Innerhalb der Erarbeitung dieser Hausarbeit wird die Erweiterung unserer gewohnten Zahlenräume um die Zahlenmenge ℂ eingeführt. Neben der eigentlichen Definition der komplexen Zahlen werden die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene und in der Polarform erläutert. Danach werden exemplarische Rechnungen vollzogen. Abschließend wird in Kürze die Riemannsche Zahlenkugel eingeführt. Zunächst werden jedoch einige historische Zusammenhänge skizziert, um weiter in das Thema einzuführen.
In der Renaissance versuchten Mathematiker wie beispielsweise Scipione del Ferro, Niccolo von Brescia und Girolamo Cardano Gleichungen dritten Grades zu lösen. Dabei wurde "in - zunächst verheimlichten - Nebenrechnungen mit der Wurzel aus -1" gerechnet, die dann im Endergebnis nicht mehr auftauchte. Rafael Bombelli knüpfte im 16. Jahrhundert an die Vorüberlegungen der Vordenker an und entwickelte -1 und - -1 als Vorzeichen. Der französische Mathematiker René Descartes bezeichnete in seinem 1637 erschienenen Werk zur Geometrie die Wurzeln aus negativen Zahlen als imaginäre Zahlen oder falsche Wurzeln. Sie blieben ihm und den nachfolgenden Mathematikern (auch Isaac Newton) noch lange Zeit suspekt.
Gauß hat 1797 den ersten einwandfreien Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra geliefert: "Jede Polynom-Gleichung n-ten Grades besitzt n (komplexe) Lösungen". Er übernahm erst später das Eulersche Symbol i, und 1831 führte er in seiner "Theorie der biquadratischen Reste" den Begriff der "komplexen Zahl" für einen Ausdruck der Form z=x+i y mit reellen Zahlen x und y ein. Neben Gauß und Euler ist es Hamilton zu verdanken, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen möglich ist. Er war unzufrieden mit dem Zustand der Algebra zu seiner Zeit, in der mit negativen und imaginären Zahlen gerechnet wurde, weil das half, neue Ergebnisse zu finden, während es - nach Hamiltons Meinung - an jeder wissenschaftlichen Grundlage für ein solches Vorgehen fehlte.
Inhaltsverzeichnis
1 EINLEITUNG
2 DEFINITION KOMPLEXE ZAHLEN
3 GAUẞSCHE ZAHLENEBENE
4 POLARDARSTELLUNG
5 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
6 RIEMANNNSCHE ZAHLENKUGEL
7 SCHLUSSBETRACHTUNG
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit gibt einen strukturierten Einblick in das mathematische Themengebiet der komplexen Zahlen, erläutert deren historische Herleitung, grundlegende Definitionen, verschiedene Darstellungsformen und Rechenoperationen sowie eine geometrische Erweiterung durch die Riemannsche Zahlenkugel.
- Historische Entwicklung komplexer Zahlen
- Algebraische Definition und Operationen
- Geometrische Veranschaulichung in der Gaußschen Zahlenebene
- Transformation in die Polardarstellung
- Geometrische Erweiterung mittels Riemannscher Zahlenkugel
Auszug aus dem Buch
2 Definition komplexe Zahlen
„Unter dem Körper C der komplexen Zahlen versteht man die Menge aller (geordneten) Paare (a, b) von reellen Zahlen mit folgenden Rechenoperationen:
1. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
2. (a, b) · (c, d) := (ac – bd, ad + bc)
Das Element (1, 0) wird mit 1 bezeichnet, das Element (0, 1) mit i.“ (Fritzsche 2009: S.1).
„Bezüglich der Addition ist C dann eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0 = (0,0) und dem Negativen -(x,y) = (-x,-y). Identifiziert man x ∈ R mit dem Paar (x, 0), so kann man R als Teilmenge von C auffassen. Weil (x, 0) · (a, b) = (xa,xb) ist, induziert die Multiplikation komplexer Zahlen die bekannte skalare Multiplikation, die zur R-Vektorraum-Struktur auf dem R² gehört.
Die Elemente 1 und i bilden eine Basis von C über R. Jede komplexe Zahl besitzt deshalb eine eindeutige Darstellung“ (ebd. S.2).
Die Darstellung sieht folgendermaßen aus: z = a + i b, mit a, b ∈ R. Dabei ist Re(z):= a der Realteil und Im(z):= b der Imaginärteil der komplexen Zahl z (vgl. ebd.).
Zusammenfassung der Kapitel
1 EINLEITUNG: Die Einleitung skizziert den historischen Kontext der Entwicklung komplexer Zahlen, beginnend mit den Herausforderungen bei der Lösung kubischer Gleichungen in der Renaissance.
2 DEFINITION KOMPLEXE ZAHLEN: In diesem Kapitel erfolgt die mathematische Definition komplexer Zahlen als Körper und die Einführung der Basisdarstellung mittels Real- und Imaginärteil.
3 GAUẞSCHE ZAHLENEBENE: Das Kapitel behandelt die geometrische Interpretation komplexer Zahlen als Punkte in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, der sogenannten Gaußschen Zahlenebene.
4 POLARDARSTELLUNG: Hier wird eine alternative Darstellungsform vorgestellt, die komplexe Zahlen über ihren Betrag und ihr Argument mithilfe der Eulerschen Formel beschreibt.
5 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN: Dieses Kapitel erläutert die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division unter Berücksichtigung der speziellen Eigenschaften komplexer Zahlen.
6 RIEMANNNSCHE ZAHLENKUGEL: Es wird die geometrische Abbildung komplexer Zahlen auf eine Kugeloberfläche mittels stereographischer Projektion eingeführt.
7 SCHLUSSBETRACHTUNG: Die Arbeit schließt mit einer Reflexion über den Lernprozess und die Strukturierung der mathematischen Inhalte.
Schlüsselwörter
Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene, Imaginäre Einheit, Reelle Zahlen, Normaldarstellung, Polardarstellung, Eulersche Formel, Addition, Multiplikation, Division, Riemannsche Zahlenkugel, Stereographische Projektion, Körper C, Realteil, Imaginärteil.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit bietet eine Einführung in die Theorie der komplexen Zahlen, von ihrer historischen Entstehung bis hin zu ihrer formalen Definition und geometrischen Darstellung.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zu den Kernpunkten gehören die algebraische Struktur der komplexen Zahlen, ihre Veranschaulichung in der Gaußschen Ebene, ihre Transformation in die Polarform und das Rechnen mit diesen Zahlen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, dem Leser einen nachvollziehbaren Einstieg in das Thema der komplexen Zahlen zu ermöglichen, ohne dass fundierte Vorkenntnisse vorausgesetzt werden.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit stützt sich auf eine Literaturanalyse mathematischer Fachliteratur, um die Definitionen, Lehrsätze und Darstellungsformen systematisch zusammenzuführen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die formale Definition, die geometrische Darstellung (Gaußsche Ebene und Polardarstellung), die Durchführung von Rechenoperationen sowie die Einführung der Riemannschen Zahlenkugel.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind insbesondere Komplexe Zahlen, Imaginäre Einheit, Gaußsche Zahlenebene, Polardarstellung und Riemannsche Zahlenkugel.
Warum spielt die Eulersche Formel eine wichtige Rolle?
Die Eulersche Formel ist zentral für den Übergang zwischen der Normaldarstellung und der Polardarstellung, was komplexe Multiplikationen in der Geometrie vereinfacht.
Welchen Mehrwert bietet das Kapitel zur Riemannschen Zahlenkugel?
Es erweitert das Verständnis komplexer Zahlen um eine topologische Dimension, indem es den Umgang mit dem „unendlich fernen Punkt“ in einer geometrischen Abbildung ermöglicht.
- Arbeit zitieren
- Christoph Schönfeldt (Autor:in), 2016, Komplexe Zahlen. Definition und exemplarische Rechnungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/497416
