Die Hilbert-Funktion, zumindest so weit, wie ich sie hier behandeln werde, misst die Vektorraumdimension der verschiedenen Stückchen graduierter Moduln. Dabei stellte bereits Hilbert beeindruckenderweise fest, dass diese Funktion von polynomiellem Typ ist, also dass für gross genuge Argumente, diese Hilbert-Funktion mit einem Polynom übereinstimmt.
Die Hilbert-Funktion hat dabei eine Grosszahl an Anwendungen und Verstrickungen mit Fragestellungen der kommutativen Algebra und ich stellte bei der Bearbeitung des Themas schnell fest, dass eine Einschränkung notwendig sein würde und ich selbst in diesem eingeschränkten Teilbereich zu großen Teilen nur einen Geschmack der Möglichkeiten der Hilbert-Funktion vermitteln können würde. Anstatt etwa auf die kombinatorischen Anwendungen auf Simplizialkomplexen oder die leichte Berechnbarkeit durch Gröbner Basen einzugehen, die beide bestimmt auch wesentlich für ihre Attraktivität sind, entschied ich mich zur Beschäftigung mit geometrischen Fragen. Diese drehen sich hauptsächlich um Varietäten im projektiven Raum.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlegende Begriffe
- Graduierte Algebra, Hilbert-Funktion
- Hilbert-Serie und Hilbert-Polynom
- Hilbertpolynom und (projektive) Varietäten
- Grad und Dimension einer projektiven Varietät
- Satz von Bezout.
- Hilbertfunktion nulldimensionaler Varietäten
- Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion und geometrische Konsequen-
zen für Punktmengen
- Theorem von Macaulay und O-Folgen
- Zurück zu nulldimensionalen Varietäten: Ansatz I
- Ansatz II
- Literaturverzeichnis, Quellen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Hilbert-Funktion in der kommutativen Algebra. Sie untersucht die Vektorraumdimension graduierter Moduln und zeigt die polynomielle Natur dieser Funktion auf. Die Arbeit konzentriert sich auf Anwendungen und Verstrickungen der Hilbert-Funktion mit Fragen der kommutativen Algebra, insbesondere im Kontext projektiver Varietäten.
- Definition und Eigenschaften der Hilbert-Funktion
- Die Beziehung zwischen Hilbert-Polynom und projektiven Varietäten
- Anwendung der Hilbert-Funktion zur Bestimmung von Grad und Dimension projektiver Varietäten
- Analyse des Wachstumsverhaltens der Hilbert-Funktion im Zusammenhang mit Punktmengen
- Geometrische Interpretationen der Hilbert-Funktion für nulldimensionale Varietäten
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung
Dieses Kapitel stellt die Hilbert-Funktion vor und erläutert ihre Bedeutung in der kommutativen Algebra. Es beschreibt die Hauptthemen der Arbeit und gibt einen Überblick über die Struktur des Textes.
- Kapitel 2: Grundlegende Begriffe
Hier werden die fundamentalen Definitionen und Konzepte im Zusammenhang mit der Hilbert-Funktion eingeführt, darunter graduierte Algebren, Module und homogene Elemente.
- Kapitel 3: Hilbertpolynom und (projektive) Varietäten
Dieses Kapitel untersucht die Beziehung zwischen dem Hilbert-Polynom und projektiven Varietäten. Es zeigt, wie das Hilbert-Polynom zur Definition von Grad und Dimension projektiver Varietäten verwendet werden kann und präsentiert einen Beweis von Bezouts Theorem.
- Kapitel 4: Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion und geometrische Konsequenzen für Punktmengen
Hier wird das Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion analysiert, insbesondere im Zusammenhang mit nulldimensionalen Varietäten (Punktmengen). Es werden Macaulays Ansatz zur Klassifizierung des Wachstums der Hilbert-Funktion vorgestellt sowie zwei Ansätze zur Bestimmung der zugrunde liegenden Strukturen von Punktmengen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Themen Hilbert-Funktion, graduierte Algebra, projektive Varietäten, Hilbert-Polynom, nulldimensionale Varietäten, Punktmengen, Wachstumsverhalten, Theorem von Macaulay, O-Folgen, geometrische Strukturen.
- Arbeit zitieren
- Aaron Berman (Autor:in), 2016, Zur Hilbert-Funktion, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/416112
