Innerhalb der Erarbeitung dieser Hausarbeit wird die Erweiterung unserer gewohnten Zahlenräume um die Zahlenmenge ℂ eingeführt. Neben der eigentlichen Definition der komplexen Zahlen werden die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene und in der Polarform erläutert. Danach werden exemplarische Rechnungen vollzogen. Abschließend wird in Kürze die Riemannsche Zahlenkugel eingeführt. Zunächst werden jedoch einige historische Zusammenhänge skizziert, um weiter in das Thema einzuführen.
In der Renaissance versuchten Mathematiker wie beispielsweise Scipione del Ferro, Niccolo von Brescia und Girolamo Cardano Gleichungen dritten Grades zu lösen. Dabei wurde "in - zunächst verheimlichten - Nebenrechnungen mit der Wurzel aus -1" gerechnet, die dann im Endergebnis nicht mehr auftauchte. Rafael Bombelli knüpfte im 16. Jahrhundert an die Vorüberlegungen der Vordenker an und entwickelte -1 und - -1 als Vorzeichen. Der französische Mathematiker René Descartes bezeichnete in seinem 1637 erschienenen Werk zur Geometrie die Wurzeln aus negativen Zahlen als imaginäre Zahlen oder falsche Wurzeln. Sie blieben ihm und den nachfolgenden Mathematikern (auch Isaac Newton) noch lange Zeit suspekt.
Gauß hat 1797 den ersten einwandfreien Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra geliefert: "Jede Polynom-Gleichung n-ten Grades besitzt n (komplexe) Lösungen". Er übernahm erst später das Eulersche Symbol i, und 1831 führte er in seiner "Theorie der biquadratischen Reste" den Begriff der "komplexen Zahl" für einen Ausdruck der Form z=x+i y mit reellen Zahlen x und y ein. Neben Gauß und Euler ist es Hamilton zu verdanken, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen möglich ist. Er war unzufrieden mit dem Zustand der Algebra zu seiner Zeit, in der mit negativen und imaginären Zahlen gerechnet wurde, weil das half, neue Ergebnisse zu finden, während es - nach Hamiltons Meinung - an jeder wissenschaftlichen Grundlage für ein solches Vorgehen fehlte.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Definition komplexe Zahlen
- Gaußsche Zahlenebene
- Polardarstellung
- Rechnen mit komplexen Zahlen
- Riemannsche Zahlenkugel
- Schlussbetrachtung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Hausarbeit befasst sich mit der Einführung komplexer Zahlen und deren Darstellung in verschiedenen Ebenen. Ziel ist es, die Erweiterung des Zahlenraumes um die Zahlenmenge C zu verstehen und die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen zu erläutern.
- Definition und Eigenschaften komplexer Zahlen
- Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
- Polardarstellung komplexer Zahlen
- Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
- Einführung der Riemannschen Zahlenkugel
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Diese Einleitung liefert einen historischen Überblick über die Entwicklung des Verständnisses komplexer Zahlen, beginnend mit Versuchen, Gleichungen dritten Grades zu lösen, über die Einführung des Symbols "i" durch Euler bis hin zu Gauß' Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und Hamiltons algebraischer Einführung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen. Der Text skizziert die zentralen Themen der Arbeit und gibt einen Ausblick auf die folgenden Kapitel.
Definition komplexe Zahlen: Dieses Kapitel definiert den Körper C der komplexen Zahlen als Menge geordneter Paare reeller Zahlen mit definierten Rechenoperationen (Addition und Multiplikation). Es wird erläutert, wie die reellen Zahlen als Teilmenge von C aufgefasst werden können und wie jede komplexe Zahl eine eindeutige Darstellung der Form z = a + ib (mit a, b ∈ R) besitzt, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. Die Bedeutung der abelschen Gruppenstruktur und der R-Vektorraum-Struktur wird hervorgehoben.
Schlüsselwörter
Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene, Polardarstellung, Rechenoperationen, Riemannsche Zahlenkugel, Imaginäre Zahlen, Fundamentalsatz der Algebra, Hamilton, Euler, Gauß.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Hausarbeit: Komplexe Zahlen
Was ist der Inhalt dieser Hausarbeit?
Die Hausarbeit bietet eine umfassende Einführung in komplexe Zahlen. Sie beinhaltet eine Einleitung mit historischem Überblick, eine Definition komplexer Zahlen, deren Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene und in Polardarstellung, eine Erklärung der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen und schließlich eine Einführung in die Riemannsche Zahlenkugel. Zusätzlich werden die Zielsetzung, die Themenschwerpunkte, Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel und Schlüsselwörter bereitgestellt.
Welche Themen werden in der Hausarbeit behandelt?
Die wichtigsten Themen sind: Definition und Eigenschaften komplexer Zahlen, Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene, Polardarstellung, Rechenoperationen (Addition und Multiplikation), die Riemannsche Zahlenkugel, sowie ein historischer Abriss zur Entwicklung des Verständnisses komplexer Zahlen.
Wie sind komplexe Zahlen definiert?
Der Körper C der komplexen Zahlen wird als Menge geordneter Paare reeller Zahlen definiert, wobei Addition und Multiplikation spezifisch definiert sind. Jede komplexe Zahl hat die Form z = a + ib (mit a, b ∈ R), wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. Die reellen Zahlen sind als Teilmenge von C enthalten.
Welche Darstellungsformen komplexer Zahlen werden behandelt?
Die Hausarbeit behandelt die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene (geometrische Darstellung) und in Polardarstellung (mit Betrag und Argument).
Welche Rechenoperationen werden mit komplexen Zahlen erklärt?
Die Hausarbeit erklärt die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
Was ist die Riemannsche Zahlenkugel?
Die Hausarbeit führt die Riemannsche Zahlenkugel als ein weiteres Konzept zur Darstellung komplexer Zahlen ein. Eine detaillierte Erklärung ihres Inhalts ist jedoch nicht im Umfang der bereitgestellten Textvorschau enthalten.
Welchen historischen Kontext liefert die Hausarbeit?
Die Einleitung bietet einen historischen Überblick über die Entwicklung des Verständnisses komplexer Zahlen, beginnend mit der Lösung von Gleichungen dritten Grades, über die Einführung des Symbols "i" durch Euler bis hin zu Gauß' Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und Hamiltons algebraischer Einführung komplexer Zahlen.
Welche Schlüsselwörter sind relevant für diese Hausarbeit?
Wichtige Schlüsselwörter sind: Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene, Polardarstellung, Rechenoperationen, Riemannsche Zahlenkugel, Imaginäre Zahlen, Fundamentalsatz der Algebra, Hamilton, Euler, Gauß.
Was ist die Zielsetzung der Hausarbeit?
Ziel der Hausarbeit ist es, das Verständnis der Erweiterung des Zahlenraumes um die Zahlenmenge C und die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen zu vermitteln.
- Quote paper
- Christoph Schönfeldt (Author), 2016, Komplexe Zahlen. Definition und exemplarische Rechnungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/497416
