Anmerkungen zur Potentialtheorie und zur Fluidmechanik. Spezielle Auslegung eines universellen Verfahrens


Wissenschaftlicher Aufsatz, 2019
14 Seiten

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Anmerkungen zur Potentialtheorie und zur Fluidmechanik

Spezielle Auslegung eines universellen Verfahrens

In der Laborpraxis und insbesondere in der Forschungsvorbereitung sind gelegentlich rasche Aussagen uber zu erwartende physikalische Wechselwirklichkeiten erforderlich. In den Naturwissenschaften und in der Technik sind es oftmals fluidmechanische Fragestellungen, die sowohl einen hohen strukturellen Aufwand (Windkanale, Stromungsmessstrecken), ausgefeilte numerische Methoden (Stromungssimulation, Computational Fluid Dynamics, CFD) als auch eine sehr hohe theoretische Sachverstandigkeit aller Beteiligten fordern. Die numerische Stromungsmechanik ist eine Schlussel- kompetenz in der Ingenieurausbildung. Rechnerverfugbarkeit und hoch performante CFD-Solver verdrangen klassische Simulationsmethoden wie beispielsweise die potentialtheoretischen Verfahren der Stromungsmechanik. Naturlich aus gutem Grund, jedoch: mit der Potentialtheorie stirbt gleichzeitig die Idee sowohl allgemeingultiger wie auch praxisorientierter Feldverfahren der Elektrodynamik einerseits und der Fluidmechanik andererseits. Besonders schmerzt der Verlust eines Verweises auf einen universalen gemeinsamen theoretischen Kern. AuRerdem ist der Potential-Code schnell. Stromungs- phanomene und deren computergestutzte Simulation konnten mit der Potentialtheorie in der Nahe der Echtzeit berechnet und dargestellt werden. Aber das wissen heute nur noch Freaks und alte Manner. Diesen kurzen Aufsatz sehe ich durchaus als einen Nachruf aus stromungsmechanischer Sicht.

Michel Felgenhauer, Berlin im Februar 2019

Intro: Simulationssoftware nimmt in den naturwissenschaftlichen und ingenieur-wissenschaftlichen Berufsfeldern einen zunehmend grofieren Anteil ein. Die meisten kommerziellen Computerprogramme zur Stromungssimulation verwenden so genannte Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen. Derartige CFD-Solver benotigen langere Rechenzeiten zur Simulation und Berechnung von Stromungswirklichkeiten. Wir sprechen von Stunden und Tagen. Auf der anderen Seite der Skala stehen Potentialtheoretische Verfahren. Hier verkurzen sich die Berechnungszeiten um den Faktor 1000.

POTENTIALLOSER

1 Die durch einen Potentialloser erstellte Stromungswirklichkeit kann in ausgesuchten Fallen mit hoher Wahrscheinlichkeit an das reale Stromungs- phanomen hinreichen. In der Potentialtheorie werden, unter Berucksichtigung spezieller Randbedingungen, geschlossene (Potential-) Gleichungen aufgestellt und gelost. Eingebettet in moderne Programmumgebungen konnen potential- theoretische Berechnungen sehr schnell sein. Aus der marinen Technik sind dreidimensionale Codes bekannt2, wir betrachten in diesem Aufsatz aber nur ebene Stromungsfelder. Wegen der Linearitat der Gleichungen gilt fur Potentialstromungen das Superpositionsprinzip, das die Darstellung und Berechnung komplexer Losungen aus der Uberlagerung von einfachen Stromungen fur die Elementarlosungen erlaubt. Fur Potentialstromungen ist die Zirkulation Null immer dann, wenn keine Festkorper oder Singularitaten eingeschlossen werden. Mit der Zirkulation lassen sich Wirbelstarke und Auftriebskrafte berechnen. Als Potential werden hierbei Skalarfunktionen verstanden, deren partielle Ableitung eine GroRe mit physikalischer Bedeutung angibt. Potentiallinien kennen wir als Hohenlinien in einer Landkarte oder als Isobaren auf einer Wetterkarte. Ist eine Stromung wirbelfrei, so folgen aus dem Gradienten der Feldfunktion die Geschwindigkeits-komponenten der Stromung. Bei wirbelfreien Stromungen sind die Vektorkomponenten nicht mehr unabhangig voneinander sondern uber das Potential verbunden. Nach dem Satz von Kutta-Joukowsky kann die auftriebsbehaftete Umstromung eines Profils als Kombination aus Parallel- und Zirkulationsstromung betrachtet werden, wenn die (Kutta'sche) Abfluss-bedingung erfullt ist. Diese fordert ein glattes Abstromen des Fluids an der Hinterkante.

Die Programmsysteme JAVAFOIL, EPPLER und XFOIL3 sind robuste, einfache Codes zur zwei-dimensionalen Stromungsberechnung nach der Potential- theorie und arbeiten mit einigen Einschrankungen. In dieser Untersuchung arbeite ich mit dem System JAVAFOIL. Die Betrachtung des Stromungs- geschehens in der Grenzschicht ist bei einem Potentialloser in aller Regel direktional; das bedeutet, dass die Grenzschichtanalyse keine Ruckmeldung an die potentialtheoretische Stromungslosung enthalt und keine (zur Konvergenz fuhrenden) Iterationsschleifen durchlaufen werden. Die Direktionalitat schrankt naturlich die Aussagekraft der berechneten Stromungswirklichkeit des Potentiallosers uber die reale Stromung ein. Fur das wandnahe Stromungs- geschehen berechnet JAVAFOIL keine laminaren Trennblasen und modelliert keine Stromungstrennung in derartigen Stromungsgebieten. Immer dann, wenn solche Effekte auftreten, werden die Berechnungsergebnisse ungenau. Eine Auftrennung der Stromung, wie sie bei Stall auftritt, wird nur bis zu einem gewissen Grad durch empirische modellierte Korrekturen beschrieben. Stromungstrennung und Stall speziell sind dreidimensionale Stromungs- geschehen und auch schnittweise durch einen zweidimensionalen Stromungs- loser nicht darstellbar. Fur Stromungszustande, die jenseits des Stallpunktes liegen, liefert der (zweidimensionale) PotentiaNoser ungenaue Ergebnisse. Eine genauere Analyse der Grenzschichtstromung wurde ein anspruchsvolleres Verfahren zur Losung der Navier-Stokes-Gleichungen erfordern; dies ist (im Falle einer CFD-Rechnung) mit einer Steigerung der CPU-Zeit um den Faktor 1000 verbunden.

Im PotentiaNoser JAVAFOIL ist eine klassische Panel-Methode implementiert, um das lineare Potential-Flow-Feld zu bestimmen. Wie bei den meisten Panel- Methoden erhoht sich die Losungszeit fur das lineare Gleichungssystem mit dem Quadrat der Anzahl der Unbekannten. Daher ist es ratsam, die Anzahl der Punkte auf Werte zwischen 50 und 150 zu begrenzen. Diese relativ kleine Zahl liefert bereits ausreichend Genauigkeit der Ergebnisse. Fur die Simulation der wandnahen (Grenz-schicht-) Stromung wird eine Grenzschichtintegration nach Eppler durchgefuhrt. Solche ganzheitlichen Methoden basieren auf Differential- gleichungen, die das Wachstum der Grenzschichtparameter in Abhangigkeit von der lokalen Stromungsgeschwindigkeit ermitteln. Wahrend genaue analytische Formulierungen fur laminare Grenzschichten vorhanden sind, ist fur den turbulenten Teil eine empirische Korrelationen erforderlich. Methoden zur Vorhersage des Ubergangs von laminar zu turbulenter Stromung wurden seit den fruhen Tagen der Prandtl'schen Grenzschichttheorie von vielen Autoren entwickelt. Grundsatzlich ist es moglich, die Stabilitat einer Grenzschicht numerisch zu analysieren. Dennoch sind alle praktischen und schnellen Methoden mehr oder weniger auf empirische Beziehungen angewiesen, die meist aus Experimenten abgeleitet sind. Die lokalen Parameter an einem Punkt P auf der Kontur des Profils sind das Ergebnis einer Integration (der StromungsgroRen um P) und enthalten und verarbeiten damit Informationen uber die Geschichte der Stromung. Die Wirkung der Rauigkeit auf den Ubergang von der laminaren in die tubulente Stromung ist komplex und kann mit einem Potentialloser nicht genau simuliert werden. Auch moderne direkte numerische Simulationsmethoden haben Schwierigkeiten den Effekt zu simu- lieren. JAVAFOIL besitzt einen Friktionsansatz mit dem zwei Effekte der Oberflachenrauigkeit modelliert werden: (1) Die laminare Stromung wird auf einer rauen Oberflache destabilisiert, was zu einem vorzeitigen Ubergang fuhrt und (2) laminare als auch turbulente Stromung erzeugen auf rauen Oberflachen einen hoheren Reibungswiderstand. Aus dem Vergleich mit Losungen aus Experimenten am Stromungskanal kann dem Potentialloser mit dem Ansatz reibungsfreier Stromung und dem Kriterium der Rotationsfreiheit in ausgesuchten Fallen eine zufriedenstellende Voraussage-wahrscheinlichkeit attestiert werden. Rotorfreie Potentialstromungen sind Wirbelstromungen. Unter der Drehung einer Stromung kann man sich die Rotation der einzelnen Fluidteilchen um die eigene Achse vorstellen.

Die Wirbelstarke w ist definiert als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Komponenten der vekt. Wirbelstarke w:

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Bei Potentialstromungen Ist die Stromung rotorfrei; es gilt also:

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Eine weitere wichtige GroRe als MaR fur die Drehung der Stromung uber eine Flache A ist die Zirkulation. Definiert ist Zirkulation r als Linienintegral der Geschwindigkeit uber eine beliebig geschlossene Kurve L im Stromungsfeld. Ob und im welchem AusmaR sich Wirbel auf einem Gebiet A befinden, kann demnach uber die Zirkulation bestimmt werden.

Mit Hilfe des Stokes'schen Integralsatzes lasst sich der Zusammenhang von Drehung und Zirkulation beschreiben. Fur Potentialstromungen ist die Zirkulation immer Null, wenn keine Festkorper oder Singularitaten mit eingeschlossen wurden. Uber die Zirkulation lassen sich Wirbelstarke und Auftriebskrafte berechnen. In der Potentialtheorie werden Stromungsfelder mittels Stromlinien dargestellt. Wenn Kontinuitat herrscht (0=8u/8x + 8v/8y) und das ist naturlich hier der Fall, ist die Stromlinie eine sehr anschauliche Metapher fur die Stromungswirklichkeit um einen Korper in der Art, dass sie die Tangenten der vektoriellen Hauptstromungsrichtung graphisch darstellt. In stationaren Stromungen reprasentieren die Stromlinien die Teilchenbahnen. Ausgenommen an Staupunkten, an denen sich mehrere Stromlinien treffen konnen, schneiden sich Stromlinien nicht, da an einem Punkt nicht gleichzeitig zwei Geschwindigkeiten herrschen konnen. Stromlinien sind also quasi fiktive Konstrukte und dennoch kommen sie uns alltaglich vor. Wie selbstverstandlich rauschen auf der abendlichen Wetterkarte Geschwindigkeits-Pfeile auf Strom­linien uber Isobaren und Temperaturfelder. Das Auge hat bereits verstanden, was Stromungen und Potentiale zu bedeuten haben.

Stromlinien sollen also mit einem Parchen aus zwei sehr nutzlichen Funktionen, einerseits der Stromfunktion F und einer ihr mathematisch sehr verwandten Potentialfunktion F beschrieben werden. Der auf den ersten Blick vielleicht umstandlich erscheinende Ansatz uber die Stromfunktion und eine auf dieser orthonormal abbildbaren Potentialfunktion, bringt tatsachlich Klarheit in die Argumentation.

Erinnern wir uns noch einmal an die StromungsgroRen p, u, v, w so werden die Stromlinien (in der ebenen Betrachtungsweise: x,y) durch genau diese Stromfunktion F = konst beschrieben. Fur die Geschwindigkeitskomponenten u und v schreiben wir:

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Dieser Ansatz ist sehr leistungsfahig und erfullt die oben angefuhrten Erhaltungssatze. Wir setzen die Stromfunktion (u=8F/8y) jetzt in die Kontinuitatsgleichung 0=8u/8x + 8v/8y ein:

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Wir hatten Rotorfreiheit gefordert, also: 0 = 8v/5x - 8u/8y und als eine Definition der Potentialstromung behandelt. Auch hier ersetzen wir die Geschwindigkeitskomponenten in der Beziehung in x-Richtung (u = 8Y/8y) sowie in y-Richtung (v = - 8Y/8x ) und erhalten die als Laplace-Gleichung bekannte Form:

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Die Anderung der Stromfunktion ist Null, die Stromfunktion selbst ist konstant. In unserem Definitionsfall zumindest4. Potentiale sind Skalarfunktionen, deren Ableitung nach einer Koordinate eine physikalische GroRe angibt (wir erinnern uns an die Wetterkarte oben im Text). Ist eine Stromung wirbelfrei, so ergeben sich die Geschwindigkeitskomponenten der Stromung aus dem Gradienten der Feldfunktion. Die Potentialfunktion F=F(x,y) zeigt demnach das Geschwindig- keitspotential des Vektorfeldes an, falls fur die Geschwindigkeit v gilt: v=gradF. Die Potentialfunktion fragt nach der Veranderlichkeit (Gradient) der Geschwindigkeit der (Stromungs-) Elemente in einem Stromungsfeld.

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Potentialfunktion F und Stromfunktion F stehen senkrecht auf einander. Dieser Zusammenhang zwischen den Ableitungen der Potentialfunktion F und jener der Stromfunktion F wird durch eine als Cauchy-Riemann- Differentialgleichung bekannte Form beschrieben.

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Potentialfunktion F und Stromfunktion F bilden ein orthogonales Kurvennetz:

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Auch die Anderung der Potentialfunktion ist Null und die Potentialfunktion selbst ist damit konstant.

Die Potentialtheorie ist unbequem, nicht besonders beliebt aber elementar. Die gesamte geschlossen-analytische, die klassische Stromungsmechanik, ist mit der Potentialtheorie herleitbar. Alle Wirbelmodelle, die (Wirbel-) Satze von Thomson und Helmholtz und auch der so uberaus nutzliche (Wirbel-) Satz von Biot und Savart basieren auf der speziellen Anwendung (Stromungsmechanik) einer allgemeinen Feldtheorie. Angewandt auf die Elektrotechnik ist der Satz von Biot und Savart beispielsweise das elektrodynamische Prinzip! Wir sollten nicht mude werden uber die Universalitat einer Feldtheorie zu grubeln. Eine Herleitung elementarer Potential-Stromungen findet man in den klassischen Lehrbuchern zum Thema. Sehr anschaulich und elementar werden Potential- und Stromfunktion entwickelt in Siegloch [Siegloch] der auch auf die Super- ponierbarkeit der Elementarlosungen eingeht und die konforme Abbildung als Methode zur Analyse beliebiger Profilkonturen erortert. Nutzlich sind in diesem Zusammenhang die potentialtheoretischen Ursachen und Zusammenhange mit der klassischen Wirbeltheorie in [Thamsen]. Kurz gehe ich ein auf eine auRerst elegante Schreibweise der Elementarlosungen der Potentialstromung. Zur Berechnung eines Geschwindigkeitspotentials wird die zweidimensionale Betrachtungsebene als komplexe Zahlenebene aufgefasst, in der der Wert des Potentials als Realteil einer Funktion F dargestellt wird:

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Die Funktion F ist das komplexe Geschwindigkeitspotential mit den beiden Geschwindigkeiten u und v

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Die komplexe Geschwindigkeit w ist dann:

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es gilt fur:

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Fur die Anwendbarkeit der Potentialtheorie auf stromungsmechanische Aufgabenstellungen wurden Verfahren entwickelt, die spezielle Fragen nach Geschwindigkeitsverteilungen, lokalen Druckgradienten nahe dem Stromungs- korper und den StromungsgroRen im naheren Umfeld der Kontur beantwor- ten. Eine ausentwickelte Methode ist das so genannte Panelverfahren, mit dem auch der in diesem Aufsatz beschriebene Potentialloser arbeitet. Das Panelverfahren ist eine lineare Randelementmethode fur Potentialstromungen und auf reibungs- und wirbelfreie Stromungen begrenzt. Wie andere numerische Diskretisierungsverfahren dient es der Analyse und Berechnung von Anfangs- und Randwertproblemen. Anders als bei Finite Volumen Verfahren etwa, liegt bei dieser linearen Randelementmethode eine sehr hilfreiche Vereinfachung in der Beschrankung der Diskretisierung auf die betrachtete Korperoberflache. Es ist also nicht notwendig, den gesamten Stromungsraum mit Volumenelementen beschreiben (zu diskretisieren). Ahnlich der Singularitatenmethode (siehe Elementarlosungen, oben) wird beim Panelverfahren zunachst die Korperoberflache in Panels mit Elementar- stromungen zerlegt. Nun lassen sich die Oberflachenkrafte dadurch ermitteln, dass im Flachenmittelpunkt der einzelnen Panels die Potentialgleichungen gelost werden. Jedes Panel tragt eine Verteilung an Potentialstromungen konstanter Starke. Zwischen den Panels allerdings variiert die Starke der Singularitaten. In einem nachsten Schritt wird die Quellstarke Q (Dipolmoment M fur Dipolstromungen) in den einzelnen Flachenelementen uber die Erfullung einer linearen Randbedingung ermittelt derart, dass die Stromlinien die Profiloberflache ersetzt und die Normalgeschwindigkeit verschwindet. Die Kontur wird also durch eine besondere Stromlinie reprasentiert. Auf dieser existiert nun lediglich die Tangentialgeschwindigkeit. Allerdings ist wegen der Reibungs- und Drehfreiheit die Stokes'sche Haftbedingung fur die Randkontur nicht erfullt und Widerstandskrafte und Schubspannungen konnen nicht (unmittelbar) aus den Ergebnissen der Potentialtheorie berechnet werden. In einem Potentialloser, der mit generalisierten Koordinaten arbeitet werden diese Geschwindigkeiten auf die Geschwindigkeit V^ aus der (Rand-) Anfangsbedingung bezogen so dass die dimensionslose Geschwindigkeit v/V^5 uber die Konturoberflache dargestellt werden kann. Das Verfahren liefert uns ein lineares Gleichungssystem aus dem sich die Geschwindigkeiten und auch die Druckfelder fur jeden Punkt im Stromungsfeld bestimmen lassen.

Der Druckkoeffizient cp6 besitzt einen Gradienten uber die Kontur cp(x) und wird mit der aus der klassischen Stromungsmechanik bekannten Form aus der lokalen, spezifischen Geschwindigkeit bestimmt. Hierbei wird die Bernoulli- Gleichung dazu benutzt, den Druck aus den Geschwindigkeitskomponenten zu ermitteln. Bernoulli p0 + % pTC V2 = p + % v(x)2 in [Pa]. Fur inkompressible Stromungen (p=pTC ) liefert das den lokalen Druckkoeffizienten cp(x)=p(x)/p0 aus einer Beziehung uber die Systemgeschwindigkeit V=v^ .

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Potentialtheoretische Verfahren zeichnen sich durch einen geringeren Rechenaufwand fur die Beschreibung stromungsphysikalischer Phanomene aus. Der Panel-Code ist sehr schnell und realisiert eine Software fur den Lehrbetrieb und Laborausbildung, die die Studierenden einladt und ermutigt, das experimentell Erfahrene und das theoretisch Erarbeitete in einer Com- putersimulation nachzustellen, oder selbst gestellte Aufgaben eigenverant- wortlich und mit einer selbst gewahlten Geschwindigkeit des Voranschreitens zu losen. Potentialloser sind gitterlose Berechnungsverfahren. Unter der Voraussetzung reibungsfreier, inkompressibler Stromung lassen sich mit potentialtheoretischen Berechnungsverfahren unter bestimmten Voraus- setzungen treffende Aussagen uber StromungsgroRen nahe der AuRenkontur (ausgesuchter) Stromungskorper machen. Mit dem Ansatz reibungsfreier Stromung konnen wichtige Erkenntnisse im Verhalten umstromter Korper gewonnen werden. Potentialstromungen fordern als zusatzliches Kriterium Rotationsfreiheit der Stromung (Wirbel hingegen sind drehungsbehaftete Stromungen). Aufgrund der sehr kurzen Berechnungszeiten von einigen Sekunden oder Minuten (Faktor 1/1000 gegenuber rezenten CFD-Programmen) werden Potentialloser anstelle von gemittelten Navier-Stokes Losern (RANSE) eingesetzt. Von wissenschaftlicher Relevanz sind Berechnungsprogramme und Stromungsloser, die sich in projektspezifische Umgebungen einbetten lassen. Dazu existieren anwendungsfreundliche Schnittstellen zu Berechnungsan- wendungen (Matlab, SciLab, Maple). Wirtschaftlich und technologisch relevant sind Computerprogramme, die auch kundenspezifische Aufgaben losen. Besondere Anforderungen an Hard- und Anwendungssoftware stellt die Simulation insbesondere dann, wenn schnelle Berechnungsergebnisse und Losungen erforderlich sind. Stromungs-darstellungen in virtuellen Raumen, wie etwa einer CAVE7 verlangen Berechnungen, die nahe an der Echtzeit rangieren. In Zukunft werden CAVE-Systeme nicht nur im Bereich der computer- unterstutzten Konstruktion (CAD) eingesetzt, um Entwicklern in einem dreidimensionalen Panorama-system das spatere Aussehen von Bauteilen, Komponenten oder ganzen Maschinenanlagen zu vermitteln, sondern angestrebt werden Szenarien, in denen physikalische Wechselwirkungen, etwa simulierte Stromungen in Echtzeit manipuliert und dargestellt werden konnen. Rezente CFD-Pragramme losen diese Aufgabe selbst dann nicht, wenn in einem ersten Hub auf exakte Berechnungen verzichtet werden darf.

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Statt eines Schlusswortes mochte ich die Aufmerksamkeit des geneigten Lesers auf obige Tabelle lenken. Es wurden einige physikalische GroRen aus Elektro- technik und Stromungsmechanik zusammengestellt, die unter dem gemein- samen Dach der Potentialtheorie ein Analogon bilden. Sicherlich ist die Schnittmenge aus der Sicht eines Physikers und gerichtet auf eine allgemeinen Feldtheorie erheblich groRer. Beschrankt und begrenzt zielt die Empfehlung, sich mit diesem wunderbaren Teil der physikalischen Welt zukunftig aus- giebiger auseinanderzusetzen an erster Stelle auf mich selbst.

Michel Felgenhauer, Berlin 2019

Bibliographie, Quellen und weiterfuhrende Literatur

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Textteile sind entnommen der Publikation: Dienst, Mi. (2017) Validierung einer potentialtheoretischen Berechnung mit einem 2D-CFD-Verfahren. GRIN-Verlag GmbH München.

2 Siehe z.B.: Perry van Oossanen, Justus Heimann, Juryk Henrichs, Karsten Hochkirch (2009) MOTOR YACHT HULL FORM DESIGN FOR THE DISPLACEMENT TO SEMI-DISPLACEMENT SPEED RANGE 10 th International Conference on Fast Sea Transportation FAST 2009, Athens, Greece, October 2009

3 Das frei verfugbare Programm JavaFoil ist in der Programmiersprache Java geschrieben. The potential flow analysis is done with a higher order panel method (linear varying vorticity distribution). Taking a set of airfoil coordinates, it calculates the local, inviscid flow velocity along the surface of the airfoil for any desired angle of attack. http://www.mh- aerotools.de/airfoils/iavafoil.htm

The Eppler program PROFIL from Public Domain Computer Programs for the Aeronautical Engineer containing the original source code, the source code converted to modern Fortran, and several test cases, references for the Eppler program and a revision of Eppler models that includes a correction for compressibility in: http://www.pdas.com/epplerdownload.html XFOIL wurde in den 1980er Jahren von Mark Drela als Entwicklungstool im Daedalus-Projekt beim Massachusetts Institute of Technology programmiert.

XFOIL ist ein interaktives Programm zum Entwurf und zur Berechnung von Tragflachenprofilen im Unterschallbereich.

4 Ist die Anderung der Stromfunktion ungleich Null, also (82Y/8x2 - 82Y/8y2 ) = D(x,y,t) eine orts- und zeitabhangige Funktion („Diffusionsterm D(x,yt)"), erhalten wir eine als „POISSON-Gleichung" bekannte Form.

5 Systemgeschwindigkeit V=v« .

6 cp =2 (p(x) - p0) / (p ■ V2) Normdruck p0 = 101 325 [Pa] = 101,325 [kPa] = 1 013,25 [ hPa] = 1 013,25 [mbar], Normzustand bei T= 273,15 [°K] bzw. T=0 [°C] entsprechend DIN 1343.

7 Cave Automatic Virtual Environment, abgekurzt: CAVE;

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Details

Titel
Anmerkungen zur Potentialtheorie und zur Fluidmechanik. Spezielle Auslegung eines universellen Verfahrens
Autor
Jahr
2019
Seiten
14
Katalognummer
V460617
ISBN (Buch)
9783668908031
Sprache
Deutsch
Schlagworte
anmerkungen, potentialtheorie, fluidmechanik, spezielle, auslegung, verfahrens
Arbeit zitieren
Michel Felgenhauer (Autor), 2019, Anmerkungen zur Potentialtheorie und zur Fluidmechanik. Spezielle Auslegung eines universellen Verfahrens, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/460617

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