Übungsstunde zum Satz des Pythagoras anhand einer alltagsbezogenen Modellierungsaufgabe (Unterrichtsentwurf Mathematik)

Inhalt

1 Analyse der padagogischen Situation und der fachlichen Voraussetzungen
1.1 AuBere Bedingungen
1.2 Lerngruppenanalyse
1.3 Lernstandsanalyse

2 Didaktisch-methodische Uberlegungen zur Unterrichtsreihe

3 Didaktisch-methodische Uberlegungen zur Unterrichtsstunde

4 Didaktisches Zentrum

5 Literatur

6 Anhang

1 Analyse der padagogischen Situation und der fachlichen Voraussetzungen

1.1 Aufiere Bedingungen

Die vorliegende Unterrichtsstunde wird in der Klasse 9a der XY- Schule in XY durchgefuhrt, welche ich seit Beginn dieses Schuljahres eigenverantwortlich unterrichte. Der Unterricht findet montags (3. Stunde), mittwochs (1. und 2. Stunde) sowie donnerstags (6. Stunde) im Klassenraum C108 statt. Entgegen den vier Einzelstunden im vorherigen Halbjahr ergeben sich fur dieses Halbjahr durch eine Doppelstunde deutliche strukturelle Verbesserungen. Ebenfalls konnen die raumlichen Bedingungen seit Beginn dieses Halbjahres als gut bezeichnet werden (s. Kapitel 1.2). Zusatzlich zur Tafel steht ein Overheadprojektor zur standigen Verfugung.

1.2 Lerngruppenanalyse

Die eigentliche Schulerzahl dieser Klasse betragt 29 SuS^[1]. KlassengroBe und ein enorm unruhiges Unterrichtsverhalten haben im vergangenen Halbjahr in allen 9. Klassen eine zielfuhrende Unterrichtsgestaltung erschwert. Infolgedessen ist seit Beginn dieses Halbjahres eine Reduzierung der Schulerzahl im Fach Mathematik und damit verbunden eine deutliche Verbesserung der Unterrichtsatmosphare zu verzeichnen..

Die Klasse besteht nun aus 19 Lernenden, davon 10 Schuler und 9 Schulerinnen.

Auffallig ist eine gesteigerte Lebhaftigkeit der Schuler im Vergleich zu den Schulerinnen. Diese arbeiten uberwiegend konzentrierter und motivierter als ihre mannlichen Klassenkameraden, welche sich vermehrt durch auBerschulische Gedanken ablenken lassen.

Eine Ursache fur die geringere Konzentrationsfahigkeit der mannlichen Jugendlichen liegt moglicherweise darin begrundet, dass sich diese verstarkt in der Phase der Pubertat befinden. Durch kurze Ermahnungen lassen sich solche Storungen in den meisten Fallen schnell beseitigen.

Trotz dieses Phanomens und unter Berucksichtigung der individuellen Lernvoraussetzungen (s. Kapitel 1.3) arbeiten die Schulerinnen und Schuler uberwiegend gut im Unterricht mit und sind grundsatzlich an ihrem Lernerfolg interessiert.

Hervorzuheben sind allerdings Felix, Beyza und Johannes. Diese ziehen sich haufig aus Arbeitsprozessen zuruck und machen durch storendes Verhalten auf sich aufmerksam. Auch hier genugt in der Regel eine direkte Ansprache der jeweiligen SuS durch die Lehrkraft, um eine Besserung herbeizufuhren.

Eine leichte Gruppenbildung entsprechend der Sitzordnung wird vermutet. Eine Ausgrenzung einzelner Schuler ist jedoch nicht bekannt.

Trotz erkennbarer Sympathien zwischen einzelnen SuS herrscht insgesamt ein freundlicher Umgang untereinander. Auch hat sich in den vorangegangenen Stunden gezeigt, dass ein Zusammenarbeiten in heterogenen Gruppen moglich ist.

Einer kurzen Erwahnung bedurfen die Schuler Niklas, Lucian und Elisa, welche haufig aufgrund ihrer zuruckhaltenden Art in der Klasse drohen unter zu gehen. Dies ist nach Rucksprache mit der Klassenlehrerin auch in anderen Unterrichtsfachern der Fall und somit nicht auf die Situation im Mathematikunterricht zuruckzufuhren. Diese Schuler mussen gezielt zur Mitarbeit aktiviert werden, was insbesondere in Kleingruppen moglich ist, da dort ihre Unsicherheit weniger zum Tragen kommt und sie dadurch deutlich offener mit Problemen umgehen.

Zuletzt ist zu meiner Rolle als Lehrperson zu sagen, dass ich mich in der Lerngruppe wohl fuhle und vollkommen akzeptiert werde. Die SuS sind grundsatzlich bereit meine Hilfe einzufordern und bei Problemen nachzufragen. Personlich sehe ich mich als Lernbegleiter, der den Schulern DenkanstoBe vermittelt und keine fertigen Losungen.

1.3 Lernstandsanalyse

Im Rahmen einer ausfuhrlichen Lernstandsanalyse mochte ich zunachst die fachlichen Kompetenzen der Klasse naher erlautern.

Wie bereits dargestellt zeigen sich die SuS groBtenteils engagiert, jedoch hat sich in der Vergangenheit gezeigt, dass die Lernenden uber wenig mathematisches Abstraktionsvermogen verfugen und haufig Schwachen in ihrer mathematischen Ausdrucksweise aufweisen. Des Weiteren verfugen die SuS uber wenig Gefuhl bei der Interpretation von Ergebnissen und deren Transfer in das reale Leben. Davon ausgenommen sind Victoria, Catherina, Alex und Tom. Durch ihre Wortbeitrage tragen diese SuS einen entscheidenden Anteil zur Weiterfuhrung des Unterrichts bei. Leistungsstark im Fach Mathematik ist ebenfalls Benedikt, der sich leider wenig im Unterricht beteiligt. Bei konkreter Ansprache ist er jedoch meistens in der Lage sich am Unterrichtsgeschehen zu beteiligen und gute Beitrage zu liefern.

Besonders schwach sind Beyza, Elisa, Luna und Johannes. Dies auBert sich unter anderem in der kaum vorhandenen mundlichen Mitarbeit sowie in Hausaufgabenuberprufungen und den bereits geschriebenen Klausuren. Diese SuS benotigen vermehrt Anschauungsmaterial und sind meist nur durch konkrete Hilfestellung der Lehrkraft oder der Mitschuler in der Lage ein mathematisches Problem zu losen. Der ubrige Teil des Kurses liefert uberwiegend reproduktive Beitrage und bewegt sich im durchschnittlichen Bereich.

Daran anknupfend bietet sich eine genauere Erorterung der methodischen Kompetenzen der Lernenden an. Durch meine eigenen Beobachtungen habe ich festgestellt, dass die Schuler grundsatzlich mit der Arbeit in Gruppen vertraut sind. Allerdings hab ich bei der Arbeit in Neigungsgruppen feststellen mussen, dass nichtschulische Themen schnell Uberhand nehmen konnen und somit einen nicht zu vernachlassigenden Einfluss auf den Lernerfolg haben. Die gleichen Beobachtungen habe ich fur das Arbeiten in Zufallsgruppen machen mussen. Alternativ bietet sich das Arbeiten in leistungsheterogenen oder leistungshomogenen Gruppen an. Als forderlich fur den Unterrichtsprozess hat sich erwiesen, dass die starkeren SuS nach Moglichkeit die schwacheren Kursmitglieder unterstutzen. Es hat sich gezeigt, dass dem heterogenen Leistungsstand der Lernenden am ehesten in Form von Gruppenarbeitsphasen, welche durch das Prinzip des "Lernen durch Lehren^[2] " gepragt sind, entsprochen werden kann. Hierbei ist darauf zu achten, dass das Gruppenergebnis nicht ausschlieblich von den besseren Schulern ausgeht, sondern alle Mitglieder involviert werden.

Schlieblich lassen sich bei einigen SuS grobe Unsicherheiten bei der Prasentation von Ergebnissen an Tafel, bzw. Overheadprojektor (OHP) erkennen.

Die Sozialkompetenz innerhalb der Klasse befindet sich auf einem guten Niveau. Dies ist darin begrundbar, dass sich die SuS trotz erkennbarer Gruppierungen innerhalb der Klasse im Rahmen ihrer Moglichkeiten gegenseitig unterstutzen. Allgemein herrscht ein freundlicher und wertschatzender Umgang untereinander. Besonders hervorzuheben sind in diesem Kontext Alex, Victoria und Catharina, welche durch ihre kognitiven Fahigkeiten mabgeblich den Unterricht bereichern, indem sie ihren Mitschulern und Mittschulerinnen beratend und unterstutzend zur Seite stehen.

Zusammenfassend sehe ich sowohl im Bereich der Fachkompetenzen als auch der Methodenkompetenzen Entwicklungspotential. Im Hinblick auf die vorliegende Unterrichtsstunde bleibt zu sagen, dass von Seiten der SuS vermehrt der Wunsch nach Anwendungsbereichen von Quadratwurzeln geaubert wurde. Dies ist durch die Thematisierung des Satzes des Pythagoras moglich. Im Hinblick auf die der Aufgabenkonzeption ist anzumerken, dass die Lernenden bisher wenig Erfahrung mit Modellierungsaufgaben und offenen Arbeitsauftragen gemacht haben, so dass die vorliegende Stunde als Einstieg in die Forderung dieser mathematischen Kompetenzen gesehen werden soll.

2 Didaktisch-methodische Uberlegungen zur Unterrichtsreihe

Mabgebend fur die Unterrichtsgestaltung in der neunten Klasse ist der Hessische Lehrplan fur das neunjahrige Gymnasium^[3]. In Verbindung mit dem neuen Kerncurriculum fur Hessen^[4] beinhaltet dieser als zentralen Themenbereich die Satzgruppe des Pythagoras unter den Leitideen „Raum und Form (L3)“ und „Messen (L2)“.

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalsten Satze der euklidischen Geometrie.

Daruber hinaus stellt die Satzgruppe des Pythagoras die grundlegende Basis fur aufbauende Themenbereiche, wie z.B die Trigonometrie in Klasse 10, dar.

Aufgrund der vorherigen Thematik der irrationalen Zahlen und Quadratwurzeln, welche die SuS stark in Bezug auf theoretische Denkweisen geforderte hat sowie der Feststellung, dass die Lernenden grobe Schwierigkeiten aufweisen praktische Beispiele aus ihrer Umwelt zu benennen, habe ich mich im Rahmen dieser Unterrichtsreihe fur eine Verbindung der mathematischen Inhalte mit alltaglichen Problematiken entschieden. Die Anwendung des Satzes an Beispielen aus der Lebenswelt der Schuler eignet sich diesbezuglich, um die „mathematischen Konstrukte mit Sinn zu fullen, die Motivationslage zu verbessern und nachhaltiges Lernen wahrscheinlicher zu machen“^[5]

Daruber hinaus hat sich im vergangenen Halbjahr gezeigt, dass es den Lernenden schwer fallt reale

Situationen in einen mathematischen Zusammenhang zu ubertragen. Daher sollen die SuS im Rahmen von offenen Modellierungsaufgaben ihre Problemlosekompetenz erweitern, Strategien entwickeln und somit „eine Schlusselkompetenz im Sinne einer Grundlage fur lebenslanges Lernen“ erlangen.^[6] Damit verbunden ist das Ziel die Selbststeuerung der SuS in der Planung, Durchfuhrung und Auswertung von Handlungsprozessen zu fordern und somit die Fahigkeit zur Modellierung von Prozessen zu verbessern.

Einordnung in die Unterrichtsreihe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Didaktisch-methodische Uberlegungen zur Unterrichtsstunde

Die vorliegende Stunde stellt eine Anwendung des Satzes des Pythagoras dar, die sich an das Rechnen mit Quadratwurzeln anschlieBt. Nach Einfuhrung, Beweis und Anwendungen an rechtwinkligen Dreiecken habe ich beobachtet, dass die SuS auf der Suche nach der Sinnhaftigkeit/Notwendigkeit des Satzes sind. Diesbezuglich findet man in Schulbuchern, Fachzeitschriften und dem Internet mehr als genugend Anwendungsaufgaben. Allerdings stellt ein GroBteil der Aufgaben Situationen dar, die nur bedingt mit der Lebenswelt der Schuler zu tun haben. Dementsprechend gestaltet sich der Transfer „Das Problem der Aufgabe zu einem wirklichen Problem der Schuler zu machen“ als schwierig. Beispielsweise sind die Schuler nach eigenen Erfahrungen weder an historischen Problemen des antiken Griechenlands, noch an dem Materialverbrauch fur Zeltplanen interessiert^[7]. Des Weiteren sollte eine gelungene Aufgabe „einen Mindestgrad an Offenheit“^[8] aufweisen, „Anlass zu divergentem Arbeiten, [...] individuellen Erkundungen [und] vor allem unterschiedliche Ansatze - auch auf unterschiedlichem Niveau - erlauben“^[9]. Aus diesem Grund erscheint mir die Thematisierung der Drehleiterrettung durch die Feuerwehr Lollar im Fall eines Schulbrandes, als eine authentische, spannende Anwendung des Satz des Pythagoras. Durch die veranderte Aufgabenstellung^[10] bietet die Aufgabe ausreichend Freiraum fur kreative Uberlegungen und individuelle Annahmen und somit ein lebendiges Bild von Mathematik. Alternativ ware z.B. die Modellierung einer Seilbahn^[11] moglich gewesen. Allerdings habe ich mich gegen diese inhaltlich sehr spannende Aufgabe entschieden, da hier kein unmittelbarer Bezug zur Lebenswelt der SuS vorhanden ist. Eine zweite denkbare Alternative ware die Beantwortung der Frage: „Wie weit kann man von einem Leuchtturm (oder der Burg Staufenberg) schauen?“ gewesen. Hier scheint mir jedoch das Problem nicht im fehlenden Lebensweltbezug, sondern vielmehr in der aus meiner Sicht noch zu wenig ausgepragten Modellierungskompetenz der Lernenden zu bestehen. Im Weiteren mochte ich durch die Behandlung des gegebenen Beispiels die Problemlosekompetenz der SuS gezielt trainieren. Die Lernenden erhalten die Moglichkeit ihre heuristischen Strategien implizit zu erweitern und somit ihre „geistige Beweglichkeit“^[12] zu erhohen. Demnach stellen die Problemlosekompetenzen nicht nur einen „Weg beim Arbeiten, sondern bereits ein erklartes Ziel“^[13] dar.

Die SuS werden bereits zu Beginn der Stunde durch mich in heterogene Kleingruppen eingeteilt. Ziel der Gruppenarbeit ist es ganz nach dem Prinzip des "Lernen durch Lehren" sowohl den schwachen, als auch den leistungsstarkeren SuS im Sinne einer inneren Differenzierung gerecht zu werden.

[...]

^[1] Schulerinnen und Schuler

^[2] vgl. Kruge R .: Projekt „Lernen durch Lehren“. Schuler als Tutor von Mitschulern, Klinkhardt, Bad Heilbron 1975

^[3] vgl. Hessisches Kultusministerium - Lehrplan Mathematik fur Gymnasium (G9), S.33

^[4] vgl. Hessisches Kultusministerium - Bildungsstandards und Inhaltsfelder - Das neue Kerncurriculum fur Hessen, S.18 ff.

^[5] vgl. Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik, Praxishandbuch fur die Sek. I und II., Berlin: Cornelsen Skriptor, S. 122

^[6] vgl.ebd. S.122

^[7] zwei typische Aufgaben

^[8] vgl. Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik, Praxishandbuch fur die Sek. I und II., Berlin: Cornelsen Skriptor, S. 128

^[9] vgl. ebd. S.128

^[10] Die Aufgabe thematisiert im weiteren Sinne das klassische, eingekleidete Problem: „Wie lange muss die Feuerwehrleiter sein, falls es im obersten Stockwerk des Schulgebaudes brennen sollte?“

^[11] Die Seilbahn am Zuckerhut in Rio de Janeiro

^[12] vgl. Bruder, R. (2005): Problemlosen lernen fur alle. Darmstadt

^[13] vgl. Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik, Praxishandbuch fur die Sek. I und II., Berlin: Cornelsen Skriptor, S.132