Wie lassen sich Immanuel Kants vier Antinomien der reinen Vernunft mithilfe von Georg Cantors Erkenntnissen rund um die Unendlichkeit bearbeiten und beantworten?


Masterarbeit, 2017

58 Seiten, Note: 1,3

Anonym


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort
1.1. Vorstellung des Themas und der Leitfrage
1.2. Übersicht über die Gliederung

2. Entwicklung des Unendlichkeitsbegriffs
2.1. Unendlichkeitsbegriff im Wandel der Zeit
2.2. Historischer Kontext bei Kant und Cantor

3. Unendlichkeit und die Antinomien bei Kant
3.1. Mathematische Unendlichkeit
3.2. Kants Antinomien
3.3. Zeit und Raum bei Kant

4. Unendlichkeit bei Cantor
4.1. Cantors Herleitung einer aktualen Unendlichkeit
4.2. Eigenschaften der Aktualunendlichkeit
4.3. Cantors Weltbild
4.4. Cantors Bemerkungen über frühere Autoren

5. Kant und Cantor im Vergleich
5.1. Gemeinsamkeiten und Unterschiede
5.2. Cantors mögliche Antworten auf Kants Antinomien

6. Fazit
6.1. Kritische Reflektion der Antworten auf die Leitfrage
6.2. Abschließende Bemerkungen

7. Literaturverzeichnis

1. Vorwort

Die vorliegende Master-Thesis ist der Versuch, eine Brücke zwischen den Disziplinen Philosophie und Mathematik zu schlagen. Konkret beschäftigt sie sich mit den Konstrukten der Unendlichkeit bei Immanuel Kant und Georg Cantor, und betrachtet diese Konstrukte aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

1.1. Vorstellung des Themas und der Leitfrage

Im Folgenden werden die Arbeiten und Gedanken des Philosophen Immanuel Kant und des Mathematikers Georg Cantor über die Unendlichkeit und ihre Bedeutung für den Menschen behandelt. Den meisten Menschen sind Aussagen wie Limes geht gegen unendlich, das Symbol der ‚liegenden Acht‘: ∞ und der Ausdruck n+1 aus der Schulmathematik bekannt. In der Geschichte der Philosophie, Theologie und Physik diskutiert man viel und häufig über eine mögliche Anfangslosigkeit von Raum und Zeit, über die unendliche Größe des Kosmos‘ und die unendliche Macht eines möglichen Gottes.

Wie lange die einzelnen Wissenschaftsdisziplinen jedoch brauchten, um die heutzutage trivialen Modelle und Begrifflichkeiten in Bezug auf die Unendlichkeit zu entdecken und anzunehmen, wird gemeinhin oft unterschätzt. Auch gibt es eine Vielzahl von Auseinandersetzungen und Schwierigkeiten unter Wissenschaftlern, diese wurden und werden häufig sowohl auf fachlicher wie auch auf persönlicher Ebene ausgetragen.

Ein kleiner Aspekt der Geschichte der Unendlichkeit soll in dieser Arbeit analysiert werden. Hierzu werden zwei Autoren verglichen, die beide entscheidende Aspekte zum Unendlichkeitsbegriff und seiner Bedeutung für die Menschheit leisten.

Immanuel Kant gilt als der Begründer der Epoche der Aufklärung. Er ist der Meinung, der Mensch solle sich seiner Verstandeskraft bedienen und mit vorsichtiger Analyse aller gegebenen Faktoren zur Wahrheit gelangen. Viele wichtige Aspekte rund um die Welt, die uns umgibt, und zur Form, in welcher wir sie wahrnehmen, werden von Immanuel Kant erarbeitet.

Georg Cantor verbringt viele Jahre seines Lebens mit der Erforschung vom Konstrukt der Unendlichkeit. Er ist der erste bedeutende Mathematiker, der sich im Zuge seiner Forschung gegen ein Konzept wendet, welches seit Jahrhunderten Anwendung findet. Er stellt sich entschieden gegen Kollegen aus der Mathematik, aber auch gegen Philosophen und Theologen, die Ansichten vertreten, welche zu denen von Georg Cantor konträr sind.

Die Fragestellung dieser Master-Thesis lautet: Wie lassen sich Immanuel Kants vier Antinomien der reinen Vernunft mithilfe von Georg Cantors Erkenntnissen rund um die Unendlichkeit bearbeiten und beantworten?

Die Inspiration für diese Arbeit findet ihren Ursprung in Bemerkungen seitens Georg Cantor über die Antinomien-Diskussion bei Immanuel Kant. Cantor sagt über die entsprechenden Stellen in der Kritik der reinen Vernunft, dass diese eine enorme Verfehlung darstellen und gänzlich verachtet werden sollten. Seine Bemerkungen werden an dieser Stelle derart ausfallend, dass sich der Leser fragt, wie die Antinomien-Diskussion aus Sicht von Georg Cantor stattdessen zu führen sei. Dies soll in dieser Master-Thesis untersucht werden.

1.2. Übersicht über die Gliederung

Um diesem Forschungsanspruch gerecht zu werden, wird im Folgenden eine Übersicht über die Gliederung der vorliegenden Arbeit gegeben.

In Kapitel 2 wird damit begonnen, wichtige historische Fakten und populäre Stimmen zur Unendlichkeit zu präsentieren, welche die jeweiligen Ausgangssituationen von Immanuel Kant und Georg Cantors Überlegungen darstellen. Die Entwicklung von Kants eigenem Gedankenweg zur Unendlichkeit in der mathematischen Welt und seine vier Antinomien der reinen Vernunft werden in Kapitel 3 erläutert. Daraufhin werden in Kapitel 4 Georg Cantors Untersuchungen rund um die Unendlichkeit vorgestellt und seine Ansichten über unsere Lebenswelt beleuchtet. In Kapitel 5 werden Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Denkern herausgestellt, bevor eine Antwort auf die Forschungsfrage dieser Master-Arbeit präsentiert wird, indem versucht wird, Kants Antinomien mithilfe von Cantors Erkenntnissen neu zu bearbeiten. Schlussendlich finden sich in Kapitel 6 eine kritische Reflektion der erarbeiteten Lösungsansätze und abschließende Bemerkungen.

2. Entwicklung des Unendlichkeitsbegriffs

Schon seit vielen Jahrhunderten wird das Unendliche von den Menschen untersucht und analysiert. Als Ausgangslage wird schon in der Antike überlegt, welche Prozesse zugrunde liegen und wie deren Endprodukte geartet sind, wenn man sehr große Summen vielfach aneinanderfügt. Auch Überlegungen über das Unendlich-Kleine finden immer wieder Eingang in die Art zu denken und in die frühe Literatur und den Diskurs aus der damaligen Zeit.

Dieses Kapitel widmet sich den geschichtlichen Zuständen vor und zu den Zeiten der beiden großen Denker Kant und Cantor. Es werden vorangegangene, wichtige Autoren und deren Schriften rund um das Thema Unendlichkeit vorgestellt, und es findet eine historische Eingliederung der gesellschaftlichen Zustände zu der jeweiligen Zeit von Kants und Cantors Wirken statt.

2.1. Unendlichkeitsbegriff im Wandel der Zeit

Im Folgenden werden zwei Denker vorgestellt, die vor Kants und Cantors Zeit schon wichtige Arbeiten zum Thema Unendlichkeit geliefert haben. Einige der hier erwähnten Aspekte sind nach heutigem Stand der Wissenschaft widerlegt, jedoch ist ein Berücksichtigen der historischen Entwicklung der diversen voneinander verschiedenen Unendlichkeitskonzepte essentiell und bedeutsam für die heutige Auffassung und das heutige Verständnis von Unendlichkeit.

Dieses Kapitel ist chronologisch geordnet, es wird begonnen mit einem Blick auf Aristoteles. Sein Verständnis von unendlichen mathematischen Prozessen wird in den Blick genommen. Konträr hierzu wird das Denken von Bernard Bolzano präsentiert, welcher wenige Jahre vor Georg Cantor lebt und wirkt.

Der Grieche Aristoteles gilt als einer der einflussreichsten Philosophen, Wissenschaftler und Logiker der Geschichte. Er wird im Jahre 384 v. Chr. in Stageira geboren und stirbt 322 v. Chr. in Chalkis. Eines seiner bekanntesten Werke ist die Physik, welche sich mit zentralen Naturvorgängen beschäftigt. Aristoteles sagt über diese Vorgänge aus, dass sie sowohl unmittelbar erfahrbar sein können, wie Raum und Bewegung, oder sich auch unserer direkten Erkenntnis entziehen können, hier nennt er als Beispiele die Ursache oder die Unendlichkeit.[1]

Die Frage, ob es das Unendliche überhaupt gibt, treibt Aristoteles ursprünglich an, seine Nachforschungen zu betreiben.[2] Für die Existenz des Unendlichen findet Aristoteles fünf Argumente, welche er in seinem Werk Physik niederschreibt. Eines dieser Argumente ist, dass man bei Zahlenreihen kein Ende dieser Reihe finden kann.[3] Als nächste Frage beschäftigt ihn, wie das Unendliche geartet ist. Nach Aristoteles gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, wie man sich die Unendlichkeit vorstellen kann.[4] Die eine Möglichkeit sei die aktuale Unendlichkeit und die andere Möglichkeit die potentielle Unendlichkeit.[5] Diese Art der Unterscheidung wird in historischer Hinsicht das erste Mal in Aristoteles‘ Werken vorgenommen. Er liefert dadurch einen bedeutenden Beitrag für eine, wie sich herausstellt, jahrhundertelang andauernde wissenschaftliche Auseinandersetzung.[6]

Hierzu stellt sich die Frage: Was ist der Unterschied zwischen aktualer Unendlichkeit und potentieller Unendlichkeit?

Diese Unterscheidung ist ein zentraler Aspekt der vorliegenden Master-Arbeit und wird in den folgenden Kapiteln immer wieder aufgegriffen. Eine erste allgemeine Unterscheidung lässt sich wie folgt treffen:

Die aktuale Unendlichkeit ist die Vorstellung eines Behältnisses oder eines Raums. Innerhalb dieses Behältnisses lassen sich sämtliche und unendlich viele Elemente jeglicher Art finden. Diese Menge ist von vornherein komplett und abgeschlossen. Autoren sprechen meist auch von dem Raum oder Behältnis schlechthin, denn außerhalb dieses Behältnisses ist nichts mehr zu finden. Dieser Menge werden unter anderem von Cantor später als Inhalt sämtliche Funktionen und Zahlen zugesprochen. Darüber hinaus lassen sich in ihr aber auch jegliche mathematischen Definitionen, Regeln und Sätze wieder finden.[7]

In der potentiellen Unendlichkeit stelle man sich eine Menge vor, bei welcher eine hypothetische Möglichkeit besteht, unendlich viele Objekte jeglicher Art zu der Menge hinzuzufügen. Für dieses Hinzufügen gelten gewisse Gesetzmäßigkeiten, beispielsweise kann das einfache Zählen natürlicher Zahlen herangezogen werden. Hiermit wird eine Menge wie {1, 2, 3, …} beschrieben, bei welcher stets 1 zum vorigen Element addiert wird. Zu dem potentiellen Unendlichen muss es immer ein Äußeres geben, welches das potentielle Unendliche umgibt oder beinhaltet.[8]

Aristoteles bevorzugt das Konzept der potentiellen Unendlichkeit ganz klar. Aus seinen Arbeiten geht hervor, dass er diese Art der Unendlichkeit als die einzig logisch vertretbare Art ansieht. Er lehnt die Vorstellung einer allumfassenden Menge, die jedes auch nur denkbare Element schon von Vornherein enthält, resolut ab.[9] Ihm zufolge darf man frei im Umgehen mit Reihen der natürlichen Zahlen handeln, jedoch soll man von einer Vorstellung einer Menge hiervon als abgeschlossenes Ganzes Abstand nehmen.[10] Das Unendliche in unserem zeitlichen und räumlichen Denken kann nur in einzelnen Teilen unseres Kosmos‘ zu finden sein, nicht im Ganzen, „denn das Unendliche kann kein Ganzes sein, da dies immer ein Begrenztes ist“[11]. Der Unendlichkeitsbegriff, mit dem Aristoteles lebt und arbeitet, bezieht sich also ausschließlich auf das Umgehen mit sinnlichen Dingen und Gegenständen; etwas Ganzes im unendlichen und abgeschlossenen Sinne gibt es für ihn nicht.[12]

Mehr als 2000 Jahre nach Aristoteles lebt Bernard Bolzano, welcher eine grundsätzlich verschiedene Position zur Unendlichkeit einnimmt.

Bolzano wird 1781 in Prag geboren und stirbt 1848 ebenda. Er ist Mathematiker, Theologe und Philosoph, und ist sehr bekannt für seine Entdeckung vieler wichtiger Sätze im Bereich der Analysis. Außerdem verfasst er die Paradoxien des Unendlichen. In diesem Buch befasst er sich mit seinen Vorstellungen über die Aktualunendlichkeit. Bolzano beschreibt in diesem Buch die Gestalt des Aktualunendlichen analog zu Aristoteles, Bolzano jedoch stimmt der Aktualunendlichkeit zu, stellt sich also konträr zu Aristoteles‘ Überzeugungen.

Bernard Bolzano gilt als einer der Wegbereiter von Cantors späterer Mengenlehre, denn er arbeitet schon mit einem Behältnis von Elementen, das bei ihm wie auch bei Cantor später Menge heißt.[13] Außerdem präsentiert Bolzano seinen eigenen Unendlichkeitsbegriff als einen mathematischen Begriff.[14] Seine Auslegung des Unendlichkeitsbegriffs fokussiert sich auf die Größe und die Mächtigkeit einer Menge, also bezieht er sich auf die Anzahl der Elemente in einer Menge, nicht nur auf die Zahlen an sich.[15] Bolzano erdenkt sich „eine Größe, größer als jede Anzahl der zur Einheit angenommenen, so nennt er sie unendlich groß[16]. Bolzano stellt sich außerdem gegen die Art, wie Hegel sich über die Unendlichkeit äußert. Hegel und andere Philosophen seiner Zeit betiteln Bolzano zufolge die mathematische Unendlichkeit „verächtlich [als] das schlechte Unendliche, und [wollen] noch ein viel höheres, das wahre, das qualitative Unendliche kennen, welches [die Philosophen] namentlich in Gott und überhaupt im Absoluten nur finden“[17].

Bolzano ist dagegen der Überzeugung, dass Philosophen und Mathematiker sich nicht nur auf das Konzept einer potentiellen Unendlichkeit versteifen sollten. Schon die Mathematik und damit die „Menge der Sätze und Wahrheiten an sich ist, wie sich sehr leicht einsehen läßt, unendlich“[18]. Bolzano zufolge ist diese Unendlichkeit aktual unendlich, da er der tatsächlichen mathematischen Unendlichkeit zuspricht, nicht mehr veränderlich, sondern schon komplett zu sein.[19]

Mit dem Ziel, eine Vorstellung der universalen Unendlichkeit zu geben, welche von Theologen und Philosophen nachvollzogen und akzeptiert werden kann, entwirft Bolzano eine Argumentationskette über das Göttliche. Wir müssen Gott „eine Erkenntniskraft beilegen, die wahre Allwissenheit ist, also eine unendliche Menge von Wahrheiten […] umfaßt“[20]. Dies sei dann schon das „absolute All, außer dem es nichts gibt“[21], außerdem ist es existent in Gott. Es kann dann als aktual unendlich bezeichnet werden.[22] Bolzano verbindet hier das Argument „des mathematischen aktualen Unendlichen mit der Voraussetzungen theologischer Art“[23].

Bolzano nimmt hiermit eine Haltung ein, die für seine Zeit unpopulär ist. Er widersetzt sich Theologen und Philosophen, die oft und zu großen Teilen noch immer nach den Ansichten von Aristoteles streben. Bolzano dagegen sieht die Aktualunendlichkeit als das einzig gültige Konzept von Unendlichkeit als gegeben an. Dies macht ihn zu einem der Wegbereiter von Georg Cantor.

2.2. Historischer Kontext bei Kant und Cantor

Im Folgenden soll nun eine Übersicht über die historische Epoche zu den Lebenszeiten von Kant und Cantor gegeben werden, in welcher ihre jeweilige politische und gesellschaftliche Situation dargestellt wird. Außerdem soll gesamtgesellschaftlich betrachtet werden, wie empfänglich die Mitmenschen von Cantor und Kant für wissenschaftliche Bestrebungen zu den jeweiligen Zeitpunkten sind.

Kants Lebenszeit erstreckt sich zum größten Teil auf das mittlere und späte 18. Jahrhundert. Dieses Jahrhundert ist geprägt von einer Veränderung der Gesellschaftsformen, von einer zunehmenden Anerkennung von wissenschaftlichen Erkenntnissen und einer wachsenden Skepsis der Menschen gegenüber Autoritätspersonen. Die unteren Gesellschaftsschichten in Deutschland, die zu dieser Zeit noch sehr stark mit der Landwirtschaft verbunden sind, beginnen, wissenschaftliche Erklärungen für „Phänomene und Entwicklungen in der Natur“[24] zu akzeptieren. In Folge dieser Entwicklung beginnen die Menschen erstmals, zunehmende Zweifel an der Unantastbarkeit von Königen und Herrschern zu entwickeln.[25]

Im 18. Jahrhundert werden, im direkten Vergleich zu den Jahrhunderten zuvor und danach, nicht viele weltbildverändernde wissenschaftliche Erkenntnisse errungen; es gibt in den Naturwissenschaften keine großen Namen wie Kopernikus oder Newton, die die Lebenssituation der Menschen von Grund auf verändern.[26] Stattdessen verbreiten sich jedoch eine wissenschaftliche Herangehensweise und das analytische Vorgehen im Denken der Menschen, und zwar explizit in allen gesellschaftlichen Schichten.[27]

Die Menschen haben ein Verlangen nach mehr Selbstbestimmung und Befähigung, ebenso nach Bildung im Allgemeinen. In dieser Zeit verankern sich auch die Moral und das Gewissen stärker und intensiver im bewussten Geiste der Menschen.[28]

Dieser Umbruch im Bewusstsein des Menschen begünstigt auch Kants Arbeiten. Seine Bemühungen im Geiste der Aufklärung wirken sich charakteristisch auf die Epoche aus. Sein Ziel ist, dass der Mensch sich aus der eigenverantwortlichen Unmündigkeit heraus arbeitet, indem er sich seines Verstandes bedient.[29]

Die gesellschaftlichen Zustände zur Lebenszeit von Georg Cantor sind anders gelagert. Cantor lebt und wirkt im späten 19. und im sehr frühen 20. Jahrhundert. Die Wirtschaft in Deutschland befindet sich im Aufschwung durch die Auswirkungen der Industrialisierung. Der Urbanisierungstrend nimmt rasant zu, es wohnen mehr Menschen in Städten.[30] Die Lebensräume der Menschen werden in dieser Zeit trennschärfer definiert als in vergangenen Zeiten: Der Wohnraum des Menschen liegt durch die urbane Veränderung meist getrennt vom Arbeitsplatz. Hierdurch bilden sich völlig neue Konzepte wie Freizeit heraus, was dazu führt, dass Menschen sich auch mit Interessensgebieten, die nicht direkt an ihre Arbeits- oder Wohnsituation angekoppelt sind, beschäftigten, wie beispielsweise Wissenschaft, Politik und Geschichte.[31]

Massenmedien in Form von Zeitungen und Broschüren nehmen Einzug in den Alltag der Menschen.[32] Hierdurch bilden sich viele Menschen schneller und niederschwelliger als zuvor fort, außerdem rücken politische und gesellschaftliche Vorgänge noch stärker in das Bewusstsein des Menschen.[33] Erstmals gelingt es auch jungen Menschen aus unteren sozialen Schichten, Zugang zu den Universitäten zu erhalten.[34]

Die Wissenschaftsgläubigkeit und auch der Respekt und die Akzeptanz für wissenschaftliche Erkenntnisse in der Bevölkerung nehmen stetig weiter zu.[35] Doch auch der Einfluss der Kirche erlebt in dieser zeitlichen Epoche einen mächtigen Aufschwung, freies Denken und freier Glaube werden in dieser Zeit stark von der katholischen Kirche unterdrückt und geächtet.[36] Zum Ende des 19. Jahrhunderts lässt die katholische Kirche in Deutschland verlauten, dass Fortschritt, Liberalismus und wissenschaftliches Streben verwerfliche Irrtümer seien.[37] Die Gesellschaft findet sich somit in einer komplizierten Stellung wieder. Einerseits möchten die Menschen sich ihres Verstandes und wissenschaftlichem Fortschritt bedienen, andererseits setzt die staatsnahe Kirche alles daran, die Macht bei sich zu bewahren.[38]

Georg Cantor ist selbst ein gläubiger Mann, der der Kirche demütig gegenübersteht. Er achtet bei seinen wissenschaftlichen Untersuchungen stark darauf, den christlichen Glauben nicht zu verletzten; mehr noch ist es ihm ein Anliegen, den Glauben mit seinen Arbeiten zu vertreten und ihn zu unterstreichen.

3. Unendlichkeit und die Antinomien bei Kant

Immanuel Kant wird am 22. April 1724 in Königsberg in Preußen geboren und stirbt am 12. Februar 1804 ebenda. Er ist einer der bedeutendsten Philosophen Europas und eine der wichtigsten Figuren in der Epoche der Aufklärung.

Er beschäftigt sich in seiner Schaffensperiode mit sehr vielfältigen Themen aus unterschiedlichen Disziplinen der Philosophie, so beschäftigt er sich unter anderem mit der Erkenntnistheorie, Ethik, Ästhetik und Religion, aber auch mit Astronomie, Recht, Geschichte und Naturwissenschaften.

Im Folgenden werden Kants Ansichten über die mathematische Unendlichkeit und ihre Bedeutung für den Menschen erläutert. Daraufhin werden seine vier Antinomien dargelegt und Kants Beweisführungen hierzu beleuchtet. Abschließend werden seine Erkenntnisse über Raum und Zeit analysiert.

3.1. Mathematische Unendlichkeit

Das Thema Unendlichkeit der Welt, der Mathematik und von Zeit und Raum beschäftigt Immanuel Kant stark, und in seinen Werken und besonders in seiner Kritik der reinen Vernunft präsentiert er seinen Lesern hierzu seine Ideen. Kants Gedanken über die Unendlichkeit entspringen oft beim Zählen. Auch bei Aristoteles findet sich diese Herangehensweise, Kant greift sie auf und beschreibt die Prozesse beim Zählen sehr ausführlich. Das Zählen bei Kant ist das „allmähliche Hinzufügen des einen zu dem anderen innerhalb einer gegebenen Zeit“[39]. Erreicht man stets höhere Zahlen, so befindet man sich nach einer Zeit in einer gewissen Größe. Irgendwann wird diese Größe so enorm, dass unsere Sinneskräfte sie nicht weiter veranschaulichen können. Diese Größe wird dann laut Kant zu einer Vorstellung.

Die Zahl selbst darf hierbei nur als Konzept für sich gesehen werden, die Zahl muss außerdem unabhängig von der Zeit betrachtet werden. Nur das Zählen findet in der Zeit statt. Fährt man mit dem Zählen stets weiter fort, so erreicht man nach und nach unendliche Größen.

Kant spricht von einem Widerspruch, der auftritt, sobald man versucht über das Unendliche zu sprechen. Diesen Widerspruch greift er in seiner Schrift De mundi senibilis auf. Er spricht davon, dass das Unendliche oft automatisch gleichgesetzt wird mit einem Maximum. Dies geschehe, wenn man als Vereinfachung annimmt, dass das Unendliche etwas sei, worüber hinaus nichts noch Größeres existieren kann. Diese Art der Veranschaulichung widerspricht jedoch der Annahme, dass man eine größte Menge aber unmöglich erreichen kann. Kant löst diese Situation auf, indem er erläutert, dass das Unendliche vielmehr als das Verhältnis zu Dingen der Betrachtung gesehen werden muss, also zum Beispiel zu Zahlen.[40]

Eine maximale und unendlich große Zahl lässt sich niemals erreichen, so sagt es Kant, denn wenn man das Verhältnis dieser Unendlichkeit betrachtet, so bleibt das Verhältnis zu anderen unendlich großen Zahlen immerzu gleich. Auch sagt er:

„Der wahre (transzendentale) Begriff der Unendlichkeit ist: daß die sukzessive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantum niemals vollendet sein kann“[41]. Kant verwendet die Ausdrücke sukzessiv unendlich und potentiell unendlich[42] scheinbar gleichbedeutend, und spricht hierbei von einer Reihe oder einem Regressus, der vom Menschen gedanklich verfolgt und potentiell gesehen unendlich weit fortgeführt werden kann.[43]

Diese Erkenntnisleistung unterliegt der Bedingung, dass eine Teilung des Ganzen jederzeit möglich ist und durch die vielen möglichen Teilungen eine unendlich große Zahl weiterer Teile entstehen könnte.[44]

Kant widmet sich außerdem dem Problem, die potentielle von der aktualen Unendlichkeit zu trennen. Aktuale Unendlichkeit wird oft als Voraussetzung für die potentielle Unendlichkeit gesehen, laut Kant ist es aber möglich, beide voneinander zu differenzieren: „Nur wenn man annimmt, daß die Teile des Realen im Raum erst durch Erkenntnisleistungen konstituiert werden, kann die potentielle Unendlichkeit ohne Voraussetzung der aktualen gedacht werden“[45].

Kant geht davon aus, dass die Aktualunendlichkeit nicht logisch unmöglich ist.[46] Es sind dem Menschen in Bezug auf die Aktualunendlichkeit lediglich unüberbrückbare Schwierigkeiten in den Weg gelegt: So sei es einem Menschen möglich, die Zahl 2 zu konstruieren, beispielsweise durch Addition von 1 mit 1.[47] Die beiden Summanden können wir erfassen und sie uns bildlich vorstellen. In einem nächsten Schritt können wir auch eine Zahl wie konstruieren.[48] Hier können wir die einzelnen Bestandteile nicht mehr leicht erfassen, dennoch ist es uns möglich, die Zahl zu konstruieren. Das Aktualunendliche ist nun laut Kant dadurch charakterisiert, dass der Mensch diejenigen Objekte, welche „aktualunendliche Komplexe oder Mengen“[49] sind, weder erfassen noch konstruieren kann.[50] Die Aktualunendlichkeit als Konzept, das Unendliche zu veranschaulichen, sei deswegen für Kant nicht gültig oder wünschenswert. Stattdessen soll der Mensch sich die Unendlichkeit potentiell vorstellen.

3.2. Kants Antinomien

Immanuel Kant ist unter anderem sehr bekannt für die von ihm aufgestellten vier Antinomien. Diese Antinomien beschreiben von Kant kreierte gedankliche Widerspruchssituationen, innerhalb welcher sich der Mensch auf Grundlage seiner Lebens- und Gedankenwelt bewegt. Die Widerspruchssituationen stellt Kant dar, indem er zwei widersprüchliche Thesen jeweils einander gegenüberstellt und sie nacheinander beweist.

Die erste Antinomie befasst sich mit den entgegengesetzten Möglichkeiten von existenten Grenzen in Raum und Zeit beziehungsweise der Grenzenlosigkeit von Raum und Zeit. Die erste Thesis lautet: „Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raum nach auch in Grenzen eingeschlossen“[51]. Die Antithesis hierzu ist entsprechend: „Die Welt hat keinen Anfang, und keine Grenzen im Raume, sondern ist, sowohl in Ansehung der Zeit, als des Raums, unendlich“[52].

Kant gibt für beide Thesen eine jeweilige Beweisführung an.

So argumentiert er für die erste Thesis der ersten Antinomie, dass in der sukzessiven Synthesis von Zuständen niemals eine unendlich große Zeitspanne bereits verflossen sein kann. Dies müsste jedoch der Fall sein, wenn die Zeit keinen Anfang hat. Hieraus folgert er, dass die Zeit einen Anfang haben muss, darüber hinaus ist ein Anfang der Welt eine notwendige Bedingung ihres Daseins.[53] Die Eingeschlossenheit des Raumes in Grenzen belegt Kant mithilfe eines Widerspruchbeweises, indem er annimmt, der Raum wäre unendlich. Hier stößt er auf einen Widerspruch, denn im unendlich gegebenen Raum müsste dann eine endliche Abfolge zeitlicher Zustände eingebettet sein, denn die Endlichkeit der Zeit hat Kant im ersten Schritt schon bewiesen.[54] So ergibt sich ein Raum, welcher in Grenzen eingeschlossen ist, als einzige Möglichkeit.

Die erste Antithesis beweist Kant ebenfalls. Er nimmt zuerst an, die Zeit hätte einen Anfang. Dann müsste es vor dem Anfang der Zeit eine leere Zeit geben.[55] Nun kann aber aus etwas Zeitleerem nichts anderes entstehen, insbesondere kein Zeitanfang, und somit auch keine anderen Dinge oder die Welt. Also muss die Zeit anfangslos sein.[56] Auch bei der Welt müsste, wenn sie keinen Anfang im Raum hätte, eine Grenze existieren. Hinter diesen Grenzen befände sich der leere Raum. Die Welt steht im Verhältnis zu diesem leeren Raum nun genauso, wie sie zu keinem Raum stehen würde. Die Verhältnismäßigkeit verschwindet. Die Welt kann also keinen Anfang im Raum haben.

Die zweite Antinomie von Kant beschäftigt sich mit Zusammensetzungen von Dingen in der Welt.

Die Thesis hierzu lautet: „Eine jede zusammengesetzte Substanz in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existieret überall nichts als das Einfache, oder das, was aus diesem zusammengesetzt ist“[57]. Entsprechend ist die Antithesis: „Kein zusammengesetztes Ding in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts Einfaches in derselben“[58].

Der Beweis für die Thesis lässt sich wie folgt zusammenfassen: Wäre Zusammengesetztes nicht aus einfachen Teilen zusammengesetzt, so würde kein zusammengesetzter Teil und ebenfalls kein einfacher Teil mehr existieren, sofern man gedanklich alle Zusammensetzung aufhebt.[59] Folglich bleibt keine Substanz übrig. Demzufolge muss etwas anderes der Wirklichkeit entsprechen: es muss nach Aufhebung aller Zusammensetzungen das Einfache übrigbleiben, aus welchem sich Dinge zusammensetzen.

Der Beweis der Antithesis lautet: Würden zusammengesetzte Dinge aus einfachen Teilen bestehen, so müsste jedes von diesen Teilen seinen eigenen Raum füllen.[60] Alle realen Dinge, die sich im Raum befinden, schließen gleichzeitig Mannigfaltiges mit ein. Hieraus würde folgen, dass alles Einfache substantiell Zusammengesetztes ist, welches im Widerspruch zur Antithesis steht. Demzufolge können Dinge nicht aus einfachen Teilen zusammengesetzt sein.

Kants dritte Antinomie ist auch bekannt als die sogenannte Freiheits-Antinomie.

Die Thesis besagt: „Die Kausalität nach Gesetzen der Natur ist nicht die einzige, aus welcher die Erscheinungen der Welt insgesamt abgeleitet werden können. Es ist noch eine Kausalität durch Freiheit zu Erklärung derselben anzunehmen notwendig“[61]. Die Antithesis hierzu lautet: „Es ist keine Freiheit, sondern alles in der Welt geschieht lediglich nach Gesetzen der Natur“[62].

Die Beweisführung der Thesis für eine Freiheit führt Kant über eine Art Kette von Kausalitäten. Würde keine Freiheit der Dinge existieren, so müsste alles auf einen vorherigen Zustand zurückzuführen sein.[63] In der Natur geschehen Dinge folglich nie ohne einen ersten Anfang, sondern sie werden immer von anderen Dingen herbeigeführt.[64] Hier stößt Kant auf einen Widerspruch, denn der Satz über die Naturgesetzlichkeit mit einer unbeschränkten Allgemeingültigkeit beinhaltet, dass die Kausalreihe vollständig mit einem Anfang aller Dinge vorhanden sein müsste.[65] Dies trifft allerdings nicht zu. Demzufolge muss eine „ absolute Spontaneität der Ursachen“[66] existieren, innerhalb welcher Erscheinungen von selbst anfangen können.

Der Beweis der Antithesis lässt sich folgendermaßen zusammenfassen: Wenn es eine Freiheit gibt, so würde nicht bloß eine Reihe spontan beginnen, auch die gesamte Kausalität würde anfangen.[67] Dadurch kann nichts vor dem Beginn der Kausalität passiert sein. Jedoch folgt aus der Existenz eines ersten Anfanges, dass ein Zustand vorausgegangen sein muss, welcher sich durch eine noch nicht handelnde Ursache kennzeichnet.[68] Der Zustand im Anfang und der Zustand vor dem Anfang stehen zueinander in keinem gesetzlichen Zusammenhang. Was jedoch nicht zueinander in einem gesetzlichen Zusammenhang steht, kann auch nicht erkannt werden, es wird deswegen zu einem leeren Gedankending.[69] Folglich kann es keine wahre Freiheit geben.

Die vierte und letzte Antinomie behandelt die Themen Ursache und schlechthin notwendiges Wesen.

Die Thesis sagt aus: „Zu der Welt gehört etwas, das, entweder als ihr Teil, oder ihre Ursache, ein schlechthin notwendiges Wesen ist“[70]. Die Antithesis besagt: „Es existiert überall kein schlechthinnotwendiges Wesen, weder in der Welt, noch außer der Welt, als ihre Ursache“[71].

Die Thesis beweist Kant mit Bedingungen. Er sagt, in unserer Welt gibt es viele Veränderungen. Diese beruhen jeweils auf einer Bedingung, welche notwendig für die entsprechende Veränderung ist. Hierdurch entsteht wiederum eine Reihe von Bedingungen. Diese Reihe setzt nun aus Gründen der Vollständigkeit voraus, dass ein schlechthin Unbedingtes notwendigerweise existieren muss.[72] Dieses Unbedingte gehört wiederum zwingend zu unserer Sinnenwelt, denn alle Veränderungen geschehen in einem äußeren Rahmen der Zeit und können nicht unabhängig von der Zeit gedacht werden.[73]

Auch für die Antithesis gibt Kant wieder einen Beweisgang vor. Er legt dar, dass es einen Anfang in der Welt geben müsste, wenn es ein notwendiges Wesen gibt.[74] Dieser Anfang besitzt als unbedingte Notwendigkeit keine Ursache. Jedoch ist es nach den Gesetzen der Natur unmöglich, dass ein Geschehnis ohne Ursache existiert.

Kant beantwortet die Fragen nach Raum, Zeit, Teilung, Freiheit und Ursache also vorerst sowohl positiv als auch negativ. Aus diesen Widersprüchen folgt laut Kant, „dass Raum, Zeit, Substanz- und Ursächlichkeitsverhältnisse nicht wirklich existieren“[75]. Sie sind nur Erscheinungen, die „außer[halb] unseren Vorstellungen nichts sind“[76].

Für die wirkliche Welt kann man die vier Antinomien und die substantiellen Fragen dahinter nicht beantworten, darüber hinaus sei es sinnlos, diese Fragen zu stellen.[77] Kant fährt nun fort, indem er die Fragen „erneut bezüglich der Welt der sinnlichen Erscheinungen stell[t]“[78]. Nun kann er die Fragen ausdrücklich in Bezug auf die sinnlichen Erscheinungen beantworten, und zwar alle durchweg negativ: „In der Welt der sinnlichen Erscheinungen haben Raum und Zeit keine Grenze, ist die Dekomposition der Substanz nicht vollendbar, kann es eine frei wirkende Ursache nicht geben, und ist ein notwendiges Wesen nicht anzutreffen“[79].

Kant drückt aus, dass seine Antinomien und die damit verbundene, tiefgreifende dialektische Vorgehensweise ihren Ursprung darin finden, dass die absolute Totalität stets in Zusammenhang mit der Reihe der Bedingungen, die für die Welt gelten müssen, gedacht werden muss.[80] Diese Reihe der Bedingungen jedoch kann „niemals schlechthin als ganz, weder als endlich noch als unendlich gegeben“[81] sein.

Kant lässt seine Leser also mit Antworten zurück, die stets von der Art der Betrachtung abhängig sind. Eine endgültig wahre Antwort über die Unendlichkeit von Raum und Zeit und über die anderen Inhalte der Antinomien vermag der Mensch nicht zu finden.

3.3. Zeit und Raum bei Kant

Bezüglich Zeit und Raum äußert sich Immanuel Kant in vertiefender Hinsicht in weiteren seiner Arbeiten. So behauptet er, der mögliche Anfang des Universums und der Welt liege zwar in der Zeit selbst, jedoch sei die für den Menschen einzige Möglichkeit, die Zeit wahrzunehmen, an seine sinnliche Wahrnehmung geknüpft. Die Welt erscheint somit begrenzt, und da der Mensch bereits von vornherein nur über eingeschränkte Mittel der Wahrnehmung von räumlichen und zeitlichen Dingen verfüge, könne er auch keinerlei Aussagen über die Beschaffenheit der Welt treffen. Beispielsweise in der Prolegomena äußert sich Kant so:

„Wenn ich nun nach der Weltgröße dem Raume und der Zeit nach frage, so ist es für alle meine Begriffe eben so unmöglich zu sagen, sie sei unendlich, als sie sei endlich. Denn keines von beiden kann in der Erfahrung enthalten sein, weil weder von einem unendlichen Raume oder unendlicher verflossener Zeit, noch der Begrenzung der Welt durch einen leeren Raum oder eine vorhergehende leere Zeit Erfahrung möglich ist; das sind nur Ideen.“[82]

Der Mensch muss sich damit abfinden, der Welt und dem Universum weder eine Unendlichkeit noch eine Endlichkeit zusprechen zu können.[83] Dennoch weist Kant mit Bestimmtheit darauf hin, dass es nur einen Raum und eine Zeit geben kann.[84] Verschiedene Zeiten und Räume, von denen der Mensch sprechen könnte, seien stets nur Teile einer einzigen Zeit und eines einzigen Raumes.[85] Zeit und Raum sind für Kant stets eine „reine Form der sinnlichen Anschauung“[86]. Kant verwendet das Wort Welt in zwei unterschiedlichen Kontexten. Einerseits meint er hiermit das „absolute All“[87] von Erscheinungen. In einem engeren Sinne verwendet er Welt, wenn er von einem mathematischen Ganzen von Erscheinungen spricht.[88]

Kant unterscheidet weiterhin zwischen einer empirischen Realität und einer transzendentalen Idealität.[89] Der Mensch verfügt zwar über die Begriffe Raum und Zeit „als Formen der Erscheinungen in jeder Erfahrung“[90], jedoch ist der Mensch gleichzeitig auch beschränkt: „Wir können demnach nur aus dem Standpunkte eines Menschen vom Raum, von ausgedehnten Wesen usw. reden“[91]. Raum und Zeit als unabhängige Objekte vermag der Mensch nicht wahrzunehmen, sie existieren nur abhängig von der Perspektive des Menschen als Form seiner eigenen Erfahrung.[92] Die Dinge, die wir wahrnehmen, sind jedoch gleichzeitig immer untereinander in gewisser Weise verknüpft. Diese Verknüpfungen und Verbindungen eröffnen „einen Weg ins Unendliche"[93].

Ein mathematisch Größtes kann es, so sagt Kant wie zuvor schon gesehen, jedoch nicht geben, und es lässt sich keine endgültige und wahre Aussage darüber treffen, ob unserer Welt eine mögliche Endlichkeit oder eine mögliche Unendlichkeit zugeteilt werden müsse. Kant sieht die Welt der Zeit und dem Raume nach als potentiell unendlich, denn er sagt, sie sei prinzipiell offen.[94] Ebenfalls spricht er ihr eine Abzählbarkeit im strengmathematischen Sinne zu, welches ein Mittel in der Mathematik ist, die Form einer unendlich großen Menge herauszufinden.[95] Dies lässt sich, wie in den Erläuterungen zu seinen Antinomien gesehen, nicht belegen, aber Kant betont auch, dass er lediglich die Möglichkeit einräumt, dass Raum und Zeit derart geschaffen sind.[96]

Kant weist in seinem Denken Parallelen zu Aristoteles auf, denn seine Unterscheidung zwischen aktualer und potentieller Unendlichkeit trifft Kant in einer ähnlichen Form, wie Aristoteles dies getan hat.[97] Auch sprechen sich beide für eine Existenz und prominente Richtigkeit der potentiellen Unendlichkeit aus.[98] Kant betrachtet die aktuale Unendlichkeit jedoch nicht in ähnlicher Ausprägung negativ wie Aristoteles, im Gegenteil sagt Kant sogar, dass die aktuale Unendlichkeit als notwendige Bedingung für eine potentielle Unendlichkeit existieren muss: „diese potentiale Unendlichkeit […] setzt jene actuelle […] Unendlichkeit voraus und ist nur unter dieser Voraussetzung möglich“[99]. Dennoch muss Kant zufolge das Konzept der potentiellen Unendlichkeit dasjenige Konzept sein, welches dem Menschen die Gestalt des Unendlichen beschreibt.[100]

In einer späteren Reflexion bezogen auf seine Antinomien drückt sich Kant mithilfe eines transzendentalen Unendlichkeitsbegriffs neu über das in den Antinomien beschriebene Teilungsproblem aus.[101] So sagt Kant in der Reflexion, die Unendlichkeit sei eine absolute Unmöglichkeit einer vollständigen Synthesis „der composition oder decomposition eines Gegebenen Gegenstandes“[102]. Sowohl die Erscheinung des Gegenstandes wie auch die Teilung dieser Erscheinung gehen ins Unendliche.[103] Unendlichkeit beziehe sich stets zugleich auf dynamische Synthesis wie auch die mathematische Synthesis.[104] Die Vernunft des Menschen fordere von ihm, sich unabhängig von seinen Sinnen mit Erkenntnissen zu beschäftigen und diese Unabhängigkeit stets zu bewahren, obgleich eine Bestimmung von Begriffen nur ein sinnlicher Prozess sein kann.[105]

Die Frage, ob das Reale aus einfachem besteht oder nicht, kann nach Kant ohne weitere geistige Anstrengung nicht zu einer Antwort führen.[106] Die Frage kann nur beantwortet werden, wenn man beachtet, dass die Eigenschaften des Realen, welches man hinterfragen möchte, von den Bedingungen des individuellen Erkenntnisvermögens eines jeden Menschen abhängen.[107] Falsch und nicht zielführend sei es, lediglich die Eigenschaften des Realen an sich zu untersuchen und zu hinterfragen, da unser persönliches Erkenntnisvermögen die Art und Weise, wie der Mensch Dinge wahrnimmt, bedingt und beeinflusst und dadurch mögliche Ergebnisse verfälschen könnte.

Kant drückt damit aus, dass das Subjekt erst durch seine gedankliche Anstrengung, das sich ihm darbietende in leichter zu erfassende Teile zu teilen, die Teile des Realen erschafft, denn sie sind abhängig von der Erkenntnisleitung des wahrnehmenden Subjektes.[108] Es ist hierbei unerheblich, dass die Materie unabhängig von den Erkenntnisbemühungen des Menschen existiert, denn erst durch die subjektiven Erkenntnisbemühungen wird ein Bezug zu der Lebenswirklichkeit des Menschen hergestellt.[109]

Zusammenfassend lässt sich festhalten: Die Welt bei Kant wird als „ ein offenes Ganzes[110] beschrieben, und „sie ist die nie erreichte Totalität einer immer weiter getriebenen, aber letzten Endes doch unvollendet bleibenden Synthesis“[111]. Sie kann vom Menschen weder als endlich noch als unendlich erkannt oder betrachtet werden.[112] Die Welt ist eine Ansammlung von Erscheinungen, welche auf den Menschen einwirken, jedoch sind diese Erscheinungen außerhalb unserer Vorstellungen nichts. Die Erscheinungen führen den Menschen nicht zu einer Wahrheit oder zu Erkenntnissen von realen Dingen. Die Unendlichkeit, so sagt Kant, ist lediglich eine Idee, und eine Reihe, die nicht vollendet werden kann.[113] Dem Menschen ist es unmöglich, die Totalität dieser Reihe zu erfassen.

4. Unendlichkeit bei Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor wird am 3. März 1845 in Sankt Petersburg geboren und stirbt am 6. Januar 1918 in Halle an der Saale. Er gehört zu den bedeutendsten Mathematikern der späten Neuzeit und der frühen Moderne. Zu seinen Errungenschaften gehören die Entwicklung der Mengenlehre und grundlegende Feststellungen über die Unendlichkeit.

In den folgenden Abschnitten soll seine Konstruktion einer neuen Art der Unendlichkeit aufgezeigt werden. Dazu wird zunächst die Ausgangsposition beleuchtet, in welcher sich Cantor mit seinen Ansichten über die Unendlichkeit und die Mathematik befindet. Währenddessen wird auf die Unterscheidung zwischen potentiellem und aktualem Unendlichen eingegangen, und Cantors Position zu beiden wird herausgestellt. Daraufhin werden seine Vorstellungen und Auffassungen von Göttlichkeit erläutert, und seine Ansichten von der Position des Menschen im Weltgefüge werden dargelegt.

4.1. Cantors Herleitung einer aktualen Unendlichkeit

Als mögliche Auffassung Cantors über das Aktualunendliche und als seine Grundanschauung diesbezüglich lässt sich mit den Worten von László Tengelyi Folgendes sagen: Was Cantor als das Aktualunendliche sieht, „gleicht mehr einem Sack, der Kartoffeln enthält, als etwa einem Wald, der aus Bäumen besteht[114]. Was hiermit gemeint ist, soll in diesem Kapitel genauer beleuchtet werden.

Einer der wichtigsten Schritte in der Diskussion über eine mögliche aktuale und potentielle Unendlichkeit geschieht dadurch, dass Cantor den mathematischen Beweis für die sogenannte Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen liefert. Dieser Beweis ist schon zu Cantors Zeit und darüber hinaus auch in der heutigen Zeit von großer Bedeutung in unterschiedlichen Disziplinen. Vordergründig gilt dies natürlich für die Mathematik, aber auch philosophisch ist die Erkenntnis von Cantor entscheidend.

Cantor muss als Voraussetzung annehmen, dass bestimmte Zahlen existieren, denen man nicht „alle Eigenschaften der endlichen Zahlen zumuten oder vielmehr aufdrängen“[115] kann. Viele Autoren begehen laut Cantor dadurch, dass sie den besonderen Charakter von unendlich großen Zahlen nicht berücksichtigen, existenzielle Fehler innerhalb der Diskussion um die Unendlichkeit.[116]

Der zweite entscheidende Schritt in Cantors Weg zur Aktualunendlichkeit geschieht durch seinen Beweis der transfiniten Zahlen.

Die mathematische Öffentlichkeit wird sich zum Teil erst wieder durch Cantors Arbeiten bewusst, dass unterschiedliche Formen von Unendlichkeiten existieren.[117] Eine dieser Formen, die potentielle Unendlichkeit, wird von Cantor als eine „unechte Unendlichkeit“[118] oder als ein „Uneigentlich-unendliches“[119] bezeichnet.

In der potentiellen Unendlichkeit taucht „eine unbestimmte, variable endliche Größe auf[...], die entweder über alle endlichen Grenzen wächst oder kleiner als jede beliebige Grenze werden kann“[120]. Als Beispiel wird häufig die Menge der natürlichen Zahlen herangezogen, denn diese ist für jedermann, der zählen kann, leicht nachvollziehbar und überschaubar. Aristoteles argumentiert seinerzeit, dass man mit Zählen niemals zu einem Ende gelangt, denn alle natürlichen Zahlen n haben stets immer einen Nachfolger n + 1. Diese Gesetzmäßigkeiten sind bekannt, man gelangt weiter und weiter in unendliche und für den Menschen unfassbar gewaltige Größen.

Doch warum ist die potentielle Unendlichkeit für Cantor nun uneigentlich ?

Cantor möchte der Mathematik den Raum zusprechen, den sie in seinen Augen tatsächlich haben sollte. Er weist deswegen als erster Mathematiker nach, dass es die sogenannten transfiniten Zahlen gibt.[121] Dies ist eine Gruppe von Zahlen, welche man nicht in einfachen, aufeinanderfolgenden Algorithmen erschließen kann, sondern nur durch spezielle Betrachtungen von unendlich großen Mengen und ihren Verhältnissen untereinander. Die transfiniten Zahlen spielen dennoch eine wichtige Rolle in vielen mathematischen Bereichen, denn sie bezeichnen eine Gruppe von Zahlen, die größer sind als jede endliche Zahl.

Der Nachweis dieser Menge von Zahlen bedeutet für Cantor, dass das Konzept des potentiellen Unendlichen nicht ausreichend ist. Seiner Meinung nach ist ein Umdenken dringend erforderlich, da Zahlen existieren, die man nicht konstruieren kann, obgleich sie eine bedeutende Rolle in der höheren Mathematik spielen.[122]

Im Konstruktivismus wird beispielsweise davon ausgegangen, dass jegliche Elemente der Mathematik mithilfe von endlich vielen Konstruktions- oder Operationsschritten herstellbar sein müssen. Mengen existieren demnach nur dann, sofern jedes Element dieser Menge durch eine bestimmte Anzahl abgeschlossener Algorithmen erzeugt werden kann. Die Menge der natürlichen Zahlen beispielsweise ist bis zu einem gewissen Grad konstruierbar, hier addiert man so oft Zahlen miteinander, bis das gewünschte Element erreicht ist. Cantor besagt nun aber, dass auch Gruppen von Zahlen existieren, die man nicht mit einer endlichen Folge von Konstruktionsschritten erzeugen kann. Er muss sich deswegen die Frage stellen, in welcher Art des Unendlichen sich diese Zahlen befinden müssen. Die direkte Folge von diesen Überlegungen ist, dass Cantor sich gegen die Überzeugung von Konstruktivisten stellen muss, indem er das Konzept der Aktualunendlichkeit bevorzugt.[123]

Cantor belegt diese unter anderem wie folgt: „Da es unmöglich ist, die natürlichen Phänomene vollständig zu erklären, ohne die Existenz des Transfiniten in natura naturata [124] anzunehmen, existiert das Transfinite“[125]. Und weiter: „Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen geblieben sein) gegen das geschöpfliche A. U. [Aktualunendliche] beweisen nichts, weil sie sich nicht auf die richtige Definition des Transfiniten beziehen.“[126]

In seinen Arbeiten über transfinite Zahlen wird die Tatsache erläutert, dass diese Zahlen immer noch manchen der regulären Grundrechengesetze folgen. Hieraus folgert er, dass eine Größe vorhanden ist, die „in allen ihren Teilen bestimmt und eine Konstante ist und die zugleich jede endliche Größe desselben Typs überschreitet”[127]. Unter dieser Größe versteht Cantor die aktuale Unendlichkeit, diese sei „das mathematische Unendliche“[128].

[...]


[1] Vgl. Engelhard, Kristina: Das Einfache und die Materie. Berlin: Walter de Gruyter 2005, S. 360.

[2] Vgl. Engelhard, 2005, S. 360.

[3] Vgl. Aristoteles: Physik III. Leipzig: Johann Ambrosius Barth Verlag 1829, S. 61ff.

[4] Vgl. Engelhard, 2005, S. 360.

[5] Vgl. Engelhard, 2005, S. 360.

[6] Vgl. Bedürftig, Thomas und Roman Murawski: Philosophie der Mathematik. Berlin/Boston: Walter de Gruyter 2010, S. 39.

[7] Anmerkung: In der aktualen Unendlichkeit lassen sich neben Objekten aus der Mathematik auch sämtliche Elemente aus anderen wissenschaftlichen Disziplinen finden. Jener Umstand wird zur besseren Lesbarkeit dieser Arbeit von dieser Stelle an stets impliziert, jedoch nicht immer ausdrücklich erwähnt.

[8] Vgl. Engelhard, 2005, S. 360.

[9] Vgl. Dieter, Theodor: Der junge Luther und Aristoteles – eine historisch-systematische Untersuchung zum Verhältnis von Theologie und Philosophie. Berlin/New York: de Gruyter 2001, S. 606.

[10] Vgl. Bedürftig, 2010, S. 39.

[11] Engelhard, 2005, S. 360.

[12] Vgl. Dieter, 2001, S. 260.

[13] Bolzano, Bernard: Paradoxien des Unendlichen. 2. Auflage, neu herausgegeben von Bob van Rootselaar. Hamburg: Felix Meiner Verlag 1975, S. 7f.

[14] Bolzano, 1975, S. 7f.

[15] Bolzano, 1975, S. 7f.

[16] Bolzano, 1975, S. 7.

[17] Bolzano, 1975, S. 7.

[18] Bolzano, 1975, S. 13.

[19] Vgl. Bedürftig, 2010, S. 67.

[20] Bolzano, 1975, S. 8.

[21] Bolzano, 1975, S. 8.

[22] Bedürftig, 2010, S. 66.

[23] Bedürftig, 2010, S. 66.

[24] Jaeger, Lars: Die Naturwissenschaften: Eine Biographie. Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag 2015, S. 111.

[25] Vgl. Jaeger, 2015, S. 112.

[26] Vgl. Jaeger, 2015, S. 112.

[27] Vgl. Schupp, Franz: Geschichte der Philosophie im Überblick. Band 3. Neuzeit. Hamburg: Felix Meiner Verlag 2003, S. 214.

[28] Brandt, Peter: An der Schwelle zur Moderne: Deutschland um 1800. Bonn: Forschungsinstitut der Friedrich-Ebert-Stiftung 1999, S. 14f.

[29] Vgl. Kant, Immanuel: Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung? In: Berlinische Monatsschrift, 1784, H. 12, S. 481.

[30] Vgl. Wehler, Hans-Ulrich: Deutsche Gesellschaftsgeschichte: 1849 – 1914. Dritter Band. München: Verlag C.H. Beck 1995, S. 11f.

[31] Vgl. Wehler, 1995, S. 36.

[32] Vgl. Wehler, 1995, S. 36.

[33] Vgl. Wehler, 1995, S. 36.

[34] Vgl. Wehler, 1995, S. 378.

[35] Vgl. Wehler, 1995, S. 378.

[36] Vgl. Wehler, 1995, S. 379.

[37] Vgl. Wehler, 1995, S. 387.

[38] Vgl. Wehler, 1995, S. 388.

[39] Kant, Immanuel: De mundi sensibilis atque intelligibilis forma et principiis, Schrift, 1770, § 15.

[40] Vgl. Marcus, Ernst: Die Zeit- und Raumlehre Kants in Anwendung auf Mathematik und Naturwissenschaft. München: Ernst Reinhardt Verlag 1927, S. 93f.

[41] Kant, Immanuel: Kritik der reinen Vernunft. Stuttgart: Philipp Reclam Junior 1966, S. 472ff..

[42] Anmerkung: Bei Kant heißt dies: potentialiter unendlich

[43] Vgl. Tengelyi, László: Erfahrung und Ausdruck. Phänomenologie im Umbruch bei Husserl und seinen Nachfolgern. Dordrecht: Springer 2007, S. 71f.

[44] Vgl. Engelhard, 2005, S. 367.

[45] Engelhard, 2005, S. 368.

[46] Vgl. Körner, Stephan: The Philosophy of Mathematics. 2. Auflage. New York: Dover Publications 1986, S. 30.

[47] Vgl. Körner, 1986, S. 30.

[48] Vgl. Körner, 1986, S. 30.

[49] übersetzt aus dem Englischen: „actual infinite aggregate“, in: Körner, 1986, S. 30.

[50] Vgl. Körner, 1986, S. 30.

[51] Kant, 1966, S. 468.

[52] Kant, 1966, S. 469.

[53] Vgl. Kant, 1966, S. 468.

[54] Vgl. Kant, 1966, S. 468.

[55] Vgl. Kant, 1966, S. 469.

[56] Vgl. Kant, 1966, S. 469.

[57] Kant, 1966, S. 478.

[58] Kant, 1966, S. 479.

[59] Vgl. Kant, 1966, S. 478.

[60] Vgl. Kant, 1966, S. 479.

[61] Kant, 1966, S. 488.

[62] Kant, 1966, S. 489.

[63] Vgl. Kant, 1966, S. 488.

[64] Vgl. Kant, 1966, S. 488.

[65] Vgl. Kant, 1966, S. 488f.

[66] Kant, 1966, S. 490.

[67] Vgl. Kant, 1966, S. 489.

[68] Vgl. Kant, 1966, S. 489.

[69] Vgl. Kant, 1966, S. 491.

[70] Kant, 1966, S. 498.

[71] Kant, 1966, S. 499.

[72] Vgl. Kant, 1966, S. 498.

[73] Vgl. Kant, 1966, S. 500.

[74] Vgl. Kant, 1966, S. 499.

[75] Neidhart, Ludwig: Unendlichkeit im Schnittpunkt von Mathematik und Theologie. 2. korrigierter Druck. Göttingen: Cuvillier 2007, S. 604.

[76] Kant, 1966, S. 549.

[77] Vgl. Neidhart, 2007, S. 604.

[78] Neidhart, 2007, S. 604.

[79] Neidhart, 2007, S. 604.

[80] Vgl. Krausser, Peter: On the Antinomies and the Appendix to the Dialectic in Kant’s Critique and Philosophy of Science. In: Synthese 77, 1988, S. 85.

[81] Kant, 1966, S. 548.

[82] Kant, Immanuel: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hamburg: Felix Meiner Verlag 1957, S. 105.

[83] Vgl Michel, Karin: Untersuchungen zur Zeitkonzeption in Kants Kritik der reinen Vernunft. Berlin: Walter de Gruyter 2003, S. 111.

[84] Vgl. Tengelyi, László: Welt und Unendlichkeit. Freiburg/Münschen: Verlag Karl Alber 2014, S. 331.

[85] Vgl. Kant, 1966, S. 86f. und Tengelyi, 2014, S. 331.

[86] Kant, 1966, S. 95.

[87] Kant, 1966, S. 527.

[88] Vgl. Tengelyi, 2007, S. 66.

[89] Vgl. Kant, 1966, S. 91 und S. 99.

[90] Tengelyi, 2014, S. 332.

[91] Kant, 1966, S. 90.

[92] Vgl. Tengelyi, 2014, S. 332.

[93] Tengelyi, 2014, S. 411.

[94] Vgl. Krausser, 1988, S. 92.

[95] Vgl. Krausser, 1988, S. 92.

[96] Vgl. Krausser, 1988, S. 92.

[97] Vgl. Körner, 1986, S. 30.

[98] Vgl. Körner, 1986, S. 30.

[99] Kant, Immanuel: Akademieausgabe von Immanuel Kants Gesammelten Werken. Abteilung 3, Band XX. Berlin: Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften 1942, S. 418.

[100] Vgl. Kant, 1942, S. 418.

[101] Vgl. Engelhard, 2005, S. 359.

[102] Kant, Immanuel: Akademieausgabe von Immanuel Kants Gesammelten Werken. Abteilung 3, Band XVII. Berlin: Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften 1926, S. 725.

[103] Vgl. Kant, 1926, S. 725.

[104] Vgl. Kant, 1926, S. 725.

[105] Vgl. Kant, 1926, S. 725.

[106] Vgl. Engelhard, 2005, S. 359f.

[107] Vgl. Engelhard, 2005, S. 360.

[108] Vgl. Engelhard, 2005, S. 367.

[109] Vgl. Engelhard, 2005, S. 367.

[110] Tengelyi, 2007, S. 70.

[111] Tengelyi, 2007, S. 70.

[112] Vgl. Kant, 1966, S. 546ff.

[113] Vgl. Tengelyi, 2007, S. 71.

[114] Tengelyi, 2014, S. 443.

[115] Cantor, Georg und Ernst Zermelo (Hrsg.): Gesammelte Abhandlungen – mathematischen und philosophischen Inhalts. Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchhandlung 1962, S. 372.

[116] Vgl. Cantor, 1962, S. 372.

[117] Vgl, Purkert, Walter und Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor. 1845 – 1918. Völlig überarbeitete und erweiterte Fassung. Basel u.a.: Birkhäuser 1987, S. 46.

[118] Bedürftig, 2010, S. 71.

[119] Tapp, Christian: Kardinalität und Kardinäle. Wissenschaftshistorische Aufarbeitung der Korrespondenz zwischen Georg Cantor und katholischen Theologen seiner Zeit. Stuttgart: Steiner 2005, S. 77.

[120] Bedürftig, 2010, S. 71.

[121] Vgl. Tengelyi, 2014, S. 447f.

[122] Vgl. Tengelyi, 2014, S. 447f.

[123] Vgl. Lavine, Shaughan: Understanding the Infinite. 2. Auflage. Cambridge: Harvard University Press 1998, S. 43.

[124] Anmerkung: in der erschaffenen Natur.

[125] Bedürftig, 2010, S. 72.

[126] Tapp, 2005, S. 91.

[127] Bedürftig, 2010, S. 71.

[128] Tapp, 2005, S. 77.

Ende der Leseprobe aus 58 Seiten

Details

Titel
Wie lassen sich Immanuel Kants vier Antinomien der reinen Vernunft mithilfe von Georg Cantors Erkenntnissen rund um die Unendlichkeit bearbeiten und beantworten?
Hochschule
Bergische Universität Wuppertal
Note
1,3
Jahr
2017
Seiten
58
Katalognummer
V375104
ISBN (eBook)
9783668523814
ISBN (Buch)
9783668523821
Dateigröße
770 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Kant, Immanuel Kant, Cantor, Georg Cantor, Unendlichkeit, unendlich, Unendliches, Unendlichkeitsbegriff, Mathematik, mathematisch, philosophisch, aktual, aktuale Unendlichkeit, potentiell, potentielle Unendlichkeit, Antinomien, Antinomie, Raum, Zeit, Aktualunendlichkeit
Arbeit zitieren
Anonym, 2017, Wie lassen sich Immanuel Kants vier Antinomien der reinen Vernunft mithilfe von Georg Cantors Erkenntnissen rund um die Unendlichkeit bearbeiten und beantworten?, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/375104

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