Prozent- und Zinsrechnung. Mathematischer Einblick, Erklärung und Beispiele


Hausarbeit, 2018
16 Seiten, Note: 1,3

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Abkürzungsverzeichnis

2. Einleitung

3. Geschichtliche Entwicklung
3.1 Entwicklung der Prozent- und Zinsrechnung
3.2 Entwicklung des Prozentzeichens

4. Begriff Prozent

5. Prozentrechnung
5.1 Theoretische Grundlagen
5.2 Grundbegriffe der Prozentrechnung
5.2.1 Grundwert
5.2.2 Prozentsatz
5.2.3 Prozentwert
5.3 Die drei Grundformeln
5.3.1 Berechnung des Grundwertes
5.3.2 Berechnung des Prozentsatzes
5.3.3 Berechnung des Prozentwertes
5.4 Der Dreisatz
5.5 Verhältnisgleichung

6. Zinsrechnung
6.1 Grundbegriffe der Zinsrechnung
6.1.1 Zinsen
6.1.2 Grundbegriffe für die Zinsrechnung
6.2 Formeln der Zinsrechnung
6.2.1 Berechnung des Jahreszins
6.2.2 Berechnung des Monatszins
6.2.3 Berechnung des Tageszins
6.2.4 Berechnung der Zinstage
6.3 Zinseszins

7. Fazit

8. Literaturverzeichnis

Kurzzusammenfassung

In dieser Arbeit werden die grundlegenden Fakten zum Thema Prozente und Prozentrechnung aufgeführt und erklärt. Zu Beginn gibt es eine geschichtliche Einordnung dieses mathematischen Themengebietes. Dabei wird aufgeführt, wann das erste Mal Prozentrechnung angewendet wurde und woher der Begriff Prozent überhaupt stammt. Im Anschluß werden die wichtigsten Grundbegriffe der Prozentrechnung erläutert, bis hin zur eigentlichen Prozentrechnung. Der Rechenprozess wir über die allgemeine Grundformel und deren Umstellung, sowie über den Dreisatz und die Verhältnisgleichung erklärt.

Die Zinsrechnung wird, als eine Sonderform der Prozentrechnung, im Schlussteil der Arbeit aufgeführt. Dabei wird der Begriff Zinsen definiert, genau wie die wichtigsten Grundbegriffe und deren Zusammenhang mit der Prozentrechnung. Die Berechnung des Jahres-, Monats- sowie Tageszinses und die des Zinseszins bilden den Schluß der Arbeit.

Abstract

This scientific work shows the basic facts of percentage. At first you get an introduction to the history of percentage. When was the first first historical reference or who use the term percent first at first? These questions are answered. Also the most important basic concepts of percentage will be explained. You get an review of the basic formula, the rule of three and the relationship equation.

In the final part are shown some facts about interest and calculation of interest. The calculation of interest is related to percentage. At the end this scientific work shows the calculation of daily interest rate, monthly interest rate, APR1 and compound interest.

1. Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Einleitung

„Ich gebe immer 100%!“, „Er hat einen Gutschein, mit dem er 10% Nachlass erhält.“ oder „Ich habe nur noch 30% Akku.“ Wer kennt diese Aussagen nicht? Das Gebiet der Prozente und Prozentrechnung ist ein wichtiges Thema in der Mathematik und auch im Alltag. Die Alltagsrelevanz dieses mathematischen Teilgebietes begegnet den Menschen in Gesprächen, in Zeitungen oder auch in Nachrichtensendungen. Genau aus diesem Grund nimmt die Prozentrechnung auch im Mathematikunterricht eine wichtige Rolle ein.

Der Ausdruck in Prozent kann in vielerlei Hinsicht verwendet werden. Die Angabe in Prozent stellt Verhältnisse auf, sie ist ebenfalls ein Maß oder auch ganz einfach und allgemein gesehen, eine Zahl. So ist 1% nichts anderes als die Zahl 0,01. Mit dieser Arbeit soll nicht nur einen Einblick in die Prozent- und Zinsrechnung gegeben werden, sondern auch kurz die geschichtliche Entwicklung beleuchtet, die Notwendigen Grundbegriffe geklärt und versucht werden, eine Definition dafür zu geben, was Prozente sind.

3. Geschichtliche Entwicklung

3.1 Entwicklung der Prozent- und Zinsrechnung

Die älteste Forme der Prozentrechnung entstand vermutlich um ca. 2100 v. Chr. in Babylon. Die Babylonier gaben zu jener Zeit bereits Zinsen auf bestimmte Waren. Die Zinssätze dafür, waren in Form einfacher Brüche. Lieh sich beispielsweise jemand Getreide, so konnte der Zinssatz der geliehenen Menge an Getreide sein. Das bedeutete, dass das geliehene Getreide in 3 gleiche Teile zerlegt wurde und als Zinsen war die Menge zu zahlen, welche einem der 3 Teile entsprach. Dies könnte man als früheste Form der Prozent- und Zinsrechnung ansehen, obwohl es sich nur um additive Verfahren handelt, welche lediglich auf der Äquivalenz von Mengen beruhen. Im späteren Verlauf der Geschichte, von ca. 300 bis 200 v. Chr., tauchten auch Berechnungen von Zinsen und Zöllen auf, welche bereits auf dem Nenner 100 beruhen und somit der Prozentrechnung entsprechen.2

Ab dem 13. Jahrhundert wurden Zinsangaben in Italien zunehmend mit dem Nenner 100 notiert. Die Bezeichnung Prozent wird ebenfalls vom italienischen percento abgeleitet. Das bedeutet übersetzt pro hundert. Die frühste Aufzeichnung des Begriffes percento stammt aus dem Jahr 1481.3

Ab ca. 1860 hat sich die Prozentrechnung dann zu ihrer endgültigen Form entwickelt, in welche wir sie heute noch gebrauchen.4

3.2 Entwicklung des Prozentzeichens

Das Prozentzeichen „%“ stammt ebenfalls aus Italien. Ursprünglich verwendete man die Worte pro cento. Diese verschmolzen jedoch mit der Zeit immer mehr zu Abkürzungen wie p. c., p. cento oder auch p 100. Im 19. Jahrhundert wurde die Symbolschreibweise mit dem schrägen Bruchstrich, wie es zu dieser Zeit üblich war, eingefügt „%“.5

4. Begriff Prozent

Um die Prozentrechnung besser verstehen zu können, sollte man im Vorfeld klären, was man unter dem Begriff Prozent überhaupt versteht. Eine allgemeine Definition „Ein Prozent ist …“ gibt es leider nicht, da sich Prozente nicht eindeutig einordnen lassen. Hier sind 4 mögliche Deutungen dafür, was Prozent sein kann:

1. Prozent ist eine Zahl: eine Prozentangabe ist nichts anderes als ein Bruch, welcher am Ende in einer Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Prozent ist eine statische Angabe oder Funktion: man kann zwar eine Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandeln, jedoch geht dies umgekehrt nicht.

z. B. 6,5 könnte man, ohne eine Bezugsgröße, nicht in eine Prozentzahl umwandeln

3. Prozent als intensive quantity: dabei geht man davon aus, dass sich bestimmte Größen in Verhältnisse zueinander setzen, wie beispielsweise km/h oder m/s. Die Prozente lassen sich auch in solche Verhältnisse einordnen. z. B. 20% von 100% bzw. 20% / 100%

4. Prozent als Bruchteil oder Verhältnis: bei einem Bruchteil ist es wichtig, dass die

Prozentsätze nicht größer als 100 % sind und bei einem Verhältnis muss gegeben sein, dass W kleiner um p% ist als G.

z. B. ein Bruchteil ist ein kleiner Teil von etwas, so sind 30% auch nur ein Teil vom Ganzen

Man kann also keine eindeutige Antwort auf die Frage geben, was Prozent nun genau ist. Es gibt eine Vielzahl an Deutungen und Beschreibungen aber keine allgemein gültige Definition. Was man jedoch sagen kann ist, dass alle Interpretationen eine Relation zwischen zwei Größen als Grundlage haben.6

5. Prozentrechnung

5.1 Theoretische Grundlagen

Die Prozentrechnung befasst sich mit dem Rechnen mit Prozenten. Prozente geben ein Verhältnis zwischen zwei Größen in Hundertsteln an. Eine Prozentangabe erkennt man an dem „%“ hinter der Zahl. Spricht man von 1% so bedeutet das ein Hundertstel oder als Dezimalzahl 0,01. Teilt man eine Prozentzahl durch 100 ergibt dies die jeweilige Dezimalzahl. Eine Prozentangabe wird dafür verwendet um einen Anteil an etwas Ganzen anzugeben.

Man könnte sagen, dass das Prozentzeichen auch als Division durch 100 verstanden werden kann. Ein Wert x Prozent kann somit auch als x Hundertstel gesehen werden. Mit folgender Formel soll dies veranschaulicht werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setz man in diese Formel nun den Zahlenwert 60 ein, sieht es wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.2 Grundbegriffe der Prozentrechnung

Grundlegend für Prozentrechnung sind in allen Formeln die Begriffe Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert. Bei jeder Prozentrechnung spielen diese eine wichtige Rolle. Die beiden Begriffe Prozentwert und Grundwert haben immer dieselbe Einheit. Der Prozentsatz ist hingegen eine einfache Zahl. Diese drei Begriffe stehen in einem festen Zusammenhang zueinander. Ausgehend von einer Aufgabenstellung ist zum Beispiel der Grundwert, der Prozentwert oder auch der Prozentsatz gesucht.

5.2.1 Grundwert

Der Grundwert ist meistens benannt mit beispielsweise Euro (€), Kilogramm (kg), Meter (m) oder Ähnlichem. Der Grundwert entspricht 100 Hundertsteln, also dem Ganzen oder 100%. Der Grundwert steht in folgendem Zusammenhang mit dem Prozentwert W und dem Prozentsatz p7:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.2.2 Prozentsatz

Der Prozentsatz ist die Angabe eines Teils von 100. Es sagt aus, wie viel Prozent, also wie viel Hundertstel man von etwas ermitteln will. Die Formel für den Prozentsatz sieht wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.2.3 Prozentwert

Der Prozentwert ist ein Teil des Ganzen, also ein Teil des Grundwertes. Das bedeutet, dass der Grundwert und der Prozentwert immer die gleiche Einheit haben. W kann kleiner oder auch größer als G sein. Der Prozentwert errechnet sich nach folgender Formel:

Prozentwert = Grundwert * Prozentsatz

W = G * p

5.3 Die drei Grundformeln

Wie bereits im obern Teil erwähnt, spielen die Größen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert eine wichtige Rolle bei der Prozentrechnung. Je nach Aufgabe und Sachverhalt wird eine dieser Größen berechnet. Im Grunde geht man von einer Verhältnisgleichung aus, welche man nach der gesuchten Größe umstellt. Diese Verhältnisgleichung lautet wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Genaueres zur Verhältnisgleichung im Punkt 5.5 Verhältnisgleichung. Hat man in einer Aufgabe 2 Werte gegeben, so kann man diese Verhältnisgleichung einfach zur gesuchten Größe umstellen.

5.3.1 Berechnung des Grundwertes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dieser Formel kann man den Grundwert berechnen. Angenommen eine Aufgabe würde lauten: Von welchem Gewicht sind fünf kg vier Prozent?, dann würde man die gegebene Werte einfach in die Formel einsetzen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Grundwert immer die gleiche Einheit wie der Prozentwert haben muss, wäre das Ergebnis 125 kg.8

5.3.2 Berechnung des Prozentsatzes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

So lautet die Formel für die Berechnung des Prozentsatzes. Der p wird immer in Prozent angegeben. Würde man folgende Aufgabe lösen wollen: Wieviel Prozent sind vier km von 20 km?, dann müsste man die Werte nur einsetzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesem Fall würden wir einen Prozentsatz von 20 % erhalten.9

5.3.3 Berechnung des Prozentwertes

Bei der Berechnung des Prozentwertes soll eine Menge ermittelt werden, welche äquivalent zu einer Teilmenge des Grundwertes ist. Diese Rechenweise stimmt mit der Vorgehensweise der Babylonier grundlegend überein. In unserem Fall wird eine Menge in 100 gleiche Teile aufgeteilt und der gewünschte Anteil wird äquivalent abgemessen. Man könnte also sagen, dass die Berechnung des Prozentwertes die älteste Formel ist.

Prozentwert = Grundwert * Prozentsatz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Beispiel hierfür wäre die folgende Aufgabe: WievieleÄpfel sind 30% von 120Äpfeln? Auch hier setzt man nun die gegeben Zahlenwerte in die oben stehende Formel ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Prozentwert hat die gleiche Einheit wie der Grundwert und somit ist das Ergebnis 36 Äpfel.10

5.4 Der Dreisatz

Neben den drei Grundformeln gibt es noch weitere Möglichkeiten der Prozentrechnung. Eine Möglichkeit ist der Dreisatz. Mit dem Dreisatz kann, auch über die Prozentrechnung hinaus, aus drei gegebenen Größen eine vierte Größe errechnet werden. Die einzige Voraussetzung ist, dass die Größen proportional zueinander sind. Die Vorgehensweise erklärt an einem Beispiel zur Berechnung des Prozentsatzes:

„Ich habe 80,-€. Wieviel Prozent davon sind 24,-€?“

Erster Schritt: Finden und Aufschreiben der gegebenen Größen

80,-€= 100%

Zweiter Schritt: man muss von der „Vielheit“ auf die „Einheit“ schließen

80,-€= 100%

1,-€= 1,25%

Dritter Schritt: mann muss die „Einheit“ nun auf die neue „Vielheit“ umrechnen

1,-€= 1,25%

24,-€= 30%

[...]


1 annual percentage rate

2 Parker, Melanie, Leinhardt, Gaea (Hg.), Percent: A Privileged Proportion, in: Review of Educational Research 65, American Educational Research Association, 1995, S. 431-432.

3 Parker, Melanie, Leinhardt, Gaea (Hg.), Percent: A Privileged Proportion, in: Review of Educational Research 65, American Educational Research Association, 1995, S. 432.

4 ebd., S. 434.

5 Tropfke, Johannes (Hg.), Geschichte der Elementar-Mathematik, 4. Auflage, Berlin: de Gruyter, 1980, S. 531.

6 Parker, Melanie, Leinhardt, Gaea (Hg.), Percent: A Privileged Proportion, in: Review of Educational Research 65, American Educational Research Association, 1995, S. 445.

7 Bibliographisches Institut, Schüler-Mathematikduden, Band 1, 3. Auflage Mannheim: 1972.

8 Weber, Manfred; Dommermuth, Thomas; Hauer, Michael, Kaufmännisches Rechnen, 2. Auflage, Freiburg: Haufe Lexware Gmb H & Co. KG, 2012,S. 22-24.

9 Weber, Manfred; Dommermuth, Thomas; Hauer, Michael, Kaufmännisches Rechnen, 2. Auflage, Freiburg: Haufe Lexware Gmb H & Co. KG, 2012, S. 22-24.

10 ebd, S. 22-23.

Ende der Leseprobe aus 16 Seiten

Details

Titel
Prozent- und Zinsrechnung. Mathematischer Einblick, Erklärung und Beispiele
Hochschule
Universität Erfurt
Veranstaltung
Algebraische und arithmetische Grundbegriffe
Note
1,3
Autor
Jahr
2018
Seiten
16
Katalognummer
V432566
ISBN (eBook)
9783668745391
ISBN (Buch)
9783668745407
Dateigröße
562 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Mathe, Prozentrechnung, Zinsrechnung, Zinsen, Prozente, Mathematik, Dreisatz, Zinseszins, Zins, Verhältnisgleichung, Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz, Zinssatz, Jahreszins, Tageszins, Monatszins, Zinstag
Arbeit zitieren
Sascha Kästner (Autor), 2018, Prozent- und Zinsrechnung. Mathematischer Einblick, Erklärung und Beispiele, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/432566

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