Die Quantentheorie der Ur-Alternativen des Carl Friedrich von Weizsäcker versucht, die allgemeine Quantentheorie im menschlichen Geist zu begründen. Sie basiert auf dem Begriff logischer Alternativen in der Zeit als fundamentalster möglicher Objektivierung der Natur. Basierend auf dieser Interpretation der Quantentheorie soll dann die Einheit der Physik beschrieben und die Existenz freier Objekte im Raum, deren Symmetrieeigenschaften und deren Wechselwirkungen hergeleitet werden.
Die Alternativen werden durch eine Kombination binärer Alternativen dargestellt, welche aufgrund ihres logisch fundamentalen Charakters als Ur-Alternativen bezeichnet werden. Durch Ur-Alternativen als elementaren quantentheoretischen Informationseinheiten wird die der Quantentheorie immanente Kopernikanische Wende in Bezug auf die Raum-Frage in konsequenter Weise realisiert. Diese besteht darin, dass sich nicht die Objekte der Natur in einem vorgegebenen Raum mit lokalen Kausalitätsrelationen befinden, sondern die Existenz des Raumes sich umgekehrt nur als eine indirekte Art der Darstellung der Beziehungsstruktur abstrakter quantentheoretischer Objekte ergibt. Denn die Ur-Alternativen existieren nicht in einer vorgegebenen feldtheoretisch verstandenen physikalischen Realität. Vielmehr wird die Existenz des Raumes aus den Ur-Alternativen überhaupt erst begründet.
Ein solcher Realitätsbegriff steckt implizit hinter der Unbestimmtheitsrelation und drückt sich in besonderer Weise im berühmten EPR-Paradoxon aus. Es wird in dieser Arbeit mathematisch konsistent gezeigt, dass ein Zustand im Tensorraum vieler Ur-Alternativen direkt in einen reellen dreidimensionalen Raum abgebildet werden kann, sodass mit der Dynamik der Zustände eine Darstellung in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit möglich wird.
Über die G2-Lie-Gruppe, die Automorphismengruppe der Oktonionen, kann ein Ansatz für die Einbindung der inneren Symmetrien der Elementarteilchen vorgeschlagen werden. Des Weiteren ermöglichen die Ur-Alternativen die Konstituierung eines abstrakten Wechselwirkungsbegriffes, der nicht auf punktweisen Produkten von Feldern sondern auf quantentheoretischen Verschränkungen abstrakter Objekte basiert. Mit Hilfe dessen wird über das Korrespondenzprinzip versucht, zu einer rein quantentheoretischen Beschreibung des Elektromagnetismus und der Gravitation zu gelangen. Dem entspricht eine viel prinzipiellere und zudem radikal hintergrundunabhängige Art der Quantisierung.
2
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Erkenntnistheoretisches Prolegomena
6
2.1
Normale Wissenschaft und wissenschaftliche Revolutionen
. . . . . . . . . .
6
2.2
Die grundlegende Idee der Kantischen Erkenntnistheorie
. . . . . . . . . . . .
7
2.3
Der Begriff der Materie bei Platon und Kant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Beziehung zur modernen Naturwissenschaft
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
Die der Quantentheorie immanente Kopernikanische Wende
10
3.1
Die Entwicklung der Raum-Frage in der Geistesgeschichte
. . . . . . . . . . . 10
3.2
Empirische Gründe für die nicht-Lokalität der Quantentheorie
. . . . . . . . . 12
3.3
Mathematische Gründe für die nicht-Lokalität der Quantentheorie
. . . . . . . 14
3.4
Die Kopernikanische Wende bezüglich der Raum-Frage als Konsequenz
. . . 16
4
Rekonstruktion der abstrakten Quantentheorie
17
4.1
Das Programm und der Bezug zu anderen Ansätzen
. . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2
Postulate einer Quantentheorie logischer Alternativen
. . . . . . . . . . . . . . 19
4.3
Alternativen als Darstellung einer abstrakten Quantenlogik
. . . . . . . . . . . 22
4.4
Zeitentwicklung und Dynamik freier Alternativen
. . . . . . . . . . . . . . . . 24
5
Die Ur-Alternative als Grundbegriff der Quantentheorie
25
5.1
Konstituierung eines Tensorraumes vieler Ur-Alternativen
. . . . . . . . . . . 25
5.2
Die Gründe für die zentrale Bedeutung des Begriffes der Ur-Alternative
. . . 30
6
Die Konstituierung freier Objekte im Raum
32
6.1
Die Konstruktion von Orts- und Impulsoperatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2
Abbildung der Zustände im Tensorraum in den Ortsraum
. . . . . . . . . . . . 38
6.3
Die Dynamik in der Quantentheorie der Ur-Alternativen
. . . . . . . . . . . . 40
7
Innere Symmetrien im begrifflichen Rahmen der Ur-Alternativen
49
7.1
Die inneren Symmetrien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2
Beziehung der inneren Symmetrien zum Raum
. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8
Zust¨
ande vieler Objekte und Wechselwirkung
55
8.1
Vielteilchentheorie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2
Das Phänomen der Wechselwirkung als Verschränkung abstrakter Zustände
. 58
8.3
Konstruktion der realen Wechselwirkungen über das Korrespondenzprinzip
. 62
8.4
Elektromagnetismus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9
Die Gravitation in der Quantentheorie der Ur-Alternativen
66
9.1
Konstruktion des freien Gravitationsfeldes und metrische Struktur
. . . . . . . 66
9.2
Die Dynamik der selbstwechselwirkenden Gravitation
. . . . . . . . . . . . . 71
10 Zusammenfassung und Diskussion
75
Literaturliste
77
3
1 Einleitung
,,Man kann die theoretische Physik unseres Jahrhunderts noch in die titani-
sche Tradition deutschen Denkens einordnen. Sie ist zwar international gültig,
aber in der Herkunft vor allem deutsch: Planck, Einstein, der philosophisch
deutsch geprägte Bohr, Heisenberg. Sie wäre ohne die ihr immanenten philo-
sophischen Fragestellungen nie entstanden und sie ist ohne noch entschiede-
neres Philosophieren nicht zu vollenden."
Carl Friedrich von Weizsäcker, Vortrag ,,Der deutsche Titanismus" abgedruckt in ,,Wahrnehmung
der Neuzeit", Carl Hanser München/Wien 1983, Seite 30/31
Zunächst muss erwähnt werden, dass diese Arbeit gewissermaßen aus zwei Teilen besteht.
Die Abschnitte zwei, drei, vier und fünf versuchen einerseits zu begründen, warum eine ein-
heitliche Naturtheorie eine radikale Abkehr von klassischen und feldtheoretischen Begriffen
notwendig macht und die Natur daher im Rahmen einer reinen Quantentheorie beschrie-
ben werden muss. Das bedeutet, dass eine Wende im physikalischen Weltbild vollzogen
werden muss, die derjenigen des Kopernikus und derjenigen Einsteins und Heisenbergs in
nichts nachsteht, ja eigentlich die Heisenbergsche Entdeckung überhaupt erst zu ihrer ei-
gentlichen Konsequenz führt. Diese besteht darin, dass nicht geometrisch definierte Objekte
in einem vorgegebenen physikalischen Raum existieren, sondern abstrakte logische Objekte
umgekehrt die Existenz dieses Raumes überhaupt erst begründen. Die genannten Abschnit-
te versuchen andererseits die Grundidee der Quantentheorie der Ur-Alternativen des Carl
Friedrich von Weizsäcker darzustellen und zu zeigen, dass sie den konsequentesten Ansatz
darstellt, um genau diese Kopernikanische Wende bezüglich der Raum-Frage zu realisieren.
Denn die Ur-Alternativen sind rein logischen Objekte, elementare quantentheoretische Infor-
mationseinheiten, die keine vorgegebene physikalische Realität voraussetzen, deren Existenz
aber umgekehrt zu begründen gestatten. Die Abschnitte sechs, sieben, acht und neun entwi-
ckeln basierend auf der Grundidee der Quantentheorie der Ur-Alternativen neue eigene kon-
krete mathematische Ansätze. Dies sind im Speziellen eine Abbildung der symmetrischen
Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, was einer Begründung der
Existenz von Quantenobjekten in der Raum-Zeit entspricht, desweiteren eine Integration der
inneren Symmetrien der Elementarteilchen, zudem eine rein quantentheoretische Fassung
des Wechselwirkungsbegriffes in Bezug auf Ur-Alternativen im Gegensatz zu punktweisen
Produkten von Feldern und basierend auf diesen neuen Konzepten ein Grundansatz zu einer
rein quantentheoretischen schlechthin hintergrundunabhängigen Formulierung des Elektro-
magnetismus und der Gravitation. In dieser Einleitung muss zunächst einmal die ganze Aus-
gangsfragestellung deutlich gemacht werden und in der Zusammenfassung und Diskussion
wird das Ergebnis dieser Arbeit in kondensierter Weise dargestellt.
Die zeitgenössische fundamentale theoretische Physik basiert auf zwei grundlegenden
Theorien, nämlich der Quantentheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Quan-
tentheorie repräsentiert in ihrer allgemeinen Formulierung als Theorie des Hilbert-Raumes
ein abstraktes mathematisches Schema zur Beschreibung der Dynamik beliebiger physika-
lischer Objekte. Aber sie sagt in dieser allgemeinen Form zunächst noch nichts darüber
aus, welche speziellen Objekte mit welchen Eigenschaften es in in der Natur überhaupt gibt
und welchen Wechselwirkungen sie unterliegen. Insbesondere besteht sie in dieser abstrak-
ten Formulierung vollkommen unabhängig von der Existenz eines physikalischen Ortsrau-
mes. Lediglich ein Zeitparameter wird in ihr vorausgesetzt, was aufgrund des noch funda-
mentaleren Charakters der Zeit auch unumgänglich ist. Die allgemeine Relativitätstheorie
4
hingegen repräsentiert eine Beschreibung von Raum und Zeit, innerhalb derer zugleich die
Gravitation als einer der fundamentalen Wechselwirkungen integriert ist. Die anderen funda-
mentalen Wechselwirkungen, also der Elektromagnetismus und die schwache sowie starke
Wechselwirkung, sind im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien formuliert. Relativis-
tische Quantenfeldtheorien sind eine Verbindung aus der Quantentheorie und der speziellen
Relativitätstheorie. Das große Problem besteht nun einerseits darin, eine quantentheoreti-
sche Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie und damit der Gravitation zu finden
und andererseits darin, die Gravitation mit den anderen Wechselwirkungen in einer einzigen
Theorie zu vereinheitlichen. Eine solche einheitliche Theorie müsste zudem erklären, warum
es all die konkreten Objekte gibt, die es tatsächlich gibt.
Nun stellt sich allerdings die Frage, in welchem begrifflichen Rahmen sich eine solche
Vereinheitlichung vollziehen soll. Denn die Unterschiedlichkeit der Begriffe, auf welchen
die Quantentheorie, die allgemeine Relativitätstheorie und die verschiedenen Wechselwir-
kungen basieren, sind ja gerade der Kern der eigentlichen Problematik. Die Quantentheorie
in ihrer abstrakten Formulierung als allgemeiner Theorie des Hilbert-Raumes aber ist deut-
lich abstrakter als die allgemeine Relativitätstheorie und überhaupt jede Feldtheorie. Denn
sie basiert auf den Begriffen des Zustandes als abstraktem Vektor in einem Hilbert-Raum und
dem Begriff der Observable als einem Operator, der auf Zustände im Hilbert-Raum wirkt
und enthält außer der Zeit, dem fundamentalsten aller physikalischen Begriffe, noch keiner-
lei konkrete Annahmen über die Beschaffenheit der Natur. Vor allem enthält sie wie erwähnt
nicht den Begriff eines physikalischen Ortsraumes und damit auch keinerlei feldtheoretische
Begriffe. Der Ursprung der Quantentheorie bei Max Planck lag darin, dass ein Kontinuum
möglicher Zustände durch ein diskretes Spektrum möglicher Zustände ersetzt wurde, um
damit das Auftreten von Divergenzen zu vermeiden. Durch das Raum-Zeit-Kontinuum im
Rahmen von Feldtheorien gerät man aber erneut in exakt diese Problematik hinein. Dies
geschieht vor allem basierend auf der Beschreibung der Wechselwirkungen durch konti-
nuierliche punktweise Produkte von Feldern. Daher kann man in relativistischen Quanten-
feldtheorien nur zu endlichen Ergebnissen kommen, indem man das Verfahren der Renor-
mierung anwendet, durch welches die unendlichen Werte nachträglich sozusagen künstlich
beseitigt werden. Bei dem Versuch einer quantentheoretischen Beschreibung der allgemei-
nen Relativitätstheorie in der Näherung einer relativistischen Quantenfeldtheorie ist eine
Renormierung aber bekanntlich unmöglich. Ein Versuch, die Unendlichkeiten zu beseitigen,
besteht darin, dass man in bestimmten Ansätzen entweder die Raum-Zeit diskretisiert oder
eine kleinste Länge einführt. Aber es ist zu erwarten, dass dieser Versuch noch nicht an die
eigentliche Wurzel der Problematik herangeht, weil er den physikalischen Raum mit sei-
nen lokalen Kausalitätsbeziehungen noch als etwas Fundamentales ansieht, wohingegen die
Phänomene der Quantentheorie deutlich zeigen, dass diese Vorstellung der Realität auf der
fundamentalen Ebene überwunden werden muss.
Der wirkliche begriffliche Kern der ganzen Problematik besteht also darin, dass die Quan-
tentheorie keinerlei feldtheoretische Begriffe enthält. Die grundsätzliche nicht-Lokalität der
Quantentheorie, also die Tatsache, dass sie unabhängig vom Begriff eines physikalischen
Ortsraumes ist, zeigt sich in aller Deutlichkeit sowohl im mathematischen Apparat der Quan-
tentheorie alsauch in den konkreten Phänomenen wie dem Doppelspaltexperiment und dem
EPR-Paradoxon. Die Grenzen der Gültigkeit einer lokalen Beschreibungsweise der Natur
werden exakt durch die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation definiert, welche in Wirk-
lichkeit die Grenze der Anwendbarkeit der Begriffe Ort und Impuls ausdrückt. Wenn man
aber diese fundamentale nicht-Lokalität der Quantentheorie mit dem Problem der Unend-
lichkeiten im Rahmen einer Kontinuumsbeschreibung zusammen betrachtet, so drängt sich
5
die Vermutung geradezu auf, dass der physikalische Raum gar keine fundamentale Realität
der Natur ist, sondern sich aus einer fundamentaleren Beschreibungsweise der Natur erst
nachträglich ergibt. Diese Beschreibung müsste dann in rein quantentheoretischen Begrif-
fen erfolgen. Relativistische Quantenfeldtheorien repräsentieren eine Art Hybrid aus einer
klassischen feldtheoretischen und einer quantentheoretischen Beschreibungsweise der Natur.
Einstein zeigte aber in seiner Arbeit von 1935 mit dem EPR-Paradoxon, dass eine quanten-
theoretische Beschreibungsweise der Natur mit einer feldtheoretischen Beschreibungsweise
nicht vereinbar ist. Entweder das Prinzip der lokalen Kausalität, auf dem alle Feldtheorien
basieren, ist wahr, oder die Quantentheorie ist wahr. Das in dieser Arbeit erdachte Gedanken-
experiment Einsteins wurde allerdings seither in immer neuen Weisen realisiert und immer
entschieden die Experimente eindeutig zu Gunsten der Quantentheorie. Daher besteht die
Notwendigkeit, zu einer rein quantentheoretische Beschreibungsweise der Natur zu gelan-
gen, aus der sich die Existenz des physikalischen Raumes, der dann über die Dynamik mit
der Zeit zumindest formal zu einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit verbunden werden kann,
die entsprechende Darstellung der Objekte und die allgemeine Relativitätstheorie sowie die
Wechselwirkungen erst nachträglich als indirekte Konsequenz ergeben.
Carl Friedrich von Weizsäcker versuchte seit den 1950er Jahren in seinem Programm der
Rekonstruktion der Quantentheorie, die allgemeine Quantentheorie aus grundsätzlichen er-
kenntnistheoretischen Postulaten zu begründen. Die hieraus hervorgehende Quantentheorie
der Ur-Alternativen versteht die Quantentheorie als eine Theorie abstrakter Information in
der Zeit und versucht, die Existenz der konkret existierenden physikalischen Realitäten mit
ihrer spezifischen Struktur herzuleiten. Das Entscheidende hierbei ist, dass Ur-Alternativen
keine Objeke in einem bereits existierenden Raum oder überhaupt irgendeiner unabhängig
existierenden physikalische Realität sind. Vielmehr konstituiert sich die physikalische Reali-
tät einschließlich des Ortsraumes überhaupt erst aus den Ur-Alternativen. Zudem bilden die
Ur-Alternativen diskrete Zustandsräume und bieten daher die Aussicht, die Unendlichkeiten
von Beginn an zu vermeiden. Das auf dieser Grundbasis aufsetzende Programm dieser Ar-
beit wurde oben bereits erwähnt. Zunächst soll auf verschiedenen Argumentationslinien die
These begründet werden, dass auf fundamentaler Ebene eine Beschreibunsgweise der Natur
notwendig ist, bei welcher nicht Objekte in einem vorgegebenen Raum sind, sondern ab-
strakte rein quantentheoretische Objekte hinter der Existenz des Raumes stehen. Dies liefert
die entscheidende Rechtfertigung für die Annahme, dass die Quantentheorie der Ur-Alter-
nativen den bisher vielversprechendsten und begrifflich konsequentesten Ansatz zu einer
einheitlichen Naturtheorie darstellt. Es soll dann weiter die grundlegende Idee der Rekon-
struktion der Quantentheorie und der Quantentheorie der Ur-Alternativen entwickelt werden.
Anschließend werden meine eigenen neuen Beiträge dargestellt, also insbesondere ein An-
satz zur Abbildung des Zustandsraumes vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit und damit
zur Begründung der Existenz raum-zeitlicher Quantenobjekte, ein Ansatz zur Einbindung
der inneren Symmetrien der Elementarteilchen und eine Möglichkeit, den Wechselwirkungs-
begriff in einer abstrakten rein quantentheoretischen Weise zu fassen. Schließlich wird basie-
rend auf diesen Konzepten und dem Korrespondenzprinzip ein Vorschlag zur Formulierung
eines Modells des Elektromagnetismus und vor allem der Gravitation im Rahmen der Quan-
tentheorie der Ur-Alternativen entwickelt. Dies ist der aus meiner Sicht bisher begrifflich
konsequenteste Ansatz zu einer quantentheoretischen Beschreibung der Gravitation, denn er
ist in einem radikalen Sinne hintergrundunabhängig, indem er keinerlei raum-zeitliche Be-
griffe voraussetzt, sondern nur auf dem Begriff abstrakter quantentheoretischer Information
basiert. Um die Grundvoraussetzungen für das Argumentationsgebäude zu liefern, müssen
zunächst einige erkenntnistheoretische Grundeinsichten thematisiert werden.
6
2 Erkenntnistheoretisches Prolegomena
2.1 Normale Wissenschaft und wissenschaftliche Revolutionen
Der Wissenschaftstheoretiker Thomas Samuel Kuhn unterscheidet zwischen normaler Wis-
senschaft und wissenschaftlichen Revolutionen [1]. Während in der normalen Wissenschaft
nach einem festen Paradigma, das auf einem bestimmten System grundlegender Begriffe und
Postulate basiert, spezielle Probleme gelöst werden, wird während einer wissenschaftlichen
Revolution das Paradigma an sich in Frage gestellt und nach einem neuen gesucht, da sich
zunehmend zeigt, dass die Art von konkreten Problemstellungen, mit denen man es zu tun
hat, im Rahmen des alten Paradigmas nicht mehr behandelt werden kann. In der Geschichte
der fundamentalen theoretischen Physik sind die entscheidenden wissenschaftlichen Revo-
lutionen die Entstehung der klassischen Mechanik, welche sowohl die Aristotelische Vor-
stellung der Mechanik alsauch die Trennung der Sphäre des Himmels mit seinen mathemati-
schen Gesetzen und der der irdischen Sphäre mit ihren mechanischen Gesetzen aufhebt, der
Übergang zur Elektrodynamik mit ihrem Feldbegriff und der Einsicht, dass auch die Kräf-
te eine innere Dynamik aufweisen, vor allem aber die beiden Revolutionen zu Beginn des
zwanzigsten Jahrhunderts, nämlich die Entstehung der speziellen und der allgemeinen Re-
lativitätstheorie, in denen sogar die grundlegende Vorstellung der Beschaffenheit von Raum
und Zeit verändert wird, in dem diese mit einer neuen Struktur belegt werden, welche zu-
dem in das dynamische Geschehen miteinbezogen wird, und die Entstehung der Quanten-
theorie, in welcher mechanistische Begriffe und die Vorstellung einer konkret definierten
Bewegung von Objekten durch Raum und Zeit überwunden werden. Während bei norma-
ler Wissenschaft keine begrifflichen und erkenntnistheoretischen Grundlagenfragen gestellt
werden müssen, da der Grundrahmen fest vorgegeben ist, innerhalb dessen die speziellen
Probleme gelöst werden, stehen genau diese Fragen bei einer wissenschaftlichen Revolution
im Zentrum des eigentlichen geistigen Geschehens. Das menschliche Denken basiert auf be-
stimmen Begriffen, die sich auf die wirklichen Realitäten in der Natur beziehen. Es ist aber
keineswegs selbstverständlich, dass die Phänomene des neuen Erfahrungsbereiches sich mit
den natürlichen Begriffen in unserem Denken adäquat beschreiben lassen. Deshalb müssen
nicht nur die Begriffe in unserem Denken bezüglich ihrer Anwendbarkeit auf bestimmte Rea-
litäten in der Natur, sondern auch die grundsätzliche Beziehung unseres Denkens zur Natur
ganz grundsätzlich analysiert werden. Genau dies ist der Grund, warum für die meisten ganz
großen theoretischen Physiker des zwanzigsten Jahrhunderts, welche die Relativitätstheorie
und die Quantentheorie entdeckten und formulierten, nämlich Max Planck, Albert Einstein,
Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli und Erwin Schrödinger, die philosophischen
Fragen in Bezug auf diese neuen Theorien von alles entscheidender Bedeutung waren. Und
genau deshalb müssen diese Fragen natürlich auch bei dem Bestreben der Vereinheitlichung
der Quantentheorie, der allgemeinen Relativitätstheorie und aller fundamentalen Wechsel-
wirkungen nicht nur unbedingt miteinbezogen werden, sondern sogar im Zentrum stehen.
Carl Friedrich von Weizsäcker geht sogar soweit, dass er die allgemeine Quantentheorie als
eine fundamentale Naturtheorie vollständig aus rein erkenntnistheoretischen Postulaten be-
gründen möchte. Dies alles sollte Grund genug sein, die Bedeutung philosophischer und
insbesondere erkenntnistheoretischer Grundfragen als zentralen Bestandteil der fundamen-
talen theoretischen Physik in ihrem vollen Umfang zu würdigen. Deshalb soll sich nun zu-
nächst sehr grundlegenden erkenntnistheoretischen Basisfragen zugewandt werden, die für
die Rechtfertigung und das Verständnis des von Weizsäckerschen Ansatzes der Quanten-
theorie der Ur-Alternativen von zentraler Bedeutung sind.
7
2.2 Die grundlegende Idee der Kantischen Erkenntnistheorie
In der Naturwissenschaft vollzieht sich eine Wechselbeziehung zwischen der Natur als an
sich selbst unabhängig vom Menschen existierender Realität einerseits und dem menschli-
chen Geist andererseits. Dies aber bedeutet, dass zwar nicht die Natur selbst, aber die Na-
turwissenschaft als menschliche Geistestätigkeit immer auch ein in spezifischer Weise auf
den menschlichen Geist bezogener Vorgang ist. Aus eben diesem Grunde ist die Untersu-
chung des menschlichen Geistes selbst eine unabdingbare Voraussetzung der Naturwissen-
schaft, insbesondere der fundamentalen Naturwissenschaft, die sich mit der grundlegenden
Beschaffenheit der Natur in ihrem Inneren beschäftigt. Denn Carl Friedrich von Weizsä-
cker brachte die Grundgegebenheit, dass die Naturwissenschaft als Untersuchung einer vom
menschlichen Geist unabhängigen Realität dennoch immer nur basierend auf den grundle-
genden Erkenntnisstrukturen des menschlichen Geistes basiert, auf den folgenden Satz: ,,Die
Natur ist vor dem Menschen, aber der Mensch ist vor der Naturwissenschaft." Die zentrale
geistesgeschichtliche Bedeutung des Immanuel Kant besteht darin, dass er jene grundlegen-
de Wende im menschlichen Denken in letzter Konsequenz vollzog, welche vor allem nach
den im menschlichen Geist liegenden Bedingungen der Möglichkeit von Erkenntnis fragt,
welche den grundlegenden Rahmen bilden, innerhalb dessen sich die Natur, das Ding an
sich in der Sprache Kants, das für sich selbst vollkommen unabhängig von diesem Rah-
men existiert, für den Menschen darstellt [2],[3]. Gemäß der Kantischen Erkenntnistheorie
sind es vor allem zwei Grundgegebenheiten des menschlichen Geistes, welche die grund-
legende Art und Weise der Erkenntnis über die Natur konstituieren. Dies sind zum einen
die Grundformen der Anschauung, nämlich Raum und Zeit, innerhalb derer uns die Objekte
der äußeren Realität erscheinen, und dies sind zum anderen die Kategorien, also grundle-
gende Begriffe, auf denen das menschliche Denken basiert, und mit denen der menschliche
Geist diese Erscheinungen dann ordnet. Die vielleicht wichtigste unter den Kategorien ist
die Kausalität. Raum, Zeit und Kausalität sind also gemäß Kant gar keine Eigenschaften
der Realität an sich, sondern Realitäten, die nur im menschlichen Geist existieren, aber für
die menschliche Erfahrung konstitutiv sind. Das hinter der Erscheinung der Natur innerhalb
des menschlichen Geistes im Rahmen von Raum, Zeit und Kausalität eigentlich existierende
Ding an sich ist seiner eigentlichen Natur nach nicht erkennbar. Kant begründet die Tatsache,
dass Raum, Zeit und Kausalität nicht durch spezielle Erfahrung in den menschlichen Geist
gelangt sind, sondern ihm stattdessen a priori gegeben sind, mit dem Argument, dass man
sich überhaupt gar nicht denken und vorstellen könnte, dass eine Erfahrung sich nicht im
Rahmen von Raum, Zeit und Kausalität vollzieht. Wenn man sich zum Beispiel einen Ge-
genstand vorstellt und rein gedanklich alle Eigenschaften von ihm wegnimmt, seine Farbe,
die Gravitationswirkung, der er unterliegt, und schließlich sogar das Material, aus dem er be-
steht, so wird am Ende doch eine Sache übrig bleiben, die man sich nicht wegdenken kann,
und das ist der Raum, den er ausgefüllt hat. Wenn es aber schlechthin unmöglich ist, von
der Räumlichkeit der Gegenstände in der Welt zu abstrahieren, so kann der Mensch grund-
sätzlich überhaupt keine Erfahrung über eine Realität in der Natur machen, ohne dass diese
an den Anschauungsraum gebunden ist, und er kann kein Objekt wahrnehmen, ohne dass
dies im Raum erscheint. Daher muss der Raum eine a priori gegebene Realität sein, welche
das grundlegende Wesen unserer Erfahrung über die Welt bestimmt, und gerade keine in
der Natur an sich existierende Eigenschaft. Dies ist der Grund, warum die entscheidenden
revolutionären Schritte in der Naturwissenschaft im Denken nur schwer vollzogen werden
können. Unser Denken und vor allem unser Wahrnehmungs- und Vorstellungsvermögen ist
a priori an bestimmte Grundgegebenheiten gebunden, die aber gerade deshalb zumindest auf
der fundamentalen Ebene der Realität gar nicht zwangsläufig Gültigkeit beanspruchen kön-
8
nen. Diese Erkenntnis, dass der Raum eine a priori gegebene Grundform der Anschauung
darstellt, die konstitutiv für menschliche Erfahrung ist, ist der entscheidende Schlüssel zum
Verständnis der Paradoxien in der Quantentheorie. Unser Geist interpretiert die Phänomene
in der Natur im Rahmen der Raumanschauung, welche aber auf das Quantenobjekt selbst,
das Ding an sich in der Sprache Kants, überhaupt gar nicht sinnvoll bezogen werden kann.
2.3 Der Begriff der Materie bei Platon und Kant
Bei Platon im Dialog Timaios [4] wird der Materiebegriff auf eine reine mathematische
Struktur zurückgeführt, die bei ihm allerdings mit den vier regulären Körpern Tetraeder,
Würfel, Oktaeder und Ikosaeder identifiziert wird, die sich ihrerseits aus gleichseitigen Drei-
ecken zusammensetzen. Die entscheidende Einsicht, die sich hierin ausdrückt, besteht aber
ganz sicher nicht in dieser speziellen geometrischen Vorstellung, die zwar durchaus inter-
essant ist, aber vor dem Hintergrund der heutigen theoretischen Physik ganz sicher nicht
aufrecht erhalten werden kann. Sie besteht jedoch in der grundlegenden philosophischen Er-
kenntnis, dass die Natur in ihrem Inneren nicht durch etwas Stoffliches oder Mechanisches
charakterisiert ist, sondern durch reine mathematische Form, durch reine Struktur, also letzt-
endlich durch etwas rein Geistiges. Allerdings ist Platon diesbezüglich nicht konsequent
genug in seinem Denken, indem er die Struktur in einem geometrischen Sinne versteht, also
auf die Raumanschauung bezieht. Damit bleibt diese Anschauung trotz ihres immerhin schon
sehr grundlegend mathematischen Ansatzes des Verständnisses des Wesens der Natur immer
noch einem geometrischen, also räumlichen, und damit letztendlich doch gegenständlichen
Realitätsbegriff verhaftet. Denn gemäß Descartes ist das Materielle durch die Eigenschaft
der räumlichen Ausdehnung charakterisiert. Noch wichtiger aber ist der Einwand gegen ei-
ne geometrische Vorstellung bezüglich der fundamentalen Objekte der Natur, der im Rah-
men der zweiten Kantischen Antinomie zum Ausdruck gebracht wird, dass es nämlich schon
aus Gründen der reinen begrifflichen Konsistenz und Widerspruchsfreiheit überhaupt keine
kleinsten räumlichen Objekte geben kann. Denn jedes Volumen lässt sich zumindest begriff-
lich immer noch weiter in Teilvolumina zerlegen [2]. Dies steht aber in völligem Einklang
mit dem grundsätzlich nicht-lokalen Charakter der Quantentheorie. Kant hatte also durch
rein philosophische Argumentation bereits eine Intuition für diese grundsätzliche Proble-
matik, obwohl er von der Quantentheorie überhaupt noch nichts wissen konnte. Im Dialog
Parmenides wird der Begriff des Einen philosophisch erörtert, das keine Teile und keine
räumliche Struktur in sich trägt [5], was seinerseits durch Carl Friedrich von Weizsäcker in
Bezug auf die Objekte der Quantentheorie interpretiert wird [6]. Wir sehen hier also, dass
sich die großen Philosophen bezüglich ihrer begrifflichen Reflexionsebene bereits auf ei-
nem Niveau befanden, dass ohne jede Kenntnis der konkreten empirischen Phänomene der
Quantentheorie die Grenzen des feldtheoretischen Denkens deutlich erkennen lässt. Wenn
man aber die Quantentheorie kennt, besitzt man endgültig allen Grund, sich mit diesen be-
grifflichen Grundfragen in aller Gründlichkeit auseinanderzusetzen, was schließlich zur voll-
kommenen Abkehr von einem naiven räumlichen Realitätsbegriff führen muss.
2.4 Beziehung zur modernen Naturwissenschaft
Nun macht es aber die Entwicklung der modernen Naturwissenschaft andererseits auch not-
wendig, die Kantische Erkenntnistheorie zumindest in gewissem Sinne zu relativieren und
zu modifizieren. Die grundlegende Wahrheit der Kantischen Erkenntnistheorie kann in ih-
rem Grundgehalt niemals angetastet werden, denn sie analysiert einfach die im menschlichen
9
Geist nun einmal a priori gegebenen Grundstrukturen des Denkens, aber sie muss doch unter
Einbeziehung naturwissenschaftlicher Erkenntnisse, die Kant noch nicht zugänglich waren,
in einem erweiterten Rahmen interpretiert werden. Eigentlich hätte Kant auch eine solche
Neuinterpretation seiner Erkenntnistheorie unter Einbeziehung naturwissenschaftlicher Er-
kenntnisse für unmöglich gehalten. Denn die grundlegenden Strukturen im menschlichen
Geist stellen ja gerade Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung da, welche das grundle-
gende Wesen aller spezielle Erfahrungsinhalte konstituieren, und sollten deshalb eigentlich
durch spezielle Erfahrung nicht modifiziert werden können. Die dem menschlichen Geist
innewohnenden Anschauungsformen und Kategorien, innerhalb derer wir als Menschen Er-
fahrung machen, und die Kant ja vollkommen richtig untersucht hat, sind für die Art und
Weise des Zugangs des menschlichen Geistes zur Natur tatsächlich unumgänglich. Deshalb
bleibt dieser entscheidende Kern der Kantischen Erkenntnistheorie nicht nur absolut unan-
getastet, sondern ist, wie wir sehen werden, von alles entscheidender Bedeutung für ein
wirkliches Verständnis der Quantentheorie. Allerdings ist es durchaus möglich, und diese
Möglichkeit sah Kant noch nicht, dass sich innerhalb des a priori vorgegebenen Grundrah-
mens menschlicher Erkenntnis eine Realität indirekt darstellt, die an sich selbst nicht nur
allgemeinere Eigenschaften aufweist, die dem teilweise widersprechen, sondern in diesen
Eigenschaften sogar teilweise indirekt erkennbar ist. Denn diese Eigenschaften können sich
innerhalb der dem menschlichen Geist gegeben Grundbeschaffenheit dennoch in indirekter
Art und Weise widerspiegeln. In der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie Al-
bert Einsteins zeigte sich beispielsweise, dass Raum und Zeit in einer spezifischen Weise
miteinander verknüpft sind und dass der Raum allgemeinere geometrische Eigenschaften
aufweist [7],[8],[9],[10]. Wenn sich aber durch empirische Untersuchungen herausstellt, wie
das bei der Relativitätstheorie der Fall war, dass der reale physikalische Raum andere Ei-
genschaften hat, als wir sie ihm gemäß der in unserem menschlichen Geist liegenden Raum-
anschauung zuschreiben, so kann dies doch nur bedeuten, dass unsere Raumanschauung
doch auch eine in der Realität an sich existierende Entsprechung hat, es also einen außer-
halb unseres Geistes wirklich existierenden Raum gibt. Dies gilt jedoch, und hierin liegt
genau die entscheidende Grunderkenntnis dieser Schrift, nur auf der Oberflächenebene der
Natur. Wenn man geistig noch tiefer ins Innere der Natur vordringt, wie dies in der endgül-
tigen Gestalt der Quantentheorie geschieht [11],[12],[13],[14], so verliert die Kategorie der
Räumlichkeit ihre ontologische Bedeutung tatsächlich und eben an jener Stelle erhält die
Kantische Philosophie ihre alles entscheidende Bedeutung für die Interpretation der Quan-
tentheorie und damit zugleich für die Suche nach dem richtigen begrifflichen Rahmen zur
Vereinheitlichung der fundamentalen Physik. Die Beziehung der Kantischen Philosophie zur
Quantentheorie und die Kopenhagener Deutung der Quantentheorie werden ausführlich be-
handelt in [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21]. Bevor dieser zentrale Gedanke aber im nächs-
ten Abschnitt in aller Ausführlichkeit dargelegt wird, muss zunächst noch darauf hingewie-
sen werden, dass auch die Evolutionstheorie Charles Darwins eine wichtige Ergänzung zur
Kantischen Erkenntnistheorie liefert, wie sie erstmals durch Konrad Lorenz in ihrem vollen
Gewicht erkannt wurde und beispielsweise auch seitens Hoimar von Ditfurth und Gerhard
Vollmer vertreten wird. Im Rahmen der evolutionären Erkenntnistheorie [22],[23],[24] er-
gibt sich nämlich eine Erklärung, warum die dem menschlichen Geist a priori gegebenen
Wahrnehmungs- und Denkstrukturen näherungsweise, nämlich auf einer Oberflächenebene,
mit der wirklichen Natur in Übereinstimmung stehen, und dann zu versagen beginnen, wenn
man tiefer in die eigentliche Realität der Natur vordringt. Das menschliche Gehirn, das zwar
nicht mit dem menschlichen Geist identisch ist, der weit darüber hinaus geht, aber doch im-
merhin seine physische Basis darstellt, entwickelte sich nämlich wie alle anderen lebenden
10
Strukturen in der Natur im Rahmen der Phylogenese nach dem Prinzip des Überlebensvor-
teiles, das es dem Menschen gewährte. Demnach haben sich die dem Gehirn innewohnenden
Strukturen zur Erkenntnis der Natur, die sich dann auch im menschlichen Geist widerspie-
geln, in einer solchen Genauigkeit an die Natur angepasst, dass die dem Menschen dadurch
zugängliche Information über die Natur ihm einen signifikanten Überlebensvorteil einbrach-
te. Diesbezüglich war also eine gewisse Übereinstimmung mit der Natur vorteilhaft, aber
eine tiefere Erkenntnis des Inneren der Natur nicht notwendig. Auf die Tatsache, dass die
Existenz der menschlichen Seele und menschliche Erkenntnis nicht ausschließlich in einer
naturalistischen Weise zu erklären sind, da sie ja überhaupt erst die Voraussetzung für die
Wahrnehmung eines Objektes in der Natur wie des Gehirnes liefern, kann in diesem Zusam-
menhang nicht näher eingegangen werden. Deshalb soll sich nun der Beziehung der Kan-
tischen Philosophie zur Quantentheorie in Bezug auf die Frage nach der Interpretation der
Natur des Raumes näher zugewandt werden, um die es in dieser Schrift zunächst eigentlich
geht, um eine adäquate begriffliche Basis für eine konkrete mathematische Formulierung
einer einheitlichen Naturtheorie zu erhalten. Diese geschieht dann anschließend basierend
auf der Rekonstruktion der Quantentheorie und dem Begriff der Ur-Alternative, welcher der
Kopernikanischen Wende in Bezug auf die Raumfrage im vollen Sinne Rechnung trägt.
3 Die der Quantentheorie immanente Kopernikanische
Wende
3.1 Die Entwicklung der Raum-Frage in der Geistesgeschichte
Gemäß Hegel vollzieht sich in der Geistesgeschichte eine dialektische Bewegung hin zur
Wahrheit, innerhalb derer einander zunächst widersprechende Gegenpositionen, also These
und Antithese, zu einer höheren Synthese geführt werden, die dann als These der Ausgangs-
punkt des nächsten dialektischen Schrittes ist. Eine solche dialektische Bewegung hin zu
einer immer tieferen und exakteren Erkenntnis vollzog sich zumindest tendenziell auch in
Bezug auf das Verständnis der eigentlichen Natur des Raumes. Hieran waren Philosophie
und Physik in gleicher Weise beteiligt. Die höchste und für die Suche nach einer einheitli-
chen Naturtheorie zentrale Ebene der Erkenntnis kann diesbezüglich in der Quantentheorie,
insbesondere in der Quantentheorie der Ur-Alternativen, unter Einbeziehung der Kantischen
Erkenntnistheorie erreicht werden. Aber um diese zu erreichen und wirklich zu verstehen,
müssen zunächst die vorhergehenden Ebenen systematisch durchlaufen werden. Die Frage
nach der Natur des Raumes bewegt sich durch die folgenden Thesen hindurch:
These A - Newtonsche klassische Mechanik: Es gibt einen realen absoluten physikali-
schen Raum als fundamentaler Realität und er hat in der Natur diejenigen Eigenschaften, die
sich uns auch in unserer unmittelbaren Erfahrung darstellen. Der Raum ist von der ebenfalls
in der Natur existierenden absoluten Zeit vollkommen unabhängig. Vor allem aber existiert
er unabhängig von den in ihm sich befindenden Objekten. Auch wenn man alle Objekte aus
dem Raum entfernen würde, so würde der Raum weiterhin als in sich existierende unabhän-
gige Entität bestehen. Dieser absolute Raum definiert aber umgekehrt einen absoluten Bewe-
gungsbegriff für die in ihm sich befindenden Objekte. Diese Position bezüglich der Raum-
Frage entspricht unserem natürlichen Urteil und wir unterstellen sie eigentlich gewöhnlich
solange als wahr, als wir sie keiner tieferen philosophischen Reflexion unterziehen.
These B - Leibnizscher Relationalismus: Die Leibnizsche Anschauung bezüglich der
Raum-Frage stellt gewissermaßen die dialektische Gegenposition, die Antithese, zur New-
11
tonschen Auffassung im Rahmen der klassischen Mechanik dar. Gemäß Leibniz gibt es kei-
nen absoluten Raum. Vielmehr stellt der Raum nur so etwas wie eine Beziehungsstruktur
zwischen den Körpern dar. Wenn man also alle Körper aus dem Raum entfernen würde,
so würde damit zugleich auch der Raum selbst verschwinden. Dem Raum kommt also ge-
mäß Leibniz gar keine eigenständige für sich bestehende sondern lediglich eine durch die
Existenz der Objekte indirekt sich konstituierende Realität zu.
These C - Kantische Transzendentalphilosophie: In der Kantischen Erkenntnistheorie
ist der Raum eine in unserem Geist liegende Realität, eine Grundform der Anschauung. Die-
se ist zwar für jegliche menschliche Erfahrung über die Natur konstitutiv. Insofern gehört der
Raum notwendigerweise zur Natur, insofern sie sich im menschlichen Geist spiegelt. Aber
der Realität der Natur selbst, dem Ding an sich, kommt die Räumlichkeit nicht zu. Diese
Anschauung wurde im letzten Abschnitt bereits dargelegt und sie stellt die im Vergleich
zur Leibnizschen noch deutlich grundsätzlichere Antithese zur Newtonschen dar, indem sie
dem Raum nicht nur eine lediglich indirekt über die Objekte verliehene Existenz zuschreibt,
sondern ihm seine Existenz außerhalb des menschlichen Geistes überhaupt abspricht. Dem
Raum kommt zwar eine wirkliche Realität zu, aber diese liegt ausschließlich im menschli-
chen Geist und seinem Bezug zur Wirklichkeit.
These D - Einsteinsche spezielle Relativitätstheorie: Der Raum existiert doch als wirk-
liche Realität in der Natur, aber er hat andere Eigenschaften als diejenigen, die unser Geist
ihm zunächst zuschreibt. Demnach muss eine Unterscheidung vorgenommen werden zwi-
schen der in unserem Geist a priori gegebenen Anschauungsform des Raumes im Kanti-
schen Sinne (These C) und dem physikalischen Raum in der Realität an sich. Hierbei ist
der Raum als Anschauungsform in unserem Geist dem realen Raum in der Natur nur in der
Näherung der klassischen Mechanik isomorph. In der Natur selbst ist der Raum gemäß der
speziellen Relativitätstheorie mit der Zeit zur Raum-Zeit verbunden (zumindest ist eine sol-
che Beschreibung formal möglich) und raum-zeitliche Beziehungen sind entgegen unserer
natürlichen Anschauung vom Bezugssystem abhängig.
These E - Einsteinsche allgemeine Relativitätstheorie: In der allgemeinen Relativitäts-
theorie werden die Erkenntnisse bezüglich des Raumes gemäß der speziellen Relativitäts-
theorie (These D) beibehalten aber zugleich um neue erweitert. Der Raum trägt hier eine
in sich gekrümmte metrische Struktur. Diese metrische Struktur ist selbst dynamisch und
muss deshalb selbst wie ein Objekt behandelt werden. Die Raumkoordinaten hingegen be-
schreiben keine absolute Realität, sondern lediglich eine Beziehung zwischen dynamischen
Entitäten, zu denen auch die metrische Struktur gehört, also das Gravitationsfeld. Real sind
nur Koinzidenzen im Raum, was sich formal in der Diffeomorphismeninvarianz ausdrückt
beziehungsweise in der Tatsache, dass es in der allgemeinen Relativitätstheorie keine abso-
luten räumlichen Größen gibt. Das Phänomen der Beschleunigung existiert zwar wirklich,
aber in Bezug auf das Gravitationsfeld als einer dynamischen Größe. Damit bestätigt die all-
gemeine Relativitätstheorie den Leibnizschen Raum-Relationslismus (These B). Dies wird
in sehr exakter Weise in [25] und [26] thematisiert.
These F - Heisenbergsche Quantentheorie und Kopenhagener Deutung: Mit der Quan-
tentheorie wird entdeckt, dass auf der fundamentalen Ebene räumliche Kausalstrukturen ih-
re Gültigkeit vollkommen verlieren. Auf der fundamentalen Ebene gibt es überhaupt keinen
Raum mehr und die Kategorie der Lokalität verliert ihren Sinn. Hier wird Kant (These C) al-
so insofern vollkommen bestätigt, als ein Quantenobjekt als Ding an sich keinerlei räumliche
Eigenschaften hat. Diese erhält es erst dadurch, dass es in unserer Raumanschauung darge-
stellt wird. Und die Paradoxien, wie sie sich etwa im Doppelspalt-Experiment oder im EPR-
Paradoxon zeigen, entstehen dadurch, dass die Raumanschauung auf eine Realität angewandt
12
wird, auf die sie schlicht und einfach nicht passt. Die Grenzen, innerhalb derer klassische
räumliche Begriffe näherungsweise angewandt werden können, sind durch die Heisenberg-
sche Unbestimmtheitsrelation mathematisch exakt definiert. Die spezielle Relativitätstheorie
(These D) und die allgemeine Relativitätstheorie (These E) korrigieren die Kantische Er-
kenntnistheorie (These C) also nur insofern, als der Raum auf der klassischen Oberflächene-
bene doch auch in der Natur selbst existiert. Aber auf der tieferen durch die Quantentheorie
beschriebenen Ebene verlieren räumliche Kausalstrukturen in der Natur selbst letztendlich
doch ihre Gültigkeit. Dadurch wird Kant (These C) also nicht nur darin bestätigt, das dem
menschlichen Geist a priori gegebene Denkstrukturen innewohnen, welche menschliche Er-
fahrung überhaupt erst möglich machen, sondern auch darin, dass die Räumlichkeit dem
Ding an sich, also in diesem Zusammenhang dem Quantenobjekt, auf der fundamentalen
Ebene tatsächlich nicht zukommt. Auf die entsprechenden Schriften, in denen dies behan-
delt wird, wurde im letzten Abschnitt bereits verwiesen [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21].
These G - Von Weizsäckersche Quantentheorie der Ur-Alternativen: Die Quanten-
theorie der Ur-Alternativen nimmt diese der Quantentheorie letztendlich innewohnende zen-
trale Erkenntnis bezüglich der Natur des Raumes (These F) wirklich ernst, indem sie sich von
räumlich-feldtheoretischen und damit klassisch-mechanistischen Begriffen endgültig löst.
Statt konkreten Objekten im Raum, welche ihren nicht-lokalen Charakter nur indirekt über
die Unbestimmtheitsrelation erhalten, der zudem in den Quantenfeldtheorien über die Defi-
nition der Wechselwirkung über punktweise Produkte von Feldern doch wieder aufgehoben
wird, postuliert sie mit Alternativen rein abstrakt-logische Objekte als fundamentalster Dar-
stellung der Realität der Natur in unserem Geist. Diese Objekte existieren nicht in einem
vorgegebenen Raum, sie gestatten aber umgekehrt die Begründung der Existenz eines sol-
chen Raumes als einer möglichen indirekten Darstellung dieser Alternativen und ihrer Bezie-
hungen. Damit wird nicht nur der in der allgemeinen Relativitätstheorie (These E) enthalte-
nen Leibnizschen Erkenntnis (These B) in wirklich konsequenter Weise Rechnung getragen,
dass der Raum eine sich nur indirekt aus der Existenz von Objekten konstituierende Realität
ist, sondern auch der in der Quantentheorie (These F) enthaltenen Kantischen Erkenntnis
(These C), dass der Raum keine fundamentale Realität der Natur ist, sondern auf der fun-
damentalen Ebene der Natur überhaupt keine räumlichen Kausalstrukturen mehr existieren.
Die Quantentheorie der Ur-Alternativen wird in [18],[19] und [20] in ihren physikalischen
und philosophischen Grundlagen ausführlich dargestellt und entwickelt.
3.2 Empirische Gr¨
unde f¨
ur die nicht-Lokalit¨
at der Quantentheorie
Es sollen nun die konkreten empirischen Gründe genannt werden, welche die These der
nicht-Lokalität der Natur eindeutig stützen, also die These, dass der physikalische Ortsraum
mit den ihm innewohnenden Kausalstrukturen keine fundamentale Realität der Natur sein
kann, sondern nur eine als Näherung sich ergebende Realität. Denn dies folgt in Wirklich-
keit direkt aus unabweisbaren empirischen Tatsachen. Der Inhalt der folgenden Erörterungen
ist zwar eigentlich allgemein bekannt, aber bisher wurden in Bezug auf die Suche nach einer
einheitlichen Naturtheorie nicht die entsprechenden und unumgänglichen Schlüsse gezogen.
Deshalb werden hier das Doppelspaltexperiment einerseits und das EPR-Paradoxon ande-
rerseits in ihrer Relevanz in Bezug auf die Raum-Frage zu Rate gezogen.
Doppelspaltexperiment: Beim Doppelspaltexperiment wird eine Laser-Licht-Quelle vor ei-
ne Blende mit zwei Schlitzen gestellt und dahinter befindet sich eine Photoplatte, die durch
die Einwirkung von Licht geschwärzt wird. Wenn das Experiment zunächst in der Weise
13
durchgeführt wird, dass jeder der beiden Spalten einzeln für sich geöffnet wird, so ergibt
sich jeweils ein spezifisches Interferenzmuster. Wenn man dann anschließend beide Spal-
ten öffnet, so ergibt sich allerdings ein spezifisches Interferenzmuster auf der Photoplatte,
dass nicht der Überlagerung der Interferenzmuster für die beiden einzeln geöffneten Spal-
te entspricht. Man kann dieses Experiment auch mit einer solch schwachen Lichtintensität
durchführen, dass das Eintreffen und Erzeugen von Schwärzungspunkten durch einzelne
Photonen beobachtet werden kann, also einzelne Photonen durch die Blende auf die Pho-
toplatte gelangen. Nun kann man aber unter dieser Voraussetzung in der folgenden Weise
argumentieren: Wenn ein Photon sich nur durch einen der beiden Spalte bewegt, so ist dieser
Vorgang unabhängig davon, ob der andere Spalt geöffnet ist oder nicht. Demnach dürfte sich
das Interferenzmuster für die Durchführung des Experimentes bei Öffnung beider Spalten
aber nicht von demjenigen für die Durchführung des Experimentes unterscheiden, bei der
nacheinander jeweils einer der beiden Spalte geöffnet wird und der jeweils andere geschlos-
sen bleibt. Vielmehr müsste sich im Falle, dass beide Spalte gleichzeitig geöfffnet sind, als
Interferenzmuster eine direkte Überlagerung der beiden Interferenzmuster für die einzeln
geöffneten Spalte ergeben. Tatsächlich aber unterscheidet sich das Interferenzmuster für den
Fall, dass beide Spalte gleichzeitig geöffnet sind, vom Fall, dass sie nacheinander einzeln
geöffnet werden, denn es tritt ein zusätzlicher Interferenzterm auf. Dies aber kann ja nur be-
deuten, dass die Annahme, dass sich ein einzelnes Photon entweder nur durch den einen oder
nur durch den anderen Spalt bewegt, an sich grundsätzlich nicht wahr ist. Dem Photon kann
also keine Teilchenbahn zugeordnet werden und es ist delokalisiert. Gleichzeitig aber han-
delt es sich bei einem Photon um ein in sich zumindest räumlich unteilbares Quantenobjekt,
dass keine innere Kausalstruktur in dem Sinne trägt, dass einzelne Teile der Welle, durch die
das Photon beschrieben wird, aufeinander einwirken könnten. Das Photon besteht also nicht
aus verschiedenen Bereichen oder Teilen, in die es gedanklich zerlegt werden könnte, wie
dies bei einer klassischen Welle der Fall ist, deren einzelne Bereiche in kontinuierlicher Wei-
se kausal aufeinander einwirken. Vielmehr handelt es sich bei einem Photon um eine in sich
im schlechthinnigen Sinne einheitliche Realität, die aber dennoch vollkommen delokalisiert
ist, zumindest im Rahmen dessen, was durch die Unbestimmtheitsrelationen definiert ist. Als
ausgedehnte Welle im Raum müsste sich ein Quantenobjekt eigentlich in unterschiedliche
kausal eigenständige Teile zerlegen lassen, aber dies ist in Wirklichkeit nicht der Fall, da es
ein Quantum der Wirkung ist und daher keine kausale Substruktur in sich trägt. Diese Ei-
genschaft bezeichnet Niels Bohr mit dem Begriff der Individualität. Und hieraus ergibt sich
zwingend, dass die Eigenschaft der Räumlichkeit nur eine indirekte Art der Darstellung ist,
aber dem Quantenobjekt an sich definitiv nicht zukommt.
EPR-Paradoxon: Im Jahre 1935 erdachte Albert Einstein gemeinsam mit seinen beiden
Kollegen Boris Podolsky und Nathan Rosen ein Gedankenexperiment, das von zentraler Be-
deutung für das Verständnis der eigentlichen Natur der Realität gemäß der Quantentheorie
ist, und dessen Gehalt als EPR-Paradoxon Berühmtheit erlangte [27]. Hierbei werden zwei
Quantenobjekte betrachtet, die miteinander in Wechselwirkung treten und sich anschließend
weit voneinander wegbewegen, zumindest auf der räumlichen Oberflächenebene unserer Be-
trachtung. Einstein zeigte nun, dass wenn man eine Messung des Ortes des ersten Teilchens
durchführt, aus der Quantentheorie folgt, dass auch der Ort des zweiten Teilchens exakt
bestimmt sein muss, und dass wenn man eine Messung des Impulses des ersten Teilchens
vornimmt, zugleich auch der Impuls des zweiten Teilchens exakt bestimmt sein muss. Da
aber gemäß dem Postulat der lokalen Kausalität, demgemäß sich Wirkungen mit maximal
Lichtgeschwindigkeit durch die Raum-Zeit ausbreiten, die Messung am ersten Teilchen das
14
zweite Teilchen nicht instantan beeinflussen kann, so scheint hieraus zu folgen, dass der
Ort und der Impuls des zweiten Teilchens gleichzeitig exakt bestimmt sein müssen. Dies
aber wäre eine direkte Verletzung der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation zwischen
Ort und Impuls,
xp
¯h
2
, und damit wäre gezeigt, dass die Quantentheorie in sich selbst
inkonsistent und damit als fundamentale Beschreibung der Natur ungeeignet ist. Einsteins
Argumentation ist unter der Voraussetzung vollkommen konsistent und unausweichlich, dass
man das Prinzip der lokalen Kausalität als wahr unterstellt, also dass sich Wirkungen in ei-
nem feldtheoretischen Sinne mit maximal Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen.
Was Einstein aber in der ihm eigenen argumentativen Härte und Stringenz eigentlich zeig-
te, das ist nicht die Inkonsistenz der Quantentheorie, sondern dass die Quantentheorie mit
dem Prinzip der lokalen Kausalität nicht vereinbar ist. Und das bedeutet, dass es genau zwei
Möglichkeiten gibt, die sich allerdings gegenseitig ausschließen, was bedeutet, dass wenn
die eine wahr ist, die andere notwendig unwahr sein muss:
1) Das Prinzip der lokalen Kausalität ist gültig.
2) Die Quantentheorie ist in sich konsistent und der ihr innewohnende nicht-lokale
Charakter beschreibt die Natur korrekt.
Niels Bohr antwortete bereits im gleichen Jahr mit einer Arbeit, in welcher er die Quan-
tentheorie verteidigte [28]. Mittlerweile wurde das Einsteinsche Gedankenexperiment aber
in anderer Weise vielfach realisiert, meistens in Bezug auf den Spin der Teilchen als Mess-
größe. Hierbei spielen die Betrachtungen Bells eine wichtige Rolle [29]. Und diese Experi-
mente entschieden bisher immer zu Gunsten der Quantentheorie. Es besteht also eine direkte
Korrelation zwischen dem Messergebnis zweier aus einer räumlichen Perspektive betrach-
tet weit voneinander entfernter Quantenobjekte, was bedeutet, dass der Zustand des einen
Objektes durch den Vorgang der Messung am anderen Objekt instantan beeinflusst wird.
Genaugenommen handelt es sich eigentlich gar nicht um zwei voneinander getrennte Ob-
jekte, sondern um ein einziges Objekt, dass in der Wahrnehmung nur künstlich als in zwei
Objekte aufgespalten erscheint. Dies aber bedeutet nichts anderes, als dass das Prinzip der
lokalen Kausalität, auf dem alle Feldtheorien basieren, zu Gunsten einer nicht-lokalen quan-
tentheoretischen Beschreibungsweise der Realität aufgegeben werden muss und die räum-
liche Wirklichkeit nur einer indirekten äußeren Darstellung des Geschehens in der Natur
entspricht. Dies gilt zumindest auf der fundamentalen Ebene. Zu einem Kulminationspunkt
gelangte diese Art des Experimentes schließlich bei Anton Zeilinger, dem es gelang, auf
diese Weise quantentheoretische Zustände zu teleportieren [30],[31].
3.3 Mathematische Gr¨
unde f¨
ur die nicht-Lokalit¨
at der Quantentheorie
Die allgemeinste und abstrakteste Formulierung der Quantentheorie im Sinne Paul Adrien
Maurice Diracs und Johann von Neumanns [32],[33] als einer Theorie des Hilbert-Raum-
es setzt keinerlei konkrete physikalische Begriffe voraus, weder einen Massenbegriff, noch
einen gewöhnlichen Wechselwirkungsbegriff, noch räumlich-feldtheoretisch definierte Ob-
jekte oder überhaupt einen physikalischen Ortsraum. In dieser abstrakten Fassung basiert
die Quantentheorie lediglich auf den hoch abstrakten Begriffen des Zustandes als Vektor
und der Observable als Operator in einem Hilbert-Raum. Alle anderen Begriffe werden in
der gewöhnlichen Elementarteilchenphysik nur über das der Natur der Quantentheorie ei-
gentlich vollkommen fremde feldtheoretische Denken in die Beschreibung der Natur ge-
15
bracht, also über klassische Theorien, auf die man das abstrakte mathematische Schema der
Quantentheorie erst nachträglich durch den Vorgang der Quantisierung überträgt. Aber die
Quantentheorie an sich selbst ist davon in keiner Weise abhängig. Einzig und alleine die
Zeit als fundamentalstem Begriff der Natur und des menschlichen Denkens muss auch in
der Quantentheorie erhalten bleiben. Denn auch in der Kantischen Philosophie kommt der
Zeit fundamentalerer Charakter zu als dem Raum, da die Zeit als Grundform der inneren
Anschauung im Gegensatz zum Raum als Grundform der äußeren Anschauung sogar zur
seelischen Welt der Empfindungen gehört. Die Zeit liegt sowohl allen seelischen Phänome-
nen alsauch allen Phänomenen in der Natur zu Grunde und ihr muss daher ein Sonderstatus
beigemessen werden. Daran ändert auch die spezielle Relativitätstheorie nichts, welche den
Unterschied zwischen Zeit und Raum nicht aufhebt, sondern diese beiden wesensfremden
Realitäten nur formal zu einer Raum-Zeit verbunden zu beschreiben gestattet. Aber auch
hier läuft die Zeit nur in eine Richtung und die Raum- beziehungsweise Zeitartigkeit des
Abstandes zweier Ereignisses ist eine Lorentz-invariante Größe. Zudem weist ein physikali-
sches Objekt bezüglich der Raum-Zeit immer nur drei Freiheitsgrade auf, da der vierte über
die dynamische Grundgleichung weggenommen wird. Es gibt also faktisch immer eine zeit-
liche Bewegung, die etwas anderes ist als eine räumliche Ausdehnung, nur dass diese zeit-
liche Bewegung sich von unterschiedlichen Bezugssystemen aus anders darstellt. Aber alle
anderen gewöhnlichen physikalischen Begriffe im klassischen Sinne außer der Zeit spielen
in der abstrakten Quantentheorie überhaupt keine Rolle mehr. Werner Heisenberg formu-
lierte die These, dass man einen bestimmten Bereich der Natur dann verstanden habe, wenn
man die richtigen Begriffe gefunden habe, mit denen man ihn beschreiben muss. Aber er
meinte, dass das Schwierigste bei diesem Prozess des Übergangs zu neuen Begriffen eigent-
lich nicht das Auffinden der neuen Begriffe sei, sondern die gedankliche Loslösung von den
alten Begriffen. In diesem Sinne scheint es mir nahe zu liegen, dass eine der zentralen Her-
ausforderungen bei der Suche nach einer einheitlichen Beschreibung der Natur, in der die
Quantentheorie, die verschiedenen Objekte und deren Wechselwirkungen in der Elementar-
teilchenphysik und die allgemeine Relativitätstheorie eine wirkliche Synthese eingehen, in
der radikalen Überwindung klassischer Begriffe besteht und nur noch die Quantentheorie in
ihrer abstrakten Begrifflichkeit nicht aber irgendwelche klassischen Relikte feldtheoretisch-
mechanistischen Denkens enthalten sind. Aber genau dies leistet die Quantentheorie der Ur-
Alternativen. Denn sie versucht auch in ihrer physikalischen Begriffsbildung den rein ab-
strakt-logischen Charakter als eigentlicher Essenz der Quantentheorie herauszuarbeiten wie
er in der Dirac-von Neumannschen allgemeinen Formulierung der Quantentheorie deutlich
zum Vorschein kommt. In diesem Zusammenhang sollte auch darauf hingewiesen werden,
dass eine Quantenzahl, durch welche nicht nur der Spin sondern auch die sogenannten in-
ternen Freiheitsgrade wie Isospin und Farbe beschrieben werden, ein sehr viel abstrakterer
rein quantentheoretischer Begriff ist und von jedem feldtheoretisch oder räumlich definierten
Begriff in grundsätzlicher Weise unterschieden ist. In der gewöhnlichen Elementarteilchen-
physik herrscht also bereits eine Dualität aus einer rein quantentheoretischen Begrifflichkeit,
wie sie mit den Quantenzahlen auftritt und einer primär feldtheoretischen Denkweise, in-
dem man diese als Eigenschaften von räumlich definierten Objekten ansieht. Es ist also
schon um der diesbezüglichen begrifflichen Einheit willen davon auszugehen, dass auch die
kontinuierliche räumliche Realität letztendlich auf eine rein quantentheoretische Realität zu-
rückgeführt werden muss. Umgekehrt kann es schon deshalb nicht gehen, weil Quantenzah-
len abstrakter sind als konkrete räumliche Objekte und eine begriffliche Rückführung und
Einordnung, die das eigentliche Wesen aller strukturellen Erkenntnis darstellt, immer nur
in der Richtung einer Begründung des Konkreten aus dem Abstrakten geschehen kann, bei
16
dem konkrete Begriffe unter abstrakten Begriffen zusammengefasst werden. Gemäß Eugene
Wigner werden zwar Elementarteilchen bereits rein mathematisch durch Symmetrien cha-
rakterisiert [34],[35], als irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe, also als etwas sehr
Abstraktes. Aber diese sind wie die Dreiecke in Platons Timaios noch auf die Raum-Zeit be-
zogen und damit zumindest indirekt geometrisch definiert. Die abstrakten Ur-Alternativen
in der von Weizsäckerschen Theorie hingegen basieren nur auf reiner quantentheoretischer
Logik als fundamentaler Realität, die der Natur letztendlich zu Grunde liegt.
3.4 Die Kopernikanische Wende bez¨
uglich der Raum-Frage als
Konsequenz
Die in den letzten beiden Unterabschnitten dargelegten Argumente führen also unausweich-
lich zu der Einsicht, dass die physikalische Realität auf der basalen Ebene nicht-räumlich
ist. Unsere Vorstellung ist aber gemäß Immanuel Kant an die a priori in unserem Geist an-
gelegte Anschauungsform des Raumes gebunden. Dies ist der Grund, warum es gemäß der
Kopenhagener Deutung der Quantentheorie notwendig ist, alle Experimente in klassischen
Begriffen zu beschreiben, einfach weil unser Denken und unsere Wahrnehmung an sie ge-
bunden ist. Die Grenze dieser klassischen, also räumlich-feldtheoretischen, Beschreibungs-
weise in Bezug auf die Realität an sich ist aber durch die Unbestimmtheitsrelation exakt
definiert. Wenn wir allerdings basierend auf der Räumlichkeit versuchen, quantentheoreti-
sche Objekte und Vorgänge darzustellen und zu verstehen, so kommt es zu den bekannten
Paradoxien. Die Auflösung dieser Paradoxien besteht also in der Erkenntnis, dass die Quan-
tentheorie von einer Realitätsebene handelt, auf der räumlich-feldtheoretische Begriffe noch
überhaupt keine Gültigkeit besitzen. Dies aber bedeutet, dass auch die fundamentalen Ob-
jekte noch nicht an diese Begrifflichkeit gebunden sein müssen und können. Da es aber auf
der Oberflächenebene den Raum mit seinen lokalen Kausalbeziehungen wirklich gibt, muss
sich diese physikalische Struktur als Näherung indirekt im Sinne einer Konsequenz ergeben.
Und ebendies führt zur zentralen und alles entscheidenden Kopernikanischen Wende in Be-
zug auf die Raum-Frage, die in folgender Weise formuliert werden kann:
Nicht geometrisch definierte Objekte befinden sich in einem vorgegebenen Raum mit
einer lokalen Kausalstruktur, sondern abstrakt-logische Objekte konstituieren um-
gekehrt die Existenz des Raumes, der sich als eine bestimmte Art der Darstellung
indirekt als Konsequenz ergibt, dem aber keine fundamentale Natur zukommt.
Diese Kopernikanische Wende als Konsequenz der nicht-Räumlichkeit der Natur auf ba-
saler Ebene gemäß der Quantentheorie, wie sie in diesem Abschnitt eingehend thematisiert
wurde, wird durch den Begriff der Ur-Alternative in konsequenter Weise ausgedrückt. Denn
die Ur-Alternativen als fundamentalen Informationseinheiten setzen den Raumbegriff noch
nicht voraus, sondern nur die reine Logik und befinden sich daher nicht im Raum. Sie er-
möglichen aber umgekehrt, wie später in dieser Arbeit gezeigt werden wird, die Begründung
der Existenz eines dreidimensionalen reellen Raumes, der über die Dynamik dann mit der
Zeit zu einer reellen (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit als Darstellungsmedium der Zustän-
de vieler Ur-Alternativen erweitert werden kann. Damit kann die Existenz von Objekten in
einer Raum-Zeit also aus den Ur-Alternativen und damit aus der abstrakten Quantentheorie
aufgefasst als einer Theorie der Information in der Zeit mathematisch begründet werden.
Dies ist der entscheidende Grund, warum die Quantentheorie der Ur-Alternativen rein be-
grifflich der überzeugendste bisher existierende Ansatz zu einer einheitlichen Naturtheorie
ist. Denn hier ist die Kopernikanische Wende bezüglich der Raumfrage wirklich bezüglich
17
der grundlegenden Begrifflichkeit enthalten. Deshalb soll sich im nächsten Abschnitt dem
Programm Carl Friedrich von Weizsäckers zugewandt werden, die Quantentheorie als eine
Theorie logischer Alternativen zu verstehen. In diesem Zusammenhang ist es aber wichtig,
darauf hinzuweisen, dass das wirklich klassische und feldtheoretische Element, und damit
wohl auch die Wurzel der Entstehung der unendlichen Werte, im Rahmen relativistischer
Quantenfeldtheorien eigentlich erst mit der Definition der Wechselwirkung über punktweise
Produkte von Feldern zurück in die Beschreibung der Natur gelangt. Denn eine quantisierte
freie Feldtheorie entspricht bekanntlich der Quantenmechanik vieler Teilchen. Diese enthält
aber die nicht-Lokalität zumindest implizit über die Unbestimmtheitsrelation, wenn auch
vielleicht in begrifflich nicht ganz konsequenter Weise. Aus diesem Grunde wird es vor allem
entscheidend sein, gerade den Wechselwirkungsbegriff basierend auf den Ur-Alternativen in
einer abstrakten rein quantentheoretischen Weise zu fassen.
4 Rekonstruktion der abstrakten Quantentheorie
4.1 Das Programm und der Bezug zu anderen Ans¨
atzen
Das Programm der Rekonstruktion der Quantentheorie als einer einheitlichen Naturtheorie
des Carl Friedrich von Weizsäcker basiert auf dem rein logischen Begriff der Alternative als
fundamentalster Darstellung der Realität der Natur in unserem Geist und besteht grundsätz-
lich aus zwei Schritten, die man in der folgenden Weise charakterisieren kann:
1) Zunächst muss die allgemeine Quantentheorie in ihrer abstrakten Gestalt als Theo-
rie des Hilbert-Raumes gemäß Paul Adrien Maurice Dirac und Johann von Neumann
[32],[33] begründet werden. Dies geschieht über den Begriff der abstrakten logischen
Alternative in der Zeit als fundamentalster möglicher Darstellung und Schematisie-
rung physikalischer Realitäten in unserem Geist. Die in diesem abstrakten Sinne ver-
standene Quantentheorie ohne zusätzliche spezielle Annahmen einer weiteren Theorie
der Objekte oder des physikalischen Ortsraumes wird dann als der einheitliche Rah-
men zur Beschreibung der Einheit der Natur postuliert.
2) Aus der abstrakten Quantentheorie als Theorie logischer Einheiten in der Zeit, also
letztendlich aus quantentheoretisch verstandener Information, muss dann die konkre-
te Physik mit der Existenz ihrer speziellen Objekte und deren Dynamik und Wechsel-
wirkungen einschließlich des Raumes begründet werden. Dies geschieht mit Hilfe der
logischen Möglichkeit der Aufspaltung jeder Alternative in eine Kombination binärer
Alternativen, die in ihrer grundsätzlichen Rolle als den logisch fundamentalsten Ob-
jekten der Naturbeschreibung als Ur-Alternativen bezeichnet werden.
Carl Friedrich von Weizsäcker erdachte, entwickelte und formulierte dieses grundlegen-
de Programm vor allem in [18],[19],[20],[36],[37],[38],[39],[40],[41]. Teilweise Darstellun-
gen beziehungsweise Weiterentwicklungen des von Weizsäckerschen Programmes sind bei-
spielsweise zu finden in [42],[43],[44],[45],[46],[47],[48],[49],[50],[51],[52],[53],[54],[55],
[56],[57],[58],[59],[60].
Die grundlegende Idee des ersten Schrittes des Programms des Carl Friedrich von Weiz-
säcker basiert auf dem Kantischen Gedanken, dass die grundlegenden Naturgesetze sich
aus den Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung ergeben. Die hierin enthaltene Argu-
mentation besteht darin, dass man nur dann wirklich sicher sein kann, dass Naturgesetze
18
grundsätzlich in der Erfahrung gelten, wenn sie eine notwendige Bedingungen der Möglich-
keit von Erfahrung sind, Erfahrung ohne sie also gar nicht möglich wäre. Die universelle
Gültigkeit der allgemeinen Quantentheorie soll sich demnach also aus den Bedingungen
der Möglichkeit von Erfahrung ergeben. Dies geht insofern noch über Kant hinaus als Kant
nur den grundlegenden begrifflichen Rahmen nicht aber die Einzelgesetze aus den Bedin-
gungen der Möglichkeit von Erfahrung begründen wollte. Raum, Zeit und Kausalität lassen
sich also gemäß Kant als Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung deuten, da sie ganz
grundlegend und allgemein sind. Spezielle Gesetze wie das Gravitationsgesetz aber müs-
sen zusätzlich durch spezielle Erfahrung in unseren Geist gelangen. Bei von Weizsäcker
hingegen sollen sich auch alle Einzelheiten letztendlich aus der abstrakten Quantentheorie
ergeben, wenn sie ersteinmal aus den grundlegenden Bedingungen der Möglichkeit von Er-
fahrung konstruiert ist. Dies ist natürlich aufgrund des extrem hohen Anspruches, den dieses
Programm in sich enthält, bisher noch nicht annähernd erreicht worden. Die Rekonstruktion
der abstrakten Quantentheorie kann man basierend auf einer Reihe von Postulaten recht gut
vollziehen, wenngleich zumindest nicht von allen diesen Postulaten zwingend argumentativ
gezeigt werden kann, dass es sich um Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung handelt.
Aber die Begründung der konketen Physik aus der abstrakten Quantentheorie über die Ur-
Alternativen ist eben doch ein ungeheures Programm, das bisher nur ansatzweise vollzogen
werden konnte. Was man aber immerhin schon herleiten kann, das ist die Existenz eines
dreidimensionalen reellen Raumes, der über die in der abstrakten Form der Schrödinger-
Gleichung enthaltene allgemeine Dynamik der Quantentheorie zudem mit der Zeit zu ei-
ner (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit verbunden werden kann. Dies soll in dieser Arbeit in
vielleicht konsequenterer Weise als bisher geschehen, indem nicht der Zustandsraum einzel-
ner Ur-Alternativen als
S
3
, also als dreidimensionale Sphäre, mit dem Ortsraum identifiziert
wird, sondern die Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen, in dem Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren wirken, als Funktionen in einem dreidimensionalen reellen Orts-
raum dargestellt werden, was über die Definition eines entsprechenden Hamilton-Operators
die formale Beschreibung in einer (3+1)-dimensionale Raum-Zeit gemäß der speziellen be-
ziehungsweise der allgemeinen Relativitätstheorie zulässt. Damit ist gezeigt, dass Zustände
aus vielen Ur-Alternativen sich indirekt als Objekte in der Raum-Zeit darstellen. Dies er-
möglicht grundsätzlich die Darstellung jedes beliebigen dynamischen Vorganges, der sich
auf Objekte bezieht, die aus Ur-Alternativen aufgebaut sind, in einer (3+1)-dimensionalen
Raum-Zeit, die sich damit also argumentativ zwingend als direkte Konsequenz der abstrak-
ten Quantentheorie als einer Theorie der Information ergibt. Bei der weiteren Begründung
der Existenz der speziellen Objekte, also Elementarteilchen mit zusätzlichen konkreten At-
tributen wie Spin, Masse und inneren Symmetrien sowie deren Wechselwirkungen, sollte
man zwar als endgültiges Ziel die von Weizsäckersche Ambition nicht vergessen. Man soll-
te sich aber wohl zunächst auf den immer noch sehr grundsätzlichen aber nicht ganz so
ambitionierten Versuch beschränken, die real existierenden Objekte und Wechselwirkungen
durch Ur-Alternativen auszudrücken, also Strukturen aus Ur-Alternativen zu konstruieren,
die näherungsweise zu den konkreten Objekten und Wechselwirkungen in der Raum-Zeit
führen ohne aber schon begründen zu können, dass ausschließlich diese Strukturen möglich
sind. Und damit kann man dann in der Tat zu einer rein quantentheoretischen auf Ur-Alter-
nativen basierenden Beschreibung der Dynamik freier Objekte, der inneren Symmetrien und
auch zumindest eines ersten Modells des Elektromagnetismus und der Gravitation gelangen,
was in den späteren Abschnitten entwickelt wird. Die Abbildung von Zuständen vieler Ur-
Alternativen in die Raum-Zeit, der Versuch einer Bildung eines rein auf Ur-Alternativen sich
gründenden abstrakt-quantentheoretischen Wechselwirkungsbegriffes, die Einbindung inne-
19
rer Symmetrien über die Betrachtung von oktonionischen Strukturen im Rahmen der Ur-
Alternativen und die Konstruktion eines ersten Modells zur Beschreibung der elektromagne-
tischen sowie der gravitativen Wechselwirkung im begrifflichen Rahmen der Quantentheorie
der Ur-Alternativen stellen meinen eigenen spezifischen neuen Beitrag zur von Weizsäcker-
schen Theorie dar, der im Rahmen dieser Arbeit behandelt wird.
Die Idee des Raum-Relationalismus im Sinne der Einsteinschen allgemeinen Relativitäts-
theorie ist auch in der sehr vielversprechenden und mathematisch auf sehr hohem Niveau
formulierten Schleifenquantengravitation bereits verwirklicht, die seitens Carlo Rovelli und
Lee Smolin entwickelt wurde [25],[61],[62],[63]. Aber hier geht man trotzdem noch von der
allgemeinen Relativitätstheorie als einer Feldtheorie aus, wenn auch in einer anderen mathe-
matischen Formulierung mit Spin-Konnektionen und Holonomien, und überträgt dann die
Mathematik der Quantentheorie auf diese feldtheoretische Denkweise. Und auch die Spin-
Netzwerke [25],[63] gehen von einem zwar abstrakten Netz von Punkten aus, das aber an
sich selbst nun eine quantentheoretische Beschreibung der Raum-Zeit liefern soll, während
im Ansatz Carl Friedrich von Weizsäcker auf der fundamentalen Ebene überhaupt keine
Raum-Zeit existiert, auch nicht in einem diskretisierten Sinne oder im Sinne eines Netzwer-
kes. Vielmehr besteht die Natur, welche überhaupt nur in Bezug auf unseren menschlichen
Geist beschrieben werden kann, nur aus abstrakter quantentheoretischer Information. Die
Idee, die physikalische Realität basierend auf dem Begriff der Quanteninformation zu grün-
den, wird in anderer Weise auch seitens Fotini Markopoulou und einiger ihrer Kollegen in
den folgenden Arbeiten vertreten [64],[65],[66],[67],[68],[69],[70]. Allerdings werden dort
die philosophischen Grundlagen nicht analysiert. Zudem wird die Idee auch hier nicht in der
gleichen begrifflichen Stringenz formuliert. Denn auch hier geht man zumindest noch von
einem Netz abstrakter Punkte aus, die Information enthalten und austauschen, während sich
in der von Weizsäckerschen Theorie der physikalische Informationsbegriff nur noch aus den
Ur-Alternativen selbst konstituiert. Alle anderen Beziehungsstrukturen müssen sich in der
Quantentheorie der Ur-Alternativen hieraus ergeben. In [71] wird die Idee, dass die Raum-
Zeit sich aus einer fundamentaleren Realität konstituieren könnte, im Rahmen eines weiteren
mathematisch sehr anspruchsvollen Ansatzes diskutiert.
Die Twistor-Theorie, die von Roger Penrose stammt [72],[73],[74],[75], macht zwar wie
die Quantentheorie der Ur-Alternativen von der Tatsache Gebrauch, dass eine direkte mathe-
matische Beziehung, eine Isomorphie zwischen Raum-Zeit-Vektoren und Spinoren besteht,
sodass sie aufgrund der Mathematik zunächst sehr verwandt wirkt. In Wirklichkeit aber geht
es hier nur um eine mathematische Reformulierung der allgemeinen Relativitätstheorie als
klassischer Feldtheorie, indem man die Raum-Zeit-Vektoren in eine Schreibweise basierend
auf Spinoren überführt. In der von Weizsäckerschen Theorie hingegen stellen die Spinoren
eine mathematische Beschreibung quantentheoretischer Informationseinheiten dar, die über-
haupt nicht auf eine Raum-Zeit bezogen sind und deren Zustände sich dann lediglich in einer
Raum-Zeit darstellen lassen.
Bezüglich der philosophischen Grundintention besteht eine gewisse Verwandschaft der
von Weizsäckerschen Theorie zur Philosophie Ludwig Wittgensteins [76], der ebenfalls da-
von ausgeht, dass so etwas wie elementare Tatsachen fundamental sind.
4.2 Postulate einer Quantentheorie logischer Alternativen
Es sollen nun die grundlegenden Postulate als die Bedingungen der Möglichkeit von Erfah-
rung vorgestellt und erläutert werden, auf denen das ganze von Weizsäckersche Programm
basiert. Die Logik ist eine absolute Vorbedingung für die Möglichkeit von Erkenntnis. Um
20
welche Art von Logik es sich handelt, ist dabei noch nicht definiert, aber es muss ein ab-
straktes strukturiertes Schema geben, das als eine Art grundlegendes Medium einer formalen
strukturierten Argumentation und Erkenntnis fungiert und erlaubt, Aussagen in eine sinnvol-
le Beziehung zueinander zu setzen. Zudem ist die Zeit fundamental, denn Erfahrung machen
bedeutet aus der Vergangenheit für die Zukunft lernen. Überhaupt kann sich nur irgendet-
was ereignen, etwas passieren, das man beobachten kann, wenn grundsätzlich Zeit ist. Die
Quantentheorie setzt als fundamentale Entitäten daher letztlich nur die auf einem rein logi-
schen Grundschema basierende Information sowie die Zeit voraus. Natürlich erhalten damit
Logik und Information zugleich eine über eine rein epistemologische Rolle hinausgehen-
de ontologische Bedeutung. Die grundlegendste und fundamentalste Art und Weise, über
eine beliebige empirisch untersuchbare oder überhaupt rein logisch erfassbare Realität Wis-
sen besitzen zu können, drückt sich in einer Alternative aus, welche die Information über
diese Realität enthält. Nun kann man aber noch weiter gehen und die Realität so abstrakt
und grundsätzlich auffassen, dass sie überhaupt nur eine Beziehungsstruktur aus abstrakter
Information darstellt. Dies aber ist gleichbedeutend mit dem Postulat der Identität des Ob-
jektbegriffes mit dem Informationsbegriff. Um in einer solchen Informationsstruktur etwas
erkennen zu können, muss man eine einzelne Alternative zumindest näherungsweise in dem
Sinne isolieren können, dass man sie unabhängig von anderen Alternativen definieren und
entscheiden kann. Der Preis für diese Näherung ist dann die Einführung der Wechselwirkung
als Konsequenz der Brechung einer einheitlichen Wirklichkeit durch eine aus einem Vorgang
der Separation hervorgehenden logischen Beschreibungsweise im Sinne der Darstellung und
Aufspaltung in Alternativen. Wenn man weiter davon ausgeht, dass die Welt endlich ist, so
ergibt sich, dass es grundsätzlich nur endliche Alternativen geben kann, also Alternativen mit
endlich vielen Elementen, obwohl es zunächst keine konkret definierbare Obergrenze für die
Zahl der Elemente einer Alternative gibt. Wenn man nun die Struktur der Zeit hineinbringt,
so ist das tertium non datur nicht mehr erfüllt, das besagt, dass eine Aussage entweder wahr
oder falsch ist, denn Aussagen, die sich auf die Zukunft beziehen, müssen im Allgemei-
nen nicht determiniert sein. Allerdings kann man das tertium non datur als ein Postulat der
Quantenlogik auch unabhängig von der Zeit einführen. Von Weizsäcker selbst begründete
die Verletzung des tertium non datur explizit über die Struktur der Zeit mit Vergangenheit,
Gegenwart und Zukunft. Allerdings erhält man dann eine begriffliche Schwierigkeit. Denn
die Zeit taucht in der Quantentheorie ja zugleich als ein kontinuierlicher Parameter auf, über
den auch die Dynamik gemäß der allgemeinen Schrödinger-Gleichung definiert ist, welche
eine deterministische Struktur der Zeit impliziert. Obwohl mir diese Begründung der Quan-
tenlogik über die Zeit insofern als sehr feingeistig und tiefgründig erscheint, als man hier
so viel wie möglich nur aus der Zeit selbst als der fundamentalsten Realität der Natur und
des menschlichen Geistes zu begründen versucht, glaube ich, dass es aufgrund der dann
auftretenden Dualität des Zeitbegriffes zunächst besser ist, die Quantenlogik als von der
Zeit unabhängiges zusätzliches Postulat zu behandeln. Jedenfalls führt die Quantenlogik auf
Wahrheitswerte für die Elemente der Alternativen, die dann faktisch Wahrscheinlichkeiten
dafür darstellen, dass die einzelnen Elemente der Alternative, die sich kontinuierlich mit der
Zeit entwickeln, bei einer Messung aufgefunden werden. Basierend auf diesen Überlegun-
gen kann man die Grundpostulate in der folgenden Weise kategorisieren:
A) Postulat der Alternativen als basaler Realität: Eine logische Alternative besteht aus
N Möglichkeiten, bei denen alle anderen Möglichkeiten falsch sind, wenn eine wahr ist.
Logische Alternativen sind die fundamentalste Schematisierung der Realität der Natur in
unserem Geist und damit als deren Objekte zugleich die basale Entität der Natur.
21
B) Postulat des Finitismus: Die Alternativen enthalten nur endlich viele Elemente. Die
Zahl der Elemente ist zunächst nicht begrenzt, aber endlich.
C) Postulat der Trennbarkeit: Die Alternativen können in einer gewissen Näherung von-
einander getrennt entschieden werden, was bedeutet, dass die Entscheidung einer Alternative
unabhängig von der Entscheidung aller anderen Alternativen ist. Die Korrektur dieser Nä-
herung definiert die Wechselwirkung zwischen den Alternativen. Eigentlich ist die Realität
holistisch aufzufassen, aber wenn man als Bedingung der Möglichkeit von Erfahrung einen
bestimmten Teil der Realität als Objekt isoliert, dann ist dies eine Näherung, deren Begrenzt-
heit sich indirekt als eine Wechselwirkung mit anderen Objekten darstellt.
D) Postulat der Symmetrie: Die einzelnen Elemente der Alternative sind gleichberechtigt,
innerhalb der Alternative ununterscheidbar und können daher innerhalb einer Alternative
aufeinander abgebildet werden. Eine Unterscheidung ist nur relativ zu anderen Alternativen
möglich. Dies konstituiert eine Symmetrie der Alternative und des Vektorraumes, der durch
die möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert ist. Bei einer Alternative mit N Ele-
menten ist dies die SO
(N)-Gruppe.
E) Postulat der Quantenlogik: Die logischen Alternativen in der Natur folgen einer Quan-
tenlogik, in welcher das tertium non datur verletzt ist, der Satz vom ausgeschlossenen Drit-
ten neben wahr und unwahr, was bedeutet, dass einzelne Aussagen nicht entweder wahr
oder falsch sind. Deshalb müssen den einzelnen Elementen der Alternativen Wahrschein-
lichkeiten zugeordnet werden, was einen Vektorraum aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen
als quantentheoretischen Zuständen über diesen Alternativen definiert. Carl Friedrich von
Weizsäcker interpretiert diese Quantenlogik wie oben bereits thematisiert als eine zeitliche
Logik, in welcher sich die Offenheit der Zukunft manifestiert. Allerdings entsteht dadurch
das Problem, dass dann aufgrund der dynamischen und kontinuierlichen Zeitentwicklung
der Zustände in der Quantentheorie die Zeit in einer dualen Weise auftritt. Dies ist kein
spezifisches Problem der von Weizsäckerschen Begründung der Quantentheorie, sondern
ist grundsätzlich in der Quantentheorie in Gestalt des berühmten Messproblems enthalten.
Denn in der Quantentheorie kann sich ein Zustand auf zwei Weisen ändern: Kontinuierlich
gemäß der Schrödinger-Gleichung, solange keine Messung durchgeführt wird, und sprung-
haft, wenn eine Messung durchgeführt wird. Aber da Messung ja Wechselwirkung mit einem
Messapparat bedeutet, muss sich eigentlich auch der Messvorgang deterministisch entwi-
ckeln, und zwar auf Basis der Schrödinger-Gleichung des aus Messobjekt und Messapparat
zusammengesetzten Objektes. Diese Inkonsistenz lässt sich wohl nur durch die Annahme
auflösen, dass sich auch der Übergang bei einem Messprozess in Wirklichkeit determinis-
tisch entwickelt, man den Ausgang dieses Prozesses nur aufgrund der vielen unbekannten
mikroskopischen Freiheitsgrade des Messapparates nicht vorhersagen kann. Dies bedeutet
dass die nicht-Determiniertheit in der Quantentheorie im Gegensatz zur in der Unbestimmt-
heitsrelation sich eigentlich ausdrückenden nicht-Lokalität keinen ontologischen Charakter
hat, da auch der Messprozess im Prinzip der Dynamik der Quantentheorie gehorchen muss,
welche absolut deterministisch ist [77]. Dies scheint mir in Einklang mit der Behandlung des
Messproblems in [78] zu stehen. Es wird hier offen gelassen, ob und in welcher Weise die
Quantenlogik als zeitliche Logik zu interpretieren ist. Daher wird die Zeit hier nur separat in
Bezug auf die Zeitentwicklung der Zustände eingeführt.
22
F) Postulat der Zeitentwicklung: Die Alternativen unterliegen der Zeit als neben der Struk-
tur der Logik zweiter fundamentaler Realität im menschlichen Geist und in der Natur und
und verändern ihren Zustand kontinuierlich mit der Zeit. Die Zeit wird demnach als konti-
nuierlicher Parameter in die Quantentheorie der Information eingeführt, der mit einer ein-
parametrigen Untergruppe der Symmetriegruppe der Alternativen in Zusammenhang steht.
Dies führt als möglicher Darstellung zu einem komplexen Vektorraum mit einer durch eine
Schrödinger-Gleichung definierten U
(1)-Gruppe, welche die Zeitentwicklung determiniert.
G) Postulat der Aufspaltung in Ur-Alternativen: Jede Alternative kann als das Cartesi-
sche Produkt von Subalternativen und die entsprechenden Vektorräume der Wahrscheinlich-
keiten können dementsprechend als das Tensorprodukt von Untervektorräumen dargestellt
werden. Dies führt in der Konsequenz zur Möglichkeit der Darstellung aller Alternativen
durch eine Kombination zweidimensionaler Alternativen beziehungsweise aller komplexen
Wahrscheinlichkeitsvektoren durch zweidimensionale Spinoren. Diese prinzipielle Grenze
der logischen Teilbarkeit konstituiert die Ur-Alternativen als die fundamentalsten Objekte
in der Natur im Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit und damit als die eigentlichen Atome.
Damit wird auch das grundsätzliche schon bei Kant analysierte Problem umgangen, dass
kleinste räumliche Objekte in sich nicht begrifflich konsistent formuliert werden können.
Erläuterung zu den Postulaten: Diese Postulate setzen außer der Zeit und einem abstrakten
Informationsbegriff, der sich aus einer abstrakten logischen Struktur begründet und in den
Alternativen darstellt, keinerlei physikalische Entität oder darauf bezogene Begriffe voraus,
also weder den Raumbegriff, noch einen von den Alternativen getrennten Objektbegriff,
damit also auch keine räumlich definierten Objekte oder überhaupt irgendeinen feldtheoreti-
schen oder mechanistischen Begriff. Die Realität der Natur ist damit rein abstrakt quanten-
theoretisch logisch und demnach geistig definiert. Die Alternativen enthalten nicht Informa-
tion über eine davon unabhängig existierende Realität der Natur, sie existieren auch nicht in
einem vorgegebenen Raum, sondern sie sind selbst die basalste Art der Darstellung der Rea-
lität der Natur in unserem Geist. Alle gewöhnlichen physikalischen Begriffe und Realitäten
außer der Zeit müssen sich als Konsequenz der logischen Alternativen und der sich auf sie
beziehenden obigen Postulate nachträglich erst ergeben.
4.3 Alternativen als Darstellung einer abstrakten Quantenlogik
Ausgehend von dem Begriff einer einfachen und zumindest näherungsweise für sich selbst
entscheidbaren logischen Alternative und basierend auf der Quantenlogik und der Zeitent-
wicklung als zentralen Postulaten, die vielleicht miteinander in Zusammenhang stehen, kann
nun zunächst die allgemeine Quantentheorie konstruiert werden. Hierzu soll zunächst der
Begriff einer empirisch entscheidbaren Alternative exakt definiert werden:
Definition einer Alternative: Eine N-fache empirisch entscheidbare Alternative ist ein
Tupel aus N Möglichkeiten, bei der dann, wenn eine der Möglichkeiten wahr ist, alle
anderen falsch sind und von denen sich bei einer empirischen Prüfung genau eine als
wahr erweist.
Es sei also eine Alternative a als Tupel bestehend aus n Möglichkeiten definiert:
a
= (a
1
,...,a
n
).
(1)
23
Wenn man nun postuliert, dass diese Alternative einer Quantenlogik unterliegt, in der das
tertium non datur verletzt ist, so kann sie dann wenn noch keine empirische Entscheidung
vorgenommen wurde, in einem Zustand sein, bei dem gar nicht entschieden ist, welche der n
Möglichkeiten tatsächlich wahr ist. Das bedeutet, dass den verschiedenen Möglichkeiten re-
elle Wahrheitswerte zugeordnet werden, die einen Zustand in einem n-dimensionalen reellen
Vektorraum definieren:
(a) = ( (a
1
),..., (a
n
)) = (
1
,...,
n
).
(2)
Natürlich muss der Vektor auf 1 normiert werden. Dies bedeutet:
n
j
=1
2
j
= 1.
(3)
Wenn man nun diesen durch die Wahrheitswerte
j
= (a
j
) definierten Zustand in der Weise
interpretiert, dass diese Wahrheitswerte die Tendenz angeben, dass die Alternative bei einer
empirischen Überprüfung den entsprechenden Wert annimmt, so kann man die Quadrate
der Wahrheitswerte als Wahrscheinlichkeiten w
j
in Bezug auf den Ausgang einer Messung
interpretieren, sodass gilt:
w
j
=
2
j
.
(4)
Der Wahrscheinlichkeitsbegriff setzt eigentlich einen Zeitbegriff voraus wie ihn von Weiz-
säcker als Basis einer zeitlichen Logik zu Grunde legt und der eine offene Zukunft im-
pliziert. Dieser steht aber wie im letzten Unterabschnitt bereits angesprochen wurde in ei-
nem Gegensatz zur Dynamik der Quantentheorie, die eine deterministische Entwicklung der
Zustände enthält. Und dies gilt bereits in der gewöhnlichen Quantentheorie, ist also kein
spezifisches Problem der Quantentheorie der Ur-Alternativen. Die quantentheoretische Lo-
gik mit der Verletzung des tertium non datur wurde hier deshalb nicht mit der Struktur der
Zeit verknüpft, die hier ausschließlich als ein mit der Dynamik unmittelbar verbundener
reeller Parameter eingeführt wird, sondern als ein eigenständiges Postulat behandelt. Also
muss auch der Wahrscheinlichkeitsbegriff in einer solchen Weise gedeutet werden, dass er
keine offene Zukunft voraussetzt. Und dies soll gemäß dem letzten Unterabschnitt in der
Weise geschehen, dass davon ausgegangen wird, dass zwar die Entwicklung aller Zustände
und ihrer Wechselwirkungen durch die Dynamik der Quantentheorie determiniert wird, aber
bei einer Messung der Zustand in einer unvorhersehbaren Weise durch die Wechselwirkung
mit dem Messapparat beeinflusst wird. Dies liegt einfach an der unglaublichen Komplexi-
tät der mikroskopischen Freiheitsgrade eines Messapparates, der natürlich letztendlich auch
aus näherungsweise separierbaren Alternativen besteht. Demnach hat man es ganz gemäß
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik faktisch mit einem irreversiblen Prozess zu tun,
der aber nicht von einem prinzipiellen Indeterminismus, sondern nur von der Komplexität
des Systems herrührt. Die Tendenz der Alternative, einen bestimmten Wert anzunehmen,
wird aber umso größer sein, je größer die Komponente des Zustandes in Bezug auf die-
sen Wert ist, weil der Zustand seine Ausrichtung im Zustandsraum dann immer weniger
verändern muss. In diesem Sinne einer Übergangstendenz, die mit der Beeinflussung ei-
nes Messapparates mit unbekanntem Ausgangszustand in Zusammenhang steht, können die
Wahrscheinlichkeiten auch in einem deterministischen Grundrahmen interpretiert werden.
Es sollte eigentlich aus den bisherigen Ausführungen deutlich geworden sein, dass eine sol-
che deterministische Deutung der Quantentheorie die nicht-Lokalität der Quantentheorie in
keiner Weise antastet. Denn der Sinn der Unbestimmtheitsrelation besteht eben gerade nicht
24
in einer Aufhebung des Prinzips der Kausalität, sondern in der Aufhebung des Prinzips der
Lokalität und damit feldtheoretischer Prinzipien. Man kann nun noch ein inneres Produkt
im Vektorraum der Wahrheitswerte der Möglichkeiten der Alternativen definieren. Wenn
A
und
B
zwei Vektoren im Vektorraum der Wahrheitswerte über den Alternativen sind, dann
kann ein inneres Produkt in der folgenden Weise definiert werden:
A
|
B
=
n
j
=1
A
j
B
j
,
(5)
wobei die Wahrscheinlichkeit w
A
,
B
, einen Zustand
B
nach einer Messung vorzufin-
den, wenn ein Zustand
A
vorliegt, dem Betragsquadrat des inneren Produktes entspricht:
w
A
,
B
= |
A
|
B
|
2
.
(6)
Damit wird der Vektorraum zu einem Hilbert-Raum.
4.4 Zeitentwicklung und Dynamik freier Alternativen
Nun setzt aber nicht nur der Begriff der Wahrscheinlichkeit und die Möglichkeit einer Mes-
sung den Begriff der Zeit voraus, sondern die Zeit und die mit ihr sich vollziehende Verände-
rung der physikalischen Realität sind eine unabweisbare Erfahrungstatsache. Zudem ist ein
Zeitfluss die Grundvoraussetzung dafür, dass überhaupt irgendetwas geschehen kann. Oh-
ne Zeit ist die Welt nur ein toter existierender Zustand ohne Leben und Dynamik. Gemäß
der Kantischen Erkenntnistheorie ist die Zeit als a priori gegebene Grundform der inneren
Anschauung nicht nur eine Bedingung der Möglichkeit von Erfahrung, sondern sogar die
fundamentalste Realität in unserem Geist und ist damit auch für die Beschreibung der Natur
fundamental, obwohl sie zumindest gemäß Kant in der Natur selbst nicht vorkommt. Bei
Martin Heidegger drückt sich schon im Titel seines Hauptwerkes ,,Sein und Zeit" dieser
für das Sein fundamentale und konstitutive Charakter der Zeit aus. Von Weizsäcker folgt
dieser Anschauung, der Zeit einen solch prinzipiellen Charakter zuzuschreiben, indem er
die Zeit ebenfalls an den Beginn der Begründung der Quantentheorie stellt und aus ihr die
Quantenlogik als einer Logik zeitlicher Aussagen begründet. Aber die Dynamik der Quan-
tentheorie muss dennoch unabhängig über die Einführung eines Zeitparameters geschehen.
Und in dieser Arbeit wird die Zeit ausschließlich auf diese Weise eingeführt, da ansonsten
das in den letzten beiden Unterabschnitten bereits erwähnte Problem einer dualen Rolle der
Zeit entsteht. Die Transformation einer Alternative gemäß der zeitlichen Entwicklung muss
einer Abbildung der Alternative auf sich selbst entsprechen, also einem Automorphismus
des Zustandsraumes, da die Alternative ja ihre Identität nicht verlieren, sondern lediglich
ihren Zustand ändern soll. Dies bedeutet, dass die zum Zeitparameter gehörige Transforma-
tionsgruppe eine Untergruppe der SO
(n)-Gruppe sein muss, welche natürlich einparametrig
sein muss, da die Zeit in sich selbst nur einen einzigen Freiheitsgrad darstellt. Damit ergibt
sich in natürlicher Weise die SO
(2)-Gruppe mit der Zeit als Drehparameter, welche im Raum
der Wahrheitswerte einer Alternative durch die folgende Gleichung definiert wird:
t
j
(t) = H
jk
k
(t),
(7)
wobei der Operator H im Hilbert-Raum der Wahrheitswerte wie folgt definiert werden muss:
H
kl
=
n
/2
j
=1
j
j
kl
,
(8)
25
und der Tensor
j
kl
wiederum definiert ist gemäß:
j
kl
=
+1 für k = 2 j - 1, l = 2 j
-1 für k = 2 j, l = 2 j - 1
0
ansonsten
(9)
Über doppelt auftretende Indizes wird wie gewöhnlich von 1 bis n summiert, wenn sie nur
auf einer Seite auftreten, ansonsten nicht. Wenn man den Operator H als Matrix darstellt, so
nimmt er die folgende Gestalt an:
H
=
0
1
0
0
...
0
0
-
1
0
0
0
...
0
0
0
0
0
2
... ...
...
0
0
-
2
0
... ...
...
...
...
...
... ... ...
...
0
0
...
... ...
0
j
0
0
...
... ... -
j
0
.
(10)
Um dies nun in kompakterer Weise auszudrücken, kann man die folgende komplexe Größe
definieren:
~
j
=
2 j
-1
+ i
2 j
, j = 1,...,n/2.
(11)
Mit der Definition (11) kann die dynamische Gleichung (7) wie folgt ausgedrückt werden:
i
t
~
j
(t) =
j
~
j
(t).
(12)
Damit erscheint nun die SO
(2)-Gruppe als U(1)-Gruppe. Mit der Definition:
~
H
kl
=
k
kl
,
(13)
ergibt sich die Gleichung:
i
t
~
j
(t) = ~H
jk
~
k
(t) i
t
~
(t) = ~H ~ (t).
(14)
Diese hat nun die Gestalt der allgemeinen Schrödinger-Gleichung, wobei ~
H natürlich als Ha-
milton-Operator interpretiert werden muss. Damit ist die allgemeine Struktur der abstrakten
Quantentheorie statuiert. Die zeitliche Entwicklung des auf die abstrakte Alternative bezo-
genen Zustandes ~
(t) ist dann gegeben durch den folgenden Ausdruck:
~
(t) = e
-i ~Ht
~
(t
0
).
(15)
5 Die Ur-Alternative als Grundbegriff der Quantentheorie
5.1 Konstituierung eines Tensorraumes vieler Ur-Alternativen
Um nun zu der konkreten Physik zu gelangen, welche nicht nur die Existenz eines Ortsrau-
mes als Darstellungsmedium der abstrakten Informationsbeziehungen und seine Verbindung
mit der Zeit zur Raum-Zeit, sondern auch die Existenz der speziellen konkreten Objekte ein-
schließlich ihrer verschiedenen Wechselwirkungen enthält, muss zunächst von der logischen
Möglichkeit Gebrauch gemacht werden, eine beliebige logische Alternative, wie sie in (1)
charakterisiert wurde, in ein Cartesisches Produkt binärer Alternativen aufzuspalten:
26
a
=
n
u
n
, u
n
= (u
n1
,u
n2
).
(16)
Die binären Alternativen werden aufgrund des prinzipiellen Charakters, der ihnen zukommt,
als Ur-Alternativen bezeichnet. Wenn man den Alternativen nun gemäß (2) Wahrheitswer-
te zuordnet, die man gemäß der zu einer zweckmäßigen Darstellung der Dynamik in (11)
vorgenommenen Definition als komplexe Wahrheitswerte definieren muss, so erhält man
normierte zweidimensionale Spinoren:
u
=
u
1
u
2
- = (
u
1
)
(u
2
) =
a
+ i
b
c
+ i
d
,
2
a
+
2
b
+
2
c
+
2
d
= 1,
(17)
wobei
a
,
b
,
c
und
d
reellwertig sind. Ein solcher Spinor weist gemäß dem Postulat der
Symmetrie eine Symmetrie bezüglich der SU
(2)-Gruppe auf, die spezielle unitäre Gruppe
in einem zweidimensionalen komplexen Raum, welche isomorph zur SO
(3)-Gruppe ist, der
Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes. Zu den Spinoren können nun hermitesch
adjungierte Größen definiert werden:
= (
a
- i
b
,
c
- i
d
),
2
a
+
2
b
+
2
c
+
2
d
= 1.
(18)
Die Ur-Alternativen sind keine beliebig ausgewählten Objekte. Sie sind nicht willkürlich
postuliert, sondern sie repräsentieren die einfachsten in einer beliebigen quantentheoreti-
schen Beschreibungsweise überhaupt denkbaren Objekte. Ur-Alternativen sind deshalb zu-
dem fundamentale Objekte, Atome im eigentlichen Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit,
denn sie sind als elementare Informationseinheiten nicht in einem räumlichen oder nur phy-
sikalischen, sondern in einem logischen Sinne unteilbar. Die Ur-Alternativen sind hier näm-
lich gerade nicht als Objekte in einer bereits bestehenden physikalischen Realität zu verste-
hen, so wie das Konzept der Quanteninformation in der Regel verwendet wird. Vielmehr
konstituieren sie die physikalische Realität überhaupt erst. Es gibt gemäß der Quantentheo-
rie der Ur-Alternativen überhaupt keine physikalische Realität, die ohne diese fundamentale
ontologische Basis überhaupt bestehen könnte, welche durch die Ur-Alternativen in unserem
Geist dann indirekt als Quanteninformation dargestellt wird.
Durch die Definition (17) ist zunächst natürlich nur die mathematische Struktur einer ein-
zelnen Ur-Alternative als einem zweidimensionalen Spinor definiert. Um nun die in größe-
ren Alternativen enthaltene Information durch Ur-Alternativen darstellen zu können, ist es
notwendig, einen Tensorraum vieler Ur-Alternativen zu definieren. Dessen Basiszustände
sind durch die jeweilige Anzahl an Ur-Alternativen in den vier Basiszuständen einer einzel-
nen Alternative definiert. Um in diesem Raum operieren zu können und zwischen den ver-
schiedenen Zuständen zu vermitteln, ist es sinnvoll, Erzeugungs- und Vernichtungsoperato-
ren für Ur-Alternativen in den Basiszuständen einer einzelnen Ur-Alternative zu definieren.
Dies kann rein formal durch eine zweite Quantisierung gemäß der Bose-Statistik geschehen,
durch welche die mit komplexen Wahrheitswerten belegte Ur-Alternative in einen Operator
überführt wird. Dieser Übergang zu einem Operator:
-
^
,
(19)
geschieht durch Forderung der folgenden Vertauschungsrelationen für die beiden Kompo-
nenten der Ur-Alternative:
27
^
m
, ^
n
=
mn
, m,n = 1,2.
(20)
Es wird hier mit einer Vertauschungsrelation Bose-Statistik und nicht mit einer Antivertau-
schungsrelation Fermi-Statistik postuliert, weil es im Falle der Fermi-Statistik aufgrund der
Gültigkeit des Paulischen Ausschließungsprinzips für bezüglich Vertauschung antisymme-
trische Zustände überhaupt nur vier Alternativen geben könnte, nämlich jeweils eine in den
vier Basiszuständen einer Ur-Alternative. Die Bose-Statistik erlaubt beliebig viele Ur-Alter-
nativen in einem Zustand. Natürlich sind die Ur-Alternativen ununterscheidbar voneinander,
da man für eine Unterscheidung ja erneut Ur-Alternativen zu Grunde legen müsste, denn
die Ur-Alternativen werden ja als die fundamentalste Realität in der Natur angesehen. Daher
muss in jedem Falle irgendeine Art der Symmetrie unter Vertauschung der Ur-Alternativen
in einem Zustand zu Grunde gelegt werden. Um mehrere Objekte in einer Vielteilchentheorie
und einer Theorie der Wechselwirkung zu beschreiben, muss aber eine allgemeinere Statistik
eingeführt werden, nämlich die Parabose-Statistik, welche sich nicht auf nur symmetrische
oder nur antisymmetrische Zustände bezüglich der Vertauschung von Ur-Alternativen be-
schränkt und in einem späteren Abschnitt eingeführt wird. Dies liegt natürlich daran, dass
ein Zustand mehrerer freier Objekte, wenn diese jeweils für sich unter Vertauschung der zu
ihnen gehörigen Ur-Alternativen symmetrisch sind, also ein symmetrisches Produkt sym-
metrischer Zustände, seinerseits nicht mehr symmetrisch bezüglich aller Ur-Alternativen
ist. Vielmehr sind dann die Ur-Alternativen überhaupt nur durch die jeweilige Subsymme-
trie in ihrer Zugehörigkeit zu den einzelnen Objekten bestimmt, wodurch sich die in einem
Gesamtzustand im Tensorraum vieler Ur-Alternativen enthaltenen Zustände den einzelnen
voneinander verschiedenenen Teilobjekten zuordnen lassen. Aber da in diesem Abschnitt
nur einzelne freie Objekte betrachtet werden sollen, genügt es zunächst, sich hier auf Bo-
se-Statistik zu beschränken. Die Vertauschungsrelation (20) kann erfüllt werden, indem die
einzelnen Komponenten der Ur-Alternative zu Operatoren werden:
^
=
^
a
+ i ^
b
^
c
+ i ^
d
.
(21)
Dies bedeutet für den Operator der hermitesch adjungierten Ur-Alternative:
^
= ^
a
- i ^
b
, ^
c
- i ^
d
.
(22)
Die zu den Komponenten der Ur-Alternative gehörenden Operatoren müssen folgende Ver-
tauschungsrelationen erfüllen:
^
a
, ^
a
= ^
b
, ^
b
= ^
c
, ^
c
= ^
d
, ^
d
= 1,
(23)
wobei die nicht aufgeführten Kommutatoren einfach gleich null sind. Man kann diese Ope-
ratoren nun in der folgenden Weise umbenennen:
a
^
a
, b ^
b
, c ^
c
, d ^
d
.
(24)
Dann lauten die Vertauschungsrelationen wie folgt:
a
,a
= b,b
= c,c
= d,d
= 1.
(25)
Damit stellen die Operatoren a, b, c, d Vernichtungsoperatoren und die Operatoren a
, b
,
c
, d
Erzeugungsoperatoren im Tensorraum vieler Ur-Alternativen dar. Ein Basiszustand im
28
Tensorraum der Ur-Alternativen ist, wie erwähnt, durch die Anzahl der Ur-Alternativen in
jedem der vier Basiszustände einer einzelnen Ur-Alternative gegeben:
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
. Die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken auf die Basiszustände des Tensorraumes
der Ur-Alternativen in der folgenden Art und Weise:
a
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
a
|N
a
- 1,N
b
,N
c
,N
d
,
a
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
a
+ 1|N
a
+ 1,N
b
,N
c
,N
d
,
b
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
b
|N
a
,N
b
- 1,N
c
,N
d
,
b
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
b
+ 1|N
a
,N
b
+ 1,N
c
,N
d
,
c
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
c
|N
a
,N
b
,N
c
- 1,N
d
,
c
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
c
+ 1|N
a
,N
b
,N
c
+ 1,N
d
,
d
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
d
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
- 1 ,
d
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
=
N
d
+ 1|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
+ 1 .
(26)
Dies bedeutet, dass a
a, b
b, c
c und d
d als Besetzungszahloperatoren die folgenden Ei-
genwertgleichungen erfüllen:
a
a
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
= N
a
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
,
b
b
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
= N
b
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
,
c
c
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
= N
c
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
,
d
d
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
= N
d
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
.
(27)
Ein allgemeiner Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen kann dann als eine Superposi-
tion der Basiszustände definiert werden:
| =
N
a
N
b
N
c
N
d
(N
a
,N
b
,N
c
,N
d
)|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
.
(28)
Es soll nun zur weiteren Konstruktion der auf den Ur-Alternativen basierenden Strukturen
zunächst die Darstellung der Zustände geändert werden, indem basierend auf den Spino-
ren aus (17), also
, welche die mit komplexen Wahrheitswerten belegten Ur-Alternativen
beschreiben, ein dazu analoger Majorana-Spinor definiert wird:
=
1
2
i
2
=
1
2
a
+
b
i
c
+
d
i
c
-
d
i
-
a
+
b
i
A
B
C
D
,
(29)
wobei
2
die zweite Pauli-Matrix ist. Durch Ersetzung der Komponenten der Ur-Alternative
durch die entsprechenden Operatoren, geht auch der Spinor in einen Operator über:
-
^
,
(30)
der die folgenden Vertauschungsrelationen erfüllt:
^
m
, ^
n
=
mn
, m,n = A,B,C,D,
(31)
wobei der hermitesch adjungierte Operator
in der folgenden Weise definiert ist:
29
=
A
,
B
,
C
,
D
.
(32)
Wenn man nun in Analogie zu (24) die folgende Umbenennung vornimmt:
A
^
A
, B ^
B
, C ^
C
, D ^
D
,
(33)
so gelten die folgenden Relationen:
A
=
1
2
(a + ib), B =
1
2
(c + id), C =
1
2
(c - id), D =
1
2
(-a + ib),
(34)
A
=
1
2
a
- ib
, B
=
1
2
c
- id
, C
=
1
2
c
+ id
, D
=
1
2
-a
- ib
,
und damit die folgenden Kommutatoren:
A
,A
= B,B
= C,C
= D,D
= 1.
(35)
In dieser neuen Darstellung sind in Analogie zu den Basiszuständen
|N
a
,N
b
,N
c
,N
d
die Ba-
siszustände
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
definiert. Und die Operatoren A, B, C, D, A
, B
, C
, D
wirken
auf diese Basiszustände analog zu (26) in der folgenden Weise:
A
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
A
|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
,
A
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
A
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
,
B
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
B
|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
,
B
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
B
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
,
C
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
C
|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
,
C
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
C
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
,
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1 ,
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
=
N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1 .
(36)
In dieser neuen Darstellung bedeutet dies zudem, dass A
A, B
B, C
C und D
D als Beset-
zungszahloperatoren analog zu (27) die folgenden Eigenwertgleichungen erfüllen:
A
A
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
= N
A
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
,
B
B
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
= N
B
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
,
C
C
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
= N
C
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
,
D
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
= N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
.
(37)
In der auf diese Basis bezogenen Darstellung lässt sich ein allgemeiner Zustand im Tensor-
raum dann in Analogie zu (28) natürlich erneut als Superposition darstellen:
| =
N
A
N
B
N
C
N
D
(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
.
(38)
Um eine kompaktere Schreibweise zu erhalten, sei die folgende Definition vorgenommen:
N
ABCD
(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
).
(39)
30
Damit kann dann ein Basiszustand wie folgt geschrieben werden:
|N
ABCD
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
,
(40)
und ein allgemeiner Zustand im Tensorraum wie folgt geschrieben werden:
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
.
(41)
Zudem soll N die Gesamtzahl aller Ur-Alternativen in einem Zustand beschreiben, also die
Gesamtmenge an Information:
N
= N
A
+ N
B
+ N
C
+ N
D
.
(42)
5.2 Die Gr¨
unde f¨
ur die zentrale Bedeutung des Begriffes der
Ur-Alternative
Es sollen nun die zentralen Gründe kategorisiert werden, welche den Begriff der Ur-Alter-
native als fundamentalen Begriff der Physik besonders plausibel erscheinen lassen.
A) Ur-Alternativen basieren nicht auf einer räumlich-feldtheoretischen Begrifflichkeit:
Ur-Alternativen setzen keinen physikalischen Raum und daher auch keinerlei feldtheore-
tische Begriffe voraus. Denn Ur-Alternativen sind keine Objekte, die in einem Raum oder
überhaupt irgendeiner bereits bestehenden physikalischen Realität existieren würden. Um-
gekehrt konstituiert sich aus ihnen und der durch sie begründeten abstrakten logischen Be-
ziehungsstruktur überhaupt erst alle physikalische Realität einschließlich des Raumes und
der darin sich befindlichen Objekte. In diesem Sinne unterscheiden sie sich auch grundle-
gend von einem Begriff der Quanteninformation, wie er in den unterschiedlichsten Zusam-
menhängen und anderen physikalischen Ansätzen immer wieder verwendet wird, nämlich
von einem solchen, bei dem Quanteninformation sich auf andere physikalische Realitäten
bezieht, im Rahmen einer bestimmten bereits bestehenden physikalischen Realität ausge-
tauscht wird oder in eine solche Beschreibung eingebunden wird. Die Ur-Alternativen hin-
gegen sind auf der fundamentalen Ebene die einzige physikalische Realität, die überhaupt
existiert. Außer ihnen und der Zeit darf nichts anderes vorausgesetzt werden.
B) Ur-Alternativen sind aus logischen Gründen im schlechthinnigen Sinne unteilbar:
Gemäß der zweiten Kantischen Antinomie kann es keine kleinsten räumlichen Objekte
geben, da jedes Volumen zumindest im Prinzip weiter in Teilvolumina geteilt werden kann.
Eine Ur-Alternative ist aber kein räumliches Objekt, sondern ein rein logisches Objekt, und
zwar das fundamentalste logische Objekt, dass es im Rahmen einer Quantenlogik überhaupt
geben kann. Es ist aus logischen Gründen nicht weiter teilbar und in diesem Sinne eine
atomare Einheit im Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit. Damit ist mit den Ur-Alternativen
erstmals ein fundamentales Objekt postuliert, von dem sich logisch begründen lässt, warum
es nicht nur fundamental sein kann, sondern in einer quantentheoretischen Beschreibungs-
weise auch fundamental sein muss.
C) Ur-Alternativen sind die einfachsten denkbaren quantentheoretischen Objekte:
Eine Ur-Alternative ist kein willkürlich gewähltes Objekt, sondern es ist das fundamen-
talste und einfachste Objekt, dass im Rahmen einer beliebigen Quantentheorie überhaupt
denkbar ist. Denn es ist mathematisch durch den einfachsten in der Quantentheorie über-
haupt denkbaren Zustandsraum definiert. Aufgrund der ungeheuren Abstraktheit der allge-
meinen Quantentheorie basiert dieses Objekt aber eigentlich sogar auf dem einfachsten über-
haupt denkbaren logischen Begriff, nämlich einer binären Alternative. Eine Ur-Alternative
31
geht bezüglich ihres logischen Gehaltes nur insofern über eine gewöhnliche einfache binäre
Alternative hinaus, als sie eine Quantenlogik voraussetzt, in der das tertium non datur verletzt
ist, eine Aussage also nicht einfach nur wahr oder falsch sein kann, sondern Zwischenwerte
besitzen kann, die nur eine bestimmte Tendenz bezüglich wahr und falsch definiert. Zudem
legt sie komplexe Wahrheitswerte zu Grunde, wobei dies letztendlich auch nur eine Frage der
Darstellung ist, die durch die Einbindung einer Zeitentwicklung nahegelegt wird. Jedenfalls
verleiht diese im Rahmen der Quantentheorie größtmögliche Abstraktheit und Einfachheit
den Ur-Alternativen auch deshalb eine große Überzeugungskraft, weil Begriffe, die sehr vie-
le unterschiedliche Realitäten und Strukturen in sich vereinheitlichen sollen, also sehr allge-
mein sein sollen, naturgemäß sehr abstrakt und einfach sein müssen. Denn das grundlegende
Wesen des Verstehens in der Naturwissenschaft besteht in der Einordnung möglichst vieler
Realitäten unter einheitliche, grundlegende und daher möglichst allgemeingültige Begriffe.
Allgemeingültigkeit und Einheitlichkeit bedeutet Abstraktheit und Einfachheit. Je abstrakter
und einfacher und daher fundamentaler aber die Grundbegriffe werden, desto schwieriger
wird natürlich zugleich ihr Verständnis und desto schwieriger wird die Herleitung der Kom-
plexität, die weiter an der Oberfläche der Realität existiert.
D) Ur-Alternativen enthalten implizit die Symmetriestruktur des realen Raumes:
Gerade weil eine Ur-Alternative kein willkürliches, sondern das grundlegendste quanten-
theoretische Objekt darstellt, ist es umso erstaunlicher, dass gerade dieses einfachste Objekt
aufgrund der Isomorphie zwischen SU
(2)-Gruppe und SO(3)-Gruppe implizit die Symme-
triestruktur des empirisch gefundenen physikalischen Raumes in sich trägt. Die abstrakte
Struktur der Quantentheorie und die Struktur des Raumes scheinen a priori überhaupt nichts
miteinander zu tun zu haben. Der Raum ist aber dennoch eine für die gewöhnliche Physik
ganz grundlegende und allgemeine Realität, denn alle gewöhnlichen physikalischen Objekte
befinden sich zumindest in der Oberflächenbetrachtung der klassischen Physik im physika-
lischen Anschauungsraum. Deshalb erscheint die Tatsache, dass eine direkte mathematische
Beziehung zwischen der Symmetriestruktur des einfachsten möglichen Objektes einer so
grundlegenden und abstrakten Theorie wie der Quantentheorie und derjenigen des Raumes
besteht, mehr als nur ein Zufall zu sein. Sie stellt vielmehr ein großes Indiz dafür dar, dass
mit den Ur-Alternativen eine zentrale Wahrheit über die Natur berührt ist.
E) Ur-Alternativen konstituieren einen diskreten Zustandsraum:
Dadurch, dass die Ur-Alternativen in natürlicher Weise diskrete Zustandsräume konstitu-
ieren, wird die Möglichkeit eröffnet, das Auftreten von Unendlichkeiten und Divergenzen
von vorneherein zu verhindern. Die Probleme des Kontinuums waren der Grund, warum die
Quantentheorie überhaupt entwickelt wurde. Eben jenes Kontinuum ist aber im Rahmen rela-
tivistischer Quantenfeldtheorien wieder mit in die Beschreibung der Natur hineingekommen.
Die Kontinuumsproblematik tritt im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien speziell
durch die Wechselwirkungen auf, welche durch kontinuierliche punktweise Produkte von
Feldern beschrieben werden, denn eine freie Quantenfeldtheorie entspricht ja einer einfach
nur einer Vielteilchentheorie. Die durch die Beschreibung der Wechselwirkung basierend auf
einem feldtheoretischen Kontinuum auftretenden Unendlichkeiten werden im Rahmen der
gewöhnlichen Quantenfeldtheorien durch das Verfahren der Renormierung beseitigt, wel-
ches im Falle der Gravitation bekanntlich nicht erfolgreich angewandt werden kann. Es ist
zu erwarten, dass sich dieses Problem nur dann an der Wurzel packen lässt, wenn man die
Physik von Grund auf diskret aufbaut. Aber dies geschieht in der Quantentheorie der Ur-
Alternativen gerade nicht durch eine künstliche Diskretisierung der Raum-Zeit oder die blo-
ße Einführung einer kleinsten Länge, sondern dadurch, dass man mit einer Realität beginnt,
nämlich diskreten Alternativen, die überhaupt noch nicht in Bezug auf die Raum-Zeit defi-
32
niert sind, sondern die Existenz der Raum-Zeit erst im Nachhinein konstituieren. Aber sie er-
klären dann dennoch, warum durch diese Darstellungsmöglichkeit das Kontinuum überhaupt
in die Beschreibung der Natur hineingelangt. Dadurch kann auch die in der gewöhnlichen
Elementarteilchenphysik bestehende Dualität zwischen abstrakten Quantenzahlen einerseits
und räumlichen Objekten andererseits aufgehoben und überwunden werden.
6 Die Konstituierung freier Objekte im Raum
In den bisherigen Abschnitten wurden die Grundlagen der Quantentheorie der Ur-Alterna-
tiven dargestellt und es wurde begründet, warum sie als einheitliche Naturtheorie so viel-
versprechend ist. Die nun folgenden Abschnitte enthalten eigene neue spezielle Konzepte
und mathematische Modelle, um in diesem begrifflichen Rahmen die konkrete Physik zu
konstruieren. In diesem Abschnitt werden die symmetrischen Zustände im Tensorraum vie-
ler Ur-Alternativen in einen dreidimensionalen reellen Raum abgebildet, der dann mit dem
realen physikalischen Ortsraum identifiziert werden kann. In diesem Sinne können diese Zu-
stände als räumlich darstellbare Quantenobjekte interpretiert werden, die wir gewöhnlich im
Sinne des Welle-Teilchen-Dualismus als Teilchen oder Wellen bezeichnen. Über die Defini-
tion eines Hamilton-Operators wird dann durch die allgemeine Schrödinger-Gleichung eine
Zeitentwicklung induziert. Man kann die Zeitkoordinate wie in der Relativitätstheorie for-
mal als vierte Dimension in einer Raum-Zeit auffassen und den dreidimensionalen Raum als
Hyperfläche in einer Raum-Zeit. Aber wie in der Relativitätstheorie auch enthält die Zeit-
dimension keinen unabhängigen dynamischen Freiheitsgrad, einfach aufgrund der Existenz
einer dynamischen Grundgleichung. Die Tatsache, dass die Zeitentwicklung in diesem Rah-
men als Automorphismus des Zustandsraumes aufgefasst wird, dessen Zustände ihrerseits in
einem dreidimensionalen Raum dargestellt werden, ist also in Einklang mit der Relativitäts-
theorie, solange der Hamilton-Operator basierend auf der relativistischen Energie-Impuls-
Beziehung definiert wird. In [47] wird bereits eine Beschreibung von Quantenfeldtheorien
im Rahmen der Ur-Alternativen vorgeschlagen, aber hier wird keine Abbildung des Tensor-
raumes der Ur-Alternativen in den physikalischen Ortsraum vollzogen. Dies wird in [57]
versucht, aber hier wird die Zeit in falscher Weise eingeführt, nicht über einen Automor-
phismus des Zustandsraumes, sondern als zusätzlicher Freiheitsgrad, was auch zur Folge
hat, dass die Unitarität und damit die Wahrscheinlichkeitserhaltung der Zustände nicht ge-
währleistet ist. In dem Ansatz dieses Abschnittes sind diese Konzeptionsschwächen in einem
modifizierten Ansatz behoben.
6.1 Die Konstruktion von Orts- und Impulsoperatoren
Man kann aus den in (34) definierten Operatoren, welche sich auf Ur-Alternativen beziehen,
die folgenden neuen Operatoren konstruieren:
A
x
=
1
2
(A + B -C - D), A
x
=
1
2
A
+ B
-C
- D
,
A
y
=
1
2
(A - B +C - D), A
y
=
1
2
A
- B
+C
- D
,
A
z
=
1
2
(A - B -C + D), A
z
=
1
2
A
- B
-C
+ D
.
(43)
Diese erfüllen die gleichen Vertauschungsrelationen:
33
A
x
,A
x
= A
y
,A
y
= A
z
,A
z
= 1.
(44)
Über diese neu konstruierten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kann man nun wei-
tere Operatoren erzeugen:
X
=
1
2
A
x
+ A
x
, P
x
= -
i
2
A
x
- A
x
,
Y
=
1
2
A
y
+ A
y
, P
y
= -
i
2
A
y
- A
y
,
Z
=
1
2
A
z
+ A
z
, P
z
= -
i
2
A
z
- A
z
,
(45)
welche hermitesch sind und zudem die Algebra von Orts- und Impulsoperatoren in drei
unabhängigen Dimensionen erfüllen, mit denen sie daher identifiziert werden sollen:
[X,P
x
] = [Y,P
y
] = [Z,P
z
] = i.
(46)
Es sei aber noch einmal in aller Eindringlichkeit darauf hingewiesen, dass sich diese Opera-
toren mit ihrer Algebra, da sie aus den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Tensor-
raum konstruiert werden, in keiner Weise auf einen bereits bestehenden Ortsraum beziehen.
Sie beziehen sich ausschließlich auf den abstrakten Informationsraum der Ur-Alternativen
und sie gestatten lediglich, wie wir sehen werden, die nachträgliche Begründung der Exis-
tenz des Ortsraumes, der im Einklang mit den Ausführungen in den früheren Abschnitten in
der Quantentheorie der Ur-Alternativen keine fundamentale Realität darstellt. Diese nach-
trägliche Begründung des Ortsraumes als bloße Art der Darstellung abstrakter Zustände ist
ja die Intention dieses Abschnittes. Nun kann man aus den über die Erzeugungs- und Ver-
nichtungsoperatoren definierten Impulsoperatoren in (45) desweiteren einen Energieoperator
konstruieren, der dann zugleich der Hamilton-Operators ist. Dieser soll hier in einer solchen
Weise definiert werden, dass er mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang steht:
E
2
= P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
E = ± P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
.
(47)
Ausgedrückt durch die ursprünglichen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in (34) ha-
ben die Orts- und Impulsoperatoren die folgende Gestalt:
X
=
1
2
2
A
+ B -C - D + A
+ B
-C
- D
,
Y
=
1
2
2
A
- B +C - D + A
- B
+C
- D
,
Z
=
1
2
2
A
- B -C + D + A
- B
-C
+ D
,
P
x
= -
i
2
2
A
+ B -C - D - A
- B
+C
+ D
,
P
y
= -
i
2
2
A
- B +C - D - A
+ B
-C
+ D
,
P
z
= -
i
2
2
A
- B -C + D - A
+ B
+C
- D
.
(48)
34
Die Quadrate der Impulsoperatoren lauten dann wie folgt:
P
2
x
=
1
2
-A
x
A
x
+ A
x
A
x
+ A
x
A
x
- A
x
A
x
=
1
2
-A
x
A
x
+ 2A
x
A
x
- A
x
A
x
+ 1
=
1
8
[-AA - BB -CC - DD - 2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD - 2CD
-A
A
- B
B
-C
C
- D
D
- 2A
B
+ 2A
C
+ 2A
D
+ 2B
C
+ 2B
D
- 2C
D
+2 A
A
+ B
B
+C
C
+ D
D
+ A
B
- A
C
- A
D
+ B
A
- B
C
- B
D
-C
A
-C
B
+C
D
- D
A
- D
B
+ D
C
+ 1 ,
(49)
P
2
y
=
1
2
-A
y
A
y
+ A
y
A
y
+ A
y
A
y
- A
y
A
y
=
1
2
-A
y
A
y
+ 2A
y
A
y
- A
y
A
y
+ 1
=
1
8
[-AA - BB -CC - DD + 2AB - 2AC + 2AD + 2BC - 2BD + 2CD
-A
A
- B
B
-C
C
- D
D
+ 2A
B
- 2A
C
+ 2A
D
+ 2B
C
- 2B
D
+ 2C
D
+2 A
A
+ B
B
+C
C
+ D
D
- A
B
+ A
C
- A
D
- B
A
- B
C
+ B
D
+C
A
-C
B
-C
D
- D
A
+ D
B
- D
C
+ 1 ,
(50)
P
2
z
=
1
2
-A
z
A
z
+ A
z
A
z
+ A
z
A
z
- A
z
A
z
=
1
2
-A
z
A
z
+ 2A
z
A
z
- A
z
A
z
+ 1
=
1
8
[-AA - BB -CC - DD + 2AB + 2AC - 2AD - 2BC + 2BD + 2CD
-A
A
- B
B
-C
C
- D
D
+ 2A
B
+ 2A
C
- 2A
D
- 2B
C
+ 2B
D
+ 2C
D
+2 A
A
+ B
B
+C
C
+ D
D
- A
B
- A
C
+ A
D
- B
A
+ B
C
- B
D
-C
A
+C
B
-C
D
+ D
A
- D
B
- D
C
+ 1 .
(51)
Das über (47) definierte Quadrat des Energieoperators erhält damit die folgende Gestalt:
E
2
=
1
2
-A
x
A
x
+ A
x
A
x
+ A
x
A
x
- A
x
A
x
- A
y
A
y
+ A
y
A
y
+ A
y
A
y
- A
y
A
y
-A
z
A
z
+ A
z
A
z
+ A
z
A
z
- A
z
A
z
=
1
2
-A
x
A
x
+ 2A
x
A
x
- A
x
A
x
- A
y
A
y
+ 2A
y
A
y
- A
y
A
y
- A
z
A
z
+ 2A
z
A
z
- A
z
A
z
+ 3
=
1
8
-3AA - 3BB - 3CC - 3DD - 3A
A
- 3B
B
- 3C
C
- 3D
D
+2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD + 2CD
+2A
B
+ 2A
C
+ 2A
D
+ 2B
C
+ 2B
D
+ 2C
D
+2 3A
A
+ 3B
B
+ 3C
C
+ 3D
D
-A
B
- A
C
- A
D
- B
A
- B
C
- B
D
-C
A
-C
B
-C
D
- D
A
- D
B
- D
C
+ 3 ,
(52)
und die positive Komponente des Energieoperators lautet damit:
35
E
=
1
2
-A
x
A
x
+ A
x
A
x
+ A
x
A
x
- A
x
A
x
- A
y
A
y
+ A
y
A
y
+ A
y
A
y
- A
y
A
y
-A
z
A
z
+ A
z
A
z
+ A
z
A
z
- A
z
A
z
+ 3
1
2
=
1
2
-A
x
A
x
+ 2A
x
A
x
- A
x
A
x
- A
y
A
y
+ 2A
y
A
y
- A
y
A
y
- A
z
A
z
+ 2A
z
A
z
- A
z
A
z
+ 3
1
2
=
1
2
2
-3AA - 3BB - 3CC - 3DD - 3A
A
- 3B
B
- 3C
C
- 3D
D
+2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD + 2CD
+2A
B
+ 2A
C
+ 2A
D
+ 2B
C
+ 2B
D
+ 2C
D
+2 3A
A
+ 3B
B
+ 3C
C
+ 3D
D
-A
B
- A
C
- A
D
- B
A
- B
C
- B
D
-C
A
-C
B
-C
D
- D
A
- D
B
- D
C
+ 3
1
2
.
(53)
Mit Hilfe des Energieoperators (53) und der Impulsoperatoren aus (45) beziehungsweise
(48) kann man nun einen Vierer-Impuls im Tensorraum der Ur-Alternativen definieren:
P
ABCD
= (E,P
x
,P
y
,P
z
).
(54)
Um basierend auf den in (43) definierten Operatoren eine neue Darstellung der Zustände im
Tensorraum zu erhalten, müssen die zu den Operatoren in (43) gehörigen Besetzungszahl-
zustände betrachtet werden. Allerdings ist in diesen Operatoren (43) ein Freiheitsgrad noch
nicht enthalten, da der Tensorraum ja insgesamt vier Besetzungszahl-Unterraüme enthält.
Man kann nämlich einen weiteren Operator A
n
und dessen hermitesch adjungierten Opera-
toren A
n
wie folgt definieren:
A
n
=
1
2
(A + B +C + D), A
n
=
1
2
A
+ B
+C
+ D
,
(55)
wobei A
n
mit A
x
, A
y
und A
z
kommutiert und analog zu (44) gilt:
A
n
,A
n
= 1.
(56)
Die entsprechenden Besetzungszahloperatoren haben ausgedrückt durch die Operatoren in
(34) die folgende Gestalt:
A
x
A
x
=
1
4
A
A
+ A
B
- A
C
- A
D
+ B
A
+ B
B
- B
C
- B
D
-C
A
-C
B
+C
C
+C
D
- D
A
- D
B
+ D
C
+ D
D
,
A
y
A
y
=
1
4
A
A
- A
B
+ A
C
- A
D
- B
A
+ B
B
- B
C
+ B
D
+C
A
-C
B
+C
C
-C
D
- D
A
+ D
B
- D
C
+ D
D
,
A
z
A
z
=
1
4
A
A
- A
B
- A
C
+ A
D
- B
A
+ B
B
+ B
C
- B
D
-C
A
+C
B
+C
C
-C
D
+ D
A
- D
B
- D
C
+ D
D
,
A
n
A
n
=
1
4
A
A
+ A
B
+ A
C
+ A
D
+ B
A
+ B
B
+ B
C
+ B
D
+C
A
+C
B
+C
C
+C
D
+ D
A
+ D
B
+ D
C
+ D
D
.
(57)
36
Im Unterschied zu den anderen Besetzungszahloperatoren enthält A
n
A
n
nur Terme mit po-
sitivem Vorzeichen. Basierend auf den entsprechenden Besetzungszahlen können nun Be-
setzungszahlzustände
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
definiert werden, auf welche die Operatoren (43) und
(55) analog zu (26) und (36) in der folgenden Weise wirken:
A
x
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
x
|N
x
- 1,N
y
,N
z
,N
n
,
A
x
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
x
+ 1|N
x
+ 1,N
y
,N
z
,N
n
,
A
y
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
y
|N
x
,N
y
- 1,N
z
,N
n
,
A
y
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
y
+ 1|N
x
,N
y
+ 1,N
z
,N
n
,
A
z
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
z
|N
x
,N
y
,N
z
- 1,N
n
,
A
z
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
z
+ 1|N
x
,N
y
,N
z
+ 1,N
n
,
A
n
|N
x
,N
y
,N
u
,N
n
=
N
n
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
- 1 ,
A
n
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
=
N
n
+ 1|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
+ 1 .
(58)
Die Eigenwertgleichungen der Besetzungszahloperatoren (57) lauten analog zu (27) und
(37) wie folgt:
A
x
A
x
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
= N
x
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
,
A
y
A
y
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
= N
y
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
,
A
z
A
z
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
= N
z
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
,
A
n
A
n
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
= N
n
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
.
(59)
Es gilt die folgende Relation:
N
= A
x
A
x
+ A
y
A
y
+ A
z
A
z
+ A
n
A
n
= A
A
+ B
B
+C
C
+ D
D
.
(60)
Das bedeutet, dass die Gesamtbesetzungszahl in Bezug auf diese beiden Darstellungen ei-
nes bestimmten Zustandes des Tensorraumes gleich ist. Man kann also einen Zustand im
Tensorraum auch durch die Besetzungszahlen N
x
, N
y
, N
z
und N
n
charakterisieren, womit die
Basiszustände aus (40) überführt werden:
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
.
(61)
Wenn man in Analogie zu (39) zu der kompakten Schreibweise übergeht:
|N
xyzn
= |N
x
,N
y
,N
z
,N
n
,
(62)
dann kann man damit einen allgemeinen Zustand im Tensorraum (41) basierend auf diesen
neuen Basiszuständen in der folgenden Weise ausdrücken:
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
=
N
xyzn
(N
xyzn
)|N
xyzn
.
(63)
Der vierte Freiheitsgrad, der durch den Besetzungszahloperator A
n
A
n
repräsentiert wird, ist
aber, wenn die anderen drei Besetzungszahlen fest definiert sind, durch die Gesamtbeset-
zungszahl mitbestimmt:
37
N
n
= N - N
x
- N
y
- N
z
.
(64)
Im vierten Freiheitsgrad ist also implizit der Freiheitsgrad der Informationsmenge N enthal-
ten und das bedeutet, dass bei konstanter Informationsmenge aufgrund der Gleichung:
A
n
A
n
= N - A
x
A
x
- A
y
A
y
- A
z
A
z
,
(65)
die Besetzungzahl A
n
A
n
keinen unabhängigen Freiheitsgrad mehr darstellt.
Die Informationsmenge N wird hier als eine eigenständige Größe behandelt, die im Min-
desten bei einem freien Objekt nicht in die Dynamik miteinbezogen ist und deshalb konstant
bleibt. Überhaupt erscheint es mir zumindest zweifelhaft, dass die Information mit der Zeit
systematisch wächst, wie es von Weizsäcker postulierte, denn von Weizsäcker verknüpfte
diesen Gedanken mit der Entstehung von Fakten bei Messprozessen, obwohl bei Messpro-
zessen doch eigentlich nur Zustände in Eigenzustände übergehen und bei Ur-Alternativen
würde das einen Übergang in Basiszustände aber nicht eine Vergrößerung der Zahl der Ur-
Alternativen bedeuten. In diesem Zusammenhang erscheint es sinnvoll, zwischen zwei Ar-
ten der Information zu unterscheiden, und zwar zwischen der Elementarinformation und der
semantischen Information. Die Elementarinformation entspricht den Informationseinheiten,
die in etwas enthalten sind, und die semantische Information dem Bedeutungsgehalt. Bei
einer Textdatei etwa entspricht die in Bits gemessene Größe der Menge an Informations-
einheiten, die sie enthält, und der Inhalt des Textes dem Bedeutungsgehalt. Es können zwei
Textdateien gleich lang sein und die gleiche Menge an Bits enthalten, aber die eine Datei
kann trotzdem nur eine sinnlose Aneinanderreihung von Buchstaben enthalten und die an-
dere eine sehr wichtige Botschaft, sodass sie sich bezüglich der Menge an semantischem
Informationsgehalt erheblich voneinander unterscheiden, also auch bezüglich der Struktu-
ren, die aus den elementaren Informationseinheiten gebildet werden. Die Ur-Alternativen
stellen aber keine Information im Sinne eines semantischen Gehaltes dar, sondern sind ele-
mentare Informationseinheiten analog zu den Bits im Computer. Bei einer Messung oder bei
bestimmten anderen physikalischen Prozessen wird allenfalls die semantische Information
erhöht, was bedeutet, dass die Ur-Alternativen sich in einer solchen Weise reorganisieren,
dass sich dabei Strukturen bilden, die vom Menschen als Dokument für einen bestimmten
Vorgang interpretiert werden können. Aber selbst wenn die Zahl der Ur-Alternativen mit der
Zeit systematisch zunähme, was natürlich auch aus anderen Gründen im Prinzip denkbar
sein könnte, so wäre wahrscheinlich zumindest die Dynamik freier Objekte von dem Frei-
heitsgrad der Informationsmenge unabhängig. Daher erscheint es als plausibel, den vierten
Teilraum im Tensorraum der Ur-Alternativen, welcher also die Menge an Information in ei-
nem Zustand enthält, nicht mit der indirekten Begründung einer weiteren Dimension im phy-
sikalischen Ortsraum in Verbindung zu bringen, wie dies in Bezug auf die anderen Teilräume
durch die im nächsten Unterabschnitt vollzogene Abbildung der Besetungszahlzustände in
den Ortsraum als Darstellungsmedium geschehen soll. Stattdessen ist davon auszugehen,
dass der vierte Teilraum in diesem Modell eine davon unabhängige Größe beschreibt, die
bei der gewöhnlichen Dynamik eines freien Objektes als absolute Informationsmenge, die
in einem Tensorraumzustand vieler Ur-Alternativen enthalten ist, konstant bleibt. Die Zeit
wird im übernächsten Unterabschnitt in die Beschreibung eingeführt. Dort wird dann auch
die spezifische Weise, in welcher sie im Rahmen dieser Beschreibung auftritt, und die in
völligem Einklang mit der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie steht, in aller
Gründlichkeit diskutiert.
38
6.2 Abbildung der Zust¨
ande im Tensorraum in den Ortsraum
Da die Besetzungszahl N
n
bei gegebenen Besetzungszahlen N
x
, N
y
, N
z
direkt über die Ge-
samtinformationsmenge N definiert ist, stellt sie, wie erwähnt, keinen eigenständigen Frei-
heitsgrad eines freien Objektes dar, sondern ergibt sich aus den anderen Freiheitsgraden.
Daher werden in einem Basiszustand
|N
x
,N
y
,N
z
,N
n
nur die Teilräume, welche den Basis-
zuständen
|N
x
,
|N
y
und
|N
z
entsprechen, in den Ortsraum abgebildet und entsprechen dann
den drei Raumdimensionen. Dies verhält sich analog zu einer Normierung eines Vektors, bei
der die Gesamtlänge keine unabhängige Dimension des Vektorraumes darstellt. Deshalb er-
gibt sich auch zunächst ein dreidimensionaler und kein vierdimensionaler reeller Ortsraum
als Darstellungsraum der Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen. Über die Sonder-
rolle der Zeitdimension, die in anderer Weise eingeführt werden muss, wird im nächsten
Unterabschnitt noch zu sprechen sein. Man kann nun die Orts- und Impulsoperatoren in (45)
in der folgenden Weise in Bezug auf einen dreidimensionalen reellen Ortsraum darstellen:
X
=
1
2
A
x
+ A
x
= x, P
x
= -
i
2
A
x
- A
x
= -i
x
,
Y
=
1
2
A
x
+ A
x
= y, P
y
= -
i
2
A
x
- A
x
= -i
y
,
Z
=
1
2
A
x
+ A
x
= z, P
z
= -
i
2
A
x
- A
x
= -i
z
,
(66)
wobei x, y und z einfach gewöhnliche reelle Koordinaten sind. Diese Darstellung der abstrak-
ten Orts- und Impulsoperatoren als Operatoren in einem dreidimensionalen reellen Raum er-
möglicht in vollkommener mathematischer Analogie zur Abbildung der Besetzungszahlzu-
stände des mehrdimensionalen quantentheoretischen harmonischen Oszillators die folgende
räumliche Darstellung der Besetzungszahlzustände:
|N
x
w
N
x
(x) =
1
N
x
!2
N
x
2
(x -
x
)
N
x
exp
-
x
2
2
,
|N
y
w
N
y
(y) =
1
N
y
!2
N
y
2
(y -
y
)
N
y
exp
-
y
2
2
,
|N
z
w
N
z
(z) =
1
N
z
!2
N
z
2
(z -
z
)
N
z
exp
-
z
2
2
.
(67)
Wenn aber der vierte Freiheitsgrad, wie oben ausgeführt, nur die Informationsmenge enthält
und daher keine im eigentlichen Sinne als eigenständiger Freiheitsgrad in die Dynamik ein-
bezogene Größe darstellt, so bedeutet dies, dass man einen Basiszustand des Tensorraumes
in Bezug auf die bezüglich der Operatoren A
x
, A
y
, A
z
und A
n
bezogene Basis bei gegebener
Informationsmenge in der folgenden Weise in eine Darstellung als eine Wellenfunktion in
einem dreidimensionalen Ortsraum überführen kann:
|N
xyzn
w
N
x
(x)w
N
y
(y)w
N
z
(z)
N
f
N
(N
x
,N
y
,N
z
,x,y,z) f
N
xyzn
(x),
(68)
wobei der Index N bezüglich f
N
(N
x
,N
y
,N
z
,x,y,z) natürlich die Gesamtinformationsmenge
in diesem Zustand als viertem Freiheitsgrad andeutet. Es sei darauf hingewiesen, dass diese
39
Wellenfunktionen normiert sind. Dies ist also vollkommen anders als in der gewöhnlichen
Quantenmechanik, in welcher die ebenen Wellen, die sich in einem Kontinuum möglicher
Zustände bewegen und mit Hilfe derer durch Überlagerung normierte Zustände von Teil-
chen gebildet werden, an sich selbst gar nicht normiert sind. Im Rahmen der Quantentheorie
der Ur-Alternativen sind die Basiszustände freier Objekte nicht nur diskret, sondern auch
normiert, was wie im Falle des Wasserstoffatoms miteinander in Zusammenhang zu stehen
scheint. Dies ist ein weiteres überzeugendes Indiz für die Quantentheorie der Ur-Alternati-
ven. Der Übergang (68) bedeutet für einen allgemeinen Zustand im Tensorraum, dass er in
der folgenden Weise in eine Welle im Ortsraum überführt werden kann:
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
=
N
xyzn
(N
xyzn
)|N
xyzn
(69)
N
x
,N
y
,N
z
,N
n
(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
) f
N
(N
x
,N
y
,N
z
,x,y,z) =
N
xyzn
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x) = (x).
Damit entspricht einem allgemeinen freien Zustand im Tensorraum vieler Ur-Alternativen
mit einer konstanten Informationsmenge N eine Wellenfunktion in einem reellen dreidimen-
sionalen Raum. Ein Zustand im Tensorraum ist also durch zwei Dinge charakterisiert: Durch
die Menge der in ihm enthaltenen Information N und durch die Darstellung als Wellenfunk-
tion in einem reellen dreidimensionalen Raum. Wenn man Zustände dargestellt durch Wel-
lenfunktionen mit unterschiedlicher Informationsmenge überlagert, was in (69) durch die
Summierung über N
n
natürlich implizit geschieht, so ist das Ergebnis wieder eine Wellen-
funktion im Raum. Aufgrund dieser Isomorphie eines Zustandes im reinen abstrakten quan-
tentheoretischen Informationsraum der Ur-Alternativen mit einer Wellenfunktion in einem
reellen dreidimensionalen Raum ist damit die Existenz des physikalischen Raumes aus einer
reinen abstrakten Quantentheorie der Information begründet. Dieser spielt die Rolle eines
Mediums, in dem sich die Zustände der Quantenobjekte indirekt darstellen, obwohl sie ei-
gentlich einer abstrakteren Realität reiner quantentheoretischer Informationseinheiten ange-
hören. Dies erklärt exakt die Situation, die wir in den Phänomenen wahrnehmen, die sich uns
empirisch darstellen. Alle Objekte scheinen sich in einem dreidimensionalen reellen Raum
zu befinden. Wenn wir aber bis auf die Ebene der Quantenobjekte vordringen, so stellen sich
diese Objekte zwar noch als Wellen in unserem Anschauungsraum dar, aber verhalten sich in
einer Weise als seien sie an die räumlichen Kausalstrukturen gar nicht mehr gebunden, was
sich in Phänomenen wie dem Doppelspaltexperiment, dem EPR-Paradoxon und der Redukti-
on der Wellenfunktionen zeigt. In der Auffassung der gewöhnlichen Quantenmechanik oder
Quantenfeldtheorie tun wir so, als hätten wir es noch mit räumlichen Objekten wie Teilchen
und Feldern zu tun, deren Gesetze wir dann durch den Vorgang der Quantisierung abändern
und die dann die gewöhnlichen Paradoxien enthält. Die wirkliche Erklärung für diese para-
doxe Situation liefert erst die Quantentheorie der Ur-Alternativen, indem sie erkennt, dass
die Objekte gar keine räumlichen Objekte sind, sondern Zustände abstrakter Informations-
einheiten, die wie abstrakte Quantenzahlen behandelt werden müssen, die sich nur in dieser
räumlichen Weise darstellen. Und deshalb sind sie natürlich auch nicht an die Kausalstruk-
turen dieses Raumes gebunden. Um dies deutlicher zu machen, könnte man einen Computer
als Gleichnis heranziehen. Die Ur-Alternativen als hinter der eigentlichen Erscheinung lie-
gende Realität verhalten sich zur räumlichen Wirklichkeit, die auf der Oberflächenebene an-
getroffen wird, in der gleichen Weise wie die abstrakte Struktur elektrischer Signale auf dem
Bildschirm. Auf dem Bildschirm befinden sich konkrete anschauliche lokalisierte Objekte.
Aber das ist nicht die eigentliche Realität im Computer, die einem abstrakten Muster elektri-
40
scher Signale in einem Mikrochip entspricht. Wenn sich der Mauszeiger von der einen Seite
des Bildschirms auf die andere bewegt, so bedeutet dies nicht, dass sich der Mikrochip oder
die darin enthaltenen Signale räumlich bewegen, sondern sie ändern nur die Struktur. Dieser
Vergleich ist natürlich begrenzt, da ja auch die abstrakten elektrischen Signale irgendwie
noch räumlich lokalisiert sind, während die Ur-Alterativen der ganzen physikalischen Reali-
tät zu Grunde liegen und sozusagen als reine Logik die physikalische Realität aus dem Nichts
heraus erst erzeugen. Aber immerhin kann dieses Gleichnis metaphorisch sehr deutlich und
eindringlich klar machen, dass die konkrete räumliche Wirklichkeit nur eine Darstellung ei-
ner fundamentaleren abstrakten Wirklichkeit ist, welche an die Gesetzmäßigkeiten dieser
räumlichen Oberflächenebene ebenso wenig gebunden ist wie das Verhalten der elektrischen
Signale an die Beziehungen auf dem Bildschirm. Der Mikrochip bestimmt die Gesetze und
der Bildschirm stellt durch eine Überführung nur dar. Das Geschehen auf dem Bildschirm
ist abhängig vom der Signalstruktur im Mikrochip aber nicht umgekehrt. Und daher ver-
wundert es, wenn man diesen Gedanken zurück auf die Quantentheorie der Ur-Alterativen
überträgt, überhaupt nicht mehr, dass in der Quantentheorie Geschehnisse und Effekte ein-
treten, die in keiner Weise mehr in Übereinstimmung mit den lokalen Kausalstrukturen des
physikalischen Raumes stehen.
6.3 Die Dynamik in der Quantentheorie der Ur-Alternativen
Die Zeit kommt erst über die Dynamik mit in die Beschreibung hinein. Sie kann bei der Dar-
stellung eines Zustandes in einem reellen Raum zunächst noch gar nicht enthalten sein, denn
alleine aufgrund der Existenz einer Dynamik, die in der Quantentheorie mit der allgemei-
nen Schrödinger-Gleichung immer vorausgesetzt werden muss, enthält das Wissen um die
Zeitentwicklung keinerlei zusätzliche Information. Wenn der Zustand zu einem bestimmten
Zeitpunkt bekannt ist, dann ist er aufgrund der Dynamik der Schrödinger-Gleichung im Prin-
zip bis in alle Ewigkeit bekannt, solange keine unbekannte Wechselwirkung einwirkt und
keine Messung durchgeführt wird. Daher kann die Zeitdimension nicht einem unabhängigen
Freiheitsgrad im Informationsraum entsprechen, sondern entspricht einem Automorphismus
desselben auf sich selbst. Dies steht in keinerlei Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie,
denn deren veränderte Kinematik und Dynamik mit ihrer Abhängigkeitsbeziehung zwischen
Raum und Zeit kann man zwar formal in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit darstellen,
womit die Zeit formal wie eine weitere Raumdimension eingeführt wird. Aber das bedeu-
tet in keiner Weise, dass damit der fundamentale Wesensunterschied zwischen Raum und
Zeit aufgehoben wäre. Dies zeigt sich auch formal indirekt darin, dass die Zeit in der Min-
kowski-Metrik mit einem negativen Vorzeichen versehen und die Raum- beziehungsweise
Zeitartigkeit eines Zustandes Lorentz-invariant ist. Viel wichtiger aber ist, dass die Zeit nur
in eine Richtung läuft und einer lebendigen Bewegung entspricht. Dies steht auch mit der
wichtigen Erkenntnis Einsteins in Zusammenhang, dass das ,,Jetzt" rein formal in der Phy-
sik nicht vorkommt, obwohl es natürlich zur tatsächlichen Wirklichkeit der Zeit gehört. Die
Zeit ist zudem, und das ist das Entscheidende in Bezug auf die Argumentation hier, ge-
nerell nicht mit einem unabhängigen Freiheitsgrad in der Physik verbunden wie das beim
Raum der Fall ist, auch nicht in der Relativitätstheorie, denn durch die Dynamik ist die
Zeitentwicklung determiniert, was in der Relativitätstheorie der Tatsache entspricht, dass in
der (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit ein Freiheitsgrad weggenommen wird. Dem möglichen
und zunächst vielleicht naheliegenden Einwand, dass durch eine unabhängige Einführung
der Zeitkoordinate die Einheit der Raum-Zeit im Sinne der Transformation zwischen Raum-
und Zeitkoordinaten nicht gewährleistet sei, kann man natürlich damit begegnen, dass so-
41
bald mit der Schödinger-Gleichung eine Zeitentwicklung in die Beschreibung gebracht wird,
über eine relativistische Definition des Hamilton-Operators implizit natürlich die relativis-
tischen Relationen zwischen Energie und Impuls und damit auch zwischen Zeitkoordinate
und Ortskoordinate mit in die Beschreibung hineinkommen. Genaugenommen entspricht
dem dreidimensionalen reellen Raum, welcher zur Darstellung der Zustände im Tensorraum
dient, eine raumartige Hyperfläche im Raum-Zeit-Kontinuum, während der über die Schrö-
dinger-Gleichung eingeführten Zeitentwicklung dann die vierte Dimension der Gesamtman-
nigfaltigkeit entspricht, in welche diese Hyperfläche eingebettet ist. Man ist in der Definition
dieser Hyperfläche frei, welche durch die entsprechende Identifikation der Koordinaten der
Raumdarstellung mit den Koordinaten dieser Hyperfläche entspricht. Raum und Zeit sind
also faktisch aufgrund der Interpretation der drei Raumkoordinaten als Hyperfläche in einer
formalen Raum-Zeit, der Entstehung einer vollen Raum-Zeit durch die Dynamik gemäß der
Schrödinger-Gleichung und der relativistischen Definition des Hamilton-Operators, der die
Zeitentwicklung im relativistischen Sinne zu den Impulsoperatoren in Beziehung setzt und
damit auch zu den Ortsoperatoren, doch miteinander verbunden. Und es kommt wie gesagt
nicht auf die formale Beschreibung an, sondern auf die faktische Gegenwart der kinemati-
schen und dynamischen Beziehungen der speziellen Relativitätstheorie, welche durch eine
relativistische Definition des Hamilton-Operators absolut gewährleistet ist.
Um also die Zeit und die Dynamik in die Beschreibung der Quantentheorie der Ur-Alter-
nativen zu integrieren, muss zunächst die Schrödinger-Gleichung in ihrer allgemeinen ab-
strakten Form zu Grunde gelegt werden, wie sie in (14) mit Bezug auf einen allgemeinen auf
den Begriff einer logischen Alternative bezogenen Zustand formuliert wurde. Diese lautet in
Bezug auf die Darstellung einer quantentheoretischen Alternative durch binäre Alternativen,
also als Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen (41), wie folgt:
i
t
|(t) = H|(t) ,
(70)
wobei die Zustände
|(t) gemäß (41) beziehungsweise (63) definiert sind, nur dass sie
jetzt zeitabhängig werden. Selbstredend legt dies zunächst nur die allgemeine dynamische
Grundstruktur gemäß der abstrakten Quantentheorie fest. Die Zeitentwicklung ist damit in
der folgenden Weise determiniert:
|(t) = e
-iHt
|(t
0
) .
(71)
Über die konkrete Gestalt des Hamilton-Operators H ist damit noch nichts ausgesagt. Wenn
man nun den konkreten durch Ur-Alternativen dargestellten freien Hamilton-Operator mit
in die Betrachtung hineinnimmt, welcher auf der Beziehung des Energieoperators zu den
Impulsoperatoren (47) basiert, so kann man zu einer konkreten Dynamik im Tensorraum
der Ur-Alternativen gelangen. Wenn also
|(t) als ein allgemeiner zeitabhängiger Zustand
im Tensorraum angesehen wird, und der Hamilton-Operator über die Energie-Impuls-Rela-
tion (47) definiert wird, so bedeutet dies, dass die Schrödinger-Gleichung folgende konkrete
Gestalt annimmt:
i
t
N
ABCD
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
= P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
N
ABCD
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
.
(72)
Als Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich damit die folgende Gestalt eines allge-
meinen zeitabhängigen Zustandes im Tensorraum:
42
|(t) =
N
ABCD
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
= e
-i
(
P
2
x
+P
2
y
+P
2
z
)
t
N
ABCD
(N
ABCD
,t
0
)|N
ABCD
=
N
ABCD
(N
ABCD
,t
0
)e
-i
(
P
2
x
+P
2
y
+P
2
z
)
t
|N
ABCD
.
(73)
Um nun die Komponenten zur Zeit t,
(N
ABCD
,t), in Abhängigkeit der Komponenten zur
Zeit t
0
,
(N
ABCD
,t
0
), zu bestimmen, muss zunächst einmal der in (47) definierte Energie-
operator auf die Basiszustände des Tensorraumes angewandt werden: E
|N
ABCD
. Um den
hieraus sich ergebenden Zustand zu bestimmen, muss zunächst die Anwendung des Quadra-
tes des Energieoperators betrachtet werden:
E
2
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)E
2
|N
ABCD
=
N
ABCD
(N
ABCD
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
ABCD
=
1
8
N
ABCD
(N
ABCD
) -3AA - 3BB - 3CC - 3DD - 3A
A
- 3B
B
- 3C
C
- 3D
D
+2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD + 2CD
+2A
B
+ 2A
C
+ 2A
D
+ 2B
C
+ 2B
D
+ 2C
D
+2 3A
A
+ 3B
B
+ 3C
C
+ 3D
D
-A
B
- A
C
- A
D
- B
A
- B
C
- B
D
-C
A
-C
B
-C
D
- D
A
- D
B
- D
C
+ 3 |N
ABCD
.
(74)
Dies kann weiter umgeformt werden zu:
E
2
| =
1
8
N
ABCD
(N
ABCD
) -3
N
A
N
A
- 1|N
A
- 2,N
B
,N
C
,N
D
(75)
-3
N
B
N
B
- 1|N
A
,N
B
- 2,N
C
,N
D
-3 N
C
N
C
- 1|N
A
,N
B
,N
C
- 2,N
D
- 3
N
D
N
D
- 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 2
-3 N
A
+ 2 N
A
+ 1|N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
- 3 N
B
+ 2 N
B
+ 1|N
A
,N
B
+ 2,N
C
,N
D
-3 N
C
+ 2 N
C
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 2,N
D
- 3 N
D
+ 2 N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 2
+2
N
A
N
B
|N
A
- 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ 2
N
A
N
C
|N
A
- 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
+2
N
A
N
D
|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1 + 2
N
B
N
C
|N
A
,N
B
- 1,N
C
- 1,N
D
+2
N
B
N
D
|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- 1 + 2 N
C
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
- 1
+2 N
A
+ 1 N
B
+ 1|N
A
+ 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ 2 N
A
+ 1 N
C
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+2 N
A
+ 1 N
D
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1 + 2 N
B
+ 1 N
C
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
+ 1,N
D
+2 N
B
+ 1 N
D
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ 1 + 2 N
C
+ 1 N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ 1
43
+2(3N
A
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 3N
B
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 3N
C
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 3N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- N
A
+ 1
N
B
|N
A
+ 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
- N
A
+ 1 N
C
|N
A
+ 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
- N
A
+ 1
N
D
|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1 -
N
A
N
B
+ 1|N
A
- 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- N
B
+ 1 N
C
|N
A
,N
B
+ 1,N
C
- 1,N
D
- N
B
+ 1
N
D
|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- 1
-
N
A
N
C
+ 1|N
A
- 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
-
N
B
N
C
+ 1|N
A
,N
B
- 1,N
C
+ 1,N
D
- N
C
+ 1
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
- 1 -
N
A
N
D
+ 1|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1
-
N
B
N
D
+ 1|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ 1 - N
C
N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
+ 1
+3|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
],
und durch Verschiebung der Indizes weiter zu:
E
2
| =
1
8
N
ABCD
-3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 2 N
A
+ 1
(76)
-3(N
A
,N
B
+ 2,N
C
,N
D
) N
B
+ 2 N
B
+ 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
+ 2,N
D
) N
C
+ 2 N
C
+ 1 - 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 2) N
D
+ 2 N
D
+ 1
-3(N
A
- 2,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
N
A
- 1 - 3(N
A
,N
B
- 2,N
C
,N
D
)
N
B
N
B
- 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
N
C
- 1 - 3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
- 2)
N
D
N
D
- 1
+2(N
A
+ 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 N
B
+ 1 + 2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
A
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
+ 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ 1) N
B
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ 1) N
C
+ 1 N
D
+ 1
+2(N
A
- 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
- 1 N
B
- 1 + 2(N
A
- 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
- 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
- 1) N
C
- 1 N
D
- 1
+2(3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
A
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
B
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
C
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
D
-(N
A
+ 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1
N
B
- (N
A
+ 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
-(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
)
N
A
N
B
+ 1
-(N
A
,N
B
+ 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
- (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
+ 1
N
D
-(N
A
- 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
)
N
A
N
C
+ 1 - (N
A
,N
B
- 1,N
C
+ 1,N
D
)
N
B
N
C
+ 1
-(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
- 1) N
C
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1)
N
A
N
D
+ 1
-(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ 1)
N
B
N
D
+ 1 - (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
+ 1) N
C
N
D
+ 1
+3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)]|N
ABCD
.
Diese Umformung ist nur unter der Voraussetzung möglich, dass:
(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
) = 0, wenn (N
A
< 2) (N
B
< 2) (N
C
< 2) (N
D
< 2). (77)
Dadurch kann man dann die Anwendung des Energieoperators auf einen beliebigen Basis-
zustand des Tensorraumes bestimmen zu:
44
E
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)E|N
ABCD
=
N
ABCD
(N
ABCD
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
ABCD
=
1
2
2
-3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 2 N
A
+ 1 - 3(N
A
,N
B
+ 2,N
C
,N
D
) N
B
+ 2 N
B
+ 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
+ 2,N
D
) N
C
+ 2 N
C
+ 1 - 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 2) N
D
+ 2 N
D
+ 1
-3(N
A
- 2,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
N
A
- 1 - 3(N
A
,N
B
- 2,N
C
,N
D
)
N
B
N
B
- 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
N
C
- 1 - 3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
- 2)
N
D
N
D
- 1
+2(N
A
+ 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 N
B
+ 1 + 2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
A
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
+ 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ 1) N
B
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ 1) N
C
+ 1 N
D
+ 1
+2(N
A
- 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
- 1 N
B
- 1 + 2(N
A
- 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
- 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
- 1) N
C
- 1 N
D
- 1
+2(3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
A
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
B
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
C
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
D
-(N
A
+ 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1
N
B
- (N
A
+ 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
-(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
)
N
A
N
B
+ 1
-(N
A
,N
B
+ 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
- (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
+ 1
N
D
-(N
A
- 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
)
N
A
N
C
+ 1 - (N
A
,N
B
- 1,N
C
+ 1,N
D
)
N
B
N
C
+ 1
-(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
- 1) N
C
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1)
N
A
N
D
+ 1
-(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ 1)
N
B
N
D
+ 1 - (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
+ 1) N
C
N
D
+ 1
+3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)] × [(N
ABCD
)]
1
2
|N
ABCD
.
(78)
Wenn man definiert:
E
(N
ABCD
) =
1
2
2
-3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 2 N
A
+ 1
-3(N
A
,N
B
+ 2,N
C
,N
D
) N
B
+ 2 N
B
+ 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
+ 2,N
D
) N
C
+ 2 N
C
+ 1 - 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 2) N
D
+ 2 N
D
+ 1
-3(N
A
- 2,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
N
A
- 1 - 3(N
A
,N
B
- 2,N
C
,N
D
)
N
B
N
B
- 1
-3(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
N
C
- 1 - 3(N
A
+ 2,N
B
,N
C
,N
D
- 2)
N
D
N
D
- 1
+2(N
A
+ 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 N
B
+ 1 + 2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
A
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
+ 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
+ 1
+2(N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ 1) N
B
+ 1 N
D
+ 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ 1) N
C
+ 1 N
D
+ 1
45
+2(N
A
- 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
- 1 N
B
- 1 + 2(N
A
- 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
- 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
- 1 N
C
- 1
+2(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
- 1 N
D
- 1 + 2(N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
- 1) N
C
- 1 N
D
- 1
+2(3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
A
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
B
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
C
+ 3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)N
D
-(N
A
+ 1,N
B
- 1,N
C
,N
D
) N
A
+ 1
N
B
- (N
A
+ 1,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
A
+ 1 N
C
-(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1) N
A
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
+ 1,N
C
,N
D
)
N
A
N
B
+ 1
-(N
A
,N
B
+ 1,N
C
- 1,N
D
) N
B
+ 1 N
C
- (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- 1) N
B
+ 1
N
D
-(N
A
- 1,N
B
,N
C
+ 1,N
D
)
N
A
N
C
+ 1 - (N
A
,N
B
- 1,N
C
+ 1,N
D
)
N
B
N
C
+ 1
-(N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
- 1) N
C
+ 1
N
D
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
+ 1)
N
A
N
D
+ 1
-(N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ 1)
N
B
N
D
+ 1 - (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
+ 1) N
C
N
D
+ 1
+3(N
A
,N
B
,N
C
,N
D
)] × [(N
ABCD
)]
1
2
,
(79)
so bedeutet dies:
E
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)E|N
ABCD
=
N
ABCD
(N
ABCD
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
ABCD
=
N
ABCD
E
(N
ABCD
)|N
ABCD
=
N
ABCD
P
0
(N
ABCD
)|N
ABCD
= |P
0
.
(80)
Und mit (71) und (73) erhält man über (80) die Zeitentwicklung eines Zustandes im Tensor-
raum der Ur-Alternativen. Denn durch eine Iteration der Anwendung des Energieoperators,
also des Hamilton-Operators, auf den Zustand im Sinne von (80), kann man dann im Prin-
zip alle Terme der Anwendung der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion mit dem
Energieoperator berechnen und in der entsprechenden Näherung die zeitabhängigen Koef-
fizienten
(N
ABCD
,t) erhalten. Um den Übergang in den Ortsraum zu vollziehen, muss die
Anwendung des Energieoperators in Bezug auf die alternative Darstellung der Basiszustän-
de gemäß (62) durchgeführt werden. Die Anwendung des Quadrates des Energieoperators
(53) liefert den folgenden Ausdruck:
E
2
| =
N
xyzn
(N
xyzn
)E
2
|N
xyzn
=
N
xyzn
(N
xyzn
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
xyzn
=
1
2
-A
x
A
x
+ 2A
x
A
x
- A
x
A
x
- A
y
A
y
+ 2A
y
A
y
- A
y
A
y
-A
z
A
z
+ 2A
z
A
z
- A
z
A
z
+ 3 |N
xyzn
=
1
2
-(N
x
+ 2,N
y
,N
z
,N
n
) N
x
+ 2 N
x
+ 1 - (N
x
,N
y
+ 2,N
z
,N
n
) N
y
+ 2 N
y
+ 1
-(N
x
,N
y
,N
z
+ 2,N
n
) N
z
+ 2 N
z
+ 1 - (N
x
- 2,N
y
,N
z
,N
n
)
N
x
N
x
- 1
-(N
x
,N
y
- 2,N
z
,N
n
) N
y
N
y
- 1 - (N
x
,N
y
,N
z
- 2,N
n
) N
z
N
z
- 1
+2[(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
x
+ (N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
y
+(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
z
] + 3(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
) |N
xyzn
.
(81)
Dadurch kann man dann die Anwendung des Energieoperators auf einen beliebigen Basis-
zustand des Tensorraumes bestimmen zu:
46
E
| =
N
xyzn
(N
xyzn
)E|N
xyzn
=
N
xyzn
(N
xyzn
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
xyzn
=
1
2
2
-(N
x
+ 2,N
y
,N
z
,N
n
) N
x
+ 2 N
x
+ 1 - (N
x
,N
y
+ 2,N
z
,N
n
) N
y
+ 2 N
y
+ 1
-(N
x
,N
y
,N
z
+ 2,N
n
) N
z
+ 2 N
z
+ 1 - (N
x
- 2,N
y
,N
z
,N
n
)
N
x
N
x
- 1
-(N
x
,N
y
- 2,N
z
,N
n
) N
y
N
y
- 1 - (N
x
,N
y
,N
z
- 2,N
n
) N
z
N
z
- 1
+2[(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
x
+ (N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
y
+(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
z
] + 3(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)
1
2
|N
xyzn
.
(82)
Wenn man definiert:
E
(N
xyzn
) =
1
2
2
-(N
x
+ 2,N
y
,N
z
,N
n
) N
x
+ 2 N
x
+ 1
-(N
x
,N
y
+ 2,N
z
,N
n
) N
y
+ 2 N
y
+ 1 - (N
x
,N
y
,N
z
+ 2,N
n
) N
z
+ 2 N
z
+ 1
-(N
x
- 2,N
y
,N
z
,N
n
)
N
x
N
x
- 1 - (N
x
,N
y
- 2,N
z
,N
n
) N
y
N
y
- 1
-(N
x
,N
y
,N
z
- 2,N
n
) N
z
N
z
- 1 + 2[(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
x
+ (N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
y
+(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)N
z
] + 3(N
x
,N
y
,N
z
,N
n
)
1
2
,
(83)
so bedeutet dies:
E
| =
N
xyzn
(N
xyzn
)E|N
xyzn
=
N
xyzn
(N
xyzn
) P
2
x
+ P
2
y
+ P
2
z
|N
xyzn
=
N
xyzn
E
(N
xyzn
)|N
xyzn
.
(84)
Bei einem Übergang zur Darstellung im Ortsraum ergibt sich dann für die Zeitentwicklung
eines allgemeinen symmetrischen Zustandes im Tensorraum der Ur-Alternativen mit (69),
(71), (73) und (84) der folgende Ausdruck, der aufgrund der relativistischen Definition des
Energieoperators (47) formal auch als ein Zustand in der Raum-Zeit im Sinne der speziellen
Relativitätstheorie angesehen werden kann:
|(t) =
N
xyzn
(N
xyzn
)e
-iEt
|N
xyzn
=
N
xyzn
(N
xyzn
,t)|N
xyzn
N
xyzn
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x) = (x,t).
(85)
Denn natürlich enthält diese auf der Schrödinger-Gleichung im Tensorraum (70) unter Vor-
aussetzung der Definition eines über (47) definierten Energieoperators basierende Zeitent-
wicklung (85) implizit die Dynamik einer Klein-Gordon-Gleichung. Dies ist aufgrund der
Relation der Operatoren über die relativistischen Energie-Impuls-Relation (47) unmittelbar
ersichtlich. Da der Energieoperator und die Zeitentwicklung sich wechselseitig definieren,
ist die Darstellung des Energieoperators immer gegeben durch:
47
E
= -i
t
.
(86)
Wenn man nun desweiteren die Darstellung der Impulsoperatoren gemäß (66) und zudem
die Definition der Energie über die Impulsoperatoren (47), die in Analogie zur gewöhnli-
chen relativistischen Energie-Impuls-Relation gewählt wurde, zu Grunde legt, und auf einen
Zustand im Tensorraum anwendet, so bedeutet dies:
E
2
- P
2
x
- P
2
y
- P
2
z
|(t) = 0
2
t
-
2
x
-
2
y
-
2
z
(x,t) = 0.
(87)
Und damit ist dann faktisch gezeigt, dass es durch Definition des Energieoperators gemäß
(47) und damit über die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Tensorraum und durch
die Voraussetzung der allgemeinen Schrödinger-Gleichung der abstrakten Quantentheorie
in Bezug auf den Tensorraum (70) möglich wird, die allgemeinen freien Zustände im Ten-
sorraum der Ur-Alternativen mit bosonischer Permutationssymmetrie darzustellen als Wel-
lenfunktionen in einer formalen Raum-Zeit, die der Klein-Gordon-Gleichung genügen. Die
bisherigen Objekte enthalten noch keine Masse. Wenn man aber wie das Standardmodell
der Elementarteilchenphysik mit dem Higgs-Teilchen und wie die Heisenbergsche nichtli-
neare Spinorfeldtheorie davon ausgeht, dass Masse durch Wechselwirkung entsteht, so ist
es nicht verwunderlich, dass freie Objekte masselos sind. Die Masse muss also durch eine
Beschreibung der Wechselwirkung induziert werden. Die Behandlung des Phänomens der
Wechselwirkung in der Quantentheorie der Ur-Alternativen wird im übernächsten Abschnitt
behandelt. Es wird für die späteren Abschnitte noch bedeutsam werden, die Wirkung der
Impulsoperatoren auf einen allgemeinen Zustand zu bestimmen:
P
x
| = -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
) A + B -C - D - A
- B
+C
+ D
|N
ABCD
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
)
N
A
|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
+
N
B
|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- N
C
|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
-
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1
- N
A
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1 - N
B
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ N
C
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 + (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
B
+ 1
- (N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
C
+ 1 - (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
D
+ 1
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
- (N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
)
N
B
+ (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
+ (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1)
N
D
|N
ABCD
N
ABCD
P
x
(N
ABCD
)|N
ABCD
|P
x
,
(88)
48
P
y
| = -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
) A - B +C - D - A
+ B
-C
+ D
|N
ABCD
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
)
N
A
|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
-
N
B
|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
+ N
C
|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
-
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1
- N
A
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1 + N
B
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
- N
C
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
+ N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 - (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
B
+ 1
+ (N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
C
+ 1 - (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
D
+ 1
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
+ (N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
)
N
B
- (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
+ (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1)
N
D
|N
ABCD
N
ABCD
P
y
(N
ABCD
)|N
ABCD
|P
y
,
(89)
P
z
| = -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
) A - B -C + D - A
+ B
+C
- D
|N
ABCD
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
ABCD
)
N
A
|N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
-
N
B
|N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
- N
C
|N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
+
N
D
|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1
- N
A
+ 1|N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
- 1 + N
B
+ 1|N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
+ N
C
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
- N
D
+ 1|N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1
= -
i
2
2
N
ABCD
(N
A
+ 1,N
B
,N
C
,N
D
) N
A
+ 1 - (N
A
,N
B
+ 1,N
C
,N
D
) N
B
+ 1
- (N
A
,N
B
,N
C
+ 1,N
D
) N
C
+ 1 + (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
+ 1) N
D
+ 1
- (N
A
- 1,N
B
,N
C
,N
D
)
N
A
+ (N
A
,N
B
- 1,N
C
,N
D
)
N
B
+ (N
A
,N
B
,N
C
- 1,N
D
) N
C
- (N
A
,N
B
,N
C
,N
D
- 1)
N
D
|N
ABCD
N
ABCD
P
z
(N
ABCD
)|N
ABCD
|P
z
.
(90)
Man kann (80), (88), (89) und (90) mit (54) in der folgenden Gleichung zusammenfassen:
P
ABCD
| = |P
.
(91)
49
7 Innere Symmetrien im begrifflichen Rahmen der
Ur-Alternativen
7.1 Die inneren Symmetrien
Die in der Natur existierenden Objekte sind nicht nur Objekte, die sich in der Raum-Zeit
darstellen, sondern sie sind zugleich durch zusätzliche diskrete Quantenzahlen gekennzeich-
net, welche mit den sogenannten inneren Symmetrien verbunden sind. Zudem gibt es den
Spin, welcher obwohl er eine Quantenzahl darstellt, auch mit den Raum-Zeit-Symmetrien in
Zusammenhang steht, und damit gewissermaßen zwischen den räumlichen Freiheitsgraden
und den Freiheitsgraden der inneren Symmetrien steht. Im Rahmen des Standardmodells der
Elementarteilchenphysik handelt es sich bei den Quantenzahlen außer dem Spin bekanntlich
vor allem um den schwachen Isospin, der mit einer SU
(2)-Symmetrie verbunden ist, und
den sogenannten Farb-Freiheitsgrad der Quarks, der mit einer SU
(3)-Symmetrie verbunden
ist. Es soll hier zunächst gezeigt werden, wie man diese zusätzlichen Symmetrien in eine
Beschreibungsweise im Rahmen der Ur-Alternativen einbinden kann, ehe im nächsten Un-
terabschnitt gezeigt wird, wie der Zusammenhang zu den Tensorraum-Zuständen hergestellt
werden kann, die man ja gemäß dem letzten Abschnitt in der Raum-Zeit darstellen kann.
Das interessante ist diesbezüglich natürlich, dass sowohl die räumlichen Freiheitsgrade al-
sauch die diskreten Freiheitsgrade der Quantenzahlen letztendlich beide auf die diskreten
Ur-Alternativen zurückgeführt werden.
Um die inneren Symmetrien der Elementarteilchen in die Quantentheorie der Ur-Alterna-
tiven einzubinden, soll hier anders als in [60], wo diese Frage auch behandelt wird, von der
mathematischen Struktur der Oktonionen Gebrauch gemacht werden, die mit der G
2
-Gruppe
in der Weise verbunden ist, dass die G
2
-Gruppe die Automorphismengruppe der Oktonionen
ist, also die Menge aller Abbildungen des Raumes der Oktonionen auf sich selbst beschreibt.
Im Hinblick auf eine algebraische Erweiterung der Quantentheorie wurden die Oktonionen
seitens Pascual Jordan untersucht, beispielsweise in [79],[80],[81],[82]. Die Ergebnisse des-
sen werden in [83] zusammenfassend dargestellt. Beziehungen zur SU
(3)-Symmetriestruk-
tur der Quarks werden in [84],[85],[86] thematisiert. Ein allgemeines Element der Oktonio-
nen hat die folgende Gestalt:
O
= r
0
e
0
+
7
i
=1
r
i
e
i
,
(92)
wobei r
0
und die r
i
reelle Parameter darstellen, e
0
einfach den Einheitsvektor der gewöhn-
lichen reellen Dimension in Abgrenzung zu den imaginären Dimensionen andeutet und die
imaginären Größen e
i
die folgende algebraische Relation erfüllen:
e
i
e
j
= -
i j
+ ~
i jk
e
k
,
(93)
wobei der Tensor ~
i jk
total antisymmetrisch ist und für ihn gilt:
~
123
= ~
246
= ~
435
= ~
367
= ~
651
= ~
572
= ~
471
= 1.
(94)
Die verschiedenen imaginären Größen e
i
sind nicht-assoziativ und erfüllen den folgenden
Assoziator:
e
i
,e
j
,e
k
= (e
i
e
j
)e
k
- e
i
(e
j
e
k
) = -2¯
i jkl
e
l
,
(95)
50
wobei der Tensor ¯
i jkl
ebenfalls total antisymmetrisch ist und für ihn gilt:
¯
1247
= ¯
1265
= ¯
2345
= ¯
2376
= ¯
3146
= ¯
3157
= ¯
4576
= 1.
(96)
Die konjugierte Größe zu einem Element der Oktonionen ist gegeben durch:
O
= r
0
e
0
-
7
i
=1
r
i
e
i
.
(97)
Die Automorphismen-Gruppe der Oktonionen ist wie erwähnt die G
2
-Gruppe, eine der ex-
zeptionellen Lie-Gruppen, welche 14 Generatoren aufweist. Diese kann in einem vierdimen-
sionalen komplexen Vektorraum dargestellt werden. Um einen komplexen vierdimensiona-
len Vektor zu konstruieren, ist in der Quantentheorie der Ur-Alternativen die Kombination
zweier Ur-Alternativen notwendig, die hier als u und v bezeichnet seien:
u
=
a
+ bi
c
+ di ,
v
=
e
+ fi
g
+ hi ,
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= e
2
+ f
2
+ g
2
+ h
2
= 1. (98)
Mit Hilfe dieser kann man einen vierdimensionalen Spinor konstruieren, der aber hier natür-
lich keinerlei Beziehung zur Raum-Zeit aufweist:
=
¯
u
¯v
=
a
+ bi
c
+ di
e
+ fi
g
+ hi
,
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
+ f
2
+ g
2
+ h
2
= 1,
(99)
wobei hier jetzt natürlich eine neue Normierungsbedingung definiert werden muss, da die
beiden Ur-Alternativen ja in eine Gesamtalternative eingebettet sind, wodurch faktisch ein
weiterer Freiheitsgrad entsteht und weshalb die beiden in die Gesamtalternative integrierten
Ur-Alternativen mit ¯
u und ¯v bezeichnet werden. In Wirklichkeit enthalten die Ur-Alternati-
ven ja bereits drei Alternativen oder logische Freiheitsgrade, nämlich denjenigen zwischen
den beiden komplexen Dimensionen und die beiden in jeder der beiden komplexen Dimen-
sionen jeweils für sich schon enthaltenen. Jede der beiden Ur-Alternativen enthält also ei-
gentlich drei unabhängige Freiheitsgrade. Und mit der Alternative der beiden Ur-Alternati-
ven in Bezug aufeinander ergibt sich dann der siebte Freiheitsgrad. Einen solchen aus zwei
Ur-Alternativen bestehenden vierdimensionalen komplexen Spinor kann man natürlich auch
als einen achtdimensionalen reellen Vektor darstellen:
R
=
a
b
c
d
e
f
g
h
.
(100)
Bezogen auf diesen kann man die 14 Generatoren der G
2
-Gruppe in der folgenden Wei-
se als reelle 8 x 8-Matrizen darstellen, die als 4 x 4-Matrizen mit durch Pauli-Matrizen
dargestellten reellen 2 x 2-Matrizen als Einträgen geschrieben werden können, wobei auf-
grund der nicht-Assoziativität der Oktonionen, welche gleichbedeutend mit der Tatsache ist,
51
dass Rechtsmultiplikation etwas anderes ist als Linksmultiplikation, zu jeder der sieben ima-
ginären Dimensionen der Oktonionen zwei Generatoren gehören. Die nicht-Assoziativität
stellt sich also in einer Verdopplung der Zahl der Generatoren von 7 auf 14 dar [87], wobei
in der folgenden Bezeichnung der Generatoren die mit R und L bezeichneten Generatoren
jeweils ein Paar in Bezug auf Rechts- und Linksmultiplikation darstellen:
L
1
=
-i
2
0
0
0
0
-i
2
0
0
0
0
-i
2
0
0
0
0
i
2
, R
1
=
-i
2
0
0
0
0
i
2
0
0
0
0
i
2
0
0
0
0
-i
2
,
L
2
=
0
-
3
0
0
3
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
, R
2
=
0
-1 0 0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1 0
,
L
3
=
0
-
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-i
2
0
0
-i
2
0
, R
3
=
0
-i
2
0
0
-i
2
0
0
0
0
0
0
i
2
0
0
i
2
0
,
L
4
=
0
0
-
3
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
-1
0
0
, R
4
=
0 0
-1 0
0 0
0
-1
1 0
0
0
0 1
0
0
,
L
5
=
0
0
-
1
0
0
0
0
i
2
1
0
0
0
0
i
2
0
0
, R
5
=
0
0
-i
2
0
0
0
0
-i
2
-i
2
0
0
0
0
-i
2
0
0
,
L
6
=
0
0
0
-1
0
0
-
3
0
0
3
0
0
1
0
0
0
, R
6
=
0
0
0
-
3
0
0
3
0
0
-
3
0
0
3
0
0
0
,
L
7
=
0
0
0
-i
2
0
0
-
1
0
0
1
0
0
-i
2
0
0
0
, R
7
=
0
0
0
-
1
0
0
1
0
0
-
1
0
0
1
0
0
0
.
(101)
Hierbei beschreiben die
die Pauli-Matrizen einschließlich der Einheitsmatrix in zwei
Dimensionen:
0
= 1 =
1 0
0 1 ,
1
=
0 1
1 0 ,
2
=
0
-i
i
0
,
3
=
1
0
0
-1 .
(102)
Auf diese Weise ist also die G
2
-Gruppe auf dem Raum einer doppelten Ur-Alternative dar-
gestellt. Nun kann man aber die G
2
-Symmetrie zerlegen in eine SU
(3)-Symmetrie und zwei
SU
(2)-Symmetrien [88], was also bedeutet:
G
2
SU(3) SU(2) SU(2).
(103)
52
Entsprechend den acht Generatoren der SU
(3)-Gruppe und den jeweils drei Generatoren der
beiden SU
(2)-Gruppen, ist dies gleichbedeutend mit der Relation:
14
= 8 + 3 + 3.
(104)
Diese algebraische Substruktur der G
2
-Gruppe kann dargestellt werden, indem man die Grö-
ßen a
k
, b
k
und g
kl
einführt, wobei die Indizes jeweils von 1 bis 3 laufen. Diese algebraischen
Größen sind zugleich die Generatoren der G
2
-Gruppe alsauch diejenigen der Untergruppen,
wobei die a
k
und die b
k
jeweils eine SU
(2)-Gruppe konstituieren und die g
kl
eine SU
(3)-
Gruppe [89]. Diese Generatoren erfüllen dementsprechend die folgende Lie-Algebra:
g
l
k
,g
n
m
=
l
m
g
n
k
-
n
k
g
l
m
,
g
l
k
,a
m
=
l
m
a
k
-
1
3
l
k
a
m
,
g
l
k
,b
n
= -
n
k
b
l
+
1
3
l
k
b
n
,
[a
m
,b
n
] = g
n
m
, [a
m
,a
n
] = -
2
3
mnl
b
l
, [b
m
,b
n
] =
2
3
mnl
a
l
,
(105)
wobei
i jk
hier nun den gewöhnlichen total antisymmetrischen Tensor dritter Stufe bezeich-
net. Die Forderung der Relationen:
k
g
k
k
= 0, g
l
k
= g
l
k
, a
m
= b
m
,
(106)
schränkt die Zahl der Freiheitsgrade der g
kl
von neun auf acht ein, wie es den acht Genera-
toren der SU
(3)-Gruppe entspricht.
Da sich also die G
2
-Gruppe im Raum einer doppelten binären quantentheoretischen Al-
ternative darstellen lässt und diese sich in eine SU
(3)-Gruppe und zwei SU(2)-Gruppen auf-
spalten lässt, besteht die Möglichkeit, auf diese Weise die inneren Symmetrien des Standard-
modells in die Quantentheorie der Ur-Alternativen zu integrieren. Man könnte die SU
(3)-
Gruppe mit dem Farbfreiheitsgrad der Quarks identifizieren, eine der beiden SU
(2)-Gruppen
mit dem Isospin und die andere der SU
(2)-Gruppen mit dem räumlichen Spin. Nun entsteht
natürlich die Schwierigkeit, den Bezug zum Tensorraum und seiner Darstellung in Bezug auf
den physikalischen Ortsraum herzustellen. Hierbei ist entscheidend, dass der Spin sich auch
auf den physikalischen Raum bezieht, während der Isospin und der Farbfreiheitsgrad rein in-
nere Symmetrien ohne Bezug zum physikalischen Raum darstellen. Dies legt die Vermutung
nahe, dass der mit der einen SU
(2)-Symmetrie verknüpfte Spin-Freiheitsgrad eine relative
Ausrichtung der Ur-Alternativen des Raumes des zusätzlichen doppelten binären Freiheits-
grades in Bezug auf den Tensorraum beschreibt, während die anderen Freiheitsgrade dann
relativ zu diesem zusätzlichen Freiheitsgrad als Basis definiert und damit vollkommen un-
abhängig vom Tensorraum einschließlich dessen Darstellung im physikalischen Ortsraum
sind. Dies würde dann eine Erklärung dafür liefern, warum der Freiheitsgrad des Spin durch
Raum-Zeit-Transformationen beeinflusst wird, aber der Isospin und der Farbfreiheitsgrad
nicht. Das bedeutet, dass eine Transformation aller Ur-Alternativen des internen Raumes
einer Drehung des Spin entspricht, während eine Transformation der Ur-Alternativen des
internen Raumes relativ zueinander einer Transformation in Bezug auf die inneren Sym-
metrien entspricht. Dies liefert in der Tat eine sehr plausible Rechtfertigung dafür, dass es
neben den Raum-Zeit-Symmetrien und den internen Symmetrien den Spin mit seiner beides
verbindenden Natur überhaupt gibt. Diese Grundidee wurde in etwas anderer Weise bereits
in [90] thematisiert.
53
7.2 Beziehung der inneren Symmetrien zum Raum
Natürlich muss der Spin-Freiheitsgrad unter dieser Voraussetzung dynamisch in eine direkte
Beziehung zum Tensorraum gesetzt werden und dies kann wie in der gewöhnlichen Be-
schreibung geschehen, indem man die Klein-Gordon-Gleichung (87) linearisiert und in die
entsprechende Dirac-Gleichung überführt, wie Dirac dies in [91],[92] vollzog. Wenn man
die in der Klein-Gordon-Gleichung (87) enthaltene Energie-Impuls-Relation (47) und als
Viererimpulsoperator die Definition in (54) zu Grunde legt, so lautet (47):
(P
ABCD
)
(P
ABCD
)
= 0.
(107)
Um diese Relation umzuformulieren muss man die Dirac-Matrizen verwenden:
0
=
0 1
1 0 ,
i
=
0
-
i
i
0
, i = 1...3,
(108)
wobei die
i
die in (102) definierten Pauli-Matrizen sind und 1 die ebenfalls in (102) defi-
nierte Einheitsmatrix in zwei Dimensionen ist. Mit der Relation:
+
= 2
1
, = 0...3,
(109)
wobei
die Minkowski-Metrik und 1 hier nun die Einheitsmatrix in vier Dimensionen
sein soll, kann man (107) ausdrücken als:
(P
ABCD
)
(P
ABCD
)
= 0,
(110)
und dies bedeutet:
(P
ABCD
)
= 0.
(111)
Um nun von dieser Relation zur masselosen Dirac-Gleichung als einer bestimmten Mani-
festation der Schrödinger-Gleichung als dynamischer Grundgleichung der Quantentheorie
überzugehen, muss der darin enthaltene Operator auf einen Zustand angewandt werden. Und
dieser muss zusätzlich zu einem Vektor im Tensorraum der Ur-Alternativen auch mindestens
noch einen zusätzlichen Dirac-Spinor enthalten. Es sollen aber zudem mit Hilfe der mathe-
matischen Betrachtungen des letzten Unterabschnittes die inneren Symmetrien eingebunden
werden, also der schwache Isospin sowie die Quark-Freiheitsgrade. Zunächst sei deshalb
der folgende zweidimensionale Spinor
als einzelne Ur-Alternative definiert, welche die
Komponente zu positiver und zu negativer Energie beschreibt:
=
1
2
=
u
1
u
2
.
(112)
Desweiteren sei der Vektor
als Tensorprodukt der Ur-Alternative mit der doppelten Ur-
Alternative
aus dem letzten Unterabschnitt (99) definiert, in Bezug auf welche die G
2
-
Gruppe mit der in ihr enthaltenen Substruktur der beiden SU
(2)-Gruppen und der SU(3)-
Gruppe dargestellt werden kann:
= =
1
2
.
(113)
Der Spinor
enthält also die Freiheitsgrade eines Dirac-Spinors, der die Komponenten zu
positiver und negativer Energie sowie den Spin enthält, der mit einer der beiden SU
(2)-
54
Gruppen identifiziert werden kann, die in der G
2
-Gruppe enthalten sind, und darüber hin-
aus einen schwachen Isospin, der mit der anderen der beiden SU
(2)-Gruppen identifiziert
werden kann, sowie einen Farbfreiheitsgrad, der mit der SU
(3)-Gruppe identifiziert werden
kann. Wenn man nun ein weiteres Tensorprodukt bildet, nämlich dasjenige zwischen dem
Vektor
und einem allgemeinen Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen, formuliert in
(41) beziehungsweise (63), so erhält man einen erweiterten Zustand
|
:
|
=
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
.
(114)
Dieser Zustand stellt ein Element des Gesamt-Hilbert-Raumes
H
G
dar, der sich aus dem
Tensorprodukt des Tensorraumes der Ur-Alternativen
H
T
und dem Hilbert-Raum der Menge
der
-Zustände H
ergibt:
H
G
H
T
H
.
(115)
Wenn man den Operator aus (111) auf einen allgemeinen Zustand
|
anwendet, definiert
in (114), den man zudem als zeitabhängig ansieht, so ergibt sich die folgende Gleichung:
(P
ABCD
)
|
(t) =
0
E
-
1
P
x
-
2
P
y
-
3
P
z
|
(t) = 0,
(116)
wobei E gemäß (53) und P
x
, P
y
und P
z
gemäß (45) beziehungsweise (48) definiert sind. Diese
Gleichung (116) stellt ihrer Form nach eine Dirac-Gleichung mit inneren Symmetrien dar.
Die Dirac-Matrizen wirken im
-Raum beziehungsweise die in den Dirac-Matrizen enthal-
tenen Pauli-Matrizen auf den SU
(2)-Freiheitsgrad innerhalb des Zustandes , der mit dem
Spin identifiziert werden soll. Der andere SU
(2)-Freiheitsgrad und der SU(3)-Freiheitsgrad
bleiben durch die Dirac-Matrizen unbeeinflusst, weshalb sie auch von den Operatoren im
Tensorraum vollkommen entkoppelt sind, womit sie auch von der Raum-Zeit absolut unab-
hängig sind und daher als wirkliche innere Freiheitsgrade im Sinne des schwachen Isospin
und der Farbe interpretiert werden können. Allenfalls über eine Wechselwirkung könnten
Beziehungen der inneren Symmetrien zum Tensorraum hergestellt werden. Wenn man die
folgende Definition vornimmt:
=
(P
ABCD
)
=
0
E
-
1
P
x
-
2
P
y
-
3
P
z
,
(117)
so kann man die Gleichung umschreiben zu:
|
(t) = 0.
(118)
Wenn man nun den Übergang in eine Raum-Zeit-Darstellung vornimmt, indem man die
räumliche Darstellung (69) von Zuständen im Tensorraum verwendet:
|
(t)
(x,t) =
(x,t),
(119)
und zudem die Darstellung der Orts- und Impulsoperatoren im reellen dreidimensionalen
Raum (66) in (116) verwendet, dann ergibt sich die folgende Gestalt der Dirac-Gleichung in
Bezug auf eine Darstellung in der Raum-Zeit:
i
(x,t) = 0.
(120)
In Gestalt der Schrödinger-Gleichung (70) geschrieben, bedeutet dies:
i
t
(x,t) = i
0
1
x
+
2
y
+
3
z
(x,t) = H
D
(x,t) = 0,
(121)
55
wenn man H
D
definiert als:
H
D
= -
0
1
P
x
+
2
P
y
+
3
P
z
i
0
1
x
+
2
y
+
3
z
.
(122)
Dass eine Masse erst über eine Theorie der Wechselwirkung in die Quantentheorie der Ur-
Alternativen Einzug erhalten kann, wurde im letzten Abschnitt bereits erläutert.
8 Zust¨
ande vieler Objekte und Wechselwirkung
8.1 Vielteilchentheorie
Man kann nun von einer Quantentheorie vieler Ur-Alternativen, deren symmetrischen Zu-
ständen freie Quantenobjekte entsprechen, die in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit dar-
gestellt werden können, zu einer Theorie vieler solcher Quantenobjekte übergehen, die ei-
ner Vielteilchentheorie oder freien Quantenfeldtheorie analog ist, aber natürlich in Wirk-
lichkeit nicht einer Quantenfeldtheorie entspricht, da sie basierend auf Ur-Alternativen un-
abhängig von einem physikalischen Raum und damit von feldtheoretischen Prinzipien ist.
In einer solchen hat man es nicht mit einem Hilbert-Raum zu tun, dessen Basiszuständen
Besetzungszahlen für die verschiedenen Basiszustände einer einzelnen Ur-Alternative ent-
sprechen, sondern mit einem Hilbert-Raum, dessen Basiszuständen Besetzungszahlen für
die Basiszustände des symmetrischen Tensorraumes vieler Ur-Alternativen entsprechen, al-
so Besetzungszahlen in Bezug auf Besetzungszahlen. Man hat es also mit drei Stufen der
Quantisierung zu tun. Auf der ersten Stufe wird eine binäre Alternative durch Zuordnung
von komplexen Wahrheitswerten in eine quantentheoretische binäre Alternative überführt,
die damit zu einer Ur-Alternative wird. Auf der zweiten Stufe werden die Komponenten der
Ur-Alternative zu Operatoren, die in einem Tensorraum vieler Ur-Alternativen wirken und
Ur-Alternativen in den verschiedenen Basiszuständen erzeugen beziehungsweise vernichten.
Den Zuständen in diesem Tensorraum entsprechen einzelne freie Quantenobjekte, die man
gewöhnlich als Teilchen bezeichnet und als Wellen im Raum darstellt. Auf der dritten Stufe
erhält man Operatoren, die Quantenobjekte in den Basiszuständen des Tensorraumes der Ur-
Alternativen erzeugen und vernichten. Die Zustände beschreiben ein Ensemble vieler Quan-
tenobjekte. Den drei Stufen der Quantisierung entsprechen also die folgenden Übergänge:
binäre Alternative
Quantisierung
-------- Zustand Ur-Alternative,
(123)
Zustand Ur-Alternative
Quantisierung
-------- Zustand vieler Ur-Alternativen,
Zustand vieler Ur-Alternativen
Quantisierung
-------- Zustand vieler Quantenobjekte.
Eine Konstruktion des Hilbert-Raumes der Besetzungszahlen in Bezug auf die Basiszustän-
de im Tensorraum vieler Ur-Alternativen entspricht einer Zuordnung von Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren zu den Basiszuständen des Tensorraumes vieler Ur-Alternativen,
denen ja selbst Besetzungszahlen in den Basiszuständen einzelner Ur-Alternativen entspre-
chen (40). Diese Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind, wenn man Bose-Statistik
zu Grunde legt, gemäß der folgenden Vertauschungsrelation definiert:
^
(N
ABCD
), ^
N
ABCD
=
N
A
N
A
N
B
N
B
N
C
N
C
N
D
N
D
.
(124)
Man kann nun zu den Besetzungszahlen der Quantenobjekte in den Basiszuständen des Ten-
sorraumes vieler Ur-Alternativen gehörige Zustände
|N (N
ABCD
) definieren, auf welche die
56
in (124) definierten Operatoren wirken und über diese kann man einen allgemeinen Zustand
vieler Quantenobjekte in folgender Weise ausdrücken:
|
N
=
N
ABCD
N (N
ABCD
)
N
[N (N
ABCD
)]|N (N
ABCD
)
=
N
xyzn
N
(
N
xyzn
)
N
[N (N
xyzn
)]|N (N
xyzn
) .
(125)
Die zu den Feldoperatoren in gewöhnlichen Quantenfeldtheorien analogen Operatoren im
Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen, welche sich auf Zustände vieler Quanten-
objekte beziehen, lauten dann in der Ortsdarstellung wie folgt:
^
(x) =
N
yxzn
^
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x),
^
(x) =
N
xyzn
^
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x),
(126)
wobei
(N
xyzn
) und
(N
xyzn
) die zu (124) analogen Vertauschungsrelationen in Bezug auf
N
xyzn
erfüllen und in dieser Ortsdarstellung die Funktionen f
N
xyzn
(x) gemäß (68) definiert
sind. Wenn man die Operatoren (126) in Abhängigkeit von der Zeit formulieren möchte, so
muss man gemäß der Dynamik im Tensorraum der Ur-Alternativen (85) den Zeitentwick-
lungsoperator e
-iEt
integrieren:
^
N
(x,t) =
N
yxzn
^
(N
xyzn
)e
-iEt
f
N
xyzn
(x),
^
N
(x,t) =
N
xyzn
^
(N
xyzn
)e
iEt
f
N
xyzn
(x),
(127)
wobei E natürlich gemäß (53) definiert ist. Ein aus vielen bezüglich der Vertauschung der
Ur-Alternativen symmetrischen Zuständen, welche einzelne Quantenobjekte repräsentieren,
zusammengesetzter Zustand, also ein symmetrisches Produkt symmetrischer Zustände, wel-
ches einen Zustand vieler Quantenobjekte repräsentiert, stellt an sich selbst nicht wieder
einen symmetrischen Zustand bezüglich der einzelnen Ur-Alternativen dar. Deshalb ist es
notwendig, eine verallgemeinerte Algebra einzuführen, welche Zustände mit allgemeine-
rer Symmetrie zu beschreiben gestattet. Diese gegenüber den Vertauschungsrelationen von
Operatoren, die zu symmetrischen Zuständen gehören, und Anti-Vertauschungsrelationen
von Operatoren, die zu anti-symmetrischen Zuständen gehören, verallgemeinerte Algebra
konstituiert neben der Bose-Statistik mit symmetrischen Zuständen und der Fermi-Statistik
mit antisymmetrischen Zuständen, die Parabose-Statistik mit Zuständen beliebiger Symme-
trie. Wenn für die zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (34) im Falle der Bose-
Statistik analogen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Parabose-Statistik folgende
Definition vorgenommen wird:
a
1
= A, a
2
= B, a
3
= C, a
4
= D,
a
1
= A
, a
2
= B
, a
3
= C
, a
4
= D
,
(128)
57
so erfüllen die Ur-Alternativen Parabose-Statistik, wenn für die Erzeugungs- und Vernich-
tungsoperatoren die folgenden algebraischen Relationen gelten:
1
2
a
r
,a
s
,a
t
= -
st
a
r
, [{a
r
,a
s
},a
t
] = a
r
,a
s
,a
t
= 0, r,s,t = 1...4,
(129)
wobei wie gewöhnlich eckige Klammern einen Kommutator beschreiben und geschweif-
te Klammern einen Antikommutator. Diese algebraischen Relationen werden dann erfüllt,
wenn man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der folgenden Weise definiert:
a
r
=
p
=1
b
r
, a
r
=
p
=1
b
r
, r = 1...4,
(130)
wobei die folgende Algebra für die neu eingeführten Operatoren b
r
und b
r
gilt:
b
r
,b
s
=
rs
, [b
r
,b
s
] = b
r
,b
s
= 0, r,s = 1...4
b
r
,b
s
= b
r
,b
s
= b
r
,b
s
= 0 für = .
(131)
p beschreibt die sogenannte Parabose-Ordnung. Wenn man diese Algebra (131) zu Grun-
de legt, so beschreiben die b
r
-Operatoren beziehungsweise b
r
-Operatoren für ein fest de-
finiertes
die Erzeugungs- beziehungsweise Vernichtungsoperatoren für Ur-Alternativen,
die zum Zustand eines bestimmen Quantenobjektes gehören. Die Parabose-Ordnung p be-
schreibt dann die Zahl der Quantenobjekte, die in einem Zustand enthalten sind. Der Ge-
samtzustand bleibt gleich, wenn man zwei Ur-Alternativen vertauscht, die zum gleichen
Quantenobjekt gehören, für die also gilt:
= , und er kehrt das Vorzeichen um, wenn man
zwei Ur-Alternativen vertauscht, die nicht zum gleichen Quantenobjekt gehören, für die al-
so gilt:
= . Natürlich kann man dann die zu festem gehörigen b
r
-Operatoren gemäß
(128) mit den jeweiligen Erzeugungs- beziehungsweise Vernichtungsoperatoren für die vier
Basiszustände im Tensorraum dieses
-ten Objektes identifizieren:
b
1
= A
, b
2
= B
, b
3
= C
, b
4
= D
,
b
1
= A
, b
2
= B
, b
3
= C
, b
4
= D
.
(132)
Es soll nun der Propagator eines Quantenobjektes definiert werden. T
{O (t
1
)O (t
2
)} be-
schreibt das zeitgeordnete Produkt von Operatoren:
T
{O (t
1
)O (t
2
)} = (t
1
-t
2
)O (t
1
)O (t
2
) + (t
2
-t
1
)O (t
2
)O (t
1
),
(133)
wobei gilt:
(t
1
-t
2
) =
1
wenn
t
1
t
2
0
wenn
t
1
< t
2
.
(134)
Wenn
|0 den Vakuumzustand beschreibt, dann kann damit nun der Propagator zwischen
zwei Orten und zwei Zeitpunkten wie folgt bestimmt werden:
58
x ,x,t ,t = 0|T ^ x ,t ^
(x,t) |0
= 0|T
N
xyzn
^
N
xyzn
e
-iE t
f
N
xyzn
x
N
xyzn
^
(N
xyzn
)e
iEt
f
N
xyzn
(x)
|
0
=
N
xyzn
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x) N
xyzn
|e
-iE t
e
iEt
|N
xyzn
=
N
xyzn
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x)
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
|
¯
N
xyzn
,N
xyzn
t
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t)| ¯N
xyzn
=
N
xyzn
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x)
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
,N
xyzn
t
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t) ¯N
xyzn
| ¯N
xyzn
=
N
xyzn
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x)
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
,N
xyzn
t
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t)
¯
N
xyzn
, ¯N
xyzn
=
N
xyzn
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x)
¯
N
xyzn
¯
N
xyzn
,N
xyzn
t
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t)
=
N
xyzn
N
xyzn
¯
N
xyzn
t -t f
N
xyzn
x
f
N
xyzn
(x)
¯
N
xyzn
,N
xyzn
t
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t) .
(135)
Hierbei wurde natürlich einerseits die Definition (127) und andererseits die Tatsache ver-
wendet, dass gilt: ^
(x,t)|0 = 0 und 0| ^
(x,t) = 0, weshalb beim zeitgeordneten Produkt
der Term für den Fall t
< t natürlich einfach verschwindet. Die Komponenten
¯
N
xyzn
,N
xyzn
(t)
beschreiben die Komponenten des sich aus der Zeitentwicklung gemäß (71) beziehungswei-
se (73) ergebenden Zustandes. Hierbei wird durch die Zeitentwicklung ein Übergang des
Basiszustandes
|N
xyzn
eines einzelnen symmetrischen Zustandes von Ur-Alternativen, der
durch den Erzeugungsoperator im Vielteilchen-Hilbert-Raum erzeugt wurde, zu einer Line-
arkombination solcher Basiszustände beschrieben.
8.2 Das Ph¨
anomen der Wechselwirkung als Verschr¨
ankung abstrakter
Zust¨
ande
Es ist nun die Aufgabe zu bewältigen, das Phänomen der Wechselwirkung zwischen ver-
schiedenen Objekten im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen zu beschreiben.
Wechselwirkung bedeutet, dass sich die Dynamik und damit die zeitliche Entwicklung zwei-
er oder mehrerer Objekte nicht in einer voneinander unabhängigen Weise vollzieht. Dies
wiederum bedeutet, dass eine Abhängigkeitsbeziehung zwischen den Zuständen der Objekte
besteht, zwischen denen eine Wechselwirkung herrscht. Da im Rahmen der Quantentheorie
der Ur-Alternativen keinerlei physikalische und insbesondere feldtheoretische Begriffe vor-
ausgesetzt werden dürfen, kann die Wechselwirkung nicht wie etwa in der gewöhnlichen
Formulierung relativistischer Quantenfeldtheorien durch ein punktweises Produkt von Fel-
dern oder durch eine ähnliche Konzeption begründet werden. Vielmehr muss sie sich wie
59
alles andere auch alleine in einer nur auf die abstrakte Realität der Alternativen oder speziell
der Ur-Alternativen bezogenen Weise ergeben und damit zugleich in einer von vorneherein
rein quantentheoretischen Weise definiert sein. In einer gewöhnlichen Beschreibungsweise
führt eine Wechselwirkung zwischen zwei Objekten zu einer anschließenden Verschränkung
der Zustände. Da eine beliebige Verschränkung die allgemeinste und abstrakteste Weise ist,
um eine Abhängigkeitsbeziehung zweier quantentheoretischer Zustände auszudrücken, liegt
es nahe, den Wechselwirkungsbegriff auf der fundamentalen Ebene überhaupt über den Be-
griff der Verschränkung zwischen quantentheoretischen Zuständen zu definieren. Dies be-
deutet im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen, dass die Beziehung zweier sich
in einer Wechselwirkungsbeziehung befindlicher Objekte durch einen Zustand beschrieben
werden kann, welcher eine Verschränkung der diese beiden Objekte beschreibenden Zustän-
de im Tensorraum der Ur-Alternativen enthält. Wenn die Besetzungszahlen zweier Objekte
1 und 2 mit N
1
ABCD
und N
2
ABCD
bezeichnet seien, so kann ein allgemeiner die Wechselwir-
kungsbeziehung der beiden Objekte enthaltender Gesamtzustand in der folgenden Weise
zum Ausdruck gebracht werden:
|
N
1
N
2
=
N
1
ABCD
,N
2
ABCD
N
1
ABCD
,N
2
ABCD
|N
1
ABCD
|N
2
ABCD
,
(136)
wobei die Koeffizienten der Basiszustände des Tensorproduktes der zu den beiden Objekten
gehörigen Tensorräume vieler Ur-Alternativen, zu denen gemäß der Parabosedarstellung b
r
-
Operatoren mit unterschiedlichem
gehören, nicht einfach ein direktes Produkt von auf die
Einzelräume der beiden Objekte bezogenen Koeffizienten darstellen darf, was bedeutet:
N
1
ABCD
,N
2
ABCD
=
1
N
1
ABCD
2
N
2
ABCD
.
(137)
Wenn man dies auf eine beliebige Zahl M von verschiedenen Objekten überträgt, welcher
gemäß der Parabose-Darstellung die Parabose-Ordnung p
= M entspricht, so besitzt der ent-
sprechende Zustand die folgende Gestalt:
|
N
1
,...,N
M
=
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
|N
1
ABCD
... |N
M
ABCD
,
(138)
wobei natürlich auch hier in entsprechend analoger Weise gilt:
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
=
1
N
1
ABCD
...
M
N
M
ABCD
.
(139)
Genaugenommen hat man es eigentlich gar nicht mehr mit voneinander getrennten Objekten
zu tun, sondern mit einem Gesamtobjekt, dass nur in einer gewissen Näherung als aus un-
terschiedlichen Objekten bestehend angesehen werden darf. Dies ist eine unmittelbare Ma-
nifestation dessen, was unter dem Postulat der Trennbarkeit der Alternativen gesagt wurde,
nämlich dass die Wechselwirkung eine Korrektur der Näherung der Trennbarkeit der Alter-
nativen darstellt, die in Wirklichkeit das Ergebnis einer künstlichen Separierung aus einer
physikalischen oder kosmischen Gesamtrealität darstellen, die allerdings notwendig ist, um
eine Beschreibung der Natur im Rahmen einer Erfahrungswissenschaft wie der theoretischen
Physik überhaupt zu ermöglichen.
Wenn nun
O
m
einen zum Tensorraum des m-ten Quantenobjektes gehörigen Operator be-
zeichnet, so können die entsprechenden auf diesen Tensorraum bezogenen Operatoren der
Energie und der Impulse mit E
m
, P
xm
, P
ym
und P
zm
bezeichnet werden. Da in jedem der M
60
symmetrischen Tensorräume vollkommen unabhängig von der Verschränkung die abstrakte
Gleichung (87) für sich gültig ist, so gilt:
M
m
=1
E
2
m
- P
2
xm
- P
2
ym
- P
2
zm
|
N
1
,...,N
M
= 0.
(140)
Hierin ist natürlich noch nicht die Dynamik der Wechselwirkung zwischen den einzelnen
Objekten enthalten. Hierzu muss ein zusätzlicher Term zum gewöhnlichen Hamilton-Ope-
rator hinzukommen. Wenn man den Hamilton-Operator jedes einzelnen Quantenobjektes
gemäß der Definition des Energieoperators (47) zu Grunde legt, die auch (87) und damit
(140) zu Grunde liegt, so lautet der Gesamt-Hamilton-Operator eines Gesamt-Zustandes M
freier Objekte H
M
F
:
H
M
F
=
1
2
2
M
m
=1
-3
4
r
=1
b
M
r
b
M
r
+ b
M
r
b
M
r
+ 2b
M
1
b
M
2
+ 2b
M
1
b
M
3
+ 2b
M
1
b
M
4
+ 2b
M
2
b
M
3
+2b
M
2
b
M
4
+ 2b
M
3
b
M
4
+ 2b
M
1
b
M
2
+ 2b
M
1
b
M
3
+ 2b
M
1
b
M
4
+ 2b
M
2
b
M
3
+ 2b
M
2
b
M
4
+ 2b
M
3
b
M
4
+2 3b
M
1
b
M
1
+ 3b
M
2
b
M
2
+ 3b
M
3
b
M
3
+ 3b
M
4
b
M
4
- b
M
1
b
M
2
- b
M
1
b
M
3
- b
M
1
b
M
4
- b
M
2
b
M
1
-b
M
2
b
M
3
- b
M
2
b
M
4
- b
M
3
b
M
1
- b
M
3
b
M
2
- b
M
3
b
M
4
- b
M
4
b
M
1
- b
M
4
b
M
2
- b
M
4
b
M
3
+ 3
1
2
.
(141)
Der Term des Hamilton-Operators, der die Wechselwirkung konstituiert und die Verschrän-
kung erzeugt, muss ein Produkt zwischen den in den verschiedenen Teilräumen wirkenden
b
m
r
-Operatoren enthalten. Dies führt auf die folgende allgemeine Bedingung für die Form
eines solchen Wechselwirkungs-Hamilton-Operators von M Objekten H
M
W
:
H
M
W
b
m
r
,b
m
r
= H
1
b
1
r
,b
1
r
+ ... + H
M
b
M
r
,b
M
r
,
(142)
wobei bei den b
m
r
der Index r die Werte 1 bis 4 und der Index m die Werte 1 bis M annehmen
kann. Damit lautet der Gesamt-Hamilton-Operator H
M
G
mehrerer Quantenobjekte in seiner
allgemeinen Gestalt:
H
M
G
= H
M
F
b
m
r
,b
m
r
+ H
M
W
b
m
r
,b
m
r
,
(143)
Die entsprechende dynamische Entwicklung der Zustände ist gegeben durch die entspre-
chende Schrödinger-Gleichung:
i
t
|(t)
N
1
,...,N
M
= H
M
G
|(t)
N
1
,...,N
M
,
(144)
was bedeutet:
|(t)
N
1
,...,N
M
= e
-iH
M
G
t
|(t
0
)
N
1
,...,N
M
.
(145)
Wenn sich der Gesamt-Zustand der Objekte zu einem bestimmten Zeitpunkt t
0
als ein Pro-
dukt der einzelnen Zustände der Objekte ohne Verschränkung darstellen lässt:
|(t
0
)
N
1
,...,N
M
=
N
1
ABCD
1
N
1
ABCD
,t
0
|N
1
ABCD
...
N
M
ABCD
M
N
M
ABCD
,t
0
|N
M
ABCD
, (146)
61
dann ergibt sich für die dynamische Entwicklung:
|(t)
N
1
,...,N
M
= e
-iH
M
G
t
|(t
0
)
N
1
,...,N
M
= e
-i H
M
F
b
m
r
,b
m
r
+H
M
W
b
m
r
,b
m
r
t
N
1
ABCD
1
N
1
ABCD
,t
0
|N
1
ABCD
...
N
M
ABCD
M
N
M
ABCD
,t
0
|N
M
ABCD
= e
-iH
M
W
b
m
r
,b
m
r
t
e
-iE
1
t
N
1
ABCD
1
N
1
ABCD
,t
0
|N
1
ABCD
... e
-iE
M
t
N
M
ABCD
M
N
M
ABCD
,t
0
|N
M
ABCD
=
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
f
M
W
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
,t
×
1
N
1
ABCD
,t
0
e
-iE
1
t
|N
1
ABCD
...
M
N
M
ABCD
,t
0
e
-iE
M
t
|N
M
ABCD
.
(147)
Die zeitabhängige Funktion f
M
W
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
,t beschreibt die durch den Wechselwir-
kungsterm des Hamilton-Operators H
M
W
b
m
r
,b
m
r
induzierte Verschränkung der Zustände
der einzelnen Objekte. Natürlich kann man dies auch auf Zustände mit inneren Freiheitsgra-
den übertragen und die zu (121) analoge entsprechende Dirac-Gleichung für ein System mit
vielen Quantenobjekten lautet dann geschrieben als Schrödinger-Gleichung wie folgt:
i
t
|
(t)
N
1
,...,N
M
= H
M
D
b
m
r
,b
m
r
+ H
M
W
b
m
r
,b
m
r
1
|
(t)
N
1
,...,N
M
,
(148)
wobei
|
(t)
N
1
,...,N
M
ein verschränkter Zustand gemäß (138) ist, der zudem die inneren
Freiheitsgrade gemäß (114) enthält, und H
M
D
die Summe der Hamilton-Operatoren gemäß
(122) in den Hilbert-Räumen der einzelnen Quantenobjekte beschreibt:
H
M
D
= -
0
M
m
=1
1
P
xm
b
m
r
,b
m
r
+
2
P
ym
b
m
r
,b
m
r
+
3
P
zm
b
m
r
,b
m
r
.
(149)
Beim Übergang in die Darstellung im Ortsraum nimmt diese Dirac-Gleichung mit Wechsel-
wirkungsterm in der Gestalt der Schrödinger-Gleichung dann folgende Form an:
i
t
(x
1
,...,x
M
) = i
0
M
m
=1
1
xm
+
2
ym
+
3
zm
+ H
M
W
1
(x
1
,...,x
M
).
(150)
Hierin sind natürlich die inneren Symmetrien überhaupt noch nicht in die Wechselwirkung
miteinbezogen. Wenn man eine Wechselwirkung konstituieren möchte, die beim Übergang
zur raum-zeitlichen Darstellung näherungsweise in ein punktweises Produkt zwischen den
Zuständen übergeht, wie es den gewöhnlichen Wechselwirkungen der Elementarteilchen-
physik entspricht, so muss man einen Wechselwirkungsoperator der folgenden allgemeinen
Form definieren:
H
M
W
= h
M
W
b
m
r
,b
m
r
N
1
,...,N
M
.
(151)
Wenn man diesen Operator auf den Produktzustand
|
N
1
,...,N
M
anwendet, so ergibt sich:
62
H
M
W
|
N
1
,...,N
M
= h
M
W
b
m
r
,b
m
r
N
1
,...,N
M
|
N
1
,...,N
M
=
N
1
,...,N
M
h
M
W
b
m
r
,b
m
r
N
1
ABCD
1
(N
1
ABCD
)|N
1
ABCD
...
N
M
ABCD
M
(N
M
ABCD
)|N
M
ABCD
=
N
1
,...,N
M
N
1
ABCD
...N
M
ABCD
f
h
N
1
ABCD
,...,N
M
ABCD
1
(N
1
ABCD
)|N
1
ABCD
...
M
(N
M
ABCD
)|N
M
ABCD
=
N
ABCD
f
h
(N
ABCD
)[
1
(N
ABCD
)|N
ABCD
...
M
(N
ABCD
)|N
ABCD
].
(152)
Dieser Ausdruck enthält nur Produkte, bei dem die Besetzungszahlen N
ABCD
der verschie-
denen in Wechselwirkung stehenden Objekte übereinstimmen. Hierbei tragen analog zum
punktweisen Produkt der Wellenfunktionen, bei denen nur das Produkt der Komponenten zu
den gleichen Ortseigenzuständen beiträgt, nur die Komponenten zu gleichen Tensorraumba-
siszuständen bei. Dies wird sich beim Übergang in die Raum-Zeit-Darstellung aber auch in
ein Produkt von Wellenfunktionen umwandeln:
N
ABCD
f
h
(N
ABCD
)[
1
(N
ABCD
)|N
ABCD
...
M
(N
ABCD
)|N
ABCD
]
N
xyzn
f
h
(N
xyzn
)[
1
(N
xyzn
)|N
xyzn
...
M
(N
xyzn
)|N
xyzn
]
N
xyzn
f
h
(N
xyzn
)
1
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x) ...
M
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x) .
(153)
Das Entscheidende bei diesem Produkt von Wellenfunktionen ist aber dennoch, dass es in
Wirklichkeit ein Produkt ist, dass die Komponenten bezüglich gleicher Basiszustände im
diskreten Raum der Ur-Alternativen miteinander multipliziert, das sich dann nur indirekt
räumlich darstellt, während gewöhnlich, also bei Feldtheorien, ein kontinuierliches punkt-
weises Produkt zu Grunde gelegt wird. Und eben ein solcher diskreter rein quantentheore-
tischer Wechselwirkungsbegriff könnte die Unendlichkeiten umgehen, die in gewöhnlichen
Quantenfeldtheorien auftreten.
8.3 Konstruktion der realen Wechselwirkungen ¨
uber das
Korrespondenzprinzip
Im letzten Unterabschnitt wurde ein allgemeiner Wechselwirkungsbegriff in der Quanten-
theorie der Ur-Alternativen konstituiert, der das Phänomen der Wechselwirkung in diesem
abstrakten begrifflichen Rahmen allgemein charakterisiert. Aber letztendlich geht es natür-
lich darum, basierend darauf die konkreten wirklichen Wechselwirkungen in der Natur zu
erhalten und zu beschreiben. Diesbezüglich erscheint es wohl als sinnvoll, sich zunächst ein-
mal an die Art und Weise zu erinnern, in der die Wechselwirkungen gewöhnlich in die Physik
eingeführt werden. Dies geschieht durch lokale Eichsymmetrien, was bedeutet, dass die For-
derung der Invarianz unter lokalen Symmetrietransformationen an jedem Raum-Zeit Punkt
zur Einführung der Wechselwirkungsfelder und ihrer Kopplung an die sogenannten Materie-
felder führt. Hierbei ist entscheidend, dass die Wechselwirkungen des Standardmodells der
Elementarteilchenphysik mit den inneren Symmetrien verbunden sind, die starke Wechsel-
wirkung mit der SU
(3)-Gruppe im Farbraum, die schwache Wechselwirkung mit der SU(2)-
63
Gruppe des Isospin und der Elektromagnetismus mit der U
(1)-Gruppe der komplexen Phase
in Bezug auf die elektrische Ladung. Die Gravitation hingegen kann als lokale Eichtheorie
in Bezug auf Raum-Zeit-Translationen beschrieben werden, also in Bezug auf eine auf die
Raum-Zeit bezogene Symmetrie. Natürlich kann eine eichtheoretische Beschreibungsweise
in der Quantentheorie der Ur-Alternativen nicht verwendet werden, da hier die Raum-Zeit
nur ein Darstellungsmedium ist, und die Wechselwirkung ganz gemäß dem letzten Abschnitt
begrifflich auf Verschränkungen zwischen den Zuständen der diskreten Ur-Alternativen ge-
gründet ist. Aber vielleicht können hier die Eichtheorien als klassische Näherung einen Hin-
weis in Bezug auf die rein quantentheoretische Formulierung im begrifflichen Rahmen der
Ur-Alternativen geben.
Der eigentliche Anspruch der von Weizsäckerschen Rekonstruktion der Physik besteht
eigentlich darin, die Gestalt der Naturgesetze bis in alle Einzelheiten zu begründen, also
wirklich die Existenz jedes Objektes, jeder Wechselwirkung und jedes darauf basierenden
Phänomens exakt zu begründen. Dieser unglaubliche Anspruch kann im Rahmen dieser Ar-
beit in Bezug auf die real existierenden Wechselwirkungen einstweilen noch nicht eingelöst
werden. Es muss eigentlich nicht erwähnt werden, dass auch keine andere Theorie in der
Geschichte der theoretischen Physik bis auf den heutigen Tage auch nur in die Nähe des-
sen gekommen wäre. Im Gegenteil, die Idee, dass dies basierend auf den Bedingungen der
Möglichkeit von Erfahrung möglich sein könnte, ist seitens von Weizsäcker in dieser Weise
überhaupt erst entwickelt worden, wenngleich Kant hier die gedankliche Vorarbeit geleis-
tet hatte, indem er doch immerhin die gundlegenden Strukturen der Natur, nicht hingegen
die genauen Naturgesetze, als Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung überhaupt pos-
tulierte. Was aber immerhin in dieser Arbeit erreicht werden kann, das ist die empirisch
gefundenen Wechselwirkungen in einen durch Ur-Alternativen ausgedrückten Rahmen zu
überführen. Diese Art der Überführung oder Quantisierung in einem radikalen Sinne geht
zunächst von den Feldgleichungen aus, interpretiert sie als quantentheoretische Wellenfunk-
tionen und überführt die Wellenfunktionen in Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen
und die punktweisen Produkte zwischen ihnen in Beziehungen im Tensorraum der Ur-Al-
ternativen. Dies bedeutet, dass man von der klassischen Theorie in die entsprechende rei-
ne Quantentheorie der Ur-Alternativen gelangt, indem man den zur bisherigen Betrachtung
umgekehrten Prozess durchläuft, also die Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen nicht
auf eine raum-zeitliche Darstellung abbildet, sondern den bereits bekannten raum-zeitlichen
Ausdruck der Feldgleichungen als klassischen Grenzfall einer Darstellung von Zuständen
im Tensorraum der Ur-Alternativen interpretiert und ihn entsprechend ersetzt. Diese Art der
Überführung kann man durchaus als eine Art der Quantisierung bezeichnen, nur als eine
radikalere Quantisierung, die keine Feldquantisierung mehr ist, sondern alles in eine reine
quantentheoretische Beziehungsstruktur umwandelt und nicht mehr auf Feldgrößen bezogen
ist, da die raum-zeitlichen Felder beziehungsweise Wellenfunktionen eben wirklich nur noch
als Darstellungen zu interpretieren sind. Die Überführung müsste in diesem Ansatz mit den
folgenden Quantisierungsregeln geschehen:
(x)
-
| =
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
,
-
iP
ABCD
,
(x)
-
iP
ABCD
| = i
N
ABCD
P
(N
ABCD
)|N
ABCD
= i|P
, (154)
wobei hier natürlich die Komponenten P
ABCD
gemäß (48), (53) und (54) definiert sind und
64
(91) verwendet wurde. Die punktweisen Produkte, welche in einer gewöhnlichen feldtheore-
tischen Beschreibungsweise die Wechselwirkung der Felder definieren, müssen bei diesem
über das Korrespondenzprinzip vollzogenen Übergang zu einer rein quantentheoretischen
Beschreibungsweise im Tensorraum der Ur-Alternativen in folgender Weise unter Verwen-
dung von (153) überführt werden:
(x) ... (x)
Mmal
-
N
ABCD
[
1
(N
ABCD
)|N
ABCD
...
M
(N
ABCD
)|N
ABCD
], (155)
was einem Wechselwirkungs-Hamilton-Operator der Form (151) mit h b
m
r
,b
m
r
= c ent-
spricht, wobei c eine Konstante ist. Wenn man nun (154) und (155) zu Grunde legt, so kann
man desweiteren folgenden Übergang bestimmen:
(x) ...
(x)
Mmal
-
N
ABCD
iP
ABCD
1
(N
ABCD
)|N
ABCD
... iP
ABCD
N
(N
ABCD
)|N
ABCD
=
N
ABCD
i
P
1
(N
ABCD
)|N
ABCD
... iP
N
(N
ABCD
)|N
ABCD
,
(156)
wobei hier erneut (91) verwendet wurde. Mit diesen Regeln, die man als in einem prinzipiel-
leren Sinne verstandene Quantisierungsregeln bezeichnen könnte, kann man jede Feldtheorie
einschließlich aller ihrer Wechselwirkungen in eine rein quantentheoretische Beschreibungs-
weise im Tensorraum der Ur-Alternativen überführen. Natürlich muss man an das entspre-
chende Feld im jeweiligen Fall noch die entsprechenden inneren Freiheitsgrade tensorieren.
8.4 Elektromagnetismus
Wenn nun die Methoden der Überführung einer feldtheoretischen Beschreibungsweise in
eine reine Beziehungsstruktur abstrakter Quanteninformation, die man auch als eine prinzi-
piellere Art der Quantisierung ansehen könnte, die im letzten Unterabschnitt vorgeschlagen
wurde, in Bezug auf den Elektromagnetismus ganz konkret anwenden will, so muss man zu-
nächst einmal ein freies elektromagnetisches Feld beziehungsweise den Zustand eines freien
Photons konstruieren. Einen solchen Zustand erhält man, indem man an einen allgemei-
nen Zustand im Tensorraum, der ein einzelnes freies Teilchen oder allgemeiner gesprochen
Quantenobjekt beschreibt, einen vektoriellen Freiheitsgrad tensoriert. Dieser muss natürlich
wie im Falle eines Fermions mit den zusätzlichen Quantenzahlen aus einzelnen Ur-Alterna-
tiven konstruiert werden. Wenn man also zwei Ur-Alternativen u und v zu Grunde legt, so
kann man zunächst einen Dirac-Spinor konstruieren:
=
u
i
2
v
,
(157)
und diesen kann man auf einen Vektor abbilden:
A
= ¯
,
(158)
wobei bezüglich eines beliebigen Dirac-Spinors
D
wie gewöhnlich die folgende Definition
der Adjungierung gilt:
65
¯
D
=
D
0
.
(159)
Den Vektor (158) kann man als den Spin-Freiheitsgrad eines Photons mit einem Zustand
im Tensorraum über ein weiteres Tensorprodukt verbinden, wodurch man dann den Zustand
eines vektoriellen Teilchens erhält, welcher die folgende Gestalt aufweist:
|
A
= A
N
=
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
A
.
(160)
Dieser Zustand soll also ein Photon beschreiben. Wenn man die Energie-Impuls-Relation,
die gegeben ist in (47) und die man auch gemäß (107) darstellen kann, auf den Zustand
eines Photons anwendet, so ergibt sich die folgende Gleichung:
(P
ABCD
)
(P
ABCD
)
|
A
= 0.
(161)
Diese Gleichung wird natürlich in der Ortsdarstellung gemäß (87) zur einer gewöhnlichen
Wellengleichung:
2
t
-
2
x
-
2
y
-
2
z
A
N
(x,t) = 0.
(162)
Bezüglich der Wechselwirkung muss man sich nun der Lagrangedichte als klassischem
Grenzfall der Quantenelektrodynamik zuwenden:
L
QED
= ¯
D
(x,t) i
+ iA
(x,t)
D
(x,t) -
1
4
F
(x,t)F
(x,t),
(163)
wobei F
(x,t) =
A
(x,t) -
A
(x,t). Das Dirac-Spinorfeld
D
(x,t), welches nach
der Quantisierung Elektronen beziehungsweise generell elektrisch geladene Fermionen be-
schreibt, und das elektromagnetische Feld beschrieben durch das Potential A
(x,t), welches
nach der Quantisierung Photonen beschreibt, weisen keine Selbstwechselwirkung auf. Die
Dynamik eines fermionischen Teilchens, das mit einem Photon wechselwirkt, kann dann,
wenn man einmal davon ausgeht, dass die internen Freiheitsgrade des fermionischen Teil-
chens durch
beschrieben werden wie es in (113) definiert wurde, durch jene Gleichung
beschrieben werden, die sich aus dem Übergang der zum Lagrangian der Quantenelektro-
dynamik gehörigen Wellengleichung in eine reine auf Ur-Alternativen basierende Beschrei-
bung im Sinne der Regeln aus dem letzten Unterabschnitt (154), (155) und (156) ergibt:
i
+ iA
(x,t)
D
(x,t) = 0
(164)
- i
i
(P
ABCD
)
D
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
+i
N
ABCD
A
N
A
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
D
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
= 0
= -
P
D
(N
ABCD
,t)
|N
ABCD
+
N
ABCD
A
N
A
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
D
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
= 0,
wobei (91) verwendet wurde. Die Entstehung von Massen durch Wechselwirkung wird in
dieser Arbeit nicht thematisiert.
66
9 Die Gravitation in der Quantentheorie der
Ur-Alternativen
9.1 Konstruktion des freien Gravitationsfeldes und metrische Struktur
Grundsätzlich wird in dieser Arbeit davon ausgegangen, dass die gewöhnliche Beschrei-
bung der Gravitation im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie in klassischer Nähe-
rung vollkommen korrekt ist, also auf der klassischen Ebene vor der Quantisierung keine
Verallgemeinerung notwendig ist. Die Tatsache, dass die Gravitation klassisch am sinnvolls-
ten als lokale Eichtheorie der Translationen aufgefasst werden kann [26], was zur Torsion
als Feldgröße führt, kann hier außer acht gelassen werden, da diese Formulierung mit der ge-
wöhnlichen Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie äquivalent ist. In [50] wird die
Konstruktion von Gravitonen im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen in anderer
Weise bereits thematisiert, aber die Frage ihrer Wechselwirkung in keiner Weise behandelt.
Natürlich müssen in der Quantentheorie der Ur-Alternativen konsequent alle existierenden
Realitäten und Objekte aus Ur-Alternativen konstruiert werden. Demnach müssen auch die
gravitative Wechselwirkung und die metrische Struktur der Raum-Zeit aus Ur-Alternativen
begründet werden. Dazu ist es zunächst einmal wichtig, ein freies Gravitationsfeld zu kon-
struieren. Dieses kann natürlich wie alle anderen Objekte auch nicht als ein gewöhnliches
Feld angesehen werden, das dann anschließend einer Quantisierung unterworfen wird. Viel-
mehr muss es sich auch aus abstrakten Quantenobjekten konstituieren, die dann anschließend
in die Raum-Zeit abgebildet werden. Diese Objekte müssen in der Quantentheorie der Ur-
Alternativen als Gravitonen auf Zuständen vieler Ur-Alternativen im Tensorraum basieren,
nur dass sie anstatt der gewöhnlichen Quantenzahlen, also dem Spin, dem Isospin und dem
Farbfreiheitsgrad, die zusätzliche Struktur eines metrischen Tensors aufweisen.
Man könnte, wenn der Terminus des Gravitons in die Beschreibung hineingebracht wird,
zunächst einwenden, dass bei einer Beschreibung der Gravitation im Rahmen relativisti-
scher Quantenfeldtheorien, in deren Zusammenhang der Begriff des Gravitons in der Regel
gebraucht wird, die Hintergrundunabhängigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie nicht ge-
wahrt bleibt. Aber natürlich kann dieser Einwand im Rahmen der Quantentheorie der Ur-
Alternativen in Wirklichkeit in keiner Weise sinnvoll erhoben werden, denn hier herrscht
prinzipiell eine viel radikalere Realisierung der Hintergrundunabhängigkeit als in der all-
gemeinen Relativitätstheorie, da hier nicht nur eine relationalistische Raumauffassung zu
Grunde liegt, sondern Räumlichkeit und feldtheoretische Bezüge in keiner Weise mehr vor-
ausgesetzt werden. Dies wurde ja weiter oben bereits in aller Ausführlichkeit diskutiert und
verleiht dem ganzen Ansatz der Quantentheorie der Ur-Alternativen gerade seine besondere
Überzeugungskraft. Die hier konstruierten Gravitonen sind also wie alle anderen Objekte
auch keine Objekte im Raum, sondern stellen abstrakte Zustände im Tensorraum der Ur-
Alternativen dar, die erst auf indirektem Wege eine raum-zeitliche Darstellung erhalten. Zu-
nächst muss der metrische Tensor aus Ur-Alternativen konstruiert werden, um dann in Ana-
logie zu den Quantenzahlen der Objekte, welche Elementarteilchen repräsentieren sollen,
das Tensorprodukt mit einem symmetrischen Zustand im Tensorraum zu bilden, welches
dann den Gesamtzustand des Gravitons darstellt. Zur Konstruktion des metrischen Tensors
werden vier Ur-Alternativen gebraucht, die als u
g1
, u
g2
, v
g1
und v
g2
bezeichnet seien:
u
g1
=
a
ug1
+ ib
ug1
c
ug1
+ id
ug1
, u
g2
=
a
ug2
+ ib
ug2
c
ug2
+ id
ug2
, v
g1
=
a
vg1
+ ib
vg1
c
vg1
+ id
vg1
, v
g2
=
a
vg2
+ ib
vg2
c
vg2
+ id
vg2
.
(165)
67
Zunächst wird aus den beiden Ur-Alternativen u
g1
und u
g2
ein Dirac-Spinor konstruiert und
aus den Ur-Alternativen v
g1
und v
g2
ein weiterer Dirac-Spinor:
u
=
u
g1
i
2
u
g2
,
v
=
v
g1
i
2
v
g2
.
(166)
Mit Hilfe der Relation, welche die Dirac-Matrizen in eine Beziehung zur Minkowski-Me-
trik stellt (109), kann nun aus den beiden Dirac-Spinoren
u
und
v
ein metrischer Tensor
konstruiert werden, wobei die Definiton (159) zu Grunde gelegt wird:
g
=
1
2
( ¯
u
u
¯
v
v
+ ¯
u
u
¯
v
v
).
(167)
Wenn man nun diesen Ausdruck für den metrischen Tensor konkret durch die Komponen-
ten der vier Ur-Alternativen ausdrücken will, so muss man zunächst die Komponenten der
Vektoren bestimmen, aus denen er gebildet ist und die folgende Gestalt haben:
¯
u
0
u
= a
2
ug1
+ b
2
ug1
+ c
2
ug1
+ d
2
ug1
+ a
2
ug2
+ b
2
ug2
+ c
2
ug2
+ d
2
ug2
,
¯
u
1
u
= 2a
ug1
c
ug1
+ 2b
ug1
d
ug1
+ 2a
ug2
c
ug2
+ 2b
ug2
d
ug2
,
¯
u
2
u
= 2a
ug1
d
ug1
- 2b
ug1
c
ug1
+ 2a
ug2
d
ug2
- 2b
ug2
c
ug2
,
¯
u
3
u
= a
2
ug1
+ b
2
ug1
- c
2
ug1
- d
2
ug1
+ a
2
ug2
+ b
2
ug2
- c
2
ug2
- d
2
ug2
,
¯
v
0
v
= a
2
vg1
+ b
2
vg1
+ c
2
vg1
+ d
2
vg1
+ a
2
vg2
+ b
2
vg2
+ c
2
vg2
+ d
2
vg2
,
¯
v
1
v
= 2a
vg1
c
vg1
+ 2b
vg1
d
vg1
+ 2a
vg2
c
vg2
+ 2b
vg2
d
vg2
,
¯
v
2
v
= 2a
vg1
d
vg1
- 2b
vg1
c
vg1
+ 2a
vg2
d
vg2
- 2b
vg2
c
vg2
,
¯
v
3
v
= a
2
vg1
+ b
2
vg1
- c
2
vg1
- d
2
vg1
+ a
2
vg2
+ b
2
vg2
- c
2
vg2
- d
2
vg2
.
(168)
Damit ergibt sich für die Komponenten des metrischen Tensors:
g
00
= a
2
ug1
a
2
vg1
+ a
2
ug1
b
2
vg1
+ a
2
ug1
c
2
vg1
+ a
2
ug1
d
2
vg1
+ a
2
ug1
a
2
vg2
+ a
2
ug1
b
2
vg2
+ a
2
ug1
c
2
vg2
+ a
2
ug1
d
2
vg2
+b
2
ug1
a
2
vg1
+ b
2
ug1
b
2
vg1
+ b
2
ug1
c
2
vg1
+ b
2
ug1
d
2
vg1
+ b
2
ug1
a
2
vg2
+ b
2
ug1
b
2
vg2
+ b
2
ug1
c
2
vg2
+ b
2
ug1
d
2
vg2
+c
2
ug1
a
2
vg1
+ c
2
ug1
b
2
vg1
+ c
2
ug1
c
2
vg1
+ c
2
ug1
d
2
vg1
+ c
2
ug1
a
2
vg2
+ c
2
ug1
b
2
vg2
+ c
2
ug1
c
2
vg2
+ c
2
ug1
d
2
vg2
+d
2
ug1
a
2
vg1
+ d
2
ug1
b
2
vg1
+ d
2
ug1
c
2
vg1
+ d
2
ug1
d
2
vg1
+ d
2
ug1
a
2
vg2
+ d
2
ug1
b
2
vg2
+ d
2
ug1
c
2
vg2
+ d
2
ug1
d
2
vg2
+a
2
ug2
a
2
vg1
+ a
2
ug2
b
2
vg1
+ a
2
ug2
c
2
vg1
+ a
2
ug2
d
2
vg1
+ a
2
ug2
a
2
vg2
+ a
2
ug2
b
2
vg2
+ a
2
ug2
c
2
vg2
+ a
2
ug2
d
2
vg2
+b
2
ug2
a
2
vg1
+ b
2
ug2
b
2
vg1
+ b
2
ug2
c
2
vg1
+ b
2
ug2
d
2
vg1
+ b
2
ug2
a
2
vg2
+ b
2
ug2
b
2
vg2
+ b
2
ug2
c
2
vg2
+ b
2
ug2
d
2
vg2
+c
2
ug2
a
2
vg1
+ c
2
ug2
b
2
vg1
+ c
2
ug2
c
2
vg1
+ c
2
ug2
d
2
vg1
+ c
2
ug2
a
2
vg2
+ c
2
ug2
b
2
vg2
+ c
2
ug2
c
2
vg2
+ c
2
ug2
d
2
vg2
+d
2
ug2
a
2
vg1
+ d
2
ug2
b
2
vg1
+ d
2
ug2
c
2
vg1
+ d
2
ug2
d
2
vg1
+ d
2
ug2
a
2
vg2
+ d
2
ug2
b
2
vg2
+ d
2
ug2
c
2
vg2
+ d
2
ug2
d
2
vg2
,
(169)
g
11
= 2a
ug1
c
ug1
a
vg1
c
vg1
+ 2a
ug1
c
ug1
b
vg1
d
vg1
+ 2a
ug1
c
ug1
a
vg2
c
vg2
+ 2a
ug1
c
ug1
b
vg2
d
vg2
+2b
ug1
d
ug1
a
vg1
c
vg1
+ 2b
ug1
d
ug1
b
vg1
d
vg1
+ 2b
ug1
d
ug1
a
vg2
c
vg2
+ 2b
ug1
d
ug1
b
vg2
d
vg2
+2a
ug2
c
ug2
a
vg1
c
vg1
+ 2a
ug2
c
ug2
b
vg1
d
vg1
+ 2a
ug2
c
ug2
a
vg2
c
vg2
+ 2a
ug2
c
ug2
b
vg2
d
vg2
+2b
ug2
d
ug2
a
vg1
c
vg1
+ 2b
ug2
d
ug2
b
vg1
d
vg1
+ 2b
ug2
d
ug2
a
vg2
c
vg2
+ 2b
ug2
d
ug2
b
vg2
d
vg2
,
(170)
68
g
22
= 2a
ug1
d
ug1
a
vg1
d
vg1
- 2a
ug1
d
ug1
b
vg1
c
vg1
+ 2a
ug1
d
ug1
a
vg2
d
vg2
- 2a
ug1
d
ug1
b
vg2
c
vg2
-2b
ug1
c
ug1
a
vg1
d
vg1
+ 2b
ug1
c
ug1
b
vg1
c
vg1
- 2b
ug1
c
ug1
a
vg2
d
vg2
+ 2b
ug1
c
ug1
b
vg2
c
vg2
+2a
ug2
d
ug2
a
vg1
d
vg1
- 2a
ug2
d
ug2
b
vg1
c
vg1
+ 2a
ug2
d
ug2
a
vg2
d
vg2
- 2a
ug2
d
ug2
b
vg2
c
vg2
-2b
ug2
c
ug2
a
vg1
d
vg1
+ 2b
ug2
c
ug2
b
vg1
c
vg1
- 2b
ug2
c
ug2
a
vg2
d
vg2
+ 2b
ug2
c
ug2
b
vg2
c
vg2
,
(171)
g
33
= a
2
ug1
a
2
vg1
+ a
2
ug1
b
2
vg1
- a
2
ug1
c
2
vg1
- a
2
ug1
d
2
vg1
+ a
2
ug1
a
2
vg2
+ a
2
ug1
b
2
vg2
- a
2
ug1
c
2
vg2
- a
2
ug1
d
2
vg2
+b
2
ug1
a
2
vg1
+ b
2
ug1
b
2
vg1
- b
2
ug1
c
2
vg1
- b
2
ug1
d
2
vg1
+ b
2
ug1
a
2
vg2
+ b
2
ug1
b
2
vg2
- b
2
ug1
c
2
vg2
- b
2
ug1
d
2
vg2
-c
2
ug1
a
2
vg1
- c
2
ug1
b
2
vg1
+ c
2
ug1
c
2
vg1
+ c
2
ug1
d
2
vg1
- c
2
ug1
a
2
vg2
- c
2
ug1
b
2
vg2
+ c
2
ug1
c
2
vg2
+ c
2
ug1
d
2
vg2
-d
2
ug1
a
2
vg1
- d
2
ug1
b
2
vg1
+ d
2
ug1
c
2
vg1
+ d
2
ug1
d
2
vg1
- d
2
ug1
a
2
vg2
- d
2
ug1
b
2
vg2
+ d
2
ug1
c
2
vg2
+ d
2
ug1
d
2
vg2
+a
2
ug2
a
2
vg1
+ a
2
ug2
b
2
vg1
- a
2
ug2
c
2
vg1
- a
2
ug2
d
2
vg1
+ a
2
ug2
a
2
vg2
+ a
2
ug2
b
2
vg2
- a
2
ug2
c
2
vg2
- a
2
ug2
d
2
vg2
+b
2
ug2
a
2
vg1
+ b
2
ug2
b
2
vg1
- b
2
ug2
c
2
vg1
- b
2
ug2
d
2
vg1
+ b
2
ug2
a
2
vg2
+ b
2
ug2
b
2
vg2
- b
2
ug2
c
2
vg2
- b
2
ug2
d
2
vg2
-c
2
ug2
a
2
vg1
- c
2
ug2
b
2
vg1
+ c
2
ug2
c
2
vg1
+ c
2
ug2
d
2
vg1
- c
2
ug2
a
2
vg2
- c
2
ug2
b
2
vg2
+ c
2
ug2
c
2
vg2
+ c
2
ug2
d
2
vg2
-d
2
ug2
a
2
vg1
- d
2
ug2
b
2
vg1
+ d
2
ug2
c
2
vg1
+ d
2
ug2
d
2
vg1
- d
2
ug2
a
2
vg2
- d
2
ug2
b
2
vg2
+ d
2
ug2
c
2
vg2
+ d
2
ug2
d
2
vg2
,
(172)
g
01
= g
10
= a
2
ug1
a
vg1
c
vg1
+ a
2
ug1
b
vg1
d
vg1
+ a
2
ug1
a
vg2
c
vg2
+ a
2
ug1
b
vg2
d
vg2
+b
2
ug1
a
vg1
c
vg1
+ b
2
ug1
b
vg1
d
vg1
+ b
2
ug1
a
vg2
c
vg2
+ b
2
ug1
b
vg2
d
vg2
+c
2
ug1
a
vg1
c
vg1
+ c
2
ug1
b
vg1
d
vg1
+ c
2
ug1
a
vg2
c
vg2
+ c
2
ug1
b
vg2
d
vg2
+d
2
ug1
a
vg1
c
vg1
+ d
2
ug1
b
vg1
d
vg1
+ d
2
ug1
a
vg2
c
vg2
+ d
2
ug1
b
vg2
d
vg2
+a
2
ug2
a
vg1
c
vg1
+ a
2
ug2
b
vg1
d
vg1
+ a
2
ug2
a
vg2
c
vg2
+ a
2
ug2
b
vg2
d
vg2
+b
2
ug2
a
vg1
c
vg1
+ b
2
ug2
b
vg1
d
vg1
+ b
2
ug2
a
vg2
c
vg2
+ b
2
ug2
b
vg2
d
vg2
+c
2
ug2
a
vg1
c
vg1
+ c
2
ug2
b
vg1
d
vg1
+ c
2
ug2
a
vg2
c
vg2
+ c
2
ug2
b
vg2
d
vg2
+d
2
ug2
a
vg1
c
vg1
+ d
2
ug2
b
vg1
d
vg1
+ d
2
ug2
a
vg2
c
vg2
+ d
2
ug2
b
vg2
d
vg2
+a
2
vg1
a
ug1
c
ug1
+ a
2
vg1
b
ug1
d
ug1
+ a
2
vg1
a
ug2
c
ug2
+ a
2
vg1
b
ug2
d
ug2
+b
2
vg1
a
ug1
c
ug1
+ b
2
vg1
b
ug1
d
ug1
+ b
2
vg1
a
ug2
c
ug2
+ b
2
vg1
b
ug2
d
ug2
+c
2
vg1
a
ug1
c
ug1
+ c
2
vg1
b
ug1
d
ug1
+ c
2
vg1
a
ug2
c
ug2
+ c
2
vg1
b
ug2
d
ug2
+d
2
vg1
a
ug1
c
ug1
+ d
2
vg1
b
ug1
d
ug1
+ d
2
vg1
a
ug2
c
ug2
+ d
2
vg1
b
ug2
d
ug2
+a
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ a
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ a
2
vg2
a
ug2
c
ug2
+ a
2
vg2
b
ug2
d
ug2
+b
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ b
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ b
2
vg2
a
ug2
c
ug2
+ b
2
vg2
b
ug2
d
ug2
+c
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ c
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ c
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vg2
a
ug2
c
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+ c
2
vg2
b
ug2
d
ug2
+d
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ d
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ d
2
vg2
a
ug2
c
ug2
+ d
2
vg2
b
ug2
d
ug2
, (173)
69
g
02
= g
20
= a
2
ug1
a
vg1
d
vg1
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2
ug1
b
vg1
c
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+ a
2
ug1
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vg2
d
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- a
2
ug1
b
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c
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+b
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ug1
a
vg1
d
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ug1
b
vg1
c
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+ b
2
ug1
a
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d
vg2
- b
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ug1
b
vg2
c
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+c
2
ug1
a
vg1
d
vg1
- c
2
ug1
b
vg1
c
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+ c
2
ug1
a
vg2
d
vg2
- c
2
ug1
b
vg2
c
vg2
+d
2
ug1
a
vg1
d
vg1
- d
2
ug1
b
vg1
c
vg1
+ d
2
ug1
a
vg2
d
vg2
- d
2
ug1
b
vg2
c
vg2
+a
2
ug2
a
vg1
d
vg1
- a
2
ug2
b
vg1
c
vg1
+ a
2
ug2
a
vg2
d
vg2
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2
ug2
b
vg2
c
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+b
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d
vg1
- b
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b
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c
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+ b
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ug2
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d
vg2
- b
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ug2
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c
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+c
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vg1
d
vg1
- c
2
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b
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c
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+ c
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vg2
d
vg2
- c
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b
vg2
c
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+d
2
ug2
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vg1
d
vg1
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+ d
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d
vg2
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b
vg2
c
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+a
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d
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- a
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c
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+ a
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b
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+a
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2
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+ a
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ug2
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2
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b
ug2
c
ug2
+b
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vg2
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ug1
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c
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vg2
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ug2
c
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+c
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ug1
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c
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+ c
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- c
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vg2
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c
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vg2
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c
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ug2
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b
ug2
c
ug2
,
(174)
g
03
= g
30
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2
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2
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c
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- c
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c
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- c
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- d
2
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c
2
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- d
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ug1
d
2
vg2
+a
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ug2
a
2
vg2
+ a
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+ b
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+ b
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ug2
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- c
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c
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d
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ug2
c
2
vg2
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2
ug2
d
2
vg2
,
(175)
g
12
= g
21
= 2a
ug1
c
ug1
a
vg1
d
vg1
- 2a
ug1
c
ug1
b
vg1
c
vg1
+ 2a
ug1
c
ug1
a
vg2
d
vg2
- 2a
ug1
c
ug1
b
vg2
c
vg2
+2b
ug1
d
ug1
a
vg1
d
vg1
- 2b
ug1
d
ug1
b
vg1
c
vg1
+ 2b
ug1
d
ug1
a
vg2
d
vg2
- 2b
ug1
d
ug1
b
vg2
c
vg2
+2a
ug2
c
ug2
a
vg1
d
vg1
- 2a
ug2
c
ug2
b
vg1
c
vg1
+ 2a
ug2
c
ug2
a
vg2
d
vg2
- 2a
ug2
c
ug2
b
vg2
c
vg2
+2b
ug2
d
ug2
a
vg1
d
vg1
- 2b
ug2
d
ug2
b
vg1
c
vg1
+ 2b
ug2
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ug2
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d
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- 2b
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d
ug2
b
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c
vg2
+2a
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c
vg1
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ug1
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ug1
- 2a
vg1
c
vg1
b
ug1
c
ug1
+ 2a
vg1
c
vg1
a
ug2
d
ug2
- 2a
vg1
c
vg1
b
ug2
c
ug2
+2b
vg1
d
vg1
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ug1
d
ug1
- 2b
vg1
d
vg1
b
ug1
c
ug1
+ 2b
vg1
d
vg1
a
ug2
d
ug2
- 2b
vg1
d
vg1
b
ug2
c
ug2
+2a
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c
vg2
a
ug1
d
ug1
- 2a
vg2
c
vg2
b
ug1
c
ug1
+ 2a
vg2
c
vg2
a
ug2
d
ug2
- 2a
vg2
c
vg2
b
ug2
c
ug2
+2b
vg2
d
vg2
a
ug1
d
ug1
- 2b
vg2
d
vg2
b
ug1
c
ug1
+ 2b
vg2
d
vg2
a
ug2
d
ug2
- 2b
vg2
d
vg2
b
ug2
c
ug2
,
(176)
70
g
13
= g
31
= a
2
ug1
a
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c
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+ a
2
ug1
b
vg1
d
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+ a
2
ug1
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c
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ug1
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2
ug1
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ug1
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d
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ug1
a
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c
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+ b
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ug1
b
vg2
d
vg2
-c
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ug1
a
vg1
c
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- c
2
ug1
b
vg1
d
vg1
- c
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ug1
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vg2
c
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- c
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ug1
b
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d
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-d
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ug1
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c
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- d
2
ug1
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vg1
d
vg1
- d
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ug1
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c
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- d
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ug1
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vg2
d
vg2
+a
2
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+ a
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ug2
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vg1
d
vg1
+ a
2
ug2
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+ a
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ug2
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+ b
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vg1
+ b
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ug2
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c
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+ b
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ug2
b
vg2
d
vg2
-c
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ug2
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vg1
c
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- c
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ug2
b
vg1
d
vg1
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c
vg2
- c
2
ug2
b
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d
vg2
-d
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ug2
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vg1
c
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- d
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ug2
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d
vg1
- d
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d
vg2
+a
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c
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+ a
2
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d
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+ a
2
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c
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+ a
2
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b
ug2
d
ug2
+b
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c
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+ b
2
vg1
b
ug1
d
ug1
+ b
2
vg1
a
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c
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+ b
2
vg1
b
ug2
d
ug2
-c
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- c
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vg1
b
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d
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- c
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c
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- c
2
vg1
b
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d
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-d
2
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a
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c
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- d
2
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b
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d
ug1
- d
2
vg1
a
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c
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- d
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vg1
b
ug2
d
ug2
+a
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ a
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ a
2
vg2
a
ug2
c
ug2
+ a
2
vg2
b
ug2
d
ug2
+b
2
vg2
a
ug1
c
ug1
+ b
2
vg2
b
ug1
d
ug1
+ b
2
vg2
a
ug2
c
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+ b
2
vg2
b
ug2
d
ug2
-c
2
vg2
a
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c
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- c
2
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b
ug1
d
ug1
- c
2
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a
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c
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- c
2
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b
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d
ug2
-d
2
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- d
2
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ug1
d
ug1
- d
2
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a
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c
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- d
2
vg2
b
ug2
d
ug2
, (177)
g
23
= g
32
= a
2
ug1
a
vg1
d
vg1
- a
2
ug1
b
vg1
c
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+ a
2
ug1
a
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d
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- a
2
ug1
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c
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+b
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ug1
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d
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ug1
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c
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+ b
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ug1
a
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d
vg2
- b
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ug1
b
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c
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-c
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ug1
a
vg1
d
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+ c
2
ug1
b
vg1
c
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- c
2
ug1
a
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d
vg2
+ c
2
ug1
b
vg2
c
vg2
-d
2
ug1
a
vg1
d
vg1
+ d
2
ug1
b
vg1
c
vg1
- d
2
ug1
a
vg2
d
vg2
+ d
2
ug1
b
vg2
c
vg2
+a
2
ug2
a
vg1
d
vg1
- a
2
ug2
b
vg1
c
vg1
+ a
2
ug2
a
vg2
d
vg2
- a
2
ug2
b
vg2
c
vg2
+b
2
ug2
a
vg1
d
vg1
- b
2
ug2
b
vg1
c
vg1
+ b
2
ug2
a
vg2
d
vg2
- b
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ug2
b
vg2
c
vg2
-c
2
ug2
a
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d
vg1
+ c
2
ug2
b
vg1
c
vg1
- c
2
ug2
a
vg2
d
vg2
+ c
2
ug2
b
vg2
c
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-d
2
ug2
a
vg1
d
vg1
+ d
2
ug2
b
vg1
c
vg1
- d
2
ug2
a
vg2
d
vg2
+ d
2
ug2
b
vg2
c
vg2
+a
2
vg1
a
ug1
d
ug1
- a
2
vg1
b
ug1
c
ug1
+ a
2
vg1
a
ug2
d
ug2
- a
2
vg1
b
ug2
c
ug2
+b
2
vg1
a
ug1
d
ug1
- b
2
vg1
b
ug1
c
ug1
+ b
2
vg1
a
ug2
d
ug2
- b
2
vg1
b
ug2
c
ug2
-c
2
vg1
a
ug1
d
ug1
+ c
2
vg1
b
ug1
c
ug1
- c
2
vg1
a
ug2
d
ug2
+ c
2
vg1
b
ug2
c
ug2
-d
2
vg1
a
ug1
d
ug1
+ d
2
vg1
b
ug1
c
ug1
- d
2
vg1
a
ug2
d
ug2
+ d
2
vg1
b
ug2
c
ug2
+a
2
vg2
a
ug1
d
ug1
- a
2
vg2
b
ug1
c
ug1
+ a
2
vg2
a
ug2
d
ug2
- a
2
vg2
b
ug2
c
ug2
+b
2
vg2
a
ug1
d
ug1
- b
2
vg2
b
ug1
c
ug1
+ b
2
vg2
a
ug2
d
ug2
- b
2
vg2
b
ug2
c
ug2
-c
2
vg2
a
ug1
d
ug1
+ c
2
vg2
b
ug1
c
ug1
- c
2
vg2
a
ug2
d
ug2
+ c
2
vg2
b
ug2
c
ug2
-d
2
vg2
a
ug1
d
ug1
+ d
2
vg2
b
ug1
c
ug1
- d
2
vg2
a
ug2
d
ug2
+ d
2
vg2
b
ug2
c
ug2
. (178)
71
Wenn man nun das Tensorprodukt mit einem allgemeinen Zustand vieler Ur-Alternativen
(41) bildet, so ergibt sich der Zustand für ein aus Ur-Alternativen konstruiertes Graviton:
|
g
= g
N
=
N
ABCD
(N
ABCD
)|N
ABCD
g
.
(179)
Unter Verwendung von (69) kann dieser Zustand in der Raum-Zeit dargestellt werden als:
|
g
= g
N
- g
N
(x) =
N
xyzn
(N
xyzn
) f
N
xyzn
(x)g
.
(180)
Ein Zustand, welcher viele Gravitonen enthält, entspricht dann der Konstruktion des rein
quantentheoretischen Analogons zum quantisierten Gravitationsfeld im begrifflichen Rah-
men der Ur-Alternativen. Die Basiszustände eines allgemeinen solchen Zustandes sind durch
die Zahl der Gravitonen in den Basiszuständen des Tensorraumes der Ur-Alternativen kom-
biniert mit den Basiszuständen der vier Ur-Alternativen der Metrik definiert:
|
g
N
=
N
ABCD
g
N
(
N
ABCD
g
)
N
N N
ABCD
g
|N N
ABCD
g
. (181)
Natürlich gehorcht der Zustand des freien Gravitationsfeldes der Gleichung (87), welche
eine freie Wellengleichung ist:
E
2
- P
2
x
- P
2
y
- P
2
z
|
g
(t) = 0
2
t
-
2
x
-
2
y
-
2
z
g
N
(x,t) = 0.
(182)
Die Einsteinsche Feldgleichung geht in linearer Näherung in eine solche freie Wellenglei-
chung über und deshalb wundert es überhaupt nicht, dass auch der Zustand eines aus Ur-
Alternativen konstruierten Gravitons, solange noch keine Wechselwirkung definiert ist, im
Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen ebenfalls zunächst dieser freien Wellen-
gleichung genügt. Um im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen zum quanten-
theoretischen Analogon der vollständigen Dynamik der allgemeinen Relativitätstheorie zu
gelangen, welche ja eine Selbstwechselwirkung des Gravitationsfeldes enthält, muss der all-
gemeine rein quantentheoretische Wechselwirkungsbegriff zu Grunde gelegt werden, der im
letzten Abschnitt konstituiert wurde. Auf der Basis dieses Wechselwirkungsprozesses muss
natürlich auch die Wechselwirkung der Gravitonen, die in diesem Unterabschnitt zunächst
nur isoliert betrachtet werden konnten, mit anderen Objekten beschrieben werden, was aber
hier nicht behandelt wird, obwohl dies im Prinzip dem gleichen Schema folgt.
9.2 Die Dynamik der selbstwechselwirkenden Gravitation
In diesem Unterabschnitt soll nun die Wechselwirkung der im letzten Unterabschnitt aus Ur-
Alternativen konstruierten Gravitonenzustände (179) betrachtet werden. Um zur Dynamik
der selbstwechselwirkenden Gravitation in der Quantentheorie der Ur-Alternativen zu gelan-
gen, kann man geleitet durch das Korrespondenzprinzip von der klassischen Einsteinschen
Feldgleichung ausgehen, die dann basierend auf den Quantisierungsregeln (154), (155) und
(156) in eine rein quantentheoretische auf Ur-Alternativen basierende Beschreibung umge-
wandelt wird. Die Einsteinsche Feldgleichung hat bekanntlich folgende Gestalt:
R
-
1
2
Rg
= -T
,
(183)
72
wobei
die Gravitationskonstante G enthält und T
den Energie-Impuls-Tensor beschreibt.
Da die Wechselwirkung des Gravitationsfeldes mit anderen Quantenobjekten hier nicht be-
trachtet werden soll, gilt T
= 0 und dies bedeutet:
R
-
1
2
Rg
= 0 R
= 0,
(184)
wobei der Ricci-Tensor R
über den Riemann-Tensor:
R
=
-
+
-
(185)
in der folgenden Weise definiert ist:
R
= R
=
-
+
-
,
(186)
der Ricci-Skalar R über den Ricci-Tensor R
in der folgenden Weise definiert ist:
R
= g
R
,
(187)
und die Christoffelsymbole die folgende Gestalt haben:
=
1
2
g
g
+
g
-
g
.
(188)
Wenn man (188) in (186) einsetzt, so ergibt sich für die Einsteinsche Feldgleichung (184)
ausgedrückt direkt durch den metrischen Tensor g
die folgende Gestalt:
R
=
1
2
g
g
+
g
-
g
-
1
2
g
g
+
g
-
g
+
1
4
g
g
+
g
-
g
g
g
+
g
-
g
-
1
4
g
g
+
g
-
g
g
g
+
g
-
g
=
1
2
g
g
+
g
g
-
g
g
+ g
g
+ g
g
- g
g
-
g
g
-
g
g
+
g
g
- g
g
- g
g
+ g
g
+
1
2
g
g
g
g
+ g
g
g
g
- g
g
g
g
+ g
g
g
g
+g
g
g
g
- g
g
g
g
- g
g
g
g
- g
g
g
g
+g
g
g
g
- g
g
g
g
+ g
g
g
g
- g
g
g
g
+g
g
g
g
+ g
g
g
g
- g
g
g
g
- g
g
g
g
-g
g
g
g
+ g
g
g
g
=
1
2
g
g
+
g
g
-
g
g
+ g
g
- g
g
-
g
g
-
g
g
+
g
g
- g
g
+ g
g
+g
g
g
g
- g
g
g
g
- g
g
g
g
+
1
2
g
g
g
g
+ g
g
g
g
-g
g
g
g
+ g
g
g
g
= 0.
(189)
73
Diese klassische dynamische Grundgleichung für das Gravitationsfeld muss in einer Weise
quantisiert werden, dass sie in eine Beschreibungsweise im Sinne der Ur-Alternativen über-
führt wird. Im Rahmen dieser Beschreibung ist auch das Gravitationsfeld lediglich eine Dar-
stellung eines dahinter stehenden Zustandes im Tensorraum der Ur-Alternativen und das Pro-
dukt des Gravitationsfeldes mit sich selbst entspricht einer Verschränkung solcher Zustände.
Diese Art der Quantisierung ist deutlich radikaler als die gewöhnliche Quantisierung, bei
der Vertauschungsrelationen zwischen dem Gravitationsfeld und der kanonisch konjugierten
Feldgröße gefordert werden, welche also kontinuierliche Feldgrößen zu Grunde legt. Auch
im Rahmen der Schleifenquantengravitation mit den Spin-Netzwerken bleibt der Raum ei-
ne unabhängige Realität und werden mit Holonomien weiterhin Größen zu Grunde gelegt,
die sich auf Beziehungen in einer eigenständigen Raum-Zeit beziehen. Bei den Wechselwir-
kungen geht man gewöhnlich weiterhin im klassischen Sinne von punktweisen Produkten in
der Raum-Zeit aus. Die Frage der Wechselwirkung ist nämlich die entscheidende. In dem
hier versuchten Modell der Ur-Alternativen gibt es überhaupt kein Gravitationsfeld mehr,
sondern nur Kombinationen von Ur-Alternativen als diskreten Einheiten und Verschränkun-
gen zwischen diesen, die sich lediglich raum-zeitlich darstellen und in dieser Darstellung
näherungsweise zu der Einsteinschen Feldgleichung führen. Es muss also zunächst in dem
Sinne eine Quantisierung der Gravitation vorgenommen werden, dass das Gravitationsfeld
in einen Zustand von Gravitonen überführt wird, die durch Zustände im Tensorraum der Ur-
Alternativen beschrieben werden, beziehungsweise zunächst in den Zustand eines einzelnen
Gravitons. Dies geschieht durch eine Kombination von (154) und (179):
g
(x,t) -
|
g
(t) = g
N
(t) =
N
ABCD
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
g
N
(x,t) =
N
xyzn
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
.
(190)
Die Ableitungen müssen dementsprechend zu Impulsoperatoren im Tensorraum werden, in-
dem man die Definition (54) und den Übergang (154) zu Grunde legt, was bedeutet:
g
(x,t) -
iP
ABCD
|
g
(t) = iP
ABCD
N
ABCD
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
= i|P
= i
N
ABCD
P
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
iP
g
N
(t)
i
N
xyzn
P
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
iP
g
N
(x,t).
(191)
Um nun zu einer vollständigen quantentheoretischen Beschreibung der Gravitation zu ge-
langen, muss die Wechselwirkung integriert werden. Es müssen also Zustände mehrerer
Gravitonen gemäß (181) betrachtet werden, welche jedoch gemäß (138) in Zustände mit
Verschränkung überführt werden. Und um diese zu definieren, müssen die punktweisen Pro-
dukte des Gravitationsfeldes in ein Produkt im Tensorraum gemäß (155) umgewandelt wer-
den, das einen verschränkten Zustand gemäß (138) definiert. Dies bedeutet konkret, dass ein
Produkt des metrischen Tensors mit sich selbst in der folgenden Weise umgewandelt wird:
74
g
(x,t)g
(x,t) -
N
1
,N
2
N
1
ABCD
1
N
1
ABCD
,t |N
1
ABCD
g
1
N
2
ABCD
2
N
2
ABCD
,t |N
2
ABCD
g
2
=
N
ABCD
1
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
1
2
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
2
N
g
1
N
(t)g
2
N
(t)
N
xyzn
1
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
1
2
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
2
N
g
1
N
(x,t)g
2
N
(x,t).
(192)
Und ein Produkt von Ableitungen des metrischen Tensors mit sich selbst wird gemäß (156)
in der folgenden Weise umgewandelt:
g
(x,t)
g
(x,t) -
N
1
,N
2
iP
ABCD
N
1
ABCD
1
N
1
ABCD
,t |N
1
ABCD
g
1
iP
ABCD
N
2
ABCD
2
N
2
ABCD
,t |N
2
ABCD
g
2
= -
N
1
,N
2
N
1
ABCD
P
1
N
1
ABCD
,t |N
1
ABCD
g
1
N
2
ABCD
P
2
N
2
ABCD
,t |N
2
ABCD
g
2
= -
N
ABCD
P
1
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
1
P
2
(N
ABCD
,t)|N
ABCD
g
2
-
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t) -
N
xyzn
P
1
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
1
P
2
(N
xyzn
,t) f
N
xyzn
(x)g
2
-
N
P
1
g
1
N
(x,t)P
2
g
2
N
(x,t).
(193)
Wenn man nun in der freien Einsteingleichung (189) den metrischen Tensor gemäß (190) in
einen Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen umwandelt und die auftretenden Produkte
gemäß (192) und (193) in das quantentheoretische Analogon überführt, so ergibt sich eine
Gleichung, welche die dynamische Grundgleichung der selbstwechselwirkenden Gravitati-
on ohne Kopplung an andere Objekte im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen
darstellt. Diese Gleichung stellt eine reine Beziehungsstruktur von Ur-Alternativen dar oh-
ne direkten Bezug zum Begriff eines Feldes. Lediglich durch einen indirekten Übergang in
die raum-zeitliche Darstellung, wie sie durch die Darstellung der Tensorraumzustände als
Funktionen im physikalischen Raum in zum obigen Prozess der Quantisierung umgekehrter
Richtung vollzogen werden kann, erscheint sie näherungsweise wie eine quantentheoretische
Wellengleichung, also eine quantisierte Einsteingleichung. Aber die Gleichung selbst be-
schreibt die Natur rein quantentheoretisch, also nur basierend auf einer Beziehungsstruktur
abstrakter Informationseinheiten. Wenn die verschiedenen in den Wechselwirkungsprozess
einbezogenen aus Ur-Alternativen konstruierten Gravitonen durch eine von 1 bis 4 laufende
Nummerierung bezeichnet werden, so erhält die dynamische Grundgleichung der Gravitati-
on unter Verwendung von (190), (191), (192) und (193) die folgende Gestalt:
75
R
(t) =
1
2
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t) +
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t) -
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t)
+
N
g
1
N
(t)P
2
P
2
g
2
N
(t) -
N
g
1
N
(t)P
2
P
2
g
2
N
(t) -
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t)
-
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t) +
N
P
1
g
1
N
(t)P
2
g
2
N
(t) -
N
g
1
N
(t)P
2
P
2
g
2
N
(t)
+
N
g
1
N
(t)P
2
P
2
g
2
N
(t) +
N
g
1
N
(t)g
2
N
P
3
(t)g
3
N
P
4
g
4
N
-
N
g
1
N
(t)g
2
N
P
3
(t)g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t) -
N
g
1
N
(t)g
2
N
P
3
(t)g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t)
+
1
2
N
g
1
N
(t)g
2
N
P
3
(t)g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t) +
N
g
1
N
(t)g
2
N
P
3
(t)g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t)
-
N
g
1
N
(t)g
2
N
(t)P
3
g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t) +
N
g
1
N
(t)g
2
N
(t)P
3
g
3
N
(t)P
4
g
4
N
(t)
= 0.
(194)
10 Zusammenfassung und Diskussion
In dieser Arbeit wurde zunächst deutlich gemacht, dass eine einheitliche Beschreibung der
Natur eine Kopernikanische Wende bezüglich der Interpretation der Natur des Raumes un-
umgänglich macht. Dies bedeutet, dass die physikalische Realität gemäß der Quantentheo-
rie nicht in der Weise zu verstehen ist, dass gegenständliche und geometrisch beschriebene
Objekte in einem vorgegebenen physikalischen Raum existieren, sondern rein logische ab-
strakte Objekte, die noch keinerlei feldtheoretische Begriffe voraussetzen, umgekehrt die
Existenz des physikalischen Raumes, der formal mit der Zeit zur Raum-Zeit verbunden wer-
den kann, mit der bekannten Struktur begründen. Basierend auf dieser zentralen Erkenntnis
des inneren Wesens der Natur gemäß der Quantentheorie wurde dann die Quantentheorie der
Ur-Alternativen des Carl Friedrich von Weizsäcker als die konsequente Realisierung eines
solchen rein quantentheoretischen Realitätsbegriffes dargestellt, der von feldtheoretischen
Begriffen vollkommen unabhängig ist. Die Ur-Alternativen sind elementare quantentheore-
tische Informationseinheiten. Allerdings werden diese im Gegensatz zu ihrer gewöhnlichen
Verwendung in der Physik im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen in einem
sehr viel grundsätzlicheren Sinne interpretiert. Die Ur-Alternativen sind nicht Information,
die sich im Raum befinden oder in einem Netzwerk ausgetauscht würde, die einen Träger
bräuchte oder sich auf bereits vorhandene physikalische Objekte beziehen würde. Vielmehr
kommt dieser Information absolute Bedeutung zu. Es gibt daher in der Quantentheorie der
Ur-Alternativen überhaupt nichts anderes als die Information. Umgekehrt kann die Existenz
aller anderen Realitäten wie der physikalischen Objekte, deren Wechselwirkungen und der
physikalische Raum überhaupt nur aus dieser im schlechthinnigen Sinne abstrakten Informa-
tion begründet werden. Insofern führt die Quantentheorie der Ur-Alternativen die Verände-
rung des Realitätsbegriffes in der Quantentheorie zu ihrer letzten Konsequenz. Nachdem die
grundlegende begriffliche und philosophische Basis der Quantentheorie der Ur-Alternativen
dargestellt wurde, wie sie seitens Carl Friedrich von Weizsäcker entwickelt wurde, wurden
76
eigene weiterführende Ansätze in Bezug auf eine Beschreibung der realen Physik basierend
auf diesem begrifflichen Grundrahmen entwickelt. Hierzu gehörte ein bestimmter Ansatz
zu einer Abbildung der Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, ein
Ansatz zur Integration der inneren Symmetrien der Elementarteilchenphysik, ein rein quan-
tentheoretischer Begriff der Wechselwirkung und schließlich ein Versuch, basierend auf die-
sen neuen Entwicklungen zu einer rein quantentheoretischen und im schlechthinnigen Sinne
hintergrundunabhängigen Beschreibungsweise der Gravitation zu gelangen. Hierbei wurde
das Korrespondenzprinzip zu Grunde gelegt, also eine solche Dynamik basierend auf Ur-
Alternativen konstruiert, sodass sich nach Abbildung der Wechselwirkungsbeziehung der
verschiedenen aus Ur-Alternativen gebildeten Gravitonen in die Raum-Zeit in einer klassi-
schen Näherung die gewöhnliche Einsteinsche Feldgleichung ergibt.
Natürlich ist in dieser Arbeit nur ein begrifflicher und mathematischer Grundansatz zur
Beschreibung der konkreten Physik im begrifflichen Rahmen der Ur-Alternativen entwickelt
worden. Dass die Quantentheorie der Ur-Alternativen bezüglich ihrer begrifflichen Grundba-
sis mit ihrem rein quantentheoretischen Realitätsbegriff im Prinzip von ihrer grundlegenden
Idee her ganz sicher nicht nur vielversprechend ist, sondern dass hier die richtige Richtung
mit Sicherheit eingeschlagen wurde, daran kann angesichts der überwältigenden argumen-
tativen Substanz keinerlei Zweifel bestehen. Ob die konkrete mathematische Ausgestaltung
und die meinerseits entwickelten weiterführenden Konzepte in exakt dieser Weise zur Wahr-
heit führen können, das kann zumindest nicht mit Sicherheit gesagt werden, aber auch dies
scheint wenigstens vielversprechend zu sein. Dies gilt auch dann, wenn die mathematischen
Konzepte ganz sicher noch auf eine bessere formale Basis gestellt werden müssen. Zudem
wäre es von entscheidender Bedeutung zu zeigen, dass sich basierend auf der Auflösung
der Zustände quantentheoretischer Objekte in die rein logischen Objekte der Ur-Alternati-
ven und entsprechender diskreter Zustandsräume und dem auf abstrakten Beziehungen von
Ur-Alternativen sich gründenden Wechselwirkungsbegriff bei konkreten Berechnungen von
physikalischen Vorgängen keine Divergenzen ergeben und das Verfahren der Renormierung
auf diese Weise umgangen werden kann. Die Begründung der Existenz aller Wechselwirkun-
gen sowie aller fundamentalen Objekte der Elementarteilchenphysik wäre das ideale End-
ziel. Zudem müsste noch eine Beziehung der Abbildung der Zustände des Tensorraumes
der Ur-Alternativen zur globalen Topologie des Kosmos hinzukommen, die in der Quan-
tentheorie der Ur-Alternativen gewöhnlich eigentlich über den Zustandsraum einer einzigen
Ur-Alternative erfolgt, der aufgrund der Normierungsbedingung aus (17) die Toplogie einer
S
3
aufweist, die man dann als globale räumliche Struktur des Kosmos interpretiert. Auch
müsste man natürlich irgendwann versuchen, genaue Vorhersagen für konkrete Phänomenen
zu machen, für welche die Quantentheorie der Ur-Alternativen ganz spezifische Ergebnisse
liefert. Phänomene wie das EPR-Paradoxon zeigen nur, dass eine Beschreibung der Natur
jenseits feldtheoretischer Begriffe unumgänglich ist, aber noch nicht, dass die Realisierung
dessen in genau der Weise vollzogen werden muss wie dies im Rahmen der Quantentheorie
der Ur-Alternativen geschieht. In jedem Falle aber wurde mit dieser Arbeit gezeigt, dass es
prinzipiell durchaus möglich sein könnte, die konktrete Physik im Rahmen der Quantentheo-
rie der Ur-Alternativen zu beschreiben und daher eine einheitliche Beschreibung der Physik
in einem rein quantentheoretischen Rahmen zu erhalten, in dem der neue Realitätsbegriff,
den die Quantentheorie eröffnet hat, in konsequenter Weise realisiert ist. Und dieser Reali-
tätsbegriff basiert nur auf abstrakter Information und damit letztendlich auf reiner Logik in
der Zeit, wobei die Logik ähnlich wie bei Hegel eine ontologische Bedeutung erhält.
Danksagung: Ich danke Bernd Henschenmacher für anregende Diskussionen und Gedan-
ken über Grundfragen der Quantentheorie und insbesondere bezüglich der Oktonionen.
77
Literatur
[1] T. S. Kuhn, Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen, 1962.
[2] I. Kant, Kritik der reinen Vernunft, Johann Friedrich Hartknoch Verlag, Riga 1783.
[3] I. Kant, Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird
auftreten können, Johann Friedrich Hartknoch Verlag, Riga 1783.
[4] Platon, Dialog Timaios.
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[8] A. Einstein, "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie," Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys. ) 1914, 1030 (1914).
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Berlin (Math. Phys. ) 1915, 778 (1915) [Addendum-ibid. 1915, 799 (1915)].
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[11] W. Heisenberg, "Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechani-
scher Beziehungen", Zeitschrift für Physik 33 (1), 879-893 (1925).
[12] M. Born, P. Jordan, "Zur Quantenmechanik", Zeitschrift für Physik 34 (1), 858-888
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[13] M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, "Zur Quantenmechanik II", Zeitschrift für Physik
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[18] C. F. von Weizsäcker, Die Einheit der Natur, Carl Hanser Verlag, München/Wien 1971.
[19] C. F. von Weizsäcker, Aufbau der Physik, Carl Hanser Verlag, München/Wien 1985.
[20] C. F. von Weizsäcker, Zeit und Wissen, Carl Hanser Verlag, München/Wien 1992.
[21] C. F. von Weizsäcker, Große Physiker, Carl Hanser Verlag, München/Wien 1999.
[22] K. Lorenz, "Die Rückseite des Spiegels", Piper Verlag, München 1973.
78
[23] H. v. Ditfurth, "Der Geist fiel nicht vom Himmel", Hoffmann und Campe Verlag, Mün-
chen 1976.
[24] G. Vollmer, "Evolutionäre Erkenntnistheorie", Stuttgart 1975.
[25] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press, Cambridge 2004.
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[29] J. S. Bell, "On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox," Physics 1 (1964) 195.
[30] A. Zeilinger, Rev. Mod. Phys. 71 (1999) S.288 doi:10.1 103/RevModPhys.71.S288.
[31] A. Zeilinger, "The reality of quanta," Spektrum Wiss. 2008N11 (2008) 54.
[32] P.A.M. Dirac, The principles of quantum mechanics, Oxford University Press, Oxford
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79
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist das Hauptthema dieser Publikation?
Die Publikation befasst sich mit dem Thema einer einheitlichen Naturbeschreibung basierend auf der Quantentheorie der Ur-Alternativen. Sie argumentiert, dass eine radikale Abkehr von klassischen und feldtheoretischen Begriffen notwendig ist und dass die Natur im Rahmen einer reinen Quantentheorie beschrieben werden muss. Dies beinhaltet eine kopernikanische Wende in Bezug auf die Raum-Frage, bei der abstrakte logische Objekte die Existenz des Raumes überhaupt erst begründen.
Welche erkenntnistheoretischen Grundlagen werden diskutiert?
Die Arbeit thematisiert erkenntnistheoretische Grundeinsichten, insbesondere die Kantische Erkenntnistheorie und deren Bezug zur modernen Naturwissenschaft, einschließlich der Relativitätstheorie und der Evolutionstheorie. Sie diskutiert die Rolle von Raum, Zeit und Kausalität und wie diese im Kontext der Quantentheorie und des menschlichen Geistes zu interpretieren sind.
Was ist die Quantentheorie der Ur-Alternativen?
Die Quantentheorie der Ur-Alternativen, entwickelt von Carl Friedrich von Weizsäcker, versteht die Quantentheorie als eine Theorie abstrakter Information in der Zeit. Sie versucht, die Existenz der konkret existierenden physikalischen Realitäten mit ihrer spezifischen Struktur herzuleiten, wobei Ur-Alternativen keine Objekte in einem bereits existierenden Raum sind, sondern umgekehrt die Existenz dieses Raumes überhaupt erst begründen.
Welche mathematischen Konstruktionen werden entwickelt?
Die Arbeit entwickelt neue mathematische Ansätze basierend auf der Quantentheorie der Ur-Alternativen. Dies beinhaltet eine Abbildung der Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, die Konstruktion von Orts- und Impulsoperatoren, die Integration der inneren Symmetrien der Elementarteilchen und eine rein quantentheoretische Fassung des Wechselwirkungsbegriffes.
Wie wird die Gravitation im Rahmen der Ur-Alternativen behandelt?
Die Publikation entwickelt einen Grundansatz zu einer rein quantentheoretischen und schlechthin hintergrundunabhängigen Formulierung des Elektromagnetismus und der Gravitation basierend auf dem Begriff abstrakter quantentheoretischer Information.
Was sind die wesentlichen Schlüsselwörter in diesem Kontext?
Einige der Schlüsselwörter umfassen: Quantentheorie, Ur-Alternativen, Erkenntnistheorie, Raum-Zeit, Verschränkung, Symmetrien, Wechselwirkung, Gravitation, Kopernikanische Wende, abstrakte Information, Quantenlogik, Dirac-Gleichung, Lorentz-invarianz, und Tensorräume.
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