In dieser Arbeit wird die wechselseitige Wirkung von Konjunktur und Zinsen überprüft. Hierzu eignet sich die Betrachtung eines Systems, welches sowohl die Dynamik des Einkommens, als auch die des Zinses zusammen betrachtet. Man spricht hier von einem gekoppelten System, da die betrachteten Größen voneinander abhängen. Aufgrund dieser Tatsache und mit Hilfe von gängigen Methoden der Stabilitätsanalyse von (nichtlinearen) dynamischen Systemen kann überprüft werden, wie die wechselseitige Wirkung aussehen kann und welche Voraussetzungen jeweils dafür zugrunde liegen.
Um wirtschaftliche Prozesse wie zum Beispiel Konjunkturzyklen besser zu verstehen und die dort herrschenden Bewegungen einordnen zu können, ist es durchaus sinnvoll, sich Hilfsmittel aus der Mathematik zu Nutze zu machen. Hierbei kann man sich insbesondere der Theorie von Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen (beziehungsweise Dynamischen Systemen) bedienen, indem man die Finanzmärkte, Konjunkturzyklen sowie Änderungen von Zins und Inflation dynamisch modelliert und in Form von Differentialgleichungen auffasst. Im Folgenden wird untersucht, inwieweit Gesetzmäßigkeiten auf die angegebenen wirtschaftlichen Größen vorzufinden sind, und wie diese Frage mit Hilfe des mathematischen Werkzeuges beantwortet werden kann.
Dafür wird zuerst demonstriert, warum es sinnvoll ist, die betrachteten Prozesse dynamisch zu modellieren und welche Vorteile dieses Vorgehen gegenüber einer makroökonomisch typischen, statischen Betrachtung eines Marktes im Gleichgewicht hat.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Einleitung
1.2 Warum betrachten wir die Ökonomie hier dynamisch?
1.3 Ziel dieser Arbeit
2 Gleichung 1: Die Konjunkturgleichung
2.1 Die Gleichung und ihre Aussage
2.2 Herleitung der (dynamischen) Gleichung
3 Gleichung 2: Die Zinsgleichung
3.1 Geldnachfrage und Geldangebot
3.2 Herleitung einer Gleichung für die Dynamik des Zinses
4 Das allgemeine nichtlineare System für die Wirtschafts- und Zinsentwicklung
4.1 Das System und seine Stabilitätsanalyse
4.1.1 Gleichung 1: Dynamik des Einkommens
4.1.2 Gleichung 2: Dynamik des Zinses
4.1.3 Zusammenspiel von Einkommen und Zins
4.1.4 Stabilitätsanalyse des 2-Dimensionalen Systems
4.1.5 Qualitative Aussagen über das Einkommen-Zins-System
4.2 Existenz von Grenzzyklen
4.2.1 Forderungen von HOPF:
4.2.2 Existenzsatz für Grenzzyklen im EZS:
5 Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit untersucht wirtschaftliche Prozesse wie Konjunkturzyklen durch die Modellierung von nichtlinearen dynamischen Systemen, um das komplexe Zusammenspiel von Volkseinkommen und Zinsentwicklung mathematisch abzubilden und auf Stabilität sowie die Entstehung von Grenzzyklen zu prüfen.
- Dynamische Modellierung ökonomischer Zusammenhänge mittels Differentialgleichungen.
- Analyse des Investitions- und Sparverhaltens in Relation zum Volkseinkommen.
- Untersuchung der Zinsdynamik basierend auf Geldnachfrage und Geldangebot.
- Anwendung der Stabilitätsanalyse auf ein gekoppeltes, zweidimensionales System.
- Herleitung von Bedingungen für das Auftreten von Grenzzyklen mittels Hopf-Bifurkation.
Auszug aus dem Buch
4.1.1 Gleichung 1: Dynamik des Einkommens
In 1. war und ist die Annahme, dass die Investitionsfunktion mit steigenden Volkseinkommen Y ebenfalls steigt. Es ist allerdings zu beachten, dass dieser Zusammenhang nicht zwingend linear sein muss; im Falle des linearen Zusammenhanges würde man von einem Normalfall sprechen, wenn das wirtschaftliche Umfeld stabil ist. Wenn wir nun die Zinsen r als konstant annehmen, gibt es drei Fälle, die wir kombinieren wollen zu einer (typischen) Investitionsfunktion einer Industrienation, die nur vom Volkseinkommen Y abhängt:
i) ∂Y I = c > 0 konstant, also lineare Steigung der Investition um c mit steigendem Y.
ii) ∂Y I > 0, ∂Y^2 I < 0 , d.h. Steigung der Investition mit steigendem Y, aber die Steigungsrate nimmt ab.
iii) ∂Y I > 0, ∂Y^2 I > 0, d.h. Steigung der Investition mit steigendem Y, aber, ab einem gewissen Zeitpunkt, nimmt die Steigungsrate zu.
Es gibt also ein Yˆ derart, dass ∂Y I > 0, ∂Y^2 I > 0 für Y < Yˆ und ∂Y I > 0, ∂Y^2 I < 0 für Y > Yˆ. Was bedeutet das? Zunächst bedeutet dies graphisch für eine Investitionsfunktion, dass diese S-förmig verläuft.
Analog wollen wir nun die Sparfunktion S(Y), d.h. r sei weiterhin konstant, anschaulich darstellen. Auch hier könnten wir die selben drei Fälle betrachten wie bei der Investitionsfunktion, doch nun gibt es eine Besonderheit, die man nicht unter den Teppich kehren darf:
Wir haben die Schranken 0 <= ∂Y S* <= 1 an jeder Stelle von Y.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Einleitung erläutert die Motivation, wirtschaftliche Prozesse durch dynamische Systeme statt statischer Gleichgewichtsmodelle abzubilden.
2 Gleichung 1: Die Konjunkturgleichung: Dieses Kapitel leitet eine dynamische Differentialgleichung für das Volkseinkommen her, basierend auf dem Gleichgewicht zwischen Investitionen und Sparen.
3 Gleichung 2: Die Zinsgleichung: Hier wird die Dynamik des Zinses durch die Interaktion von Geldnachfrage und Geldangebot mathematisch formuliert.
4 Das allgemeine nichtlineare System für die Wirtschafts- und Zinsentwicklung: Dieses Hauptkapitel führt die zuvor getrennten Gleichungen zu einem gekoppelten System zusammen und analysiert dessen Stabilität sowie die Existenz von Grenzzyklen.
5 Fazit: Das Fazit fasst zusammen, wie das Investitionsverhalten die Stabilität des Systems prägt und dass nichtlineare dynamische Modelle tiefere Einblicke ermöglichen als klassische statische Ansätze.
Schlüsselwörter
Dynamische Systeme, Konjunkturzyklen, Investitionsfunktion, Sparfunktion, Zinsdynamik, Stabilitätsanalyse, Differentialgleichungen, Grenzzyklen, Hopf-Bifurkation, Volkseinkommen, Geldnachfrage, Geldangebot, Jacobi-Matrix, Gleichgewichtspunkt, Makroökonomie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung und Analyse von wirtschaftlichen Prozessen wie Konjunkturzyklen durch den Einsatz von nichtlinearen dynamischen Systemen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die Modellierung von Investitions- und Sparverhalten, die Zinsentwicklung basierend auf Geldmarktmechanismen und die mathematische Analyse der Systemstabilität.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsfrage?
Ziel ist es, die gegenseitige Abhängigkeit von Volkseinkommen und Zins als gekoppeltes System zu untersuchen und zu prüfen, unter welchen Bedingungen instabile Zustände oder Grenzzyklen entstehen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt mathematische Methoden der Analysis, insbesondere Differentialgleichungen, die Stabilitätsanalyse mittels Jacobi-Matrizen und die Theorie der Hopf-Bifurkation.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil führt die Konjunktur- und Zinsgleichungen zusammen, untersucht die Stabilität des resultierenden zweidimensionalen Systems und definiert Kriterien für die Existenz von Grenzzyklen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen zählen Dynamische Systeme, Konjunkturzyklen, Stabilitätsanalyse, Grenzzyklen, Hopf-Bifurkation und das Einkommen-Zins-System.
Welche Bedeutung hat die "S-förmige Investitionsfunktion"?
Sie beschreibt ein Investitionsverhalten, bei dem die Investitionsrate bei steigendem Einkommen erst zunimmt und ab einem bestimmten Punkt wieder abnimmt, was ein realistischeres Abbild ökonomischer Prozesse ermöglicht.
Warum wird das Hartmann-Grobman-Theorem herangezogen?
Das Theorem wird genutzt, um das Verhalten des nichtlinearen Systems lokal durch ein linearisiertes System an seinen Gleichgewichtspunkten zu bestimmen.
Wie beeinflusst das Sparen das System?
Die Sparfunktion S(Y) wirkt als stabilisierendes oder destabilisierendes Element im System, wobei die Schranken der Ableitung von S nach Y entscheidend für das dynamische Verhalten sind.
- Arbeit zitieren
- Christian Summerer (Autor:in), 2012, Das allgemeine nichtlineare System für die Wirtschafts- und Zinsentwicklung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/458856
