Grin logo
en de es fr
Shop
GRIN Website
Publish your texts - enjoy our full service for authors
Go to shop › Mathematics - Geometry

Circle Packings und Anwendungen. Eine kombinatorische Sichtweise

Title: Circle Packings und Anwendungen. Eine kombinatorische Sichtweise

Diploma Thesis , 2013 , 142 Pages , Grade: 1,0

Autor:in: M. R. Becker (Author)

Mathematics - Geometry
Excerpt & Details   Look inside the ebook
Summary Excerpt Details

Diese Arbeit gibt einen Einblick in die Reichweite von Circle Packings: Es werden tiefer gehende Ergebnisse und Eigenschaften untersucht sowie Existenz und Eindeutigkeit solcher Konstruktionen studiert. Darüber hinaus wird eine Brücke zur Klasse der radial level-planaren Graphen geschlagen. Ein tieferer Einstieg in die Funktionentheorie ist dafür unumgänglich.

Einem planaren Graphen entwende man alle Knoten und definiere sie als Mittelpunkte gewisser disjunkter Kreise. Dass diese Kreise jetzt ganz konkrete Bedingungen erfüllen können, mag überraschend wirken. Es ist möglich, jedem Knoten eines planaren Graphen eine Kreisscheibe (Circle) zuzuweisen, sodass die gesamte Kreispackung (Circle Packing) ein Berührungsmuster erfüllt, welches dem planaren Graphen gleichkommt.

Zwei solche Kreise berühren sich dann und nur dann, wenn die beiden ihren Mittelpunkten zugeordneten Knoten durch eine Kante verbunden sind. Wie Radius und Koordinaten eines jeden Kreises aussehen müssen, um die gewünschten Muster zu erfüllen, ist eine nicht ganz triviale Angelegenheit und bedarf einiges an Arbeit auf dem Gebiet der Circle Packings.

Excerpt


Inhaltsverzeichnis

  • 1. Einführung
    • 1.1. Fragestellung
    • 1.2. Aufbau der Arbeit
  • 2. Planare Graphen
    • 2.1. Grundlagen
    • 2.2. Definitionen
    • 2.3. Eigenschaften planarer Graphen
    • 2.4. Topologischer Exkurs
  • 3. Radiale Level-Planarität
    • 3.1. Level-Graphen
    • 3.2. Radial level-planare Graphen
    • 3.3. Radiale Planaritätstests
      • 3.3.1. Radiale 2-Level-Graphen
      • 3.3.2. Kriterium für nicht-proper-radiale k-Level-Planarität
  • 4. Circle Packings
    • 4.1. Über Circle Packings
    • 4.2. Einführung und Definitionen
    • 4.3. Circle Packing Theorem
      • 4.4. Vorbereitungen zum CPT-Beweis
        • 4.4.1. Label und Radien
        • 4.4.2. Konstruktion der Hilfsdreiecke
        • 4.4.3. Winkel und Winkelsummen
        • 4.4.4. Monotoniekriterien
      • 4.5. Beweis des Circle Packing Theorems
      • 4.6. Eindeutigkeitsaussage des CPTs.
  • 5. Circle Packings und Funktionentheorie
    • 5.1. Möbiustransformationen
      • 5.1.1. Inversion bzw. Kreisspiegelung
    • 5.2. Eindeutigkeitsbeweis des CPTs
    • 5.3. Stereographische Projektion
    • 5.4. Inversion eines Circle Packings.
    • 5.5. Circle Packings auf der Sphäre.
  • 6. Folgerungen und Anwendungen des CPTS
    • 6.1. Planar-Separator-Theorem
    • 6.2. Level-Isolation
  • 7. Schlussbetrachtung
    • 7.1. Fazit, Ausblick, Bewertung.
    • 7.2. Zurück zur Graphentheorie.

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Untersuchung von Circle Packings im Kontext planarer Graphen, insbesondere von radial level-planaren Graphen. Sie analysiert die Beziehungen zwischen Graphentheorie, Geometrie und Funktionentheorie, die sich durch die Anwendung von Circle Packings auf graphentheoretische Problemstellungen ergeben.

  • Definition und Eigenschaften von Circle Packings
  • Das Circle Packing Theorem und seine Bedeutung für die Graphentheorie
  • Zusammenhang zwischen Circle Packings und radial level-planaren Graphen
  • Anwendungen von Circle Packings in der Graphentheorie
  • Verbindung von Circle Packings zur Funktionentheorie

Zusammenfassung der Kapitel

  • Kapitel 1: Die Einführung stellt die Fragestellung der Arbeit vor, die die Verbindung von Graphentheorie, Geometrie und Circle Packings untersucht.
  • Kapitel 2: Dieses Kapitel erläutert grundlegende Konzepte der planaren Graphentheorie, einschließlich Definitionen, Eigenschaften und topologischer Aspekte.
  • Kapitel 3: Hier werden radial level-planare Graphen eingeführt, wobei verschiedene Planaritätstests und ihre Eigenschaften diskutiert werden.
  • Kapitel 4: Es werden Circle Packings vorgestellt, ihr Zusammenhang mit planaren Graphen erläutert und das Circle Packing Theorem sowie dessen Beweis behandelt.
  • Kapitel 5: Die Verbindung von Circle Packings zur Funktionentheorie wird durch die Einführung von Möbiustransformationen, der stereographischen Projektion und der Inversion von Circle Packings hergestellt.
  • Kapitel 6: Folgerungen und Anwendungen des Circle Packing Theorems werden behandelt, zum Beispiel das Planar-Separator-Theorem und das Konzept der Level-Isolation.

Schlüsselwörter

Die Arbeit beschäftigt sich mit den Themen Circle Packings, planare Graphen, radial level-planare Graphen, Circle Packing Theorem, Funktionentheorie, Möbiustransformationen, Stereographische Projektion und graphentheoretische Anwendungen.

Excerpt out of 142 pages  - scroll top

Details

Title
Circle Packings und Anwendungen. Eine kombinatorische Sichtweise
College
University of Cologne
Grade
1,0
Author
M. R. Becker (Author)
Publication Year
2013
Pages
142
Catalog Number
V494665
ISBN (eBook)
9783346002471
ISBN (Book)
9783346002488
Language
German
Tags
circle packings funktionentheorie algebra geometrie kreispackung
Product Safety
GRIN Publishing GmbH
Quote paper
M. R. Becker (Author), 2013, Circle Packings und Anwendungen. Eine kombinatorische Sichtweise, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/494665
Look inside the ebook
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • https://cdn.openpublishing.com/images/brand/1/preview_popup_advertising.jpg
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
  • Depending on your browser, you might see this message in place of the failed image.
Excerpt from  142  pages
Grin logo
  • Grin.com
  • Payment & Shipping
  • Contact
  • Privacy
  • Terms
  • Imprint