Im Rahmen dieser Seminararbeit sollen unterschiedliche Methoden vorgestellt werden, die sich insbesondere eignen, um Optionen mit amerikanischen Ausstattungsmerkmalen zu bewerten. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ein Ausüben der Option zu jedem Zeitpunkt während der Laufzeit möglich ist, sodass diese Flexibilität bei der Bepreisung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird hierzu das Modell des Binomialbaums vorgestellt, mit dem Optionen auf einfache Weise numerisch bewertet werden können. Anschließend wird dann das Black-Scholes-Modell behandelt, welches als Grenzfall des Binomialmodells verstanden werden kann und eine analytische Lösung für den fairen Wert einer Option liefert. Darüber hinaus wird als drittes Bewertungsverfahren der Least Squares Monte-Carlo Algorithmus beleuchtet, der mittels Simulation einen Preis für eine Option ermittelt. Abschließend soll ein Beispiel die Anwendung der Binomialbaum-Methode zur Bewertung Amerikanischer Optionen verdeutlichen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Begriffserklärung
2.1 Optionen
2.2 Europäische vs. Amerikanische Optionen
3 Modelle zur Bepreisung von Optionen
3.1 Cox-Ross-Rubinstein-Modell (Binomialmodell)
3.2 Bepreisung der Flexibilität von Amerikanischen Optionen
3.2.1 Zusammensetzung des Optionspreises
3.2.2 Amerikanischer Call
3.2.3 Amerikanischer Put
3.3 Black-Scholes-Modell
3.4 Monte-Carlo-Simulation und Kleinste-Quadrate Methode
3.4.1 Beispiel: Amerikanische Put Option
3.4.2 Probleme der Kleinste-Quadrate-Methode
4 Beispiel: Bepreisung eines Amerik. Puts mithilfe des Binomialmodells
5 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Seminararbeit untersucht verschiedene wissenschaftliche Methoden zur Bepreisung von Finanzoptionen mit amerikanischem Ausstattungsmerkmal, wobei insbesondere die Herausforderung der frühzeitigen Ausübungsmöglichkeit im Fokus der Analyse steht.
- Grundlegende Konzepte und Differenzierung zwischen amerikanischen und europäischen Optionen.
- Einführung und Anwendung des Cox-Ross-Rubinstein-Modells (Binomialmodell).
- Analyse der Bewertung von Flexibilität bei amerikanischen Put-Optionen.
- Diskussion des Black-Scholes-Modells als analytischer Bewertungsansatz.
- Erläuterung des Least-Squares Monte-Carlo Algorithmus nach Longstaff und Schwartz.
- Praktische Fallstudie zur Bepreisung eines amerikanischen Puts mittels Binomialbaum.
Auszug aus dem Buch
3.4.1 Beispiel: Amerikanische Put Option
Ein Beispiel aus dem Artikel von Longstaff und Schwartz soll im Folgenden zur Verdeutlichung des Ansatzes dienen: (Vgl. auch Hull (2015), S. 786 ff.)
Gegeben sei eine Amerikanische Put Option auf eine Aktie ohne Dividende, welche zu Zeitpunkt 1, 2 oder 3 ausgeführt werden kann. Der Basispreis beträgt 1,10, der risikolose Zins beträgt 6% und der Kurs zum Zeitpunkt 0 beträgt 1,00. Simuliert werden zur Vereinfachung nur acht Pfade:
Da es sich bei dem von Longstaff und Schwartz entwickelten Algorithmus um einen rekursiven Algorithmus handelt, wird zunächst der Cash Flow bestimmt, der im Falle generiert werden würde, dass die Option erst zum finalen Ausführungszeitpunkt 3 ausgeübt werden kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung beleuchtet die historische Entwicklung und Relevanz des Optionshandels sowie das Ziel der Arbeit, Methoden zur Bewertung amerikanischer Optionen zu vergleichen.
2 Begriffserklärung: Hier werden die Grundlagen von Optionen definiert und der wesentliche Unterschied zwischen europäischen und amerikanischen Ausübungsmodalitäten herausgearbeitet.
3 Modelle zur Bepreisung von Optionen: Dieses Kapitel stellt zentrale mathematische Bewertungsmodelle vor, darunter das Binomialmodell, Black-Scholes und den Longstaff-Schwartz-Ansatz für amerikanische Optionen.
4 Beispiel: Bepreisung eines Amerik. Puts mithilfe des Binomialmodells: Die praktische Anwendung des Binomialbaums wird hier detailliert an einem konkreten Beispiel mit vier Perioden und spezifischen Zins- und Volatilitätsparametern durchgeführt.
5 Fazit: Die Arbeit schließt mit einer zusammenfassenden Bewertung der diskutierten Methoden, wobei Stärken und Schwächen der verschiedenen Ansätze in Bezug auf Flexibilität und Genauigkeit abgewogen werden.
Schlüsselwörter
Option Pricing, Amerikanische Optionen, Binomialmodell, Black-Scholes-Modell, Monte-Carlo-Simulation, Longstaff-Schwartz, Kleinste-Quadrate-Methode, Finanzderivate, Ausübungszeitpunkt, Optionsbewertung, Stochastik, Finanzmärkte, Rückwärtsinduktion, Basispreis, Zeitwert.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Seminararbeit?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der finanzmathematischen Bewertung von amerikanischen Optionen, die im Vergleich zu europäischen Optionen eine vorzeitige Ausübung während der Laufzeit erlauben.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die Schwerpunkte liegen auf der Differenzierung von Optionsarten, der numerischen Bewertung mittels Binomialbäumen und der simulationsbasierten Bewertung mittels Kleinste-Quadrate-Ansatz.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Vorstellung und Gegenüberstellung verschiedener Methoden zur Bepreisung amerikanischer Optionen, um die Berücksichtigung der Ausübungsflexibilität aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Verwendet werden mathematische Modellierungen wie das Cox-Ross-Rubinstein-Modell, die Black-Scholes-Differenzialgleichung und die Least-Squares Monte-Carlo-Simulation.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in theoretische Herleitungen der Preismodelle sowie in ein praktisches Anwendungsbeispiel zur Bepreisung eines amerikanischen Puts.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind insbesondere Optionsbewertung, Binomialmodell, amerikanische Ausübungsoptionen und der Longstaff-Schwartz-Algorithmus.
Warum unterscheidet sich die Bewertung eines amerikanischen Calls von einem amerikanischen Put?
Der amerikanische Call entspricht bei Nicht-Dividendenzahlung meist dem europäischen Preis, während beim Put die vorzeitige Ausübung einen signifikanten Mehrwert bieten kann, wenn der Kurs des Underlyings weit unter den Basispreis fällt.
Was ist die Besonderheit des Longstaff-Schwartz-Ansatzes?
Dieser Ansatz nutzt eine Monte-Carlo-Simulation kombiniert mit einer Kleinste-Quadrate-Regression, um den bedingten Erwartungswert bei Halten der Option zu schätzen, was eine flexible Approximation ermöglicht.
Welche Rolle spielt die Rückwärtsinduktion im Binomialmodell?
Sie wird verwendet, um ausgehend vom Fälligkeitsdatum rückwirkend den fairen Wert der Option in jedem Knoten des Binomialbaums zu bestimmen, wobei stets geprüft wird, ob eine vorzeitige Ausübung profitabler ist.
- Quote paper
- Jan Lukas Almert (Author), Markus Willemsen (Author), 2017, Option Pricing. Modelle zur Bepreisung von Optionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/376182
