Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit der Frage nach einer Lösungsstrategie für
Gleichungen der Art
ax^2 + bxy + cy^2 = n.
Diese Gleichungen werden "binäre quadratische Formen" genannt.
Zu Beginn der Arbeit wird ein Spezialfall der quadratischen Formen betrachtet, nämlich Gleichungen der Form x^2+y^2=n. Es wird also die Frage geklärt, welche Zahlen sich als Summe zweier Quadrate darstellen lassen.
Im darauffolgenden Kapitel wird der sogenannte "gaußsche Zahlenring" erläutert, der geometrisch gesehen ein Gitternetz in C ist.
Im 4. Kapitel wird dann erörtert, wie man mit Hilfe der Matrizenschreibweise erkennen kann, um welches geometrische Objekt es sich bei der jeweiligen quadratischen Form handelt. Quadratische Formen können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf bestimmten Kegelschnitten interpretiert werden.
In Kapitel 5 lernen wir eine Transformation kennen, mit deren Hilfe wir quadratische Formen in leichter zu berechnende umwandeln und dabei die Anzahl der ganzzahligen Lösungen erhalten.
Schließlich wird im letzten Abschnitt dieser Arbeit eine Möglichkeit herausgearbeitet, wie man von zwei gegebenen definiten quadratischen Formen entscheiden kann, ob sie äquivalent sind oder nicht. Diese Problemstellung ist Gegenstand der Reduktionstheorie.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Summe von zwei Quadraten
- Primzahlen als Summe zweier Quadrate
- Natürliche Zahlen als Summe zweier Quadrate
- Der gaußsche Zahlenring
- Eigenschaften der gaußschen Zahlen
- Die gaußschen Primzahlen
- Geometrische Veranschaulichung
- Ganzzahlige Punkte in und auf Kreisen
- Ellipsen und Hyperbeln
- Lösung des Problems durch unimodulare Transformationen
- Reduktionstheorie
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit zielt darauf ab, eine Lösungsstrategie für Gleichungen der Form ax² + bxy + cy² = n zu entwickeln, wobei a, b, c und n ganzzahlige Koeffizienten sind und x und y Variablen aus Z. Diese Gleichungen werden als binäre quadratische Formen bezeichnet.
- Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe von zwei Quadraten
- Eigenschaften des gaußschen Zahlenrings
- Geometrische Interpretation von quadratischen Formen
- Äquivalenzrelationen zwischen quadratischen Formen
- Reduktionstheorie für binäre quadratische Formen
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Die Arbeit stellt den historischen Kontext der Theorie der binären quadratischen Formen vor und erläutert die relevanten Mathematiker und ihre Beiträge.
- Summe von zwei Quadraten: Dieses Kapitel untersucht, welche natürlichen Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, wobei insbesondere die Darstellung von Primzahlen betrachtet wird.
- Der gaußsche Zahlenring: Dieses Kapitel behandelt den gaußschen Zahlenring und seine Eigenschaften, insbesondere die gaußschen Primzahlen.
- Geometrische Veranschaulichung: Dieses Kapitel beleuchtet die geometrische Interpretation von quadratischen Formen, wobei die Darstellung von ganzzahligen Punkten auf Kegelschnitten im Fokus steht.
- Lösung des Problems durch unimodulare Transformationen: Dieses Kapitel präsentiert eine Transformation, die quadratische Formen in einfachere Formen umwandelt und gleichzeitig die Anzahl der Lösungen erhält.
- Reduktionstheorie: Dieses Kapitel erläutert die Reduktionstheorie und ihre Anwendung auf binäre quadratische Formen, um die Äquivalenz von Formen zu bestimmen.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter dieser Arbeit sind binäre quadratische Formen, Summe von zwei Quadraten, gaußsche Zahlen, geometrische Interpretation, unimodulare Transformationen, Reduktionstheorie, Äquivalenzrelation.
- Arbeit zitieren
- Fanny Jeschek (Autor:in), 2010, Lösungsstrategie für binäre quadratische Formen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/447070
