Diese Bachelorarbeit ist setzt sich mit dem Lemma von Sperner auseinander. Dieser Hilfssatz hat sich in der Mathematik als fundamentales Hilfsmittel erwiesen, da viele mathematische Lehrsätze durch dieses Lemma kombinatorisch elegant bewiesen werden können.
Den Kern dieser Arbeit bilden zwei verschiedene Beweise, die mit Hilfe des Lemmas von Sperner erfolgreich bewiesen werden. Dies ist zum einen der Brouwersche Fixpunktsatz und zum anderen ein alltägliches Problem, nämlich das "Kuchenproblem" (cake division problem), welches mit Hilfe des Lemmas gelöst werden kann.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Wichtige Begriffe für das Verständnis des Lemmas
- Grundbegriffe aus der Graphentheorie
- Lemma von Sperner für n = 2
- Beweis des Lemmas für n = 2
- Lemma von Sperner für höhere Dimensionen
- Konvexe Menge und konvexe Hülle
- Simplex
- Lemma von Sperner
- Beweis des Lemmas
- Der Brouwersche Fixpunktsatz
- Beweis des Fixpunktsatzes von Brouwer
- Das Kuchenproblem
- Grundlegende Definitionen
- Neidfrei-gerecht vs. Proportional-gerecht
- Das Moving Knife – Verfahren
- Neidfrei-gerechte Verteilung mithilfe des Lemmas von Sperner
- Beispiel für n = 3
- Aufteilung auf n - Spieler
- Resümee und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit dem Lemma von Sperner, einem fundamentalen Hilfsmittel in der Mathematik. Die Arbeit zielt darauf ab, die Relevanz des Lemmas sowohl in theoretischen Kontexten als auch im Alltag aufzuzeigen.
- Das Lemma von Sperner und seine Anwendung in verschiedenen Beweisen
- Der Brouwersche Fixpunktsatz als Anwendung des Lemmas von Sperner
- Das "Kuchenproblem" als alltägliches Beispiel für die Anwendung des Lemmas
- Graphentheoretische Grundlagen und ihre Bedeutung für das Verständnis des Lemmas
- Die Erweiterung des Lemmas auf höhere Dimensionen
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung stellt das Lemma von Sperner als ein fundamentales Hilfsmittel in der Mathematik vor und erläutert seine Relevanz. Es werden wichtige Begriffe aus der Graphentheorie eingeführt, die für das Verständnis des Lemmas notwendig sind.
Kapitel 2 behandelt das Lemma von Sperner für den Fall n = 2. Es wird ein bildlicher Beweis des Lemmas für diese Dimension präsentiert.
In Kapitel 3 wird das Lemma von Sperner für höhere Dimensionen verallgemeinert. Dazu werden die Konzepte der konvexen Menge, der konvexen Hülle und des Simplex eingeführt.
Kapitel 4 behandelt den Brouwerschen Fixpunktsatz. Es wird gezeigt, wie dieser Satz mit Hilfe des Lemmas von Sperner bewiesen werden kann.
Kapitel 5 widmet sich dem "Kuchenproblem", einem alltäglichen Beispiel für die Anwendung des Lemmas von Sperner. Es werden verschiedene Konzepte der gerechten Kuchenaufteilung erläutert und gezeigt, wie das Lemma von Sperner zur neidfreien Verteilung eingesetzt werden kann.
Schlüsselwörter
Das Lemma von Sperner, Graphentheorie, Brouwerscher Fixpunktsatz, "Kuchenproblem", neidfreie Verteilung, konvexe Menge, konvexe Hülle, Simplex, höhere Dimensionen.
- Quote paper
- Anonym (Author), 2016, Zur Relevanz des Lemmas von Sperner in Theorie und Alltag, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/454156
