Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit der Funktionenschar f(x)=(e^x+ae^(-x))/(b(e^x+e^(-x) )+c). Dabei werde ich auf deren Verbindung zu den hyperbolischen Funktionen, oder auch Hyperbelfunktionen genannt, namens Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus eingehen. Zudem habe ich an einer Kurvendiskussion mit der Betrachtung aller Fälle von a,b und c zur oben genannten Funktion gerechnet.
f (x) ist eine Funktionenschar, die für diese Seminararbeit erfunden wurde. Dabei ist aufgefallen, dass in Spezialfällen der Sinus Hyperbolicus, der Kosinus Hyperbolicus und der Tangens Hyperbolicus auftreten können. Das führte zu der Betrachtung der Hyberbelfunktionen, ihrer Eigenschaften, ihrer Definition und ihrer Anwendung in der realen Welt.
Bei der Bearbeitung der Kurvendiskussion ist mir jedoch aufgefallen, dass angefangen bei dem Monotonieverhalten und der ersten Ableitung von f (x) immer mehr Fälle von a, b und c dazu kamen. So werde ich die Monotonie nur ein wenig betrachten. Das Krümmungsverhalten und die zweite Ableitung, das unbestimmte Integral oder auch die Umkehrfunktion, falls es eine gibt, werde ich nicht berechnen, da es Rahmen und Zeit der Seminararbeit um ein Vielfaches sprengen würde. Die Graphen zu den Termen konnte ich mit Hilfe des kostenlosen erhältlichen Programms „Mathe-Grafix“ erstellen und in dieser Seminararbeit verwenden.
Die Arbeit wird so aufgebaut sein, dass ich zuerst auf die Hyperbelfunktionen näher eingehen werde. Danach gehe ich auf die Definitionsmenge, Nullstelle, Symmetrie und die Grenzwerte an der Definitionsmenge bei allen möglichen Fällen von f (x) ein. Bei der Monotonie habe ich drei Fälle gerechnet und ausgewertet.
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung
II. Die Hyperbelfunktionen
1. Kosinus Hyperbolicus (cosh(x))
2. Sinus Hyperbolicus (sinh(x))
3. Tangens Hyperbolicus (tanh(x))
4. Zusammenhang zwischen hyperbolischen Funktionen, Hyperbel und trigonometrischen Funktionen
5. Anwendung der hyperbolischen Funktionen
III. Kurvendiskussion
1. Definitionsmenge.
2. Nullstellen
3. Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge
4. Symmetrie
5. Monotonie
IV. Nachwort
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit zielt darauf ab, die Eigenschaften einer selbst definierten dreiparametrigen Funktionenschar zu untersuchen und deren mathematische Verbindung zu den klassischen Hyperbelfunktionen aufzuzeigen. Dabei wird systematisch analysiert, wie sich die Variation der Parameter auf das Kurvenverhalten auswirkt.
- Herleitung und Analyse der Hyperbelfunktionen (sinh, cosh, tanh)
- Vergleich der Eigenschaften hyperbolischer und trigonometrischer Funktionen
- Methodische Kurvendiskussion einer allgemeinen Funktionenschar
- Bestimmung von Definitionsbereichen, Nullstellen und Grenzwerten
- Untersuchung von Monotonieverhalten in ausgewählten Parameterkonstellationen
Auszug aus dem Buch
1. Kosinus Hyperbolicus (cosh(x))
Die Funktion für des Kosinus Hyperbolicus ist: cosh (x) = (e^x + e^-x) / 2
Dies bedeutet, wenn man von unserer Funktionenschar f_abc(x) = (e^x + ae^-x) / (b(e^x + e^-x) + c) ausgeht, dass a = 1, b = 0 und c = 2 ist.
Zusammenfassung der Kapitel
I. Einleitung: Vorstellung der Funktionenschar und Erläuterung der Zielsetzung, die Hyperbelfunktionen zu analysieren und eine Kurvendiskussion der Schar durchzuführen.
II. Die Hyperbelfunktionen: Mathematische Herleitung und detaillierte Untersuchung der Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens Hyperbolicus sowie deren Bezug zur Geometrie.
III. Kurvendiskussion: Durchführung einer umfassenden mathematischen Analyse der allgemeinen Funktionenschar unter Variation der Parameter a, b und c.
IV. Nachwort: Reflektion über den Erkenntnisgewinn während der Arbeit und Einordnung der Ergebnisse in den mathematischen Kontext.
Schlüsselwörter
Hyperbelfunktionen, Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus, Funktionenschar, Kurvendiskussion, Kettenlinie, Mathematik, Exponentialfunktion, Analysis, Monotonie, Grenzwerte, Symmetrie, Parameterdiskussion, Analysis 1
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich mit der Analyse einer dreiparametrigen Funktionenschar und deren enger Verwandtschaft zu den hyperbolischen Funktionen.
Welche Funktionen stehen im Fokus?
Die Arbeit behandelt schwerpunktmäßig den Sinus Hyperbolicus, den Kosinus Hyperbolicus und den Tangens Hyperbolicus.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, die Eigenschaften dieser Funktionen herzuleiten und eine allgemeine Kurvendiskussion für die entworfene Funktionenschar durchzuführen.
Welche mathematischen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden klassische Methoden der Kurvendiskussion angewandt, wie die Bestimmung von Nullstellen, Grenzwerten, Symmetrien und der Monotonie mittels Ableitungen.
Was deckt der Hauptteil der Arbeit ab?
Der Hauptteil gliedert sich in die detaillierte theoretische Untersuchung der Hyperbelfunktionen und die anschließende praktische Anwendung der Parameterdiskussion auf die Funktionenschar.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die wichtigsten Schlagworte sind Hyperbelfunktionen, Exponentialfunktionen, Kurvendiskussion und Parameteranalyse.
Wie beeinflussen die Parameter a, b und c die Funktionenschar?
Die Variation der Parameter bestimmt die Form der Funktion, wobei in Spezialfällen die klassische Kettenlinie oder hyperbolische Standardfunktionen als Graphen entstehen.
Warum ist die „Kettenkurve“ für diese Arbeit relevant?
Die Kettenkurve dient als praxisnahes Anwendungsbeispiel, da sie physikalisch bei frei hängenden Seilen auftritt und mathematisch direkt mit dem Kosinus Hyperbolicus verknüpft ist.
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- Jonas Roser (Author), 2015, Einführung in die Hyperbelfunktionen und Diskussion einer dreiparametrigen Funktionenschar, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/429829
