Denk- und Sachaufgaben in Mathematik. Lösungswege einer 3. Klasse

2. Staatsexamensarbeit im Referendariat Grundschule im Fach Mathematik


Examensarbeit, 2011
44 Seiten, Note: 1,0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. Sachrechnen in der Grundschule
1.1. Sachaufgabe vs. Rechengeschichte?
1.2. Mathematisches Modellieren
1.3. Ziele und Funktionen des Sachrechnens
1.4. Offene Denk- und Sachaufgaben
1.5. Prozesse beim Lösen von offenen Denk- und Sachaufgaben
1.6. Lösungsdarstellungen/schriftliche Eigenproduktionen
1.7. Probleme bei der Bearbeitung offener Denk- und Sachaufgaben

2. Planung der Unterrichtseinheit
2.1. Lerngruppenanalyse
2.1.1. Beschreibung der Lerngruppe
2.1.2. Arbeits- und Sozialverhalten
2.1.3. Methodische Voraussetzungen
2.1.4. Fachliche Voraussetzungen
2.2. Didaktische Überlegungen
2.2.1. Allgemeine didaktische Überlegungen zur Unterrichtseinheit
2.2.2. Ziele der Unterrichtseinheit
2.2.3. Didaktische Überlegungen zu den Unterrichtsstunden
2.2.4. Begründung der Aufgabenwahl
2.2.5. Kooperative Arbeitsform und Gruppenzusammensetzungen
2.3. Methodische Überlegungen zu den Unterrichtsstunden

3. Bearbeitung ausgewählter offener Denk- und Sachaufgaben
3.1. Rechengeschichte „Die Schnecke im Brunnen“
3.2. Rechengeschichte „Die Größe der Mädchen“
3.3. Rechengeschichte „Handschläge beim Abschied“

4. Auswertung der Unterrichtseinheit und Fazit
4.1. Entwicklung der Darstellungsmöglichkeiten
4.2. Die große Motivation zur Bearbeitung der Denk- und Sachaufgaben
4.3. Fazit: Offene Denk- und Sachaufgaben als Möglichkeit eines anderen Zugangs zum Sachrechnen

5. Anhang
5.1. Literaturverzeichnis
5.2. Überblick über die Unterrichtseinheit
5.3. Schülerdarstellungen zu den Aufgaben der Unterrichtseinheit
5.3.1. Rechengeschichte „Wie alt sind die Kinder?“
5.3.2. Rechengeschichte „Wie viele Tiere könnte der Opa haben?“
5.3.3. Rechengeschichte „Wie viele Tiere scheucht Mutter auf?“
5.3.4. Rechengeschichte „Der Riesenkaugummi“
5.3.5. Rechengeschichte „Die Schnecke im Brunnen“
5.3.6. Rechengeschichte „Die Größe der Mädchen“
5.3.7. Rechengeschichte „Die Bremer Stadtmusikanten“
5.3.8. Rechengeschichte „Handschläge beim Abschied“

Einleitung

Sind SuS1 einer 3. Klasse in der Lage, problemhaltige Sachaufgaben zu lösen, die nicht mit dem aktuellen Unterrichtsthema in Verbindung stehen und ohne Anleitung einer Lehrperson oder eines anderen Erwachsenen nur auf ihren bisherigen mathematischen Erfahrungen aufbauen? Ist es möglich, die gemeinsame Bearbeitung in Gruppenarbeit zu organisieren und trotzdem die SuS zu individuellen Lösungswegen zu motivieren? Welche individuellen Lösungswege entwickeln SuS selbständig durch die Bearbeitung von offenen Denk- und Sachaufgaben, ohne passende Darstellungsmöglichkeiten vorgegeben zu bekommen?

Diese Fragen waren für mich so interessant, dass ich über einen Zeitraum von 2 Monaten wöchentlich eine Rechengeschichte in die Lerngruppe gab, die verschiedene Leitideen der Mathematik ansprach. Durch die Reflexion ausgewählter Darstellungen in den folgenden Stunden konnte ich einen deutlichen Zuwachs an Darstellungsmöglichkeiten beobachten und durch die immer neuartigen Aufgabentypen war bereits zu Beginn der Unterrichtsstunden eine Spannung spürbar, die sowohl leistungsschwache als auch leistungsstarke SuS motivierte, gemeinsam nach Lösungen zu suchen, diese miteinander zu diskutieren und in der an diese Phase anschließenden Verschriftlichung zunehmend individuelle Lösungswege auch innerhalb der Gruppen zu finden. Es war für mich überaus spannend, zu beobachten, wie die SuS von Stunde zu Stunde ihr Repertoire an Darstellungsmöglichkeiten erweiterten und sich aus diesen Möglichkeiten die für sie individuell passende Darstellungsform auswählten und zur Lösung der Aufgabe nutzten.

Was sind offene Denk- und Sachaufgaben und wie können diese von Grundschülern bearbeitet und individuell gelöst werden? Im ersten Teil meiner Arbeit werde ich erläutern, was der Unterschied zwischen schematisierten Sachaufgaben und offenen Denk- und Sachaufgaben ist und welche Prozesse zum Lösen dieser Aufgaben erforderlich sind. Die unterschiedlichen Darstellungsmöglichkeiten und auch die Form der Verschriftlichung der Lösungswege werden beschrieben. Im zweiten Teil stelle ich die Planung und Durchführung der Unterrichtseinheit dar. Dabei gehe ich auch auf die Auswahl der Aufgaben ein und stelle die verschiedenen Kooperationen für diese Unterrichtseinheit vor. Im dritten Teil untersuche ich einzelne Schülerergebnisse zu ausgewählten Aufgaben im Hinblick auf die Nutzung individueller Lösungswege. In einer Gesamtauswertung im vierten Teil der Arbeit versuche ich, meine Erkenntnisse während der Unterrichtseinheit darzulegen und die Konsequenzen für die weitere Unterrichtsgestaltung aufzuzeigen. Der fünfte Teil enthält weitere, nur wenig kommentierte Schülerdarstellungen aller bearbeiteten Aufgaben der Unterrichtseinheit.

1. Sachrechnen in der Grundschule

1.1. Sachaufgabe vs. Rechengeschichte?

„Sachaufgaben“, „Textaufgaben“, „Sachrechnen“, damit ist oftmals eine in Worte ge-kleidete Rechenaufgabe gemeint, die den gerade behandelten Unterrichtsstoff in textli-cher Form behandelt und für die SuS i.A. leicht erkennbar ist, da der Text „unmittelbar den Schlüssel zur Identifikation des [Aufgaben-]Typs“2 enthält und Zahlen und passende Rechenoperationen (z.B. „weniger als“ für die Subtraktion) daher zum gewählten Thema passen. Winter (2000, 7) bezeichnet dies als „Routineaufgaben“. Völlig gegensätzlich dazu sind die „Problemaufgaben“, die bei mir mit „offenen Denk- und Sachaufgaben“ (Rasch, 2008, 6) bezeichnet werden und die sowohl „unspezi-fisches Alltagswissen“ als auch „spezifisches mathematisches Wissen“ erfordern.3 Dies erfolgt durch einen Prozess des Modellierens und Verstehens, einen Problemlöseprozess, und erfordert von den SuS erheblich mehr kognitive Leistungen als das (meist) übliche „Frage-Rechnung-Antwort“-Schema der Routineaufgaben.

Sachrechnen: Das unbeliebteste Mathematikthema überhaupt, wenn man Erwachsene, aber auch ältere Schulkinder befragt.4 Weil es langweilig ist? Weil die Aufgaben doch nur eine Rechenaufgabe umschreiben? Weil die Texte und die Fragestellungen nicht aus der Lebenswelt der Kinder stammen – ist die Aufgabe „Im Theater sind von 390 Plätzen schon 180 besetzt. Wie viele sind noch frei?“ für Kinder wichtig? Reicht es nicht, dass es noch genug Plätze gibt, möglichst in der Mitte (was in solchen Aufgaben nie eine Rolle spielt) und neben der besten Freundin? Sind Kinder nach dem üblichen „Schema“-Sachrechnen überhaupt in der Lage, eine Aufgabe zu verstehen, als „Kapitänsaufgabe“5 zu identifizieren und die Unsinnigkeit deutlich zu machen? Offensichtlich mehrheitlich nicht, wie verschiedene Untersuchungen6 zeigen, die das Sachrechnen in der üblichen Form damit deutlich in Frage stellen.

Sachrechnen kann aber auch anders sein: Nicht als FRA7 -Routineaufgabe, sondern als „Rechengeschichte“. Eine Geschichte birgt in sich etwas Spannendes, Unge-wohntes. Ist die Geschichte nicht auf den ersten Blick zu lösen, aber in ihrer Sprache so weit an die Alltagswelt, den Umgangston der SuS angenähert, dass sie lösbar er-scheint, dann werden Kinder motiviert und sind auch bereit, sich über eine längere Zeitspanne auf diese eine Aufgabe einzulassen, sie im weiteren Verlauf in verschiede-nen Darstellungsformen aufzuzeigen und schließlich kreativ zu gestalten. Eine solche Aufgabe weckt dann auch das Interesse an einer weiteren Herausforderung, denn als solche sind die von mir in dieser Arbeit vorgestellten Problemaufgaben zu verstehen.

1.2. Mathematisches Modellieren

Zunächst muss die in der Aufgabe beschriebene Situation überhaupt erst verstanden werden: Dazu ist es notwendig, die Situation in das vorhandene Wissensnetz einzuord-nen und als ein strukturiertes Gesamtbild aufzubauen, das zur Fragestellung passt. Das Verständnis der Situation ist nur möglich, wenn alle Informationen verknüpft werden und nicht als isolierte Einzel-fragen erfasst werden.8 Gelingt der erste Prozess des Mathematisierens nicht, kann die Aufgabe nicht gelöst werden. Dies wird beispielsweise bei „gelösten“ Kapitänsaufgaben deutlich, indem die Zahlen der Aufgabe willkürlich und ohne Bezug zueinander in einer Gleichung verknüpft werden, um auf jeden Fall zu einem Ergebnis zu kommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Bewältigung einer Sachaufgabe bildet eine reale Situation die Ausgangs-lage mit einer (möglichst offenen) Frage-stellung.9 Die für die Lösung der Frage relevanten, mathematischen Daten müssen aus der Realsituation in ein reales Modell extrahiert werden können. Weitere Daten können durch Beobachten und Beschreiben beschafft werden. Im nächsten Schritt wird das reale Modell in ein mathematisches Modell übersetzt, durch Mathematisierung bzw. mathematische Modellierung. Dabei kann es zu einem realen Modell durchaus auch mehrere (richtige) mathematische Modelle geben, gelenkt durch die Frage-stellung, Vereinfachen oder Präzisieren. Mithilfe der mathematischen Operationen werden die Daten dann zu einem mathematischen Resultat verarbeitet, ein bisher unbekanntes mathematisches Problem kann durch Vereinfachen des Realmodells zu einem lösbaren mathematischen Modell verändert werden. Der letzte Schritt ist die „Rückinterpretation“ der Ergebnisse in die reale Situation und Überprüfung der Lösung. Treten dabei Widersprüche auf, muss der gesamte Prozess erneut durchlaufen werden, wobei Veränderungen erforderlich sind.10

1.3. Ziele und Funktionen des Sachrechnens

Um das Sachrechnen zu verbessern, um es anschaulicher, motivierender zu machen, der Lebensumwelt der SuS stärker anzunähern, gibt es seit den 80er Jahren Bestre- bungen, die an die Ideen der Reformpädagogik der Nachkriegszeit anknüpfen.11

Ziele des heutigen Sachrechnens sind vor allem die Umwelterschließung zur Bewältigung von Alltagssachverhalten. Dies kann, soll es dem Leben entsprechen, nur durch eine komplexe Situationsdarstellung erfolgen, die allerdings die Grundschüler überfordern könnte. Daher ist eine Reduktion notwendig, die die Realsituation jedoch nicht verändert sollte. Ein Problem ist das situative Wissen12, d.h. Mathematik wird in der Schule anders verwendet als im Alltag und die in einer Sachaufgabe erarbeitete arithmetische Struktur wird meist nicht auf eine andere, ähnliche Aufgabe übertragen. Daher wäre es notwendig, dass nicht nur die Sache im Vordergrund steht, sondern als weiteres Ziel des Sachrechnens auch das mathematische Modell.13 Um zu einem mathematischen Modell zu kommen, ist es notwendig, Teilleistungen, die beim Bear-beiten komplexerer Sachsituationen benötigt werden, regelmäßig zu üben. Dies erfolgt häufig durch „Routineaufgaben“, die, aufbauend auf dem gerade behandelten Thema, einen Sachbezug zur Realität haben, der jedoch nicht diskutiert wird, und deutliche Hinweise auf die auszuführenden Rechenoperationen enthalten. Das Modellieren erfolgt dabei formal und meist ohne stärkeren Bezug zum Text.14 Um Problemlösefähigkeiten zu entwickeln, ein weiteres Ziel des Sachrechnens, sind diese Aufgaben nicht ausreichend, da SuS zunächst davon ausgehen, dass Sachaufgaben „irgendwie“ gerechnet werden müssen, und meist keine heuristischen Arbeitsweisen zur Texterschließung ausbilden. Das sinnvolle Verknüpfen von gegebenen Zahlen muss daher erlernt werden, indem die SuS mittels realistischer Sachprobleme oder Knobelaufgaben („Denk- und Sachaufgaben“) üben, wie systematisch vorgegangen wird und Techniken wie selektives Lesen, Unterstreichen, In-Beziehung-Setzen angewendet werden.15 Damit ergibt sich die Problematik beim Sachrechnen, dass, um Strategien zu erlernen, die Sachinformation reduziert werden müsste, zur Umwelterschließung und Problemlösung jedoch eine ganzheitliche Darstellung notwendig wäre. Konsequenz (nach Franke, 2001, 27) daraus ist, dass alle Ziele des Sachrechnens gleichermaßen behandelt werden sollten und eine Konzentration auf nur ein Ziel (i.A. die Routineaufgaben) nicht sinnvoll ist.

Die Funktionen des Sachrechnens im Mathematikunterricht, mittels derer die vorgenannten Ziele erreicht werden sollen, können im Unterricht nicht voneinander getrennt werden, sind hier aus didaktischen Gründen jedoch getrennt vorgestellt: Sachrechnen als Lernstoff umfasst das Kennenlernen von Größen und ist Grundlage des Sachrechnens. Zählen, messen, schätzen sind Methoden zum Gewinnen von Daten; Maßsysteme kennenzulernen ermöglicht den Aufbau realistischer Vorstellungen über Größen; Methoden zum Darstellen und Verarbeiten von Daten in Tabellen, Skizzen, Graphiken, Diagrammen ermöglichen das In-Beziehung-setzen von Werten und damit Verdeutlichen und Interpretieren, um eine Fragestellung zu lösen.16 Beim Sachrechnen als Lernprinzip werden Bezüge zur Realität hergestellt, so dass die SuS stärker für das Lernen mathematischer Begriffe und Verfahren aktiviert werden können, indem sie aus ihrem eigenen Erfahrungsbereich Vorkenntnisse nutzen. Die Sach-situation dient dabei als Ausgangspunkt für einen Lernprozess und durch die Verkör-perung der Situation wird das Thema für die SuS lebendiger, spannender und an-schaulicher, als dies von einer rein mathematischen Thematisierung ermöglicht werden könnte. Die wichtigste und schwierigste Funktion ist Sachrechnen als Lernziel zur Umwelterschließung17, der die beiden vorgenannten Funktionen umfasst und darüber deutlich hinausgeht. Sachrechnen ermöglicht dabei das Erfahren der Umwelt und Umsetzen/Modellieren der Eindrücke in mathematische Situationen, das Lösen und Übertragen der Ergebnisse in die Realität.18 Das Modell ist eine Konstruktion, die nur einige Aspekte der Realität umfasst; dies sollte den SuS verdeutlicht werden, um sie zu befähigen, kritisch an ihnen präsentierte Zahlen und Darstellungen heranzutreten.19

1.4. Offene Denk- und Sachaufgaben

Dabei handelt es sich um „Aufgaben, zu deren Lösungsfindung z.B. ungleiche Teile gebildet werden müssen oder gegebene Daten verschieden kombiniert und möglichst alle Kombinationen gefunden werden müssen“20. Der Aufgabenlöser findet nicht sofort eine Lösung, da nicht ein einfacher Algorithmus zur Verfügung steht, der durch Abarbeiten der einzelnen Aufgabenbedingungen zur Lösung führt. Die Aufgaben knüpfen zwar an den Erfahrungsbereich der Kinder an, durch die ungewohnten mathematischen Zusammenhänge wird jedoch ein neues, anderes Nachdenken über eigentlich gewohnte Handlungen angeregt (s. Aufgabe „Handschläge“).21

Der Aspekt der Offenheit ist dann gegeben, wenn Daten nicht sofort verwendbar sind, sondern erst umgedeutet oder umgeordnet werden müssen oder es keine oder sogar mehrere Lösungen geben kann.22 Vorhandenes Wissen kann nicht einfach abgerufen werden, sondern muss so strukturiert werden, dass es als Lösungswissen eingesetzt werden kann.23 Dabei werden meist Aufgaben ausgewählt, die für SuS eine „Herausforderung“ aufgrund des teilweise noch fehlenden mathematischen Instrumentariums bedeuten und die SuS daher ganz unterschiedliche Lösungsansätze entwickeln können.24 „Offen“ können Textaufgaben auch sein, wenn das Sachrechnen nicht an den gerade behandelten arithmetischen Stoff gebunden ist, sondern die Sache selbst im Vordergrund steht und die SuS selbst entscheiden, welchen Lösungsweg sie einschlagen, welche Repräsentationsform sie zur Darstellung ihres Lösungsweges nutzen und auf welcher Ebene (enaktiv, ikonisch, symbolisch) sie die Aufgabe lösen.25

Aktiv-entdeckendes Lernen wird ermöglicht, wenn Kinder ermutigt werden, ihr Vorwissen zu aktivieren; sie angeregt werden, über ihre eigene Vorgehensweise nachzudenken und mit der anderer zu vergleichen; sie dabei unterstützt werden, zunehmend effizientere und weniger fehleranfällige Vorgehensweisen zu entwickeln und damit nicht kleinschrittig eine einzelne Kenntnis und Rechenfertigkeit nach der anderen erlernen, sondern durch Knüpfen eines Wissensnetzes und Ausnutzen von Zusammenhängen in die Lage versetzt werden, auch komplexere Aufgaben wie Denk- und Sachaufgaben zu lösen.26

In dieser Arbeit werden „Rechengeschichten“ gelöst. Glaser/Neubert27 sehen in Rechengeschichten Sachaufgaben, die aus mehreren Sätzen bestehen, die eine zu mathematisierende Situation enthalten. Alle erforderlichen Informationen und Daten zur Lösung des Problems sind gegeben und die Rechengeschichte wird durch eine zu lösende Fragestellung beendet. Rechengeschichten müssen gerade nicht realistisch sein, sondern können eine fiktive, die SuS besonders interessierende Situation (z.B. ein Märchen) darstellen, dann bedeutet der Text nicht eine Einkleidung von Zahlen, sondern ist selbst anregend.28

1.5. Prozesse beim Lösen von offenen Denk- und Sachaufgaben

Die in dieser Einheit verwendeten Textaufgaben haben eines gemeinsam: Sie lösen Denk- und Problemlöseprozesse aus. Obwohl es jeweils individuelle Denkprozesse gibt, wenden Kinder zur Lösung von Problemen doch auch Gesetzmäßigkeiten und Regeln an, die von verschiedenen Autoren29 zu 4-Phasen-Modellen entwickelt wurden. Die Modelle enthalten i.A. die Phasen der

1. Problemdefinition/Aufgabenverständnis,
2. Aufstellen einer Strategie/eines Plans,
3. Durchführung des Plans,
4. Evaluierung des Ergebnisses bezüglich des Ziels und ggfs. Rückschritt auf die erste Phase bei Nicht-Lösung des Problems.

Nach Rasch (2001, 44) besteht bei diesen Modellen jedoch die Gefahr, ein Nacheinander der Phasen vorzugeben und nicht das Überspringen bzw. die Gleichzeitigkeit von einzelnen Phasen zu berücksichtigen. Gerade Grundschulkinder, anders als Erwachsene, beginnen nach dem Hören bzw. Lesen einer Aufgabe sofort mit Lösungsversuchen, die meist nicht mit einer Strategieplanung einhergehen, sondern oft spontane Probierstrategien darstellen. Ist eine (vermeintlich richtige) Lösung gefunden, evaluiert das Grundschulkind (nach Rasch) nicht und betrachtet sich die Bedingungen der Aufgabe unter Beachtung der Zielvorgabe sowie des tatsächlichen Ergebnisses, sondern beendet damit seinen Problemlöseprozess.30

Problemlösestrategien bezeichnet man auch als Heurismen. Sie können zum Ziel führen, dies ist jedoch nicht garantiert. Im Gegensatz dazu ist der Algorithmus (z.B. in Routineaufgaben)31 eine Methode, die immer zu einer Lösung eines bestimmten Aufgabentyps führt. Das heuristische Verfahren ist meist unsystematisch und erfahrungsabhängig. Ein Problem kann nicht mit einem algorithmischen Schema abgearbeitet werden, sonst wäre es eine Aufgabe, nicht aber ein Problem. Bei bestimmtem Vorwissen kann allerdings ein erfolgreicher Lösungsheurismus zu einer algorithmischen Vorgehensweise führen.32 Jede Person besitzt eine Gesamtheit an Heurismen, die miteinander verknüpft und die sehr individuell angelegt sind. Vom Problemlöser werden einzelne Aktionen/Heurismen probeweise zu Ketten zusammengesetzt und ergeben einen Vorgehensplan, der auch wieder teilweise verworfen werden und durch andere Heurismen ergänzt werden kann.33 Um eine Aufgabe zu lösen, muss der Problemlöser zunächst die (wortsprachliche) Situation möglichst vollständig und genau rekonstruieren, mit dem Ziel, mathematische Operationen passend zuzuordnen, so dass er die Situation auf der symbolischen Ebene lösen kann. Der verwendete Abstraktionsgrad der Darstellungsform ist abhängig von den vorhandenen Schemata des Problemlösers, aber auch von der Aufgabe selbst. Daher muss jeder Problemlöser individuell Entscheidungen treffen über eine symbolische, ikonische, gelegentlich sogar enaktive Vorgehensweise, um sein Ziel, die Aufgabenlösung, zu erreichen.34

Um heuristische Strategien zu fördern, sollten durch anspruchsvolle Aufgaben problemlösende Aktivitäten ausgelöst werden, so dass die Problemlöser allein oder in Gruppen frei ihr Vorgehen bestimmen können. Heuristische Strategien werden daher nicht vermittelt, sondern durch Problemaufgaben ein heuristisches Herangehen an Aufgaben gefördert, bei dem Kinder durch probierende Aktivitäten immer stärker mathematische Beziehungen nutzen und daraus dann passende Strategien selbst entwickeln können.35 Nach Adams (1989) kann durch die Erprobung von Wissen, Prozessen und Strategien in vielen verschiedenen Situationen zunehmend vom spezifischen Kontext auf ein abstraktes, allgemein anwendbares Wissen abstrahiert werden.36 Problemlösungsmethoden können nach allgemeiner Auffassung37 wie folgt eingeordnet werden:38 39

- Ziel-Mittel-Analyse: Der Problemlöser kennt die Ausgangslage und das Ziel, weiß aber noch nicht, wie er es erreichen kann. Er wählt verschiedene Mittel wie Tabellen, Skizzen u.a. aus, die ihm geeignet erscheinen, zum Ziel zu kommen.
- Suchstrategien: Das Suchen ist die hauptsächliche Aktivität des Problemlösens. Dabei werden verschiedene Alternativen gesucht und überdacht. Diese Strategie wird auch bei der Ziel-Mittel-Analyse eingesetzt.40
- Strategie des Generierens und Testens von Lösungen: Eine gerade überlegte Lösungsmöglichkeit wird überprüft, evtl. verworfen und durch eine andere Lösungs-idee ersetzt. Allerdings ist die Strategie öfters ineffektiv, da zu unsystematisch vorgegangen wird und der Bereich des Lösungsideen zu groß gestreut ist.
- Suchraumeingrenzung: Indem nicht jede Idee überdacht wird, sondern zunächst eine Parallele zwischen einer bekannten Sachlage und dem Problem gesucht wird, wird der Bereich der Lösungsideen stark eingegrenzt und die Suche effektiver. Das Probieren erfolgt systematischer und weniger zufallsgesteuert.

1.6. Lösungsdarstellungen/schriftliche Eigenproduktionen

Wie kann man SuS dazu aktivieren, eigene Vorgehensweisen darzulegen? – Indem man sie bittet, ihren individuellen Lösungsweg zu einer Aufgabe aufzuschreiben.

Wie kann man SuS dazu aktivieren, die Vorgehensweise anderer SuS kennenzulernen und nachvollziehen zu können? – Indem sie Lösungsbeispiele anderer SuS diskutieren und ihre Aufgaben in der vorgestellten Form lösen.

Wie kann man SuS dazu aktivieren, besonders passende und effiziente Vorgehens-weisen zur Lösung einer Aufgabe zu finden? – Indem sie eine Aufgabe auf verschiedene Weisen lösen und diese Lösungen diskutieren, verschriftlichen, darlegen.41

„Eigenproduktionen sind mündliche oder schriftliche Äußerungen, bei denen die SuS selbst entscheiden können, wie sie vorgehen und/oder wie sie ihr Vorgehen bzw. dessen Ergebnisse darstellen.“42 Kommunikation erfolgt i.A. im mündlichen Gespräch, nach Gallin/Ruf (1991) ist damit jedoch auch die schriftliche Auseinandersetzung/ Kommunikation gemeint, bei der der Lernende ein Gespräch mit dem Lehrer, aber auch mit sich selbst führt.43 Die schriftliche Darstellung in Form von Texten, Zeichnungen, Erklärungen und symbolischen Darstellungen von Rechenwegen erlaubt es allen SuS, zu Wort zu kommen. Die Ergebnisse der Eigenproduktionen können als Material für den weiteren Unterrichtsverlauf genutzt werden (als Beispiele für Lösungsdarstellungen zur Erweiterung der von jedem SuS bisher genutzten Möglichkeiten) und zum Nachdenken über das eigenen Vorgehen anregen.44 Aufgabenlöser sind häufig erfolgreich, wenn sie eine dem Problem angemessene Darstellung gefunden haben. Wird ein Lösungsrahmen bereits vorgegeben, z.B. eine Skizze an der Tafel, dann wird die individuelle Lösungsbildung jedoch unterdrückt und auf eine einzige Darstellung reduziert.45

Hain46 stellt in diesem Zusammenhang die Frage, ob eine selbst angefertigte Zeichnung beim Lösen einer Aufgabe hilft? Eine berechtigte Frage, denn im Verlauf der Unterrichtseinheit konnte ich beobachten (vornehmlich bei der Aufgabe „Bremer Stadtmusikanten“), dass einige SuS die Idee der Skizze von Gruppenmitgliedern übernahmen, diese aber unreflektiert, unmaßstäblich und ohne Bedeutung für ihren eigenen Lösungsweg einfach nur nachzeichneten. Bei diesen SuS ist daher das Anfertigen eines Schaubildes, das vorher noch nicht explizit eingeübt wurde, eher eine zusätzliche Aufgabe. Doch sollte diese Überlegung nicht der grundsätzlichen Art der Unterrichtseinheit entgegenwirken, da gerade die erste Annäherung an solche Skizzen und die in einer weiteren Aufgabe vertiefte und dann auch richtig eingesetzte Skizze ein Ziel dieser Einheit war. Das Trainieren der Fähigkeit, zu einem Text eine Skizze anzufertigen und dabei visuelle und schriftliche Informationen zu verknüpfen, kann in einer solchen Unterrichtseinheit sichtbar verbessert werden, und durch die eigenver-antwortliche Auswahl eines Darstellungsmittels denken die SuS verstärkt über ihre Rechenwege nach.47 Die Lösungsdarstellung in verschiedenen Darstellungsformen zeigt sich bei flexiblen Denkern, die ihre Strategie überdenken und ggfs. eine weitere Strategie verwenden.48

Welche Lösungsdarstellungen können von Grundschülern erwartet werden?

Eine Tabelle stellt Daten knapp und übersichtlich in Zeilen und Spalten dar und ermöglicht eine übersichtliche Darstellung von komplexen Zusammenhängen. Eine Tabelle kann zur Klärung der Sachsituation dienen und ermöglicht effizient das Herausarbeiten von notwendigen Rechenoperationen.49

Eine Skizze stellt Zusammenhänge der Sachsituation bildlich dar. Die Skizze kann ein Situationsmodell sein, aus dem die Lösung „abgeschaut“ werden kann. Sie ist auch eine Hilfe für die Lehrkraft, um festzustellen, ob sich Kinder ein Bild von der Situation gemacht haben. Eine Skizze ist kein „schönes Bild“, und diese Unterscheidung fällt SuS zunächst schwer. In einer Skizze eingesetzte Abstrahierungen (Symbole, Abkürzungen, Strichmännchen u.ä.) sind bei den SuS nicht automatisch vorhanden, sondern müssen erst erarbeitet werden.50

Das Schaubild/Diagramm eignet sich besonders, um Unterschiede zu verdeutlichen. In der Grundschule handelt es sich i.A. um Säulendiagramme, Balkendiagramme, Streifenmodelle; in dieser Unterrichtseinheit kamen die SuS auch auf die Idee, ein Stabdiagramm (ein Säulendiagramm mit sehr schmalen Säulen) zu verwenden.51

1.7. Probleme bei der Bearbeitung offener Denk- und Sachaufgaben

Um eine Sachaufgabe zu lösen, sind viele Teilfähigkeiten erforderlich, die die mathematische Modellbildung ermöglichen. Oft scheitern SuS bereits, indem sie vorgegebene Zahlen durch eine (nicht passende) Operation miteinander verknüpfen, die gerade im Unterricht „behandelt“ wurde. Dies kann daran liegen, dass der Text nicht interessiert und nur die Zahlen betrachtet werden. Oder der Text wird aufgrund unklarer Wortbedeutungen nicht verstanden. Die Situation könnte den SuS völlig unbekannt sein. Auch wenn SuS die beschriebene Situation nicht mit einer Rechenoperation in Verbindung bringen können, kann eine mathematische Modellbildung schwierig bis unmöglich sein.52 Auf der mathematischen Ebene ist die richtige Anwendung der Rechenoperationen sowie oftmals die Kenntnis von Größen erforderlich, das sind weitere Fehlermöglichkeiten. Die Interpretation der Ergebnisse und der Rückgriff auf die Sachebene erfordern eine Plausibilitätsprüfung anstelle des bedenkenlosen Übernehmens völlig sinnloser Ergebnisse und ist ein weiterer Problempunkt auf dem Weg zur Lösung von Sachaufgaben.53

Es ist daher sinnvoll, eine Sachaufgabe zunächst durch die SuS nacherzählen und erste Lösungsideen gemeinsam besprechen zu lassen (s. 2.4.). Ebenfalls ist es erforderlich, eine Aufgabe zu reflektieren und unterschiedliche Lösungswege durch die SuS erklären und damit für alle SuS nachvollziehbar zu machen.

...


1 Ich verwende die Abkürzung „SuS“ in dieser Arbeit durchgängig für „Schülerinnen und Schüler“.
Die Namen der SuS wurden anonymisiert.

2 Winter, Heinrich: Sachrechnen in der Grundschule. 5. Aufl., Berlin, 2000, S. 7

3 Winter, 2000, S. 8

4 dabei handelte es sich um eine eigene Umfrage im Bekanntenkreis und unter den eigenen Kindern

5 Beispiel: „Auf dem Schiff gibt es 5 Hunde und 12 Schafe. Wie alt ist der Kapitän?“

6 z.B. Radatz, 1983, S. 214, in: Franke, Marianne: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Heidelberg/Berlin, 2003, S. 99

7 FRA=Frage-Rechnung-Antwort

8 Winter, 2000, S. 8

9 Krauthausen, Günter/Scherer, Petra: Einführung in die Mathematikdidaktik, 2007, S. 76f.

10 Franke, 2003, S. 74f.

11 Franke, 2003, S. 19

12 Franke, 2003, S. 26, nach Bauersfeld, 1983

13 Franke, 2003, S. 27

14 Franke, 2003, S. 22

15 Franke, 2003, S. 23f.; sinnloses Verknüpfen kann bei „Kapitänsaufgaben“ beobachtet werden

16 Winter, 2000, S. 15; auch: Franke, 2003, S. 27f.

17 Hessisches Kultusministerium: Rahmenplan Grundschule. Wiesbaden, 1995, S. 144

18 Das Modellieren wird unter 1.2. ausführlich beschrieben.

19 Rahmenplan, S. 148

20 Rasch, Renate: Zur Arbeit mit problemhaltigen Textaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Hildesheim/Berlin, 2001, S. 11, S. 26f.

21 Rasch, Renate: 42 Denk- und Sachaufgaben. 3. Aufl., Seelze-Velber, 2008, S. 5

22 Rasch, 2008, S. 6

23 Rasch, 2001, S. 26f.

24 Franke, Marianne: Aufgaben, die das Leben schreibt. In: Ruwisch, Silke/Peter-Koop, Andrea: Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. 4. Aufl., Offenburg, 2009, S. 79

25 Franke, 2009, S. 78

26 Spiegel, Hartmut/Selter, Christoph: Kinder & Mathematik. Was Erwachsene wissen sollten. 5. Aufl., Seelze-Velber, 2008, S. 30f.

27 Glaser, Birgit/Neubert, Bernd: Wir erstellen eine Rechengeschichtenkartei. In: Grundschulunterricht 2/2006, Oldenbourg-Verlag, S. 36f.

28 Schütte, Sybille: Rechengeschichten statt Textaufgaben: Mathematik und Sprache verbinden. In: Die Grundschulzeitschrift 102/1997, Friedrich Verlag, S. 8f.

29 Wallas (1926), Wessels (1990), Polya (1949, 1995), in: Rasch, 2001, S. 41ff.

30 Meine Beobachtungen der Schülergruppen während der Bearbeitung der Textaufgaben deckt sich zwar teilweise mit Rasch, allerdings konnte bei einzelnen SuS durchaus auch eine Planung der Strategie sowie eine Überprüfung des Ergebnisses mit anschließendem Rückschritt auf die 1. Phase bei Nicht-Erfolg beobachtet werden. Ich denke daher, diese Modelle sind mit zunehmendem Alter der SuS stärker vertreten, haben jedoch auch ihre Bedeutung bei Grundschulkindern.

31 Walther, Gerd/Heuvel-Panhuizen, Marja van den/Granzer, Dietlinde/Köller, Olaf (Hrsg.): Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret. 4. Aufl., Berlin, 2010, S. 114

32 Rasch, 2001, S. 50

33 Rasch, 2001, S. 51

34 Rasch, 2001, S. 48f.

35 Rasch, 2001, S. 58

36 Rasch, 2001, S. 60

37 s. Rasch, 2001, S. 52

38 Rasch, 2001, S. 52ff.; Franke, S. 72ff.

39 ich habe die „Strategien der Repräsentativität und Verfügbarkeit“ und der „Vorwärts- und Rückwärtssuche“ ausgelassen, da ich sie bei meiner Untersuchung nicht beobachten konnte

40 Rasch (2001, 54) sieht die Suchstrategien als häufigst verwendete Strategie des Problemlösens, allerdings nicht in der Form des „Versuch und Irrtums“, sondern mit dem Ziel, vorhandenes Wissen und Fähigkeiten in den Lösungs-findungsprozess miteinzusetzen. Die anderen Strategien wurden in der Untersuchung von Rasch selten beobachtet.

41 Selter, Christoph: Rechnen auf eigenen Wegen. In: Schule heute 4/2004, S. 10

42 Selter, Christoph: Eigenproduktionen im Arithmetikunterricht. In: Müller, Gerhard N./Wittmann, Erich Ch. (Hrsg.): Mit Kindern rechnen. Arbeitskreis Grundschule – Der Grundschulverband. Frankfurt/Main, 1995, S. 138

43 Gallin/Ruf 1991, in: Rasch, 2001, S. 70

44 Selter, 1995, S. 139

45 Rasch, 2001, S. 47

46 Hain, Eva-Tabea: „Mache eine Zeichnung, die dir beim Rechnen hilft!“ In: Grundschulunterricht 2/2006, Oldenbourg-Verlag, S. 22

47 Hain, S. 23

48 dies ist meine Beobachtung im Verlauf der Einheit, da durch die Kooperation ggfs. auch mehrere Strategien angesprochen und teilweise auch erarbeitet wurden

49 Pfaller, Monika: Sachrechnen im 3. Schuljahr: Anknüpfen und Vertiefen – Manege frei für Lösungsschritte, Lösungshilfen und Größen. In: Häring, Gudrun (Hrsg.): Start in den Unterricht – Mathematik Klasse 3. 2010, Friedrich Verlag, S. 59

50 Pfaller, S. 58

51 Pfaller, S. 59

52 Kaufmann, Sabine: Üben von Teilqualifikationen zum Sachrechnen. In: Grundschulunterricht 2/2006, Oldenbourg-Verlag, S. 24

53 Kaufmann, S. 25

Ende der Leseprobe aus 44 Seiten

Details

Titel
Denk- und Sachaufgaben in Mathematik. Lösungswege einer 3. Klasse
Untertitel
2. Staatsexamensarbeit im Referendariat Grundschule im Fach Mathematik
Hochschule
Studienseminar für Grund-, Haupt-, Real- und Sonderschulen Frankfurt
Note
1,0
Autor
Jahr
2011
Seiten
44
Katalognummer
V461755
ISBN (eBook)
9783668905450
ISBN (Buch)
9783668905467
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Lösungswege, Grundschule, Mathematik, Rasch, Rechengeschichte, Sachaufgabe, Denkaufgabe, Textaufgabe, problemhaltige Aufgaben, 3. Klasse, offene Aufgabe, Sachrechnen, offene Denk- und Sachaufgabe, Frage-Rechnung-Antwort, mathematisches Modellieren, Radatz, Franke, Didaktik Sachrechnen, Problemaufgabe, Krauthausen, Scherer, Mathematikdidaktik, Problemlösefähigkeit, Glitsch, Christine Glitsch
Arbeit zitieren
Christine Glitsch (Autor), 2011, Denk- und Sachaufgaben in Mathematik. Lösungswege einer 3. Klasse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/461755

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