Numerische Integration, Keplersche Fassregel, Simpson-Regel


Facharbeit (Schule), 2018

14 Seiten, Note: 2-


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Einführung
1.2 Materialbeschaffung
1.3 Vorwort zur Numerischen Integration

2. Numerische Integration
2.1 Sehnentrapezregel
2.1.1 Herleitung
2.1.2 Anwendung
2.2 Tangententrapezregel
2.2.1 Idee
2.2.2 Anwendung
2.3 Simpson-Regel
2.3.1 Biografie von Simpson
2.3.2 Idee von Simpson
2.3.3 Anwendung
2.4 Keplersche Fassregel
2.4.1 Biografie von Kepler
2.4.2 Idee von Kepler
2.4.3 Anwendung

3 Schlusswort

4 Literatur- und Quellenverzeichnis

1. Einleitung

1.1 Einführung

In der vorliegenden Facharbeit habe ich mich mit dem Thema numerische Integration beschäftigt. Ich habe mich für dieses Thema entschieden, da ich in der Vergangenheit ein Referat über die keplersche Fassregel im Matheunterricht gehalten habe und mich das Thema sehr interessiert hat. Da die keplersche Fassregel zur Numerischen Integration gehört, beschloss ich die numerische Integration zum Thema meiner Facharbeit zu machen. Ich werde aufzeigen, was die numerische Integration ist, die verschiedenen numerischen Integrationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale, wer diese Verfahren entdeckte, wofür sie genutzt werden und welche Herleitungen dahinter stecken.

1.2 Materialbeschaffung

In meiner Facharbeit habe ich mit Büchern aus der Universitätsbibliothek Duisburg-Essen gearbeitet. Außerdem habe ich mit einigen Seiten im Internet

1.3 Vorwort zur Numerischen Integration

Numerische Integration ist der Begriff, der für eine Reihe von Methoden verwendet wird, um eine Näherung für ein Integral zu finden. Oftmals gibt es Fälle, in denen wir das bestimmte Integraleiner Funktion kennen möchten, aber die Funktion hat keine Stammfunktion. Es gibt jedoch eine Möglichkeit, das Integral anzunähern, indem man die Funktion in kleine Intervalle aufteilt und die Fläche annähert. Eine Methode ist die Riemann-Summe, bei der Rechtecke verwendet werden, um ein bestimmtes Integral anzunähern.1

2. Numerische Integration

2.1 Sehnentrapezregel

2.1.1 Herleitung

In der Schule haben wir die Riemann-Summen kennengelernt. Sie ist eine Methode um die Fläche unter einer Funktion anzunähern. Die Riemann-Summe verwendet Rechtecke, die jedoch keine genaue Annäherung angibt. Mit der Sehnentrapezregel kann man auch die Fläche unter einem Graphen annähern. Durch die Verwendung von Sehnentrapezen kann man genauere Annäherungen erhalten als mit Hilfe von Rechtecken. Das Intervall [a,b] sollte in n Teilintervalle geteilt werden,

jede mit der Breite Dx= , sodass a = xO< x1 < x2 <... < xn = b. Dann bildet man

Sehnentrapeze für jedes Teilintervall.

Die Fläche des Trapezes ist 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Darstellung der Sehnentrapezregel

Quelle:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Sehnentrapezformel.svg/250px-Sehnentrapezformel.svg.png

Dies bedeutet, dass die Summe der Flächen der n-Trapeze gleich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.2 Anwendung

Im Folgenden wird das Integral,welches in vier Trapeze n=4 eingeteilt ist mit der Sehnentrapezregel näherungsweise bestimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Darstellung des Graphen der Funktion

Quelle: eigener Entwurf

∆ x wird den Wert b - a haben, das ist die rechte Grenze minus die linke Grenze dividiert durch die Anzahl der Trapeze. Dx====1.

Das ist die Breite jedes Intervalls. Nun werden die y-Werte berechnet dazu setzen wir die x-Werte in die Funktion ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man setzt die erhaltenen Werte in die Sehnentrapezregel ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist der angenäherte Wert für das Integral .

Man bekommt eine bessere Annäherung, wenn man mehr Trapeze nimmt. Je mehr Trapeze man nimmt, wird x sich der 0 annähern, x-> 0.

2.2 Tangententrapezregel

2.2.1 Idee

Die Trapezregel ist eine weitere Methode, um die Fläche unter einer Kurve anzunähern. Die Trapezregel funktioniert, indem man die Fläche unter einer Kurve in eine Anzahl von Trapezen teilt, von denen man die Flächen kennt. Wenn man die Fläche unter einer Kurve zwischen den Punkten x0 und xn finden will, teilt man dieses Intervall in kleinere Intervalle auf, von denen jedes die Länge Dx hat. Jedes Intervall wird als Trapez betrachtet.3

[...]


1 Vgl. https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/numerische-integration 20.02.2018

2 Vgl. Stöcker, Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren , 1999, S.491

3 Vgl .http://www.mathepedia.de/Trapezregel.html 20.02.2018

Ende der Leseprobe aus 14 Seiten

Details

Titel
Numerische Integration, Keplersche Fassregel, Simpson-Regel
Note
2-
Autor
Jahr
2018
Seiten
14
Katalognummer
V437271
ISBN (eBook)
9783668797918
ISBN (Buch)
9783668797925
Sprache
Deutsch
Schlagworte
numerische, integration, keplersche, fassregel, simpson-, regel, mathe
Arbeit zitieren
Anthony Amadi (Autor), 2018, Numerische Integration, Keplersche Fassregel, Simpson-Regel, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/437271

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