Option Pricing. Modelle zur Bepreisung von Optionen


Seminararbeit, 2017

24 Seiten, Note: 2.0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis
Option Pricing: American Options
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ...
Abkürzungsverzeichnis ...
1 Einleitung ... 1
2 Begriffserklärung... 2
2.1 Optionen ... 2
2.2 Europäische vs. Amerikanische Optionen... 2
3 Modelle zur Bepreisung von Optionen ... 3
3.1 Cox-Ross-Rubinstein-Modell (Binomialmodell)... 3
3.2 Bepreisung der Flexibilität von Amerikanischen Optionen ... 5
3.2.1 Zusammensetzung des Optionspreises ... 5
3.2.2 Amerikanischer Call... 5
3.2.3 Amerikanischer Put ... 6
3.3 Black-Scholes-Modell... 8
3.4 Monte-Carlo-Simulation und Kleinste-Quadrate Methode... 11
3.4.1 Beispiel: Amerikanische Put Option... 11
3.4.2 Probleme der Kleinste-Quadrate-Methode ... 15
4 Beispiel: Bepreisung eines Amerik. Puts mithilfe des Binomialmodells... 16
5 Fazit ... 19
Literaturverzeichnis... 20

Abkürzungsverzeichnis
Option Pricing: American Options
Abkürzungsverzeichnis
Mio.
Million
Mrd.
Milliarde
Wkt.
Wahrscheinlichkeit

1 Einleitung
Seite 1
Option Pricing: American Options
1 Einleitung
Vor knapp über 40 Jahren, als Robert C. Merton seine Arbeit ,,Theory of Rational Op-
tion Pricing" veröffentlichte, bestanden noch große Zweifel an der Bedeutsamkeit von
Optionen als Finanzprodukt. Mit den Worten:
,,Because options are specialized and
relatively unimportant financial securities, the amount of time and space devoted to the
development of a pricing theory might be questioned" (Merton (1973), S. 141)
stellte
Merton den Aufwand in Frage, der zu jener Zeit in die Entwicklung von Bewertungs-
methoden geflossen ist. Wie wir jedoch vom heutigen Betrachtungszeitpunkt feststel-
len können, entwickelte sich die Anzahl der jährlich gehandelten Optionen seit 1973
rasant. Während im Jahre 1996 am Chicago Board Options Exchange bereits 174.
Mio. Kontrakte gehandelt wurden, (Frankfurter Allgemeine Zeitung (1997), S. 27) wur-
den dort 2015 bereits über 1 Mrd. Kontrakte gehandelt. (Vgl. CBOE Holdings, S. 3) Es
stellt sich heraus, dass die in den 1970er-Jahren entwickelten Bewertungsmethoden
auch heutzutage noch Anwendung finden und den Grundstein für die Verbreitung von
Optionen an den Börsen gelegt haben.
Im Rahmen dieser Seminararbeit sollen unterschiedliche Methoden vorgestellt wer-
den, die sich insbesondere eignen, um Optionen mit amerikanischen Ausstattungs-
merkmalen zu bewerten. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ein Ausüben der Op-
tion zu jedem Zeitpunkt während der Laufzeit möglich ist, sodass diese Flexibilität bei
der Bepreisung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird hierzu das Modell des Bi-
nomialbaums vorgestellt, mit dem Optionen auf einfache Weise numerisch bewertet
werden können. Anschließend wird dann das Black-Scholes-Modell behandelt, wel-
ches als Grenzfall des Binomialmodells verstanden werden kann und eine analytische
Lösung für den fairen Wert einer Option liefert. Darüber hinaus wird als drittes Bewer-
tungsverfahren der Least Squares Monte-Carlo Algorithmus beleuchtet, der mittels Si-
mulation einen Preis für eine Option ermittelt. Abschließend soll ein Beispiel die An-
wendung der Binomialbaum-Methode zur Bewertung Amerikanischer Optionen ver-
deutlichen.

2 Begriffserklärung
Seite 2
Option Pricing: American Options
2 Begriffserklärung
2.1 Optionen
Eine Option räumt dem Optionsinhaber die Möglichkeit ein, einen bestimmten Bezugs-
wert zu einem späteren Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen (Call
Option) oder zu verkaufen (Put Option). Da sich der Wert einer Option vom zugrunde-
liegenden Basiswert (Underlying) ableitet, gehören Optionen zur Gruppe der derivaten
Finanzinstrumente. (Vgl. Hull (2012), S. 7 f.)
Der Preis, zu dem das Underlying gekauft bzw. verkauft werden kann, wird Exercise
oder Strike Price genannt. Das Datum, an dem die Option verfällt, wird Maturity oder
Expiration Date genannt.
2.2 Europäische vs. Amerikanische Optionen
Neben der Unterscheidung zwischen Calls und Puts kann darüber hinaus zwischen
Europäischen und Amerikanischen Optionen differenziert werden. Hierbei besteht der
Unterschied ausschließlich darin, zu welchem Zeitpunkt die jeweilige Option ausgeübt
werden kann. Wie im vorigen Abschnitt beschrieben, ist jeder handelbaren Option ein
fixes Fälligkeitsdatum ­ das Expiration Date ­ zugeschrieben. Während Europäische
Optionen lediglich am Fälligkeitsdatum ausgeübt werden können, erlauben Amerika-
nische Optionen die Ausübung an jedem Handelstag vor Fälligkeit.

3 Modelle zur Bepreisung von Optionen
Seite 3
Option Pricing: American Options
3 Modelle zur Bepreisung von Optionen
3.1 Cox-Ross-Rubinstein-Modell (Binomialmodell)
Das Binomialmodell ist ein von John C. Cox, Stephen Ross und Mark Rubinstein im
Jahre 1979 entwickeltes numerisches Modell zur Bewertung von Optionen. Als Ansatz
für diese Bewertungsmethode dient die Annahme, dass der Preis eines Wertpapieres
nach einer Periode nur zwei mögliche Werte annehmen kann. Demzufolge ergeben
sich ebenfalls nur zwei Möglichkeiten für den Ertrag der Option: Steigt der Preis des
Underlyings S in Abbildung 1 an, so ergibt sich der Ertrag als Differenz zwischen dem
derzeitigen Kurs und dem Strike Price X. Ist nach einer Periode der Kurswert des Un-
derlyings niedriger als der Strike Price, so wird die Option nicht ausgeübt und verfällt
wertlos. (Hull (2012), S. 427)
Abbildung 1: Ein-Perioden-Bionomialmodell
Zur Ermittlung des Wertes der Call Option C dient die Überlegung, dass sich jeder Call
mithilfe eines replizierenden Portfolios, bestehend aus einer Short Position eines risi-
kolosen Bonds B sowie Stück der Aktie selbst, nachbilden lässt.
Abbildung 2: Replizierendes Portfolio bestehend aus der Aktie und einem risikolosen Bond

3 Modelle zur Bepreisung von Optionen
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Option Pricing: American Options
Wird die Existenz von Arbitrage ausgeschlossen, so muss in einer risikoneutralen Welt
der Pay-off der Option mit der Rendite des Portfolios übereinstimmen (Vgl. Cox et al.
(1979), S. 231):
(I)
(II)
Als Lösung dieses Gleichungssystems ergibt sich:
(Vgl. Cox et al. (1979), S. 233)
(1)
Da in einer risikoneutralen Welt der Ertrag der Aktie dem risikolosen Zins entspricht
muss gelten:
(2)
Der Parameter q gilt auch als risikoneutrale Wahrscheinlichkeit und gibt die Wahr-
scheinlichkeit dafür an, dass der Aktienpreis innerhalb einer Periode um den Faktor u
steigt. (Vgl. Hull (2012), S. 257) Folglich kann nun der faire Wert der Option berechnet
werden mit:
(3)
Erweitert man das vorgestellte Ein-Perioden-Modell um weitere diskrete Zeitpunkte,
kann der Wert einer Option stets mithilfe der Rückwärtsinduktion, beginnend in der
letzten Periode, bestimmt werden.
Um letztlich die Parameter u und d so einzustellen, dass diese der Kursänderung über
den Zeitraum entsprechen, werden diese so gewählt, dass die Volatilität und der
Mittelwert der Kursentwicklung des Underlyings im risikoneutralen Modell entspre-
chend wiedergegeben werden:
(4)
(5)
Ende der Leseprobe aus 24 Seiten

Details

Titel
Option Pricing. Modelle zur Bepreisung von Optionen
Hochschule
Technische Universität Dortmund
Note
2.0
Autoren
Jahr
2017
Seiten
24
Katalognummer
V376182
ISBN (eBook)
9783668532830
ISBN (Buch)
9783668532847
Dateigröße
873 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
option, pricing, modelle, bepreisung, optionen
Arbeit zitieren
Jan Lukas Almert (Autor)Markus Willemsen (Autor), 2017, Option Pricing. Modelle zur Bepreisung von Optionen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/376182

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