Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
1) Grunddaten
2) Anwendung
a) Umfang- und Flächenberechnung eines Kreises mit Pi
b) Berechnung am Zylinder
c) Berechnung am Kegel
d) Berechnung an der Kugel
3) Geschichte der Kreiszahl Pi
a) in der Bibel
b) in der Antike
c) heutzutage
4) Eine „Sportart“: Berechnung/Auswendiglernen der Nachkommastellen von Pi
5) Rekorde und Kuriositäten
6) Literatur- und Quellenverzeichnis
1) Grunddaten
Die Kreiszahl wird mit dem griechischen Buchstaben π bezeichnet, der für die unendliche unperiodische Dezimalzahl π = 3,14159... steht. Er beschreibt das Verhältnis zwischen Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Pi wird wie folgt definiert, wobei mehrere gleichwertige Definitionen möglich sind:
- „das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
- die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.“ 1
Folgende sind die ersten 100 Nachkommastellen von π:
„π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …“ 1
2) Anwendung
Die Kreiszahl π ist sehr wichtig für Umfang-, Flächen- und Raumberechnungen bei kreisförmigen Flächen bzw. Körpern.
a) Umfang- und Flächenberechnung eines Kreises mit Pi
„Umfang- und Flächeninhalt eines Kreises lassen sich mit Hilfe des Durchmessers oder des Radius berechnen.
- Kreisumfang
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Kreisumfang U ist ungefähr dreimal so groß wie der Durchmesser d des Kreises.
- Kreisfläche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Kreisfläche A ist ungefähr dreimal so groß wie das Quadrat über dem Radius r des Kreises
Exakter berechnet man den Kreisumfang und die Kreisfläche mit der Kreiszahl π.
U = π · d
A = π · r2 '' 2
b) Berechnung des Zylindervolumen (mit der Höhe h)
V = r2πh“ 3
c) Berechnung des Kegelvolumen (mit der Höhe h)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 4
d) Berechnung des Kugelvolumen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3) Geschichte der Kreiszahl Pi
Die Kreiszahl π war auch schon bei den Griechen von großem Interesse. Schon zu dieser Zeit haben die Wissenschaftler versucht, die Kreiszahl so genau wie möglich zu bestimmen. Dabei kamen sie jedoch nur bis zu wenigen Nachkommstellen. Denn erst in jüngerer Zeit, nachdem Rechner und Computer erfunden worden waren, hatte man die Möglichkeit, diese unendliche Dezimalzahl auf tausende, sogar Millionen Nachkommastellen genau zu bestimmen.
a) in der Bibel (altes Testament)
Die ersten Anfänge, den Wert von π zu schätzen, waren in der Bibel. Im 2. Buch der Chronik, 4.2, in dem es sich um die Erbauung eines Wasserbeckens vor einem Tempel durch König Salomo handelte, steht folgender Spruch:
„Dann machte er das ‚Meer’. Es wurde aus Bronze gegossen, maß zehn Ellen von einem Rand zu anderen, war völlig rund und fünf Ellen hoch. Eine Schnur von dreißig Ellen konnte es rings umspannen.“5
Daraus folgt als grobe Näherung für π: 30:10=3
b) in der Antike
Im antiken Griechenland wurde dann alles viel genauer. Wie oben erwähnt waren in der Antike vor allem die Griechen sehr daran interessiert, π so genau wie möglich zu bestimmen. Da es zu dieser Zeit jedoch keinerlei Hilfsmittel wie Rechner oder gar Computer gab, war das recht schwierig und aufwendig. Wissenschaftler wie Archimedes versuchten, die ersten paar Nachkommastellen von π zu berechnen. Dafür wurden folgende Methoden angewendet:
Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er versuchte, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen.
Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu dem für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Ergebnis, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Archimedes kam über den Bruch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzu der Näherung 3,141635.“5
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten6
Auch weitere Wissenschaftler der Antike haben mit ähnlichen Methoden die Kreiszahl näherungsweise berechnet. Dafür folgt hier eine Karte:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 7
c) heutzutage
Mit Hilfe von Computern und modernen Rechnungsverfahren war es seit Mitte des 20. Jahrhunderts möglich, π auf mehrere Millionen Nachkommastellen zu bestimmen. Mit den heutigen Hilfsmitteln ist es prinzipiell möglich, π immer genauer zu bestimmen.
Dazu mehr unter dem Kapitel „Eine ,Sportart’: Berechnung/Auswendiglernen der Nachkommastellen von Pi“
4) Eine „Sportart“: Berechnung/Auswendiglernen der
Nachkommastellen von Pi
Wie oben schon erwähnt, ist es heute möglich, π so genau wie möglich zu bestimmen. Viele Wissenschaftler haben daraus auch ihre eigene „Sportart“ entwickelt, nämlich
[...]
1 http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
2 Arno Lergenmüller/Günter Schmidt (Hrsg.): Mathematik Neue Wege 2. Arbeitsbuch für Gymnasien. 1. Auflage, Braunschweig 2005.
3 http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
4 http://www.mathematik-wissen.de/der_kegel.htm
5 Arno Lergenmüller/Günter Schmidt (Hrsg.): Mathematik Neue Wege 2. Arbeitsbuch für Gymnasien. 1. Auflage, Braunschweig 2005.
6 http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
7 Schmid, August: Lambacher Schweitzer 6, 1. Auflage, Stuttgart 1998