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Die Bieberbach'sche Vermutung. Beweis und Erläuterung

Title: Die Bieberbach'sche Vermutung. Beweis und Erläuterung

Bachelor Thesis , 2014 , 34 Pages , Grade: 1,7

Autor:in: Andre Herrmann (Author)

Mathematics - Analysis
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In dieser Arbeit wird eine Beweismethode behandelt, die 1991 durch Weinstein veröffentlicht wurde. Diese setzt die Milin-Vermutung voraus, die die Bieberbachsche Vermutung impliziert. Wichtige Hilfsmittel zum Beweis hierzu sind einparametrige Familien schlichter Funktionen und die Löwner Differentialgleichung. Dabei führt der Beweis der Milin-Vermutung auf einige Sonderfälle der Jacobi-Polynome und deren erzeugende Funktion zurück.

Ludwig Bieberbach (1896-1982) wurde 1921 Nachfolger von C. Carathéodory an der Berliner Universität. Er studierte in Heidelberg und Göttingen. Zur komplexen Funktionentheorie leistete er bedeutende Beiträge. Er war Verfasser der berühmten Bieberbachschen Vermutung, welche besagt, dass die Koeffizienten an einer biholomorphen Funktion die in der Einheitskreisscheibe definiert ist, der Ungleichung genügen. Bieberbach konnte dies für n = 2 beweisen. Erst 1985 wurde die Vermutung von L. De Branges Bourcia für alle n bewiesen.

Excerpt


Inhaltsverzeichnis

  • Mathematische Voraussetzungen
    • Definitionen und Sätze
    • Die Koebe-Funktion
  • Historisches zu den Koeffizienten |an|
  • Die Bieberbachsche Vermutung
    • Herleitung der Milin-Vermutung
    • Die Löwner-Theorie
    • Beweis durch Weinstein
      • Beweis A (t) ≥0

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der Bieberbachschen Vermutung, einem wichtigen Problem in der komplexen Funktionentheorie. Die Arbeit verfolgt das Ziel, eine Beweismethode zu präsentieren, die 1991 von Weinstein veröffentlicht wurde. Die Methode setzt die Milin-Vermutung voraus, die die Bieberbachsche Vermutung impliziert.

  • Die Bieberbachsche Vermutung und ihre Bedeutung für die komplexe Funktionentheorie
  • Die Milin-Vermutung und ihre Rolle im Beweis der Bieberbachschen Vermutung
  • Die Löwner-Theorie als wichtiges Hilfsmittel im Beweis
  • Einparametrige Familien schlichter Funktionen und ihre Anwendung im Beweis
  • Die Rolle der Jacobi-Polynome und ihrer erzeugenden Funktion im Beweis der Milin-Vermutung

Zusammenfassung der Kapitel

Das erste Kapitel behandelt die mathematischen Grundlagen, die für das Verständnis der Bieberbachschen Vermutung und ihres Beweises notwendig sind. Es werden Definitionen, Sätze und Lemmata aus der komplexen Funktionentheorie zusammengestellt, die im weiteren Verlauf der Arbeit Anwendung finden.

Kapitel zwei befasst sich mit der historischen Entwicklung der Bieberbachschen Vermutung. Es wird die Entstehung der Vermutung durch Ludwig Bieberbach beleuchtet und die wichtigsten Schritte ihrer Beweisführung bis zu ihrer endgültigen Lösung durch Louis de Branges de Bourcia im Jahr 1985 dargestellt.

Das dritte Kapitel widmet sich der Beweisstrategie von Weinstein, die auf der Milin-Vermutung basiert. Es werden die wichtigen Elemente dieser Methode, wie die Löwner-Theorie und einparametrige Familien schlichter Funktionen, erläutert. Darüber hinaus wird die Anwendung von Jacobi-Polynomen und ihrer erzeugenden Funktion im Beweis der Milin-Vermutung beleuchtet.

Schlüsselwörter

Bieberbachsche Vermutung, Milin-Vermutung, Löwner-Theorie, einparametrige Familien schlichter Funktionen, Jacobi-Polynome, komplexe Funktionentheorie, schlichte Funktionen, biholomorphe Abbildungen, Einheitskreisscheibe, Koeffizientenabschätzungen.

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Details

Title
Die Bieberbach'sche Vermutung. Beweis und Erläuterung
College
University of Dusseldorf "Heinrich Heine"  (Angewandte Mathematik)
Grade
1,7
Author
Andre Herrmann (Author)
Publication Year
2014
Pages
34
Catalog Number
V444417
ISBN (eBook)
9783668812758
ISBN (Book)
9783668812765
Language
German
Tags
Bieberbach Mathe Weinstein
Product Safety
GRIN Publishing GmbH
Quote paper
Andre Herrmann (Author), 2014, Die Bieberbach'sche Vermutung. Beweis und Erläuterung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/444417
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