Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Dazu sollen zunächst verschiedene Begriffe, auch der des konvexen Polyeders, welche mir als Grundlagen für meine weitere Arbeit dienen, definiert werden. Weiterhin werden verschiedenste Sätze der Polyedergeometrie verwendet, die ebenfalls in den Grundlagen aufgeführt werden. Über die Platonischen Körper, welche die wohl bekannteste Körperklasse darstellen, werde ich dann zu den konvexen Dreieckskörpern –oder auch Deltaedern -gelangen. Die Platonischen Körper werden auch häufig als reguläre konvexe Körper bezeichnet und verfügen insbesondere über zwei Eigenschaften: Sie bestehen zum einen aus regelmäßigen, kongruenten Vielecken und zum anderen ist jede Körperecke identisch aufgebaut. Weitere Körperklassen lassen sich nun durch Weglassen einer dieser Bedingungen finden. Indem man die Bedingung des gleichen Eckenaufbaus weglässt, gelangt man schließlich zu den konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Diese werde ich in dieser Arbeit mathematisch herleiten, bevor ich mittels Konstruktion mithilfe von Körperflächenmodellen einige mathematische Lösungen ausschließen oder bestätigen kann. Für die tatsächlich existierenden konvexen Dreieckskörper werde ich genauere Untersuchungen hinsichtlich ihres Aufbaus vornehmen und anschließend darstellen, wie man durch sukzessives Hinzufügen von Dreiecken von einem konvexen Dreieckskörper zum nächst größeren konvexen Deltaeder (was die Flächenanzahl betrifft) gelangen kann. Diese Untersuchungen und Ergebnisse werde ich vor allem mit Bildern von den Konstruktionen von Körperflächenmodellen darstellen, um sie anschaulich erklären zu können.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Grundlagen
3. Von den Platonischen Körper zu den konvexen Deltaedern
4. Herleitung der konvexen Dreieckskörper
4.1 Konvexe Dreieckskörper mit E3 und E4 Ecken
4.2 Konvexe Dreieckskörper mit E3 und E5 Ecken
4.3 Konvexe Dreieckskörper mit E3, E4 und E5 Ecken
4.4 Warum existiert kein 18-Flächner?
5. Aufbau der konvexen Deltaeder
5.1 Tetraeder
5.2 Trigonale Dipyramide
5.3 Oktaeder
5.4 Pentagonale Bipyramide
5.5 Trigondodekaeder
5.6 Dreifach gekapptes Prisma
5.7 Dreifach gekapptes Antiprisma
5.8 Ikosaeder
6. Übergange zwischen den konvexen Deltaedern
6.1 Vom Tetrader zur Triangularen Bipyramide
6.2 Von der triangularen Bipyramide zum Oktaeder
6.3 Vom Oktaeder zur pentagonale Bipyramide
6.3.1 Die Bipyramiden
6.4 Von der pentagonalen Bipyramide zum Trigondodekaeder
6.5 Vom Trigondodekaeder zum dreifach gekappten Prisma
6.6 Vom Dreifach gekappten Prisma zum dreifach gekappten Antiprisma
6.7 Vom dreifach gekappten Antiprisma zum Ikosaeder
7. Ausblick
8. Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die Bachelorarbeit untersucht konvexe Polyeder, die ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken bestehen (Deltaeder). Das primäre Ziel ist die mathematische Herleitung dieser Körperklassen sowie ihre praktische Konstruktion mittels Flächenmodellen, um Abhängigkeiten und Übergangsmechanismen zwischen den Körpern zu visualisieren und zu verstehen.
- Grundlagen der Polyedergeometrie und Definition von Deltaedern.
- Mathematische Herleitung der Existenzgrenzen für konvexe Deltaeder.
- Systematischer Aufbau der acht bekannten konvexen Deltaeder.
- Analyse der Übergänge und konstruktiven Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Deltaedern.
- Widerlegung der Existenz eines konvexen 18-Flächners.
Auszug aus dem Buch
4 Herleitung der konvexen Dreieckskörper
Die Platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder werden im Folgenden aufgrund der weiteren Überlegungen zu den konvexen Dreieckskörpern gezählt.
Die Oberfläche eines konvexen Dreieckskörpers – oder auch Deltaeders, wobei die Benennung nach dem griechischen Buchstaben Delta, welcher die Form eines solchen Dreiecks besitzt - besteht ausschließlich aus F gleichseitigen Dreiecken. Ein Dreieck hat drei Seiten oder in diesem Fall Kanten, die dann allerdings doppelt gezählt werden. Für K gilt somit: 2K = 3F oder umgeformt K = 3F/2.
Daraus lässt sich schon folgern, dass F eine gerade Zahl >2 sein muss, da 3F durch 2 teilbar ist. Konvexe Deltaeder haben also eine gerade Anzahl von Flächen. Da weiterhin bekannt ist, dass mindestens drei Flächen zum Bilden einer Polyederecke vorhanden sein müssen, bestehen konvexe Deltaeder aus mindestens vier Flächen. Das kleinste konvexe Deltaeder ist somit das Tetraeder mit F= 4 Flächen. Außerdem kann eine Polyederecke aus maximal fünf Dreiecken bestehen, da die Summe der Ebenen Winkel mit sechs Dreiecken an einer Ecke gleich 360° wäre und eine Ebene bilden würde. Somit ist das größte konvexe Deltaeder das Ikosaeder mit F= 20 Flächen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Thematik der konvexen Polyeder und Definition der Zielsetzung der Arbeit.
2. Grundlagen: Erläuterung der geometrischen Definitionen und grundlegenden Sätze wie dem EULERschen Polyedersatz.
3. Von den Platonischen Körper zu den konvexen Deltaedern: Herleitung der Deltaeder durch das Abschwächen der Bedingungen für Platonische Körper.
4. Herleitung der konvexen Dreieckskörper: Mathematische Begründung der existierenden Deltaeder-Anzahl und Beweise für nicht existierende Körper.
5. Aufbau der konvexen Deltaeder: Detaillierte Vorstellung der acht existierenden konvexen Deltaeder von Tetraeder bis Ikosaeder.
6. Übergange zwischen den konvexen Deltaedern: Beschreibung der konstruktiven Möglichkeiten, von einem Deltaeder durch Hinzufügen von Dreiecken zum nächsten zu gelangen.
7. Ausblick: Diskussion über weitere Körperklassen durch Veränderung der Bedingungen und Aufgabe der Konvexität.
8. Zusammenfassung: Zusammenfassende Betrachtung der erzielten Ergebnisse hinsichtlich Herleitung und Klassifizierung von Deltaedern.
Schlüsselwörter
Konvexe Polyeder, Deltaeder, Platonische Körper, Dreiecksflächen, Eckenvalenz, EULERscher Polyedersatz, Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, Triangulare Bipyramide, Trigondodekaeder, Geometrische Konstruktion, Kanten, Flächenanzahl, Polyedergeometrie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit konvexen Polyedern, die ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken bestehen, den sogenannten Deltaedern.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Herleitung der möglichen Deltaeder, ihre geometrischen Eigenschaften und die systematische Konstruktion dieser Körper.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, die Existenz konvexer Deltaeder zu beweisen, die acht spezifischen Deltaeder zu identifizieren und die Übergänge zwischen ihnen konstruktiv zu erklären.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Neben der mathematischen Herleitung mittels EULERschem Polyedersatz und Widerspruchsbeweisen erfolgt die praktische Erarbeitung durch Körperflächenmodelle.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Körper, die detaillierte Beschreibung jedes einzelnen Deltaeders und die Darstellung der Übergangsmechanismen zwischen diesen Körpern.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Deltaeder, Eckenvalenz, konvexe Polyeder, EULERscher Polyedersatz und geometrische Konstruktion.
Warum existiert kein konvexes Deltaeder mit 18 Flächen?
Die Arbeit zeigt mittels eines Widerspruchsbeweises unter Einbeziehung der Ecken- und Kantenanzahl, dass ein 18-Flächner die geometrischen Anforderungen an die Konvexität nicht erfüllen kann.
Wie lassen sich die Übergänge zwischen Deltaedern beschreiben?
Die Übergänge erfolgen meist durch das Aufklappen von Kanten und das Einfügen von zwei zusätzlichen Dreiecken, um zum nächstgrößeren Körper zu gelangen.
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- Magnus Düe (Author), 2015, Konvexe Dreieckskörper in der Mathematik. Herleitung und Eigenschaften, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/429337
