Ces notes de cours au sujet de la Mécanique du Point matériel s’adressent essentiellement aux étudiants de première année de Licence de Physique et de Chimie du cycle universitaire.
Le chapitre 1 donne l’essentiel des outils mathématiques qui constituent un support inéluctable pour aborder les chapitres suivants. L’intérêt est donc focalisé sur les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques, sur les caractéristiques du produit scalaire et du produit vectoriel sans oublier les règles de dérivation vectorielle.
Le chapitre 2 a trait à la cinématique en mettant en relief les trois grandeurs cinématiques qui caractérisent un point matériel tout en accordant un intérêt particulier à la base locale de Serret – Frenet.
Dans le chapitre 3, l’accent est mis sur l’étude cinématique d’un point matériel dans deux référentiels (absolu et relatif) en exprimant les lois de compositions des vitesses et des accélérations sous leurs formes générales et développées.
Le chapitre 4 modélise les causes de mouvement d’un point matériel et présente les référentiels usuels avant de se préoccuper de la relation fondamentale de la dynamique aussi bien dans un référentiel galiléen que non galiléen.
Ces notes de cours englobent des calculs développés et des démonstrations détaillés.
En complément, des exercices d’application corrigés d’une manière succincte sont donnés à la fin des chapitres 2, 3 et 4 en vue d’inciter le lecteur à la réflexion.
Table des matières
Chapitre 1 Outils mathématiques
1.1 Notion de vecteur
1.2 Base cartésienne à deux dimensions – Système de coordonnées cartésiennes à deux dimensions
1.3 Base cartésienne à trois dimensions – Système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions
1.4 Système de coordonnées polaires – Base polaire
1.5 Système de coordonnées cylindriques – Base cylindrique
1.6 Produit scalaire
1.6.1 Définition
1.6.2 Propriétés
1.6.3 Calcul pratique
1.7 Produit vectoriel
1.7.1 Définition
1.7.2 Propriétés
1.7.3 Calcul pratique
1.8 Fonction vectorielle
1.8.1 Définition
1.8.2 Règles de dérivation vectorielle
Chapitre 2 Cinématique du point matériel
2.1. Cadre et limites
2.2. Vecteur position
2.3 Vecteur vitesse
2.3.1 Position du problème
2.3.2 Cas de la cinématique du point matériel
2.4 Vecteur accélération
2.5 Grandeurs cinématiques dans le système de coordonnées cartésiennes
2.5.1 Vecteur position
2.5.2 Vecteur vitesse
2.5.3 Vecteur accélération
2.6 Grandeurs cinématiques dans le système de coordonnées cylindriques
2.6.1 Vecteur position
2.6.2 Vecteur vitesse
2.6.3 Vecteur accélération
2.7 Trajectoire d’un point matériel
2.7.1 Définition
2.8 Base de Serret – Frenet
2.8.1 Vecteur vitesse
2.8.2 Vecteur accélération
2.8.3 Rayon de courbure de la trajectoire
2.9 Mouvement de translation rectiligne
2.9.1 Mouvement de translation rectiligne uniforme
2.9.2 Mouvement de translation rectiligne uniformément varié
2.10 Mouvement de rotation autour d’un axe
2.10.1 Vecteur position
2.10.2 Vecteur vitesse
2.10.3 Vecteur accélération
Chapitre 3 Changement de référentiels - Composition des mouvements
3.1 Position du problème
3.2 Relation entre les vecteurs positions
3.3 Relation entre les vecteurs vitesses
3.4 Relation entre les vecteurs accélérations
3.5 Etude détaillé du mouvement d’entrainement
3.5.1 Expression développée du vecteur vitesse d’entrainement
3.5.2 Expression développée du vecteur accélération d’entrainement
3.5.3 Expression développée du vecteur accélération de Coriolis
3.6 Mouvement d’entrainement par pure translation
3.7 Mouvement d’entrainement par pure rotation
Chapitre 4 Dynamique du point matériel
4.1 Introduction
4.2 Forces
4.3 Référentiels usuels
4.3.1 Référentiel de Copernic
4.3.2 Référentiel galiléen
4.3.3 Référentiel terrestre
4.4 Principes de Newton dans un référentiel galiléen
4.4.1 Principe d’inertie
4.4.2 Principe fondamental de la dynamique
4.4.3 Principe de l’action et de la réaction
4.5 Relation fondamentale de la dynamique dans le cas d’un référentiel non galiléen
Objectifs et thèmes de l'ouvrage
Ce manuel universitaire a pour objectif principal d'initier les étudiants de première année de Licence en Physique et Chimie aux principes fondamentaux de la mécanique du point matériel, en fournissant les outils mathématiques, cinématiques et dynamiques nécessaires pour analyser et modéliser les mouvements.
- Outils mathématiques et systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques).
- Cinématique du point matériel et bases locales (Serret-Frenet).
- Changement de référentiels et composition des mouvements (vitesse et accélération).
- Dynamique du point matériel et application des principes de Newton.
Aperçu du contenu
2.8 Base de Serret – Frenet
Soit M un point matériel de la trajectoire . Au voisinage du point M, la trajectoire est une courbure qui correspond à une portion d’un cercle de centre Oc et de rayon Rc = OcM. Rc sera nommé rayon de courbure de la trajectoire.
D’autre part, on considère : T⃗ un vecteur unitaire tangent, au point M, à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. N⃗ un vecteur unitaire orthogonal au vecteur T⃗, d’origine M et dirigé vers Oc.
Il est facile d’établir les expressions suivantes : T⃗ = cos ı⃗ + sin ȷ⃗ ; N⃗ = - sin ı⃗ + cos ȷ⃗ ; et N⃗ = dT⃗/d
Résumé des chapitres
Outils mathématiques : Ce chapitre présente les bases nécessaires pour la mécanique, notamment les systèmes de coordonnées et les calculs vectoriels essentiels.
Cinématique du point matériel : Ce chapitre se concentre sur l'étude des mouvements en fonction du temps, en introduisant les grandeurs cinématiques et la base locale de Serret-Frenet.
Changement de référentiels - Composition des mouvements : Ce chapitre traite de l'étude des mouvements dans des référentiels absolus et relatifs, en établissant les lois de composition des vitesses et des accélérations.
Dynamique du point matériel : Ce chapitre modélise les causes du mouvement et présente les principes fondamentaux de la dynamique dans les référentiels galiléens et non galiléens.
Mots-clés
Mécanique du point matériel, cinématique, dynamique, référentiel galiléen, référentiel non galiléen, vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération, base de Serret-Frenet, coordonnées cartésiennes, coordonnées cylindriques, composition des mouvements, principes de Newton, force, accélération de Coriolis.
Questions fréquemment posées
Quel est le sujet principal de cet ouvrage ?
L'ouvrage traite des fondements de la mécanique du point matériel, incluant les outils mathématiques, la cinématique et la dynamique nécessaires aux étudiants en début de cycle universitaire.
Quels sont les thèmes centraux abordés ?
Les thèmes principaux comprennent la description mathématique des mouvements, l'étude cinématique, la composition des mouvements dans différents référentiels et les lois de la dynamique.
Quel est l'objectif pédagogique de ce livre ?
Le but est de fournir une compréhension claire de la mécanique classique à travers des démonstrations détaillées et des exercices corrigés pour encourager la réflexion scientifique.
Quelle approche méthodologique est utilisée ?
Le livre utilise une approche progressive, partant des outils mathématiques, passant par la cinématique descriptive, pour arriver à la dynamique modélisant les causes du mouvement via les lois de Newton.
Que traite le contenu du corps de l'ouvrage ?
Il détaille l'utilisation des vecteurs, les systèmes de coordonnées, l'analyse des trajectoires, le passage entre référentiels (absolu/relatif) et la modélisation des forces.
Quels termes définissent le mieux cette étude ?
Les termes incluent la mécanique du point, la cinématique, la dynamique, les référentiels, ainsi que les vecteurs cinématiques et les principes de Newton.
Comment le chapitre 3 traite-t-il la composition des mouvements ?
Il détaille les relations entre les vecteurs vitesse et accélération lors du passage d'un référentiel fixe à un référentiel mobile, incluant les concepts de vitesse d'entraînement et d'accélération de Coriolis.
Pourquoi la base de Serret-Frenet est-elle importante dans cet ouvrage ?
Elle constitue une base locale attachée au point matériel, facilitant la détermination des paramètres intrinsèques comme les composantes tangentielle et normale de l'accélération ainsi que le rayon de courbure.
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- Nabil Safta (Autor:in), 2019, Introduction à la Mécanique du point matériel. Notes de cours et applications, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/459705
