Adaptiv Transformations

The article deals with methods of determining homomorphic transformations by means of local search of parameters on subjective quality functions. The transformation allows mapping of given motifs from orthogonal Cartesian coordinate systems into curvilinear coordinate systems. The transformation rule is described by a binominational approach function whose coefficients are initially unknown. On the basis of a simplifying representative structure, the subjective quality function, characteristics of the transformation with an evolution strategy are determined iteratively. Due to the local causality of the method, the coordinate transformation on homo­morphic target contours is homomorphic, and the displacement and distortion performance of classical, affine mappings (translation, rotation, and scaling) are inherent in the method. The transformation rule obtained in this way can now perform operations on complex motifs. The idea of transformation is inspired by the work of D'Arcy Wentworth Thompson.

Berlin, Germany in Winter 2017 / 2018

ADAPTIV TRANSFORMATIONS

„I'll have what D'Arcy's having"

Michael Felgenhauer, Berlin im Mai 2018

Der Aufsatz handelt von Methoden der Determinierung homomor- pher Transformationen mittels lokaler Suche der Parameter auf subjektiven Qualitätsfunktionen. Dieserart Transformation erlaubt die Abbildung gegebener Motive aus orthogonalen kartesischen Koordinatensystemen in krummlinige Koordinatensysteme. Die Transformationsvorschrift wird über eine polynominale Ansatzfunkti­on beschrieben, deren Koeffizienten zunächst unbekannt sind. Auf Basis einer vereinfachenden Stellvertreterstruktur, der subjektiven Qualitätsfunktion, werden Charakteristiken der Transformation mit einer Evolutionsstrategie, iterativ ermittelt. Aufgrund der lokalen Kausalität des Verfahrens ist die Koordinatentransformation auf subjektive Zielkonturen homomorph und die Verschiebe- und Verzerrungsleistungen klassischer, affinen Abbildungen (Translation, Rotation und Skalierung) sind der Methode inhärent. Die dieserart gewonnene Transformationsvorschrift kann nun Operationen auf komplexen Motiven ausführen. Die Idee der Transformation ist inspiriert von den Arbeiten des D'Arcy Wentworth Thompson^[1].

70 Jahre, 100 Jahre. Je mehr Zeit verging, je größer die Anzahl poten­tieller Sammlungskandidaten wurde, je ausgefeiltere Zielkonstruktio­nen und damit auch irgendwann einmal mögliche Produkte am Horizont erschienen, umso mehr und mehr erhärtete sich der Verdacht einer langsam aufkeimenden Betriebsblindheit in Tat und Wort. Greifen wir im Gestaltungsalltag, sollte es so etwas überhaupt geben, nicht laufend und ständig auf prominente Vergangenheit zu, wahren und bewahren Geschichte, Kunst und Wissen. Ist es nicht auch unsere Aufgabe das vielfältige, kulturelle Erbe in den Archiven, Sammlungen, Museen und Bibliotheken zu erschließen, ins öffentliche Bewusstsein zu bringen und präsent zu halten. Ist nicht das ganze Wissenschaftsgebäude ein einziges großes Museum? Alleine mein Bücherregal ein einziges Labor, das sich der Vergangenheit bedient. Mit dem Anspruch gelegentlich auch so etwas wie Zukunftstechnik hervorzubringen. Das Museum also ist hier. War immer hier. Direkt hinter mir. Die plötzliche Idee und Vorstellung in meinem eigenen Museum zu sitzen, war so schrecklich folgerichtig und real, wie sie letztendlich banal und ordinär ist. Dennoch brauchte ich einen längeren Moment, um diese kleine Wahrheit zu verdauen. Jetzt, in der Gegenwart dieser Zeilen fühlt sich der Schreck sogar wohlig an. Das Museum ist hier. Na gut, es wäre viel präsenter, wenn es nicht diese elenden Schlupf gäbe, das jedes Bücherregal auf dieser Welt aufweist.Ähnlich wie Socken aus der Waschmaschine neigen Bücher aus Regalen zu verschwinden, sich in eine Art Staub aufzulösen, in irgendwelches Gewöll, das man viel zu selten vom Regal wischt oder saugt; letzteres auch nur selten, weil ich natürlich um die vielen eingelegten Kleinigkeiten fürchte, die guten Büchern, zerlesen, beackert bekritzelt und gefranst, anhaften oder einliegen. Nicht jeder hört das gerne, aber zumindest meine Bücher mag bestimmt kein anderer mehr haben später und erben schon gar nicht. So werden sie zu langdienenden persönlichen Freunden, die dann mit mir zusammen gehen und bis dahin zu mit zusätzlichen, zeitgeistigen Informationen beladenen Ratgebern. Aber manche verschwinden vor ihrer Zeit, vor meiner Zeit. Meistens ist dieses Verschwinden der Bücher eine schmerzliche Entdeckung und ein brutales Plötzlich, das sich erst nach umständlichen Suchen hinter den ersten Buchreihen - wer hat schon den Luxus einreihiger Bücherregale - in Resignation verwandelt um dann zu solidieren. Einer dieser schmerzlichen Verluste ist das Buch „Über Wachstum und Form" aus dem Jahre 1982, im englischen Original „ON GROWTH AND FORM by D'Arcy Wentworth Thompson^[2], in einer ersten Auflage von 1917.

„Über Wachstum und Form" erwarb ich aus der Ramsch- und Krabbelkiste eines kleinen Buchladens gegenüber PANDASOFT in der Uhlandstraße, nahe der TU Berlin als Mängelexemplar. PANDASOFT. Damals, Mitte der 80er Jahre war keineswegs klar, welche Programmiersprache das Rennen macht und dann überleben würde. Werst heute stelle ich mir diese interessante Frage, denn wer dachte damals an so etwas wie (Computer-) Sprachensterben? Im technischen Bereich kannten wir Studenten in den 70er Jahren ja nur FORTRAN. Programmieren bedeutete damals noch Lochkarten stanzen. Sehr lustig, so ein Stapel Pappe mit Programm. Mein erster eigener „programmierbarer" Taschenrechner war ein Gerät von Texas Instruments; an der Uni benutzten wir am Fachgebiet „Bionik und Evolutionstechnik" zu dieser Zeit - es muss 1981 gewesen sein - den programmierbaren HP 25 mit UPN (umgekehrt polnische Notation, von der heute keiner mehr weiß, was damit wohl gemeint sein könnte: UPN?) mit fast 50! Programmschritten. Der HP 25 war zu dieser Zeit eine absolute Ansage, aber für einen Studenten unerschwinglich teuer. Die neunundvierzig Programmschritte reichten tatsächlich aus, eine vollständige Optimierungsstrategie nach dem Vorbild der biologischen Evolution (Namensgeber des Fachgebiets), zu implementieren. In Maschinensprache natürlich. Der erste eigene PC mit 086-Prozessor ein paar Jahre später, konnte unter DOS unterschiedliche Programmiersprachen verarbeiten. Eine Version TURBO-PASCAL „hielt" etwa ein Jahr, dann musste man wieder zu PANDASOFT. Solch ein Ausflug kostete etwa ein Monats- BAFÖG oder das Semesterkontingent für Bücher. Je nachdem. Diesmal befand sich außer den wirklich wunderbaren Handbüchern von Borland und den etlichen 5 % Zoll-Disketten für den Compiler selbst, ein wahrer Schatz in der Schultasche: „Über Wachstum und Form". Damals, immerhin siebzig Jahre nach seiner ersten Veröffentlichung, war D'Arcy Thompsons Buch für mich eine Offenbarung. Ist doch der junge Horizont derart beschränkt, so hatte ich damals den Ursprung aller Bionik, jener Wissenschaft der Übertragung biologischer Phänomene in Technik, in der West­Berliner Ackerstraße verortet. Wo anders als im Wedding der 80er Jahre sollte er denn auch sonst gewesen sein? D'Arcy Thompson aus der Wühlkiste des kleinen Buchladens, bereitete der bis dahin rückfragenlos gehegten Einfalt des Wissensgebietes ein plötzliches und fulminantes Ende. Es kommt wie ein Schlag: „Nach diesem Buch hast Du Stoff für die nächsten dreißig Forschungsjahre und den totalen und absoluten Hunger auf alles was mit Wissen" beginnt". Und zwar genau jetzt; oder um es mit den Worten der alten Dame in Harry und Sally^[3] aus jener Zeit zu sagen: „I'll have what he's having". Ja, das trifft es wohl am besten. Du musst es haben.

Das gesamte Werk D'Arcy Thompsons ist wunderbar und vom Typ: Will-Haben, doch am meisten beeindruckte mich der Abschnitt „THE THEORIE OF TRANSFORMATIONS!" [Ch. XVII] in „ON GROWTH AND FORM". Mit meiner Bewunderung stehe ich nicht alleine da. Natürlich nicht. In einer Rede zum 150ten Geburtstag D'Arcy Thompsons heißt es: „Perhops the most fomous imoges from On Growth ond Form' ore the tronsformotions. D'Arcy showed thot gross voriotion in form between reloted species could be modeled by the consistent deformotion ofosheet."

In unzähligen Veröffentlichungen, insbesondere in zu jener Zeit äußerst populären Chaos-Theorie durfte das weltberühmte Bildchen Thompsons Transformation eines Fischs keinesfalls fehlen (siehe stellvertretend: Spektrum der Wissenschaft. GEO Sonderausgabe Chaos und Fraktale^[4], und Geo Wissen 08 "Chaos - Kreativität^[5] " und man mag sich schwindliglesen in eine vergangene Zeit.

CHAOS & KREATIVITÄT: Selbst organisiert sich die Welt - unvorhersagbar, aber doch gesetz­mäßig - es offenbart sich uns eine Fülle von Natur. Wenn der Wind dem Meer rund um ein ko­lumbianisches Pfahldorf Wellenmuster aufprägt, wenn Berge,Bäume und Gesellschaften Strukturen ausbilden - stets folgen sie universalen Geset- zen,denen die Chaos-Forscher auf der Spur sind KOSMOS: Ein ordentliches Chaos - im Spiel der kosmischen Kräfte wird aus Chaos Ordnung geboren. Alle Materie im Weltraum ist penibel in Hierarchien geordnet - vom Atomkern bis zur Galaxis. Eine Reise durch alle Größenordnungen des Alls enthüllt ein selbstähnliches Universum MYTHEN: Das schöpferische Spiel - viele Religionen glauben, dass die Welt dem Chaos entwuchs. Bei uns jedoch standen die Kreativität des Ungeplanten, das göttliche Spiel, der wirbelnde Tanz bis vor kurzem im Geruch der Unvernunft.

MAGAZIN: Expedition ins Reich der Fraktale - im Panoptikum der Chaos-Forschung sitzt des Apfel­Männchen der dynamischen Systeme neben dem Computer, der "glaubt", überlastet zu sein. Tornados wirbeln im Laborgefäß, und Bronchien enthüllen ihre "fraktale" Struktur, während vertonte Übergänge von Chaos zu Ordnung erklingen: Wettervorhersage: im Winde verwehen die Prognosen, Chemie: das Ballett der Moleküle, Medizin: hab Chaos im Herzen, Hören: wenn die Tonleiter steigt und steigt, Experimente: dem Chaos die gewünschte Richtung geben, Computernetzwerke: wenn alle gleichzeitig den Vorteil wittern,

BIOLOGIE: Der gezähmte Zufall - die unendliche Vielfalt des Lebens basiert auf der kreativen Wiederholung relativ simpler Grundmuster.

Dieses "fraktale" Prinzip der Selbstähnlichkeit findet sich in den Zellen von Pflanzen wie im Gefieder von Vögeln.

ÖKOLOGIE: Wenn Räuber Opfer ihrer Beute werden - Flamingos stehen, einer rosaroten Wolke gleich,in einem See und suchen ihre Futter.

Auch hier gilt die Regel vom Fressen und Gefressenwerden, hinter der sich "determinis­tisches Chaos" verbirgt - ein Schlüssel zum Verständnis ökologischen Reichtums?

EVOLUTION: Am Anfang war der Hyperzyklus - der Nobelpreisträger Manfred Eigen postuliert: das Leben ist durch Selbstorganisation entstanden. Im Zentrum seiner Theorie steht der "Hyper­zyklus", eine Gemeinschaft kooperierender Moleküle. Nun werden Teile seines Modells im Labor überprüft

ALLTÄGLICHES: Chaos regiert die Welt - frakta- ler Schaum in der Badewanne, Hurrikane in der Kaffeetasse, Wirbel im Marmorkuchen und Ziga­rettenrauch: die Wissenschaft schickt sich an, die Regeln des Chaos zu entdecken. Und wer mag, kann diese Gesetze überall am Werke sehen SOZIOLOGIE: Die unvernünftige Gesellschaft - ist eine Planung der Gesellschaft möglich?

Schon die Vorstellung findet der Bielefelder Soziologe Niklas Luhmann naiv. Komplexe soziale Systeme wie die "Wirtschaft" oder die "Politik" reagieren auf die Umwelt, indem sie sich selbst beobachten. Mit diesen Thesen zur Selbstorganisation der Gesellschaft hat der "Forscher mit dem Zettelkästchen" wütende Reaktionen seiner Kollegen auf sich gezogen...

Die Sache mit der Erzeugung von Zufall und Zufallszahl spielte natürlich auch bei den Evolutionsexperimenten mit dem HP25 eine gewichtige Rolle. Nicht vorhersagbar, aber doch gesetzmäßig. Plötzlich war sie da, die artifizielle Evolution. Entstand das biologische Leben auf unserem Planeten nicht in einer unermesslichen Vielfalt an Form, Gestalt und Funktion. Die Resultate der natürlichen Evolution, die Gepasstheit (fitness) biologischer Wesen und ihre bis an die Grenzen des physikalisch Möglichen optimierten Formen und Funktionen, sind das Motiv Mechanismen der biologischen Entwick­lung als eine Methode zu verstehen, die auch zur Konditionierung künstlicher Systeme taugt. Evolution ist, auf einer abstrakten Ebene betrachtet, die Entwicklung der unbelebten und belebten Natur aus ihren innewohnenden Gesetzmäßigkeiten heraus. Als semantisches Grundschema der Evolution ist ein diskretes Repertoire Vokabular erkennbar. Künstliche (Technik-) Evolution arbeitet mit der essentiellen Semantik der biologischen Evolution und wendet das biologische Evolutionsschema auf mathematisch modellierbare Optimierungsaufgaben an. In einem einfachsten Szenario werden zunächst Kopien eines artifiziellen Startsystems erstellt (Mutation). Zufällige Modifizierungen führen auf eine Schar von Varianten des Elter-Systems (Variation). MUTANTEN und ELTER bilden ein gemeinsames Selektionsensemble. In jeder Generation werden alle Variationen des aktuellen ELTER mittels einer Zielfunktion bewertet und die QUALITÄT aller Systeme ermittelt. Aus der Schar bewerteter Systeme wird ein neuer, aktueller ELTER für die folgende Generation erwählt: ELEKTION. Mit der VARIATION dieses Elter-Systems setzt sich die Kampagne fort. Auf diese Weise steigt die Qualität des Ensembles von GENERATION zu Generation, bzw. fällt nicht hinter die des aktuellen ELTER zurück. Mit dem HP25 war plötzlich die Wahrscheinlichkeitsrechnung der Mathematikvorlesung ganz einfach und irgendwie sogar lebendig: Gesucht ist eine Gesamt­wahrscheinlichkeit, die sich aus einzelnen bekannten Wahr­scheinlichkeiten zusammensetzt. So saßen wir Studenten um diesen großen Tisch im Labor für Bionik und Evolutionstechnik in der Ackerstrasse, Berlin Wedding. West-Berlin, 1981.

Und Würfelten. Mit dem HP25. Bei den Wahrscheinlichkeiten ist es wie bei den Wirkungsgraden. Werden bei der verbalen Formulierung der Aufgabe die einzelnen Wirkungsgrade (Wahrscheinlichkeiten) durch „und" verbunden, müssen rechnerisch die Wirkungsgrade (Wahrscheinlichkeiten) multipliziert werden. Ist der Wirkungsgrad des Getriebes 50% und der Wirkungsgrad des Verbrennungsmotors 20% ist der Gesamtwirkungsgrad 10% (weil 0.5 X 0.2 = 0.1). So auch bei unseren Zufallszahlen. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 6 zu würfeln und dann nochmals eine 6 zu würfeln ist 1/6 mal 1/6 = 1/36. Die Wahrscheinlichkeit 3 Mal hintereinander eine 6 zu würfeln ist 1/6 mal 1/6 mal 1/6 = 1/216. Werden bei der verbalen Formulierung der Aufgabe die einzelnen Wahrscheinlichkeiten durch „oder" verbunden, müssen rechnerisch die Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Also die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel 6 Augen oder 5 Augen zu würfeln ist dann 1/6 plus 1/6 = 2/6 = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 oder ein 5 oder eine 4 oder eine 3 oder ein 2 oder einel zu würfeln ist dann 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 1. Die Wahrscheinlichkeit, keine 4 zu würfeln, ist gleich der Wahrschein­lichkeit eine 1 oder eine 2 oder eine 3 oder eine 5 oder eine 6 zu würfeln, und das ist 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 5/6 = 1 -1/6. Die Wahrscheinlichkeit, keine 2 oder keine 3 zu würfeln, ist gleich der Wahrscheinlichkeit eine 1 oder eine 4 oder eine 5 oder eine 6 zu würfeln, und das ist 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 1 - (eine 2 oder eine 3 zu würfeln) = 1 - (1/6 +1/6) = 1 - 2/6. Professor Rechenberg brachte diese sehr wichtige Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie Theorie so auf den Punkt: „Zwei völlig verschiedene Verteilungen der artifiziellen Mutationen (gleichmäßig am Kugelrand und gleichmäßig im Kugelvolumen) ergeben für viele Variable n das gleiche Ergebnis. Das heißt, es lohnt sich nicht, über Vor- und Nachteile verschiedener Mutationsverteilungen zu sinnieren. Feststellung: Evolutionsbefür­worter und Evolutionsgegner streiten über die Rolle des Zufalls in der Entwicklung des Lebens. Evolutionsbiologen sehen im Zufall den großen „Macher", Kreationisten ziehen die Kraft des Zufalls ins Lächerliche. Tatsache ist: Der Zufall spielt bei weitem nicht die Rolle, wie es die Kontroverse erwarten lässt. Der Zufall ist in der Evolutionsstrategie nur eine besonders einfacher Stichprobengene­rator. Es muss etwas Neues probiert werden und dabei jegliches „Vorurteil" (Bevorzugung einer bestimmten Richtung) vermieden werden. Auch ein deterministischer Stichprobengenerator könnte diese Bedingungen erfüllen. Der Pseudozufallszahlengenerator ist ein solcher deterministischer Stichprobengenerator, der sich besonders einfach programmieren lässt. Nur wer an eine mystische Kraft des Zufalls glaubt wird seine Mutationen mit einem Quantengenerator erzeugen.

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^[1] D'Arcy Wentworth Thompson (* 2. Mai I860 in Edinburgh; + 21. Juni 1948 in St Andrews) war ein britischer Mathematiker und Biologe. Thompson wird häufig der „erste Biomathematiker" genannt. Sein Ruhm gründet sich auf das Buch „On Growth and Form", dessen erste Auflage 1917 erschien (deutsch „Über Wachstum und Form").

^[2] On Growth and Form is a book by the Scottish mathematical biologist D'Arcy Wentworth Thompson (1860-1948). The book is long - 793 pages in the first edition of 1917,1116 pages in the second edition of 1942. D'Arcy Wentworth Thompson's most famous work, On Growth and Form was written in Dundee, mostly in 1915, but publication was put off until 1917 because of the delays of wartime and Thompson's many late alterations to the text. The central theme of the book is that biologists of its author's day overemphasized evolution as the fundamental determinant of the form and structure of living organisms, and underemphasized the roles of physical laws and mechanics. https://en.wikipedia.org/wiki/On Growth and Form

^[3] Harry und Sally ist eine Liebeskomödie des Regisseurs Rob Reiner aus dem Jahr 1989 mit Billy Crystal und Meg Ryan in den Hauptrollen. Eine berühmte Szene spielt im Restaurant Katz's Delicatessen in der New Yorker Lower East Side. Harry sagt, ihm könne keine Frau einen Orgasmus Vorspielen, ohne dass er es bemerkt. Sally behauptet das Gegenteil und spielt ihm dies, beobachtet von allen Gästen, eindrucksvoll vor. Nach dem Orgasmusauftritt von Sally verlangt eine ältere Dame am Nebentisch (gespielt von Rob Reiners Mutter Estelle Reiner) beim Kellner „genau das, was sie hatte". Der Satz in der Originalfassung lautet: „I'll have what she's having". Nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Harrv und Sally

^[4] Chaos und Fraktale (1989) von Hartmut Jürgens und Heinz-Otto Peitgen, Verlag: Spektrum Akademischer Verlag, ISBN-10: 3922508545

^[5] http://pngt.de/geo-hefte/geo-wissen-hefte/geo-wissen-heft-08-chaos-kreativitaet.htm