System versus Gegenstandsbezug oder kann die Mengenlehre auf Dauer der Anschauung ausweichen?

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Gegenstandsbezug und Anwendungsorientierung
2.1 Anschauung und Gegenstand
2.2 Anschauung im Widerstreit
2.2.1 Logizismus
2.2.2 Pragmatismus
2.3 Naturalismus und Prozess

3 Anschauung und Mengenlehre
3.1 Naivität, Paradoxien und Antinomien
3.2 Axiomatische Mengenlehre
3.3 Konstruktive Mengenlehre
3.3.1 Zwiespältige mathematische Erfahrungen
3.3.2 Zum Weder-Noch von Unendlichkeit und Endlichkeit
3.3.3 Zählen und Diskurs

4 Fazit und Ausblick

5 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Der berühmte Unvollständigkeitssatz von Gödel, demzufolge in hinreichend starken formalen Systemen notwendig Aussagen existieren, die weder beweisbar noch unbeweisbar sind^[1], spielt für die moderne Mathematik kaum eine Rolle. Man möchte meinen, jener Satz hätte das Potential, einen Grundlagenstreit permanent brennen zu lassen, einen Grundlagenstreit, der die Formalisierung und Axiomatisierung der Mathematik wiederum angreift, etwa im Namen eines verlorengegangenen Gegenstandsbezuges.

Nun, gerade die Anwendungen sind kaum an einem Grundlagenstreit interessiert, solange die Mathematik als Hilfswissenschaft effektiv bleibt und das tut sie offensichtlich: Flugzeuge und Raketen fliegen, Tunnel und Brücken stürzen relativ selten ein, wen kümmert da noch die Frage, ob das Unendliche existiert? Ohne Zweifel ist die Mathematik effektiv darin, „im anschaulichen Kontinuum verborgene Eigenschaften des Kontinuierlichen [...] zu erfassen.“^[2] Das Unendliche aber ist schon ein integraler Begriff im Raum der reellen Zahlen. In diesem Sinne dürfte die Rede von der Mathematik als einer axiomatischen Wissenschaft heute schlicht Gemeinplatz sein; die konventionelle oder fast schon traditionelle Definition der Zahl ist dann eben genau das, was die Axiome in sich logisch vorgeben. Ein Intervall zwischen zwei natürlichen Zahlen beispielsweise umfasst so gemäß dem Vollständigkeitsaxiom unendlich viele reelle Zahlen usw. Schon eher in Vergessenheit dürfte dabei geraten, dass die Zahl in der Mathematik erst um die Wende zum 20. Jahrhundert die Größe abgelöst hat; und dies bezeichnenderweise zum in etwa gleichen Zeitpunkt, an dem der Siegeszug der Mengenlehre, an sich also einer Theorie des Unendlichen, begann. Die Mengenlehre aber wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu einem umfassenden Aussagerahmen für die gesamte Mathematik überhaupt.^[3]

Wenn wir die Grundlagen der Mathematik zu denken versuchen, ist eine Position relativ außerhalb der Mathematik als solche sicherlich gerechtfertigt. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist dieses Außerhalb die Geschichte dieser Wissenschaft. Wenn der Grundlagenstreit, der im Titel der Arbeit beschworen wird, in der gegenwärtigen Mathematik auch kaum Bedeutung hat, so ist er doch in der nicht allzu fernen Geschichte, genauer in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts mit allem gehörigen Eifer und Schillern gefochten worden.

Wegweisend für die heutigen Selbstverständlichkeiten ist hierbei bestimmt der Wiener Kreis, der jede Metaphysik strikt ablehnte und schon eher die Axiomatik der Mathematik der Philosophie zugrunde legen wollte, als philosophische Fragen die Systematik mathematischer Aussagen anfechten zu lassen.^[4] Ausgefochten wurde dieser Grundlagenstreit aber nicht; zum einen mag die Fragestellung zu groß sein, um je abschließend zu den Akten gelegt zu werden, zum anderen aber, und dies scheint der Arbeit ausschlaggebend, dürfte ein gewisser Pragmatismus der Anwendung (s. oben) jene Selbstverständlichkeiten massiv unterstützen.

Die Arbeit geht jedoch weiter in der Geschichte zurück, und zwar bis zu Kants Philosophie der Mathematik, die heute den Meisten wohl als überholt gilt. Johannes Lenhard hat hier jüngst eine Studie vorgelegt, die Kants Begriff der Anschauung aktualisieren will. Entscheidend ist an dieser Stelle, dass Kant den Gegenstandsbezug in der Mathematik früh als problematisch versteht, jenen aber mit dem Begriff der Anschauung auch retten will.^[5]

Die Arbeit zeichnet so in ihrem ersten Abschnitt (Kap. 2) Lenhards Position nach und versucht diese zu werten. In diesem Zusammenhang wird Kants Begriff der Anschauung als Überwindung und Rettung des Gegenstandsbezuges dargestellt (Kap. 2.1) und im Für und Wider unterschiedlicher Rezeptionen erörtert (Kap. 2.2). Schließlich referiert und diskutiert die Arbeit dann Lenhards Aktualisierung (Kap. 2.3). Der zweite Abschnitt der Arbeit (Kap. 3) befasst sich des Weiteren mit der Mengenlehre im Speziellen. Sie ist es, die den Widerstreit zwischen Gegenstand und System zugunsten des Letzteren entschieden hat. Die Arbeit wird hier etwas ausführlicher auf die geschichtliche Herausbildung der Mengenlehre, als sog. naiver (Kap. 3.1), axiomatischer (Kap. 3.2) und konstruktiver (Kap. 3.3) eingehen, um diese Behauptung zu veranschaulichen, fragt dabei aber auch, ob es in der mathematischen Auseinandersetzung Ansatzpunkte für Lenhards Position gibt. Hat die Mengenlehre also die Mathematik ein für alle Mal den Zumutungen des Gegenstandes entrissen oder kehrt jener, in Verkleidung vielleicht, doch zurück?

2 Gegenstandsbezug und Anwendungsorientierung

2.1 Anschauung und Gegenstand

Kants Kritik der reinen Vernunft ist von einem starken inneren Zusammenhalt zwischen Erkenntnistheorie einerseits sowie Mathematik und Naturwissenschaften anderseits geprägt. Ein überaus wichtiger, bei näherem Hinsehen aber auch schillernder, Begriff ist hierbei die Anschauung. Alle synthetischen Urteile sind von ihr abhängig, Urteile a priori beruhen auf der reinen Anschauung, Urteile a posteriori auf der empirischen.^[6] Das Schillern der Anschauung, - die Arbeit wird unten versuchen, etwas davon im Rahmen unterschiedlicher Interpretationen einzufangen, - stammt wohl zum Großteil daher, dass dem Begriff eine zentrale Rolle dabei zukommt, eben die Welt im Erkenntnissubjekt zusammenzuhalten.^[7] Schon die empirische Anschauung ist in diesem Sinne ein Sammelbegriff aller unmittelbaren Objektbezüge, die Abstraktion des Gegenstandsbezuges von Denken schlechthin:

„Auf welche Art und durch welche Mittel sich auch immer eine Erkenntnis auf Gegenstände beziehen mag, so ist doch diejenige, wodurch sie sich auf dieselbe unmittelbar bezieht, und worauf alles Denken als Mittel abzweckt, die Anschauung.“^[8]

Die reine Anschauung wiederum beschreibt Formen der Erkenntnis, wie Raum oder Zeit die den empirischen, gewissermaßen materialen, Erkenntnissen vorgegeben sind:^[9]

„Der Raum ist kein diskursiver, oder, wie man sagt, allgemeiner Begriff von Verhältnissen der Dinge überhaupt, sondern eine reine Anschauung. Denn erstlich kann man sich nur einen einigen Raum vorstellen, und wenn man von vielen Räumen redet, so versteht man darunter nur Teile eines und desselben alleinigen Raumes.“^[10]

Lenhard schlägt vor, die Unterscheidung von empirischer und reiner Anschauung fallen zu lassen, eine „Differenzierung, auf die man in einem semiotischen Sinne verzichten könnte.“ Was übrig bleibt, ist dann „die Anschauung generell, in ihrer objektkonstituierenden Funktion“^[11]. Insbesondere für die Philosophie der Mathematik betont Lenhards Interpretation dabei das Moment der Konstruktion in der Anschauung.^[12] Kant selbst spricht von der mathematischen Konstruktion im Allgemeinen, und der geometrischen im Speziellen, die sich analytisch im Raum der reinen Anschauung bewegt, dabei aber zu synthetischen Urteilen gelangt und im Übrigen wenig mit philosophisch-begrifflichem Denken gemein hat:

„Man gebe einem Philosophen den Begriff eines Triangels und lasse ihn nach seiner Art ausfindig machen, wie sich wohl die Summe seiner Winkel zum rechten verhalten möge. Er hat nun nichts als den Begriff von einer Figur, die in drei geraden Linien eingeschlossen ist […]. Nun mag er diesem Begriffe nachdenken, so lange er will, er wird nichts Neues herausbringen. Er kann den Begriff der geraden Linie oder eines Winkels oder der Zahl drei zergliedern und deutlich machen, aber nicht auf andere Eigenschaften kommen, die in diesen Begriffen gar nicht liegen. Allein der Geometer nehme diese Frage vor. Er fängt sofort davon an, einen Triangel zu construiren. Weil er weiß, daß zwei rechte Winkel zusammen gerade so viel austragen, als alle berührende Winkel, die aus einem Punkte auf einer geraden Linie gezogen werden können, zusammen, so verlängert er eine Seite seines Triangels und bekommt zwei berührende Winkel, die zwei rechten zusammen gleich sind. Nun teilt er den äußeren von diesen Winkeln, indem er eine Linie mit der gegenüberstehenden Seite des Triangels parallel zieht, und sieht, daß hier ein äußerer berührender Winkel entspringe, der einem inneren gleich ist, u.s.w. Er gelangt auf solche Weise durch eine Kette von Schlüssen, immer von der Anschauung geleitet, zur völlig einleuchtenden und zugleich allgemeinen Auflösung der Frage.“^[13]

In gewissem Sinne kommt Kant hier einem Verständnis der Mathematik als axiomatischer Wissenschaft durchaus sehr nahe (s. auch Kap. 2.2.2). Ebenso wie von der Philosophie gilt es dabei die Mathematik von der Empirie abzugrenzen:

„Nun ist dieses nicht anders möglich, als daß ich meinen Gegenstand nach den Bedingungen entweder der empirischen Anschauung, oder der reinen Anschauung bestimme. Das erstere würde nur einen empirischen Satz (durch Messen seiner Winkel), der keine Allgemeinheit, noch weniger Nothwendigkeit enthielte, abgeben, und von dergleichen ist gar nicht die Rede. Das zweite Verfahren aber ist die mathematische und zwar hier die geometrische Construction, vermittelst deren ich in einer reinen Anschauung eben so wie in der empirischen das Mannigfaltige, was zu dem Schema eines Triangels überhaupt, mithin zu seinem Begriffe gehört, hinzusetze, wodurch allerdings allgemeine synthetische Sätze construiert werden müssen.“^[14]

Dieser Art also akkumuliert der Mathematiker nach Kant Bestimmungen eines mathematischen Begriffs. Er fasst, so Lenhard, verschiedene „Erfahrungen [...], die wir in Mathematisierungsprozessen gewonnen haben“^[15], zusammen. Er synthetisiert sie.

Im Rahmen einer Grundlegung der Geometrie etwa lasse sich die gerade Linie so denken, die andernfalls axiomatisch uninterpretiert bleibe. In dieser Interpretation ist Kant darum bemüht zu bestimmen, wie der Mathematiker sein Objekt konstituiert, in moderner Sprache: wie er zur Erkenntnis der Axiome gelangt.^[16]

Ausgangspunkt für Kants Philosophie der Mathematik ist jedenfalls der Gegenstand, in Kants Beispiel also das Dreieck. Die mathematische Konstruktion im Rahmen der reinen Anschauung sei, so Lenhard, für Kant „Wissensgarantin“, sie erhalte „eine legislative Funktion“ im Erkenntnisprozess. Wiederum in moderner Sprache rekurriert Kant damit aber auch auf apriorische Intuition, bindet die Mathematik so an die Erkenntnistheorie und lässt sie synthetische Sätze bilden, anstatt sie als rein analytische Wissenschaft sich gleichsam sich selbst zu überlassen.^[17]

Während die Abgrenzung der mathematischen Konstruktion von der Empirie demnach einen naiven Gegenstandsbezug überwindet, rettet die apriorische Intuition zugleich den Gegenstandsbezug und damit die Einheit von Erkenntnis überhaupt.

2.2 Anschauung im Widerstreit

2.2.1 Logizismus

Aus dem Gesagten folgt, dass nach Kant für die mathematische Methode die reine Anschauung im Zentrum des Interesses steht. Charakterisiert ist sie primär durch Singularität und Unmittelbarkeit.^[18] Sie sichert dieser Art den Bezug zum Gegenstand intuitiv. Für Michael Friedman jedoch ist ein derartiger Rekurs nicht nötig, weder in einem technischen Sinn, - worin ihm auch Lenhard Recht gibt,^[19] - noch im Sinne einer Begründung. Letztere nämlich könnte auch im Rahmen der modernen Logik rein analytisch erfolgen. Der Rekurs auf die intuitive Anschauung sei damit überholt.^[20]

„However, since general logic, for Kant, is given basically by Aristotelian syllogistic, there is no room, on his conception, for a purely conceptual representation of progressive iteration in mere general logic: pure intuition (and therefore transcendental logic) must be called in.“^[21]

Es liegt allerdings auf der Hand, dass das Problem der Begründung damit lediglich in die Logik verschoben wird. Lenhard^[22] weist in diesem Zusammenhang darauf hin, dass im logizistischen Programm eines Bertrand Russels etwa hierbei durchaus Widersprüchlichkeiten aufbrechen. Einerseits nämlich ist Russel sehr wohl um Objektivität und Realität bemüht. Russel fasst hierbei, wie Lenhard formuliert, „Existenz in einem realistischen Sinn“^[23] auf. Man könnte also auch sagen: er geht hinter Kant zurück.

„Logic, I should maintain, must no more admit a unicorn than zoology can; for logic is concerned with the real world just as truly as zoology, though with its more abstract and general features.“^[24]

Andererseits jedoch gelingt Russel die Begründung der Existenz unendlich vieler Zahlen mithilfe der Mengenlehre nur unter der Annahme des Axioms der Unendlichkeit, dass gefordert werden muss, also hypothetisch bleibt.^[25] Man könnte Russel mithin auch unterstellen, dass er selbst zu einer apriorischen Begründungsstruktur greift.^[26]

Eine frühe Antwort auf die logizistische Position stammt von Ernst Cassirer. Cassirer würdigt und anerkennt dabei die moderne Logik wie auch ihre Kritik am klassischen Denken.^[27] Wie Friedman wirft auch Cassirer den Begriff der Anschauung als Begründungsstruktur über Bord:

„Die Elemente, die wir anfänglich der Anschauung entnehmen, müssen immer schärfer zergliedert, sie müssen immer vollständiger in reine begriffliche Definitionen aufgelöst werden […]. So bedeutet die Anschauung […] doch nicht den eigentlichen Wahrheitsgrund der Theoreme. Sie ist vielmehr gleichsam ein letzter, unaufgelöster Rest, der der weiteren gedanklichen Zerlegung und Bearbeitung harrt; sie ist das Ziel, das unserer reinen logischen Begriffsbildung den Weg anzeigt.“^[28]

Die mathematische Methode rekurriert also nur bedingt, gewissermaßen rein technisch, auf apriorische Intuition; Letztere bildet sozusagen einen Ausgangspunkt, der logisch-analytisch eingeholt werden muss. Umgekehrt jedoch verteidigt Cassirer Kants Philosophie der Mathematik, indem er die Bedeutung der Konstruktion herausstreicht. Die Bedeutung der Anschauung erschöpft sich für ihn dann allerdings in dieser Bestimmung der Methode:

„Daß die Definitionen der Mathematik der reinen Anschauung entstammen, das bedeutet hier nur, daß sie nicht, wie die ‚diskursiven‘ Begriffe der formalen Logik, […] abstrahiert sind, sondern in einem völlig bestimmten, einzigartigen Akt der Konstruktion ihren Ursprung haben.“^[29]

Lenhard erachtet hieran als problematisch, dass die Frage des Gegenstandsbezuges nicht erst in einer vorgelagerten Erkenntnistheorie virulent wird, sondern sich bereits im Raum der Mathematik selbst stellt. Während für Cassirer mathematische Begriffe „ihre Funktion und ihre berechtigte Anwendung lediglich innerhalb der Erfahrungswissenschaft selbst“^[30] haben, formuliert Lenhard in diesem Sinne:

„Das Anwendungsproblem stellt sich aber unseres Erachtens nicht erst der ‚Erkenntniskritik‘, sondern bereits in der Mathematik selbst. Selbst die reinste Mathematik operiert mit (zeichenhaften) Objekten, und ihre Überlegungen wenden sich nicht von selbst auf diese Zeichen an.“^[31]

2.2.2 Pragmatismus

Auch Ulrich Majer reduziert den Begriff der Anschauung in seiner Apologie desselben, allerdings nicht auf dessen methodischen Gehalt, sondern auf dessen pragmatische Funktion.^[32] Majer ist es auch, der, wie oben (Kap. 2.1) bereits angemerkt, Kants Begrifflichkeit mit moderner mathematischer Axiomatik zusammen denkt. Im Speziellen zieht Majer hier Parallelen zwischen Kant und einem der Begründer der axiomatischen Mathematik, nämlich David Hilbert. In Analogie zu Hilberts finitem System von Axiomen, der sog. Metamathematik, einerseits und dessen idealen Elementen andererseits unterscheidet Majer so zwischen der primären finiten Anschauung und der idealen. Erstere stellt eine Art Sammelbegriff für diverse Fähigkeiten dar, das Finite operativ zu handhaben.^[33]

Das Axiomensystem benötigt aber mehr an Absicherung, „weil wir mit den transfiniten Axiomen den Bereich des anschaulich Finiten verlassen und – zu den unendlichen, nur noch gedanklich zu fassenden Einheiten übergehen.“^[34] Hier kommt die ideale Anschauung ins Spiel. Kants regulative Ideen teilen mit den idealen Elementen Hilberts nämlich vor allem die einheitsstiftende Funktion.^[35] In diesem Zusammenhang stellt Majer dann fest,

„daß die idealen Elemente – ebenso wie die Ideen – keine unmittelbar anschauliche, d.h. auf Gegenstände bezogene, sondern nur eine ‚symbolische‘ Bedeutung haben, welche den Bereich des anschaulich Finiten transzendiert“.^[36]

Die Unmittelbarkeit geht also verloren und mit ihr auch die, bei Kant insgesamt zu spürende, Dringlichkeit den Gegenstandsbezug zu wahren. Man könnte vielleicht formulieren, dass mit Majers Projekt, Kants regulative Ideen mit moderner Axiomatik zusammen zu denken, die Einheit der Welt letztlich doch verloren geht, - oder zumindest schwächer wird, - zugleich aber die einheitsstiftende Funktion des Erkenntnissubjekts eine gewisse Überlastung erfährt.

Man könnte auch unterstellen, dass Kants regulative Ideen bei Majer zu einer Art anthropologischen Ausbuchstabierung von Hilberts Axiomatik verkommen. Insofern die Begründungsstruktur deutlich schwächer ausfällt als bei Kant selbst, wird Transzendentalphilosophie dieser Art eben zur puren Pragmatik, die nötig ist, um auch das Infinite zu begründen.

2.3 Naturalismus und Prozess

Lenhards eigene Aktualisierung des Anschauungsbegriffs stützt sich auf Jaakko Hintikkas semiotische Kantinterpretation. Ebenso wie Lenhard betont Hintikka nämlich den Prozess der mathematischen Beweisführung:

„Kant’s characterisation of mathematics as based on the use of constructions has to be taken to mean merely that, in mathematics, one is all the time introducing particular representatives of general concepts and carrying out arguments in terms of such particular representatives, arguments which cannot be carried out by the sole means of general concepts.“^[37]

Allgemeine Konzepte, sprich: ein Axiomensystem, reichen also nicht aus; vielmehr erfolgt die mathematische Beweisführung anhand konkreter partikularer Repräsentationen jener Konzepte. Lenhard formuliert: „partikulare Repräsentation macht die allgemeinen Objekte der Mathematik anschaulich zugänglich und verfügbar.“^[38]

Wie oben (Kap 2.1) schon angeschnitten, interpretiert Lenhard die Synthesis der Mathematik, also den Umstand, dass die Mathematik nach Kant synthetische Urteile fällt, als eine „ Zusammenfassung verschiedener Erfahrungen [...], die wir in Mathematisierungsprozessen gewonnen haben“^[39].

Die Pointe von Lenhards Interpretation liegt im Urteil der vorliegenden Arbeit nun genau darin, dass sie im Namen einer Anwendungsorientierung die konkrete Fassung der Anschauung dem mathematischen Erkenntnisprozess selbst anheimstellen will. Anwendungsorientierung bedeutet nach Lenhard eine Aufwertung sowohl der Prozesshaftigkeit mathematischer Erkenntnis als auch ihres Gegenstandsbezuges.^[40] Es ist dies also in gewissem Sinn das Gegenteil einer Fixierung, wie sie für Lenhard die anthropologische Interpretation Majers (s. Kap. 2.2.2) darstellt.^[41] Inakzeptabel erscheint ihm des Weiteren eine Auslagerung des Problems etwa im Sinne Cassirers (s. Kap. 2.2.1).^[42]

[...]

^[1] Vgl. Gödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, in: Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), S. 173-198.

^[2] Bedürftig, Thomas/Murawski, Roman: Philosophie der Mathematik. Berlin und Boston, MA: 2012, S. 5.

^[3] Vgl. ebd., S. 4f. und S. 18.

^[4] Vgl. Sigmund, Karl: Sie nannten sich Der Wiener Kreis: Exaktes Denken am Rand des Untergangs. Wiesbaden: 2015.

^[5] Vgl. Lenhard, Johannes: Kants Philosophie der Mathematik und die umstrittene Rolle der Anschauung, in: Kant-Studien 97 (2006), S. 301-317.

^[6] Vgl. ebd., S. 302.

^[7] Vgl. ebd., S. 303.

^[8] Kant, Immanuel: Gesammelte Schriften, Band III: Kritik der reinen Vernunft (2. Aufl. 1787). Berlin: 1911, S. 49 (= AA III, S. 49).

^[9] Vgl. Lenhard: Philosophie, S. 303.

^[10] AA III, S. 53.

^[11] Lenhard: Philosophie, S. 303.

^[12] Vgl. ebd., S. 315f.

^[13] AA III, S. 470f.

^[14] Ebd., S. 472.

^[15] Lenhard: Philosophie, S. 316.

^[16] Vgl. ebd., S. 315f.

^[17] Ebd., S. 310.

^[18] Vgl. Posy, Carl J.: Introduction: Mathematics in Kant's Critique of Pure Reason, in: ders. (Hrsg.): Kant’s Philosophy of Mathematics: Modern Essays. Dordrecht u.a.: 1992, S. 3.

^[19] Vgl. Lenhard: Philosophie, S. 307.

^[20] Vgl. Friedman, Michael: Kant and the Exact Sciences. Cambridge, MA: 1992, S. 56f.

^[21] Ebd., S. 121.

^[22] Vgl. Lenhard: Philosophie, S. 308-311.

^[23] Ebd., S. 309.

^[24] Russell, Bertrand: Introduction to Mathematical Philosophy. New York, NY und Dover: 1993, S. 169.

^[25] Vgl. ebd., S. 131-141; vgl. auch Lenhard: Philosophie, S. 309f.

^[26] Vgl. Lenhard: Philosophie, S. 310.

^[27] Vgl. Cassirer, Ernst: Substanzbegriff und Funktionsbegriff. Berlin: 1910.

^[28] Cassirer, Ernst: Kant und die moderne Mathematik, in: Kant-Studien 12 (1907), S. 29f.

^[29] Ebd., S. 32f.

^[30] Ebd., S. 43.

^[31] Lenhard: Philosophie, S. 312.

^[32] Vgl. ebd., S. 314.

^[33] Vgl. Majer, Ulrich: Hilberts Methode der idealen Elemente und Kants regulativer Gebrauch der Ideen, in: Kant-Studien 84 (1993), S. 51-77; vgl. auch Lenhard: Philosophie, S. 313f.

^[34] Majer: Methode, S. 63.

^[35] Vgl. Lenhard: Philosophie, S. 314.

^[36] Majer: Methode, S. 68.

^[37] Hintikka, Jaakko: Kant on the Mathematical Method, in: Carl J. Posy (Hrsg.): Kant’s Philosophy of Mathematics: Modern Essays. Dordrecht u.a.: 1992, S. 24.

^[38] Lenhard: Philosophie, S. 315.

^[39] Ebd., S. 316.

^[40] Vgl. ebd., S. 315f.

^[41] Vgl. ebd., S. 313.

^[42] Vgl. ebd., S. 315.