Einführung in die projektive Geometrie. Der Satz von Pappus


Seminararbeit, 2015

29 Seiten, Note: 2,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis ... 2

1. Einleitung ... 4

2. Hinführung zur projektiven Ebene ... 6

2.1 Konstruktion der projektiven Ebene aus der affinen Ebene... 6

2.2 Einführung der Koordinaten der projektiven Ebene P 2 (R)... 9

2.3 Inzidenzstruktur einer projektiven Ebene... 11

2.4 Projektive Räume... 12

3. Das Doppelverhältnis als Invariante projektiver Räume ... 16

3.1 Das Teilverhältnis... 16

3.2 Das Doppelverhältnis... 17

4. Harmonische Punkte ... 23

5. Vollständiges Vierseit ... 25

6. Der Satz von Pappus ... 27

7. Literaturverzeichnis ... 29

1. Einleitung

Stellen Sie sich vor, sie fahren mit ihrem Auto eine „unendlich lange“ Straße entlang und folgen stets mit ihrem Blick den Seitenmarkierungen der Straßen, so scheint es, wie wenn diese aufeinander zulaufen und sich in der „unendlichen Ferne“ treffen (Wahner, 2011). Vergleiche hierzu auch Abbildung 1. Dieser Gedankengang führt zur projektiven Geometrie, auch Geometrie der Lage genannt. Hierbei wird jede Schar von parallelen Geraden um einen sogenannten Fernpunkt ergänzt. Anders gesagt schneiden sich somit alle Geraden.

Abbildung 1: Veranschaulichung des Fernpunkts paralleler Geraden

[Abb. in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die projektive Geometrie ist kein Werk aus der Vergangenheit, sondern eines aus der neueren Zeit. Die strukturierte Zusammenfassung und Weiterbildung von Begriffen und Sätzen der projektiven Geometrie brachten eine ganz neue Sorte geometrischer Forschung hervor. Jedoch wurde die projektive Geometrie als eigenständige Disziplin erst im 19. Jahrhundert etabliert (Koecher & Krieg, 2007).

Auch kann man sagen, „dass die Tochter, die projektive Geometrie, von ihrer Mutter, der griechischen oder Euklidische Geometrie, immer unabhängiger wurde und schließlich geradezu in einen gewissen Gegensatz zu ihr trat“ (Zacharias, 1951, S. 5). Zum einen weisen bei Euklid alles Figuren eine gewisse Starre und Unbeweglichkeit auf, bei der projektiven Geometrie bewegen sich die Elemente. Zum anderen ist ein großer Unterschied, dass es bei der euklidischen Geometrie eine endliche Zahl der Bestandteile einer Figur ist und die projektive Geometrie beschäftigt sich mit unendlich vielen Punkten. Das heißt, dass der Geometer aus der Moderne danach strebt allgemeiner und weitumfassendere Sätze und Beziehungen aufzustellen im Gegensatz zu dem Interesse des griechischen Geometers (Zacharias, 1951).

Der Grundgedanke der projektiven Geometrie ist es den dreidimensionalen Raum, so wie er optisch von uns wahrgenommen wird, perspektivisch ohne Fehler im zweidimensionalen darzustellen.

Eine Motivation sich mit der projektiven Geometrie zu beschäftigen, ist die Untersuchung von Geraden. Es ist uns bereits bekannt, dass sich in jeder affinen Ebene des Rn zwei verschiedene Geraden schneiden oder parallel liegen. Geht man diesem Ansatz nun nach, so ist das Ziel der projektiven Geometrie, eine affine Ebene um unendlich ferne Punkte auszudehnen, damit sich auch zwei parallele Geraden stets im Unendlichen schneiden.

2. Hinführung zur projektiven Ebene

2.1 Konstruktion der projektiven Ebene aus der affinen Ebene

Da die affine Ebene Teil unseres Vorwissens ist, soll die projektive Ebene anhand dieser erklärt bzw. konstruiert werden. Dazu folgen nun die einzelnen Schritte auf dem Weg von der affinen Ebene über den reellen Zahlen ¡ hin zur projektiven Ebene über den reellen Zahlen R.

[...]

Ende der Leseprobe aus 29 Seiten

Details

Titel
Einführung in die projektive Geometrie. Der Satz von Pappus
Hochschule
Universität Regensburg
Note
2,3
Autor
Jahr
2015
Seiten
29
Katalognummer
V428870
ISBN (eBook)
9783668731301
ISBN (Buch)
9783668731318
Dateigröße
1177 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
einführung, geometrie, satz, pappus
Arbeit zitieren
Anna Weigele (Autor), 2015, Einführung in die projektive Geometrie. Der Satz von Pappus, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/428870

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