In der vorliegenden Facharbeit habe ich mich mit dem Thema numerische Integration beschäftigt. Ich habe mich für dieses Thema entschieden, da ich in der Vergangenheit ein Referat über die keplersche Fassregel im Matheunterricht gehalten habe und mich das Thema sehr interessiert hat. Da die keplersche Fassregel zur Numerischen Integration gehört, beschloss ich, die numerische Integration zum Thema meiner Facharbeit zu machen. Ich werde aufzeigen, was die numerische Integration ist, die verschiedenen numerischen Integrationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale, wer diese Verfahren entdeckte, wofür sie genutzt werden und welche Herleitungen dahinter stecken.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1 Einführung
1.2 Materialbeschaffung
1.3 Vorwort zur Numerischen Integration
2. Numerische Integration
2.1 Sehnentrapezregel
2.1.1 Herleitung
2.1.2 Anwendung
2.2 Tangententrapezregel
2.2.1Idee
2.2.2 Anwendung
2.3 Simpson-Regel
2.3.1 Biografie von Simpson
2.3.2 Idee von Simpson
2.3.3 Anwendung
2.4 Keplersche Fassregel
2.4.1 Biografie von Kepler
2.4.2 Idee von Kepler
2.4.3 Anwendung
3 Schlusswort
4 Literatur- und Quellenverzeichnis
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Facharbeit untersucht verschiedene Verfahren der numerischen Integration, um Flächeninhalte unter Funktionsgraphen näherungsweise zu bestimmen, wenn keine Stammfunktion gebildet werden kann oder deren Ermittlung zu aufwendig ist.
- Grundlagen der numerischen Integration
- Analyse der Sehnentrapez- und Tangententrapezregel
- Detaillierte Untersuchung der Simpson-Regel inklusive historischem Hintergrund
- Anwendung und Herleitung der Keplerschen Fassregel
- Vergleich der Genauigkeit verschiedener Integrationsverfahren
Auszug aus dem Buch
2.4.2 Idee von Kepler
Kepler kaufte zu seiner zweiten Hochzeit ein Fass Wein. Der Weinverkäufer bestimmte dabei die Menge des Weines, indem er einen Maßstab in die Fässer tauchte. Kepler fiel auf, dass dieses Verfahren viel zu ungenau ist. So befasste er sich intensiv mit Verfahren zur Berechnung des Rauminhaltes von Fässern. Mit der keplerschen Fassregel schuf er ein ziemlich genaues Näherungsverfahren. Kepler an seiner Hochzeit, wie er auf die Fassregel kam: ,,Als ich im November des letzten Jahres meine Wiedervermählung feierte, zu einer Zeit, als an den Donauufern bei Linz die aus Niederösterreich herbeigeführten Weinfässer nach einer reichlichen Lese aufgestapelt und zu einem annehmbaren Preis zu kaufen waren, da war es die Pflicht des neuen Gatten und sorgenden Familienvaters, für sein Haus den nötigen Trank zu besorgen. Als einige Fässer eingekellert waren, kam am vierten Tag der Verkäufer mit einer Messrute, mit der er alle Fässer, ohne Rücksicht auf ihre Form, ohne jede weitere Überlegung oder Rechnung, ihrem Inhalt nach bestimmte.
Die Visierrute wurde mit ihrer metallenen Spitze durch das Spundloch quer bis zu den Rändern der beiden Böden eingeführt, und als die beiden Längen gleich gefunden worden waren, ergab die Marke am Spundloch die Zahl der Eimer im Fass. Ich wunderte mich, dass die Querlinie durch die Fasshälfte ein Maß für den Inhalt abgeben könne und bezweifelte die Richtigkeit der Methode, denn ein sehr niedriges Fass mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Inhalt könnte dieselbe Visierlänge besitzen. Es schien mir als Neuvermähltem nicht unzweckmäßig, ein neues Prinzip mathematischer Arbeiten, nämlich die Genauigkeit dieser bequemen und allgemein wichtigen Bestimmung nach geometrischen Grundsätzen zu erforschen und die etwa vorhandenen Gesetze ans Licht zu bringen.“
Kepler hat sich Folgendes gedacht, er hat gesagt er betrachtet nur drei Punkte der Funktion. Die beiden Grenzen a und b und die Mitte davon (siehe Abb.5). Mit diesen drei Punkten hat er Sehnentrapeze aufgestellt. Die Trapeze haben die Flächeninhalte ergeben.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Vorstellung des Themas numerische Integration, der Motivation des Autors und der verwendeten Materialbasis.
2. Numerische Integration: Detaillierte Erläuterung und Anwendung der Sehnentrapezregel, Tangententrapezregel, Simpson-Regel und Keplerschen Fassregel anhand von mathematischen Beispielen.
3 Schlusswort: Zusammenfassende Bewertung der behandelten Verfahren hinsichtlich ihrer Präzision und der Anwendbarkeit bei nicht bildbaren Stammfunktionen.
4 Literatur- und Quellenverzeichnis: Auflistung der verwendeten Fachliteratur und Internetquellen.
Schlüsselwörter
Numerische Integration, Sehnentrapezregel, Tangententrapezregel, Simpson-Regel, Keplersche Fassregel, Integralrechnung, Näherungsverfahren, Flächeninhalt, Funktionsgraph, Mathematik, Johannes Kepler, Thomas Simpson, Stammfunktion, Teilintervalle, Geometrie
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Integrationsverfahren, die es ermöglichen, bestimmte Integrale näherungsweise zu berechnen, wenn eine exakte Stammfunktion nicht bekannt oder schwer zu bestimmen ist.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen sind die Sehnentrapezregel, die Tangententrapezregel, die Simpson-Regel sowie die Keplersche Fassregel, ergänzt durch historische Biografien der namensgebenden Mathematiker.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, verschiedene Verfahren zur numerischen Integration aufzuzeigen, deren Herleitung zu erklären und deren Genauigkeit bei der Berechnung von Flächen unter Kurven praktisch zu demonstrieren.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es wird die Methode der Intervallaufteilung verwendet, bei der Funktionsgraphen durch einfachere geometrische Formen wie Trapeze oder Parabeln angenähert werden, um den Integralwert zu approximieren.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Vorstellung der verschiedenen mathematischen Regeln, die jeweils durch Herleitungen, historische Kontexte und beispielhafte Berechnungen erläutert werden.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind numerische Integration, Trapezregel, Simpson-Regel, Keplersche Fassregel und Näherungsverfahren.
Warum spielt die Person Johannes Kepler eine besondere Rolle in der Arbeit?
Kepler entwickelte die nach ihm benannte Fassregel aufgrund einer praktischen Beobachtung bei der Volumenmessung von Weinfässern, was als anschauliches Beispiel für die mathematische Problemstellung dient.
Wie schneidet die Simpson-Regel im Vergleich zu anderen Verfahren ab?
Die Simpson-Regel gilt als eine sehr präzise Methode zur Flächenannäherung, da sie Kurvenverläufe durch Parabeln und nicht nur durch einfache gerade Linien (Trapeze) annähert.
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- Anthony Amadi (Author), 2018, Numerische Integration, Keplersche Fassregel, Simpson-Regel, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/437271
