Klassische finanzmathematische Theorien und Modelle, die sich mit der Bewertung und Absicherung von Derivaten beschäftigen, gehen von der Annahme friktionsloser Märkte (keine Transaktionskosten, keine Handelsrestriktionen) und insbesondere vollständig liquider Märkte aus, in denen die Wertpapierpreise vom Handelsvolumen unabhängig sind und jeder Händler als Preis-Nehmer agiert, was eine gute Approximation für hochliquide Wertpapiere darstellt. Jedoch sind im Falle Großer Händler, deren Handelstransaktionen einen erheblichen Anteil der verfügbaren Wertpapiere umfassen, die Preise durchaus von der Ordergröße abhängig und die angenommene Marktliquidität verschwindet. Somit ist die Notwendigkeit einer Theorie zur Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten gegeben. Dies führt u.a. auf den zentralen Begriff des Liquiditätsrisikos, als das zusätzliche Risiko, was auf den Zeitpunkt und den Umfang einer Handelstransaktion zurückzuführen ist.
In der vorliegenden Arbeit wird ein derartiger Ansatz ausführlich vorgestellt und genauer untersucht. Dieses Modell von Çetin, Jarrow und Protter bildet, unter Beibehaltung der Preis-Nehmer Bedingung, mit Hilfe einer stochastischen Angebotskurve als Funktion der Ordergröße den Einfluss verschiedener Handelsvolumina auf den Preis ab und bindet auf diese Weise das Liquiditätsrisiko in die Arbitrage Pricing Theorie ein. Dabei werden die beiden Fundamentalen Theoreme der Wertpapierbewertung untersucht. Dies führt zu einer neuen Definition einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie, einer Erweiterung des Begriffs der Marktvollständigkeit und zusätzlichen Restriktionen für Hedgingstrategien. Unter anderem wird gezeigt, dass für (in diesem Kontext) annähernd vollständige Märkte die Preise für Derivate identisch sind mit deren arbitragefreien Preisen der klassischen Theorie.
Diese theoretischen Erkenntnisse werden dann in einer geeigneten Erweiterung des wohlbekannten Black-Scholes-Modells auf die Bewertung und Absicherung eines Europäischen Calls angewendet und im Rahmen einer Simulationsstudie ausführlich illustriert bzw. auf ihre praktische Anwendbarkeit hin getestet. Letztlich werden auch kurz ähnliche und andere Modelle für die Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Märkten zur Sprache kommen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Stochastische Prozesse
2.2 Stoppzeiten und Martingale
2.3 Die Brownsche Bewegung
2.4 Lokale Martingale
2.5 Semimartingale
2.5.1 Semimartingale und spezielle Semimartingale
2.5.2 Quadratische Variation eines Semimartingals
2.5.3 Stetiger Teil und reiner Sprunganteil
2.6 Stochastische Integration bezüglich eines Semimartingals
2.6.1 Das stochastische Integral für Prozesse aus L
2.6.2 Das stochastische Integral für previsible Prozesse
2.6.3 Einige Eigenschaften des stochastischen Integrals
3 Liquiditätsrisiko und Arbitrage Pricing Theorie
3.1 Einleitung
3.2 Das Modell
3.2.1 Die Angebotskurve
3.2.2 Handelsstrategien
3.2.3 Liquiditätskosten selbstfinanzierender Handelsstrategien
3.3 Erstes Fundamentales Theorem
3.3.1 Äquivalentes, Lokales Martingalmaß und Arbitragefreiheit
3.3.2 Free Lunch mit verschwindendem Risiko
3.3.3 Das Theorem
3.3.4 Der Beweis
3.3.4.1 Schritt 1 - Das fiktive Marktmodell
3.3.4.2 Schritt 2 - Das Marktmodell mit Liquiditätsrisiko
3.4 Zweites Fundamentales Theorem
3.4.1 Contingent Claims und Marktvollständigkeit
3.4.2 Annähernde Marktvollständigkeit
3.4.3 Replikation und Bewertung von Contingent Claims
3.5 Nicht-Stetige Angebotskurven
3.6 Abschluss
4 Das Black-Scholes-Modell mit Liquiditätsrisiko
4.1 Das Erweiterte Black-Scholes-Modell
4.2 Replikation und Bewertung eines Europäischen Calls
4.2.1 Bewertung mit Hilfe der klassischen Theorie
4.2.2 Der klassische Black-Scholes-Hedge bei Liquiditätsrisiko
4.2.3 Eine Approximierende Replikationsstrategie
4.2.4 Fazit für die Praxis
4.3 Illustrierende Simulationen mit Mathematica
4.3.1 Vorüberlegungen zur praktischen Umsetzung
4.3.2 Implementierung des Programms
4.3.3 Auswertung und Interpretation der Simulationsergebnisse
4.3.3.1 Wahl der Parameter
4.3.3.2 Der Glättungseffekt
4.3.3.3 Approximationsgüte und Liquiditätskosten
4.4 Schlussfolgerungen für die praktische Anwendung
5 Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht das Liquiditätsrisiko bei der Bewertung und Absicherung von Derivaten, indem sie ein Modell von Çetin, Jarrow und Protter anwendet, das illiquide Märkte mittels stochastischer Angebotskurven abbildet. Ziel ist es, die Auswirkungen von Handelsvolumina auf Wertpapierpreise in die Arbitrage Pricing Theorie zu integrieren und zu zeigen, dass Derivate auch in diesem Kontext annähernd bewertbar und absicherbar sind.
- Integration von Liquiditätsrisiken in die klassische Arbitrage Pricing Theorie
- Entwicklung und Analyse stochastischer Angebotskurven als Modell für Marktilliquidität
- Erweiterung des Black-Scholes-Modells zur Abbildung von Liquiditätskosten
- Empirische Simulation und praktische Evaluierung verschiedener Hedging-Strategien
Auszug aus dem Buch
Die Angebotskurve
Um der Illiquidität des Marktes, d.h. in diesem Falle der Abhängigkeit des Aktienpreises vom Handelsvolumen, Rechnung zu tragen, modellieren wir den Preisprozess der Aktie mittels einer von außen gegebenen, stochastischen Angebotskurve, bezüglich derer ein beliebiger Händler für Stückkäufe und -verkäufe der Aktie innerhalb des Handelsintervalls als Preis-Nehmer agiert. Sei dazu formal S(t, x, ω) der Aktienpreis pro Stück zum Zeitpunkt t ∈ [0, T], den der Händler für eine Order der Größe x ∈ R im Zustand ω ∈ Ω bezahlt bzw. erhält. Eine positive Order (x > 0) repräsentiert einen Kauf, eine negative Order (x < 0) repräsentiert einen Verkauf und die Order Null (x = 0) entspricht der Grenztransaktion.
Während in der klassischen Arbitrage Pricing Theorie für jede Ordergröße der gleiche Preis vorliegt (horizontale Angebotskurve), sieht sich der Händler nun, nach Konstruktion, einer Angebotskurve gegenüber, die von seiner Ordergröße abhängt. Dagegen ist die Angebotskurve von früheren Transaktionen des Händlers, von seinen Fähigkeiten, seiner Risikoaversion oder seinen Erwartungen unabhängig. Daraus folgt, dass die Handelsstrategie eines Investors keinen nachhaltigen Einfluss auf den Preisprozess der Aktie hat. Diese Einschränkung unterscheidet das Modell von der Situation, in der die Angebotskurve auch von der vollständigen Historie der Handelstransaktionen des Händlers abhängt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Diese Einleitung motiviert die Problematik illiquider Finanzmärkte und skizziert den theoretischen Ansatz, Liquiditätsrisiken mittels Angebotskurven in bestehende Modelle zu integrieren.
2 Mathematische Grundlagen: Dieses Kapitel stellt die notwendige stochastische Analysis und die Definitionen von Martingalen, Semimartingalen und stochastischen Integralen kompakt zusammen.
3 Liquiditätsrisiko und Arbitrage Pricing Theorie: Das zentrale Kapitel führt das Modell mit stochastischer Angebotskurve ein und leitet das Erste und Zweite Fundamentale Theorem der Wertpapierbewertung unter Berücksichtigung von Liquiditätsrisiken her.
4 Das Black-Scholes-Modell mit Liquiditätsrisiko: Die theoretischen Erkenntnisse werden hier auf ein erweitertes Black-Scholes-Modell angewendet und durch umfangreiche Simulationsstudien praktisch illustriert.
5 Zusammenfassung und Ausblick: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und diskutiert die praktische Umsetzbarkeit sowie weiterführende Forschungsaspekte im Kontext der Modellierung illiquider Märkte.
Schlüsselwörter
Liquiditätsrisiko, Arbitrage Pricing Theorie, Stochastische Angebotskurve, Black-Scholes-Modell, Finanzmathematik, Marktvollständigkeit, Hedging-Strategien, Martingalmaß, Preis-Nehmer Bedingung, Illiquidität, Replikationsfehler, stochastische Integration.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Bewertung und Absicherung von Derivaten in Finanzmärkten, in denen klassische Annahmen wie unendliche Marktliquidität nicht mehr gelten.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Zentrale Themen sind die Modellierung von Marktilliquiditäten, die Erweiterung der Arbitrage Pricing Theorie, die stochastische Analysis und die praktische Anwendung mittels Simulationen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist die Einbindung des Liquiditätsrisikos in die Arbitrage Pricing Theorie und die Untersuchung, inwiefern klassische Derivatebewertungsmodelle wie das Black-Scholes-Modell unter illiquiden Marktbedingungen angepasst werden können.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Arbeit nutzt Methoden der stochastischen Analysis, insbesondere die Theorie der Semimartingale und stochastischer Integrale, sowie numerische Simulationsstudien mit der Software Mathematica.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil wird das Modell von Çetin, Jarrow und Protter mathematisch hergeleitet und detailliert untersucht. Darauf folgt eine praktische Anwendung auf ein erweitertes Black-Scholes-Modell mit anschließender Simulationsstudie.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär über Begriffe wie Liquiditätsrisiko, Arbitrage Pricing, stochastische Angebotskurven und Marktvollständigkeit beschreiben.
Was genau bewirkt der sogenannte "Glättungseffekt" in den Modellen?
Der Glättungseffekt nivelliert die Ausschläge des klassischen Delta-Hedges, wodurch die Aktienpositionen stetiger und von endlicher Variation werden. Dies hilft, die beim Handeln anfallenden Liquiditätskosten im Modell signifikant zu reduzieren.
Warum spielt die Wahl des Glättungsintervalls eine so zentrale Rolle?
Ein zu kurzes Glättungsintervall verringert den Glättungseffekt und führt zu höheren Transaktionskosten. Ein zu langes Glättungsintervall hingegen führt dazu, dass der ursprüngliche Delta-Hedge weniger genau nachgebildet wird, was die Replikationsgüte verschlechtert.
- Quote paper
- Sascha Löschcke (Author), 2005, Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/40670
