In dieser Arbeit werden neben den didaktisch-methodischen Überlegungen und dem Modellierungskreislauf vereinfachte mathematische Modelle von Jean-Baptiste Fourier genutzt, um einen praxistauglichen Zusammenhang zwischen der Mathematik und der Musik zu realisieren. Im Kontext des Unterrichts ist die Verknüpfung zwischen realen Situationen und der Mathematik umso hilfreicher, um eine Anwendungsorientierung herzustellen und damit den Sinn der Mathematik besser nachvollziehen zu können. Aufgrund der Abstraktionserwartungen, die von Schülerinnen und Schülern in innermathematischen Aufgabenstellungen gefordert werden, ist es notwendig einen Alltagsbezug herzustellen.
Die Musik ist dabei in den Jahrhunderten immer wieder mit der Mathematik in Berührung gekommen. So hat beispielsweise Pythagoras von Samos erste mathematische Zusammenhänge innerhalb der Musik erkannt. Die Pythagoreer entdeckten Zusammenhänge, zwischen Zahlenverhältnissen und Tonintervallen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Bedingungsfeldanalyse
2.1 Lehr- und Lernbedingungen
2.1.1 Schülerbezogene Planungsfaktoren
2.1.2 Studentenbezogene Planungsstrukturen
2.2 Curriculare Vorgaben
2.3 Sonstige Rahmenbedingungen
3 Sachanalyse
3.1 Mathematische und physische Eigenschaften von Tönen
3.2 Mathematische/physische Eigenschaften von Klängen
3.3 Herleitung einer adäquaten Formel
3.3.1 Frequenz
3.3.2 Amplitude
3.3.3 Funktionsgraphen GeoGebra (unterschiedliche Achsenverhältnisse)
4 Modellierungskreislauf
4.1 Reale Ausgangssituation
4.1.1 geförderte Kompetenzen
4.2 Reales Modell
4.2.1 geförderte Kompetenzen
4.3 Mathematisches Modell
4.3.1 geförderte Kompetenzen
4.4 Mathematische Resultate
4.4.1 geförderte Kompetenzen
5 Lernziele und Strategien
5.1 Groblernziele
5.2 Feinlernziele
6 Unterrichtsentwurf
6.1 Grobentwurf der Unterrichtseinheit
6.2 Grobentwurf einer Unterrichtsstunde
7 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, einen lebensnahen Zugang zur Mathematik zu schaffen, indem sie die theoretischen Grundlagen der Trigonometrie mit der physikalischen Entstehung von Klängen verknüpft. Im Zentrum steht die Forschungsfrage, wie durch den Modellierungskreislauf und den Einsatz von Computersoftware ein komplexer Orgelklang mathematisch nachvollziehbar und modellierbar gemacht werden kann, um somit die abstrakte Mathematik für Schülerinnen und Schüler greifbar zu gestalten.
- Fächerübergreifende Verknüpfung von Mathematik, Physik, Musik und Informatik
- Einsatz des Modellierungskreislaufs zur schrittweisen Erarbeitung komplexer Sachverhalte
- Additive Klangsynthese als mathematisches Modell zur Beschreibung von Tönen und Klängen
- Förderung prozess- und inhaltsbezogener Kompetenzen im Mathematikunterricht
- Integration moderner Medien und Software zur Visualisierung und Analyse
Auszug aus dem Buch
3.1 Mathematische und physische Eigenschaften von Tönen
Die grundlegenden Eigenschaften von Tönen, im mathematischen Kontext, ist anhand einer Sinusfunktion zu beschreiben. Dabei spielt sowohl die X-Achsen-Streckung/Stauchung, als auch die Y-Achsen-Streckung/Stauchung eine wesentliche Rolle, denn diese macht die Tonhöhe (Frequenz, Abb. I, Abb. II) und die Tonlautstärke (Amplitude, Abb. III, Abb. IV) aus.
Die Tonhöhe ist innerhalb einer allgemeinen Sinusfunktion: f(x) = a * sin(b * x + c) + d der Parameter b. Die Amplitude wird durch den Parameter a festgelegt (vgl. MEYER 2006, S. 14). Neben dieser stark vereinfachten Erklärung von Tonhöhe und Tonstärke, bietet die Physik grundlegende Erklärungen für das ‚Phänomen’ von Tönen. Innerhalb der Physik wird die Tonhöhe, also die Frequenz, in der Einheit Hz (nach HEINRICH HERTZ) angegeben. Der ‚Ton A’, der von den Schülerinnen und Schülern schlussendlich modelliert wird, hat die Frequenz 220 Hz. Im physikalischen Kontext wird die Einheit Hz mit ‚Schwingungen pro Sekunde’ übersetzt (vgl. HAFTENDORN 2009, S.139).
„Die Schallquelle, also der schwingende Körper, überträgt ihre Schwingungen an das umgebende Medium, in der Regel Luft, [...]. Die Schallwelle breitet sich also von ihrem Entstehungsort aus, ähnlich der Ausbreitung von Wasserwellen,[...]. Bei der Wasserwelle beobachten wir, dass einem Wasserberg ein Wassertal folgt. Bei der Schallwelle ist dies ganz ähnlich, hier folgt einer Luftverdichtung eine Luftverdünnung“ (DGUV, http://www.jwsl.de/bonus/sml/fakten/c1-10.php?mainlnk=mkap_c&sublnk=1&screen=10).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung beleuchtet die historische Verbindung zwischen Musik und Mathematik und stellt das Ziel vor, durch Modellierung einen praxisnahen Zugang zu trigonometrischen Funktionen zu schaffen.
2 Bedingungsfeldanalyse: In diesem Kapitel werden die Rahmenbedingungen, wie die Zusammensetzung der Lerngruppe, curriculare Vorgaben und die mediale Ausstattung der Schule, für die geplante Unterrichtseinheit analysiert.
3 Sachanalyse: Hier werden die mathematischen und physikalischen Grundlagen von Tönen und Klängen dargelegt und die mathematische Formel für die additive Klangsynthese eines Orgeltons hergeleitet.
4 Modellierungskreislauf: Dieses Kapitel erläutert den Einsatz des Modellierungskreislaufs zur schrittweisen Lösung der Problemstellung, inklusive der Analyse der dabei geförderten Kompetenzen in jedem Arbeitsschritt.
5 Lernziele und Strategien: Es werden die Grob- und Feinlernziele definiert, die für die erfolgreiche Umsetzung der Unterrichtseinheit in den Fächern Mathematik, Informatik und Musik/Physik relevant sind.
6 Unterrichtsentwurf: Das Kapitel bietet einen konkreten Grobentwurf der gesamten Unterrichtseinheit sowie eine detaillierte Planung einer exemplarischen Unterrichtsstunde.
7 Fazit: Das Fazit zieht eine Bilanz der Arbeit und unterstreicht die Notwendigkeit, Mathematik durch Anwendungsbezug und moderne Medien lebendig zu vermitteln.
Schlüsselwörter
Mathematische Modellierung, Trigonometrie, Sinusfunktion, Klangsynthese, Orgelklang, Frequenz, Amplitude, additive Klangsynthese, Spektralanalyse, Unterrichtsentwurf, Schulpraxis, Medienkompetenz, interdisziplinär, Geogebra, Didaktik der Mathematik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung von Klängen, speziell eines Orgeltones, um trigonometrische Inhalte für Schülerinnen und Schüler praxisnah und anwendungsorientiert zu vermitteln.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themenfelder sind die Mathematik der Sinusfunktionen, die physikalischen Grundlagen der Akustik, die Informatik zur digitalen Klangerzeugung sowie didaktische Konzepte zur Unterrichtsgestaltung.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist es, durch den Einsatz des Modellierungskreislaufs und moderner Software die Verknüpfung zwischen abstrakter Mathematik und realen akustischen Phänomenen herzustellen und so die Sinnhaftigkeit des Mathematikunterrichts zu verdeutlichen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der additiven Klangsynthese angewandt, um auf Basis von Sinusfunktionen und Spektralanalysen einen Orgelton mathematisch zu beschreiben und zu modellieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil umfasst die Sachanalyse der Töne, die detaillierte Darstellung des Modellierungskreislaufs, die Formulierung von Lernzielen sowie die konkrete didaktische Planung und Strukturierung einer Unterrichtseinheit.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie mathematische Modellierung, Trigonometrie, additive Klangsynthese, fächerübergreifender Unterricht und digitale Medien charakterisiert.
Warum ist der Einsatz von Computern für die Arbeit unabdingbar?
Der Einsatz von Computern ist notwendig, da die komplexe Visualisierung von Schallwellen, die Spektralanalyse sowie die Modellierung durch die Addition von Sinusfunktionen ohne Software kaum realisierbar wäre.
Wie werden die Anforderungen des Kerncurriculums für das Fachgymnasium berücksichtigt?
Die Arbeit integriert prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen des Kerncurriculums wie mathematisches Modellieren, Argumentieren und das Verwenden mathematischer Darstellungen direkt in die einzelnen Schritte des Modellierungskreislaufs.
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- Christoph Schönfeldt (Author), 2015, Anwendungsorientierte Trigonometrie. Mathematische Modellierung eines Klanges, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/497418
