Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, dem Leser, unabhängig von seinen mathematischen Vorkenntnissen, einen Überblick über die wichtigsten Modelle zur Schätzung der Volatilität zu geben und die dahinterstehenden Ideen kurz zu skizzieren. Darauf aufbauend werden anschließend zwei Methoden zur Schätzung der Volatilität anhand beispielhafter Kapitalmarktdaten illustriert und damit verbundene Probleme verdeutlicht. Dabei verzichtet die Arbeit zu jeder Zeit bewusst auf die Herleitung von Formeln.
Nach dieser Einleitung wird zunächst auf die für das weitere Verständnis der Arbeit relevanten Grundlagen zur Schätzung der Volatilität eingehen. Der Begriff "Volatilität" wird häufig in Verbindung mit Renditen erwähnt. Aus diesem Grund soll der erste Absatz zunächst eine Einführung in die Berechnung von Renditen geben. Danach wird eine Auswahl wichtiger Modelle zur Schätzung der Volatilität vorgestellt, wobei eine Unterscheidung in zeitdiskrete bzw. zeitstetige Modelle vorgenommen wird. Die Ausführungen werden die wesentlichen, diesen Modellen zu Grunde liegenden Überlegungen und Ideen skizzieren. Der Leser erhält zudem weiterführende Literaturempfehlungen.
Den Hauptteil der Arbeit wird sich eingehender mit den Methoden zur Schätzung der Volatilität im Black-Scholes-Modell befassen, welches als wichtiger Vertreter zeitstetiger Modelle angesehen wird. Die Veröffentlichung des nach seinen Erfindern benannten Modells in den frühen 1970er Jahren gilt bis heute als wichtiger Meilenstein bei der Bewertung von europäischen Aktienoptionen. Der Preis einer Option wird von verschiedenen Einflussfaktoren bestimmt. Die Besonderheit der Bewertungsformeln besteht darin, dass alle Parameter, mit Ausnahme der zukünftigen Volatilität, am Kapitalmarkt beobachtet werden können. Da die Formeln nicht explizit nach der Volatilität umgeformt werden können, muss diese geschätzt werden.
In der Praxis basieren diese Schätzungen entweder auf historischen Aktienkursen (historische Volatilität) oder sie werden aus dem Marktpreis von Optionen auf dieselbe Aktie extrahiert (implizierte Volatilität). Auf eine theoretische Fundierung beider Methoden folgen Fallbeispiele, in denen die praktische Anwendung dargestellt wird. Die beiden Ansätze und die ermittelten Ergebnisse werden anschließend kritisch diskutiert.
Den Abschluss der Arbeit bildet eine Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte und Erkenntnisse der vorangegangenen Kapitel.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Problemstellung und Untersuchungsgegenstand
1.2 Zielsetzung und Gang der Untersuchung
2 Mathematische Grundlagen zur Schätzung der Volatilität
2.1 Berechnung von Renditen
2.2 Schätzung der Volatilität mit Hilfe von Modellen
2.2.1 Modelle in diskreter Zeit
2.2.2 Modelle in stetiger Zeit
3 Schätzung der Volatilität im Black-Scholes-Modell
3.1 Historische Volatilität
3.1.1 Fallbeispiel 1: Ermittlung der historischen Volatilität
3.1.2 Kritische Würdigung der Ergebnisse
3.2 Implizierte Volatilität
3.2.1 Fallbeispiel 2: Ermittlung der implizierten Volatilität
3.2.2 Kritische Würdigung der Ergebnisse
4 Zusammenfassung
Zielsetzung und Themen
Die Arbeit bietet eine anwendungsorientierte Einführung in das Thema Volatilität an den Finanzmärkten. Das Ziel ist es, dem Leser – unabhängig von mathematischen Vorkenntnissen – die wichtigsten Schätzmodelle verständlich zu machen und deren praktische Anwendung sowie die damit verbundenen Herausforderungen anhand von Kapitalmarktdaten aufzuzeigen.
- Grundlagen der Volatilitätsmessung und Renditeberechnung
- Differenzierung zwischen diskreten und stetigen Zeitmodellen
- Schätzung der historischen Volatilität am Beispiel der Nestlé-Aktie
- Ermittlung der implizierten Volatilität im Black-Scholes-Modell
- Kritische Analyse und Vergleich der verschiedenen Schätzansätze
Auszug aus dem Buch
3.1.1 Fallbeispiel 1: Ermittlung der historischen Volatilität
Für das Berechnungsbeispiel wurden die Tagesschlusskurse der Nestlé-Aktie (Wertpapierkennnummer: A0Q4DC) zu Grunde gelegt.53 Aus Vereinfachungsgründen wird angenommen, dass es sich dabei um einen dividendenlosen Titel handelt. In einem ersten Schritt muss festgelegt werden, wie viele Perioden, also Handelstage, in die Berechnung eingehen sollen. Die Deutsche Börse AG veröffentlicht regelmäßig Risikomaße deutscher Unternehmen, wobei hier die historische Volatilität der letzten 30 bzw. 250 Handelstage angegeben wird.54 Basierend auf den Kursdaten im Zeitraum vom 18.02.2019 bis 01.04.2019 (30 Handelstage) ergeben sich die in Tabelle 1 zusammengefassten stetigen Renditen.
Unter Anwendung der Formel (11) beträgt der Schätzer für die historische Volatilität der täglichen Renditen ߪ = 0,00851 und nach Annualisierung mit Formel (14) ߪann = 0,13455. Dies entspricht einer historischen Volatilität der Nestlé-Aktie von 13,46% pro Jahr. Die Ergebnisse für die 250 Tage Volatilität sind in Anhang 2 zusammengefasst.55 In der Regel weisen Aktienkurse eine Volatilität von 15% bis 60% auf.56 Die obigen Ergebnisse implizieren, dass das mit einer Investition in diese Aktie verbundene Risiko vergleichsweise gering ist, da der Titel eine sehr niedrige geschätzte historische Volatilität aufweist. Unter der Normalverteilungsannahme kann auf Basis obiger Schätzungen zudem gesagt werden, das bei einer durchschnittlichen Tagesrendite von 0,2% und einer Standardabweichung (Volatilität) von 0,85%, die tägliche Rendite mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% im Intervall [-0,65%;1,05%] liegen wird.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung definiert das Phänomen Volatilität als Ausdruck der Unsicherheit bei Renditen und stellt die Problemstellung sowie das Ziel der Arbeit vor.
2 Mathematische Grundlagen zur Schätzung der Volatilität: Dieses Kapitel erläutert die Berechnung von diskreten und stetigen Renditen und führt in mathematische Modelle zur Volatilitätsschätzung in diskreter sowie stetiger Zeit ein.
3 Schätzung der Volatilität im Black-Scholes-Modell: Hier werden die historische und die implizierte Volatilität detailliert behandelt, durch konkrete Fallbeispiele der Nestlé-Aktie illustriert und kritisch gewürdigt.
4 Zusammenfassung: Die Arbeit schließt mit einer Rekapitulation der wichtigsten Inhalte ab und betont die Bedeutung von (G)ARCH-Modellen zur Berücksichtigung der "stylized facts" von Finanzzeitreihen.
Schlüsselwörter
Volatilität, Finanzmarktdaten, Black-Scholes-Modell, Historische Volatilität, Implizierte Volatilität, Renditeberechnung, ARCH-Modelle, GARCH-Modelle, Aktienoptionen, Kursrisiko, Normalverteilung, Finanzzeitreihen, Optionsbewertung, Volatility Clustering, Kapitalmarkt.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Volatilität als zentrales Maß für Kursrisiken und Unsicherheiten bei Aktienanlagen sowie Methoden zu deren Schätzung.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Schwerpunkte liegen auf der Berechnung von Renditen, der Modellierung von Volatilität mittels historischer Daten sowie der Extraktion der implizierten Volatilität aus Optionspreisen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist eine leicht verständliche, anwendungsorientierte Einführung in die Volatilitätsschätzung, die auch ohne tiefgreifende mathematische Vorkenntnisse nachvollziehbar ist.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt eine modellbasierte Analyse, illustriert durch Fallbeispiele basierend auf realen Kursdaten der Nestlé-Aktie.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die Schätzung der Volatilität innerhalb des Black-Scholes-Modells, wobei sowohl historische Kursschwankungen als auch marktbasierte Optionspreise betrachtet werden.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind Volatilität, Black-Scholes-Modell, Renditeberechnung, Optionsbewertung und die (G)ARCH-Modellfamilie.
Warum wird für die historische Volatilität die Nestlé-Aktie als Fallbeispiel gewählt?
Die Nestlé-Aktie dient als Beispiel für einen dividendenlosen Titel, um die Berechnung der historischen Volatilität anhand von 30 bzw. 250 Handelstagen praxisnah zu illustrieren.
Welche Erkenntnis ergibt sich aus der kritischen Würdigung des Black-Scholes-Modells?
Es wird deutlich, dass die Annahme normalverteilter Renditen in der Realität oft nicht haltbar ist und dass Volatilität kein konstanter Wert ist, sondern zeitlich variiert (Volatility Clustering).
Was ist der Unterschied zwischen historischer und impliziter Volatilität?
Die historische Volatilität basiert auf vergangenen Kursentwicklungen, während die implizierte Volatilität aus den aktuellen Marktpreisen von Optionen extrahiert wird und die Markterwartung über zukünftige Schwankungen widerspiegelt.
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- Björn Angermann (Author), 2019, Volatilität. Eine anwendungsorientierte Einführung anhand beispielhafter Kapitalmarktdaten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/491629
