Este libro, dirigido fundamentalmente a los estudiantes de todas las carreras de perfil eléctrico, tiene como objetivo, la orientación de los mismos hacia el estudio del concepto de frecuencia compleja y la respuesta de frecuencia. El concepto de frecuencia compleja es de gran utilidad en el análisis de circuitos, pues es un concepto que permite relacionar el análisis de circuitos resistivos, el análisis en estado estable sinusoidal, el análisis transitorio, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y el análisis de funciones sinusoidales exponencialmente amortiguadas. Todos estos análisis se convertirán en casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos, asociados con el concepto de frecuencia compleja. La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada, como una descripción completa del comportamiento del circuito en estado estable sinusoidal, como una función de la frecuencia. El conocimiento de la respuesta de frecuencia de un circuito, es de gran importancia en muchas aplicaciones, especialmente en sistemas de comunicaciones y control automático. Una aplicación específica se encuentra en el diseño de filtros eléctricos que bloquean o eliminan señales con frecuencias no deseadas y permiten el paso de señales con frecuencias deseadas. Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y telefónicos para separar una frecuencia de transmisión de otra. El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus autores y recurriendo a una bibliografía de textos reconocidos internacionalmente [1], [2], [3], [4], [5], [6],[7]. En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en estos temas. En el caso de los ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial empleando el lenguaje de programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al vincular su empleo en el análisis de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren dejar claro que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda y no como un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda verificarse el resultado obtenido.
Tabladecontenidos
Prólogo ... I
Capítulo 1 ... 1
Frecuencia compleja. Función de red ... 1
Introducción ... 1
1.1 Frecuencia compleja ... 1
Definición matemática ... 1
Interpretación física de la frecuencia compleja ... 5
1.2 Inmitancias operacionales (
)
(s
Z y
)
(s
Y ) ... 12
1.3 Función de red. Diagrama de polos y ceros ... 24
Interpretación física de los polos y los ceros ... 28
Problemas de final de capítulo ... 55
Capítulo 2 ... 60
Respuesta de frecuencia... 60
Introducción ... 60
2.1 Respuesta de frecuencia... 60
2.2 Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la función
de red
)
(s
H ... 62
2.3 Obtención de las características de frecuencia ...
de la función de red
)
(s
H a partir del diagrama de polos y ceros ... 86
2.4 Diagramas de Bode ... 99
Problemas de final de capítulo ... 135
Bibliografía ... 143
I
Prólogo
Este libro, dirigido fundamentalmente a los estudiantes de todas las carreras de perfil
eléctrico, tiene como objetivo, la orientación de los mismos hacia el estudio del
concepto de frecuencia compleja y la respuesta de frecuencia.
El concepto de frecuencia compleja es de gran utilidad en el análisis de circuitos, pues
es un concepto que permite relacionar el análisis de circuitos resistivos, el análisis en
estado estable sinusoidal, el análisis transitorio, el análisis de circuitos alimentados por
funciones de excitación exponenciales y el análisis de funciones sinusoidales
exponencialmente amortiguadas. Todos estos análisis se convertirán en casos especiales
de las técnicas generales para el análisis de circuitos, asociados con el concepto de
frecuencia compleja.
La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada, como una descripción
completa del comportamiento del circuito en estado estable sinusoidal, como una
función de la frecuencia.
El conocimiento de la respuesta de frecuencia de un circuito, es de gran importancia en
muchas aplicaciones, especialmente en sistemas de comunicaciones y control
automático. Una aplicación específica se encuentra en el diseño de filtros eléctricos que
bloquean o eliminan señales con frecuencias no deseadas y permiten el paso de señales
con frecuencias deseadas. Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y
telefónicos para separar una frecuencia de transmisión de otra.
El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus
autores y recurriendo a una bibliografía de textos reconocidos internacionalmente [1],
[2], [3], [4], [5], [6],[7] .
En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y
propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en estos
temas.
En el caso de los ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial empleando el
lenguaje de programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos
recibidos por los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al
vincular su empleo en el análisis de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren
dejar claro que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda
II
y no como un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver
problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda
verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en dos capítulos.
En el primer capítulo se da una definición matemática de la frecuencia compleja y su
interpretación física; se definen las inmitancias operacionales (
)
(s
Z
y
)
(s
Y
). El capítulo
concluye con la definición de la función de red y la determinación de su diagrama de
polos y ceros.
En el capítulo segundo se define el concepto de respuesta de frecuencia. Se explican y
ejemplifican tres métodos para obtener las características de frecuencia de la función de
red
)
( s
H
.
1. Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la función
de red
)
(s
H
.
2. Obtención de las características de frecuencia de la función de red
)
(s
H
a partir
del diagrama de polos y ceros.
3. Diagramas de Bode.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las
sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y
profundizar.
Los autores
1
Capítulo 1
Frecuencia compleja. Función de red
Introducción
En los circuitos en estado estable, alimentados con señales sinusoidales, los voltajes,
corrientes e inmitancias (impedancias y admitancias) se representan en función de la
frecuencia angular
. En este capítulo se estudiará la frecuencia compleja s que es un
concepto más general.
1.1 Frecuencia compleja
El concepto de frecuencia compleja es de gran utilidad en el análisis de circuitos, pues
es un concepto que permite relacionar todas las técnicas estudiadas anteriormente. El
análisis de circuitos resistivos, el análisis en estado estable sinusoidal, el análisis
transitorio, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación
exponenciales y funciones sinusoidales exponencialmente amortiguadas, se convertirán
en casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos, asociados con
el concepto de frecuencia compleja.
Primeramente se dará una definición matemática de la frecuencia compleja y luego su
interpretación física.
Definición matemática
Se dice que cualquier función que puede expresarse de la forma:
st
Ke
t
f
)
(
Donde K y s son constantes complejas (independientes del tiempo), está caracterizada
por la frecuencia compleja s . Por tanto, la frecuencia compleja s es el factor que
multiplica a t en esta representación exponencial compleja.
Las señales del mundo real (voltajes y corrientes), pueden ser expresadas como
combinaciones lineales de señales exponenciales complejas.
A continuación se aplica la definición de frecuencia compleja a algunas de las señales
(reales) de excitación o respuesta (voltajes o corrientes) más conocidas. Por ejemplo:
2
1. Voltaje constante:
0
)
(
V
t
v
Puede escribirse en la forma:
t
e
V
t
v
0
0
)
(
Por tanto, la frecuencia compleja de un voltaje o una corriente de CD es cero, o sea:
0
s
.
2. Voltaje exponencial:
t
e
V
t
v
0
)
(
La expresión matemática ya está de la forma requerida. Por tanto, la frecuencia
compleja de un voltaje exponencial es una cantidad real, generalmente negativa:
s
3. Voltaje sinusoidal:
)
cos(
)
(
t
V
t
v
m
Se aplica la identidad de Euler para encontrar una expresión equivalente en términos de
la exponencial compleja, obteniéndose:
t
s
t
s
t
j
j
m
t
j
j
m
t
j
t
j
m
e
K
e
K
e
e
V
e
e
V
e
e
V
t
v
2
1
2
1
)
(
)
(
)
2
1
(
)
2
1
(
)
(
2
1
)
(
Se tiene la suma de dos exponenciales complejas, por lo que hay dos frecuencias
complejas (conjugadas), una para cada término:
j
s
1
j
s
2
*
1
2
s
s
Las constantes son también complejas conjugadas:
j
m
e
V
K
2
1
1
j
m
e
V
K
2
1
2
*
1
2
K
K
El que tanto las frecuencias complejas s como las constantes
K sean complejas
conjugadas, es de esperar, ya que la suma de los dos términos debe ser una cantidad real
)
(t
v
.
3
4. Voltaje sinusoidal exponencialmente amortiguado:
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
Usando nuevamente la identidad Euler para obtener una representación exponencial
compleja:
t
s
t
s
t
j
j
m
t
j
j
m
t
j
t
j
t
m
e
K
e
K
e
e
V
e
e
V
e
e
e
V
t
v
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
(
)
2
1
(
)
(
2
1
)
(
En este caso aparecen también un par de frecuencias complejas conjugadas:
j
s
1
j
s
2
*
1
2
s
s
Las constantes son también complejas conjugadas:
j
m
e
V
K
2
1
1
j
m
e
V
K
2
1
2
*
1
2
K
K
En general, ni
ni son cero, por lo que la onda sinusoidal con variación
exponencial constituye el caso general y las formas de onda constante, exponencial y
sinusoidal son casos especiales.
Ejemplo 1.1
Encuentre las frecuencias complejas asociadas con los voltajes siguientes:
a)
V
t
v
100
)
(
; b)
V
e
t
v
t
2
5
)
(
; c)
V
t
sen
t
v
500
2
)
(
; d)
V
t
sen
e
t
v
t
)
10
6
(
4
)
(
3
R:
a)
0
100
)
(
s
V
t
v
b)
s
Np
s
V
e
t
v
t
/
2
5
)
(
2
c)
s
rad
j
s
s
rad
j
s
V
t
sen
t
v
/
500
;
/
500
500
2
)
(
2
1
d)
1
2
1
1
3
6
3
;
6
3
)
10
6
(
4
)
(
s
j
s
s
j
s
V
t
sen
e
t
v
t
MATLAB:
4
>> syms Vm w t zita
>> vt=1/2*Vm*(exp(j*(w*t+zita))+exp(-j*(w*t+zita)))
vt =
1/2*Vm*(exp(i*(w*t+zita))+exp(-i*(w*t+zita)))
>> vt=simplify(vt)
vt =
Vm*cos(w*t+zita)
Puede considerarse también el caso inverso: dada una frecuencia compleja o un par de
frecuencias complejas conjugadas, identificar la naturaleza de la función con la que
están asociadas.
Es importante aclarar que un valor de s puramente imaginario, como 10
j
, nunca
puede asociarse con una cantidad real,
en este caso se escribiría:
t
jsen
t
K
Ke
t
j
10
10
cos
10
Esta expresión posee parte real e imaginaria y cada parte es sinusoidal. Luego, para
poder construir una función real es necesario considerar valores conjugados de s ,
por ejemplo:
10
2
,
1
j
s
, con los que deberán asociarse valores conjugados de
K .
De manera informal, se puede identificar a cualquiera de esas frecuencias complejas con
un voltaje (corriente) sinusoidal de frecuencia
s
rad /
10
. Debe sobreentenderse la
presencia de la frecuencia compleja conjugada.
La amplitud y el ángulo de fase de la función sinusoidal dependen del valor de K para
cada una de las dos frecuencias.
Ejemplo 1.2
Exprese en forma sinusoidal el voltaje:
V
e
K
e
K
t
v
t
s
t
s
2
1
2
1
)
(
s
rad
j
s
/
10
1
y
V
j
K
8
6
1
Donde:
*
1
2
s
s
y
*
1
2
K
K
5
R:
Teniendo en cuenta que:
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
j
e
j
K
Y como:
j
m
e
V
K
2
1
1
Se tiene que:
10
2
1
m
V
20
m
V
s
rad /
10
1
,
53
El voltaje expresado en forma sinusoidal, que es la sinusoide real, es:
V
t
t
v
)
1
,
53
10
cos(
20
)
(
MATLAB:
>> [angulovt, magnitudvt]=cart2pol(6,-8)
angulovt =
-0.9273
magnitudvt =
10
>> angulovt=angulovt*180/pi
angulovt =
-53.1301
Interpretación física de la frecuencia compleja
En general, la frecuencia compleja s describe una función sinusoidal que varía
exponencialmente.
6
La parte real de s está asociada con la variación exponencial;
si es positiva, la
función aumenta conforme t aumenta; si es negativa, la función decrece, y si es igual a
cero, la amplitud de la sinusoide es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la
parte real de s , mayor será la rapidez del aumento o disminución exponencial.
La parte imaginaria de s
describe la variación sinusoidal; específicamente,
representa la frecuencia angular.
Una magnitud más grande de la parte imaginaria de
s
, indica una variación más rápida con respecto al tiempo.
Por lo tanto, valores mayores para la parte real de s , la parte imaginaria de s , o la
magnitud de s , indican una variación más rápida con respecto al tiempo.
Se acostumbra denotar por
a la parte real de s , y por
a la parte imaginaria de s :
j
s
Donde:
s
: frecuencia compleja (neper complejos/s ó radianes complejos/s),
1
s .
: frecuencia neperiana (en neper/s),
s
N
p
/ .
: frecuencia angular (en radianes/s),
s
rad /
.
A continuación se aborda gráficamente el concepto de s :
Cuando
j
s
:
El voltaje exponencial complejo es:
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
t
jsen
t
V
t
V
e
V
e
e
V
Ve
t
m
m
t
j
m
t
j
j
m
st
De acuerdo a esta expresión, al multiplicar el fasor V por
st
e , el resultado puede ser
interpretado como un fasor que rota a una velocidad angular constante
y no varía su
magnitud (la punta del fasor describe un círculo).
Cuando
j
s
:
El voltaje exponencial complejo es:
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
)
(
t
jsen
t
e
V
t
e
V
e
e
V
e
e
V
Ve
t
t
m
t
m
t
j
t
m
t
j
j
m
st
La expresión indica que al multiplicar el fasor V por
st
e , el resultado puede ser
interpretado como un fasor que rota a una velocidad angular constante
y varía su
magnitud a una razón exponencial
(la punta del fasor describe una espiral).
7
La figura 1.1, ilustra lo señalado anteriormente:
Figura 1.1:
Multiplicación de un fasor V por
st
e , para diferentes valores de
.
El voltaje
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
)
(
t
jsen
t
e
V
e
e
V
e
e
V
Ve
t
t
m
t
j
t
m
t
j
j
m
st
,
es un voltaje de naturaleza compleja, que no puede ser generado en un laboratorio,
donde los voltajes son reales.
El voltaje sinusoidal amortiguado (señal real), es la parte real del producto
st
Ve , o sea,
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
. Gráficamente, el voltaje sinusoidal amortiguado es la
proyección sobre el eje real del producto del fasor V por
st
e :
)
cos(
)
(
t
e
V
Ve
t
m
st
El factor
determina la razón de crecimiento exponencial (
0
) o decrecimiento
exponencial (
0
) de la sinusoide amortiguada. Para
0
, la amplitud de la
sinusoide es constante (la punta del fasor describe un círculo). Este es el caso donde
j
s
.
Ejemplo 1.3
Un voltaje expresado fasorialmente como
V
45
10
tiene una frecuencia compleja
asociada
1
100
50
s
j
s
. Hallar el valor del voltaje en el instante
ms
t 10
.
R:
El voltaje se expresa en forma instantánea como:
V
t
e
t
v
t
)
45
100
cos(
10
)
(
50
En el instante
s
ms
t
2
10
10
:
V
e
e
t
v
29
,
1
3
,
102
cos
10
)
45
)
180
)(
10
)(
100
cos((
10
)
(
5
,
0
2
)
10
)(
50
(
2
8
MATLAB:
>> t=0.01;
>> vt=10*exp(-50*t)*cos(100*t+45*pi/180)
vt =
-1.2917
Ejemplo 1.4
En el circuito mostrado en la figura 1.2 se desea encontrar la respuesta exponencial
compleja
)
(
0
t
al voltaje de excitación exponencial complejo
st
i
i
e
V
t
)
(
.
Figura 1.2:
Circuito excitado con una señal exponencial compleja.
R:
Asumiendo que la respuesta es también un voltaje exponencial complejo:
st
o
o
e
V
t
)
(
Hallando la relación entre
)
(t
o
y
)
(t
i
:
Aplicando la LKC en el nodo superior derecho:
0
)
(
2
1
R
R
dt
d
C
o
i
o
i
o
Reordenando la ecuación:
i
i
o
o
R
dt
d
C
R
R
R
R
dt
d
C
R
R
2
2
1
2
1
2
1
)
(
Sustituyendo las expresiones
st
i
i
e
V
t
)
(
y
st
o
o
e
V
t
)
(
en la ecuación anterior y
realizando las derivadas indicadas:
9
st
i
st
i
st
o
st
o
e
V
R
e
CsV
R
R
e
V
R
R
e
CsV
R
R
2
2
1
2
1
2
1
)
(
Agrupando términos y empleando nuevamente las expresiones
st
i
i
e
V
t
)
(
y
st
o
o
e
V
t
)
(
, se obtiene:
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
o
Si los valores de las componentes son conocidas, puede encontrarse fácilmente
)
(t
o
para un valor dado de
)
(t
i
, calculando el lado derecho de la ecuación para el valor de
s
que aparece en la expresión
st
i
i
e
V
t
)
(
.
MATLAB:
>> syms R1 R2 C s vi v0
>> v0=solve('R1*R2*C*s*v0+(R1+R2)*v0=R1*R2*C*s*vi+R2*vi')
v0 =
R2*vi*(R1*C*s+1)/(R1*R2*C*s+R1+R2)
Ejemplo 1.5
En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a la
entrada
V
t
i
12
)
(
.
R:
Sustituyendo los valores de las componentes en la ecuación que relaciona la respuesta
con la entrada, que se obtuvo en el ejemplo 5.4:
)
(
3
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
s
s
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
i
o
Expresando el voltaje de entrada
)
(t
i
en la forma estándar:
t
j
i
e
e
t
0
0
12
12
)
(
Se observa que:
0
y
0
s
Sustituyendo:
10
V
t
s
s
t
i
o
8
)
12
)(
3
)
0
(
2
2
)
0
(
2
(
)
(
3
2
2
2
)
(
MATLAB:
>> R1=1;R2=2;C=1;s=0;vi=12;
>> v0=R2*vi*(R1*C*s+1)/(R1*R2*C*s+R1+R2)
v0 =
8
Ejemplo 1.6
En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a la
entrada
V
e
t
t
j
i
)
2
3
(
12
)
(
.
R:
Sustituyendo los valores de las componentes en la ecuación que relaciona la respuesta
con la entrada, que se obtuvo en el ejemplo 1.4:
)
(
3
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
s
s
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
i
o
Expresando el voltaje exponencial complejo de entrada
)
(t
i
en la forma estándar:
t
j
j
t
j
i
e
e
e
t
)
2
3
(
0
)
2
3
(
12
12
)
(
Se observa que:
0
y
2
3 j
s
Sustituyendo valores, se obtiene la respuesta exponencial compleja:
V
e
e
e
j
j
t
s
s
t
t
j
t
j
j
i
o
)
2
3
(
)
2
3
(
0
13
,
8
5765
,
13
)
12
)(
3
)
2
3
(
2
2
)
2
3
(
2
(
)
(
3
2
2
2
)
(
MATLAB:
>> R1=1;R2=2;C=1;s=-3+2i;
>> (R1*R2*C*s+R2)/(R1*R2*C*s+(R1+R2))
ans =
1.1200 + 0.1600i
11
>> V=ans*12
V =
13.4400 + 1.9200i
>> moduloV=abs(V)
moduloV =
13.5765
>> anguloV=angle(V)*180/pi
anguloV =
8.1301
En el ejemplo 1.4 se obtuvo la relación entre la respuesta exponencial compleja
)
(t
o
y
la señal exponencial compleja de entrada
)
(t
i
a través de una ecuación diferencial.
Este procedimiento tiende a ser largo, sobre todo en circuitos de cierta complejidad. Un
procedimiento más rápido está basado en el álgebra fasorial, que se presenta en el
siguiente epígrafe.
Problemas de consolidación
1-1. Escribir el módulo, el ángulo de fase (emplear la función coseno) y la frecuencia
compleja, correspondientes a las funciones del tiempo:
a)
A
t
i
86
)
(
; b)
V
t
t
v
)
45
250
cos(
25
)
(
; c)
A
t
sen
e
t
i
t
)
90
50
(
5
)
(
100
R:
a)
0
,
0
86
s
A
; b)
s
rad
j
s
V
/
250
,
45
25
; c)
1
50
100
,
0
5
s
j
s
A
1-2. Identificar todas las frecuencias complejas presentes en las siguientes funciones
reales del tiempo.
a)
t
sen
e
e
t
t
2000
)
2
(
200
100
; b)
)
4
cos(
)
2
(
10
t
e
t
; c)
t
sen
t
e
t
40
10
cos
10
.
R:
a)
1
1
1
1
2000
200
;
2000
200
;
2000
100
;
2000
100
s
j
s
j
s
j
s
j
b)
1
1
1
1
4
10
;
4
10
;
4
;
4
s
j
s
j
s
j
s
j
c)
1
1
1
1
30
10
;
30
10
;
50
10
;
50
10
s
j
s
j
s
j
s
j
12
1-3. Escribir la función del tiempo (emplear la función coseno) correspondiente al
módulo, el ángulo de fase y la frecuencia compleja indicados en cada caso:
a)
s
rad
j
s
/
120
,
45
2
; b)
1
1000
5000
,
0
15
s
j
s
R:
a)
)
45
120
cos(
2
t
; b)
t
e
t
1000
cos
15
5000
1-4. Construya la forma general de la función real del tiempo, correspondiente a una
función con las siguientes frecuencias complejas:
a)
1
10
,
10
,
0
s ; b)
1
8
5
,
8
,
5
s
j
j
; c)
1
20
20
,
20
20
,
20
,
20
s
j
j
R:
a)
t
t
Ce
Be
A
10
10
;
b)
)
8
cos(
)
8
cos(
2
5
1
5
t
Ce
t
B
A
t
t
c)
)
20
cos(
)
20
cos(
2
20
1
20
20
20
t
De
t
Ce
Be
A
t
t
t
t
1-5. En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a
la entrada
V
e
t
t
i
3
12
)
(
.
R:
V
e
t
3
16
1-6. En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a
la entrada
V
e
t
t
j
i
2
12
)
(
.
R:
V
e
t
j 2
30
,
10
7331
,
10
1.2 Inmitancias operacionales (
)
(s
Z
y
)
(s
Y
)
El concepto de inmitancias ( Z y Y ) puede extenderse a las frecuencias complejas.
Primeramente se determinará la impedancia del inductor en términos de s (impedancia
operacional) y se darán los resultados, sin demostración, para el resistor y el capacitor.
Sea
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
el voltaje aplicado a un inductor
L . La respuesta de
corriente debe tener la forma:
)
cos(
)
(
t
e
I
t
i
t
m
.
El voltaje y la corriente pueden ser representados como:
)
(
)
cos(
)
(
st
t
m
Ve
t
e
V
t
v
)
(
)
cos(
)
(
st
t
m
Ie
t
e
I
t
i
13
Donde V e I , son los fasores de voltaje y corriente.
Al sustituir estas expresiones en la ecuación de definición de un inductor:
dt
t
di
L
t
v
)
(
)
(
Se obtiene:
)
)
(
(
))
(
(
)
(
dt
Ie
d
L
dt
Ie
d
L
Ve
st
st
st
)
(
)
(
st
st
sLIe
Ve
Si se elimina a ambos lados de la igualdad el operador
, se obtiene la respuesta
compleja debida a una excitación compleja, y eliminando el término
st
e el resultado es:
sLI
V
sL
I
V
Z
s
)
(
sL
V
I
Y
s
1
)
(
En la figura 1.3b) se muestra el equivalente en el dominio de la frecuencia compleja de
la figura 1.3a) (voltaje y corriente en el inductor en el dominio de t).
a) b)
Figura 1.3:
Inductor en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia compleja.
Un razonamiento similar permite obtener las inmitancias de R y C en términos de s .
Los resultados se muestran en la tabla 1.1:
Tabla 1.1:
Inmitancias operacionales del resistor, inductor y capacitor.
R
L
C
14
)
(s
Z
R
sL
sC
1
)
(s
Y
R
1
sL
1
sC
Las relaciones volt-ampere para los tres elementos pasivos ( R , L y C ) tienen la forma
de la ley de Ohm generalizada:
I
Z
V
s)
(
)
(s
Z recibe el nombre de impedancia operacional (generalizada):
I
V
Z
s
)
(
El inverso de
)
(s
Z recibe el nombre de admitancia operacional (generalizada):
V
I
Z
Y
s
s
)
(
)
(
1
Las impedancias y admitancias generalizadas de los elementos pasivos ( R , L y C ) son
similares a las impedancias y admitancias de dichos elementos en circuitos de CA,
excepto que ahora se usa s en lugar de
j .
La similitud entre
)
(s
Z y
)
(
j
Z
sugiere que puede aplicarse las técnicas de análisis
fasorial desarrolladas para circuitos de corriente alterna en estado estable sinusoidal, a
circuitos estimulados con señales exponenciales complejas. Al evitarse la formulación y
solución de ecuaciones diferenciales, mediante el empleo de ecuaciones algebraicas
mucho más simples, este procedimiento es más rápido y brinda menos posibilidad de
error.
El procedimiento a seguir consistirá, en redibujar el circuito en el dominio de la
frecuencia compleja, para lo cual, las fuentes y variables serán reemplazadas por sus
fasores y los elementos del circuito serán reemplazados por sus impedancias o
admitancias generalizadas.
En la red operacional equivalente, se aplicarán las técnicas de análisis de circuitos, tales
como: ley de Ohm generalizada, combinaciones de impedancias o admitancias en serie
o en paralelo, divisores de voltaje o corriente, métodos generales de solución, teoremas,
15
propiedades del amplificador operacional, etc., hasta obtener la respuesta fasorial
deseada.
Ejemplo 1.7
Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
e
t
v
t
)
10
4
cos(
60
)
(
2
al circuito RLC
serie mostrado en la figura 1.4. Determine la expresión de la corriente (real) )
(t
i
.
Figura 1.4:
Circuito con voltaje de entrada sinusoidal exponencialmente amortiguado.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
La fuente con un voltaje
)
(t
v
se transforma en una fuente con un voltaje fasorial:
V
V
10
60
a una frecuencia compleja
1
4
2
s
j
s
y se supone una corriente
fasorial I .
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento a la frecuencia s dada.
2
)
(s
R
Z
12
6
3
)
4
2
(
)
(
j
j
sL
Z
s
L
2
1
)
1
,
0
)(
4
2
(
1
1
)
(
j
j
sC
Z
s
C
Se dibuja el circuito de la figura 1.5 en el dominio de la frecuencia compleja:
16
Figura 1.5:
Circuito RLC en el dominio de la frecuencia compleja.
Se obtiene el valor de la corriente fasorial I .
A
j
j
j
I
6
,
106
37
,
5
10
5
10
60
)
2
1
(
)
12
6
(
2
10
60
º
El valor de la corriente (real) en el dominio del tiempo es:
A
t
e
t
i
t
)
6
,
106
4
cos(
37
,
5
)
(
2
El archivo .m se muestra en la figura 1.6 y la gráfica obtenida en el MatLab en la 1.7.
MATLAB:
Figura 1.6:
Archivo .m que muestra la forma de onda de una corriente sinusoidal
exponencialmente decreciente.
17
Figura 1.7:
Grafica de la corriente
A
t
e
t
i
t
)
6
,
106
4
cos(
37
,
5
)
(
2
.
Ejemplo 1.8
Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
e
t
v
t
i
)
30
5
,
1
cos(
10
)
(
5
,
0
al circuito RC
mostrado en la figura 1.8.
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Determine la expresión de la
respuesta (real)
)
(t
v
o
.
Figura 1.8:
Circuito con voltaje de entrada sinusoidal exponencialmente amortiguado.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
La fuente con un voltaje
)
(t
v
i
se transforma una fuente con un voltaje fasorial:
V
V
i
30
10
a una frecuencia compleja
1
5
,
1
5
,
0
s
j
s
.
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento a la frecuencia s dada.
1
)
(
1 s
R
Z
2
)
(
2 s
R
Z
6
,
0
2
,
0
)
1
)(
5
,
1
5
,
0
(
1
1
)
(
j
j
sC
Z
s
C
El diagrama del circuito en el dominio de la frecuencia compleja se muestra en la figura
1.9.
18
Figura 1.9:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
6
,
0
2
,
0
)
6
,
0
2
,
0
(
)
1
(
)
6
,
0
2
,
0
)(
1
(
)
(
j
j
j
Zp
s
Aplicando división de voltaje:
V
j
Zp
V
V
s
i
o
2551
,
45
7706
,
8
2
)
6
,
0
2
,
0
(
2
)
30
10
(
2
2
)
(
El voltaje de salida (real)
)
(t
v
o
es:
V
t
e
t
v
t
o
)
2551
,
45
5
,
1
cos(
7706
,
8
)
(
5
,
0
La respuesta es un voltaje sinusoidal exponencialmente amortiguado, con el mismo
factor de amortiguamiento
y frecuencia
que la señal de entrada, solamente difiere
en amplitud y ángulo de fase.
En las figuras 1.10 y 1.11 aparecen el fichero .m y los gráficos obtenidos en la
simulación.
MATLAB:
19
Figura 1.10:
Archivo .m que muestra el estímulo y la respuesta sinusoidales
exponencialmente decrecientes.
Figura 1.11:
Grafica del estímulo
V
t
e
t
v
t
i
)
30
5
,
1
cos(
10
)
(
5
,
0
y de la respuesta
V
t
e
t
v
t
o
)
2551
,
45
5
,
1
cos(
7706
,
8
)
(
5
,
0
.
Ejemplo 1.9
Obtener la impedancia generalizada
)
(s
Z para el dipolo de la figura 1.12.
20
Figura 1.12:
Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento:
4
)
(s
R
Z
s
sL
Z
s
L
3
)
(
s
sC
Z
s
C
2
1
1
)
(
La variable
x
i se transforma en la variable
x
I .
La fuente de voltaje dependiente de corriente
x
i
5 se transforma en la fuente
x
I
5 .
El diagrama del circuito en el dominio de la frecuencia compleja se presenta en la figura
1.13.
Figura 1.13:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
Se aplica una fuente de prueba con un voltaje fasorial (
i
V ) a los terminales de entrada
según aparece en la figura 1.14 y se calcula la corriente fasorial que sale por el terminal
21
positivo de la fuente de prueba (
i
I ), obteniéndose la impedancia generalizada
)
(s
Z
como:
i
i
s
I
V
Z
)
(
Figura 1.14:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja con una fuente de
prueba.
Aplicando LKC en el nodo superior:
0
4
3
5
2
1
s
I
V
s
V
I
x
i
i
i
Pero
i
i
i
i
x
sV
I
s
V
I
I
2
2
1
Sustituyendo:
0
4
3
)
2
(
5
2
1
s
sV
I
V
s
V
I
i
i
i
i
i
0
4
3
10
5
2
s
sV
I
V
sV
I
i
i
i
i
i
0
10
5
8
6
4
3
2
i
i
i
i
i
i
i
sV
I
V
sV
V
s
I
sI
Agrupando términos:
i
i
I
s
V
s
s
)
9
3
(
)
1
18
6
(
2
Por tanto la impedancia generalizada
)
(
s
Z para el dipolo es:
1
18
6
9
3
2
)
(
s
s
s
I
V
Z
i
i
s
22
MATLAB:
>> Ii=solve('-Ii+Vi/(1/(2*s))+(Vi-5*(Ii-2*s*Vi))/(3*s+4)=0','Ii')
Ii =
1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
>> syms Vi Ii s
>> Ii=1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
Ii =
1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
>> Zs=Vi/Ii
Zs =
3/(6*s^2+18*s+1)*(s+3)
En la figura 1.15 se representa el plano de la frecuencia compleja o plano s . A cada
punto de este plano le corresponde un valor de s y con cada valor de s puede asociarse
un punto en este plano complejo.
Figura 1.15:
Plano s .
El plano s constituye una herramienta básica con la que es posible investigar el
comportamiento de un circuito a partir de la representación en este plano de sus
frecuencia críticas, decidir dónde deben estar localizadas estas frecuencias para obtener
una respuesta deseada y posteriormente realizar la síntesis del circuito (ejemplo:
respuesta de frecuencia de un filtro). El plano s también permite investigar la presencia
23
de oscilaciones indeseables en amplificadores con retroalimentación y sistemas de
control automático (estabilidad).
Tal como una función en el dominio del tiempo puede asociarse con un valor de s (real,
imaginario o complejo) es posible asociar la forma funcional de una excitación o de una
respuesta forzada con una región específica del plano s .
La representación gráfica de la respuesta forzada de un circuito como función de la
frecuencia compleja s constituye una técnica muy útil en el análisis y síntesis de los
circuitos. En la figura 1.16 se muestra la relación entre la forma funcional de una
excitación o de una respuesta forzada con una región específica del plano s .
Figura 1.16:
Relación entre la forma funcional de una excitación o de una respuesta
forzada con una región específica del plano s .
El origen, por ejemplo, representa una cantidad de C.D. Los puntos que están sobre el
eje
representan funciones exponenciales, decrecientes cuando
0
y crecientes
cuando
0
. Las sinusoides puras están asociadas con los puntos que están sobre el
eje
j positivo o negativo. La mitad derecha del plano s contiene puntos que
describen frecuencias con partes reales positivas, por lo cual corresponde a cantidades
en el dominio del tiempo que son sinusoides exponencialmente crecientes, excepto
sobre el eje
. De manera análoga, la mitad izquierda del plano s contiene puntos que
describen frecuencias con partes reales negativas, por lo cual corresponde a cantidades
en el dominio del tiempo que son sinusoides exponencialmente decrecientes, excepto
sobre el eje
.
24
Problemas de consolidación
1-7. Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
sen
e
t
v
t
i
)
60
2
(
3
)
(
al circuito del
ejemplo 1.7. Determine la expresión de la respuesta (real)
)
(t
v
o
.
R:
V
t
e
t
v
t
o
)
46
,
39
2
cos(
973
,
1
)
(
1-8. Obtener la impedancia generalizada
)
(
s
Z para el dipolo de la figura 1.17.
Figura 1.17:
Circuito para el ejemplo 1.8.
R:
1
8
54
4
27
2
)
(
s
s
s
Z
s
1.3 Función de red. Diagrama de polos y ceros
En un circuito general formado por resistores, inductores, capacitores y tal vez fuentes
dependientes, la señal aplicada (t)
x
y la respuesta (t)
y
están relacionadas en general
por una ecuación diferencial lineal del tipo:
x
x
x
x
y
y
0
1
1
1
1
0
1
1
-
n
1
1
n
n
...
...
dt
dt
d
a
dt
d
a
dt
d
a
dt
d
a
y
b
dt
dy
b
d
b
b
m
m
m
m
m
m
n
n
n
Los coeficientes desde
0
a hasta
m
a y desde
0
b hasta
n
b son coeficientes adecuados,
cuyas expresiones dependen de los elementos que constituyen el circuito y por tanto son
reales e invariantes en el tiempo.
Con una señal aplicada del tipo exponencial compleja:
st
Xe
t
)
(
x
La respuesta es también del tipo exponencial compleja:
st
Ye
t
)
(
y
El valor de s en la señal de respuesta es igual al valor de s en la señal aplicada.
25
Sustituyendo
st
Ye
t
)
(
y
y
st
Xe
t
)
(
x
en la ecuación diferencial lineal y teniendo en
cuenta que:
)
(
)
(
st
k
k
st
k
e
s
dt
e
d
Se obtiene:
st
m
m
m
m
st
n
n
n
n
Xe
a
s
a
s
a
s
a
Ye
b
s
b
s
b
s
b
)
...
(
)
...
(
0
1
1
1
0
1
1
1
Eliminando el término común
st
e , esta expresión puede abreviarse como:
X
N
Y
D
s
s
)
(
)
(
(I)
)
(s
D y
)
(s
N son polinomios en s con coeficientes reales.
0
1
1
1
)
(
...
b
s
b
s
b
s
b
D
n
n
n
n
s
0
1
1
1
)
(
...
a
s
a
s
a
s
a
N
m
m
m
m
s
Los grados de los polinomio son n y m .
Estos polinomios son, respectivamente los miembros izquierdo y derecho de la ecuación
diferencial lineal, pero con las derivadas reemplazadas por potencias de s .
En una red lineal, sin condiciones iniciales, si se aplica un único estímulo
)
(
)
(
1
t
t
f
x
,
se obtiene una respuesta
)
(
)
(
2
t
t
f
y
, tal como se muestra en la figura 1.18a. Si se
construye la red operacional equivalente, como aparece en la figura 1.18b, las
expresiones del estímulo y la respuesta serían
)
(
1 s
F y
)
(
2 s
F
.
Figura 1.18:
Red en el dominio del tiempo (a) y en el de la frecuencia compleja (b).
Se define la función de red
)
(s
H como la relación respuesta-estímulo (salida-entrada) en
el campo s . La ecuación (I) permite expresar la función de red como:
26
0
1
1
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
...
...
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
D
N
F
F
X
Y
H
n
n
n
n
m
m
m
m
s
s
s
s
s
La función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
F
F
H
es una relación de dos polinomios con potencias enteras
de s , o sea, es una función racional de s .
Dependiendo de la naturaleza de la señal de entrada
)
(
1
t
f
, de la señal de respuesta
)
(
2
t
f
, así como del puerto en el cual se aplica
)
(
1
t
f
y del puerto en que se observa
)
(
2
t
f
, un mismo circuito tendrá diferentes funciones de red, por ejemplo:
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
Ganancia de voltaje.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
I
I
H
Ganancia de corriente.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de transferencia.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
I
H
Admitancia de transferencia.
)
(
1
)
(
1
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de entrada.
)
(
2
)
(
2
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de salida.
La función de red
)
(s
H no depende del valor del estímulo particular que se aplique, solo
depende de los parámetros y la topología de la red en cuestión.
El estudio de las funciones de redes es esencial en todos los campos de la ingeniería de
perfil eléctrico. Conociendo la función de red, se puede analizar el circuito como "un
bloque" cuya respuesta a cualquier estímulo se obtiene directamente a partir de:
)
(
1
)
(
)
(
2
s
s
s
F
H
F
De manera, que si se conoce el fasor de la señal de entrada (
1
F
), el fasor de la señal de
respuesta (
2
F
), se encuentra fácilmente a partir de:
27
1
)
(
2
F
H
F
s
Si ambos lados se multiplican por
st
e , se obtiene la entrada y la salida en forma
exponencial compleja:
)
(
)
(
)
(
t
H
t
s
1
2
f
f
La función de red se calcula, al valor particular de s que aparece en el exponente de la
señal exponencial compleja aplicada:
st
e
F
t
1
)
(
1
f
La función de red
)
(s
H
es una herramienta analítica útil para determinar la respuesta de
frecuencia de un circuito, y problemas tan importantes como el análisis de la estabilidad
de un circuito se resuelven a partir del concepto y las propiedades de
)
(s
H
.
Como se señaló anteriormente, la función de red
)
(s
H puede expresarse en términos de
sus polinomios del numerador
)
(s
N
y del denominador
)
(s
D
como:
0
1
1
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)
(
...
...
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
D
N
H
n
n
n
n
m
m
m
m
s
s
s
La representación de
)
(s
H en esta ecuación supone que los factores comunes de
)
(s
N y
)
(s
D se han cancelado reduciendo el cociente a los mínimos términos. Las raíces de
0
)
(
s
N
son llamadas los ceros de
)
(s
H , debido a que
)
(s
H se hace cero en esos valores
de s y suelen representarse como
1
z
,
2
z
...
m
z . De manera similar, las raíces de
0
)
(
s
D
son los polos de
)
(s
H , debido a que
)
(s
H se hace infinito en esos valores de s y suelen
representarse como
1
p ,
2
p ,...
n
p .
Para que una función de red
)
(s
H sea realizable físicamente, el grado del numerador
debe ser menor o igual al del denominador (
n
m
).
La función de red
)
(s
H también puede expresarse en términos de sus ceros, polos y
ganancia. Factorizando
)
(s
N y
)
(s
D en términos de sus raíces respectivas se obtiene:
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
s
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
H
28
n
m
b
a
K
Al factor K se le denomina factor de escala o ganancia. Como los coeficientes
m
a y
n
b
son reales, K también es un factor real.
A los ceros y a los polos de la función de red, se les denomina colectivamente las
raíces
o las
frecuencias críticas de
)
(s
H . Los valores de los ceros y los polos, solo dependen
de los parámetros y la topología de la red en cuestión, no dependen de las señales
aplicadas o de la energía almacenada en los elementos reactivos.
Un factor de la función de red de la forma
r
s
)
(
corresponde a una raíz repetida
s
(polo o cero). El exponente r recibe el nombre de
multiplicidad de la raíz.
En general las frecuencias críticas son cantidades complejas, aunque en muchos casos
pueden ser reales. Ya que los coeficientes de
)
(s
N y
)
(s
D son reales, la teoría sobre
polinomios señala que cuando las raíces son complejas, siempre aparecen en
pares
conjugados.
Los polos y los ceros de la función de red
)
(s
H se representan en el plano complejo,
denominándose esta representación
diagrama de polos y ceros.
Los ceros se representan por pequeños círculos y los polos por cruces. Los polos o ceros
para frecuencias infinitas deben indicarse con flechas cerca de los ejes.
Si
n
m , entonces
0
lim
)
(
s
s
H
, lo que indica que
)
(s
H tiene (
m
n
) ceros en el
infinito. Por el contrario, si
n
m , entonces
)
(
lim
s
s
H
, indicando que
)
(s
H tiene
(
n
m
) polos en el infinito.
Interpretación física de los polos y los ceros
Cada punto del plano s representa la frecuencia compleja de una señal de estímulo. El
fasor
Y ó
2
F
de la respuesta se obtiene multiplicando el fasor
X ó
1
F
de la señal de
entrada, por el valor de
)
(s
H en ese punto específico,
X
H
Y
s)
(
.
Esta igualdad puede expresarse como dos relaciones separadas de magnitud y fase:
X
H
Y
s)
(
29
X
H
Y
s
)
(
Tanto la magnitud de
)
(s
H , como el ángulo de
)
(s
H pueden ser graficados punto a
punto contra s , lo que permite obtener gráficos de magnitud y fase.
Teniendo en cuenta que s es un parámetro bidimensional, se puede graficar
)
(s
H
y
)
(s
H
como distancias verticales (alturas) sobre el plano s obteniendo como resultado
un par de superficies. Solo se abordará la superficie de magnitud, pues facilita la
comprensión del significado de las frecuencias críticas.
En general, un gráfico de magnitud tiene el aspecto del techo de una tienda de campaña.
La altura de las fijaciones se hace infinita para valores particulares de s ,
convenientemente llamados polos y toca al plano s para valores particulares de s
llamados ceros. Estos puntos particulares, como anteriormente se señaló, son las
frecuencias críticas del circuito.
Para encontrar el significado de un cero en
k
z
s
, se supone que se aplica al circuito,
una señal
t
z
k
Xe
t
)
(
x
, entonces por la ecuación de definición de la función de red, la
respuesta es
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
t
t
H
t
k
z
x
x
y
. Se concluye que sometiendo al circuito a una
señal con frecuencia compleja s , igual a la de uno de los ceros de su función de red, se
tendrá una
respuesta cero, independientemente de la magnitud de la señal aplicada.
Para encontrar el significado de un polo en
k
p
s
, se supone que se aplica una señal
st
Xe
t
)
(
x
, con un valor de s suficientemente cercano a
k
p , para que
)
(s
H
sea
extremadamente grande. Esto significa que para sostener una respuesta
)
(t
y
de una
amplitud dada Y , una señal aplicada
)
(t
x
de magnitud extremadamente pequeña X
será suficiente. Mientras más se acerque s a
k
p , menor deberá ser X para un Y dado.
En el límite cuando
k
p
s
el circuito entregará una
respuesta diferente de cero aun
sin señal aplicada. Esta es la respuesta del circuito sin fuentes o respuesta natural,
indicando que un polo
k
p contribuye con un término natural del tipo
t
p
k
k
e
Y
t
)
(
y
. Esta
contribución es posible, debido a la propiedad de los elementos reactivos (inductores y
capacitores) existentes en el circuito, de liberar la energía previamente almacenada.
Ejemplo 1.10
30
En el circuito de la figura 1.19, hallar la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
V
H
y dibujar su
diagrama de polos y ceros.
Figura 1.19: Circuito en el campo del tiempo.
R:
La red operacional equivalente se muestra en la figura 1.20.
Figura 1.20: Red operacional equivalente.
2
3
2
3
2
2
)
(
1
)
(
1
)
(
2
s
s
s
V
s
s
s
V
V
s
s
s
2
3
2
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
V
Determinación de los ceros:
0
0
0
2
1
2
)
(
z
z
s
N
s
(Cero doble en 0).
Determinación de los polos:
2
1
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
1
2
)
(
p
p
s
s
s
s
D
s
Ganancia:
31
1
K
En la figura 1.21 se muestra el diagrama de polos y ceros de esta función.
Figura 1.21: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> Ds=[1 3 2]
Ds =
1 3 2
>> raicesDs=roots(Ds)
raicesDs =
-2
-1
Ejemplo 1.11
La red y el diagrama de polos y ceros correspondientes a la impedancia de entrada
)
(s
Z
son mostrados en las figuras 1.22 a y b respectivamente. Determinar:
a) La expresión de
)
(s
Z si
3
)
0
(
Z
.
b) Los valores de
C
L
R ,
,
.
32
Figura 1.22: Red y diagrama de polos y ceros correspondiente a
)
(s
Z .
R:
a) La red operacional equivalente se muestra en la figura 1.23.
Figura 1.23: Red operacional equivalente.
Del diagrama de polos y ceros:
34
6
)
6
(
)
5
3
)(
5
3
(
)
6
(
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
K
j
s
j
s
s
K
I
V
Z
s
s
s
Para
0
s
:
3
34
)
6
(
)
0
(
K
Z
Por tanto:
17
6
)
3
)(
34
(
K
Se obtiene la expresión de
)
(s
Z :
33
34
6
)
6
(
17
2
)
(
s
s
s
Z
s
(I)
b)
De la red:
LC
s
L
R
s
L
R
s
C
RCs
LCs
sL
R
sC
sL
R
sC
sL
R
Z
s
1
)
)(
1
(
1
1
)
1
)(
(
2
2
)
(
(II)
Comparando I y II:
mF
F
C
C
8
,
58
0588
,
0
17
1
17
1
H
L
LC
5
,
0
34
1
3
6
R
L
R
MATLAB:
>> syms s R L C
>> Zs=((R+s*L)*(1/(s*C)))/(R+s*L+1/(s*C))
Zs =
(R+s*L)/s/C/(R+s*L+1/s/C)
>> Zs=simplify(Zs)
Zs =
(R+s*L)/(R*s*C+s^2*L*C+1)
Ejemplo 1.12
Hallar la función de red
i
o
s
V
V
H
)
(
, en el circuito de la figura 1.24. Considere ideal el
amplificador operacional.
34
Figura 1.24: Circuito con amplificador operacional ideal en el campo de la frecuencia
compleja.
R:
1
1
1
1
3
3
2
Cs
R
V
sC
R
sC
V
V
i
i
2
1
V
V
(Amplificador operacional ideal).
)
1
(
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
1
Cs
R
R
Cs
R
V
R
Cs
R
R
Cs
R
V
R
Cs
R
V
V
Cs
R
V
R
Cs
R
V
V
R
V
V
I
i
i
i
i
i
i
i
i
)
(
)
)
1
(
(
1
1
)
1
(
1
3
1
1
3
2
3
1
1
2
3
3
2
3
1
3
1
2
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
V
Cs
R
R
R
CsR
R
V
Cs
R
V
R
Cs
R
R
Cs
R
V
V
IR
V
i
i
i
i
o
1
3
1
1
3
2
)
(
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
V
V
H
i
o
s
MATLAB:
>> syms Vo Vi R1 R2 R3 C s
>> V1=Vi/(R3*C*s+1)
V1 =
Vi/(R3*C*s+1)
>> I=(Vi-V1)/R1
I =
35
(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1
>> Vo=-I*R2+V1
Vo =
-(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1*R2+Vi/(R3*C*s+1)
>> Hs=Vo/Vi
Hs =
(-(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1*R2+Vi/(R3*C*s+1))/Vi
>> Hs=simplify(Hs)
Hs =
-(R3*C*s*R2-R1)/(R3*C*s+1)/R1
Ejemplo 1.13
En el circuito de la figura 1.25, hallar
)
(
)
(
)
(
s
i
s
o
s
I
I
H
y dibujar su diagrama de polos y
ceros.
Figura 1.25: Circuito RLC .
R:
El circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja se muestra en la figura
1.26.
Figura 1.26: Circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja.
36
s
s
s
s
I
s
s
s
I
I
s
i
s
i
s
o
2
4
2
)
2
4
(
2
2
4
)
2
4
(
2
)
(
)
(
)
(
1
2
)
2
(
)
1
2
(
2
)
2
(
2
2
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
I
I
H
s
i
s
o
s
Determinación de los ceros:
2
0
0
)
2
(
2
1
)
(
z
z
s
s
N
s
Determinación de los polos:
1
1
0
)
1
(
)
1
)(
1
(
1
2
2
1
2
2
)
(
p
p
s
s
s
s
s
D
s
(Polo doble en -1)
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros de la función de red aparece en la figura 1.27.
Figura 1.27: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> syms s
>> Hs=(4+2*s)/(4+2*s+2/s)
Hs =
(4+2*s)/(4+2*s+2/s)
>> simplify(Hs)
ans =
(s+2)*s/(2*s+s^2+1)
37
Ejemplo 1.14
El circuito de la figura 1.28 está representado en el campo de la frecuencia compleja:
hallar la función de red
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
I
H
y determinar los valores de los ceros, polos y
ganancia de la función de red.
Figura 1.28: Circuito en el campo de la frecuencia compleja.
R:
60
5
150
100
5
,
12
60
5
100
5
,
2
3
60
5
3
100
5
,
2
20
3
5
)
20
)(
3
5
(
5
,
2
2
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
s
s
V
s
s
s
s
V
s
s
s
s
V
I
s
s
s
s
s
12
30
20
5
,
2
2
2
)
(
)
(
s
s
s
V
I
s
s
12
8
12
4
,
0
)
12
8
(
5
,
2
12
30
20
5
,
2
12
12
30
20
5
,
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
V
I
H
s
s
s
Determinación de los ceros:
0
)
12
(
4
,
0
2
)
(
s
N
s
4641
,
3
)
1
)(
2
(
)
12
)(
1
)(
4
(
0
0
2
2
,
1
j
z
(Par de ceros conjugados en
4641
,
3
j
).
Determinación de los polos:
0
)
6
)(
2
(
12
8
2
)
(
s
s
s
s
D
s
2
1
p
,
6
2
p
(Polo simple en 2
y en 6
).
38
Ganancia:
4
,
0
K
El archivo .m y el diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene se muestran en la
figura 1.29 y 1.30.
MATLAB:
Figura 1.29: Archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia de
)
(s
H .
Transfer function:
0.4 s^2 + 4.8
--------------
s^2 + 8 s + 12
z =
0 + 3.4641i
0 - 3.4641i
p =
-6
-2
k =
0.4000
39
Figura 1.30: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
Ejemplo 1.15
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
)
2
2
)(
3
(
)
13
4
(
)
5
(
10
2
2
2
2
)
(
s
s
s
s
s
s
s
H
s
R:
Determinación de los ceros:
0
)
13
4
(
)
5
(
10
2
2
)
(
s
s
s
N
s
5
1
z
,
5
2
z
(Cero doble en 5
).
3
2
)
1
)(
2
(
)
13
)(
1
)(
4
(
4
4
2
4
,
3
j
z
(Par de ceros conjugados en
3
2
j
).
0
lim
)
(
s
s
H
(
5
,
4
n
m
)
(Cero en el infinito).
Determinación de los polos:
0
)
2
2
)(
3
(
2
2
)
(
s
s
s
s
D
s
0
1
p
,
0
2
p
(Polo doble en 0 ).
3
3
p
(Polo simple en 3
).
1
1
)
1
)(
2
(
)
2
)(
1
)(
4
(
2
2
2
5
,
4
j
p
(Par de polos conjugados en
1
1
j
).
40
Ganancia:
10
K
El diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene se muestra en la figura 1.31.
Figura 1.31: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> roots([1 4 13])
ans =
-2.0000 + 3.0000i
-2.0000 - 3.0000i
>> roots([1 2 2])
ans =
-1.0000 + 1.0000i
-1.0000 - 1.0000i
Ejemplo 1.16
Los valores de los ceros y los polos de una función de red
)
(s
H , son:
2
1
z
con
multiplicidad 2 ;
2
1
3
,
2
j
z
;
0
1
p
;
3
2
p
con multiplicidad 2 ;
1
2
4
,
3
j
p
,
41
3
0
6
,
5
j
p
. Asumiendo un factor de escala (ganancia)
100
K
, calcular
)
(s
H en
1
5
j
s
.
R:
La función de red
)
(
s
H expresada en términos de sus ceros, polos y ganancia, tiene la
forma:
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
s
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
H
De acuerdo a los valores dados:
)
9
)(
5
4
(
)
3
(
)
5
2
(
)
2
(
100
)
3
)(
3
)(
1
2
)(
1
2
(
)
3
(
)
2
1
)(
2
1
(
)
2
(
100
2
2
2
2
2
2
2
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
j
s
j
s
j
s
j
s
s
s
j
s
j
s
s
H
s
Para
1
5
j
s
:
)
3
1
5
)(
3
1
5
)(
1
2
1
5
)(
1
2
1
5
(
)
3
1
5
)(
1
5
(
)
2
1
1
5
)(
2
1
1
5
(
)
2
1
5
(
100
2
2
)
(
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
H
s
7151
,
124
168
,
2
)
(
s
H
MATLAB:
>> syms s
>> collect((s+1-2i)*(s+1+2i))
ans =
s^2+2*s+5
>> collect((s+2-i)*(s+2+i))
ans =
s^2+4*s+5
>> collect((s-3i)*(s+3i))
ans =
s^2+9
Ejemplo 1.17
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
42
26
2
26
13
2
)
(
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtenga el gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s .
R:
Determinación de los ceros:
0
26
13
)
(
s
N
s
2
1
z
0
lim
)
(
s
s
H
(
2
,
1
n
m
)
(Cero en el infinito).
Determinación de los polos:
0
26
2
2
)
(
s
s
D
s
5
1
)
1
)(
2
(
)
26
)(
1
)(
4
(
2
2
2
2
,
1
j
p
(Par de polos conjugados en
5
1 j
).
Ganancia:
13
K
El diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene, el archivo .m y el gráfico de
magnitud de
)
(s
H contra s se muestran en las figuras 1.32, 1.33 y 1.34.
43
Figura 1.32: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
Figura 1.33: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(
s
H .
Figura 1.34: Gráfico de magnitud de
)
(
s
H contra s . Se observan los ceros en 2
e
infinito y los polos en
5
1 j
.
Ejemplo 1.18
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
2
3
17
2
2
2
)
(
s
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtener el diagrama de polos y ceros y el gráfico de magnitud
de
)
(s
H contra s .
R:
44
Determinación de los ceros:
0
17
2
2
)
(
s
s
N
s
4
1
)
1
)(
2
(
)
17
)(
1
)(
4
(
2
2
2
2
,
1
j
z
(Par de ceros conjugados en
4
1 j
).
Determinación de los polos:
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
)
(
s
s
s
s
D
s
1
1
p
2
2
p
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 1.35.
Figura 1.35: Diagrama de polos y ceros.
En la figura 1.36 se presenta el archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia
de
)
(
s
H .
MATLAB:
45
Figura 1.36: Archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia de
)
(s
H .
Transfer function:
s^2 + 2 s + 17
--------------
s^2 + 3 s + 2
z =
-1.0000 + 4.0000i
-1.0000 - 4.0000i
p =
-2
-1
k =
1
El diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo.m se muestra
en la figura 1.37.
46
Figura 1.37: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
El archivo .m y el diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene al ejecutarla se
muestran en las figuras 1.38 y 1.39.
Figura 1.38: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(
s
H .
47
Figura 1.39: Gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s .
Ejemplo 1.19
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
1
)
5
,
1
(
2
2
)
(
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtener el diagrama de polos y ceros y el gráfico de magnitud
de
)
(
s
H contra s .
R:
Determinación de los ceros:
0
)
5
,
1
(
2
)
(
s
s
N
s
0
1
z
2247
,
1
5
,
1
3
,
2
j
j
z
(Par de ceros conjugados en
2247
,
1
j
).
Determinación de los polos:
0
1
2
)
(
s
D
s
1
1
2
,
1
j
j
p
(Par de polos conjugados en
1
j
).
)
(
lim
s
s
H
(
2
,
3
n
m
)
(Polo en el infinito).
48
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 1.40.
Figura 1.40: Diagrama de polos y ceros.
El fichero .m y el diagrama de polos y ceros obtenidos al ejecutarlo, se muestran en las
figuras 1.41 y 1.42.
Figura 1.41: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H .
49
Figura 1.42: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
En las figuras 1.43 y 1.44 se presentan el fichero .m y el gráfico de magnitud obtenido.
Figura 1.43: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(s
H .
Figura 1.44: Gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s . Se observan los ceros en 0 y en
22
,
1
0
j
y los polos en
1
0
j
y en el infinito.
La función de red puede ser utilizada para determinar la
respuesta de estado estable de
un circuito, usando algebra simple en vez de ecuaciones diferenciales.
El procedimiento general consta de los siguientes pasos:
El circuito se somete a una señal exponencial compleja:
50
st
Xe
t
)
(
x
La respuesta (señal exponencial compleja) del circuito se obtiene mediante la relación:
)
(
)
(
)
(
t
H
t
s
x
y
La función de red
)
(s
H se calcula al valor de s que posee la señal de estímulo.
En el caso particular de determinar la
respuesta de estado estable en CD (ante un
estímulo x de corriente directa, después que la respuesta transitoria ha desaparecido), se
tiene:
m
X
x
La forma exponencial compleja de esta señal es:
t
m
e
X
t
0
)
0
(
)
(
x
Por tanto, la forma exponencial compleja de la respuesta es:
t
m
e
X
H
t
0
)
0
(
)
0
(
)
(
y
La respuesta de estado estable en CD (respuesta forzada) se obtiene como:
m
f
X
H
y
)
0
(
De manera que para encontrar la respuesta de estado estable a un estímulo de CD, se
calcula
)
(s
H en
0
s
(en el origen del plano s ), y entonces se multiplica
)
0
(
H por
m
X
para obtener
f
y .
Ejemplo 1.20
Determinar con ayuda de la función de red, la respuesta de estado estable (
o
v ) del
circuito de la figura 1.45, a la señal de estímulo (voltaje constante):
V
v
i
5
.
51
Figura 1.45: Circuito en que se determina la respuesta de estado estable en CD, con
ayuda de la función de red.
R:
El circuito equivalente se muestra en la figura 1.46.
Figura 1.46: Circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja.
Señalando a los fasores de entrada y salida como
i
V y
o
V , aplicando reducciones serie-
paralelo y división de voltaje:
))
(
||
)
1
((
)
(
||
)
1
(
2
1
2
)
(
sL
R
sC
R
sL
R
sC
V
V
H
i
o
s
Sustituyendo los valores de las componentes y realizando las operaciones indicadas:
500
)
10
)(
4
(
)
10
(
400
)
10
)(
2
(
4
2
10
4
)
(
s
s
s
V
V
H
i
o
s
Voltaje de entrada de corriente directa:
V
v
i
5
Respuesta de estado estable a la señal de corriente directa:
V
v
H
v
i
of
4
)
5
)(
500
400
(
)
0
(
MATLAB:
>> R1=100;R2=400;L=0.2*10^-3;C=5*10^-9;
>> syms s
52
>>
Hs=((1/(s*C)*(R2+s*L))/(1/(s*C)+R2+s*L))/(R1+(1/(s*C)*(R2+s*L))/(1/(s*C)+R2+s*
L))
Hs =
604462909807314587353088/3022314549036573/s*(400+1/5000*s)/(6044629098073
14587353088/3022314549036573/s+400+1/5000*s)/(100+60446290980731458735308
8/3022314549036573/s*(400+1/5000*s)/(604462909807314587353088/302231454903
6573/s+400+1/5000*s))
>> Hs=simplify(Hs)
Hs =
151115727451828646838272*(2000000+s)/(377789318629571617095680000000+302
231454903657296838272*s+75557863725914325*s^2)
>> s=0;
>>
Hs=151115727451828646838272*(2000000+s)/(377789318629571617095680000000
+302231454903657296838272*s+75557863725914325*s^2)
Hs =
0.8000
>> Vf=Hs*5
Vf =
4
En el caso particular de determinar la
respuesta de estado estable en CA (ante un
estímulo
)
(t
x
de corriente alterna, después que la respuesta transitoria ha desaparecido),
se tiene:
)
cos(
x
m
t
X
x
La forma exponencial compleja de esta señal es:
t
j
x
m
e
X
t
)
(
)
(
x
53
Por tanto, la forma exponencial compleja de la respuesta es:
t
j
x
m
j
e
X
H
t
)
(
)
(
)
(
y
La respuesta de estado estable en CA (respuesta forzada) se obtiene como:
))
(
Re( t
y
f
y
)
cos(
)
(
)
(
j
x
m
j
f
H
t
X
H
y
De manera que para encontrar la respuesta de estado estable a una señal de CA de
amplitud
m
X , ángulo de fase
x
y frecuencia angular
, se calcula
)
(s
H en
j
s
(sobre el eje
j del plano s ), y entonces se multiplica
)
(
j
H
por
m
X para obtener la
amplitud de la respuesta y se adiciona
)
(
j
H
a
x
para obtener el ángulo de fase.
Ejemplo 1.21
Determinar la respuesta de estado estable del circuito del ejemplo 5.20 a la señal de
estímulo de CA (voltaje sinusoidal):
V
t
v
i
)
60
10
*
5
cos(
10
6
.
R:
Voltaje de entrada de corriente alterna:
V
t
v
i
)
60
10
*
5
cos(
10
6
Función de red obtenida en el circuito del ejemplo 4.20:
500
)
10
)(
4
(
)
10
(
400
)
10
)(
2
(
4
2
10
4
)
(
s
s
s
V
V
H
i
o
s
Evaluando la función de red para
6
10
*
5
j
s
:
8014
,
66
3808
,
0
35
,
0
15
,
0
500
)
10
*
5
)(
10
)(
4
(
)
10
*
5
)(
10
(
400
)
10
*
5
)(
10
)(
2
(
6
4
2
6
10
6
4
)
10
*
5
(
6
j
j
j
j
H
j
Respuesta de estado estable a la señal de corriente alterna:
)
80
,
66
60
10
*
5
cos(
)
10
)(
3808
,
0
(
)
cos(
6
)
(
)
(
t
H
t
V
H
v
j
i
im
j
f
o
V
t
v
f
o
)
80
,
6
10
*
5
cos(
808
,
3
6
MATLAB:
54
>> syms s
>> Hs=(2*10^-4*s+400)/((10^-10)*s^2+4*10^-4*s+500)
Hs =
(1/5000*s+400)/(1/10000000000*s^2+1/2500*s+500)
>> s=j*5*10^6;
>> Hs=(2*10^-4*s+400)/((10^-10)*s^2+4*10^-4*s+500)
Hs =
0.1500 - 0.3500i
>> modulodeHs=abs(Hs)
modulodeHs =
0.3808
>> angulodeHs=angle(Hs)*180/pi
angulodeHs =
-66.8014
La función de red también puede ser utilizada para determinar la respuesta transitoria y
la respuesta completa de un circuito. En estos casos, se requiere en general encontrar las
condiciones iniciales para la respuesta en términos de las condiciones iniciales de los
elementos almacenadores de energía. Esto puede ser un proceso laborioso, sobre todo si
el circuito contiene muchos de estos elementos.
En estudios posteriores se aborda este tipo de problema empleando un método analítico
potente, conocido como el método de la transformada de Laplace, el cual tiene en
cuenta automáticamente las condiciones iniciales de los elementos almacenadores de
energía.
Problemas de consolidación
1-9. Hallar los valores de la ganancia, cero y polos de la función de red:
1
18
6
9
3
2
)
(
s
s
s
Z
s
R:
5
,
0
K
,
3
1
z
,
0566
,
0
1
p
,
9434
,
2
2
p
55
1-10. Escribir la función de red
)
(s
H , correspondiente al diagrama de polos y ceros que
se muestra en la figura 1.47.
Figura 1.47: Diagrama de polos y ceros.
R:
2000
40
400
50
2
2
)
(
s
s
s
s
K
H
s
Problemas de final de capítulo
1. Escribir el módulo, el ángulo de fase (emplear la función coseno) y la frecuencia
compleja, correspondientes a las funciones del tiempo:
a)
A
e
t
i
t
)
10
(
2
3
15
)
(
;
b)
V
t
sen
t
v
)
30
250
(
50
,
0
)
(
;
A
t
sen
t
t
i
50
4
50
cos
3
)
(
R: a)
s
Np
s
A
/
)
10
(
2
,
0
15
3
; b)
s
rad
j
s
V
/
250
,
60
50
,
0
; c)
s
rad
j
s
A
/
50
,
13
,
53
5
2. Escribir la función del tiempo (emplear la función coseno) correspondiente al
módulo, el ángulo de fase y la frecuencia compleja indicados en cada caso:
a)
s
rad
j
s
/
120
,
0
10
; b)
1
50
2
,
90
5
s
j
s
; c)
0
,
30
100
s
R: a)
t
120
cos
10
; b)
)
90
50
cos(
5
2
t
e
t
; c)
6
,
86
56
3. Hallar
las
frecuencias
complejas
asociadas
con
la
corriente
A
t
e
t
i
t
)
90
50
cos(
10
5
)
(
3
.
R:
1
50
3
;
0
s
j
4. Una corriente expresada fasorialmente como
A
40
25
, tiene una frecuencia
compleja
1
3
2
s
j
s
.Hallar el valor de )
(t
i
en el instante
s
t
2
,
0
.
R:
A
51
,
4
5. En el circuito mostrado en la figura:
a) Encontrar la respuesta al voltaje de excitación exponencial complejo
st
i
i
e
V
t
)
(
en el circuito dela figura 1.48. b) Hallar la respuesta a la entrada
V
e
t
t
j
i
)
3
2
(
30
9
)
(
.
Figura 1.48: Circuito mixto.
R: a)
)
(
2
3
2
2
)
(
t
s
s
t
i
o
; b)
V
e
t
t
j
o
)
3
2
(
47
,
24
779
,
5
)
(
6. Hallar la impedancia de entrada
)
(s
ent
Z
del circuito de la figura 1.49. Determinar
los valores de
)
(
s
ent
Z
para: a)
0
s
; b)
s
rad
j
s
/
4
;
s
.
57
Figura 1.49: Circuito en el campo s .
R:
2
4
3
2
2
2
)
(
s
s
s
s
Z
s
ent
; a)
4
)
0
(
ent
Z
; b)
05
,
29
33
,
2
)
4
(
j
ent
Z
; c)
2
)
(
ent
Z
7. En el circuito de la figura 1.50
V
t
e
t
v
t
2
cos
10
)
(
. Hallar )
(
t
i
.
Figura 1.50: Circuito en el campo s .
R:
A
t
e
t
i
t
)
13
,
98
2
cos(
07
,
7
)
(
8. En el circuito mostrado en la figura 1.51, la fuente entrega una corriente
A
t
e
t
i
t
)
45
3
cos(
6
)
(
5
. Hallar el voltaje
)
(t
v
Figura 1.51: Circuito con fuente dependiente.
R:
V
t
e
t
v
t
)
49
,
104
3
cos(
5143
,
0
)
(
5
9. Un circuito serie RL , con
4
R
y
H
L 2
, tiene un voltaje de alimentación
V
t
e
t
v
t
)
30
10
cos(
10
)
(
2
. Hallar la corriente )
(t
i
que circula por el circuito.
R:
A
t
e
t
i
t
)
29
10
cos(
86
,
0
)
(
2
10. Un circuito serie RC , con
10
R
y
F
C
2
,
0
, tiene un voltaje de
alimentación
V
t
e
t
v
t
)
30
10
cos(
10
)
(
2
. Hallar la corriente
)
(t
i
que circula
por el circuito.
R:
A
t
e
t
i
t
)
8
,
32
10
cos(
01
,
1
)
(
2
58
11. En el circuito de la figura 1.52,
A
t
e
t
i
t
2
cos
10
)
(
. Hallar el voltaje v para
s
t
1
,
0
.
Figura 1.52: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
V
v
s
2
,
26
)
1
,
0
(
12. Hallar la función de red
i
o
s
I
V
H
)
(
para el circuito de la figura 1.53.
Figura 1.53: Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
R:
1
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
)
(
Cs
R
R
LCs
R
s
L
C
R
R
LCs
R
I
V
H
i
o
s
13. Hallar la función de red
i
i
s
I
V
H
)
(
para el circuito de la figura 1.54.
Figura 1.54: Circuito mixto.
R:
)
4
)(
2
(
)
65
,
2
7
)(
65
,
2
7
(
)
(
s
s
j
s
j
s
I
V
H
i
i
s
14. Hallar la función de red
i
o
s
I
I
H
)
(
para el circuito de la figura 1.55.
59
Figura 1.55: Circuito con ramas en paralelo.
R:
1
)
(
2
1
2
1
2
)
(
Cs
R
R
LCs
Cs
R
LCs
I
I
H
i
o
s
15. Los valores de los ceros y los polos de una función de red
)
(
s
H , son:
1
1
z
con multiplicidad
2 ;
0
1
p
con multiplicidad 3 ;
4
2
3
,
2
j
p
. Si
1
,
0
)
3
(
j
H
, ¿cuál es la ganancia K de esta función?
R: 395
,
4
16. Determinar la función de red y la respuesta de estado estable del circuito de la
figura 1.56 a la señal de estímulo (voltaje constante):
V
v
i
5
.
Figura 1.56: Circuito mixto en el campo del tiempo.
R:
100
)
10
)(
4
(
)
10
)(
5
(
)
1
)
10
)(
2
((
)
10
)(
2
(
4
2
10
6
4
)
(
s
s
s
s
V
V
H
i
o
s
V
v
of
0
Capítulo 2
Respuesta de frecuencia
Introducción
Si se mantiene la amplitud de la señal de estímulo constante y se varía la frecuencia, se obtiene
la respuesta de frecuencia de un circuito eléctrico. La respuesta del circuito tendrá, en general,
una magnitud y fase diferente para cada valor de la frecuencia de la señal de estímulo, ya que
la impedancia de los elementos almacenadores de energía cambia al variar la frecuencia de la
señal de excitación.
La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada, como una descripción
completa del comportamiento en estado estable sinusoidal del circuito, como una función de la
frecuencia.
En este capítulo se muestra cómo representar gráficamente la respuesta de frecuencia de un
circuito mediante dos curvas, una de magnitud y la otra de fase, denominadas en su conjunto
como características de frecuencia. La de magnitud en función de
se denomina
característica de amplitud contra frecuencia (CAF) y la de fase en función de
se
denomina característica de fase contra frecuencia (CFF).
El conocimiento de la respuesta de frecuencia de un circuito, es de gran importancia en
muchas aplicaciones, especialmente en sistemas de comunicaciones y control automático. Una
aplicación específica se encuentra en el diseño de filtros eléctricos que bloquean o eliminan
señales con frecuencias no deseadas y permiten el paso de señales con frecuencias deseadas.
Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y telefónicos para separar una frecuencia
de transmisión de otra.
En el desarrollo del capítulo se abordan diferentes métodos para determinar las características
de frecuencia de un circuito.
2.1 Respuesta de frecuencia
La respuesta de frecuencia de un circuito en estado estable sinusoidal, es la variación de su
comportamiento, al cambiar la frecuencia de la señal de estímulo de tipo sinusoidal. La
61
respuesta de frecuencia, describe completamente el comportamiento de un circuito en estado
estable sinusoidal como una función de la frecuencia.
En el capítulo anterior se definió la función de red
)
(s
H como la relación respuesta-estímulo
(salida-entrada) en el campo s :
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
F
F
H
En estado estable sinusoidal
j
s
, y la función de red (función transferencial) se expresa
como la relación entre la salida expresada fasorialmente y la entrada expresada fasorialmente:
)
(
1
)
(
2
)
(
j
j
j
F
F
H
Como se explicó en el capítulo anterior, la función de red de un circuito, proporciona un
método fácil para calcular la respuesta de estado estable a una entrada sinusoidal de frecuencia
fija.
Al estudiar la respuesta de frecuencia de un circuito, se considera una fuente sinusoidal de
magnitud y ángulo de fase constantes, cuya frecuencia puede ser variada. Para cada
frecuencia, la magnitud y ángulo de fase de la señal de salida, dependerá solamente de la
magnitud y ángulo de fase de la función de red.
Siendo la función de red una cantidad compleja, puede definirse también como:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
j
j
j
j
j
j
H
e
H
H
j
H
H
Donde:
)
(
)
(
j
H
Parte real de
)
(
j
H
.
)
(
)
(
j
H
Parte imaginaria de
)
(
j
H
.
)
(
j
H
Módulo de
)
(
j
H
.
)
(
Ángulo de fase de
)
(
j
H
.
Las expresiones
)
(
)
(
j
H
,
)
(
)
(
j
H
,
)
(
j
H
,
)
(
, son en general funciones de
.
62
Las relaciones entre estas expresiones están dadas por:
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
j
j
j
H
H
H
)
(
)
(
tan
)
(
)
(
1
)
(
j
j
H
H
Estos términos pueden representarse gráficamente como dos curvas denominadas en su
conjunto como
características de frecuencia. La de magnitud en función de
se denomina
característica de amplitud contra frecuencia (CAF) y la de fase en función de
se
denomina
característica de fase contra frecuencia (CFF). Se considerará que
varía de
cero a infinito.
Existen diferentes métodos para determinar estas características:
Método aproximado.
A partir del diagrama de polos y ceros.
Utilizando los diagramas de Bode.
Utilizando programas computacionales (MATLAB).
2.2 Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la
función de red
)
(s
H
Este método es el más elemental, consiste en ir evaluando la función de red para las
frecuencias críticas y algunas frecuencias de interés. Siempre se comenzará por
0
(límite
cuando
tiende a cero por valores superiores a cero) y se terminará la evaluación para
. Los siguientes ejemplos ilustran con claridad el procedimiento a seguir.
Ejemplo 2.1
La función de red de un circuito lineal viene dada por la siguiente expresión:
2
3
1
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
v
Obtenga el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada la característica de amplitud
contra frecuencia (CAF) y la característica de fase contra frecuencia (CFF).
63
R:
Determinación de los ceros:
2
1
)
(
1
0
1
z
z
s
N
s
Determinación de los polos:
2
1
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
1
2
)
(
p
p
s
s
s
s
D
s
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
3
2
1
2
)
(
j
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
2
2
2
)
(
)
3
(
)
2
(
1
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(
64
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
5
,
0
180
0
180
1
4472
,
0
4
,
63
6
,
71
135
0
90
180
90
Se observa que al existir un cero para
,
)
(
j
v
H
tiene que ser cero para ese valor de
.
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(CAF) y
)
(
contra
(CFF).
En la figura 2.2 se muestra el archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las
características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
MATLAB:
65
Figura 2.2: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
En la figura 2.3 aparece el diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el
archivo .m.
Figura 2.3: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
En la figura 2.4 se muestran las características de amplitud y fase contra frecuencia que se
obtienen al ejecutar el archivo .m.
Figura 2.4: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
66
Ejemplo 2.2
Dibujar el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada, la característica de amplitud
contra frecuencia y fase contra frecuencia, de la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
para el circuito
mostrado en la figura 2.5.
Figura 2.5: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Cuando la función de red se determina a partir de un circuito dado, es recomendable, para
evitar algebra compleja, determinar la función de red en términos de
s (
)
(s
H ) y al final
reemplazar
s por
j para obtener
)
(
j
H
.
Se dibuja la red operacional equivalente mostrada en la figura 2.6:
Figura 2.6: Red operacional equivalente.
1
2
2
1
2
)
1
)(
2
(
)
(
s
s
s
Z
s
p
(Impedancia paralelo equivalente).
Aplicando división de voltaje:
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
s
p
s
p
s
s
Z
Z
V
V
67
)
1
1
)(
2
1
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
Z
Z
V
V
H
s
p
s
p
s
s
s
v
Determinación de los ceros:
El numerador
)
(s
N no es función de s .
1
z
(La función de red se hace cero cuando
s
).
Determinación de los polos:
1
0
)
1
(
2
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
2
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.7.
Figura 2.7:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
)
1
1
)(
2
1
(
)
(
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
)
(
1
2
1
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:
68
den
num
)
(
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
5
,
0
0
0
0
1
3536
,
0
45
45
0
0
90
90
0
Se observa que al existir un cero para
,
)
(
j
v
H
tiene que ser cero para ese valor de
.
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
En la figura 2.8 aparece el archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las
características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
MATLAB:
69
Figura 2.8:
Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
En la figura 2.9 se muestra el diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el
archivo .m.
Figura 2.9:
Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
En la figura 2,10 se muestran las características de amplitud y fase contra frecuencia que se
obtienen al ejecutar el archivo .m.
70
Figura 2.10:
Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Ejemplo 2.3
Dibujar el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada, la característica de amplitud
contra frecuencia y fase contra frecuencia, de la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
para el circuito
mostrado en la figura 2.11.
Figura 2.11:
Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Se dibuja la red operacional equivalente de la figura 2.12:
71
Figura 2.12:
Red operacional equivalente.
s
s
s
s
Z
s
p
4
2
4
2
2
)
2
)(
2
(
)
(
(Impedancia paralelo equivalente).
Aplicando divisor de voltaje:
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
s
p
s
p
s
s
Z
Z
V
V
)
3
2
)(
2
1
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
Z
Z
V
V
H
s
p
s
p
s
s
s
v
Determinación de los ceros:
2
0
2
1
)
(
z
s
N
s
Como los polinomios del numerador y denominador son del mismo orden, no existen ceros o
polos en el infinito.
Determinación de los polos:
3
0
)
3
(
2
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.13.
2
1
K
72
Figura 2.13:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
)
3
2
)(
2
1
(
)
(
j
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
2
)
(
9
2
4
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
3333
,
0
0
0
0
1
3536
,
0
13
,
8
43
,
18
56
,
26
3
1
tan
2
1
tan
1
1
5
,
0
0
90
90
73
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
El archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de frecuencia de
Hv(s) aparece en la figura 2.14.
MATLAB:
Figura 2.14: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
El diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo.m es mostrado en
la figura 2.15.
74
Figura 2.15: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m se muestran en la figura 2.16.
Figura 2.16: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Ejemplo 2.4
75
Hallar
)
(
1
)
(
2
)
(
21
j
j
j
V
I
Y
en el circuito de la figura 2.17. Dibujar el diagrama de polos y ceros y
de forma aproximada, la característica de amplitud contra frecuencia y fase contra frecuencia.
Figura 2.17: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Para evitar algebra compleja, es conveniente trabajar en el campo s inicialmente y después
reemplazar s por
j
.
En la figura 2.18 se muestra la red operacional equivalente:
Figura 2.18: Red operacional equivalente.
s
s
V
I
s
s
1
2
)
(
1
)
(
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
)
(
1
)
(
2
)
(
21
s
s
s
s
s
s
V
I
Y
s
s
s
Determinación de los ceros:
0
0
1
)
(
z
s
N
s
2
z
(La función de red se hace cero cuando
s
).
Determinación de los polos:
76
2
1
2
1
0
)
2
1
(
2
2
1
2
)
(
j
p
j
p
s
D
s
Ganancia:
2
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.19.
Figura 2.19: Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
21
j
Y
sustituyendo en la función de red
)
(
21 s
Y
, s por
j :
2
)
(
1
)
(
2
)
(
21
2
1
2
1
j
V
I
Y
j
j
j
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
21
j
Y
:
)
2
1
(
2
2
)
(
21
j
Y
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(
Se elabora la tabla de
)
(
21
j
Y
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como existe un polo sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge el valor de
correspondiente a ese polo y se calcularán los valores de la
magnitud y la fase de la función de red cuando
tienda a ese valor por valores inferiores y
77
posteriormente por valores superiores (proceso de límite). Un proceso similar se realizará si en
vez de un polo existiese un cero, o estuvieran presentes varios ceros y polos sobre el eje
j
positivo. Siempre el proceso de tabulación será con valores de
crecientes, desde
0
hasta
.
Construcción de la tabla de
)
(
21
j
Y
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
21
j
Y
)
(
0
0
90
0
90
2
1
90
0
90
2
1
90
180
90
0
90
180
90
La expresión
2
1
indica un valor infinitesimalmente menor que
2
1
y
2
1
un valor
infinitesimalmente mayor.
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
21
j
Y
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
El archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de frecuencia de
)
(
21 s
Y
se muestra en la figura 2.20.
MATLAB:
78
Figura 2.20:
Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(
21 s
Y
.
Al ejecutarse el archivo. m en la ventana de comandos del MATLAB aparecerán: la función
de red, los ceros, polos y la ganancia.
Transfer function:
s
---------
2 s^2 + 1
z =
0
p =
0 + 0.7071i
0 - 0.7071i
k =
0.5000
79
El diagrama de polos y ceros de
)
(
21
j
Y
que se obtiene al ejecutar el archivo .m. se muestran
en la figura 2.21.
Figura 2.21:
Diagrama de polos y ceros de
)
(
21
j
Y
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m se muestran en la figura 2.22.
80
Figura 2.22:
Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Si el incremento de la frecuencia fuese menor que
s
rad
/
005
,
0
, el gráfico de
)
(
21
j
Y
mostraría valores mucho mayores en la cercanía de la frecuencia
s
rad /
2
1
(en
s
rad /
2
1
la magnitud de la función sería infinita).
Ejemplo 2.5
Hallar
)
(
)
(
)
(
s
s
s
ent
I
V
Z
en el circuito de la figura 2.23. Dibujar el diagrama de polos y ceros y de
forma aproximada, la característica de amplitud contra frecuencia y fase contra frecuencia.
Figura 2.23:
Circuito en el dominio del tiempo.
R:
La red operacional equivalente aparece en la figura 2.24:
Figura 2.24:
Red operacional equivalente.
81
)
4
10
(
)
10
(
4
3
10
4
)
10
.
3
3
)(
(
3
10
)
3
)(
10
(
6
2
6
3
6
2
6
2
6
6
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Z
s
ent
La función de red es una fracción racional impropia (el grado del numerador es mayor que el
grado del denominador).
Determinación de los ceros:
0
)
10
.
3
3
)(
(
6
2
)
(
s
s
N
s
0
1
z
1000
1000
0
10
.
3
3
3
2
6
2
j
z
j
z
s
Determinación de los polos:
500
500
0
10
4
2
1
6
2
)
(
j
p
j
p
s
D
s
3
p
(La función de red se hace infinita cuando
s
. El grado del polinomio del numerador es
mayor que el grado del polinomio del denominador).
Ganancia:
4
3
K
El diagrama de polos y ceros aparece en la figura 2.25.
82
Figura 2.25: Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
ent
Z
sustituyendo en la función de red
)
(s
ent
Z
, s por
j
:
6
2
6
3
6
2
6
2
)
(
)
(
)
(
10
4
)
10
.
3
3
(
10
)
(
4
]
10
.
3
)
(
3
)[
(
j
j
j
j
I
V
Z
j
j
j
ent
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
ent
Z
:
6
2
6
3
)
(
10
4
10
.
3
3
j
ent
Z
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(
Construcción de la tabla de
)
(
j
ent
Z
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
ent
Z
)
(
0
0
90
0
90
500
90
0
90
500
90
180
90
1000 0
90
180
90
1000 0
90
270
180
90
90
270
180
90
83
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
ent
Z
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
El archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(s
ent
Z
se muestra en la figura
2.26.
MATLAB:
Figura 2.26: Archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(s
ent
Z
.
En este ejemplo se ha empleado una escala logarítmica para el eje de las frecuencias, con el
objetivo de mostrar con claridad la variación de la magnitud de
)
(
j
ent
Z
.
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m se muestran en la figura 2.27.
84
Figura 2.27: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Problemas de consolidación
2-1. Hallar
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
en el circuito de la figura 2.28. Dibujar el diagrama de polos y ceros y
de forma aproximada, la característica de amplitud contra frecuencia y fase contra frecuencia.
Figura 2.28: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
1
;
75
,
0
;
5
,
0
;
75
,
0
5
,
0
1
1
)
(
K
p
z
s
s
H
s
v
85
Las características de amplitud y fase contra frecuencia deben ser aproximadamente como las
mostradas en la figura 2.29.
Figura 2.29: Características de amplitud y fase contra frecuencia.
6-2. Hallar
)
(
)
(
)
(
s
i
s
o
s
v
V
V
H
en el circuito de la figura 2.30, considerando ideal el amplificador
operacional. Dibujar el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada, la característica de
amplitud contra frecuencia y fase contra frecuencia.
Figura 2.30: Circuito con amplificador operacional ideal en el dominio del tiempo.
R:
1
;
62
,
2
;
38
,
0
;
;
1
3
1
2
1
1
)
(
K
p
p
z
s
s
H
s
v
86
Las características de amplitud y fase contra frecuencia deben ser aproximadamente como las
mostradas en la figura 2.31.
Figura 2.31: Características de amplitud y fase contra frecuencia.
2.3 Obtención de las características de frecuencia de la función de red
)
(s
H
a
partir del diagrama de polos y ceros
En el capítulo anterior se demostró que la función de red
)
(s
H puede expresarse en términos
de sus ceros, polos y ganancia.
n
m
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
H
n
m
s
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
b
a
K
Si
j
s
(análisis de estado estable sinusoidal):
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
j
p
j
p
j
p
j
z
j
z
j
z
j
K
H
87
Dado el carácter de
)
(
s
H todas las raíces son reales o complejo conjugadas. Para un valor
particular de
, cada término (
i
z
j
) o (
i
p
j
) representa un vector orientado desde el
cero o polo en cuestión hasta el valor de dicha frecuencia, que tendrá su módulo y su fase.
O sea, para
1
:
zi
zi
j
zi
j
i
i
e
m
e
z
j
z
j
1
1
)
(
Esta relación se representa en la figura 2.32:
Figura 2.32:
Representación del vector
zi
j
zi
e
m
.
De modo que
)
(
j
H
puede escribirse como:
)
(
2
1
2
1
)
(
)]
...
(
)
...
[(
2
1
2
1
)
(
...
...
e
H
e
m
m
m
m
m
m
K
H
j
j
pn
p
p
zm
z
z
j
pn
p
p
zm
z
z
pn
p
p
zm
z
z
j
m
m
m
m
m
m
K
H
...
...
2
1
2
1
)
(
)
...
(
)
...
(
2
1
2
1
)
(
pn
p
p
zm
z
z
La expresión anterior permite concluir que el módulo de la función de red para cada valor de
, es igual al producto de las distancias desde todos los ceros hasta el punto de frecuencia que
se considere dividido por el producto de las distancias desde todos los polos hasta el mismo
punto, multiplicado por el factor de escala (o ganancia) K .
88
El argumento de la función de red para cada valor de frecuencia es igual a la suma de los
argumentos de los vectores dirigidos desde todos los ceros hasta el punto de frecuencia que se
considere menos la suma de los argumentos de los vectores dirigidos desde todos los polos
hasta el mismo punto.
En el caso particular de que la constante K sea un número real negativo, debe adicionarse
180
a la suma de los argumentos de los vectores dirigidos desde todos los ceros hasta el
punto de frecuencia que se considere. Solo se trabajará con los ceros y polos finitos.
La relación existente entre las características de frecuencia y el diagrama de polos y ceros
permite desarrollar un método para el cálculo de las características de frecuencia.
El método consiste en dibujar el diagrama de polos y ceros de la función a analizar y trazar los
vectores dirigidos desde cada uno de los ceros y polos hasta el valor de frecuencia para el que
se va a evaluar.
Si el diagrama se hace a escala, los valores del módulo y la fase de cada uno de los vectores
pueden medirse. Si no se trabaja a escala, los módulos y argumentos pueden calcularse
aplicando formulas geométricas y trigonométricas muy sencillas y en ambos casos, mediante
las expresiones anteriores, se determinan los valores de la característica de amplitud contra
frecuencia (CAF) y de la característica de fase contra frecuencia (CFF).
Este método requiere una considerable cantidad de operaciones numéricas y gráficas, siendo
solo aconsejable para circuitos simples.
Ejemplo 2.6
Obtener las características de frecuencia de la función de red
1
)
(
)
(
1
)
(
2
s
s
V
V
s
H
s
s
a partir del
diagrama de polos y ceros.
R:
Función de red:
1
)
(
)
(
1
)
(
2
s
s
V
V
s
H
s
s
Determinación de los ceros:
89
0
0
1
)
(
z
s
N
s
Determinación de los polos:
1
0
1
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.33.
Figura 2.33:
Diagrama de polos y ceros.
Las frecuencias a evaluar serán (se tienen en cuenta las frecuencias críticas y de interés):
0
1
Para cada una de las frecuencias de evaluación, se trazan los vectores dirigidos desde todos los
ceros y polos hasta el punto correspondiente al valor de dicha frecuencia y se determinan las
magnitudes y los ángulos de cada uno de los vectores.
En la figura 2.34 se indica el vector para
0
.
Para
0
:
90
Figura 2.34:
Vectores para
0
.
Es evidente que la distancia desde el cero hasta
0
es nula, mientras que la distancia desde
el polo es igual a la unidad:
0
1
0
1
1
1
)
0
(
p
z
j
m
m
K
H
Los ángulos se miden a partir del eje
positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj
hasta el vector dirigido desde el cero o polo a la frecuencia de evaluación.
El ángulo del diferencial de vector dirigido desde el cero a
0
tiene un valor de
90 ,
mientras que el ángulo del vector dirigido desde el polo hasta
0
tiene un valor de
0 .
90
0
90
1
1
)
0
(
p
z
En la figura 2.35 se indica el vector para
1
.
Para
1
:
Figura 2.35:
Vectores para
1
.
91
La distancia desde el cero hasta
1
es la unidad, mientras que la distancia desde el polo
puede obtenerse aplicando el teorema de Pitágoras:
707
,
0
1
1
1
1
2
2
1
1
)
1
(
p
z
j
m
m
K
H
El ángulo del vector dirigido desde el cero a
1
tiene un valor de
90 , mientras que el
ángulo del vector dirigido desde el polo hasta
1
puede obtenerse mediante:
45
1
1
tan
1
.
45
45
90
1
1
)
1
(
p
z
.
En la figura 2.36 se indica el vector para
.
Para
:
Figura 2.36:
Vectores para
.
Las magnitudes de los vectores dirigidos desde el cero y el polo hasta el infinito son infinitas
(los vectores son paralelos), el cociente de las magnitudes tiende a la unidad:
1
1
1
1
)
(
p
z
j
m
m
K
H
El ángulo del vector dirigido desde el cero a
tiene un valor de
90 , mientras que el
ángulo del vector dirigido desde el polo hasta
también tiene un valor de
90 (vectores
paralelos y dirigidos verticalmente hacia arriba):
0
90
90
1
1
)
(
p
z
92
Con los valores obtenidos para
)
(
j
H
y
)
(
se dibujan las características de amplitud y fase
contra frecuencia.
El archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(
s
H se aprecia en la figura
2.37.
93
MATLAB:
Figura 2.37:
Archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(
s
H .
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m aparecen en la figura2.38.
Figura 2.38:
Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Ejemplo 2.7
Obtener las características de frecuencia de la función de red
)
1
1
)(
2
1
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
V
V
H
s
s
s
v
a partir
del diagrama de polos y ceros (esta función de red se empleó en el ejemplo 6.2).
94
R:
Función de red:
)
1
1
)(
2
1
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
V
V
H
s
s
s
v
Determinación de los ceros:
El numerador no es función de s , y el grado del polinomio del numerador es menor que el
grado del polinomio del denominador. Lo anterior implica que:
1
z
Determinación de los polos:
1
0
)
1
(
2
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
2
1
K
En la figura 2.39 se muestra el diagrama de polos y ceros.
Figura 2.39:
Diagrama de polos y ceros.
Las frecuencias a evaluar serán (se tienen en cuenta las frecuencias críticas y de interés):
0
1
95
Para cada una de las frecuencias de evaluación, se trazan los vectores dirigidos desde todos los
ceros y polos finitos (en este caso existe un solo polo finito y no existen ceros finitos) hasta el
punto correspondiente al valor de dicha frecuencia y se determinan las magnitudes y los
ángulos de cada uno de los vectores.
En la figura 2.40 se indica el vector para
0
.
Para
0
:
Figura 2.40:
Vector para
0
.
Es evidente que la distancia desde el polo al valor
0
es igual a la unidad, y teniendo en
cuenta que no existen ceros finitos:
2
1
1
2
1
1
)
0
(
p
j
m
K
H
Al ser la constante
2
1
K
(un número real y positivo)
0
K
.
El ángulo se mide a partir del eje
positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj
hasta el vector dirigido desde el polo a la frecuencia de evaluación. El ángulo del vector
dirigido desde el polo hasta
0
tiene un valor de
0 .
0
0
1
)
0
(
p
Para
1
:
En la figura 2.41 se indica el vector para
1
.
96
Figura 2.41: Vector para
1
.
La distancia desde el polo puede obtenerse aplicando el teorema de Pitágoras:
3536
,
0
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
)
1
(
p
j
m
K
H
El ángulo del vector dirigido desde el polo hasta
1
puede obtenerse mediante:
45
1
1
tan
1
.
45
1
)
1
(
p
En la figura 2.42 se indica el vector para
.
Para
:
Figura 2.42: Vector para
.
La magnitud del vector dirigido desde el polo hasta el infinito es infinita.
0
2
1
1
)
(
p
j
m
K
H
97
El ángulo del vector dirigido desde el polo hasta
tiene un valor de
90 :
90
1
)
(
p
Con los valores obtenidos para
)
(
j
H
y
)
(
se dibujan las características de amplitud y fase
contra frecuencia.
En la figura 2.43 aparece el archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
MATLAB:
Figura 2.43: Archivo .m para obtener las características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m se muestran en la figura 2.44
98
Figura 2.44: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Los dos ejemplos desarrollados demuestran, que si la función de red posee un mayor número
de ceros y polos, se requeriría una apreciable cantidad de operaciones gráficas y numéricas,
siendo este método aconsejable solo para circuitos simples, como los abordados en los
ejemplos.
Problemas de consolidación
2-3. Obtener las características de amplitud y fase contra frecuencia de la función de red
2
3
1
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
v
a partir del diagrama de polos y ceros.
R:
Aproximadamente deben obtenerse las características de amplitud y fase como las mostradas
en la figura 2.45.
Figura 2.45: Características de amplitud y fase contra frecuencia.
2-4. Obtener las características de amplitud y fase contra frecuencia de la función de red
)
3
2
)(
2
1
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
V
V
H
s
s
s
v
a partir del diagrama de polos y ceros.
99
R:
Aproximadamente deben obtenerse las características de amplitud y fase como las mostradas
en la figura 2.46.
Figura 2.46: Características de amplitud y fase contra frecuencia.
2.4 Diagramas de Bode
El diagrama de Bode es un método que permite obtener, de forma aproximada, las
características de amplitud y fase contra
de una función de red. Estas curvas de respuesta
aproximadas también reciben el nombre de gráficas asintóticas o diagramas de Bode, en honor
a su inventor, Hendrik W. Bode, un electricista y matemático de la Bell Telephone
Laboratories.
En este epígrafe se aborda solamente los diagramas de Bode asintóticos de magnitud y se
muestra el procedimiento para escribir la expresión que permite obtener la fase de la función
de red, como una función de
.
El rango de frecuencias requerido para determinar la respuesta de frecuencia de un circuito
generalmente es muy amplio, por lo que es inconveniente usar una escala lineal para el eje de
las frecuencias.
100
Teniendo en cuenta el inconveniente anterior, en los diagramas de Bode, tanto las curvas de
magnitud como las de fase se construyen usando una escala de frecuencia logarítmica para las
abscisas, incluso la magnitud se muestra en unidades logarítmicas llamadas decibeles ( dB ). El
valor de
)
(
j
H
en dB se define como:
20
)
(
)
(
10
log
20
dB
H
j
j
dB
H
H
H
La base de los logaritmos empleados es igual a 10. La unidad representada de la amplitud es el
decibel ( dB ). En la representación logarítmica se dibujan las curvas en papel semilogarítmico;
utilizando la escala logarítmica para
y la escala lineal para la amplitud (en
dB ) o el ángulo
de fase (en grados). La amplitud se da en dB si
)
(
j
H
es adimensional, en ( dB )
cuando es
una impedancia y en ( dB ) S cuando es una admitancia.
El método está basado en trazar una curva aproximada del logaritmo de la magnitud mediante
líneas rectas asintóticas, lo cual es suficiente si solo se necesita una información global de la
respuesta de frecuencia. Para obtener curvas más exactas se pueden efectuar fácilmente
correcciones a esas curvas formadas por líneas rectas asintóticas básicas. En este libro solo se
dibujarán los diagramas de Bode de magnitud asintótico, sin aplicar las correcciones antes
señaladas.
Para tener una noción del tamaño del dB será muy útil conocer algunos de sus valores
importantes y recordar algunas de las propiedades de los logaritmos.
Como:
1
10
log
30103
,
0
2
log
,
0
1
log
y
, se tiene:
dB
H
H
dB
j
0
1
)
(
dB
H
H
dB
j
6
2
)
(
dB
H
H
dB
j
20
10
)
(
También:
x
n
x
n
log
1
log
1
:
101
dB
H
H
dB
j
3
2
)
(
x
x
log
1
log
:
dB
H
H
dB
j
3
2
1
)
(
n
n
n
10
log
10
log
:
dB
n
H
H
dB
n
j
20
10
)
(
dB
H
H
dB
j
60
10
3
)
(
dB
H
H
dB
j
40
10
2
)
(
El intervalo de frecuencia entre una frecuencia de valor
y una frecuencia de valor diez
veces mayor (
10 ) o diez veces menor (
1
,
0
), se denomina una década. El intervalo de
frecuencia entre una frecuencia de valor
y una frecuencia de valor dos veces mayor (
2 ) o
dos veces menor (
5
,
0
), se denomina una octava.
La función de red
)
(s
H debe estar expresada como un producto de factores, que muestre sus
ceros y polos. La función de red se escribirá en términos de
j
s
cuando se van a trazar las
curvas de amplitud y fase en función de
.
La expresión más general de
)
(
j
H
es:
...
)
(
)
(
2
1
)
1
(
...
)
(
)
(
2
1
)
1
(
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
0
)
(
N
b
N
N
a
N
N
j
b
j
b
j
b
j
a
j
a
j
a
j
j
K
H
Donde cada factor es:
0
K
Una constante (ganancia) independiente de la frecuencia.
N
j
)
(
Ceros y polos en el origen.
102
N
a
j
1
Ceros y polos (simples o múltiples) en el eje real. Frecuencia de esquina a .
N
a
j
a
j
2
1
1
)
(
)
(
2
1
Ceros y polos cuadráticos o complejos (simples o múltiples).
Frecuencia de esquina
1
a
.
Cuando la función de red
)
(
j
H
presenta esta forma, se dice que está en forma estándar.
Cada uno de los términos presentes en la función de red, debe tener la forma del término
correspondiente de la función de red en su forma estándar, para poder aplicar el
procedimiento general para trazar diagramas de Bode de magnitud asintótico de
funciones de redes
, el cual se empleará en este libro.
Para dibujar el diagrama de Bode asintótico de magnitud, se define la asíntota de baja
frecuencia ( ABF
), la cual es la combinación de la constante o ganancia y el polo o cero en el
origen (simple o de orden N ).
La ABF puede presentarse en una de las tres formas siguientes:
0
K
N
j
K
)
(
0
N
j
K
)
(
0
Procedimiento General para trazar diagramas de Bode de magnitud asintótico de
funciones de redes:
1. Se reescribe la función de red como un producto de factores básicos. Se normaliza haciendo
todos los términos independientes igual a la unidad. La función de red debe quedar de la
forma estándar:
...
)
(
)
(
2
1
)
1
(
...
)
(
)
(
2
1
)
1
(
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
0
)
(
N
b
N
N
a
N
N
j
b
j
b
j
b
j
a
j
a
j
a
j
j
K
H
2. Se determina la forma de la asíntota de baja frecuencia:
103
Como se señaló anteriormente, la ABF puede presentarse en una de las tres formas
siguientes:
0
K - Se representa con una línea recta horizontal, que corta al eje de ordenadas
dB
H
en:
0
log
20
K
N
j
K
)
(
0
- Se representa con una línea recta, con una pendiente de
dec
dB
N
/
20
que
corta al eje de
dB
0
en:
N
K
0
N
j
K
)
(
0
- Se representa con una línea recta, con una pendiente de
dec
dB
N
/
20
que
corta al eje de dB
0
en:
N
K
0
1
3. Se identifican el resto de los factores básicos de la función de red y sus frecuencias de
esquina. La frecuencia a la cual la ABF corta el eje de cero dB y las frecuencias de
esquina, se ordenan de menor a mayor.
4. Se sitúa la escala de frecuencia la cual debe comenzar en un múltiplo de 10 menor que la
menor de las frecuencias señaladas anteriormente.
5. La ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
6. Se comienza el trazado del diagrama de Bode de magnitud asintótico sobre la ABF ,
modificando, a partir de la menor frecuencia de esquina, la pendiente de la gráfica que se va
obteniendo en dicho proceso.
Debe tenerse en cuenta que:
Los ceros introducen una pendiente a partir de su frecuencia de esquina de:
dec
dB
N
/
20
.
Los polos introducen una pendiente a partir de su frecuencia de esquina de:
dec
dB
N
/
20
.
Los ceros cuadráticos o complejos introducen una pendiente a partir de su frecuencia de
esquina de:
dec
dB
N
/
40
.
Los polos cuadráticos o complejos introducen una pendiente a partir de su frecuencia de
esquina de:
dec
dB
N
/
40
.
104
La expresión de la fase
)
(
se obtiene como:
den
ang
num
ang
)
(
Los ejemplos que se desarrollan a continuación muestran con claridad el procedimiento a
seguir para dibujar los diagramas de Bode de magnitud asintóticos y la escritura de la
expresión de la fase
)
(
.
Antes de abordar los ejemplos, debe quedar claro, que el método más eficiente para generar y
graficar las características de amplitud y fase contra frecuencia es usar programas de
computación como el MATLAB, el cual permite obtener de una de manera exacta los
diagramas de Bode de magnitud y fase, así como los diagramas de Bode de magnitud
asintóticos.
Ejemplo 2.8
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
10
)
(
j
v
H
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red solo contiene la
ABF del tipo
0
K . No existen ni ceros ni polos simples o
complejos. No existen frecuencias de esquina o de interés.
La ABF es del tipo
0
K .
10
0
K
ABF
A la ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
dB
20
10
log
20
como se observa en la figura 2.47.
105
Figura 2.47:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
0
0
0
)
(
den
ang
num
ang
El numerador es el número real positivo 10 y el denominador es el real positivo 1.
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.48.
MATLAB:
Figura 2.48:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
En la figura 2.49 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
106
Figura 2.49:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.9
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
j
H
j
v
10
)
(
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red solo contiene la ABF del tipo
N
j
K
)
(
0
. No existen ni ceros ni polos simples
o complejos. No existen frecuencias de esquina.
La ABF es del tipo
N
j
K
)
(
0
. El valor de N es igual a 1.
j
ABF
10
107
A la ABF le corresponde una línea recta, con una pendiente de
dec
dB /
20
que corta al eje
de
dB
0
en:
s
rad
K
/
10
10
1
1
0
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad
/
10
, la escala de frecuencia debe comenzar en
el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
10
, o sea, en
s
rad /
1
.
Si las coordenadas de un punto de la recta son (
0
,
10
dB
H
), para que la recta posea una
pendiente de
dec
dB /
20
, un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo,
coordenadas (
20
,
1
dB
H
) o coordenadas (
20
,
100
dB
H
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se muestra en la figura 2.50.
Figura 2.50:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
90
90
0
)
(
den
ang
num
ang
El numerador es el número real positivo 10 y el denominador es el imaginario positivo
j .
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se presentan en la figura
2.51.
MATLAB:
108
Figura 2.51:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
En la figura 2.52 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
Figura 2.52:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.10
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
)
(
)
(
10
j
H
j
v
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red solo contiene la ABF del tipo
N
j
K
)
(
0
. No existen ni ceros ni polos
simples o complejos. No existen frecuencias de esquina.
La
ABF es del tipo
N
j
K
)
(
0
, siendo
2
N
.
109
2
)
(
10
j
ABF
A la ABF le corresponde una línea recta, con una pendiente de
dec
dB
/
40
(
)
2
N
, que
corta al eje de
dB
0
en:
s
rad
K
/
3162
,
0
10
1
1
2
2
0
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad /
3162
,
0
, la escala de frecuencia debe
comenzar en el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
3162
,
0
, o sea, en
s
rad /
1
,
0
.
Si las coordenadas de un punto de la recta son (
0
,
3162
,
0
dB
H
), para que la recta posea
una pendiente de
dec
dB /
40
, un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo,
coordenadas (
40
,
162
,
3
dB
H
).
En la figura 2.53 aparece el diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Figura 2.53:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
180
0
180
)
(
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.54.
MATLAB:
110
Figura 2.54:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
En la figura 2.55 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
Figura 2.55:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.11
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
1
)
(
j
H
j
v
R:
111
La función de red está en su forma estándar.
La función de red contiene:
1
ABF
(El coeficiente que multiplica al cero simple posee un valor igual a la unidad).
A la ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de
dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
dB
0
1
log
20
(La
ABF coincide con el eje de dB
0
).
Cero simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a 2 .
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad /
2
, la escala de frecuencia debe comenzar en
el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
2
, o sea, en
s
rad /
1
.
La ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
El cero simple introduce una pendiente de
dec
dB
/
20
en
s
rad
/
2
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del cero simple son (
0
,
2
dB
H
), para que
la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
20
20
0
, un
segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas (
20
,
20
dB
H
).
Es importante señalar que los factores que acompañan a la ABF , modifican la pendiente de la
gráfica resultante hasta esos instantes, a partir de su frecuencia de esquina (las frecuencias de
esquina ordenadas de menor a mayor). La pendiente resultante debida a la acción
modificadora de cada factor, se obtiene mediante dos puntos, un punto correspondiente a las
coordenadas de la frecuencia de esquina (
dB
H
,
) y el otro punto que se localiza una década
superior (o inferior) y con un valor de
dB
H que determina la pendiente requerida.
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.56.
112
Figura 2.56:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
2
tan
0
2
tan
1
1
)
(
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.57.
MATLAB:
Figura 2.57:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
0.5 s + 1
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.58.
113
Figura 2.58:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.59 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
Figura 2.59:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.12
114
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
1
1
)
(
j
H
j
v
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red contiene:
1
ABF
(El numerador de la función es igual a la unidad).
A la ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
dB
0
1
log
20
Polo simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a
2 .
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad /
2
, la escala de frecuencia debe comenzar en
el múltiplo de 10 menor que
s
rad
/
2
, o sea, en
s
rad
/
1
.
La
ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
El polo simple introduce una pendiente de
dec
dB /
20
en
s
rad /
2
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del polo simple son (
0
,
2
dB
H
), para que
la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB
/
20
20
0
, un
segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas (
20
,
20
dB
H
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.60.
115
Figura 2.60:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
2
tan
2
tan
0
1
1
)
(
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.61.
MATLAB:
Figura 2.61:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
1
---------
0.5 s + 1
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.62.
116
Figura 2.62:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.63 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
117
Figura 2.63:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.13
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
)
(
)
5
(
)
5
)(
1
,
0
(
2
1
j
j
H
j
v
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red contiene:
1
ABF
(El factor que multiplica al cero complejo simple es igual a la unidad).
A la ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
118
dB
0
1
log
20
Cero complejo simple (
1
N
). La frecuencia de esquina es igual a 5 .
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad /
5
, la escala de frecuencia debe comenzar en
el múltiplo de 10 menor que
s
rad
/
5
, o sea, en
s
rad
/
1
.
La ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
El cero complejo simple introduce una pendiente de
dec
dB /
40
en
s
rad /
5
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del cero complejo son (
0
,
5
dB
H
), para
que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
40
40
0
,
un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas (
40
,
50
dB
H
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.64.
Figura 2.64:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
04
,
0
04
,
0
1
04
,
0
04
,
0
1
)
5
(
)
5
)(
1
,
0
(
2
1
2
2
2
)
(
j
j
j
j
H
j
v
2
1
2
1
)
(
04
,
0
1
04
,
0
tan
0
04
,
0
1
04
,
0
tan
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.65.
MATLAB:
119
Figura 2.65:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
0.04 s^2 + 0.04 s + 1
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.66.
Figura 2.66:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.67 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
120
Figura 2.67:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.14
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
2
)
(
)
5
(
)
5
)(
1
,
0
(
2
1
1
j
j
H
j
v
R:
La función de red está en su forma estándar.
La función de red contiene:
1
ABF
(La constante
0
K es igual a la unidad).
121
A la ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
dB
0
1
log
20
Polo complejo de segundo orden con multiplicidad dos (
2
N
). La frecuencia de esquina es
igual a 5 .
Siendo la única frecuencia de interés
s
rad /
5
, la escala de frecuencia debe comenzar en
el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
5
, o sea, en
s
rad /
1
.
La
ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
El polo complejo de segundo orden introduce una pendiente de
dec
dB /
80
en
s
rad /
5
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del polo complejo son (
0
,
5
dB
H
), para
que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
80
80
0
, un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas
(
80
,
50
dB
H
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.68.
Figura 2.68:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
2
2
2
2
2
2
)
(
04
,
0
04
,
0
1
1
04
,
0
04
,
0
1
1
)
5
(
)
5
)(
1
,
0
(
2
1
1
j
j
j
j
H
j
v
122
2
1
2
1
)
(
04
,
0
1
04
,
0
tan
2
04
,
0
1
04
,
0
tan
2
0
den
ang
num
ang
MATLAB:
>> syms s
>> d=(1/25*s^2+0.2/5*s+1)^2
d =
(1/25*s^2+1/25*s+1)^2
>> d=expand(d)
d =
1/625*s^4+2/625*s^3+51/625*s^2+2/25*s+1
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.69.
Figura 2.69:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
1
-------------------------------------------------
0.0016 s^4 + 0.0032 s^3 + 0.0816 s^2 + 0.08 s + 1
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.70.
123
Figura 2.70:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.71 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
Figura 2.71:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
124
Los ejemplos resueltos hasta el presente han correspondido a funciones de red en forma
estándar, que han estado formadas solamente por la ABF o por la ABF y otro factor (cero o
polo en el eje real o complejo, simple o múltiple).
A continuación se muestran ejemplos de mayor complejidad, donde existen varios factores y
la función de red no aparece en forma estándar.
Ejemplo 2.15
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
)
100
)(
10
(
)
2
(
10
4
)
(
j
j
j
H
j
v
R:
La función de red no está en su forma estándar, por lo que debe reescribirse:
)
100
1
)(
10
1
(
)
2
1
(
20
)
100
1
(
100
)
10
1
(
10
)
2
1
)(
2
(
10
)
100
)(
10
(
)
2
(
10
4
4
)
(
j
j
j
j
j
j
j
j
j
H
j
v
La función de red contiene:
20
ABF
A la
ABF le corresponde una línea recta horizontal (paralela al eje de dB
0
), que corta al eje
de ordenadas
dB
H
en:
dB
26
20
log
20
Cero simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a 2 .
Polo simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a 10 .
Polo simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a 100 .
Las frecuencias ordenadas de menor a mayor son:
2
Cero simple.
125
10
Polo simple.
100
Polo simple.
La escala de frecuencia debe comenzar en el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
2
, o sea,
en
s
rad /
1
.
La ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
El cero simple (
2
1
j
) introduce una pendiente de
dec
dB /
20
en
s
rad /
2
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del cero simple son (
26
,
2
dB
H
), para que
la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
20
20
0
, un
segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas (
46
,
20
dB
H
).
El polo simple (
10
1
j
) introduce una pendiente de
dec
dB /
20
en
s
rad /
10
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del polo simple son (
40
,
10
dB
H
), para
que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
0
20
20
,
un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas (
40
,
100
dB
H
).
El polo simple (
100
1
j
) introduce una pendiente de
dec
dB /
20
en
s
rad /
100
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del polo simple son (
40
,
100
dB
H
), para
que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
20
20
0
, un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo coordenadas
(
20
,
1000
dB
H
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.672.
126
Figura 2.72:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
100
tan
10
tan
2
tan
1
1
1
)
(
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.73.
MATLAB:
Figura 2.73:
Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
10000 s + 20000
------------------
s^2 + 110 s + 1000
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.74.
127
Figura 2.74:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.75 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
128
Figura 2.75:
Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Ejemplo 2.16
Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
]
1
36
)
12
[(
)
1
(
2
,
0
2
)
(
j
j
j
j
H
j
v
R:
La función de red no está en su forma estándar, por lo que debe reescribirse:
]
)
12
(
)
12
)(
6
1
(
2
1
[
)
1
1
(
2
,
0
]
1
36
)
12
[(
)
1
(
2
,
0
2
2
)
(
j
j
j
j
j
j
j
j
H
j
v
La función de red contiene:
129
j
ABF
2
,
0
A la ABF le corresponde una línea recta, con una pendiente de
dec
dB /
20
que corta al eje
de
dB
0
en:
s
rad
K
/
2
,
0
2
,
0
1
1
0
Cero simple (
1
N
) en el eje real. La frecuencia de esquina es igual a
1.
Polo complejo simple (
1
N
). La frecuencia de esquina es igual a 12 .
Las frecuencias ordenadas de menor a mayor son:
2
,
0
ABF .
1
Cero simple.
12
Polo complejo simple.
La escala de frecuencia debe comenzar en el múltiplo de 10 menor que
s
rad /
2
,
0
, o sea,
en
s
rad /
1
,
0
.
La ABF se traza con una línea clara porque no es definitiva.
Si las coordenadas de un punto de la ABF son (
0
,
2
,
0
dB
H
), para que la recta posea una
pendiente de
dec
dB /
20
, un segundo punto de la misma debe poseer, por ejemplo,
coordenadas (
20
,
2
dB
H
).
El cero simple (
1
1
j
) introduce una pendiente de
dec
dB /
20
en
s
rad /
1
.
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del cero simple son (
14
,
1
dB
H
), para
que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una pendiente de
dec
dB /
0
20
20
(recta horizontal), un segundo punto de la misma debe poseer, por
ejemplo coordenadas (
14
,
20
dB
H
).
El polo complejo simple introduce una pendiente de
dec
dB /
40
en
s
rad /
12
.
130
Si las coordenadas de la frecuencia de esquina del polo complejo simple son
(
14
,
12
dB
H
), para que la gráfica a partir de la frecuencia de esquina posea una
pendiente de
dec
dB /
40
40
0
, un segundo punto que permite determinar correctamente la
pendiente de la gráfica, debe poseer, por ejemplo coordenadas (
26
,
2
,
1
dB
H
). Se observa
que en este caso se ha escogido como segundo punto, para poder determinar la pendiente
requerida a partir de la frecuencia de esquina del polo complejo simple, un punto situado una
década anterior (la escala de frecuencia disponible tiene un valor máximo de
s
rad /
100
).
El diagrama de Bode de magnitud asintótico se presenta en la figura 2.76.
Figura 2.76:
Diagrama de Bode de magnitud asintótico.
Expresión de la fase
)
(
:
144
1
36
tan
90
tan
2
1
1
)
(
den
ang
num
ang
El archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase se muestra en la figura
2.77.
MATLAB:
131
Figura 2.77: Archivo .m para obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.
Transfer function:
0.2 s + 0.2
------------------------------
0.006944 s^3 + 0.02778 s^2 + s
El diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido en el MatLab se presenta en la figura
2.78.
132
Figura 2.78: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
En la figura 2.79 se muestran los diagramas de Bode de magnitud y fase obtenidos en el
MatLab.
Figura 2.79: Diagramas de Bode de magnitud y fase (MATLAB).
Problemas de consolidación
2-5. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
)
1
05
.
0
(
10
)
(
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con el
empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.80.
R:
133
Figura 2.80: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
20
tan
90
20
tan
90
0
1
1
)
(
den
ang
num
ang
6-6. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
2
)
(
)
(
)
1
02
,
0
)(
100
(
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con el
empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.81.
R:
134
Figura 2.81: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
180
50
tan
1
)
(
den
ang
num
ang
135
Problemas de final de capítulo
1. Obtenga de forma aproximada la característica de amplitud contra frecuencia (CAF) y
la característica de fase contra frecuencia (CFF) de la función de red:
16
75
55
10
2
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
v
Comparar la respuesta, con las características de amplitud y fase contra frecuencia
obtenidas con el empleo de MATLAB, que se muestran en la figura 2.82.
R:
Figura 2.82: Características de frecuencia que se obtienen empleando MATLAB.
136
2. Dibujar de forma aproximada, la característica de amplitud contra frecuencia y fase
contra frecuencia, de la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
para el circuito mostrado en la
figura 2.83. Comparar la respuesta, con las características de amplitud y fase contra
frecuencia obtenidas con el empleo de MATLAB, que se muestran en la figura 2.84.
Figura 2.83: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Figura 2.84: Características de frecuencia que se obtienen empleando MATLAB.
137
3. Obtener las características de amplitud y fase contra frecuencia de la función de red
2
1
2
1
2
)
(
1
)
(
2
)
(
21
s
s
V
I
Y
s
s
s
a partir del diagrama de polos y ceros.
Comparar la respuesta, con las características de amplitud y fase contra frecuencia
obtenidas con el empleo de MATLAB, que se muestran en la figura 2.85.
R:
Figura 2.85: Características de frecuencia que se obtienen empleando MATLAB.
4. Obtener las características de amplitud y fase contra frecuencia de la función de red
75
,
0
5
,
0
)
(
s
s
H
s
v
a partir del diagrama de polos y ceros.
Comparar la respuesta, con las características de amplitud y fase contra frecuencia
obtenidas con el empleo de MATLAB, que se muestran en la figura 2.86.
R:
138
Figura 2.86: Características de frecuencia que se obtienen empleando MATLAB.
5. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
)
10
)(
(
)
1
)(
100
(
)
(
j
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con
el empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.87.
R:
139
Figura 2.87: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
10
tan
90
tan
1
1
)
(
den
ang
num
ang
6. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
]
100
4
)
)[(
5
,
0
(
25
2
)
(
j
j
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con
el empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.88.
R:
140
Figura 2.88: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
2
1
1
)
(
100
4
tan
5
,
0
tan
90
den
ang
num
ang
7. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
]
)
(
20
10
)[
1
(
10
2
4
5
)
(
j
j
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con
el empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.89.
R:
141
Figura 2.89: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
2
4
1
1
)
(
10
20
tan
tan
90
den
ang
num
ang
8. Dibujar el diagrama de Bode de magnitud asintótico y escribir la expresión de la fase
)
(
para la siguiente función de transferencia:
)
1
02
,
0
)(
1
(
)
1
1
,
0
(
10
)
(
j
j
j
H
j
v
Comparar la respuesta, con el diagrama de Bode de magnitud asintótico obtenido con
el empleo de MATLAB, que se muestra en la figura 2.90.
R:
142
Figura 2.90: Diagrama de Bode de magnitud asintótico (MATLAB).
50
tan
tan
10
tan
1
1
1
)
(
den
ang
num
ang
Bibliografía
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J. William H. Hayt, J. E. Kemmerly, and S. M. Durbin, Análisis de Circuitos en
Ingeniería, 7th ed. México: McGraw Hill Interamericana, 2007.
[2]
J. A. Edminister and M. Nahvi, Circuitos Eléctricos, 3th ed. Madrid: MCGRaw Hill,
1997.
[3]
R. L. Boylestad, Introductory Circuit Analysis, 10th ed.: Prentice Hall, 2006.
[4]
J. A. Svoboda and R. C. Dorf, Introduction to Electric Circuit, 9th ed. USA: John
Wiley & Sons, Inc., 2014.
[5]
J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuit, 9th Edition ed. Mexico City: Prentice
Hall, 2011.
[6]
W. Naeem, Concepts in Electric Circuits: Dr. Wasif Naeem & Ventus Publishing ApS,
2009.
[7]
C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamental of Electric Circuit.
Preguntas frecuentes
¿De qué trata este libro?
Este libro está dirigido fundamentalmente a los estudiantes de todas las carreras de perfil eléctrico, y su objetivo es orientarlos hacia el estudio del concepto de frecuencia compleja y la respuesta de frecuencia.
¿Qué es la frecuencia compleja y por qué es importante?
La frecuencia compleja es un concepto que permite relacionar el análisis de circuitos resistivos, el análisis en estado estable sinusoidal, el análisis transitorio, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales, y el análisis de funciones sinusoidales exponencialmente amortiguadas. Es de gran utilidad en el análisis de circuitos.
¿Qué es la respuesta de frecuencia y por qué es importante?
La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada como una descripción completa del comportamiento del circuito en estado estable sinusoidal como una función de la frecuencia. El conocimiento de la respuesta de frecuencia es importante en sistemas de comunicaciones y control automático, como en el diseño de filtros eléctricos.
¿Cómo está estructurado el libro?
El libro se ha estructurado en dos capítulos:
- Capítulo 1: Frecuencia compleja y función de red. Se da una definición matemática de la frecuencia compleja y su interpretación física; se definen las inmitancias operacionales. El capítulo concluye con la definición de la función de red y la determinación de su diagrama de polos y ceros.
- Capítulo 2: Respuesta de frecuencia. Se define el concepto de respuesta de frecuencia. Se explican y ejemplifican tres métodos para obtener las características de frecuencia de la función de red: método aproximado, obtención a partir del diagrama de polos y ceros, y diagramas de Bode.
¿Qué métodos se presentan para obtener las características de frecuencia de la función de red?
Se explican y ejemplifican tres métodos:
- Método aproximado para obtener las características de frecuencia.
- Obtención a partir del diagrama de polos y ceros.
- Diagramas de Bode.
¿Qué se incluye en cada capítulo del libro?
Cada capítulo presenta un conjunto de ejercicios resueltos y propuestos, con el fin de proporcionar a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en estos temas. Algunos ejercicios resueltos incluyen soluciones usando MATLAB.
¿Qué se menciona sobre el uso de MATLAB en el libro?
En el caso de los ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial empleando el lenguaje de programación MATLAB, vinculando su empleo en el análisis de los circuitos eléctricos. Sin embargo, se advierte que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda y no como un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver problemas.
¿Qué tipo de señales se analizan en relación con la frecuencia compleja?
Se analizan voltajes y corrientes constantes, exponenciales, sinusoidales y sinusoidales exponencialmente amortiguadas, y se muestra cómo estos pueden expresarse en términos de la frecuencia compleja.
¿Qué se menciona sobre el diagrama de polos y ceros?
Se da una definición de la función de red y la determinación de su diagrama de polos y ceros. Se explica la interpretación física de los polos y los ceros, y se menciona cómo se pueden utilizar para obtener las características de frecuencia de un circuito.
¿Cuáles son los temas clave que se abordan en el Capítulo 1?
Los temas clave incluyen la definición matemática y la interpretación física de la frecuencia compleja, inmitancias operacionales (Z(s) e Y(s)), función de red, y diagrama de polos y ceros.
¿Cuáles son los temas clave que se abordan en el Capítulo 2?
Los temas clave incluyen respuesta de frecuencia, método aproximado para obtener las características de frecuencia de la función de red, obtención de las características de frecuencia a partir del diagrama de polos y ceros, y diagramas de Bode.
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- Ingeniero Electrónico Ileana Moreno Campdesuñer (Author), Juan Curbelo Cancio (Author), 2017, Respuesta de frecuencia en circuitos eléctricos, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/382477
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