Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
1.Stundenrelevante Angaben zur Lerngruppe..2
2. Angaben zur Sache..2
3. Didaktische Überlegungen..3
3.1 Unterrichtszusammenhang..3
3.2 Legitimation..3
3.3 Schwerpunktsetzung und didaktische Reduktion..4
3.4 Transformation und Antizipation..4
4. Ziele der Stunde..7
5. Methodische Überlegungen..7
6. Anhang..9
1. Stundenrelevante Angaben zur Lerngruppe
Der Kurs der Jahrgangsstufe 11 auf grundlegendem Anforderungsniveau setzt sich aus insgesamt 18 Lernenden (sechs Jungen / zwölf Mädchen) zusammen, von denen einzelne eine schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik anstreben. Hervorzuheben ist die breit gestreute Leistungsfähigkeit des Kurses. So gibt es einzelne Schülerinnen und Schüler (SuS), die eine sehr ausgeprägte Abstraktionsfähigkeit besitzen und daher mathematische Problemstellungen eigenständig lösen, neue Wege entdecken und zusätzliche, weiterführende Fragen aufwerfen können (S1, S2 z.T. auch S‘3 und S‘4). Der leistungsfähigen Gruppe stehen viele leistungsschwache SuS gegenüber, die dem Unterrichtsgeschehen nur mit Mühe folgen können (S‘5, S‘6, S‘7, S8, z.T. auch S‘9). Differenzierenden Maßnahmen kommt daher eine besondere Bedeutung zu. Zusätzlich ist es für diesen Kurs von großer Wichtigkeit, im Sinne einer Plateaubildung sorgfältig und ausführlich zu sichern, um allen Fragen der SuS Rechnung zu tragen.
Viele SuS bekommen zusätzlich Nachhilfe, daraus ergibt sich öfters das Problem, dass Unterrichtsinhalte bereits in der Nachhilfe behandelt worden sind. Diese SuS sind im Unterrichtsgespräch zunächst zu bremsen. Die SuS sind bemüht und interessiert, der Unterrichtsproblematik zu folgen und diese zu verstehen. Nichtsdestotrotz gelingt dies einzelnen SuS nur bedingt, sodass es sich aus Sicht der Lernenden als hilfreich erwiesen hat, dass ich in dezentralen Phasen als beratender Ansprechpartner fungiere. Die Bereitschaft zu Wortmeldungen ist allenfalls durchschnittlich ausgeprägt. Die Beteiligungsbreite ist allerdings im Zusammenhang mit kontextualen Zugängen erfreulich hoch, nimmt jedoch mit zunehmender Mathematisierung ab. Die Lernenden gehen respektvoll miteinander um, sodass funktionale Gruppenarbeitsphasen problemlos durchgeführt werden können. Gruppen- und Partnerphasen werden von den Lernenden ohne Nebengespräche fokussiert genutzt.
Die Analytische Geometrie bietet insbesondere aufgrund ihrer Anschaulichkeit vielen SuS eine neue Chance. Auch die relativ einfachen Rechnungen im Zusammenhang mit Gleichungssystemen motivieren die Lerngruppe, was sich bislang positiv auf das mathematische Verständnis und die Beteiligung auswirkt.
2. Angaben zur Sache
Die Stunde stellt eine Vertiefung zur Geradendarstellung in Parameterform dar. Daher soll die Gerade im Raum zunächst näher betrachtet werden: Eine Gerade ist eine Punktemenge, bei der die zugehörigen Ortsvektoren einen eindimensionalen affin linearen Untervektorraum,
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
mit der affin linearen Verschiebung s und einem Basisvektor v, bilden. Somit lässt sich g beschreiben durch;
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der Vektor s der affin linearen Verschiebung wird als Stützvektor und der Basisvektor v wird als Richtungsvektor bezeichnet. Hieraus ergibt sich die verkürzte Schreibweise für eine Gerade als Geradengleichung:
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten] [1]
Ausgehend von diesem Wissen soll es in der vorliegenden Stunde darum gehen, eine Gerade durch unterschiedliche Geradengleichungen in Parameterform zu beschreiben. Eine Voraussetzung, um von zwei identischen Geraden zu sprechen, ist die Kollinearität der Richtungsvektoren: Zwei Vektoren
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
heißen kollinear, wenn es
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Angenommen
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
gilt, so lässt sich diese Aussage mittels
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
vereinfachen. Man erkennt, dass die Kollineartät ein Spezialfall von der linearen Abhängigkeit mit zwei Vektoren ist. [2]
Nun sollen zwei Darstellungen einer Geraden betrachtet werden
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Da
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
gilt, folgt
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Somit kann ein beliebiger Punkt auf der Geraden als Stützvektor gewählt werden. Auch die Wahl des Richtungsvektors ist bis auf Kollinearität eindeutig.
Da die Vertiefungsphase den Aspekt der Zeit thematisiert, soll dieser hier kurz erläutert werden: Betrachtet man nun die Variable r, bei
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
als Zeit, so gilt
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Also verändert sich die Position um
[Symbol kann in dieser Leseprobe nicht angezeigt werden]
pro Zeiteinheit.
3. Didaktische Überlegungen
3.1 Unterrichtszusammenhang
Diese Unterrichtsstunde ist in die Unterrichtsreihe „Analytische Geometrie“ eingebettet. In den Stunden zuvor ist zunächst das dreidimensionale Koordinatensystem thematisiert worden. Hierbei haben die SuS erkannt, dass durch Zahlentripel gegebene Raumpunkte in eine Schrägbilddarstellung in eindeutiger Weise eingetragen werden können, dass umgekehrt ein im Schrägbild markierter Punkt mit beliebig vielen Zahlentripeln korrespondiert. Im weiteren Zusammenhang ist der Vektorbegriff motiviert und sowohl im geometrischen Sinne (Verschiebung), als auch im algebraischen Sinne (Zahlentripel) präzisiert worden. Der Unterschied zwischen Punkt und Vektor ist besonders herausgestellt worden, einschließlich der Sprechweisen Koordinate versus Komponente. Insgesamt sind die SuS vertraut mit den Begriffen Ortsvektor, Gegenvektor, Nullvektor, Vektorsumme und Produkt eines Vektors mit einem Skalar.
Ausgehend vom Vektorbegriff und der fiktiven Bewegung eines Hubschraubers ist die Geradengleichung in Parameterform hergeleitet worden. Die SuS sind daher in der Lage, zu Geraden geeignete Vektorterme der Form
[Formeln in dieser Leseprobe nicht enthalten]
eigenständig zu entwickeln und mithilfe dieser Vektorterme Punktproben durchzuführen. Im Rahmen der vorliegenden Stunde ist eine Vertiefung der Parameterdarstellung einer Gerade intendiert, welche auch schon den ersten Grundstein für die weiteren Betrachtungen der Lagebeziehung zweier Geraden bildet.
3.2 Legitimation
Das Thema „unterschiedliche Darstellungen von Geraden in Parametergleichung“ findet man im Kerncurriculum unter dem inhaltsbezogenen Aspekt „Die SuS beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform“. Zugleich werden durch die Erarbeitung unterschiedlicher Möglichkeiten der Geradendarstellung in Parameterform die prozessbezogenen Kompetenzen „Mathematische Darstellungen verwenden“ und „Kommunizieren“ gefördert. [3] Ein tiefgreifendes Verständnis für die unterschiedlichen Formen von Geradengleichungen zu ein und derselben Geraden stellt einen wichtigen Schritt dar, der dazu beiträgt, die Gerade als geometrisches Objekt und deren bijektive Abbildung auf die Menge der reellen Zahlen vollständig zu erfassen. Auf diese Weise wird die vektorielle Parameterdarstellung einer Geraden im Raum zum Instrument, mit dem geometrische Probleme algebraisch gelöst werden können.
Auch in unserer Alltagswelt begegnen uns Phänomene, wie beispielsweise die Flugbahn von Flugzeugen und Raketen sowie der Verlauf eines Laserstrahls, die in guter Näherung als Geraden im Raum aufgefasst werden können. Der gewählte Sachkontext sensibilisiert die SuS dafür, solche mathematischen Sachverhalte in ihrem täglichen Leben wahrzunehmen und stellt damit eine der drei Grunderfahrungen nach Winter, die der Mathematikunterricht leisten soll. [4]
3.3 Schwerpunktsetzung und didaktische Reduktion
Der Schwerpunkt der Stunde liegt auf der Erkenntnis, dass sich dieselbe Gerade durch unterschiedliche Geradengleichungen ausdrücken lässt. Diesen Sachverhalt sollen die SuS erklären können und eigenständig Kriterien formulieren, die unterschiedliche, aber gleichwertige Darstellungen erfüllen müssen. Der Schwerpunkt liegt nicht, anders als in den Stunden zuvor, auf dem alleinigen Aufstellen einer Geradengleichung. Diese Routine wird von den SuS hier nur als Mittel zum Zweck verwendet. Auch sollen weitere mögliche Lagebeziehung zweier Geraden im Raum (parallel, windschief, Schnittpunkt) an dieser Stelle noch nicht weiter thematisiert werden.
Die Erkenntnis, dass beliebige k-fache eines möglichen Richtungsvektors die Geradenrichtung in gleicherweise repräsentieren können, soll hier nicht in den übergeordneten Aspekt lineare Abhängigkeit eingeordnet, sondern zunächst mit dem Begriff Kollinearität belegt werden.
3.4 Transformation und Antizipation
Den Einstieg in die Stunde bildet ein Foto von einem startenden Flugzeug. Die SuS sollen zunächst beschreiben, was sie beobachten. Naheliegend erscheint die Interpretation, dass das Flugzeug gerade gestartet ist und sich noch im Steigflug befindet. Andere SuS könnten Anknüpfungspunkte an den Sachkontext Hubschrauber herstellen, der bereits in der Einführung der Geraden im Raum thematisiert worden ist. Das Bild soll eine erste Annäherung an den Sachkontext bilden, der den Stundenverlauf tragen soll. Anknüpfend an die Aussagen der SuS wird ein fiktiver Dialog zwischen zwei „Männchen“ gezeigt, der eine Kontroverse hinsichtlich der modellierenden Gleichung einer Flugbahn andeutet (vgl. Kapitel 6.4). Es drängt sich die Frage auf, inwieweit dieselbe Gerade durch unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden kann. Die SuS können nun erste Vermutungen äußern. Leistungsschwächere könnten annehmen,
[...]
[1] Lorenz, Falko: Lineare Algebra II, Leipzig 1992, S.13.
[2] Da die lineare Abhängigkeit allerdings aufbauend eingeführt werden muss, ist dies nicht Teil der vorliegenden Stunde (vgl. Kapitel 3.3).
[3] Vgl. Kerncurriculum Niedersachsen, S.18-20, unter: http://db2.nibis.de/1db/cuvo/datei/kc_mathematik_go_i_2009.pdf (abgerufen am 5.5.2017)
[4] Vgl. Winter, Heinrich: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 61, S. 37.