Fraktale sind Formen, welche Strukturen beinhalten, die sich immer wieder in sich selbst wiederholen. Diese Formen lassen sich mathematisch erklären und berechnen. Solche Strukturen sind in der Natur weit verbreitet, aufgrund dessen sind Fraktale zur Modellierung und Simulation von Natur von wesentlicher Bedeutung. Mathematisch gesehen ist „[f]raktale Geometrie [. . . ] eine Erweiterung der klassischen Geometrie“ , die verwendet werden kann um präzise Strukturen zu erzeugen. Zur Erzeugung von Fraktalen gibt es viele verschiedene Methoden und Theorien. Eine Möglichkeit Fraktale zu erzeugen, ist IFS, dies ist eine Abkürzung für Iterated Function Systems oder in der deutschen Variante für Iterierte Funktionensysteme. Entwickelt wurde diese Theorie von Michael Barnsley im Jahr 1975. Dieses Verfahren nutzt die Selbstähnlichkeit der Fraktale aus, um diese dann zu erzeugen. Bei selbstähnlichen Fraktalen hat jede Vergrößerung eine Ähnlichkeit mit dem gesamten Fraktal. Es ist eine Art „Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine“, besser gesagt, es ist „eine einfache Abbildungsmaschine, die mit einer Anzahl von n Linsen n verkleinerte und transformierte Abbildungen des Originals auf eine Kopie druckt“. IFS kann aber auch verwendet werden, um plastische Objekte oder Formen, wie zum Beispiel einen Kreis, zu erzeugen. In weitestem Sinne sind diese Formen oder diese plastischen Objekte dennoch Fraktale. Diese sind dann nicht in allen Teilstücken komplett ähnlich, sondern gleichen nur in bestimmten Vergrößerungen dem gesamten Bild. Dieses Verfahren eignet sich nicht immer unbedingt optimal zur Erzeugung von allen Formen. Ein Kreis lässt sich beispielsweise nicht perfekt rund darstellen. Diese Methode eignet sich am besten zur Erzeugung von selbstähnlichen Fraktalen, wie zum Beispiel bei dem Barnsley Farn oder bei dem Sierpinski Dreieck. Aufgrund dessen bezieht sich diese Arbeit ausschließlich auf selbstähnliche Fraktale. Außerdem liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit auf dem Barnsley Farn, da durch dieses Fraktal Michael Barnsley die Theorie von IFS aufgestellt hat und als eins der schönsten Fraktale überhaupt bezeichnet hat.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung in Fraktale und IFS
- Die Mathematik hinter IFS
- Allgemein
- Affine Transformationen am Einheitsquadrat
- Affine Transformationen bei Punkten
- Umsetzung in Java
- Allgemein
- Barnsley Farn
- Mutationen des Farns
- Sierpinski Dreieck
- Baum
- Strauch
- Zusätzliche Erklärungen zum Programmiercode
- Verzögerung
- Färbung
- Benutzerdefinierte Mutationen
- Ausblick IFS im Alltag
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Erzeugung von selbstähnlichen Fraktalen mithilfe von Iterierten Funktionensystemen (IFS). Sie erläutert die mathematischen Grundlagen von IFS, insbesondere affine Transformationen, und zeigt die praktische Umsetzung in Java anhand des Beispiels des Barnsley Farns. Zu den Themenschwerpunkten gehören die Erläuterung der Theorie von IFS, die Anwendung affiner Transformationen auf Punkte und Objekte, sowie die detaillierte Analyse der Funktionsweise der IFS-Methode am Beispiel des Barnsley Farns.
- Einführung in die Theorie der Iterierten Funktionensysteme (IFS)
- Mathematische Grundlagen affiner Transformationen
- Praktische Anwendung von IFS zur Erzeugung von Fraktalen
- Analyse der Funktionsweise von IFS am Beispiel des Barnsley Farns
- Möglichkeiten der Mutation von Fraktalen durch Veränderung von affinen Transformationen
Zusammenfassung der Kapitel
- Einführung in Fraktale und IFS: Dieses Kapitel definiert den Begriff „Fraktal“ und stellt die Theorie der Iterierten Funktionensysteme (IFS) vor. Es beschreibt die Bedeutung von Fraktalen in der Natur und die Verwendung von IFS zur Erzeugung von Fraktalen.
- Die Mathematik hinter IFS: Dieses Kapitel erklärt die mathematischen Grundlagen von IFS, insbesondere affine Transformationen. Es werden die verschiedenen Arten von affinen Transformationen und ihre Anwendung auf Punkte und Objekte beschrieben.
- Umsetzung in Java: Dieses Kapitel behandelt die praktische Umsetzung von IFS in Java. Es wird die Programmierung des Barnsley Farns als Beispiel vorgestellt, sowie die Möglichkeiten zur Erzeugung weiterer Fraktale durch Mutationen.
Schlüsselwörter
Fraktale, Iterierte Funktionensysteme (IFS), Affine Transformationen, Barnsley Farn, Selbstähnlichkeit, Mutation, Java-Programmierung.
- Quote paper
- Michelle Bettendorf (Author), 2017, IFS, Erzeugen eines Farns, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/377797
