Zur Kennzeichnung stochastischer Prozesse x(t) fallen einem zuerst einmal Größen wie Mittelwert, Varianz, Schiefe oder Exzess ein. Anders gesagt, man denkt an die Verteilung p(x, t) und ihre Momente. Es gibt aber andere Klassen von Observablen, die nicht durch die Eigenschaften des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt gegeben sind, sondern beispielsweise vom Verhalten der Realisierung x(t) in einem ganzen Zeitintervall [0, T] abhängen. Hierzu gehören Größen wie die mittlere erste Passagezeit von einem Wert x0 zu einem anderen Wert x1 oder die Frage nach dem Maximalwert xm, den x(t) in
[0, T] einnimmt.
Wenn x(t) den Preisprozess eines Finanzinstruments darstellt, so ist das erwartete Extremwertverhalten dieses Prozesses Grundlage für die Konstruktion komplexer, pfadabhängiger Finanzderivate und wichtig für die Risikoabschätzung von Portfolios oder Krediten. Hier wird üblicherweise mit gaußschen Prozessen gerechnet.
Intensive Analysen der letzten zehn Jahre aus dem Bereich der Econophysics haben allerdings gezeigt, dass die Verteilung der Inkremente des Preisprozesses p(x(t)) gegenüber einer Gaußverteilung stark verbreitert ist und z.B. durch eine abgeschnittene Lévy-Verteilung beschrieben werden kann.
In dieser Arbeit wird mit Blick auf die Anwendungen in der Econophysics mittels Computersimulation der allgemeinen Frage nachgegangen, welche Eigenschaften der stochastische Prozess auf einem endlichen Zeitintervall für die Brownsche Bewegung, einen Lévy- Flight oder einen truncated Lévy-Flight
hat.
Nachdem in Kapitel 1 die mathematischen Grundlagen bespochen werden, enthält Kapitel 2 eine Beschreibung und Verifikation der numerischen Methoden. Kapitel 3 ist eine Zusammenfassung oder Grundlagenaufarbeitung aus der Econophysics. Es wird der Begriff Derivat erläutert, sowie ein kleiner Überblick über die Empirie von Preisfluktuationen gegeben und verschiedene Modellierungsmöglichkeiten aufgezeigt. Kapitel 4 stellt dann exemplarisch Ergebnisse der Simulationen dar, die sich für die verschiedenen stochatischen Prozesse ergeben. Im Anhang befindet sich der C++ Quell-Code, der direkt für eine praktische Anwendung innerhalb eines Risikomanagementsystem eines Finanzinstituts oder Asset Managers verwendet werden kann.
Inhaltsverzeichnis
1 Klassische Extremwertstatistik und Extrema von random walks
1.1 Die klassischen Extremwertverteilungen
1.2 Lévy-Verteilungen
1.3 Random walks und das Brownsche Reflexionsprinzip
2 Algorithmen und Tests
2.1 Zufallszahlengeneratoren und Tests
2.2 Tests der numerischen Parameter mit Hilfe der Extremwertverteilungen
2.2.1 Extremwertverteilung gaußverteilter Zufallszahlen
2.2.2 Extremwertverteilung von Lévy verteilten Zufallszahlen
2.2.3 Zusammenfassung
3 Empirie von Preisschwankungen und das Black-Scholes-Modell
3.1 Derivate
3.2 Das Lévy stabile 'nicht-Gauß' Modell
3.3 Student'sche t-Verteilung und Mischungen von Gaußverteilungen
3.4 Die abgeschnittene Lévy-Verteilung
3.5 Empirische Ergebnisse zu Aktienkursen in Bezug auf die Extremwertstatistik
3.6 Das Black-Scholes-Modell
4 Die Simulationen und ihre Ergebnisse
4.1 Verteilung der Summe von abgeschnittenen Lévy-Verteilungen
4.2 Rekurrenzen
4.3 Interessantes im Hinblick auf die klassische Extremwertstatistik
4.4 Die Bewertung pfadabhängiger Derivate
Zielsetzung und Themen
Die Arbeit untersucht quantitative Aspekte stochastischer Prozesse mittels Computersimulationen, insbesondere im Hinblick auf Extremwertstatistik, Rekurrenzen und deren Anwendung bei der Bewertung pfadabhängiger Finanzderivate. Ein zentrales Ziel ist es, Grenzen der Anwendbarkeit gaußscher Modelle (wie Black-Scholes) aufzuzeigen und alternative Modelle basierend auf Lévy-Prozessen zu evaluieren.
- Grundlagen der klassischen Extremwertstatistik und Lévy-Verteilungen
- Entwicklung und Validierung von Simulationsalgorithmen für stochastische Prozesse
- Empirische Analyse von Preisschwankungen an Finanzmärkten
- Untersuchung von Rekurrenzverhalten und Konvergenzeigenschaften abgeschnittener Lévy-Verteilungen
- Bewertung von Finanzderivaten unter Berücksichtigung von Nicht-Gauß-Dynamiken
Auszug aus dem Buch
3.2 Das Lévy stabile 'nicht-Gauß' Modell
Das erste Modell, das in Betracht gezogen wird, berücksichtigt die Leptokurtik der Wahrscheinlichkeitsdichte von Preisschwankungen. Mit Leptokurtik wird die schmale Glockenform einer Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben (griech.: leptos = dünn, schmal; kyrtos=gekrümmt). Z.B. zeigt eine Lorentz-Verteilung gegenüber einer Gaußverteilung leptokurtisches Verhalten. Mandelbrot schlug bereits 1963 Lévy-stabile Inkremente vor, um Baumwollpreise zu modellieren, da große Preisveränderungen viel öfter auftreten als in einem Gauß-Modell. Seine Ergebnisse wurden 1965 von Fama untermauert, der die Aktienpreise der New York Stock Exchange untersuchte.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Klassische Extremwertstatistik und Extrema von random walks: Einführung in die mathematischen Grundlagen von Extremwerten und deren asymptotisches Verhalten in statistischen Systemen.
2 Algorithmen und Tests: Beschreibung der zur Simulation verwendeten Zufallszahlengeneratoren sowie statistische Verfahren zur Validierung der numerischen Ergebnisse.
3 Empirie von Preisschwankungen und das Black-Scholes-Modell: Darstellung der Marktdynamik, der Grenzen des Gauß-Modells bei extremen Kursbewegungen und Einführung der Lévy-Stabilen Modelle.
4 Die Simulationen und ihre Ergebnisse: Durchführung und Auswertung der Computersimulationen zur Konvergenz von Lévy-Prozessen, sowie Analyse von Rekurrenzzeiten und deren Bedeutung für die Derivatebewertung.
Schlüsselwörter
Extremwertstatistik, Lévy-Verteilung, Computersimulation, Finanzderivate, Black-Scholes-Modell, Brownsche Bewegung, Preisschwankungen, Leptokurtik, Monte-Carlo-Simulation, Pfadabhängigkeit, Random Walk, Gumbel-Verteilung, Fréchet-Verteilung, Konvergenz, Marktrisiko.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht stochastische Prozesse, die bei der Modellierung von Aktienkursen und Finanzmarktdaten auftreten, und vergleicht dabei klassische gaußsche Ansätze mit Modellen, die auf Lévy-Verteilungen basieren.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Themen umfassen die Extremwertstatistik, numerische Simulationstechniken, die empirische Analyse von Preisschwankungen sowie die Bewertung von exotischen, pfadabhängigen Finanzderivaten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die quantitative Abschätzung, auf welchen Zeitskalen und unter welchen Bedingungen die Verwendung von Gauß-Prozessen problematisch ist und wie die Simulation mit abgeschnittenen Lévy-Verteilungen präzisere Risikoanalysen ermöglicht.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt analytische Herleitungen aus der Extremwerttheorie sowie umfangreiche Monte-Carlo-Computersimulationen von Random Walks zur Validierung der theoretischen Modelle.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden Algorithmen zur Erzeugung stabiler Zufallszahlen implementiert, empirische Marktdaten analysiert und durch Simulationsergebnisse ergänzt, um das Verhalten von Extremwerten und die Gültigkeit von Standardmodellen kritisch zu hinterfragen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zentrale Begriffe sind Extremwertstatistik, Lévy-Verteilung, Pfadabhängigkeit, Volatilität, Monte-Carlo-Simulation, Leptokurtik und Risikoanalyse.
Warum sind Gauß-Modelle wie Black-Scholes auf sehr kurzen Zeitskalen oft problematisch?
Gauß-Modelle unterschätzen die Häufigkeit extremer Preisbewegungen, die sogenannten 'fat tails'. Auf kurzen Zeitskalen zeigt die Empirie jedoch deutlich, dass solche extremen Schwankungen häufiger auftreten, als es eine Normalverteilung zulässt.
Welche Bedeutung haben 'Rekurrenzen' in dieser Arbeit?
Rekurrenzen beschreiben die statistische Wahrscheinlichkeit, dass ein stochastischer Prozess zu einem bestimmten Ausgangspunkt zurückkehrt. Dies ist essenziell für das Verständnis der Pfaddynamik und die Bewertung von Optionen, deren Auszahlung von erreichten Schwellenwerten abhängt.
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- Thomas Schwiertz (Author), 2004, Computersimulation von Zufallsprozessen: Extremwertstatistik, Rekurrenzen und die Bewertung pfadabhängiger Derivate, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/45738
