectandi man es später dargelegt fand. Sie wurde posthum 1713 von seinem Neffen Nikolaus Bernoulli herausgegeben. „Der programmatische Titel des großangelegten Werkes – Ars conjectandi («Kunst des Vermutens»)- stellte seine Wahrscheinlichkeitsrechnung in eine Reihe mit den artes liberales “^[2]. Bernoulli zielte offenbar auf eine neue Disziplin ab, welche in allen praktischen Fragen des bürgerlichen Lebens, in Politik, Moral und Wirtschaft, ihre Anwendung finden sollte^[3].

Vor diesem Hintergrund legt er nun den Grundstein zur Wahrscheinlichkeitstheorie und ermöglicht mit dem Hauptsatz zugleich die Synthese aus Glücksspieltheorie und Statistik.

Ausgangspunkt für diese erste Fassung des Gesetzes der großen Zahl war die Frage (die sich schon in den Meditationes, Bernoullis wissenschaftlichem Tagebuch findet^[4] ): Lassen sich Wahrscheinlichkeiten wie die für eine bestimmte Absterbefolge aufgrund von wiederholten Beobachtungen zumindest näherungsweise bestimmen? Kann man also quantifizieren, um wie viel wahrscheinlicher der Tod eines Greises gegenüber dem eines Jünglings früher eintritt, indem man Personen vergleichbaren Alters und Temperaments^[5] herausgreift und deren Sterbe-häufigkeiten zählt? Für die Bejahung dieser Fragen erschien es Bernoulli wesentlich, erweisen zu können, dass die Zuverlässigkeit der relativen Häufigkeit als Schätzwert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit des vorgegebenen Ereignisses mit wachsender Anzahl der Beobachtungen ansteigt. Diesen Erweis sah Jakob Bernoulli durch seinen Hauptsatz, der schwachen Formulierung des Gesetzes der großen Zahl, als gegeben an.

Es sei an dieser Stelle jedoch explizit darauf verwiesen, dass der Ausdruck „Gesetz der großen Zahl“ nicht ohne Einschränkung synonym mit dem Terminus „Hauptsatz“ verwendet werden darf. Ersteres ist eine moderne Begrifflichkeit, die Bernoulli nicht kannte, und weiterhin (von Mathematikern unserer Zeit) in eine starke respektive schwache Formulierung unterschieden wird. Aus dem Blickwinkel der zeitgenössischen Mathematik entspricht Bernoullis Hauptsatz dabei der schwachen Formulierung und ist von dem Starken Gesetz der großen Zahl abzugrenzen^[6].

Im Verlauf dieser Abhandlung werden sich zwar manchmal Berührungspunkte zu der üblichen derzeitigen (schwachen) Formulierung des Gesetzes der großen Zahl darbieten, dennoch steht eine historische Darstellung gemäß Bernoullis Konzeption im Vordergrund. Dass sich der Hauptsatz hier als Fokus anbietet, liegt weder ausschließlich im verheißungsvollen Terminus selbst, noch in der Tatsache begründet, dass das Schlussstück des Bernoullischen Oeuvres auf die Deklaration des Theorems zuläuft, sondern weil es auch philosophische Brisanz bietet, wie sich (spätestens) in Kapitel 4 zeigen wird.

Die vorliegende Arbeit behandelt daher zunächst Bernoullis Hauptsatz. Konkret gilt es dabei, Bernoullis Leistung der Verknüpfung von Glücksspieltheorie und Statistik (in seinem Hauptsatz) herauszuarbeiten, wobei das obige Bild des Trittsteins wieder aufgegriffen wird (Kap. 3). Allerdings wird festzuhalten sein, dass Bernoulli seinen Hauptsatz am theoretischen Modell der Urne beweist (wo sich a-priori-Wahrscheinlichkeiten identifizieren lassen) und nicht an Fällen, wo Wahrscheinlichkeiten mittels der Erfahrung bestimmt (Leibniz: geschätzt^[7] ) werden müssen. Nichtsdestotrotz glaubt er, dass der Satz auch dann gelte, indem er sich die Verhältnisse (bei kontingenten Sachverhalten, die sich durch statistische Regelmäßigkeiten auszeichnen) in völliger Analogie zu einer Urne vorstellt. Dieser kritische Punkt belebt eine anschließende philosophisch motivierte Diskussion, die auch die stark durch das 18. Jh. geprägte „Induktionsproblematik“ tangiert (4). Leibniz´ Kritik an der Unterstellung von präzise angebbaren Wahrscheinlichkeiten bei der statistischen Interpretation von Naturereignissen legt es nahe, den Trittstein zwischen mathematischem Kalkül und Empirie (in dieser Hinsicht) nicht zu verlegen, er bezweifelt gerade diese Synthese, welche sich im Hauptsatz manifestiert (4.1). Doch zielt Leibniz´ Einwand –wie sich bei genauerer Betrachtung erweisen wird- vielmehr auf eine inverse Anwendung des Hauptsatzes ab, die in Kapitel 4.2 diskutiert wird. Ein Ausblick, inwiefern der Hauptsatz auf die statistische Praxis zugeschnitten ist, und die Andeutung neuer Probleme einer Theorie statistischen Schließens runden im letzten Abschnitt die Analyse ab (4.3). Bevor allerdings die Wendung zum Hauptsatz nun erfolgen kann, sind freilich noch Vorbemerkungen nötig (2). So baut –wie oben antizipiert- die Deklaration des Hauptsatzes wesentlich auf dem Urnenmodell (2.2) auf, an welchem sich paradigmatisch der Modell-parameter zeigen lässt. Die Bestimmung dieses festen Fallverhältnisses, an der Urne das Zahlen-verhältnis der schwarzen und weißen Steine, macht wiederum den neuen Wahrscheinlichkeits-begriff (2.1) aus, dessen Einführung im Folgenden Eingang in die Untersuchung findet.

II. Vorbemerkungen – Jakob Bernoullis Wahrscheinlichkeitsbegriff

Die Wahrscheinlichkeit ist nämlich ein Grad der Sicherheit und unterscheidet sich von ihr wie der Teil vom Ganzen. 8

In dieser abstrakten Definition ist keine Rede von einem Verhältnis günstiger zu insgesamt möglichen Fällen, die Parallele zu dem uns vertrauten Ausdruck lässt sich höchstens^[8] erahnen. Dieser lautet in formaler Schreibweise: „p(A) = NA / N“^[9], wobei p(A) das Maß angibt, inwieweit man mit dem Eintreffen von A rechnen darf. Und offenbar tendiert Bernoulli ebenso in die Richtung, wenn er scheibt: Die Sicherheit, welche man für das Eintreten eines Ereignisses annehmen darf, sei keineswegs für alle Ereignisse gleich, sondern schwanke vielfach zwischen größeren und kleineren Werten. Nur Ereignisse, deren gegenwärtige oder zukünftige Existenz zweifelsfrei feststehe, erfreuen sich der höchsten oder der absoluten Sicherheit. Alles übrige beanspruche einen geringeren Grad der Sicherheit, der größer oder kleiner ist je nachdem, ob es eine größere oder kleinere Anzahl von Wahrscheinlichkeiten gebe, die für die gegenwärtige, vergangene oder künftige Existenz irgendeiner Sache sprechen^[10].

Mit einem Beispiel wird Bernoulli etwas konkreter und zeigt damit auch die Nähe zu unserem heutigen Verständnis:

Sei z.B. angenommen, die gesamte und absolute Sicherheit, die ich mit dem Buchstaben a oder mit der Einheit 1 bezeichne, bestehe aus fünf Wahrscheinlichkeiten oder Teilen, von denen drei für die gegenwärtige oder zukünftige Existenz irgendeines Ereignisses stehen, die restlichen dagegen, so soll dieses Ereignis 3/5 a oder 3/5 der Sicherheit besitzen. ¹¹

- des Menschen aus, als Richtschnur für das praktische Handeln, als flexibles Bindeglied zwischen göttlicher Prädetermination und der Kontingenz menschlichen Handelns^[12].

Über dem Begriff der Wahrscheinlichkeit (als Grad „subjektiver Gewissheit“) und dem Begriff der Kontingenz (als Ausdruck unvollständiger „subjektiver Gewissheit“) ist die Gewissheit geordnet. Bernoulli unterscheidet eine „objektive Gewissheit der Dinge an sich“ (also die unverbrüchliche Tatsache der gegenwärtigen oder zukünftigen Existenz dieser Sachen) und eine „subjektive Gewissheit der Dinge in Bezug auf unsere Erkenntnis“^[13]. Bernoulli führt daneben noch einen weiteren zentralen Begriff ein: den Begriff der „moralischen Gewissheit“. „Moralisch gewiss“ ist das, dessen Wahrscheinlichkeit sich der absoluten Sicherheit in einer Weise annähert, dass der Unterschied unmerklich wird^[14]. Dies rührt von dem Gedanken her, dass für das praktische Handeln ein hoher, wenn auch unvollkommener Grad an Überzeugung oder Wahrscheinlichkeit genügt^[15]. So mag man beispielsweise den morgigen Sonnenaufgang aufgrund der bisherigen Erfahrung als „moralisch gewiss“ ansehen (und ihn nicht als „absolut sicher“ bewerten, weil die Zukunft ja bekanntermaßen -von einem nicht-göttlichen Standpunkt aus- ungewiss ist), jedoch müsste man streng genommen, im Sinne der Ars conjectandi, für ihn sogar eine Wahrscheinlichkeit von eins ansetzen^[16].

- den bisherigen Ausführungen scheint es, als propagiere Bernoulli eine Art subjektive Wahr-scheinlichkeit, die Ausdruck einer unvollständigen Kenntnis der Dinge ist und einer göttlichen Voraussicht und Vorherbestimmung gegenübersteht^[17]. De facto wird Bernoullis vermeintlich „subjektive“ Wahrscheinlichkeit eine logisch-analytische Seite –die hier sonst unerwähnt bleibt^[18] - und eine objektiv-realistische Seite –im Zusammenhang mit statistischen Erhebungen- aufweisen.

[...]

^[1] S. I. Idele: The Law of Large Numbers: Some Issues of Interpretation and Application for Beginners, in: The Statistician, Vol. 28, No. 3 (1979), S. 209.

^[2] Walter Hauser: Die Wurzeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Die Verbindung von Glücksspieltheorie und statistischer Praxis vor Laplace, Stuttgart 1997, S. 88.

^[3] Ebd.

^[4] Vgl. Jakob Bernoulli: Meditationes, in: Ivo Schneider (Hg.): Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933 – Einführungen und Texte, Darmstadt 1988, S. 197- 201; sowie Ivo Schneider: Einleitung zu Kapitel 4. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz, in: ders. (Hg.): Die Entwicklung…, Darmstadt 1988, S. 117.

^[5] „ […] ejusdem & aetatis & temperamenti cum nostris juvenculis & senibus“ – J. Bernoulli: Meditationes, in: Naturforschende Gesellschaft Basel (Hg.): Die Werke von Jakob Bernoulli, Band 3, Basel 1975, S. 47.

^[6]Sofern eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X1, X2, X3,…, betrachtet sei, die alle die gleiche Verteilung besitzen und zudem stochastisch unabhängig sind (d.h. dass für jede Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die endliche Folge X1, X2, X3, …, Xn stochastisch unabhängig ist), dann werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen für durch sogenannte Grenzwertsätze beschrieben. Die zwei für die Anwendungen wichtigsten Grenzwertsätze sind das Schwache Gesetz der großen Zahl und der Zentrale Grenzwertsatz. Es gilt ferner: Wenn X1, X2, X3,… eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist, so sagt man auch, X1, X2, X3,… seien unabhängige Wiederholungen einer Zufallsvariablen X. Wir setzen schließlich für die schwache Formulierung weiter voraus, dass X einen endlichen Erwartungswert μ besitzt:

Das Schwache (oder Bernoullische) Gesetz der großen Zahl, wie die jüngere Forschung ausführt, ist eine Aussage über die Abweichung des arithmetischen Mittels [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vom Erwartungswert μ. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Abweichung größer oder gleich einem vorausgesetzten Wert ε ist, geht für große [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen null. Mit anderen Worten: Das schwache Gesetz bedeutet, bildlich gesprochen, dass sich die Verteilung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit wachsendem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] immer mehr auf den Punkt μ „zusammenzieht“. - Vgl. Karl Mosler/ Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, Berlin/ Heidelberg 2006, S. 152 ff.

Das Schwache Gesetz der großen Zahl lautet in formaler Schreibweise: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dem gegenüber besagt das Starke Gesetz der großen Zahl, dass das arithmetische Mittel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (ω) im folgenden Sinne „fast sicher“ gegen den Erwartungswert μ konvergiert: Die Menge der Ergebnisse ω, für welche die Konvergenz zutrifft, hat die Wahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](ebd. S. 153).

Halten wir fest: Die starke Formulierung kommt nicht etwa einer Umkehrung des Hauptsatzes gleich (vgl. dazu Kap. 4.2). Vielmehr kann man von einer Verbesserung des Schwachen Gesetzes der großen Zahl sprechen, da ein stärkerer Konvergenzbegriff verwendet wird (stochastische Konvergenz versus P-fast-sicher-Konvergenz [P-f.s.]). Zur logischen Beziehung zwischen schwacher und starker Formulierung lässt sich abschließend anmerken, dass letztere erstere impliziert.

^[7] Leibniz würde bestreiten, dass sich Wahrscheinlichkeiten a posteriori genau bestimmen lassen, lediglich eine Schätzung ist erzielbar, siehe Kap. 4.1.

^[8] J. Bernoulli: Ars conjectandi, in: Ivo Schneider (Hg.): Die Entwicklung…, Darmstadt 1988, S. 63.

^[9] P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A; NA ist die Anzahl der Ergebnisse mit der Ereignisqualität A, nach denen gefragt wird; N ist die Zahl aller gleich wahrscheinlichen Ergebnisse, unter denen Ergebnisse mit der Ereignisqualität A gesucht werden. So bedeutet „p(A) = 0“, dass A unmöglich ist und „p(A) = 1“, dass A gewiss ist.

^[10] J. Bernoulli: Ars conjectandi, in: Ivo Schneider (Hg.): Die Entwicklung…, Darmstadt 1988, S. 63.

^[11] Ebd.

^[12] Walter Hauser: Die Wurzeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stuttgart 1997, S. 94.

Einerseits verbürgt die göttliche Prädetermination den an sich bestimmten Weltenlauf: „Auch für zukünftige Ereignisse steht zweifelsfrei fest, daß sie in gleicher Weise, wenn auch nicht mit der unausweichlichen Notwendigkeit des Fatums, so doch wegen der göttlichen Voraussicht und Vorherbestimmung eintreten werden müssen“ (ebd. S. 62 f.). Andererseits gilt für das menschliche Subjekt: Je nachdem, wie die Kenntnis einer Sache bzw. ihrer Ursachen beschaffen ist, erscheine sie ihm einmal zufällig, ein anderes Mal notwendig: „ Sequitur hinc, uni & uno tempore videri posse contingens, quod alii (imò & eidem) alio tempore post cognitas ejus causas fit necessarium; adeo ut contingentia præcipuè etiam respiciat cognitionem nostram“ (J. Bernoulli: Ars conjectandi – Pars quarta (Caput I), in: Naturforschende Gesellschaft Basel (Hg.): Die Werke von Jakob Bernoulli, Band 3, Basel 1975, S. 240). Summa summarum: Die Kontingenz –die Möglichkeit, so oder anders sein zu können- beziehe sich hier nur auf die menschliche Erkenntnis (die daher unvollkommen ist), von einem (vollkommenen) göttlichen Standpunkt aus ist alles gewiss und bestimmt.

^[13] J. Bernoulli: Ars conjectandi, in: Ivo Schneider (Hg.): Die Entwicklung…, Darmstadt 1988, S. 62.

„Subjektiv“ ist hier nicht im Sinne von „abhängig vom erkennenden Subjekt“ zu lesen. „Seine [Bernoullis] «subjektive Gewissheit» (die ein Kontinuum von Graden erlaubt) kommt solchen Sachverhalten der Erkenntnis zu, die keine wissenschaftliche Wahrheit eines Dings an sich, gleichwohl Aspekte der Realität repräsentieren und insofern (modern gesprochen) objektiven Charakter besitzen können. Die «objektive Gewissheit» (die immer absolut ist) hingegen ist einer ganz anderen Kategorie der Erkenntnis vorbehalten – der menschlichen scientia bzw. der göttlichen praescientia – und steht hier nicht zur Debatte“ – Walter Hauser: Die Wurzeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stuttgart 1997, S. 97.

In diesem Sinne ist der morgige Sonnenaufgang aus der Perspektive eines göttlichen Wesens „objektiv gewiss“ (sofern er tatsächlich vorgesehen ist) genauso wie die analytischen Einsichten der Wissenschaft (beispielsweise, dass die Winkel-summe im Dreieck 180° beträgt) „objektiv gewiss“ sind, wohingegen bei unseren Vermutungen basierend auf Zeugnissen und Erfahrung, eben der beobachteten Sonnenaufgänge, nur „subjektive“ Gewissheit besteht.

^[14] J. Bernoulli: Ars conjectandi, in: Ivo Schneider (Hg.): Die Entwicklung…, Darmstadt 1988, S. 63.

^[15] Walter Hauser: Die Wurzeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stuttgart 1997, S. 100.

^[16] Bezüglich der Wahrscheinlichkeit des morgigen Sonnenaufgangs können ausschließlich günstige Fälle angenommen werden, da die Sonne bislang ja jeden Morgen am Horizont emporstieg. Verlangt dies, das Ansetzen einer Wahrscheinlichkeit von eins, aber auch die Umkehrung des Hauptsatzes, der in Kürze erläutert wird? Die Problematik einer inversen Anwendung des Hauptsatzes wird in Kapitel 4.2, ob Bernoulli daran gedacht hat in Kap. 3 und 4.1/ 4.2 diskutiert.

^[17] Vgl. auch Walter Hauser: Die Wurzeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stuttgart 1997, S. 95.

^[18] Vgl. dazu ebd. S. 100- 108.