Schätzung des (Conditional) Value at Risk eines Portfolios mittels der Historischen Simulation

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundkonzeption des Value at Risk
2.1 Begriff des Value at Risk
2.2 Verfahren zur Ermittlung des Value at Risk
2.3 Vor- und Nachteile der Historischen Simulation

3 Schatzung des Value at Risk eines Portfolios mittels der Historischen Simulation
3.1 Zusammensetzung des Portfolios
3.2 Ermittlung des Value at Risk des Portfolios
3.3 Interpretation der Ergebnisse

4 Grundkonzeption und Schatzung des Conditional Value at Risk fur das Portfolio.
4.1 Begriff des Conditional Value at Risk
4.2 Ermittlung des Conditional Value at Risk fur das Portfolio
4.3 Interpretation der Ergebnisse

5 Zusammenfassung und Fazit

Literaturverzeichnis

Verzeichnis der Intemetquellen

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Systematisierung der Value at Risk Verfahren

Abbildung 2: Entwicklung der Asset-Klassen und des Portfolios in%

Abbildung 3: Darstellung der Tagesrenditen des Portfolios in %

Abbildung 4: Histogramm der Tagesrenditen in %

Abbildung 5: Darstellung der 21-Tagesrenditen des Portfolios in %

Abbildung 6: Histogramm der 21-Tagesrenditen in %

Abbildung 7: Vergleich der Value at Risk-Werte fur die Haltedauer von einem Tag

Abbildung 8: Vergleich der Value at Risk-Werte fur die Haltedauer von 21-Tagen

Abbildung 9: Beispielhafte Verteilung von Portfoliorenditen - Eigene Darstellung

1 Einleitung

,,Das Gefahrliche am Risiko ist nicht das Risiko selbst, sondern wie man damit umgeht.“

Felix Gerg

Der Umgang mit Risiken setzt voraus, dass man diese messen, einordnen und vergleichen kann. Ein Investor steht vor dem Problem, dass er in der Regel in unterschiedliche Assets in- vestiert ist, die wiederum sehr heterogene Risikofaktoren haben. Beispielsweise entstehen bei Rentenwerten Zins- und Adressrisiken wohingegen bei Aktien die Marktrisiken ausschlagge- bend sind. Ziel ist es, samtliche Risiken eines Portfolios zu aggregieren um letztendlich ent- scheiden zu konnen, ob das Gesamtrisiko dem Risikobewusstsein des Investors entspricht.

Eine symmetrische Risikokennzahl, die eine Risikoaggregation ermoglicht ist beispielsweise die Volatility. Sie gibt Information uber die Intensity der Renditeschwankung eines Assets um seinen Mittelwert. Aus Sicht eines Investors kann die Schwankung nach obenjedoch als Chance gesehen werden.

Von Interesse des Investors ist primar das Downside-Risiko. In den letzten 20 Jahren hat sich dahingehend als wichtigste asymmetrische Risikokennzahl der Value at Risk in der Finanz- branche durchgesetzt¹.

Der Value at Risk gibt dem Investor aufPortfolioebene eine Auskunft daruber, welchen Ver- lust er mit einer gewahlten Wahrscheinlichkeit uber einen bestimmten Zeithorizont nicht uberschreiten wird. Der Investor erhalt eine plakative und leicht zugangliche Aussage uber den zu erwartenden Verlust seines Portfolios.

Fraglich bleibt jedoch die Information, welchen Verlust er zu erwarten hat, sollte der Value at Risk uberschritten werden. Die Lehren aus der Finanzkrise ab 2008 haben gezeigt, dass das Fehlen dieser Erkenntnis existenzgefahrdend sein kann. Daher ist die Finanzaufsicht bestrebt den Conditional Value at Risk als zusatzliche Risikokennzahl zu etablieren. Dieser gibt dem Investor Auskunft daruber, welchen Verlust er im Durchschnitt zu erwarten hat falls sich ein Szenario realisieren sollte, das auBerhalb der gewahlten Wahrscheinlichkeit liegt.

Diese Arbeit geht in Kapitel zwei auf die theoretischen Grundlagen des Value at Risks ein und zeigt kurz die Geschichte der Risikokennzahl auf. AnschlieBend werden die gangigsten Verfahren zur Ermittlung des Value at Risk skizziert. Auf die Historische Simulation wird detaillierter eingegangen und die spezifischen Vor- und Nachteile erlautert.

In Kapitel drei wird auf Basis eines Portfolios aus Untemehmensanleihen, Aktien und Gold der Value at Risk fur verschiedene Haltedauem und Konfidenzniveaus ermittelt. Die gewon- nenen Daten werden interpretiert und Handlungsalternativen aufgezeigt.

Kapitel vier widmet sich den Eigenschaften des Conditional Value at Risks. Es wird der Wert fur das in Kapitel drei definierte Portfolio errechnet und anschlieBend analysiert.

AbschlieBend erfolgt eine Zusammenfassung der gewonnenen Erkenntnisse mit zwei Empfeh- lungen und einem Ausblick.

2 Grundkonzeption des Value at Risk

Im folgenden Kapitel wird die Grundkonzeption des Value at Risk aufgezeigt. Zuerst wird die Risikokennzahl allgemein beschrieben und anschlieBend die relevantesten Berechnungsver- fahren vorgestellt. Es wird speziell auf die Methode der Historischen Simulation eingegangen und die spezifischen Vor- und Nachteile dieser Vorgehensweise erlautert.

2.1 Begriff des Value at Risk

Der Value at Risk wird definiert als die erwartete negative Anderung des Marktwertes einer Position oder eines Portfolios in Geldeinheiten innerhalb eines festgelegten Zeitraums. Grund- lage ist die Schwankung spezifizierterMarktfaktoren/Risikofaktoren, die aufBasis eines sta- tistischen Modells berechnet werden. Die Schatzung des erwarteten Risikos erfolgt fur ein festgelegtes Konfidenzniveau 1-a².

Damit kennzeichnet der Value at Risk keinen Maximalverlust, sondern entspricht eher einer Verlustschranke. Es wird berucksichtigt, dass auch sehr groBe Verluste moglich sind. Diese treten aber nur mit einer entsprechend geringen Wahrscheinlichkeit ein. Daher druckt der Va­lue at Risk einen erwarteten und keinen unerwarteten Verlust aus.³

Im Gegenteil zu symmetrischen RisikomaBzahlen wie beispielsweise der Volatilitat weist der Value at Risk als asymmetrische Risikokennzahl das Risiko einseitig als Verlustgefahr aus. Die andere Seite der Volatilitat wird als Chance und damit als positive Eigenschaft angese- hen.⁴

Die tatsachlich ex post festgestellten Verluste der vorgegebenen Zeitperiode konnen und wer­den allerdings auch bei einer verlasslichen Schatzung groBer sein als der Value at Risk. Die Anzahl der Verluste, die den Value at Risk uberschreiten, sollte aber die mit der vorgegebe­nen Wahrscheinlichkeit zu erwartende Haufigkeit nicht systematisch ubersteigen.⁵

Beim Value at Risk handelt es sich nicht um ein koharentes RisikomaB. Damit ein RisikomaB koharent ist, mussen die Eigenschaften positive Homogenitat, Monotonie, Translationsinvari- anz und Subadditivitat erfullt sein.⁶ Der Value at Risk erfullt zwar die drei erstgenannten Ei­genschaften, ist allerdings nicht subadditiv. Bei der Zusammenfuhrung mehrerer Risiken kann es demnach vorkommen, dass das zusammengefuhrte Risiko groBer ist als die Summe der Einzelrisiken. Das wurde implizieren, dass eine Risikodiversifizierung infolgedessen nicht stattfindet.⁷

Eine weit verbreitete, mathematische Definition des Value at Risk ist wie folgt:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]⁸

Lt(h) bezeichnet den Verlust aus einer Finanzposition zu einem Zeitpunkt t, h ist die Haltepe- riode und p die vorgegebene Wahrscheinlichkeit. Der Value at Risk wird als v ausgewiesen.

Das Konzept Value at Risk hat sich als Standardverfahren etabliert, da es die Risikopositionen eines Unternehmens oder eines Portfolios in einer Kennzahl analysiert, und somit eine leicht interpretierbare Steuerungsbasis liefert.⁹

Der Value at Risk wurde ursprunglich von der „Group ofThirty“ zur einfachen Messung des Risikos von Derivaten entwickelt. Weitere Verbreitung erlangte er durch die Entwicklung des Ansatzes „RiskMetrics™ von „J.P.Morgan/Reuters“.¹⁰ Die Anerkennung interner Risikomo- delle der Banken auf Basis des Value at Risk im Marktrisikopapier der Bank fur internationa- len Zahlungsverkehr stellt den endgultigen Durchbruch fur den Value at Risk dar.¹¹

Grundsatzlich kann der Value at Risk mittels diverser Verfahren ermittelt werden. Die drei gangigsten Methoden werden nachfolgend vorgestellt.

2.2 Verfahren zur Ermittlung des Value at Risk

Bei der Ermittlung des Value at Risk konnen die Methoden nach analytischen und simulativen Verfahren differenziert sowie in parametrische und nicht parametrische Verfahren unterschie- den werden. Die wesentlichsten Verfahren zur Ermittlung des Value at Risk werden nachfol- gend gegenuber gestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Systematisierung der Value at Risk Verfahren

Die beiden parametrischen Verfahren werden nachfolgend kurz skizziert. AnschlieBend wird die Methode der Historischen Simulation erlautert.

Monte-Carlo-Simulationen

Die Monte-Carlo-Simulation (oder auch Stochastische Simulation) ahnelt in wesentlichen Punkten der Historischen Simulation. Der entscheidende Unterschied liegtjedoch darin, dass die zur Simulation verwendeten Renditen der Marktfaktoren keine tatsachlich eingetretenen Renditen der Vergangenheit sind, sondern auf der Basis einer geschatzten Verteilung zufallig generierte Renditeauspragungen darstellen. Beim Schatzen der Verteilung konnen sich deutli- che Parallelen zur analytischen Varianz-Kovarianz-Methode ergeben.¹²

Varianz-Kovarianz-Methode

Die analytische Varianz-Kovarianz-Methode basiert auf der Annahme, dass zum einen die Wertanderungen der relevanten Risikofaktoren einer Normalverteilung unterliegen, und zum anderen sich die Wertanderung des Portfolios als lineare Funktion der Anderungen der Risi- kofaktoren ergibt. Der Ansatz geht von einer geschatzten Varianz-Kovarianz-Matrix der Marktfaktoren aus und berechnet den Value at Risk des Portfolios als (einseitiges) Vertrau- ensintervall der Marktwertanderungen entweder direkt aus den Verteilungsparametern der Marktfaktoren oder aus den Value at Risk Werten der Einzelpositionen.¹³

Historische Simulation

Die Historische Simulation bedarfkeiner Verteilungsannahmen der Renditen, da real beo- bachtete Renditen herangezogen werden um die Portfoliorendite zu berechnen. Dabei wird die aktuelle Zusammensetzung des betreffenden Portfolios herangezogen und fur diese unter Verwendung der historischen Renditen eine Zeitreihe der Portfoliorendite fur den gewahlten historischen Betrachtungszeitraum gebildet.¹⁴ Aus den altemativen Preiskonstellationen wer­den die sichjeweils ergebenden Gewinne und Verluste ermittelt. Furjede Preiskonstellation der gewahlten Stutzperiode erfolgt eine vollstandige Neubewertung. Das Verlustpotential ermittelt sich aus der Subtraktion des Wertes bei veranderten Preisen und des ursprunglichen Wertes. Aus der empirisch ermittelten Verteilung der Wertanderungen ergibt sich das Ver­lustpotential als eine einzige Zahl.¹⁵

Die Value at Risk-Werte des 95% Perzentil und beispielsweise des 99% Perzentil sind keine konstanten Vielfachen. Diese Eigenschaft gilt auch fur unterschiedliche Haltedauern.¹⁶

Das Verfahren unterstellt, dass der der Marktpreisbildung zugrunde liegende stochastische Prozess stationar ist, denn nur dann konnen historisch beobachtete Risikofaktoranderungen sinnvoll zur Simulation kunftiger Anderungen eingesetzt werden. Des Weiteren wird inharent unterstellt, dass Risikofaktoranderungen temporar unabhangig sind.¹⁷ Das Verfahren enthalt die implizierte Annahme, dass der verwendete historische Betrachtungszeitraum, in dem unter Umstanden auch extreme Ereignisse enthalten sind, ein geeigneter Indikator fur die kunftige Entwicklung ist.

[...]

¹ Vgl.: Dinkelbach W. / Kleine A. (2003): Vom Value at Risk zum Conditional Value at Risk, S. 279

² Vgl.: Volker J. (2001): Value-at-Risk-Modelle in Banken - Quantifizierung des Risikopotentials im Portfoliokontext und Anwendung zur Risiko- und Geschaftssteuerung, S. 69

³ Vgl.: Huschens S. (2000): Verfahren zur Value-at-Risk Berechnung im Marktrisikobereich, in Handbuch Risikomanagement, S.184

⁴ Vgl.: Grunbichler A. und Staub Z. (1997): Value at Risk: Ein Ansatz fur die Risikosteuerung im Asset Management, in Value at Risk im Vermogensverwaltungsgeschaft, S. 60

⁵ Vgl.: Meyer C. (1999): Value at Risk fur Kreditinstitute - Erfassung des aggregierten Marktrisikopotentials, S. 12

⁶ Vgl.: Artzner P./ Delbaen F. / Eber J. / Heath D. (1998): Coherent measures of risk, S. 7

⁷ Vgl.: Schaudeck A. (2014): Bedingte Schatzung von Value at Risk und Expected Shortfall, S. 1

⁸ Vgl.: Prinzler R. (2001): Value-at-Risk-Schatzung mit Gaufl’schen Mischverteilungen und kunstlichen neuronalen Netzen, S. 13

⁹ Vgl.: Fricke J. (2006): Value-at-Risk Ansatze zur Abschatzung von Marktrisiken - Theoretische Grundlagen und empirische Analysen, S. 15

¹⁰ Vgl.: Dresel T. (2003): Allokation von Risikokapital in Banken - Value-at-Risk, asymmetrische Information und rationales Herdenverhalten, S. 23

¹¹ Vgl.: Meyer C. (1999): Value at Risk fur Kreditinstitute - Erfassung des aggregierten Marktrisikopotentials, S. 17

¹² Vgl.: Volker J. (2001): Value-at-Risk-Modelle in Banken - Quantifizierung des Risikopotentials im Portfoliokontext und Anwendung zur Risiko- und Geschaftssteuerung, S. 102

¹³ Vgl.: Volker J. (2001): Value-at-Risk-Modelle in Banken - Quantifizierung des Risikopotentials im Portfoliokontext und Anwendung zur Risiko- und Geschaftssteuerung, S. 88

¹⁴ Vgl.: Dresel T. (2003): Allokation von Risikokapital in Banken - Value-at-Risk, asymmetrische Information und rationales Herdenverhalten, S. 32

¹⁵ Vgl.: Meyer C. (1999): Value at Risk fur Kreditinstitute - Erfassung des aggregierten Marktrisikopotentials, S. 191

¹⁶ Vgl.: Hendricks D. (1996): Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Data, S. 43

¹⁷ Vgl.: Prinzler R. (2001): Value-at-Risk-Schatzung mit Gaufl’schen Mischverteilungen und kunstlichen neuronalen Netzen, S. 55f