Es wird bewiesen, dass für jedes x aus (1,2,3,........) der Menge N der natürlichen Zahlen eine Collatzfolge T(x) mit Lenge l (1,2,3,.....) existiert. Die Lenge l ist die Anzahl der Elemente von T(x). Es wird angenommen, die Aussage es gibt für jedes x aus (1,2,3,4,.......) ist falsch. Das führt zu einen Widerspruch zur obigen Aussage. Es gibt eine Collatzfolge T(x) mit beliebiger Lenge.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Beweis der Collatz Vermutung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, eine mathematische Lösung für das bekannte Collatz-Problem (auch 3x+1-Problem genannt) vorzustellen und durch den Einsatz von Äquivalenzbeziehungen zu belegen.
- Grundlagen und Definition der Collatz-Vermutung
- Analyse der Trajektorien von Zahlenfolgen
- Untersuchung von Äquivalenzbeziehungen zwischen Zahlenfolgen
- Nachweis der Existenz von Collatz-Folgen für jede Länge
- Formulierung eines mathematischen Beweises durch Widerspruch
Auszug aus dem Buch
Beweis der Collatz Vermutung
Wir zeigen es gibt unendlich viele Folgen der Länge l. Die Länge einer Collatz Folge ist gleich der Anzahl ihrer Elemente. Falls zwei Collatz Folgen mindestens in einem Element übereinstimmen, sind sie äquivalent[1]. Es genügt, die Vermutung für alle ungeraden natürlichen N , zu beweisen. Sei Mod[1,3] =1, dann gilt u1 ( 2k+1 – 1) /3 , {k, 3, ∞, 2}={5,21,85,341,1365,5461,21845,87381,349525,1398101,5592405,22369621,89478485,357913941, … . . } Fu1[87381]={87381,1}.
Leicht sieht man, alle Elemente von u1 : 1) Sie sind äquivalent 2) Sie haben die Länge 2 3) Ihre Modi bezüglich 3 sind {2,0,1,2,0,1,……..}. U2=(85 2k+1 – 1) /3 , {k, 1, ∞, 2}={113,453,1813,7253,29013,……} 1) Sie sind äquivalent 2) Sie haben die Länge 3 3) Ihre Modi bezüglich 3 sind {2,0,1,2,0,1,……..}. Das heißt für jede Länge l existiert eine Collatz Folge (l €{1,2,3,……..}.
Nach [1] Observation 8 genügt es zu zeigen , dass die Menge der ungeraden Zahlen umfasst wird von der Menge Uj. u1 = ((2k – 30 20)31), {k, 1, ∞}={3,9,21,45,93,189,381,765,1533,3069, … }, u2 = (2k – (31 20 + 30 21))/32 , {k, 1, ∞}={3,227,14563, … . . }, u3 = (2k – (32 20 + 31 21 + 30 22))/33 , {k, 1, ∞} ={151,39768215,10424999137431, … . .}, …………. und so weiter(j->∞). Wegen [2] sind alle Collatz Folgen unter einander kongruent und werden von Fu1[1] umfasst. Wir nehmen an, es würde keine Collatz Folge existieren. Dieses steht im Widerspruch zur Aussage: Es existiert eine Collatz Folge für jede Länge l. QED.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Dieses Kapitel führt in die Collatz-Vermutung ein, definiert die mathematische Funktion T(x) und stellt den Algorithmus als Flussdiagramm dar.
2. Beweis der Collatz Vermutung: Hier wird der mathematische Beweis durch die Untersuchung von Äquivalenzbeziehungen und der Existenz unendlich langer Folgen geführt, was schließlich zum logischen Widerspruch und dem QED führt.
Schlüsselwörter
Collatz-Problem, 3x+1-Vermutung, Äquivalenzbeziehungen, mathematischer Beweis, Collatz-Folge, Trajektorie, ungerade natürliche Zahlen, Modulo-Rechnung, Iteration, Kongruenz, Zahlenfolgen, mathematische Logik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt einen mathematischen Beweisansatz für die Collatz-Vermutung, auch bekannt als das 3x+1-Problem.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die zentralen Themen umfassen die Definition von Collatz-Folgen, die Analyse von Äquivalenzrelationen zwischen diesen Folgen und die Untersuchung der Eigenschaften ungerader natürlicher Zahlen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist es zu beweisen, dass für jede natürliche Zahl eine Collatz-Folge existiert, die den Wert 1 erreicht, indem die Existenz unendlich langer Folgen demonstriert wird.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematische Beweisführung genutzt, die auf der Analyse von Äquivalenzbeziehungen und der Kongruenz von Zahlenfolgen basiert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die formale Herleitung, dass Collatz-Folgen äquivalent sind und für jede Länge l existieren, um so die Gültigkeit der Vermutung zu untermauern.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den prägenden Begriffen gehören das Collatz-Problem, Äquivalenzbeziehungen, Trajektorien und mathematische Kongruenz.
Warum spielt der Modulo-Operator in dieser Arbeit eine wichtige Rolle?
Der Modulo-Operator wird verwendet, um die Eigenschaften der Zahlen bezüglich ihres Verhaltens in den Iterationsschritten (Division durch 2 oder 3x+1) zu klassifizieren.
Wie definiert der Autor das Ende eines Collatz-Pfades?
Das Ende wird durch das Erreichen des Wertes 1 definiert, wobei der Prozess als eine Trajektorie dargestellt wird, die schließlich diesen Fixpunkt ansteuert.
Was bedeutet der Begriff "Äquivalenz" in Bezug auf die Collatz-Folgen?
Zwei Collatz-Folgen werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie mindestens in einem Element übereinstimmen, was für die strukturelle Analyse der Vermutung entscheidend ist.
Warum wird ein Widerspruchsbeweis als Abschluss gewählt?
Durch die Annahme, dass keine Collatz-Folge existiert, zeigt der Autor, dass dies zu einem logischen Widerspruch mit der zuvor bewiesenen Existenz von Folgen beliebiger Länge führt, was die ursprüngliche Vermutung stützt.
- Arbeit zitieren
- Klaus Behmler (Autor:in), 2019, Beweis der Collatzvermutung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/489021
