Respuesta de frecuencia en circuitos eléctricos


Libro Especializado, 2017
147 Páginas, Calificación: ninguna

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Prólogo ... I
Capítulo 1 ... 1
Frecuencia compleja. Función de red ... 1
Introducción ... 1
1.1 Frecuencia compleja ... 1
Definición matemática ... 1
Interpretación física de la frecuencia compleja ... 5
1.2 Inmitancias operacionales (
)
(s
Z y
)
(s
Y ) ... 12
1.3 Función de red. Diagrama de polos y ceros ... 24
Interpretación física de los polos y los ceros ... 28
Problemas de final de capítulo ... 55
Capítulo 2 ... 60
Respuesta de frecuencia... 60
Introducción ... 60
2.1 Respuesta de frecuencia... 60
2.2 Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la función
de red
)
(s
H ... 62
2.3 Obtención de las características de frecuencia ...
de la función de red
)
(s
H a partir del diagrama de polos y ceros ... 86
2.4 Diagramas de Bode ... 99
Problemas de final de capítulo ... 135
Bibliografía ... 143

I
Prólogo
Este libro, dirigido fundamentalmente a los estudiantes de todas las carreras de perfil
eléctrico, tiene como objetivo, la orientación de los mismos hacia el estudio del
concepto de frecuencia compleja y la respuesta de frecuencia.
El concepto de frecuencia compleja es de gran utilidad en el análisis de circuitos, pues
es un concepto que permite relacionar el análisis de circuitos resistivos, el análisis en
estado estable sinusoidal, el análisis transitorio, el análisis de circuitos alimentados por
funciones de excitación exponenciales y el análisis de funciones sinusoidales
exponencialmente amortiguadas. Todos estos análisis se convertirán en casos especiales
de las técnicas generales para el análisis de circuitos, asociados con el concepto de
frecuencia compleja.
La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada, como una descripción
completa del comportamiento del circuito en estado estable sinusoidal, como una
función de la frecuencia.
El conocimiento de la respuesta de frecuencia de un circuito, es de gran importancia en
muchas aplicaciones, especialmente en sistemas de comunicaciones y control
automático. Una aplicación específica se encuentra en el diseño de filtros eléctricos que
bloquean o eliminan señales con frecuencias no deseadas y permiten el paso de señales
con frecuencias deseadas. Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y
telefónicos para separar una frecuencia de transmisión de otra.
El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus
autores y recurriendo a una bibliografía de textos reconocidos internacionalmente [1],
[2], [3], [4], [5], [6],[7] .
En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y
propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en estos
temas.
En el caso de los ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial empleando el
lenguaje de programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos
recibidos por los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al
vincular su empleo en el análisis de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren
dejar claro que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda

II
y no como un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver
problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda
verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en dos capítulos.
En el primer capítulo se da una definición matemática de la frecuencia compleja y su
interpretación física; se definen las inmitancias operacionales (
)
(s
Z
y
)
(s
Y
). El capítulo
concluye con la definición de la función de red y la determinación de su diagrama de
polos y ceros.
En el capítulo segundo se define el concepto de respuesta de frecuencia. Se explican y
ejemplifican tres métodos para obtener las características de frecuencia de la función de
red
)
( s
H
.
1. Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la función
de red
)
(s
H
.
2. Obtención de las características de frecuencia de la función de red
)
(s
H
a partir
del diagrama de polos y ceros.
3. Diagramas de Bode.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las
sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y
profundizar.
Los autores

1
Capítulo 1
Frecuencia compleja. Función de red
Introducción
En los circuitos en estado estable, alimentados con señales sinusoidales, los voltajes,
corrientes e inmitancias (impedancias y admitancias) se representan en función de la
frecuencia angular
. En este capítulo se estudiará la frecuencia compleja s que es un
concepto más general.
1.1 Frecuencia compleja
El concepto de frecuencia compleja es de gran utilidad en el análisis de circuitos, pues
es un concepto que permite relacionar todas las técnicas estudiadas anteriormente. El
análisis de circuitos resistivos, el análisis en estado estable sinusoidal, el análisis
transitorio, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación
exponenciales y funciones sinusoidales exponencialmente amortiguadas, se convertirán
en casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos, asociados con
el concepto de frecuencia compleja.
Primeramente se dará una definición matemática de la frecuencia compleja y luego su
interpretación física.
Definición matemática
Se dice que cualquier función que puede expresarse de la forma:
st
Ke
t
f
)
(
Donde K y s son constantes complejas (independientes del tiempo), está caracterizada
por la frecuencia compleja s . Por tanto, la frecuencia compleja s es el factor que
multiplica a t en esta representación exponencial compleja.
Las señales del mundo real (voltajes y corrientes), pueden ser expresadas como
combinaciones lineales de señales exponenciales complejas.
A continuación se aplica la definición de frecuencia compleja a algunas de las señales
(reales) de excitación o respuesta (voltajes o corrientes) más conocidas. Por ejemplo:

2
1. Voltaje constante:
0
)
(
V
t
v
Puede escribirse en la forma:
t
e
V
t
v
0
0
)
(
Por tanto, la frecuencia compleja de un voltaje o una corriente de CD es cero, o sea:
0
s
.
2. Voltaje exponencial:
t
e
V
t
v
0
)
(
La expresión matemática ya está de la forma requerida. Por tanto, la frecuencia
compleja de un voltaje exponencial es una cantidad real, generalmente negativa:
s
3. Voltaje sinusoidal:
)
cos(
)
(
t
V
t
v
m
Se aplica la identidad de Euler para encontrar una expresión equivalente en términos de
la exponencial compleja, obteniéndose:
t
s
t
s
t
j
j
m
t
j
j
m
t
j
t
j
m
e
K
e
K
e
e
V
e
e
V
e
e
V
t
v
2
1
2
1
)
(
)
(
)
2
1
(
)
2
1
(
)
(
2
1
)
(
Se tiene la suma de dos exponenciales complejas, por lo que hay dos frecuencias
complejas (conjugadas), una para cada término:
j
s
1
j
s
2
*
1
2
s
s
Las constantes son también complejas conjugadas:
j
m
e
V
K
2
1
1
j
m
e
V
K
2
1
2
*
1
2
K
K
El que tanto las frecuencias complejas s como las constantes
K sean complejas
conjugadas, es de esperar, ya que la suma de los dos términos debe ser una cantidad real
)
(t
v
.

3
4. Voltaje sinusoidal exponencialmente amortiguado:
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
Usando nuevamente la identidad Euler para obtener una representación exponencial
compleja:
t
s
t
s
t
j
j
m
t
j
j
m
t
j
t
j
t
m
e
K
e
K
e
e
V
e
e
V
e
e
e
V
t
v
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
(
)
2
1
(
)
(
2
1
)
(
En este caso aparecen también un par de frecuencias complejas conjugadas:
j
s
1
j
s
2
*
1
2
s
s
Las constantes son también complejas conjugadas:
j
m
e
V
K
2
1
1
j
m
e
V
K
2
1
2
*
1
2
K
K
En general, ni
ni son cero, por lo que la onda sinusoidal con variación
exponencial constituye el caso general y las formas de onda constante, exponencial y
sinusoidal son casos especiales.
Ejemplo 1.1
Encuentre las frecuencias complejas asociadas con los voltajes siguientes:
a)
V
t
v
100
)
(
; b)
V
e
t
v
t
2
5
)
(
; c)
V
t
sen
t
v
500
2
)
(
; d)
V
t
sen
e
t
v
t
)
10
6
(
4
)
(
3
R:
a)
0
100
)
(
s
V
t
v
b)
s
Np
s
V
e
t
v
t
/
2
5
)
(
2
c)
s
rad
j
s
s
rad
j
s
V
t
sen
t
v
/
500
;
/
500
500
2
)
(
2
1
d)
1
2
1
1
3
6
3
;
6
3
)
10
6
(
4
)
(
s
j
s
s
j
s
V
t
sen
e
t
v
t
MATLAB:

4
>> syms Vm w t zita
>> vt=1/2*Vm*(exp(j*(w*t+zita))+exp(-j*(w*t+zita)))
vt =
1/2*Vm*(exp(i*(w*t+zita))+exp(-i*(w*t+zita)))
>> vt=simplify(vt)
vt =
Vm*cos(w*t+zita)
Puede considerarse también el caso inverso: dada una frecuencia compleja o un par de
frecuencias complejas conjugadas, identificar la naturaleza de la función con la que
están asociadas.
Es importante aclarar que un valor de s puramente imaginario, como 10
j
, nunca
puede asociarse con una cantidad real,
en este caso se escribiría:
t
jsen
t
K
Ke
t
j
10
10
cos
10
Esta expresión posee parte real e imaginaria y cada parte es sinusoidal. Luego, para
poder construir una función real es necesario considerar valores conjugados de s ,
por ejemplo:
10
2
,
1
j
s
, con los que deberán asociarse valores conjugados de
K .
De manera informal, se puede identificar a cualquiera de esas frecuencias complejas con
un voltaje (corriente) sinusoidal de frecuencia
s
rad /
10
. Debe sobreentenderse la
presencia de la frecuencia compleja conjugada.
La amplitud y el ángulo de fase de la función sinusoidal dependen del valor de K para
cada una de las dos frecuencias.
Ejemplo 1.2
Exprese en forma sinusoidal el voltaje:
V
e
K
e
K
t
v
t
s
t
s
2
1
2
1
)
(
s
rad
j
s
/
10
1
y
V
j
K
8
6
1
Donde:
*
1
2
s
s
y
*
1
2
K
K

5
R:
Teniendo en cuenta que:
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
j
e
j
K
Y como:
j
m
e
V
K
2
1
1
Se tiene que:
10
2
1
m
V
20
m
V
s
rad /
10
1
,
53
El voltaje expresado en forma sinusoidal, que es la sinusoide real, es:
V
t
t
v
)
1
,
53
10
cos(
20
)
(
MATLAB:
>> [angulovt, magnitudvt]=cart2pol(6,-8)
angulovt =
-0.9273
magnitudvt =
10
>> angulovt=angulovt*180/pi
angulovt =
-53.1301
Interpretación física de la frecuencia compleja
En general, la frecuencia compleja s describe una función sinusoidal que varía
exponencialmente.

6
La parte real de s está asociada con la variación exponencial;
si es positiva, la
función aumenta conforme t aumenta; si es negativa, la función decrece, y si es igual a
cero, la amplitud de la sinusoide es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la
parte real de s , mayor será la rapidez del aumento o disminución exponencial.
La parte imaginaria de s
describe la variación sinusoidal; específicamente,
representa la frecuencia angular.
Una magnitud más grande de la parte imaginaria de
s
, indica una variación más rápida con respecto al tiempo.
Por lo tanto, valores mayores para la parte real de s , la parte imaginaria de s , o la
magnitud de s , indican una variación más rápida con respecto al tiempo.
Se acostumbra denotar por
a la parte real de s , y por
a la parte imaginaria de s :
j
s
Donde:
s
: frecuencia compleja (neper complejos/s ó radianes complejos/s),
1
s .
: frecuencia neperiana (en neper/s),
s
N
p
/ .
: frecuencia angular (en radianes/s),
s
rad /
.
A continuación se aborda gráficamente el concepto de s :
Cuando
j
s
:
El voltaje exponencial complejo es:
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
t
jsen
t
V
t
V
e
V
e
e
V
Ve
t
m
m
t
j
m
t
j
j
m
st
De acuerdo a esta expresión, al multiplicar el fasor V por
st
e , el resultado puede ser
interpretado como un fasor que rota a una velocidad angular constante
y no varía su
magnitud (la punta del fasor describe un círculo).
Cuando
j
s
:
El voltaje exponencial complejo es:
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
)
(
t
jsen
t
e
V
t
e
V
e
e
V
e
e
V
Ve
t
t
m
t
m
t
j
t
m
t
j
j
m
st
La expresión indica que al multiplicar el fasor V por
st
e , el resultado puede ser
interpretado como un fasor que rota a una velocidad angular constante
y varía su
magnitud a una razón exponencial
(la punta del fasor describe una espiral).

7
La figura 1.1, ilustra lo señalado anteriormente:
Figura 1.1:
Multiplicación de un fasor V por
st
e , para diferentes valores de
.
El voltaje
))
(
)
(cos(
)
(
)
(
)
(
t
jsen
t
e
V
e
e
V
e
e
V
Ve
t
t
m
t
j
t
m
t
j
j
m
st
,
es un voltaje de naturaleza compleja, que no puede ser generado en un laboratorio,
donde los voltajes son reales.
El voltaje sinusoidal amortiguado (señal real), es la parte real del producto
st
Ve , o sea,
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
. Gráficamente, el voltaje sinusoidal amortiguado es la
proyección sobre el eje real del producto del fasor V por
st
e :
)
cos(
)
(
t
e
V
Ve
t
m
st
El factor
determina la razón de crecimiento exponencial (
0
) o decrecimiento
exponencial (
0
) de la sinusoide amortiguada. Para
0
, la amplitud de la
sinusoide es constante (la punta del fasor describe un círculo). Este es el caso donde
j
s
.
Ejemplo 1.3
Un voltaje expresado fasorialmente como
V
45
10
tiene una frecuencia compleja
asociada
1
100
50
s
j
s
. Hallar el valor del voltaje en el instante
ms
t 10
.
R:
El voltaje se expresa en forma instantánea como:
V
t
e
t
v
t
)
45
100
cos(
10
)
(
50
En el instante
s
ms
t
2
10
10
:
V
e
e
t
v
29
,
1
3
,
102
cos
10
)
45
)
180
)(
10
)(
100
cos((
10
)
(
5
,
0
2
)
10
)(
50
(
2

8
MATLAB:
>> t=0.01;
>> vt=10*exp(-50*t)*cos(100*t+45*pi/180)
vt =
-1.2917
Ejemplo 1.4
En el circuito mostrado en la figura 1.2 se desea encontrar la respuesta exponencial
compleja
)
(
0
t
al voltaje de excitación exponencial complejo
st
i
i
e
V
t
)
(
.
Figura 1.2:
Circuito excitado con una señal exponencial compleja.
R:
Asumiendo que la respuesta es también un voltaje exponencial complejo:
st
o
o
e
V
t
)
(
Hallando la relación entre
)
(t
o
y
)
(t
i
:
Aplicando la LKC en el nodo superior derecho:
0
)
(
2
1
R
R
dt
d
C
o
i
o
i
o
Reordenando la ecuación:
i
i
o
o
R
dt
d
C
R
R
R
R
dt
d
C
R
R
2
2
1
2
1
2
1
)
(
Sustituyendo las expresiones
st
i
i
e
V
t
)
(
y
st
o
o
e
V
t
)
(
en la ecuación anterior y
realizando las derivadas indicadas:

9
st
i
st
i
st
o
st
o
e
V
R
e
CsV
R
R
e
V
R
R
e
CsV
R
R
2
2
1
2
1
2
1
)
(
Agrupando términos y empleando nuevamente las expresiones
st
i
i
e
V
t
)
(
y
st
o
o
e
V
t
)
(
, se obtiene:
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
o
Si los valores de las componentes son conocidas, puede encontrarse fácilmente
)
(t
o
para un valor dado de
)
(t
i
, calculando el lado derecho de la ecuación para el valor de
s
que aparece en la expresión
st
i
i
e
V
t
)
(
.
MATLAB:
>> syms R1 R2 C s vi v0
>> v0=solve('R1*R2*C*s*v0+(R1+R2)*v0=R1*R2*C*s*vi+R2*vi')
v0 =
R2*vi*(R1*C*s+1)/(R1*R2*C*s+R1+R2)
Ejemplo 1.5
En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a la
entrada
V
t
i
12
)
(
.
R:
Sustituyendo los valores de las componentes en la ecuación que relaciona la respuesta
con la entrada, que se obtuvo en el ejemplo 5.4:
)
(
3
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
s
s
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
i
o
Expresando el voltaje de entrada
)
(t
i
en la forma estándar:
t
j
i
e
e
t
0
0
12
12
)
(
Se observa que:
0
y
0
s
Sustituyendo:

10
V
t
s
s
t
i
o
8
)
12
)(
3
)
0
(
2
2
)
0
(
2
(
)
(
3
2
2
2
)
(
MATLAB:
>> R1=1;R2=2;C=1;s=0;vi=12;
>> v0=R2*vi*(R1*C*s+1)/(R1*R2*C*s+R1+R2)
v0 =
8
Ejemplo 1.6
En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a la
entrada
V
e
t
t
j
i
)
2
3
(
12
)
(
.
R:
Sustituyendo los valores de las componentes en la ecuación que relaciona la respuesta
con la entrada, que se obtuvo en el ejemplo 1.4:
)
(
3
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
t
s
s
t
R
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
t
i
i
o
Expresando el voltaje exponencial complejo de entrada
)
(t
i
en la forma estándar:
t
j
j
t
j
i
e
e
e
t
)
2
3
(
0
)
2
3
(
12
12
)
(
Se observa que:
0
y
2
3 j
s
Sustituyendo valores, se obtiene la respuesta exponencial compleja:
V
e
e
e
j
j
t
s
s
t
t
j
t
j
j
i
o
)
2
3
(
)
2
3
(
0
13
,
8
5765
,
13
)
12
)(
3
)
2
3
(
2
2
)
2
3
(
2
(
)
(
3
2
2
2
)
(
MATLAB:
>> R1=1;R2=2;C=1;s=-3+2i;
>> (R1*R2*C*s+R2)/(R1*R2*C*s+(R1+R2))
ans =
1.1200 + 0.1600i

11
>> V=ans*12
V =
13.4400 + 1.9200i
>> moduloV=abs(V)
moduloV =
13.5765
>> anguloV=angle(V)*180/pi
anguloV =
8.1301
En el ejemplo 1.4 se obtuvo la relación entre la respuesta exponencial compleja
)
(t
o
y
la señal exponencial compleja de entrada
)
(t
i
a través de una ecuación diferencial.
Este procedimiento tiende a ser largo, sobre todo en circuitos de cierta complejidad. Un
procedimiento más rápido está basado en el álgebra fasorial, que se presenta en el
siguiente epígrafe.
Problemas de consolidación
1-1. Escribir el módulo, el ángulo de fase (emplear la función coseno) y la frecuencia
compleja, correspondientes a las funciones del tiempo:
a)
A
t
i
86
)
(
; b)
V
t
t
v
)
45
250
cos(
25
)
(
; c)
A
t
sen
e
t
i
t
)
90
50
(
5
)
(
100
R:
a)
0
,
0
86
s
A
; b)
s
rad
j
s
V
/
250
,
45
25
; c)
1
50
100
,
0
5
s
j
s
A
1-2. Identificar todas las frecuencias complejas presentes en las siguientes funciones
reales del tiempo.
a)
t
sen
e
e
t
t
2000
)
2
(
200
100
; b)
)
4
cos(
)
2
(
10
t
e
t
; c)
t
sen
t
e
t
40
10
cos
10
.
R:
a)
1
1
1
1
2000
200
;
2000
200
;
2000
100
;
2000
100
s
j
s
j
s
j
s
j
b)
1
1
1
1
4
10
;
4
10
;
4
;
4
s
j
s
j
s
j
s
j
c)
1
1
1
1
30
10
;
30
10
;
50
10
;
50
10
s
j
s
j
s
j
s
j

12
1-3. Escribir la función del tiempo (emplear la función coseno) correspondiente al
módulo, el ángulo de fase y la frecuencia compleja indicados en cada caso:
a)
s
rad
j
s
/
120
,
45
2
; b)
1
1000
5000
,
0
15
s
j
s
R:
a)
)
45
120
cos(
2
t
; b)
t
e
t
1000
cos
15
5000
1-4. Construya la forma general de la función real del tiempo, correspondiente a una
función con las siguientes frecuencias complejas:
a)
1
10
,
10
,
0
s ; b)
1
8
5
,
8
,
5
s
j
j
; c)
1
20
20
,
20
20
,
20
,
20
s
j
j
R:
a)
t
t
Ce
Be
A
10
10
;
b)
)
8
cos(
)
8
cos(
2
5
1
5
t
Ce
t
B
A
t
t
c)
)
20
cos(
)
20
cos(
2
20
1
20
20
20
t
De
t
Ce
Be
A
t
t
t
t
1-5. En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a
la entrada
V
e
t
t
i
3
12
)
(
.
R:
V
e
t
3
16
1-6. En el circuito del ejemplo 1.4,
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Hallar la respuesta a
la entrada
V
e
t
t
j
i
2
12
)
(
.
R:
V
e
t
j 2
30
,
10
7331
,
10
1.2 Inmitancias operacionales (
)
(s
Z
y
)
(s
Y
)
El concepto de inmitancias ( Z y Y ) puede extenderse a las frecuencias complejas.
Primeramente se determinará la impedancia del inductor en términos de s (impedancia
operacional) y se darán los resultados, sin demostración, para el resistor y el capacitor.
Sea
)
cos(
)
(
t
e
V
t
v
t
m
el voltaje aplicado a un inductor
L . La respuesta de
corriente debe tener la forma:
)
cos(
)
(
t
e
I
t
i
t
m
.
El voltaje y la corriente pueden ser representados como:
)
(
)
cos(
)
(
st
t
m
Ve
t
e
V
t
v
)
(
)
cos(
)
(
st
t
m
Ie
t
e
I
t
i

13
Donde V e I , son los fasores de voltaje y corriente.
Al sustituir estas expresiones en la ecuación de definición de un inductor:
dt
t
di
L
t
v
)
(
)
(
Se obtiene:
)
)
(
(
))
(
(
)
(
dt
Ie
d
L
dt
Ie
d
L
Ve
st
st
st
)
(
)
(
st
st
sLIe
Ve
Si se elimina a ambos lados de la igualdad el operador
, se obtiene la respuesta
compleja debida a una excitación compleja, y eliminando el término
st
e el resultado es:
sLI
V
sL
I
V
Z
s
)
(
sL
V
I
Y
s
1
)
(
En la figura 1.3b) se muestra el equivalente en el dominio de la frecuencia compleja de
la figura 1.3a) (voltaje y corriente en el inductor en el dominio de t).
a) b)
Figura 1.3:
Inductor en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia compleja.
Un razonamiento similar permite obtener las inmitancias de R y C en términos de s .
Los resultados se muestran en la tabla 1.1:
Tabla 1.1:
Inmitancias operacionales del resistor, inductor y capacitor.
R
L
C

14
)
(s
Z
R
sL
sC
1
)
(s
Y
R
1
sL
1
sC
Las relaciones volt-ampere para los tres elementos pasivos ( R , L y C ) tienen la forma
de la ley de Ohm generalizada:
I
Z
V
s)
(
)
(s
Z recibe el nombre de impedancia operacional (generalizada):
I
V
Z
s
)
(
El inverso de
)
(s
Z recibe el nombre de admitancia operacional (generalizada):
V
I
Z
Y
s
s
)
(
)
(
1
Las impedancias y admitancias generalizadas de los elementos pasivos ( R , L y C ) son
similares a las impedancias y admitancias de dichos elementos en circuitos de CA,
excepto que ahora se usa s en lugar de
j .
La similitud entre
)
(s
Z y
)
(
j
Z
sugiere que puede aplicarse las técnicas de análisis
fasorial desarrolladas para circuitos de corriente alterna en estado estable sinusoidal, a
circuitos estimulados con señales exponenciales complejas. Al evitarse la formulación y
solución de ecuaciones diferenciales, mediante el empleo de ecuaciones algebraicas
mucho más simples, este procedimiento es más rápido y brinda menos posibilidad de
error.
El procedimiento a seguir consistirá, en redibujar el circuito en el dominio de la
frecuencia compleja, para lo cual, las fuentes y variables serán reemplazadas por sus
fasores y los elementos del circuito serán reemplazados por sus impedancias o
admitancias generalizadas.
En la red operacional equivalente, se aplicarán las técnicas de análisis de circuitos, tales
como: ley de Ohm generalizada, combinaciones de impedancias o admitancias en serie
o en paralelo, divisores de voltaje o corriente, métodos generales de solución, teoremas,

15
propiedades del amplificador operacional, etc., hasta obtener la respuesta fasorial
deseada.
Ejemplo 1.7
Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
e
t
v
t
)
10
4
cos(
60
)
(
2
al circuito RLC
serie mostrado en la figura 1.4. Determine la expresión de la corriente (real) )
(t
i
.
Figura 1.4:
Circuito con voltaje de entrada sinusoidal exponencialmente amortiguado.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
La fuente con un voltaje
)
(t
v
se transforma en una fuente con un voltaje fasorial:
V
V
10
60
a una frecuencia compleja
1
4
2
s
j
s
y se supone una corriente
fasorial I .
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento a la frecuencia s dada.
2
)
(s
R
Z
12
6
3
)
4
2
(
)
(
j
j
sL
Z
s
L
2
1
)
1
,
0
)(
4
2
(
1
1
)
(
j
j
sC
Z
s
C
Se dibuja el circuito de la figura 1.5 en el dominio de la frecuencia compleja:

16
Figura 1.5:
Circuito RLC en el dominio de la frecuencia compleja.
Se obtiene el valor de la corriente fasorial I .
A
j
j
j
I
6
,
106
37
,
5
10
5
10
60
)
2
1
(
)
12
6
(
2
10
60
º
El valor de la corriente (real) en el dominio del tiempo es:
A
t
e
t
i
t
)
6
,
106
4
cos(
37
,
5
)
(
2
El archivo .m se muestra en la figura 1.6 y la gráfica obtenida en el MatLab en la 1.7.
MATLAB:
Figura 1.6:
Archivo .m que muestra la forma de onda de una corriente sinusoidal
exponencialmente decreciente.

17
Figura 1.7:
Grafica de la corriente
A
t
e
t
i
t
)
6
,
106
4
cos(
37
,
5
)
(
2
.
Ejemplo 1.8
Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
e
t
v
t
i
)
30
5
,
1
cos(
10
)
(
5
,
0
al circuito RC
mostrado en la figura 1.8.
1
1
R
,
2
2
R
y
F
C 1
. Determine la expresión de la
respuesta (real)
)
(t
v
o
.
Figura 1.8:
Circuito con voltaje de entrada sinusoidal exponencialmente amortiguado.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
La fuente con un voltaje
)
(t
v
i
se transforma una fuente con un voltaje fasorial:
V
V
i
30
10
a una frecuencia compleja
1
5
,
1
5
,
0
s
j
s
.
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento a la frecuencia s dada.
1
)
(
1 s
R
Z
2
)
(
2 s
R
Z
6
,
0
2
,
0
)
1
)(
5
,
1
5
,
0
(
1
1
)
(
j
j
sC
Z
s
C
El diagrama del circuito en el dominio de la frecuencia compleja se muestra en la figura
1.9.

18
Figura 1.9:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
6
,
0
2
,
0
)
6
,
0
2
,
0
(
)
1
(
)
6
,
0
2
,
0
)(
1
(
)
(
j
j
j
Zp
s
Aplicando división de voltaje:
V
j
Zp
V
V
s
i
o
2551
,
45
7706
,
8
2
)
6
,
0
2
,
0
(
2
)
30
10
(
2
2
)
(
El voltaje de salida (real)
)
(t
v
o
es:
V
t
e
t
v
t
o
)
2551
,
45
5
,
1
cos(
7706
,
8
)
(
5
,
0
La respuesta es un voltaje sinusoidal exponencialmente amortiguado, con el mismo
factor de amortiguamiento
y frecuencia
que la señal de entrada, solamente difiere
en amplitud y ángulo de fase.
En las figuras 1.10 y 1.11 aparecen el fichero .m y los gráficos obtenidos en la
simulación.
MATLAB:

19
Figura 1.10:
Archivo .m que muestra el estímulo y la respuesta sinusoidales
exponencialmente decrecientes.
Figura 1.11:
Grafica del estímulo
V
t
e
t
v
t
i
)
30
5
,
1
cos(
10
)
(
5
,
0
y de la respuesta
V
t
e
t
v
t
o
)
2551
,
45
5
,
1
cos(
7706
,
8
)
(
5
,
0
.
Ejemplo 1.9
Obtener la impedancia generalizada
)
(s
Z para el dipolo de la figura 1.12.

20
Figura 1.12:
Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Se construye la red operacional equivalente en el dominio de la frecuencia compleja:
Para ello:
Se calcula la impedancia operacional de cada elemento:
4
)
(s
R
Z
s
sL
Z
s
L
3
)
(
s
sC
Z
s
C
2
1
1
)
(
La variable
x
i se transforma en la variable
x
I .
La fuente de voltaje dependiente de corriente
x
i
5 se transforma en la fuente
x
I
5 .
El diagrama del circuito en el dominio de la frecuencia compleja se presenta en la figura
1.13.
Figura 1.13:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
Se aplica una fuente de prueba con un voltaje fasorial (
i
V ) a los terminales de entrada
según aparece en la figura 1.14 y se calcula la corriente fasorial que sale por el terminal

21
positivo de la fuente de prueba (
i
I ), obteniéndose la impedancia generalizada
)
(s
Z
como:
i
i
s
I
V
Z
)
(
Figura 1.14:
Circuito en el dominio de la frecuencia compleja con una fuente de
prueba.
Aplicando LKC en el nodo superior:
0
4
3
5
2
1
s
I
V
s
V
I
x
i
i
i
Pero
i
i
i
i
x
sV
I
s
V
I
I
2
2
1
Sustituyendo:
0
4
3
)
2
(
5
2
1
s
sV
I
V
s
V
I
i
i
i
i
i
0
4
3
10
5
2
s
sV
I
V
sV
I
i
i
i
i
i
0
10
5
8
6
4
3
2
i
i
i
i
i
i
i
sV
I
V
sV
V
s
I
sI
Agrupando términos:
i
i
I
s
V
s
s
)
9
3
(
)
1
18
6
(
2
Por tanto la impedancia generalizada
)
(
s
Z para el dipolo es:
1
18
6
9
3
2
)
(
s
s
s
I
V
Z
i
i
s

22
MATLAB:
>> Ii=solve('-Ii+Vi/(1/(2*s))+(Vi-5*(Ii-2*s*Vi))/(3*s+4)=0','Ii')
Ii =
1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
>> syms Vi Ii s
>> Ii=1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
Ii =
1/3*Vi*(6*s^2+18*s+1)/(s+3)
>> Zs=Vi/Ii
Zs =
3/(6*s^2+18*s+1)*(s+3)
En la figura 1.15 se representa el plano de la frecuencia compleja o plano s . A cada
punto de este plano le corresponde un valor de s y con cada valor de s puede asociarse
un punto en este plano complejo.
Figura 1.15:
Plano s .
El plano s constituye una herramienta básica con la que es posible investigar el
comportamiento de un circuito a partir de la representación en este plano de sus
frecuencia críticas, decidir dónde deben estar localizadas estas frecuencias para obtener
una respuesta deseada y posteriormente realizar la síntesis del circuito (ejemplo:
respuesta de frecuencia de un filtro). El plano s también permite investigar la presencia

23
de oscilaciones indeseables en amplificadores con retroalimentación y sistemas de
control automático (estabilidad).
Tal como una función en el dominio del tiempo puede asociarse con un valor de s (real,
imaginario o complejo) es posible asociar la forma funcional de una excitación o de una
respuesta forzada con una región específica del plano s .
La representación gráfica de la respuesta forzada de un circuito como función de la
frecuencia compleja s constituye una técnica muy útil en el análisis y síntesis de los
circuitos. En la figura 1.16 se muestra la relación entre la forma funcional de una
excitación o de una respuesta forzada con una región específica del plano s .
Figura 1.16:
Relación entre la forma funcional de una excitación o de una respuesta
forzada con una región específica del plano s .
El origen, por ejemplo, representa una cantidad de C.D. Los puntos que están sobre el
eje
representan funciones exponenciales, decrecientes cuando
0
y crecientes
cuando
0
. Las sinusoides puras están asociadas con los puntos que están sobre el
eje
j positivo o negativo. La mitad derecha del plano s contiene puntos que
describen frecuencias con partes reales positivas, por lo cual corresponde a cantidades
en el dominio del tiempo que son sinusoides exponencialmente crecientes, excepto
sobre el eje
. De manera análoga, la mitad izquierda del plano s contiene puntos que
describen frecuencias con partes reales negativas, por lo cual corresponde a cantidades
en el dominio del tiempo que son sinusoides exponencialmente decrecientes, excepto
sobre el eje
.

24
Problemas de consolidación
1-7. Aplique el voltaje de excitación (real)
V
t
sen
e
t
v
t
i
)
60
2
(
3
)
(
al circuito del
ejemplo 1.7. Determine la expresión de la respuesta (real)
)
(t
v
o
.
R:
V
t
e
t
v
t
o
)
46
,
39
2
cos(
973
,
1
)
(
1-8. Obtener la impedancia generalizada
)
(
s
Z para el dipolo de la figura 1.17.
Figura 1.17:
Circuito para el ejemplo 1.8.
R:
1
8
54
4
27
2
)
(
s
s
s
Z
s
1.3 Función de red. Diagrama de polos y ceros
En un circuito general formado por resistores, inductores, capacitores y tal vez fuentes
dependientes, la señal aplicada (t)
x
y la respuesta (t)
y
están relacionadas en general
por una ecuación diferencial lineal del tipo:
x
x
x
x
y
y
0
1
1
1
1
0
1
1
-
n
1
1
n
n
...
...
dt
dt
d
a
dt
d
a
dt
d
a
dt
d
a
y
b
dt
dy
b
d
b
b
m
m
m
m
m
m
n
n
n
Los coeficientes desde
0
a hasta
m
a y desde
0
b hasta
n
b son coeficientes adecuados,
cuyas expresiones dependen de los elementos que constituyen el circuito y por tanto son
reales e invariantes en el tiempo.
Con una señal aplicada del tipo exponencial compleja:
st
Xe
t
)
(
x
La respuesta es también del tipo exponencial compleja:
st
Ye
t
)
(
y
El valor de s en la señal de respuesta es igual al valor de s en la señal aplicada.

25
Sustituyendo
st
Ye
t
)
(
y
y
st
Xe
t
)
(
x
en la ecuación diferencial lineal y teniendo en
cuenta que:
)
(
)
(
st
k
k
st
k
e
s
dt
e
d
Se obtiene:
st
m
m
m
m
st
n
n
n
n
Xe
a
s
a
s
a
s
a
Ye
b
s
b
s
b
s
b
)
...
(
)
...
(
0
1
1
1
0
1
1
1
Eliminando el término común
st
e , esta expresión puede abreviarse como:
X
N
Y
D
s
s
)
(
)
(
(I)
)
(s
D y
)
(s
N son polinomios en s con coeficientes reales.
0
1
1
1
)
(
...
b
s
b
s
b
s
b
D
n
n
n
n
s
0
1
1
1
)
(
...
a
s
a
s
a
s
a
N
m
m
m
m
s
Los grados de los polinomio son n y m .
Estos polinomios son, respectivamente los miembros izquierdo y derecho de la ecuación
diferencial lineal, pero con las derivadas reemplazadas por potencias de s .
En una red lineal, sin condiciones iniciales, si se aplica un único estímulo
)
(
)
(
1
t
t
f
x
,
se obtiene una respuesta
)
(
)
(
2
t
t
f
y
, tal como se muestra en la figura 1.18a. Si se
construye la red operacional equivalente, como aparece en la figura 1.18b, las
expresiones del estímulo y la respuesta serían
)
(
1 s
F y
)
(
2 s
F
.
Figura 1.18:
Red en el dominio del tiempo (a) y en el de la frecuencia compleja (b).
Se define la función de red
)
(s
H como la relación respuesta-estímulo (salida-entrada) en
el campo s . La ecuación (I) permite expresar la función de red como:

26
0
1
1
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
...
...
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
D
N
F
F
X
Y
H
n
n
n
n
m
m
m
m
s
s
s
s
s
La función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
F
F
H
es una relación de dos polinomios con potencias enteras
de s , o sea, es una función racional de s .
Dependiendo de la naturaleza de la señal de entrada
)
(
1
t
f
, de la señal de respuesta
)
(
2
t
f
, así como del puerto en el cual se aplica
)
(
1
t
f
y del puerto en que se observa
)
(
2
t
f
, un mismo circuito tendrá diferentes funciones de red, por ejemplo:
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
Ganancia de voltaje.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
I
I
H
Ganancia de corriente.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de transferencia.
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
I
H
Admitancia de transferencia.
)
(
1
)
(
1
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de entrada.
)
(
2
)
(
2
)
(
s
s
s
I
V
H
Impedancia de salida.
La función de red
)
(s
H no depende del valor del estímulo particular que se aplique, solo
depende de los parámetros y la topología de la red en cuestión.
El estudio de las funciones de redes es esencial en todos los campos de la ingeniería de
perfil eléctrico. Conociendo la función de red, se puede analizar el circuito como "un
bloque" cuya respuesta a cualquier estímulo se obtiene directamente a partir de:
)
(
1
)
(
)
(
2
s
s
s
F
H
F
De manera, que si se conoce el fasor de la señal de entrada (
1
F
), el fasor de la señal de
respuesta (
2
F
), se encuentra fácilmente a partir de:

27
1
)
(
2
F
H
F
s
Si ambos lados se multiplican por
st
e , se obtiene la entrada y la salida en forma
exponencial compleja:
)
(
)
(
)
(
t
H
t
s
1
2
f
f
La función de red se calcula, al valor particular de s que aparece en el exponente de la
señal exponencial compleja aplicada:
st
e
F
t
1
)
(
1
f
La función de red
)
(s
H
es una herramienta analítica útil para determinar la respuesta de
frecuencia de un circuito, y problemas tan importantes como el análisis de la estabilidad
de un circuito se resuelven a partir del concepto y las propiedades de
)
(s
H
.
Como se señaló anteriormente, la función de red
)
(s
H puede expresarse en términos de
sus polinomios del numerador
)
(s
N
y del denominador
)
(s
D
como:
0
1
1
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)
(
...
...
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
D
N
H
n
n
n
n
m
m
m
m
s
s
s
La representación de
)
(s
H en esta ecuación supone que los factores comunes de
)
(s
N y
)
(s
D se han cancelado reduciendo el cociente a los mínimos términos. Las raíces de
0
)
(
s
N
son llamadas los ceros de
)
(s
H , debido a que
)
(s
H se hace cero en esos valores
de s y suelen representarse como
1
z
,
2
z
...
m
z . De manera similar, las raíces de
0
)
(
s
D
son los polos de
)
(s
H , debido a que
)
(s
H se hace infinito en esos valores de s y suelen
representarse como
1
p ,
2
p ,...
n
p .
Para que una función de red
)
(s
H sea realizable físicamente, el grado del numerador
debe ser menor o igual al del denominador (
n
m
).
La función de red
)
(s
H también puede expresarse en términos de sus ceros, polos y
ganancia. Factorizando
)
(s
N y
)
(s
D en términos de sus raíces respectivas se obtiene:
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
s
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
H

28
n
m
b
a
K
Al factor K se le denomina factor de escala o ganancia. Como los coeficientes
m
a y
n
b
son reales, K también es un factor real.
A los ceros y a los polos de la función de red, se les denomina colectivamente las
raíces
o las
frecuencias críticas de
)
(s
H . Los valores de los ceros y los polos, solo dependen
de los parámetros y la topología de la red en cuestión, no dependen de las señales
aplicadas o de la energía almacenada en los elementos reactivos.
Un factor de la función de red de la forma
r
s
)
(
corresponde a una raíz repetida
s
(polo o cero). El exponente r recibe el nombre de
multiplicidad de la raíz.
En general las frecuencias críticas son cantidades complejas, aunque en muchos casos
pueden ser reales. Ya que los coeficientes de
)
(s
N y
)
(s
D son reales, la teoría sobre
polinomios señala que cuando las raíces son complejas, siempre aparecen en
pares
conjugados.
Los polos y los ceros de la función de red
)
(s
H se representan en el plano complejo,
denominándose esta representación
diagrama de polos y ceros.
Los ceros se representan por pequeños círculos y los polos por cruces. Los polos o ceros
para frecuencias infinitas deben indicarse con flechas cerca de los ejes.
Si
n
m , entonces
0
lim
)
(
s
s
H
, lo que indica que
)
(s
H tiene (
m
n
) ceros en el
infinito. Por el contrario, si
n
m , entonces
)
(
lim
s
s
H
, indicando que
)
(s
H tiene
(
n
m
) polos en el infinito.
Interpretación física de los polos y los ceros
Cada punto del plano s representa la frecuencia compleja de una señal de estímulo. El
fasor
Y ó
2
F
de la respuesta se obtiene multiplicando el fasor
X ó
1
F
de la señal de
entrada, por el valor de
)
(s
H en ese punto específico,
X
H
Y
s)
(
.
Esta igualdad puede expresarse como dos relaciones separadas de magnitud y fase:
X
H
Y
s)
(

29
X
H
Y
s
)
(
Tanto la magnitud de
)
(s
H , como el ángulo de
)
(s
H pueden ser graficados punto a
punto contra s , lo que permite obtener gráficos de magnitud y fase.
Teniendo en cuenta que s es un parámetro bidimensional, se puede graficar
)
(s
H
y
)
(s
H
como distancias verticales (alturas) sobre el plano s obteniendo como resultado
un par de superficies. Solo se abordará la superficie de magnitud, pues facilita la
comprensión del significado de las frecuencias críticas.
En general, un gráfico de magnitud tiene el aspecto del techo de una tienda de campaña.
La altura de las fijaciones se hace infinita para valores particulares de s ,
convenientemente llamados polos y toca al plano s para valores particulares de s
llamados ceros. Estos puntos particulares, como anteriormente se señaló, son las
frecuencias críticas del circuito.
Para encontrar el significado de un cero en
k
z
s
, se supone que se aplica al circuito,
una señal
t
z
k
Xe
t
)
(
x
, entonces por la ecuación de definición de la función de red, la
respuesta es
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
t
t
H
t
k
z
x
x
y
. Se concluye que sometiendo al circuito a una
señal con frecuencia compleja s , igual a la de uno de los ceros de su función de red, se
tendrá una
respuesta cero, independientemente de la magnitud de la señal aplicada.
Para encontrar el significado de un polo en
k
p
s
, se supone que se aplica una señal
st
Xe
t
)
(
x
, con un valor de s suficientemente cercano a
k
p , para que
)
(s
H
sea
extremadamente grande. Esto significa que para sostener una respuesta
)
(t
y
de una
amplitud dada Y , una señal aplicada
)
(t
x
de magnitud extremadamente pequeña X
será suficiente. Mientras más se acerque s a
k
p , menor deberá ser X para un Y dado.
En el límite cuando
k
p
s
el circuito entregará una
respuesta diferente de cero aun
sin señal aplicada. Esta es la respuesta del circuito sin fuentes o respuesta natural,
indicando que un polo
k
p contribuye con un término natural del tipo
t
p
k
k
e
Y
t
)
(
y
. Esta
contribución es posible, debido a la propiedad de los elementos reactivos (inductores y
capacitores) existentes en el circuito, de liberar la energía previamente almacenada.
Ejemplo 1.10

30
En el circuito de la figura 1.19, hallar la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
V
H
y dibujar su
diagrama de polos y ceros.
Figura 1.19: Circuito en el campo del tiempo.
R:
La red operacional equivalente se muestra en la figura 1.20.
Figura 1.20: Red operacional equivalente.
2
3
2
3
2
2
)
(
1
)
(
1
)
(
2
s
s
s
V
s
s
s
V
V
s
s
s
2
3
2
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
V
Determinación de los ceros:
0
0
0
2
1
2
)
(
z
z
s
N
s
(Cero doble en 0).
Determinación de los polos:
2
1
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
1
2
)
(
p
p
s
s
s
s
D
s
Ganancia:

31
1
K
En la figura 1.21 se muestra el diagrama de polos y ceros de esta función.
Figura 1.21: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> Ds=[1 3 2]
Ds =
1 3 2
>> raicesDs=roots(Ds)
raicesDs =
-2
-1
Ejemplo 1.11
La red y el diagrama de polos y ceros correspondientes a la impedancia de entrada
)
(s
Z
son mostrados en las figuras 1.22 a y b respectivamente. Determinar:
a) La expresión de
)
(s
Z si
3
)
0
(
Z
.
b) Los valores de
C
L
R ,
,
.

32
Figura 1.22: Red y diagrama de polos y ceros correspondiente a
)
(s
Z .
R:
a) La red operacional equivalente se muestra en la figura 1.23.
Figura 1.23: Red operacional equivalente.
Del diagrama de polos y ceros:
34
6
)
6
(
)
5
3
)(
5
3
(
)
6
(
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
K
j
s
j
s
s
K
I
V
Z
s
s
s
Para
0
s
:
3
34
)
6
(
)
0
(
K
Z
Por tanto:
17
6
)
3
)(
34
(
K
Se obtiene la expresión de
)
(s
Z :

33
34
6
)
6
(
17
2
)
(
s
s
s
Z
s
(I)
b)
De la red:
LC
s
L
R
s
L
R
s
C
RCs
LCs
sL
R
sC
sL
R
sC
sL
R
Z
s
1
)
)(
1
(
1
1
)
1
)(
(
2
2
)
(
(II)
Comparando I y II:
mF
F
C
C
8
,
58
0588
,
0
17
1
17
1
H
L
LC
5
,
0
34
1
3
6
R
L
R
MATLAB:
>> syms s R L C
>> Zs=((R+s*L)*(1/(s*C)))/(R+s*L+1/(s*C))
Zs =
(R+s*L)/s/C/(R+s*L+1/s/C)
>> Zs=simplify(Zs)
Zs =
(R+s*L)/(R*s*C+s^2*L*C+1)
Ejemplo 1.12
Hallar la función de red
i
o
s
V
V
H
)
(
, en el circuito de la figura 1.24. Considere ideal el
amplificador operacional.

34
Figura 1.24: Circuito con amplificador operacional ideal en el campo de la frecuencia
compleja.
R:
1
1
1
1
3
3
2
Cs
R
V
sC
R
sC
V
V
i
i
2
1
V
V
(Amplificador operacional ideal).
)
1
(
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
1
Cs
R
R
Cs
R
V
R
Cs
R
R
Cs
R
V
R
Cs
R
V
V
Cs
R
V
R
Cs
R
V
V
R
V
V
I
i
i
i
i
i
i
i
i
)
(
)
)
1
(
(
1
1
)
1
(
1
3
1
1
3
2
3
1
1
2
3
3
2
3
1
3
1
2
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
V
Cs
R
R
R
CsR
R
V
Cs
R
V
R
Cs
R
R
Cs
R
V
V
IR
V
i
i
i
i
o
1
3
1
1
3
2
)
(
R
Cs
R
R
R
Cs
R
R
V
V
H
i
o
s
MATLAB:
>> syms Vo Vi R1 R2 R3 C s
>> V1=Vi/(R3*C*s+1)
V1 =
Vi/(R3*C*s+1)
>> I=(Vi-V1)/R1
I =

35
(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1
>> Vo=-I*R2+V1
Vo =
-(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1*R2+Vi/(R3*C*s+1)
>> Hs=Vo/Vi
Hs =
(-(Vi-Vi/(R3*C*s+1))/R1*R2+Vi/(R3*C*s+1))/Vi
>> Hs=simplify(Hs)
Hs =
-(R3*C*s*R2-R1)/(R3*C*s+1)/R1
Ejemplo 1.13
En el circuito de la figura 1.25, hallar
)
(
)
(
)
(
s
i
s
o
s
I
I
H
y dibujar su diagrama de polos y
ceros.
Figura 1.25: Circuito RLC .
R:
El circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja se muestra en la figura
1.26.
Figura 1.26: Circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja.

36
s
s
s
s
I
s
s
s
I
I
s
i
s
i
s
o
2
4
2
)
2
4
(
2
2
4
)
2
4
(
2
)
(
)
(
)
(
1
2
)
2
(
)
1
2
(
2
)
2
(
2
2
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
I
I
H
s
i
s
o
s
Determinación de los ceros:
2
0
0
)
2
(
2
1
)
(
z
z
s
s
N
s
Determinación de los polos:
1
1
0
)
1
(
)
1
)(
1
(
1
2
2
1
2
2
)
(
p
p
s
s
s
s
s
D
s
(Polo doble en -1)
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros de la función de red aparece en la figura 1.27.
Figura 1.27: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> syms s
>> Hs=(4+2*s)/(4+2*s+2/s)
Hs =
(4+2*s)/(4+2*s+2/s)
>> simplify(Hs)
ans =
(s+2)*s/(2*s+s^2+1)

37
Ejemplo 1.14
El circuito de la figura 1.28 está representado en el campo de la frecuencia compleja:
hallar la función de red
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
I
H
y determinar los valores de los ceros, polos y
ganancia de la función de red.
Figura 1.28: Circuito en el campo de la frecuencia compleja.
R:
60
5
150
100
5
,
12
60
5
100
5
,
2
3
60
5
3
100
5
,
2
20
3
5
)
20
)(
3
5
(
5
,
2
2
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
s
s
V
s
s
s
s
V
s
s
s
s
V
I
s
s
s
s
s
12
30
20
5
,
2
2
2
)
(
)
(
s
s
s
V
I
s
s
12
8
12
4
,
0
)
12
8
(
5
,
2
12
30
20
5
,
2
12
12
30
20
5
,
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
V
I
H
s
s
s
Determinación de los ceros:
0
)
12
(
4
,
0
2
)
(
s
N
s
4641
,
3
)
1
)(
2
(
)
12
)(
1
)(
4
(
0
0
2
2
,
1
j
z
(Par de ceros conjugados en
4641
,
3
j
).
Determinación de los polos:
0
)
6
)(
2
(
12
8
2
)
(
s
s
s
s
D
s
2
1
p
,
6
2
p
(Polo simple en 2
y en 6
).

38
Ganancia:
4
,
0
K
El archivo .m y el diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene se muestran en la
figura 1.29 y 1.30.
MATLAB:
Figura 1.29: Archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia de
)
(s
H .
Transfer function:
0.4 s^2 + 4.8
--------------
s^2 + 8 s + 12
z =
0 + 3.4641i
0 - 3.4641i
p =
-6
-2
k =
0.4000

39
Figura 1.30: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
Ejemplo 1.15
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
)
2
2
)(
3
(
)
13
4
(
)
5
(
10
2
2
2
2
)
(
s
s
s
s
s
s
s
H
s
R:
Determinación de los ceros:
0
)
13
4
(
)
5
(
10
2
2
)
(
s
s
s
N
s
5
1
z
,
5
2
z
(Cero doble en 5
).
3
2
)
1
)(
2
(
)
13
)(
1
)(
4
(
4
4
2
4
,
3
j
z
(Par de ceros conjugados en
3
2
j
).
0
lim
)
(
s
s
H
(
5
,
4
n
m
)
(Cero en el infinito).
Determinación de los polos:
0
)
2
2
)(
3
(
2
2
)
(
s
s
s
s
D
s
0
1
p
,
0
2
p
(Polo doble en 0 ).
3
3
p
(Polo simple en 3
).
1
1
)
1
)(
2
(
)
2
)(
1
)(
4
(
2
2
2
5
,
4
j
p
(Par de polos conjugados en
1
1
j
).

40
Ganancia:
10
K
El diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene se muestra en la figura 1.31.
Figura 1.31: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
>> roots([1 4 13])
ans =
-2.0000 + 3.0000i
-2.0000 - 3.0000i
>> roots([1 2 2])
ans =
-1.0000 + 1.0000i
-1.0000 - 1.0000i
Ejemplo 1.16
Los valores de los ceros y los polos de una función de red
)
(s
H , son:
2
1
z
con
multiplicidad 2 ;
2
1
3
,
2
j
z
;
0
1
p
;
3
2
p
con multiplicidad 2 ;
1
2
4
,
3
j
p
,

41
3
0
6
,
5
j
p
. Asumiendo un factor de escala (ganancia)
100
K
, calcular
)
(s
H en
1
5
j
s
.
R:
La función de red
)
(
s
H expresada en términos de sus ceros, polos y ganancia, tiene la
forma:
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
2
1
2
1
)
(
n
m
s
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
H
De acuerdo a los valores dados:
)
9
)(
5
4
(
)
3
(
)
5
2
(
)
2
(
100
)
3
)(
3
)(
1
2
)(
1
2
(
)
3
(
)
2
1
)(
2
1
(
)
2
(
100
2
2
2
2
2
2
2
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
j
s
j
s
j
s
j
s
s
s
j
s
j
s
s
H
s
Para
1
5
j
s
:
)
3
1
5
)(
3
1
5
)(
1
2
1
5
)(
1
2
1
5
(
)
3
1
5
)(
1
5
(
)
2
1
1
5
)(
2
1
1
5
(
)
2
1
5
(
100
2
2
)
(
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
H
s
7151
,
124
168
,
2
)
(
s
H
MATLAB:
>> syms s
>> collect((s+1-2i)*(s+1+2i))
ans =
s^2+2*s+5
>> collect((s+2-i)*(s+2+i))
ans =
s^2+4*s+5
>> collect((s-3i)*(s+3i))
ans =
s^2+9
Ejemplo 1.17
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:

42
26
2
26
13
2
)
(
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtenga el gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s .
R:
Determinación de los ceros:
0
26
13
)
(
s
N
s
2
1
z
0
lim
)
(
s
s
H
(
2
,
1
n
m
)
(Cero en el infinito).
Determinación de los polos:
0
26
2
2
)
(
s
s
D
s
5
1
)
1
)(
2
(
)
26
)(
1
)(
4
(
2
2
2
2
,
1
j
p
(Par de polos conjugados en
5
1 j
).
Ganancia:
13
K
El diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene, el archivo .m y el gráfico de
magnitud de
)
(s
H contra s se muestran en las figuras 1.32, 1.33 y 1.34.

43
Figura 1.32: Diagrama de polos y ceros.
MATLAB:
Figura 1.33: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(
s
H .
Figura 1.34: Gráfico de magnitud de
)
(
s
H contra s . Se observan los ceros en 2
e
infinito y los polos en
5
1 j
.
Ejemplo 1.18
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
2
3
17
2
2
2
)
(
s
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtener el diagrama de polos y ceros y el gráfico de magnitud
de
)
(s
H contra s .
R:

44
Determinación de los ceros:
0
17
2
2
)
(
s
s
N
s
4
1
)
1
)(
2
(
)
17
)(
1
)(
4
(
2
2
2
2
,
1
j
z
(Par de ceros conjugados en
4
1 j
).
Determinación de los polos:
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
)
(
s
s
s
s
D
s
1
1
p
2
2
p
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 1.35.
Figura 1.35: Diagrama de polos y ceros.
En la figura 1.36 se presenta el archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia
de
)
(
s
H .
MATLAB:

45
Figura 1.36: Archivo .m para determinar los ceros, polos y ganancia de
)
(s
H .
Transfer function:
s^2 + 2 s + 17
--------------
s^2 + 3 s + 2
z =
-1.0000 + 4.0000i
-1.0000 - 4.0000i
p =
-2
-1
k =
1
El diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo.m se muestra
en la figura 1.37.

46
Figura 1.37: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
El archivo .m y el diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H que se obtiene al ejecutarla se
muestran en las figuras 1.38 y 1.39.
Figura 1.38: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(
s
H .

47
Figura 1.39: Gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s .
Ejemplo 1.19
Dibujar el diagrama de polos y ceros de la función:
1
)
5
,
1
(
2
2
)
(
s
s
s
H
s
Con ayuda de MATLAB obtener el diagrama de polos y ceros y el gráfico de magnitud
de
)
(
s
H contra s .
R:
Determinación de los ceros:
0
)
5
,
1
(
2
)
(
s
s
N
s
0
1
z
2247
,
1
5
,
1
3
,
2
j
j
z
(Par de ceros conjugados en
2247
,
1
j
).
Determinación de los polos:
0
1
2
)
(
s
D
s
1
1
2
,
1
j
j
p
(Par de polos conjugados en
1
j
).
)
(
lim
s
s
H
(
2
,
3
n
m
)
(Polo en el infinito).

48
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 1.40.
Figura 1.40: Diagrama de polos y ceros.
El fichero .m y el diagrama de polos y ceros obtenidos al ejecutarlo, se muestran en las
figuras 1.41 y 1.42.
Figura 1.41: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros de
)
(
s
H .

49
Figura 1.42: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
H que se obtiene al ejecutar el archivo
.m.
En las figuras 1.43 y 1.44 se presentan el fichero .m y el gráfico de magnitud obtenido.
Figura 1.43: Archivo .m para determinar el gráfico de magnitud de
)
(s
H .
Figura 1.44: Gráfico de magnitud de
)
(s
H contra s . Se observan los ceros en 0 y en
22
,
1
0
j
y los polos en
1
0
j
y en el infinito.
La función de red puede ser utilizada para determinar la
respuesta de estado estable de
un circuito, usando algebra simple en vez de ecuaciones diferenciales.
El procedimiento general consta de los siguientes pasos:
El circuito se somete a una señal exponencial compleja:

50
st
Xe
t
)
(
x
La respuesta (señal exponencial compleja) del circuito se obtiene mediante la relación:
)
(
)
(
)
(
t
H
t
s
x
y
La función de red
)
(s
H se calcula al valor de s que posee la señal de estímulo.
En el caso particular de determinar la
respuesta de estado estable en CD (ante un
estímulo x de corriente directa, después que la respuesta transitoria ha desaparecido), se
tiene:
m
X
x
La forma exponencial compleja de esta señal es:
t
m
e
X
t
0
)
0
(
)
(
x
Por tanto, la forma exponencial compleja de la respuesta es:
t
m
e
X
H
t
0
)
0
(
)
0
(
)
(
y
La respuesta de estado estable en CD (respuesta forzada) se obtiene como:
m
f
X
H
y
)
0
(
De manera que para encontrar la respuesta de estado estable a un estímulo de CD, se
calcula
)
(s
H en
0
s
(en el origen del plano s ), y entonces se multiplica
)
0
(
H por
m
X
para obtener
f
y .
Ejemplo 1.20
Determinar con ayuda de la función de red, la respuesta de estado estable (
o
v ) del
circuito de la figura 1.45, a la señal de estímulo (voltaje constante):
V
v
i
5
.

51
Figura 1.45: Circuito en que se determina la respuesta de estado estable en CD, con
ayuda de la función de red.
R:
El circuito equivalente se muestra en la figura 1.46.
Figura 1.46: Circuito equivalente en el campo de la frecuencia compleja.
Señalando a los fasores de entrada y salida como
i
V y
o
V , aplicando reducciones serie-
paralelo y división de voltaje:
))
(
||
)
1
((
)
(
||
)
1
(
2
1
2
)
(
sL
R
sC
R
sL
R
sC
V
V
H
i
o
s
Sustituyendo los valores de las componentes y realizando las operaciones indicadas:
500
)
10
)(
4
(
)
10
(
400
)
10
)(
2
(
4
2
10
4
)
(
s
s
s
V
V
H
i
o
s
Voltaje de entrada de corriente directa:
V
v
i
5
Respuesta de estado estable a la señal de corriente directa:
V
v
H
v
i
of
4
)
5
)(
500
400
(
)
0
(
MATLAB:
>> R1=100;R2=400;L=0.2*10^-3;C=5*10^-9;
>> syms s

52
>>
Hs=((1/(s*C)*(R2+s*L))/(1/(s*C)+R2+s*L))/(R1+(1/(s*C)*(R2+s*L))/(1/(s*C)+R2+s*
L))
Hs =
604462909807314587353088/3022314549036573/s*(400+1/5000*s)/(6044629098073
14587353088/3022314549036573/s+400+1/5000*s)/(100+60446290980731458735308
8/3022314549036573/s*(400+1/5000*s)/(604462909807314587353088/302231454903
6573/s+400+1/5000*s))
>> Hs=simplify(Hs)
Hs =
151115727451828646838272*(2000000+s)/(377789318629571617095680000000+302
231454903657296838272*s+75557863725914325*s^2)
>> s=0;
>>
Hs=151115727451828646838272*(2000000+s)/(377789318629571617095680000000
+302231454903657296838272*s+75557863725914325*s^2)
Hs =
0.8000
>> Vf=Hs*5
Vf =
4
En el caso particular de determinar la
respuesta de estado estable en CA (ante un
estímulo
)
(t
x
de corriente alterna, después que la respuesta transitoria ha desaparecido),
se tiene:
)
cos(
x
m
t
X
x
La forma exponencial compleja de esta señal es:
t
j
x
m
e
X
t
)
(
)
(
x

53
Por tanto, la forma exponencial compleja de la respuesta es:
t
j
x
m
j
e
X
H
t
)
(
)
(
)
(
y
La respuesta de estado estable en CA (respuesta forzada) se obtiene como:
))
(
Re( t
y
f
y
)
cos(
)
(
)
(
j
x
m
j
f
H
t
X
H
y
De manera que para encontrar la respuesta de estado estable a una señal de CA de
amplitud
m
X , ángulo de fase
x
y frecuencia angular
, se calcula
)
(s
H en
j
s
(sobre el eje
j del plano s ), y entonces se multiplica
)
(
j
H
por
m
X para obtener la
amplitud de la respuesta y se adiciona
)
(
j
H
a
x
para obtener el ángulo de fase.
Ejemplo 1.21
Determinar la respuesta de estado estable del circuito del ejemplo 5.20 a la señal de
estímulo de CA (voltaje sinusoidal):
V
t
v
i
)
60
10
*
5
cos(
10
6
.
R:
Voltaje de entrada de corriente alterna:
V
t
v
i
)
60
10
*
5
cos(
10
6
Función de red obtenida en el circuito del ejemplo 4.20:
500
)
10
)(
4
(
)
10
(
400
)
10
)(
2
(
4
2
10
4
)
(
s
s
s
V
V
H
i
o
s
Evaluando la función de red para
6
10
*
5
j
s
:
8014
,
66
3808
,
0
35
,
0
15
,
0
500
)
10
*
5
)(
10
)(
4
(
)
10
*
5
)(
10
(
400
)
10
*
5
)(
10
)(
2
(
6
4
2
6
10
6
4
)
10
*
5
(
6
j
j
j
j
H
j
Respuesta de estado estable a la señal de corriente alterna:
)
80
,
66
60
10
*
5
cos(
)
10
)(
3808
,
0
(
)
cos(
6
)
(
)
(
t
H
t
V
H
v
j
i
im
j
f
o
V
t
v
f
o
)
80
,
6
10
*
5
cos(
808
,
3
6
MATLAB:

54
>> syms s
>> Hs=(2*10^-4*s+400)/((10^-10)*s^2+4*10^-4*s+500)
Hs =
(1/5000*s+400)/(1/10000000000*s^2+1/2500*s+500)
>> s=j*5*10^6;
>> Hs=(2*10^-4*s+400)/((10^-10)*s^2+4*10^-4*s+500)
Hs =
0.1500 - 0.3500i
>> modulodeHs=abs(Hs)
modulodeHs =
0.3808
>> angulodeHs=angle(Hs)*180/pi
angulodeHs =
-66.8014
La función de red también puede ser utilizada para determinar la respuesta transitoria y
la respuesta completa de un circuito. En estos casos, se requiere en general encontrar las
condiciones iniciales para la respuesta en términos de las condiciones iniciales de los
elementos almacenadores de energía. Esto puede ser un proceso laborioso, sobre todo si
el circuito contiene muchos de estos elementos.
En estudios posteriores se aborda este tipo de problema empleando un método analítico
potente, conocido como el método de la transformada de Laplace, el cual tiene en
cuenta automáticamente las condiciones iniciales de los elementos almacenadores de
energía.
Problemas de consolidación
1-9. Hallar los valores de la ganancia, cero y polos de la función de red:
1
18
6
9
3
2
)
(
s
s
s
Z
s
R:
5
,
0
K
,
3
1
z
,
0566
,
0
1
p
,
9434
,
2
2
p

55
1-10. Escribir la función de red
)
(s
H , correspondiente al diagrama de polos y ceros que
se muestra en la figura 1.47.
Figura 1.47: Diagrama de polos y ceros.
R:
2000
40
400
50
2
2
)
(
s
s
s
s
K
H
s
Problemas de final de capítulo
1. Escribir el módulo, el ángulo de fase (emplear la función coseno) y la frecuencia
compleja, correspondientes a las funciones del tiempo:
a)
A
e
t
i
t
)
10
(
2
3
15
)
(
;
b)
V
t
sen
t
v
)
30
250
(
50
,
0
)
(
;
A
t
sen
t
t
i
50
4
50
cos
3
)
(
R: a)
s
Np
s
A
/
)
10
(
2
,
0
15
3
; b)
s
rad
j
s
V
/
250
,
60
50
,
0
; c)
s
rad
j
s
A
/
50
,
13
,
53
5
2. Escribir la función del tiempo (emplear la función coseno) correspondiente al
módulo, el ángulo de fase y la frecuencia compleja indicados en cada caso:
a)
s
rad
j
s
/
120
,
0
10
; b)
1
50
2
,
90
5
s
j
s
; c)
0
,
30
100
s
R: a)
t
120
cos
10
; b)
)
90
50
cos(
5
2
t
e
t
; c)
6
,
86

56
3. Hallar
las
frecuencias
complejas
asociadas
con
la
corriente
A
t
e
t
i
t
)
90
50
cos(
10
5
)
(
3
.
R:
1
50
3
;
0
s
j
4. Una corriente expresada fasorialmente como
A
40
25
, tiene una frecuencia
compleja
1
3
2
s
j
s
.Hallar el valor de )
(t
i
en el instante
s
t
2
,
0
.
R:
A
51
,
4
5. En el circuito mostrado en la figura:
a) Encontrar la respuesta al voltaje de excitación exponencial complejo
st
i
i
e
V
t
)
(
en el circuito dela figura 1.48. b) Hallar la respuesta a la entrada
V
e
t
t
j
i
)
3
2
(
30
9
)
(
.
Figura 1.48: Circuito mixto.
R: a)
)
(
2
3
2
2
)
(
t
s
s
t
i
o
; b)
V
e
t
t
j
o
)
3
2
(
47
,
24
779
,
5
)
(
6. Hallar la impedancia de entrada
)
(s
ent
Z
del circuito de la figura 1.49. Determinar
los valores de
)
(
s
ent
Z
para: a)
0
s
; b)
s
rad
j
s
/
4
;
s
.

57
Figura 1.49: Circuito en el campo s .
R:
2
4
3
2
2
2
)
(
s
s
s
s
Z
s
ent
; a)
4
)
0
(
ent
Z
; b)
05
,
29
33
,
2
)
4
(
j
ent
Z
; c)
2
)
(
ent
Z
7. En el circuito de la figura 1.50
V
t
e
t
v
t
2
cos
10
)
(
. Hallar )
(
t
i
.
Figura 1.50: Circuito en el campo s .
R:
A
t
e
t
i
t
)
13
,
98
2
cos(
07
,
7
)
(
8. En el circuito mostrado en la figura 1.51, la fuente entrega una corriente
A
t
e
t
i
t
)
45
3
cos(
6
)
(
5
. Hallar el voltaje
)
(t
v
Figura 1.51: Circuito con fuente dependiente.
R:
V
t
e
t
v
t
)
49
,
104
3
cos(
5143
,
0
)
(
5
9. Un circuito serie RL , con
4
R
y
H
L 2
, tiene un voltaje de alimentación
V
t
e
t
v
t
)
30
10
cos(
10
)
(
2
. Hallar la corriente )
(t
i
que circula por el circuito.
R:
A
t
e
t
i
t
)
29
10
cos(
86
,
0
)
(
2
10. Un circuito serie RC , con
10
R
y
F
C
2
,
0
, tiene un voltaje de
alimentación
V
t
e
t
v
t
)
30
10
cos(
10
)
(
2
. Hallar la corriente
)
(t
i
que circula
por el circuito.
R:
A
t
e
t
i
t
)
8
,
32
10
cos(
01
,
1
)
(
2

58
11. En el circuito de la figura 1.52,
A
t
e
t
i
t
2
cos
10
)
(
. Hallar el voltaje v para
s
t
1
,
0
.
Figura 1.52: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
V
v
s
2
,
26
)
1
,
0
(
12. Hallar la función de red
i
o
s
I
V
H
)
(
para el circuito de la figura 1.53.
Figura 1.53: Circuito en el dominio de la frecuencia compleja.
R:
1
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
)
(
Cs
R
R
LCs
R
s
L
C
R
R
LCs
R
I
V
H
i
o
s
13. Hallar la función de red
i
i
s
I
V
H
)
(
para el circuito de la figura 1.54.
Figura 1.54: Circuito mixto.
R:
)
4
)(
2
(
)
65
,
2
7
)(
65
,
2
7
(
)
(
s
s
j
s
j
s
I
V
H
i
i
s
14. Hallar la función de red
i
o
s
I
I
H
)
(
para el circuito de la figura 1.55.

59
Figura 1.55: Circuito con ramas en paralelo.
R:
1
)
(
2
1
2
1
2
)
(
Cs
R
R
LCs
Cs
R
LCs
I
I
H
i
o
s
15. Los valores de los ceros y los polos de una función de red
)
(
s
H , son:
1
1
z
con multiplicidad
2 ;
0
1
p
con multiplicidad 3 ;
4
2
3
,
2
j
p
. Si
1
,
0
)
3
(
j
H
, ¿cuál es la ganancia K de esta función?
R: 395
,
4
16. Determinar la función de red y la respuesta de estado estable del circuito de la
figura 1.56 a la señal de estímulo (voltaje constante):
V
v
i
5
.
Figura 1.56: Circuito mixto en el campo del tiempo.
R:
100
)
10
)(
4
(
)
10
)(
5
(
)
1
)
10
)(
2
((
)
10
)(
2
(
4
2
10
6
4
)
(
s
s
s
s
V
V
H
i
o
s
V
v
of
0

Capítulo 2
Respuesta de frecuencia
Introducción
Si se mantiene la amplitud de la señal de estímulo constante y se varía la frecuencia, se obtiene
la respuesta de frecuencia de un circuito eléctrico. La respuesta del circuito tendrá, en general,
una magnitud y fase diferente para cada valor de la frecuencia de la señal de estímulo, ya que
la impedancia de los elementos almacenadores de energía cambia al variar la frecuencia de la
señal de excitación.
La respuesta de frecuencia de un circuito puede ser considerada, como una descripción
completa del comportamiento en estado estable sinusoidal del circuito, como una función de la
frecuencia.
En este capítulo se muestra cómo representar gráficamente la respuesta de frecuencia de un
circuito mediante dos curvas, una de magnitud y la otra de fase, denominadas en su conjunto
como características de frecuencia. La de magnitud en función de
se denomina
característica de amplitud contra frecuencia (CAF) y la de fase en función de
se
denomina característica de fase contra frecuencia (CFF).
El conocimiento de la respuesta de frecuencia de un circuito, es de gran importancia en
muchas aplicaciones, especialmente en sistemas de comunicaciones y control automático. Una
aplicación específica se encuentra en el diseño de filtros eléctricos que bloquean o eliminan
señales con frecuencias no deseadas y permiten el paso de señales con frecuencias deseadas.
Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y telefónicos para separar una frecuencia
de transmisión de otra.
En el desarrollo del capítulo se abordan diferentes métodos para determinar las características
de frecuencia de un circuito.
2.1 Respuesta de frecuencia
La respuesta de frecuencia de un circuito en estado estable sinusoidal, es la variación de su
comportamiento, al cambiar la frecuencia de la señal de estímulo de tipo sinusoidal. La

61
respuesta de frecuencia, describe completamente el comportamiento de un circuito en estado
estable sinusoidal como una función de la frecuencia.
En el capítulo anterior se definió la función de red
)
(s
H como la relación respuesta-estímulo
(salida-entrada) en el campo s :
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
F
F
H
En estado estable sinusoidal
j
s
, y la función de red (función transferencial) se expresa
como la relación entre la salida expresada fasorialmente y la entrada expresada fasorialmente:
)
(
1
)
(
2
)
(
j
j
j
F
F
H
Como se explicó en el capítulo anterior, la función de red de un circuito, proporciona un
método fácil para calcular la respuesta de estado estable a una entrada sinusoidal de frecuencia
fija.
Al estudiar la respuesta de frecuencia de un circuito, se considera una fuente sinusoidal de
magnitud y ángulo de fase constantes, cuya frecuencia puede ser variada. Para cada
frecuencia, la magnitud y ángulo de fase de la señal de salida, dependerá solamente de la
magnitud y ángulo de fase de la función de red.
Siendo la función de red una cantidad compleja, puede definirse también como:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
j
j
j
j
j
j
H
e
H
H
j
H
H
Donde:
)
(
)
(
j
H
Parte real de
)
(
j
H
.
)
(
)
(
j
H
Parte imaginaria de
)
(
j
H
.
)
(
j
H
Módulo de
)
(
j
H
.
)
(
Ángulo de fase de
)
(
j
H
.
Las expresiones
)
(
)
(
j
H
,
)
(
)
(
j
H
,
)
(
j
H
,
)
(
, son en general funciones de
.

62
Las relaciones entre estas expresiones están dadas por:
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
j
j
j
H
H
H
)
(
)
(
tan
)
(
)
(
1
)
(
j
j
H
H
Estos términos pueden representarse gráficamente como dos curvas denominadas en su
conjunto como
características de frecuencia. La de magnitud en función de
se denomina
característica de amplitud contra frecuencia (CAF) y la de fase en función de
se
denomina
característica de fase contra frecuencia (CFF). Se considerará que
varía de
cero a infinito.
Existen diferentes métodos para determinar estas características:
Método aproximado.
A partir del diagrama de polos y ceros.
Utilizando los diagramas de Bode.
Utilizando programas computacionales (MATLAB).
2.2 Método aproximado para obtener las características de frecuencia de la
función de red
)
(s
H
Este método es el más elemental, consiste en ir evaluando la función de red para las
frecuencias críticas y algunas frecuencias de interés. Siempre se comenzará por
0
(límite
cuando
tiende a cero por valores superiores a cero) y se terminará la evaluación para
. Los siguientes ejemplos ilustran con claridad el procedimiento a seguir.
Ejemplo 2.1
La función de red de un circuito lineal viene dada por la siguiente expresión:
2
3
1
2
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
V
V
H
s
s
s
v
Obtenga el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada la característica de amplitud
contra frecuencia (CAF) y la característica de fase contra frecuencia (CFF).

63
R:
Determinación de los ceros:
2
1
)
(
1
0
1
z
z
s
N
s
Determinación de los polos:
2
1
0
)
2
)(
1
(
2
3
2
1
2
)
(
p
p
s
s
s
s
D
s
Ganancia:
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
3
2
1
2
)
(
j
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
2
2
2
)
(
)
3
(
)
2
(
1
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(

64
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
5
,
0
180
0
180
1
4472
,
0
4
,
63
6
,
71
135
0
90
180
90
Se observa que al existir un cero para
,
)
(
j
v
H
tiene que ser cero para ese valor de
.
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(CAF) y
)
(
contra
(CFF).
En la figura 2.2 se muestra el archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las
características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
MATLAB:

65
Figura 2.2: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
En la figura 2.3 aparece el diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el
archivo .m.
Figura 2.3: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
En la figura 2.4 se muestran las características de amplitud y fase contra frecuencia que se
obtienen al ejecutar el archivo .m.
Figura 2.4: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.

66
Ejemplo 2.2
Dibujar el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada, la característica de amplitud
contra frecuencia y fase contra frecuencia, de la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
para el circuito
mostrado en la figura 2.5.
Figura 2.5: Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Cuando la función de red se determina a partir de un circuito dado, es recomendable, para
evitar algebra compleja, determinar la función de red en términos de
s (
)
(s
H ) y al final
reemplazar
s por
j para obtener
)
(
j
H
.
Se dibuja la red operacional equivalente mostrada en la figura 2.6:
Figura 2.6: Red operacional equivalente.
1
2
2
1
2
)
1
)(
2
(
)
(
s
s
s
Z
s
p
(Impedancia paralelo equivalente).
Aplicando división de voltaje:
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
s
p
s
p
s
s
Z
Z
V
V

67
)
1
1
)(
2
1
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
Z
Z
V
V
H
s
p
s
p
s
s
s
v
Determinación de los ceros:
El numerador
)
(s
N no es función de s .
1
z
(La función de red se hace cero cuando
s
).
Determinación de los polos:
1
0
)
1
(
2
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
2
1
K
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.7.
Figura 2.7:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
)
1
1
)(
2
1
(
)
(
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
)
(
1
2
1
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:

68
den
num
)
(
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
5
,
0
0
0
0
1
3536
,
0
45
45
0
0
90
90
0
Se observa que al existir un cero para
,
)
(
j
v
H
tiene que ser cero para ese valor de
.
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
En la figura 2.8 aparece el archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las
características de frecuencia de
)
(s
v
H
.
MATLAB:

69
Figura 2.8:
Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
En la figura 2.9 se muestra el diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el
archivo .m.
Figura 2.9:
Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
En la figura 2,10 se muestran las características de amplitud y fase contra frecuencia que se
obtienen al ejecutar el archivo .m.

70
Figura 2.10:
Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Ejemplo 2.3
Dibujar el diagrama de polos y ceros y de forma aproximada, la característica de amplitud
contra frecuencia y fase contra frecuencia, de la función de red
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
s
v
V
V
H
para el circuito
mostrado en la figura 2.11.
Figura 2.11:
Circuito en el dominio del tiempo.
R:
Se dibuja la red operacional equivalente de la figura 2.12:

71
Figura 2.12:
Red operacional equivalente.
s
s
s
s
Z
s
p
4
2
4
2
2
)
2
)(
2
(
)
(
(Impedancia paralelo equivalente).
Aplicando divisor de voltaje:
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
s
p
s
p
s
s
Z
Z
V
V
)
3
2
)(
2
1
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
s
s
Z
Z
V
V
H
s
p
s
p
s
s
s
v
Determinación de los ceros:
2
0
2
1
)
(
z
s
N
s
Como los polinomios del numerador y denominador son del mismo orden, no existen ceros o
polos en el infinito.
Determinación de los polos:
3
0
)
3
(
2
1
)
(
p
s
D
s
Ganancia:
El diagrama de polos y ceros se muestra en la figura 2.13.
2
1
K

72
Figura 2.13:
Diagrama de polos y ceros.
Se escribe la función
)
(
j
v
H
sustituyendo en la función de red
)
(s
v
H
, s por
j :
)
3
2
)(
2
1
(
)
(
j
j
H
j
v
Se obtiene la expresión de la magnitud de la función de red
)
(
j
v
H
:
2
2
)
(
9
2
4
j
v
H
El ángulo de fase se obtiene como:
den
num
)
(
Se elabora la tabla de
)
(
j
v
H
y
)
(
. Siempre se comenzará por
0
, y en orden creciente,
se terminará en
. Como no existen ceros o polos sobre el eje
j positivo (entre
0
y
), se escoge un tercer valor para
, por ejemplo
1
.
Construcción de la tabla de
)
(
j
v
H
y
den
num
)
(
para las frecuencias críticas y las
frecuencias de interés:
)
(
j
v
H
)
(
0
3333
,
0
0
0
0
1
3536
,
0
13
,
8
43
,
18
56
,
26
3
1
tan
2
1
tan
1
1
5
,
0
0
90
90

73
Con los datos de la tabla, se dibujan las gráficas
)
(
j
v
H
contra
(característica de amplitud
contra frecuencia) y
)
(
contra
(característica de fase contra frecuencia).
El archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de frecuencia de
Hv(s) aparece en la figura 2.14.
MATLAB:
Figura 2.14: Archivo .m para obtener el diagrama de polos y ceros y las características de
frecuencia de
)
(s
v
H
.
El diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo.m es mostrado en
la figura 2.15.

74
Figura 2.15: Diagrama de polos y ceros de
)
(s
v
H
que se obtiene al ejecutar el archivo .m.
Las características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el archivo
.m se muestran en la figura 2.16.
Figura 2.16: Características de amplitud y fase contra frecuencia que se obtienen al ejecutar el
archivo .m.
Ejemplo 2.4

75
Hallar
)