Einführung in die Fuzzy Mengenlehre


Akademische Arbeit, 2019
17 Seiten, Note: 2.7

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Ziel dieser Arbeit
1.3 Aufbau der Arbeit

2 Grundlagen
2.1 Klassische Mengenlehre
2.2 Fuzzy-Mengenlehre

3 Möglichkeiten der Fuzzy-Mengenlehre
3.1 Basis für die Anwendung der Operationen
3.2 Operationen in der Fuzzy-Mengenlehre

4 Praktische Anwendung der Fuzzy-Mengenlehre

5 Fazit
5.1 Ausblick

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Symbolverzeichnis

Tabelle 2: Aussagenlogik der Mengenlehre

1 Einleitung

1.1 Problemstellung

In diesem Assignment geht es um die Fuzzy-Mengenlehre. Es wird dargestellt, auf welche Grundlagen die Fuzzy-Mengenlehre beruht und wie sie praktisch angewandt werden kann. Dabei wird auf das Problem eingegangen, in wie weit die Fuzzy- Mengenlehre im Alltag bzw. in der Wissenschaft mithilfe von Expertensystemen genutzt wird und wie sie zudem umgesetzt werden kann.

1.2 Ziel dieser Arbeit

Das Ziel dieser Arbeit soll es sein, einen Einblick in das Thema der Fuzzy-Mengenlehre zu gewinnen. Des Weiteren sollen anhand von Expertensystemen beispielhaft dargestellt werden, dass diese Methodik im Alltag Anwendung findet.

1.3 Aufbau der Arbeit

Kapitel 1 stellt die Einleitung dar. Im Kapitel 2 werden die Grundlagen in Form von Definitionen der klassischen Mengenlehre sowie eine kompakte Definition der Fuzzy- Mengenlehre dargestellt. Anschließend werden im Kapitel 3 die Möglichkeiten der Fuzzy-Mengenlehre beschrieben. Darauf aufbauend folgt das Kapitel 4, welchen den Praxisbezug dargestellt. Innerhalb des Kapitel 5 folgt das Fazit sowie ein kurzer Ausblick in die Zukunft.

2 Grundlagen

Die Fuzzy-Mengenlehre beruht auf den Grundlagen der klassischen Mengenlehre, somit wird innerhalb dieser wissenschaftlichen Arbeit bzw. in den Grundlagen kompakt die Basis der Entstehung der Mengenlehre beschrieben, um in einem weiteren Abschnitt auf die Fuzzy-Mengenlehre einzugehen. Das Ziel ist es, durch die Erörterung von der “Entstehung der Mengenlehre” als auch der “Fuzzy-Mengenlehre” ein Gerüst für die weiterführenden Kapitel aufzubauen.

2.1 Entstehung der Mengenlehre

Die Mengenlehre wurde im letzten Viertel des 19.  Jahrhunderts von Georg Cantor (1845-1918) entwickelt. Entgegen vorherrschenden Dogmen über den Umgang mit unendlichen, „fertigen“ Gesamtheiten, schuf er in einem gewaltigen Kraftakt die transfiniten Zahlen und das Konzept der Mächtigkeit oder Größe einer unendlichen Menge.1

Dabei definierte er den Begriff Menge wie folgt:

“Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen.” 2

Zudem entdeckte G. Cantor die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, das Kontinuumsproblem und untersuchte dabei hinsichtlich einer Lösung des Problems die reellen Zahlen unter völlig neuartigen Gesichtspunkten. Jedoch zeigte sich, dass man vorsichtig im Umgang sehr großer Gesamtheiten sein musst. Dadurch, dass er mit diesem Phänomen vertraut war, äußerte er sich hierzu in seinen Veröffentlichungen nur marginal.3

Erst Ernst Zermelo, Cesare Burali-Forti und Bertrand Russell fanden um die Jahrhundertwende Widersprüche der uneingeschränkten Mengenbildung:4

Sie fanden dabei folgendes heraus:

„Zu jeder Eigenschaft existiert die Menge aller Objekte, auf die diese Eigenschaft zutrifft.“ 5

Somit ist das sogenannte naive Komprehensionsprinzip nicht haltbar. Dabei riefen jedoch nicht die mathematischen Ideen Cantors, die er mit sicherer innerer Anschauung entwickelt hatte, die Unstimmigkeiten hervor, sondern verantwortlich hierfür war allein der unreflektierte Rahmen, in welchem die Mengenlehre damals stattfand. Daraus folgend hatte David Hilbert eine genauere Untersuchung der Grundlagen der Mathematik ins Leben gerufen.

Im Jahre 1908 löste E. Zermelo das Problem axiomatisch durch die Angabe eines Systems, welches sorgfältig die Existenz bestimmter Mengen und die Bildung von Mengen aus anderen Mengen beschreibt. Zudem wurde diese Axiomatik von E. Zermelo noch um zwei Axiome ergänzt, das Ersetzungsschema von A. Fraenkel (1922) und das Fundierungsaxiom von J. von Neumann (1925) und E. Zermelo (1930).

Darauf aufbauend wurde die verwendete Sprache präzisiert, in welche die Axiome formuliert werden und die den Begriff „Eigenschaft“ einer Menge festlegen.

Das entstehende System aus Sprache und Axiomen, welche auch als die Zermelo- Fraenkel-Axiomatik (ZFC) bezeichnet wird, wird heute zumeist als Rahmen in der Mengenlehre verwendet. Dabei verschwinden die Widersprüche in diesem System in natürlicher Art und Weise, somit Leben alle Ideen Cantors darin in ihrer ursprünglichen Schönheit weiter fort.6

Des Weiteren zeigte sich, dass der neue Rahmen der axiomatischen Mengenlehre groß genug war, um alle Objekte der Mathematik−Zahlen aller Art, Funktionen, geometrische Gebilde usw. darin zu interpretieren, d.  h. es existiert eine auf dem Mengenbegriff basierende Definition dieser Begriffe, welche alle erwünschten und in der Mathematik benötigten Eigenschaften der Objekte bereitstellt. Die Mengenlehre eignet sich damit als Grundlagendisziplin für die Mathematik selbst, sie ist in ihrer universellen Fähigkeit zur Interpretation mathematischer Konstrukte bislang konkurrenzlos.7

Zu guter Letzt lässt sich festhalten, dass die Mengenlehre Heute nicht nur Rahmen für die Mathematik, sondern selbst eine schillernde mathematische Theorie ist. Sie fasziniert nach wie vor durch ihrer ersten Konzepte und durch deren erstaunliche und anscheinend noch bei weitem nicht ausgelotete Reichweite und Tragfähigkeit. Die Verzweigungen der Mengenlehre sind vielfältig und subtil miteinander verwoben, sodass ihre Geschichte bis in die allerjüngste Zeit voll von Überraschungen und reich an dramatischen Entwicklungen ist.8

2.2 Fuzzy-Mengenlehre

Das Konzept bzw. der Baustein der Fuzzy-Mengenlehre (fuzzy set theory) oder auch die Theorie der unscharfen Mengen ist von dem Mathematiker Zadeh in seiner Basis bereits in den 60er Jahren entwickelt worden. Der Begriff “Fuzzy” ist ein englischer Begriff und kann im deutschen als “unscharf” übersetzt für die Fuzzy-Mengenlehre genutzt werden. Die Ideen von Zadeh wurden relativ rasch von einzelnen Logikern und Linguisten aufgenommen und zum Teil weiter entwickelt.

Auch wenn sich die Fuzzy-Mengenlehre schnell verbreitet hat, ist diese insgesamt betrachtet eher als ein Fremdkörper in der Mathematik und Informatik anzusehen.9

Die Fuzzy-Mengenlehre von Zadeh wurde vor allem von japanischen Ingenieuren aufgenommen, welche seit Beginn der achtziger Jahre des letzten Jahrhunderts die Ideen im Bereich der Steuerung von technischer Anlagen durch Fuzzy-Systeme unterstützen bzw. steuern. Dies nennt man entsprechend auch Fuzzy-Control. Mittlerweile werden Fuzzy-Methoden nicht nur in technischen Kontexten verwendet, sondern auch zur Optimierung von KI-Systemen wie zum Beispiel die Expertensysteme und die neuronalen Netze. Letzteres wird auch als „Neuro-Fuzzy-Methoden“ bezeichnet.10

Abschliessend wird im folgenden die Grundidee der Fuzzy Mengenlehre (unscharfen Mengen) erläutert. Die Autoren des Buches Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy Logik definieren diese wie folgt:

Seit dem Begründer der klassischen Mengenlehre Georg Cantor werden Mengen definiert als „Zusammenfassungen wohl unterschiedener Objekte“. Daraus ergibt sich insbesondere die Konsequenz, dass bei einer gegebenen Menge M ein Element x entweder eindeutig zur Menge M gehört oder nicht. Ein Objekt, das an uns vorbei fliegt, ist entweder ein Vogel oder nicht; falls nicht, ist es entweder ein Insekt oder nicht; falls nicht, ist es entweder ein Flugzeug oder nicht etc. Diese Konsequenz haben wir natürlich auch ständig stillschweigend unterstellt, wenn wir bei den verschiedenen Soft Computing Verfahren von „Mengen“ gesprochen haben.

Klassische Kognitionstheorien vertraten generell die Ansicht, dass die wahrnehmbare Welt von uns in Hierarchien von Begriffen gegliedert ist, die sich sämtlich genau bzw. „scharf“ voneinander unterscheiden lassen.

[...]


1 Vgl. Deiser (2018), S. 13

2 Tietze (2010), S. 1

3 Deiser (2018), S. 13

4 Vgl. Deiser (2018), S. 13.

5 Vgl. Deiser (2018), S. 13.

6 Vgl. Deiser (2018), S. 13.

7 Vgl. Deiser (2018), S. 14

8 Vgl. Deiser (2018), S. 14

9 Vgl. Klüver/Klüver/Schmidt, (2012) S.160, ff.

10 Vgl. Klüver/Klüver/Schmidt, (2012) S.160, ff.

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
Einführung in die Fuzzy Mengenlehre
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Veranstaltung
SYD81
Note
2.7
Autor
Jahr
2019
Seiten
17
Katalognummer
V493863
ISBN (eBook)
9783668996441
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fuzzy
Arbeit zitieren
Sascha Gronau (Autor), 2019, Einführung in die Fuzzy Mengenlehre, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/493863

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