Das Verständnis von Dezimalbrüchen und Stellenwerten bei Lernenden der achten Klasse

Inhaltsverzeichnis

1) Einleitung (Romina & Miyese)

2) Theoretischer Hintergrund
2.1) Dezimalbrüche(Romina)
2.2) Grundvorstellungen und nicht tragfähige individuelle Denkweisen des Dezimalbruchverständnisses (Miyese)
2.3) Erfolgreiche Förderung (Romina)

3) Darstellungder Studie
3.1) Entwicklung der Forschungsfrage(Miyese)
3.2) Design der Untersuchung - fokussierte Förderung (Miyese)
3.3) Aufgabenauswahl (Romina)
3.4) Durchführung derStudie (Miyese)
3.5) Auswertungsmethode (Romina)

4) Detailanalyse (Romina & Miyese)
4.1) Detailanalyseder Eingangsstandortbestimmung
4.2) Detailanalyse der Förderung
4.2.1) Die Hürde „erweitertes Geld-Denken“
4.2.2) Die Hürde „Komma-als-Symmetrie-Vorstellung“
4.2.3) Die Hürde „Dichteverhältnis“
4.2.4) Die Hürde „Abfolge der Stellenwerte“
4.2.5) Die Hürde „Größenverhältnisse der Stellenwerte“
4.2.6) Die Hürde „Stellenwert-Eigenschaft“ und „Nullverständnis“

5) Fazit (Romina & Miyese)

6) Reflexion und Ausblick (Romina & Miyese)

7) Literaturverzeichnis

8) Anhang
Anhang 1 - Eingangsstandortbestimmung - Aufgabenblätter
Anhang 2 - Fördersitzung 1 - Aufgabenblätter
Anhang 3 - Fördersitzung 2 - Aufgabenblätter
Anhang 4 - Ausgangsstandortbestimmung - Aufgabenblätter
Anhang 5 - Transkripstelle
Anhang 6 - Transkripstelle
Anhang 7 - Transkripstelle
Anhang 8 - Transkripstelle
Anhang 9 - Transkripstelle
Anhang 10 - Transkripstelle 6
Anhang 11 - Transkripstelle 7
Anhang 12 - Einverständniserklärung 1
Anhang 13 - Einverständniserklärung 2
Anhang 14 - Einverständniserklärung 3
Anhang 15 - Einverständniserklärung 4
Anhang 16 - Einverständniserklärung 5
Anhang 17 - Ausgangsstandortbestimmung - V.
Anhang 18-Ausgangsstandortbestimmung-J.
Anhang 19 - Ausgangsstandortbestimmung - A.
Anhang 20 - Ausgangsstandortbestimmung - P.

1) Einleitung

In einer Zeit der zunehmenden Technisierung, werden Informationen immer genauer und dadurch gewinnen Dezimalbrüche an Bedeutung. Man begegnet ihnen überall im Alltag, sei es bei Preisschildern oder Größenangaben. In dem Kernlehrplan für die Gesamtschule der Sekundarstufe I in Nordrhein-Westfalen für das Fach Mathematik werden die verschiedenen Kompetenzerwartungen aufgeführt. Die Kompetenzerwartung am Ende der Jahrgangsstufe Sechs zeigt, dass die Lernenden sowohl Dezimalbrüche an einem Zahlenstrahl darstellen, ordnen als auch in Brüche oder Prozentzahlen umwandeln, runden und vergleichen können sollten (Ministerium für Schule, 2004). Die Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den positiv rationalen Zahlen spielt dabei eine große Rolle, die bis zum Ende der Jahrgangsstufe Acht mit der Kompetenz des Systematisierens gefestigt werden soll. Damit ist gemeint, dass die Lernenden am Ende der achten Klasse außermathematische Gründe und Beispiele für die Zahlbereichserweiterung von den natürlichen zu den positiv rationalen Zahlen nennen können (Ministerium für Schule, 2004). Aber nicht nur im Fach Mathematik sind Dezimalbrüche ein zentrales Thema. Auch im Physik- oder Chemieunterricht werden viele Formeln in Dezimalbrüchen angegeben. Sogar in Fächern wie Pädagogik werden Statistiken in Dezimalbruchschreibweise dargestellt.

Doch trotz der fast täglichen Konfrontation und der hohen Alltagsrelevanz mit Dezimalbrüchen ist deutlich, dass der Umgang damit keineswegs mühelos und trivial ist, wie oftmals angenommen wird (Kaganova, 2016; Padberg & Wartha 2017; Sprenger, 2018). In der nachfolgenden Arbeit wird sich auf die inhaltsbezogenen Kompetenzen der Arithmetik/Algebra im Bereich der Dezimalbrüche bezogen und es wird untersucht, ob Lernende der achten Klasse diesbezüglich tragfähige individuelle Denkweisen besitzen. Zusätzlich soll ergründet werden, wie eventuelle Defizite behoben und neue Denkweisen entwickelt werden können, welche sich mit den normativen Grundvorstellungen decken. Zunächst wird das Dezimalbruchverständnis in ihren Zusammenhängen mit den inbegriffenen Grundvorstellungen und möglichen nicht tragfähigen individuellen Denkweisen erläutert. Im Kapitel darauf wird nähergebracht, wie eine erfolgreiche Förderung in der Theorie und Praxis aussieht, um die Basis für die nachfolgende Studie zu schaffen. Nachdem die notwendige Theorie für die Studie erläutert wurde, wird die Studie in ihrem Design, ihrer Durchführung und ihrer Auswertung mittels einer Tiefenanalyse dargestellt. Diese wurde mit Transkripten belegt und in die Theorie eingebettet. Zum Schluss folgt das Fazit mit Reflexion und Ausblick.

2) Theoretischer Hintergrund

Im folgenden Kapitel werden die Zusammenhänge des Dezimalbruchverständnisses erfasst und erläutert, um eine grundsätzliche Basis für die Studie zu schaffen. In dem sich anschließenden Unterkapitel werden die dazugehörigen Grundvorstellungen und die möglichen nicht tragfähigen individuellen Denkweisen belegend an Studien dargestellt. Anschließend folgt das letzte Unterkapitel „Erfolgreiche Förderung“, in dem das Konzept der Förderung im schulischen Zusammenhang erläutert wird.

2.1) Dezimalbrüche

Das Thema Dezimalbrüche ist eine komplexe Zusammensetzung und weist viele wichtige Eigenschaften auf, welche notwendig für ein tragfähiges Dezimalbruchverständnis sind. Um diese Zusammenhänge inhaltlich deutlicher zu machen, wird sich auf die erweiterte Abbildung von Sprenger 2018 aus dem Buch „Zum Begriffdes Dezimalbruchs“ bezogen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1, Wichtige Aspekte undZusammenhänge des Dezimalbruchverständnisses (Sprenger, 2018, S. 47)

Zusammenfassend ist aus der Abbildung zu erkennen, dass das Stellenwertprinzip aus verschiedenen Bausteinen zusammengesetzt ist und dass es die inhaltliche Bedeutung für das Prinzip der fortgesetzten Bündelung darstellt, welche wiederum auf dem Teil-Ganzes- Konzept aufbaut (Sprenger, 2018).

Das Teil-Ganzes-Konzept beschreibt, dass man eine natürliche Zahl in verschiedene natürliche Zahlen zerlegen und auch wieder zusammensetzen kann. Dies gilt als Voraussetzung, um das Prinzip der fortgesetzten Bündelung zu verinnerlichen, welche aussagt, dass man eine vorgegebene Menge restlos in jeweils gleich große Gruppen zusammenfassen kann bis keine weiteren Gruppen mehr zusammengefasst werden können. Diese Gruppen werden wiederum nach dem gleichen Prinzip zusammengefasst (Padberg & Wartha, 2017; Selter & Spiegel, 1997; Sprenger & Hußmann, 2014). Da das dezimale Stellenwertsystem auf der Grundzahl Zehn basiert, werden immer zehn Elemente einer Einheit zu einem Element der nächst höheren Einheit zusammengefasst (Sprenger & Hußmann, 2014). „So wird beim Entbündeln dieses Bündel immer in 10 gleich große Teile der nächstkleineren Bündelungseinheit zerlegt“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 177). „Zehn Einer werden also zu einem Zehner, zehn Zehner zu einem Hunderter gebündelt usw.“ (Sprenger, 2018, S. 25). Die Eigenschaft der Zehnerbasis schließt an dieses Prinzip an und hält eine Rückanbindung dazu. „Die Eigenschaft der Zehnerbasis beschreibt das Wachstum der Stellenwerte von rechts nach links um Zehnerpotenzen, beginnend mit 10° beim kleinsten, ganz rechten Stellenwert der Zahl. Dieses strukturierte Wachstum der Stellenwerte zeigt die Anknüpfung an das Prinzip der fortgesetzten Bündelung auf“ (Sprenger, 2018, S. 26). Diese drei zentralen Aspekte gelten in adaptierterWeise auch für den Bereich der Brüche und Dezimalbrüche. Der Aspekt Teil-Ganzes-Konzept wird in der Hinsicht modifiziert, dass man nicht nur ganzzahlige Zerlegungen vornehmen kann, sondern auch Zerlegungen in Anteile von positiv rationale Zahlen, welche unendlich sind. Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung wird durch eine Erweiterung der möglichen Bündelungseinheiten angepasst. Dabei müssen die Zehnerstammbrüche als zusätzliche Bündelungseinheiten integriert werden. Die Eigenschaft der Zehnerbasis bleibt weiterhin bestehen. Hinzu kommt nur, dass die Exponenten aus dem Element der ganzen Zahlen bestehen (Sprenger, 2018). „Die negativen Exponenten verdeutlichen die gebrochenen Stellenwerte, die im Prinzip der fortgesetzten Bündelung den Zehnerstammbrüchen entsprechen“ (Sprenger, 2018, S. 46). Erläutert bedeutet dies, dass nach der Einerstelle das Komma folgt. Danach folgen Ab die Stellenwerte Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t) etc. Die Endung -tel macht deutlich, dass es sich um Zahlen nach dem Komma handelt. Der linke Stellewert ist stets das Zehnfache des rechten und zeigt somit, dass die erste Nachkommastelle (Zehntel bspw.) größer ist als die darauffolgende Nachkommastelle (Hundertstel). Die Notation der Dezimalbrüche ist also eine Erweiterung der natürlichen Zahlen (Heckmann, 2006; Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014). Außerdem kommen vier weitere Aspekte hinzu, welche inhaltlich für das Verständnis der Brüche zentral sind und als wichtige Grundlage für das Dezimalbruchverständnis gelten (Sprenger, 2018). Das Teil-Ganzes-Konzept ist die Voraussetzung für den Bruch als Anteil. Dieser beschreibt, dass ein Bruch aus Zähler und Nenner besteht, bei dem der Zähler den Teil des Ganzen des Nenners angibt. Dieses Wissen ist eine Voraussetzung, um den Zehnerbruch als Anteil zu verstehen, da ein Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner als Zehnerbruch gilt und der Zähler einen Teil von diesem Ganzen angibt. Des Weiteren kommt die Gleichwertigkeit Dezimalbrüche-Brüche hinzu, was beschreibt, dass es zwei Schreibweisen für ein und dieselbe positive rationale Zahl gibt (ebd.). Das Komma dient als Orientierung für die Abfolge der Stellenwerte, steht im direkten Zusammenhang zur Notation der Bündelungsergebnisse und ist lediglich für die Dezimalbrüche relevant (Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014). „Es kennzeichnet die Grenze zwischen den ganzzahligen und den gebrochenen Stellenwerten“ (Sprenger, 2018, S. 48).

Es folgen nun die Eigenschaften, welche sowohl im natürlichen Zahlenraum als auch im Bereich der positiv rationalen Zahlen in Dezimalbruchschreibweise relevant sind. Diese sind grundlegend für das inhaltliche Verständnis der einzelnen Stellenwerte in einer Zahl und machen das Stellenwertprinzip aus. Die Stellenwert-Eigenschaft beschreibt, dass jede Ziffer innerhalb einer Zahl zwei Informationen liefert: Erstens steht jede Ziffer in einer Zahl für einen Stellenwert und zweitens wird der Wert einer Ziffer innerhalb einer Zahl durch die Position dieser Ziffer bestimmt (Selter & Spiegel, 1997; Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014). Diese Eigenschaft ist die Voraussetzung für die bereits erläuterte Eigenschaft der Zehnerbasis und umgekehrt. Aus diesen beiden Eigenschaften erschließt sich die Multiplikative Eigenschaft, welche ausgeführt bedeutet, dass derZahlenwert einer Ziffer in der Zahl sich durch die Multiplikation der Ziffer mit dem jeweiligen Stellenwert ergibt. Für die Zahl 40 würde es bspw. bedeuten, dass die Ziffer Vier an der 10[1]-ter Stelle steht und somit mit 10[1] = 10 multipliziert werden muss, um ihren Zahlenwort zu erzeugen, also 4 x io[1] = 40. Diese Eigenschaft ist erforderlich, um auf die nächste Eigenschaft des Stellenwertprinzips einzugehen (Sprenger, 2018, Sprenger & Hußmann, 2014). Die additive Eigenschaft bringt mit sich, „dass sich der Gesamtwert der Zahl aus der Summe der einzelnen Zahlwerte ergibt“ (Sprenger, 2018, S. 27). Das bereits erwähnte Komma ist ebenfalls in dem Stellenwertprinzip zu verorten (Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014).

2.2) Grundvorstellungen und nicht tragfähige individuelle Denkweisen des Dezimalbruchverständnisses

Aus den Erläuterungen des Schaubildes, welches verdeutlicht, wie komplex das Dezimalbruchverständnis ist, geht hervor, dass das Stellenwertprinzip eine grundlegende Basis ist, um die Grundvorstellungen der natürlichen Zahlen und der Dezimalbrüche zu entwickeln. Es ist die Grundlage, um Operationen mit Dezimalbrüchen durchführen zu können. Es ist naheliegend, dass die Lernenden ein angemessenes Wissen des Stellenwertsystems im Bereich der natürlichen Zahlen besitzen sollten, bevor zu den Dezimalbrüchen übergegangen wird. Außerdem sollte den Lernenden bewusst sein, dass es bei Dezimalbrüchen, so wie bei den natürlichen Zahlen, eine feste Reihenfolge gibt. Dabei ist es wichtig, zu betonen, dass die Lernenden nicht nur die Inhalte des erweiterten Stellenwertverständnisses formal anwenden, sondern diese darüber hinaus auch wirklich verstehen und begründen können sollten. Grundvorstellungen sind Voraussetzung, um die mathematischen Inhalte mit der individuellen Begriffsbildung in Beziehung zu setzen. Zusätzlich helfen sie dabei, die Darstellung mathematischer Inhalte auf verschiedenen Repräsentationsebenen zu ermöglichen. Können Lernende nur auf einer Ebene arbeiten oder es werden keine Grundvorstellungen aktiviert, so ist es möglich, dass Regeln verwechselt werden (Padberg & Wartha, 2017; Wartha, 2011). Außerdem dienen Grundvorstellungen dazu, Ergebnisse zu interpretieren und kritisch reflektieren zu können (Padberg & Wartha, 2017). Die Grundvorstellungen für die Dezimalbrüche liegen in enger Verbindung zu den natürlichen Zahlen und den Brüchen bzw. den gemeinen Brüchen. Viele Gemeinsamkeiten sind vorhanden, aber auch Umbrüche müssen vorgenommen werden, um ein tragfähiges Dezimalbruchverständnis aufzubauen, wie auch in der obigen Abbildung beschrieben (Padberg & Wartha, 2017). Im Folgenden werden die relevanten Grundvorstellungen für das Dezimalbruchverständnis aufgeführt (Heckmann, 2006; Padberg & Wartha, 2017; Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014):

- Bei der Grundvorstellung Bruch als Anteil wird ein betreffender Anteil des Ganzen gesucht. Der Dezimalbruch 0,73 wird so gedeutet, dass es sich dabei um 73 gleichgroße Teile von entsprechenden 100 handelt.
- Die Größenverhältnisse der Stellenwerte ist eine weitere Grundvorstellung, welche beschreibt, dassjederTeil vom Ganzen kleiner wird, in je mehr Teile dieses zerlegt wird. Daher gilt für die Stellenwerte, dass die Zehntel größer sind als die Hundertstel und die Hundertstel wiederum größer als die Tausendstel usw.
- Das Dichteverhältnis beschreibt, dass es bei Dezimalbrüchen keine eindeutigen Vorgänger und Nachfolger gibt, da sie dicht auf dem Zahlenstrahl liegen und zwischen zwei Dezimalbrüchen unendliche viele weitere liegen können.
- Im Bereich der natürlichen Zahlen steht der Einer immer rechts von dem Komma, während er im positiv rationalen Zahlenbereich der Dezimalbrüche links davon steht. Dies macht den Bezugspunkt der Stellenwerte aus.
- Die Abfolge der Stellenwerte im Bereich der natürlichen Zahlen lautet wie folgt: Nach dem Einer folgen links die Zehner (Z), Hunderter (H) und Tausender (T) usw. Im Bereich der Dezimalbrüche folgen zusätzlich nach dem Komma rechts die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. Es gibt dabei jedoch keine Eintel.
- Brüche und Dezimalbrüche treten in Sachsituationen meist kombiniert mit Maßeinheiten auf und bezeichnen Größen. Wird keine Maßeinheit gegeben, sondern nur der Dezimalbruch an sich, ordnet man dies der Quasikardinalität zu. „Z.B. wird 0,2 als 2 Zehntel gedeutet, wobei Zehntel, Hundertstel, etc. gemäß dem Maßzahlaspekt als neue Einheit gesehen werden“ (Sprenger, 2018, S. 41). Dies macht den Maßzahlaspekt von positiv rationalen Zahlen aus.
- Das Nullverständnis bezieht sich auf die stellenwertbelegende Funktion der Null, d.h., dass nicht besetzte Stellenwerte jeweils durch eine Null gekennzeichnet werden müssen.

Aufgaben, die die Grundvorstellungen aktivieren und einen anschauungs- und anwendungsorientierten Umgang fordern, helfen den Lernenden, das Dezimalbruchverständnis besser zu verinnerlichen (Heckmann, 2006). Die Grundvorstellungen der natürlichen Zahlen können zu nicht tragfähigen individuellen Denkweisen führen, wenn diese bei den Inhalten mit Dezimalbrüchen eingesetzt werden (Padberg & Wartha, 2017). Eine Studie nach Heckmann und Padberg verdeutlicht, dass der Übergang von den Stellenwerten der natürlichen Zahlen zu den erweiterten Stellenwerten der Dezimalbrüche nicht leicht ist. Von 69 Lernenden, welche das Thema Dezimalbrüche im Unterricht gerade erst abgeschlossen hatten, konnten 33,3% die Zehntel und Hundertstel im Dezimalbruch 7,654 nicht ausmachen. Stattdessen sahen sie die Nachkommastellen als ganze natürliche Zahl. Unter den befragten Lernenden wurde der Hundertstel als Hunderter und der Zehntel als Zehn gesehen und dementsprechend haben sie in der Aufgabe mit einer fehlerhaften Sprechweise begründet (Heckmann & Padberg, 2007). Ältere Studien aus den 1990er Jahren belegten ebenfalls ganz deutlich, dass es bei überwiegend vielen Lernenden nicht selbstverständlich ist, dass sie ein ausgeprägtes erweitertes Stellenwertverständnis besitzen, weder vor der explizierten Thematisierung der Dezimalbrüche noch danach (Bell, Swan & Taylor, 1981; Brown, 1981; Heckmann, 2006). Dabei sollte zumindest nach der Behandlung von Dezimalbrüchen ein besseres Verständnis herrschen.

Es wurde bereits erwähnt, dass allein durch die falsche Sprechweise von Dezimalbrüchen bereits nicht tragfähige individuelle Denkweisen entstehen können. In der Literatur gibt es vielfältige individuelle Denkweisen, die aus verschiedenen Gründen nicht tragfähig sind, nicht korrekt handlungsfähig machen und somit zu einem nicht tragfähigen Verständnis von Dezimalbrüchen führen. In der Studie dieser Arbeit wurden nur einige individuelle Denkweisen ausgemacht und analysiert. Hier sind nun ausgewählte, nicht tragfähige individuelle Denkweisen aufgeführt, welche Hürden für den Erwerb des Dezimalbruchverständnisses bilden (Heckmann, 2006; Padberg & Wartha, 2017; Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S. & Peled, 1.1989; Sprenger, 2018; Sprenger & Hußmann, 2014):

- Eine nicht tragfähige individuelle Denkweise ist meistens die Ursache für eine fehlerhafte Sprechweise von Dezimalbrüchen. Es passiert schnell, dass die Lernenden bspw. die Zahl 1,57 als Eins-Komma-Siebenundfünfzig lesen, denn die Dezimalbrüche werden sowohl im Alltag als auch in der Schule fast ausschließlich mit Größen in Verbindung gebracht. Die Nachkommastellen von Streckenangaben und Geldbeträgen werden nicht vereinzelt gelesen. Daher ist es wichtig, schon bei der Lehre des erweiterten Stellenwertverständnisses auf die richtige Sprechweise zu achten, damit später bei den Rechenoperationen von Dezimalbrüchen bereits diverse Fehler vermieden werden. Denn die falsche Sprechweise suggeriert ein nicht tragfähiges Verständnis vom Aufbau der Dezimalbrüche. Die Lernenden könnten annehmen, dass ein Dezimalbruch aus zwei natürlichen Zahlen besteht, welche durch ein Komma getrennt werden. Die nicht tragfähige individuelle Denkweise Komma-trennt-Vorstellung bildet sich somit und die Lernenden tun sich schwer daran, die Gleichwertigkeit zwischen zwei Brüchen auszumachen und sagen zu können, dass sie nicht gleichwertig sind. Ein Dezimalbruch mit einer längeren Nachkommastelle wird als größer als ein Dezimalbruch mit einer kürzeren Nachkommastelle bezeichnet. Den Lernenden ist dann auch zusätzlich nicht bewusst, dass sie somit den Stellen immer einen anderen Wert zuteilen. „So erscheint in dem Dezimalbruch 0,38 - gesprochen: null-Komma-achtunddreißig - die Ziffer 3 einen völlig anderen Stellenwert zu besitzen als in dem gleichwertigen (!) Dezimalbruch 0,380 - gesprochen: null-Komma-dreihundertachtzig. Die Sprechweise legt nahe, die 3 bei 0,38 als Zehntel zu betrachten, bei 0,380 als Hundertstel“ (Heckmann, 2006, S. 28).
- Eine weitere nicht tragfähige Denkweise, die ebenfalls eine Ursache für eine falsche Sprechweise sein kann, besteht darin, durch das Komma eine Symmetrie zu sehen. Wenn Lernende, wie bereits erwähnt, die Nachkommastellen als eine ganze natürliche Zahl sehen, sehen sie das Komma nicht nur als Trennung an, sondern auch als eine Symmetrielinie. Die Komma-als-Symmetrie-Vorstellung ist hiermit gegeben. Das heißt, dass eine Stelle hinzugefügt wird und alle weiteren sich um eine nach rechts verschieben. Statt H Z E, z h t heißt es dann H Z E, e z h t. Somit ist zwar das Problem der sich verändernden Stelle aufgehoben, aber eine nicht existente wird stattdessen hinzugefügt und ein falsches Verständnis von der Größenordnung zwischen Stellen wird suggeriert.
- Bei der Kein-Komma-Vorstellung wird das Komma ignoriert und trägt für die Lernenden keinerlei Bedeutung. Der Dezimalbruch wird somit als ganze natürliche Zahl gesehen.
- Die Ziffer Null trägt eine stellenwertbelegende Rolle in der Stellenwertanordnung. Bei der Null-ist-Nichts-Vorstellung betrachten Lernende die Ziffer Null oft als „Nichts“ und lassen sie bei entscheidenden Stellen fälschlicherweise weg. „Bei Dezimalbrüchen ist das Anhängen bzw. Streichen von so genannten Endnullen bzw. das Voranstellen von Nullen vor den ganzzahligen Teil erlaubt, während das Einfügen bzw. Weglassen von Nullen an allen anderen Stellen den Wert des Dezimalbruchs verändert“ (Heckmann, 2006, S. 42). Fehler, die mit dem Umgang der Ziffer Null entstehen, hängen damit zusammen, dass die Lernenden die Gesetzmäßigkeiten der natürlichen Zahlen auf die Dezimalbrüche übertragen.
- Bei der Null-Strategie schätzen die Lernenden Dezimalbrüche mit mehr Nullen nach dem Komma als kleinere Zahl ein. So wird bspw. der Dezimalbruch 0,807 kleiner geschätzt als 0,8.
- Wird ein Dezimalbruch mit einer längeren Nachkommastelle größer geschätzt als ein Dezimalbruch mit einer kürzeren, ist die Länger-ist-größer-Vorstellung vorhanden. Diese kann zwei Ursachen haben: zum einen die Komma-trennt­Vorstellung und zum anderen die Kein-Komma-Vorstellung.
- Die Kürzer-lst-größer-Vorstellung ist das Gegenteil der Länger-ist-größer- Vorstellung. Hierbei sehen die Lernenden Dezimalbrüche mit wenigen Nachkommastellen im Vergleich zu Dezimalbrüchen, die mehr Nachkommastellen haben, als die größere Zahl an. Dies kann drei verschiedene Ursachen haben, welche durch einen Rückgriff auf die gemeinen Brüche entstehen kann:

Das nennerfokussierte Denken beschreibt, „dass die Einheit Zehntel größer ist als die Einheit Hundertstel, [einige Lernende] halten aber fälschlicherweise jede Anzahl von Zehntel für größer als jede Anzahl von Hundertsteln, so z.B. auch 6 Zehntel für größer als 95 Hundertstel (also 0,6 > 0,95)“ (Heckmann, 2006, S. 78).
Beim reziproken Denken können die Lernenden nicht den Nenner im Dezimalbruch ausmachen und bilden Vorstellungen, dass bspw. 0,7 größer ist als 0,78, weil ein Teil bei 78 gleich großen Teilen kleiner ist als ein Teil bei Sieben gleich großen Teilen.
Auch das negative Denken kann eine Ursache sein. Die Nachkommastellen werden als Negativzahlen gesehen und die Lernenden nehmen an, dass je weiter eine Zahl von Null entfernt ist, desto kleiner ist sie.
- Das strenge Längendenken ähnelt der Länger-ist-größer-Vorstellung bzw. der Kürzer-ist-größer-Vorstellung. Der Unterschied ist, dass die Anzahl an Nullen entscheidet, ob ein Dezimalbruch größer oder kleiner ist. Hierbei geht man entweder davon aus, dass Dezimalbrüche mit mehr oder weniger Nullen größer sind.
- Die letzte nicht tragfähige Denkweise ist das Geld-Denken. Die Lernenden nutzen Geld als Relation zu Dezimalbrüchen und können damit auch gut arbeiten. Jedoch funktioniert dies nur bis einschließlich der zweiten Nachkommastelle. Das Verständnis von weiteren Nachkommastellen fehlt. Das Geld-Denken ist ebenfalls auf andere Größen wie Strecken zu übertragen. In diesem Fall würde man dies als erweitertes Geld-Denken betiteln.

Diese genannten nicht tragfähigen individuellen Denkweisen heben sich von den Grundvorstellungen ab und bilden wie erwähnt Hürden im Umgang mit Dezimalbrüchen. Es ist nicht nur für das Dezimalbruchverständnis fatal, sondern auch für folgende Unterrichtsthemen, denn diese sind im Mathematikunterricht aufeinander aufbauend und miteinander vernetzt (Padberg & Wartha, 2017). Außerdem werden diese nicht tragfähigen individuellen Denkweisen auch in den Alltag integriert, denn die Dezimalbrüche sind, wie bereits erwähnt, durch die zunehmende Technisierung in viele Lebensbereiche eingebunden. Es ist jedoch nicht ausreichend, lediglich die inhaltliche Vorstellung des Dezimalbruchverständnisses zu vermitteln. Die Lernenden sollten im besten Fall ihr Verständnis kritisch reflektieren können, um neue und tragfähige Kenntnisse zu erlangen (Heckmann, 2006). Es stellt sich daher die Frage, was getan werden muss, damit eventuell nicht tragfähige individuelle Denkweisen aufgehoben werden können. Wurde das Dezimalbruchverständnis im Unterricht nicht intensiv genug behandelt, muss individuell gefördert werden. Mithilfe von geeigneten Anschauungsmitteln wie Zahlenstrahlen und Stellenwerttafeln kann eine gelungene Förderung bewirkt werden (Padberg & Wartha, 2017). Zuvor ist allerdings zu klären, was eine Förderung ausmacht und wie diese aufgebaut ist.

2.3) Erfolgreiche Förderung

Ein wichtiges Hauptmerkmal der nicht tragfähigen individuellen Denkweisen besteht darin, dass die Grundvorstellungen von Brüchen und natürlichen Zahlen fehlerhaft auf den Bereich der positiv rationalen Zahlen übertragen werden. Der Grundvorstellungsaufbau findet entweder gar nicht statt oder es werden lediglich Regeln auswendig gelernt, die dann fälschlicherweise auf mehrere Bereiche des Umgangs mit Dezimalbrüchen übertragen werden (Padberg & Wartha, 2017). Diesem Problem kann durch ein bewusstes Kontrastieren der einzelnen Bereiche entgegengewirkt werden, um dabei die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der verschiedenen Zahlbereiche herauszustellen wie bspw. bei der stellenwertbelegenden Rolle Null (Heckmann, 2006). „Die meisten Fehler weisen eine bestimmte Regelstruktur auf, die nachvollziehbar, begründbar und für die Schüler selbst offenbar sinnvoll ist. Für eine effektive Arbeit gegen diese Fehlerstrategien ist es wichtig, dass der Lehrer die wichtigsten typischen Problembereiche kennt“ (Heckmann, 2006, S. 594). So können Lehrende eine individuelle Unterstützung geben, damit es Lernenden nicht so schwer fällt, diese Hürden zu überwinden (Hößle, Hußmann, Michaelis, Niesel & Nührenbörger, 2017). Denn die Lernenden müssen erkennen, „dass gewisse Vorstellungen oder Strategien im Widerspruch zu anderen, gesicherten Kenntnissen stehen“ (Heckmann, 2006, S. 598). Es kann jedoch nicht vorausgesetzt werden, dass Lernende das Bewusstsein dafür haben, Widersprüche mathematischer Probleme eigenständig zu entdecken, da diese oft isoliert betrachtet und nicht in Beziehung zu anderen Kenntnissen gesetzt werden. Es ist dabei wichtig zu erwähnen, dass bei fehlerhaften Handlungen der Fokus nicht auf den Fehlern selbst liegen sollte, sondern auf dem dahinterliegenden Denkprozess, also der nicht tragfähigen individuellen Denkweise (Wartha, 2011). Deshalb ist eine wichtige Aufgabe der Lehrenden, die gelösten Aufgaben der Lernenden zu analysieren, um die angewendeten Strategien nachzuvollziehen und einen Aufschluss über individuellen Kenntnisse und Denkweisen der Lernenden zu erhalten. Eine einfache Nachhilfe wiederholt dabei meist nur den aktuellen Schulstoff und es wird unproduktiv geübt, da bestehenden Lücken dadurch nicht gefüllt werden (Pallack, Salle & Vom Hofe, 2011). Die Ursachen für die Schwierigkeiten bleiben somit bestehen. Bei einer erfolgreichen Förderung allerdings kann dem betroffenen Lernenden dabei geholfen werden, sich weiterzuentwickeln, um prozessorientiert arbeiten und Problemsituationen lösen zu können. Eine schulische Förderung kann im Unterricht als eine mit fachdidaktischen Mitteln erbrachte Leistung benannt werden. Diese bezieht sich auf den Lernstand eines jeden daran teilnehmenden Lernenden, welcher durch individuell geplante Förderangebote zu dem eigentlichen Lernziel hingeführt werden soll. Auf dieser Weise wird der Lernende entsprechend seiner Begabungen und Möglichkeiten optimal unterstützt. Eine nähere Definition für eine gelungene Förderung gibt es nicht, da Faktoren wie die Eigenmotivation der Lernenden oder das Engagement der Lehrenden eine entscheidende Rolle spielen (Arnold & Richert, 2008). Dennoch lassen sich Grundelemente der Förderung identifizieren.

Den Ausgangspunkt der Förderplanung bildet die Beschreibung der Rahmendaten, das heißt, welcher Lernende von welchem Lehrenden wann und wie lange gefördert werden soll. Danach folgt der Anlass der Förderplanung aus Sicht der Beteiligten. Daraus werden eine Fragestellung und Hypothesen gebildet. Als Nächstes fordert es eine Standortbestimmung. Hierbei werden unter Einbezug diagnostisch ausgewählter Aufgaben Informationen überden Lernenden und dem Lernstand erhoben (Dhaouadi, 2008; Prediger, Selter, Hußmann, Nührenbörger, 2014). Auf dieser Grundlage der diagnostischen Fakten können die Befunde und Feststellungen der Förderung diagnostiziert und ein Förderplan entwickelt und aufgestellt werden (Dhaouadi, 2008). Wichtig ist dabei, dass den Lernenden der Sinn der einzelnen Förderaufgaben erklärt wird, „denn nur so können sie Mit­verantwortung für ihr eigenes Lernen übernehmen“ (Prediger et al., 2014, S. 9). Die Lehrenden sollten drei entscheidende Punkte beachten, um eine gute Förderung zu gewährleisten. Erstens ist ein umfangreiches fachliches und fachdidaktisches Wissen über den Lerngegenstand Grundvoraussetzung. Zweitens sind Kenntnisse über die zu fördernden Fähigkeiten von Lernenden sowie Lernschwierigkeiten in Bezug zu dem Lerngegenstand essenziell. Drittens kommt der Aufgabenauswahl eine entscheidende Rolle zu (Hößle et al.). Um während der Förderung den bestmöglichen Lernzuwachs erreichen zu können, ist es wichtig, eine geeignete Lernatmosphäre zu schaffen und eine gute vorbereitete Aufgabenauswahl zu treffen, welche klar strukturiert ist und gezielt die Problembereiche betrifft. Anschauungsmittel sind wichtige Hilfsmittel und begünstigen eine erfolgreiche Förderung. Sie dienen als gute Unterstützung, um Umbrüche zu überwinden und neue Grundvorstellungen aufzubauen. Dabei sollte möglichst auf bekannte Anschauungsmittel zurückgegriffen werden, damit die Lernenden die neuen Inhalte bzw. die bereits bekannten Inhalte intensiver verinnerlichen können. Die Lernenden sollen so die mathematischen Inhalte auf einer greifbareren Ebene als nur der symbolischen Darstellungsebene verstehen. Anschauungsmittel sind eine konkrete Grundlage für die Entwicklung mentaler Modelle (Padberg & Wartha, 2017). Dies „sind Repräsentationen im Kopf zu Begriffen oder Sachverhalten und dem Arbeiten damit“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 3). „Die positiven Effekte beim Lernen mit multiplen Repräsentationen wurde beispielsweise von Zhang/Clements/Ellerton empirisch dokumentiert“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 167). Anschauungsmittel dienen u.a. als Lösungs-, Lern-, und Kommunikationshilfe. Damit ist gemeint, dass die Lernenden mit den verschiedenen Arbeitsmitteln Antworten anschaulich begründen sollen, um so ein tieferes Verständnis entwickeln zu können (Heckmann, 2006; Padberg & Wartha, 2017). Außerdem können Lehrende beobachten, ob sich bei der Bearbeitung der Inhalte die individuellen Denkweisen der Lernenden mit den Grundvorstellungen decken, da sie während der Nutzung der Anschauungsmittel ihren Aufgabenprozess erklären (Padberg & Wartha, 2017). Ob und welche Anschauungsmittel geeignet sind, hängt von verschiedenen Kriterien ab. Zunächst ist die Anzahl der Materialien entscheidend. Man sollte sich auf wenige Arbeitsmittel beschränken, diese dafür aber sorgfältig thematisierend nutzen. Des Weiteren muss auf ihre Tragfähigkeit geachtet werden, das heißt, ob sie nur auf einzelne Aufgaben oder auf mehrere Inhaltsgebiete anwendbar sind (ebd.). Am Ende der Förderung ist es möglich, eine Ausgangsstandorterhebung durchzuführen. Diese sollte erneut die Aufgaben der Eingangsstandortbestimmung beinhalten. Nicht nur den Lehrenden gewährt dies einen Einblick in den erreichten Fortschritt, auch den Lernenden wird so ermöglicht, die Progression des eigenen Lernens zu erkennen (Prediger et al., 2014). Zusätzlich kann dadurch geprüft werden, ob die Förderung gelungen ist.

3) Darstellung der Studie

In diesem Kapitel wird die gesamte Studie in Unterkapiteln dargelegt. Zu Beginn wird die Forschungsfrage vorgestellt, welche in Bezug zu den theoretischen Inhalten aus Kapitel 2) gesetzt wird. Es folgen die Erläuterungen zum Design der Untersuchung, welches in dieser Studie die fokussierte Förderung darstellt. Darauffolgend wird die Auswahl des Aufgabenmaterials mit den inbegriffenen Hilfsmitteln, wie Anschauungsmittel, begründend aufgeführt. Anschließend folgt die Durchführung der Studie, welche die Erläuterungen zum qualitativen Untersuchungsdesign beinhaltet. Zum Schluss wird die Auswertungsmethode der Studie dargelegt.

3.1) Entwicklung der Forschungsfrage

Die PISA-Studie 2012 zeigt, dass Deutschland in der Mathematik von PISA 2000 zu PISA 2003 bereits deutliche Verbesserungen erzielen konnte. Daraus lässt sich schließen, dass die Veränderung der vergangenen Jahre nicht nur eine Stabilisierung, sondern auch eine Verbesserung der mathematischen Kompetenz darstellt. Dabei darf jedoch nicht vergessen werden, dass trotzdem jeder sechste Jugendliche in Deutschland die Mindestanforderungen für ein anschlussfähiges mathematisches Verständnis nicht erreicht und so erhebliche Probleme hat, einen Ausbildungsplatz zu finden bzw. eine Ausbildung erfolgreich abzuschließen sowie anspruchsvollere mathematische Anforderungen im Alltag zu bewältigen (Prenzel, Sälzer, Klieme & Köller, 2013). Diese Lernenden müssen „im Hinblick auf ihre weiteren Bildungs- und Berufschancen als Risikogruppe angesehen werden, deren gesellschaftliche Teilhabe massiv erschwert ist“ (Prediger et al., 2014, S. 7). Der zentrale Auslöser für die Schwierigkeiten ist bereits in der Grundschule zu finden. Denn die Grundschulstudie TIMSS 2011 zeigt, dass nahezu 20% der Lernenden am Ende der vierten Klasse nur über grundlegende mathematische Fähigkeiten verfügen (Prediger et al., 2014). Die erheblichen Probleme werden in der Sekundarstufe in den Mathematikunterricht übertragen und führen zu fehlenden Kenntnissen im mathematischen Basisstoff (Prenzel et al., 2013). Diese Folge ist ebenfalls im Dezimalbruchverständnis bei zahlreichenden Lernenden festzustellen, wie auch in Kapitel 2) beschrieben wird. Es stellt sich also die Frage, welche Maßnahmen vorgenommen werden müssen, damit sich sowohl die Ergebnisse der PISA-Studie als auch der Wissenstand der Lernenden bessert. Idealerweise sollte bereits im Unterricht mithilfe von Lernausgangsdiagnosen, Lernprozessdiagnosen und Lernergebnisdiagnosen präveniert werden, um eventuell nicht tragfähige individuelle Denkweisen der Lernenden zu mindern oder gar zu vermeiden (Hußmann, Leuders & Prediger, 2007; Wollring, 1999). Oft wird im Unterricht nur die Lernergebnisdiagnose durchgeführt, wobei es wichtig wäre, auch den Lernausgang zu testen, bevor man bspw. mit einer neuen Unterrichtseinheit beginnt (Hußmann et al., 2007). Denn es ist notwendig, sich als Lehrkraft früh bewusst zu machen, ob und welche nicht tragfähigen individuellen Denkweisen bei Lernenden vorhanden sind, um eine gezielte Unterrichtsmaßnahme bzw. Förderung durchzuführen. Dadurch wird vermieden, dass sich eventuell fehlerbehaftete Grundvorstellungen bilden (Heckmann, 2006; Hußmann & Selter, 2007). Somit schließt sich hier die Forschungsmotivation an den Grund an, warum die nachfolgende Studie durchgeführt wurde.

Es wurde bereits ausführlich das Dezimalbruchverständnis mit seinen Grundvorstellungen und möglichen nicht tragfähigen individuellen Denkweisen vorgestellt. Anhand von Studien wurde belegt, dass im Unterricht das Dezimalbruchverständnis nicht intensiv genug behandelt wird und sich dadurch Hürden im Lernprozess der Lernenden einschleichen, wodurch sich nicht tragfähige individuelle Denkweisen bilden. Jedoch ist der Forschungsbereich Dezimalbrüche klein und die meisten Forschungen liegen bereits über dreißig Jahre zurück. Es gibt nur wenig Literatur, die aufdem aktuellen Stand ist. Daher ist die Motivation dieser Arbeit, damalige Theorien zu überprüfen, aber auch die Denk- und Lernprozesse der Lernenden zu verstehen. In der nachfolgenden Studie wurde auf dieser Basis folgende Forschungsfrage behandelt:

- Wie entwickelt sich das Verständnis von Lernenden der achten Klasse im Bereich der Dezimalbrüche mit Fokus auf das Stellenwertverständnis innerhalb einer Förderung?

Dabei wurde der Fokus daraufgelegt, welche Hürden im Lernprozess der Lernenden zu beobachten sind, wie diese anhand einer fokussierten Förderung behoben und durch tragfähige individuelle Denkweisen ersetzt werden können, welche folglich mit den Grundvorstellungen deckend sind. Ziel ist es zudem zu zeigen, dass eine nachhaltig fokussierte Förderung mit strukturierten Aufgaben und Anschauungsmitteln die inhaltsbezogenen Kompetenzen von Lernenden verbessert. Im Folgenden wird die fokussierte Förderung näher ausgeführt und deren Relevanz innerhalb der Studie dargelegt.

3.2) Design der Untersuchung - fokussierte Förderung

Das gewählte Design der aufgestellten Forschungsfrage ist die fokussierte Förderung. In Kapitel 2.3) wurde bereits über die Förderung im Allgemeinen gesprochen und wie essenziell diese für den Unterricht ist. Die fokussierte Förderung ist nichts anderes und konzentriert sich darauf, die Denk- und Lernprozesse von Lernenden auszumachen, um Leistungen des inhaltlichen Verstehens mathematischer Inhalte zu erhöhen (Prediger & Schink, 2014). Um eine geeignete Aussage hinsichtlich der Forschungsfrage zu bilden, erwies sich deshalb diese Methode als sinnvoll.

Bei der fokussierten Förderung sollte man auf zwei wichtige Merkmale achten, damit eine gelungene Förderung gewährleistet werden kann. Der erste Fokus ist die Verstehensgrundlage. Eine kurzfristige Unterstützung bei aktuellen Themen im Mathematikunterricht ist oft unzureichend hilfreich für einen langfristigen Kompetenzaufbau (ebd.). Da die meisten Schwierigkeiten von Lernenden auf unvollständige bzw. nicht tragfähige Verstehensgrundlagen aus vorangehenden Jahrgängen zurückzuführen sind, müssen diese fokussiert aufgearbeitet werden (Moser Opitz, 2007). Zudem ist der kommunikative Austausch wichtig, um die Verstehensgrundlagen näher zu definieren (Prediger & Schink, 2014, Prediger et al., 2014). Außerdem stützt sich die fokussierte Förderung auf zwei Säulen, welche gleichzeitig die Hauptmerkmale sind. Die erste Säule ist „in empirischen Untersuchungen und fachdidaktischen Analysen zu spezifizieren, welche Verstehensgrundlagen für das Weiterlernen in der Sekundarstufe I (Arithmetik, Algebra, Stochastik) unverzichtbar sind“ (Prediger & Schink, 2014, S. 23). Für diese Studie waren bspw. die Kompetenzen für das Dezimalbruchverständnis essenziel, um eine geeignete Eingangsstandortbestimmung durchzuführen. Somit konnte man ausmachen, bei welchen der Kompetenzen noch weiterer Förderbedarf besteht. Dies bildet die zweite Säule (Voßmeier, 2012; Prediger & Schink, 2014). Standortbestimmungen stellen eine Grundlage für eine gute Förderung dar und leisten so einen unmittelbaren Beitrag zur Steigerung der Unterrichtsqualität (Hußmann & Selter, 2007). Es ist sowohl für Lehrende als auch für Lernende ein Vorteil, Standortbestimmungen durchzuführen, denn Lehrende erhalten so strukturierte Informationen über die Kompetenzen der Lernenden. Dadurch fällt es leichter, die Grundlage für eine Förderung zu schaffen (Hußmann et al., 2007; Hußmann & Selter, 2007). Die Lernenden hingegen erhalten im zunehmenden Maße Transparenz über ihr eigenes Lernen. Dabei ist zwischen einer schriftlichen und einer mündlichen Standortbestimmung zu differenzieren. Für diese Studie wurde die schriftliche Standortbestimmung ausgewählt, bei der man lediglich die schriftlichen Dokumente der Lernenden zur Auswertung hat (Hußmann & Selter, 2007). Auf deren Basis wurde die fokussierte Förderung gestaltet. Es wurden zwei Fördersitzungen im Abstand von drei Wochen durchgeführt. Als die Förderung abgeschlossen war, folgte die Ausgangsstandortbestimmung. Durch den Vergleich beider Standortbestimmungen wurde ersichtlich, ob Lernfortschritte mithilfe der Förderung erfolgt sind bzw. die Gestaltung der Förderung gut war. „Da eine Standortbestimmung mit vertretbarem Aufwand durchzuführen und auszuwerten sein sollte, sollte man sich auf eine repräsentative Auswahl von gut ausgewählten und aussagekräftigen Aufgabenstellungen beschränken“ (Hußmann & Selter, 2007, S. 9).

3.3) Aufgabenauswahl

Es gibt zwei Faktoren, die bei der Auswahl von passenden Aufgaben eine wichtige Rolle spielen. Zum einen muss unterschieden werden, ob die Aufgaben zum Aufbau eines mentalen Modells oder zur Aktivierung bzw. Anwendung einer bereits aufgebauten Grundvorstellung herangezogen werden (Padberg & Wartha, 2017). Zum anderen müssen die Aufgaben den Austausch über Denk- und Vorgehensweisen anregen, sodass die Lernenden gemeinsame Einsichten und Vorstellungen entwickeln können (Prediger et al., 2014). Um diesen Faktoren gerecht zu werden, wurde für diese Studie eine Auswahl an aussagekräftigen Diagnose- und Förderaufgaben aus bereits bestehendem und erprobtem Material ausgewählt. Das Projekt „Mathe sicher können“ von den Herausgebern Prediger, Selter, Hußmann und Nührenbörger 2014 bietet eine große Auswahl an Aufgaben in den Themenbereichen Brüche, Prozente, Dezimalbrüche und natürliche Zahlen, die für Diagnose- und Fördersitzungen entwickelt wurden und auf zentrale Basiskompetenzen der Lernenden zielen. Die einzelnen Themenbereiche werden in Form von Bausteinen aufeinander aufbauend wiedergegeben, welche die zentralen Basiskompetenzen bilden, über die alle Lernenden verfügen sollten (ebd.). Für die Eingangsstandortbestimmung wurde aus jedem Kompetenz-Baustein im Themenbereich „Dezimalbruchverständnis“ eine Aufgabe herausgesucht, um auszumachen, bei welchen Kompetenzen der jeweiligen Lernenden Förderbedarf besteht (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1: Eingangs-Standortbestimmung Kompetenzbausteine (Prediger et al., 2014)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Innerhalb dieser Aufgaben wurden Darstellungswechsel hinsichtlich der verschiedenen Schreibweisen von Dezimalbrüchen in Bezug auf Zahlen und Rechenoperationen vorgenommen, um zu prüfen, ob in den genannten Bereichen Grundvorstellungen vorhanden sind (Wartha & Schulz, 2012). In dieser Studie bezog man sich auf die inhaltliche Schreibweise (fünf Hundertstel und drei Tausendstel) und auf die Dezimalbruchschreibweise (null Komma null fünf drei) (Padberg & Wartha, 2017). Die Eingangsstandortbestimmung hat ergeben, dass ein großer Teil der Lernenden erhebliche Schwierigkeiten im Kompetenzbereich „Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen“ zeigte, da sie teilweise die einzelnen Stellenwerte des Dezimalbruchs nicht benennen, die Dichtigkeit auf dem Zahlenstrahl nicht erkennen und die Dezimalbrüche nicht miteinander vergleichen konnten. Das lässt annehmen, dass die Lernenden nicht über die Grundvorstellungen für ein tragfähiges Dezimalbruchverständnis und erweitertes Stellenwertverständnis verfügten. Da die tragfähigen individuellen Denkweisen über das erweiterte Stellenwertverständnis eine Grundvorstellung bilden, lässt sich auch schließen, dass deshalb die Aufgaben mit den darauffolgenden Kompetenzbereichen nicht fehlerfrei gelöst wurden. Auf Basis dieser Ergebnisse wurden die beiden Fördersitzungen geplant, um einen konkreten Einblick in die eingesetzten Bearbeitungsprozesse und die Erklärungsmuster zu erhalten (Padberg & Wartha 2017, Prediger et al. 2014). Es wurde der Kompetenzbereich „Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen“ in den Fokus genommen, welcher an die diagnostizierten Schwierigkeiten der Grundvorstellungen angeschlossen haben (siehe Tabelle 2).

Tabelle 2: Erste und zweite Fördersitzung Kompetenzbaustein (Prediger et al., 2014)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wurden speziell Aufgaben zu dem Thema „erweitertes Stellenwertverständnis“ behandelt. Dabei waren vor allem zwei Fördermaßnahmen naheliegend: zum einem die Kommunikation über die Zusammenhänge zwischen Schreib-, Sprech- und Darstellungsmöglichkeiten der Stellenwerte und zum anderen der Darstellungswechsel mithilfe von Anschauungsmitteln (Sprenger & Hußmann, 2014). Denn diese vielfältigen Übersetzungen zwischen Darstellungsebenen und Schreib- bzw. Sprechweisen gewährleisten, dass das erweiterte Stellenwertverständnis als Basis für die Grundvorstellungen der Dezimalbrüche aufgebaut wird (Padberg & Wartha 2017). Bei dieser Förderung wurden zwei für das Thema geeignete Anschauungsmittel verwendet, welche sich an die Vorkenntnisse der Lernenden angeschlossen haben: der Zahlenstrahl und die erweiterte Stellenwerttafel (Padberg & Wartha, 2017; Sprenger & Hußmann, 2014). In der ersten Fördersitzung wurde nur der Zahlenstrahl genutzt, damit die Lernenden ihre nicht tragfähigen individuellen Denkweisen zu tragfähige Grundvorstellungen bezüglich des erweiterten Stellenwertverständnisses umwandeln konnten. Der Zahlenstrahl ist sehr lernförderlich, da mit einer Zoomfunktion Abschnitte vergrößert werden können und somit den Lernenden die Dichtheit und die Unendlichkeit zwischen Dezimalzahlen näher gebracht werden kann. Mithilfe von Zehntel- und Hundertstelstreifen konnten die Zusammenhänge zwischen den Stellenwerten veranschaulicht werden, sodass die Beziehungen und Größen deutlich wurden: 1 Einer =10 Zehntel = 100 Hundertstel = 1000 Tausendstel usw. (Sprenger & Hußmann, 2014). „Um die besondere Rolle der einzelnen Stellenwerte zu veranschaulichen, [wurde in dem Aufgabenmaterial] mit wiederkehrenden Farben gearbeitet“ (Sprenger & Hußmann, 2014, S. 101). Die Zehntel waren rot, die Hundertstel blau und die Tausendstel grün gefärbt. Dies zog sich durch die gesamte Aufgabenauswahl in beiden Fördersitzungen. Erst nach Festigung des Wissens, welches man mittels des Zahlenstrahls erworben hatte, wurde in der zweiten Fördersitzung die erweiterte Stellenwerttafel eingesetzt (Padberg & Wartha, 2017; Sprenger & Hußmann, 2014). Mit der Stellenwerttafel kann man den Ziffern in Dezimalbrüchen eine inhaltliche Bedeutung verleihen. „Wird 0,526 als Summe von Zehnteln, Hundertsteln, Tausendsteln, ... in der Form gemeiner Brüche geschrieben, so ergibt sich jeweils unmittelbar die Darstellung in der Stellenwerttafel. Das Komma wird näher thematisiert und die einzelnen Nachkommastellen werden einzeln betrachtet, stellenweise gedeutet und die richtige Sprechweise „null Komma fünf zwei sechs“ wird gefördert“ (Marxer, 2013, S. 645). „Durch die erweiterte Stellenwerttafel wird die feste Reihenfolge der Stellenwerte und die Beziehung zwischen den Stellenwerten visualisiert. Außerdem können die Bedeutung von Zwischennullen, die zur Markierung nichtbesetzter Stellenwerte benötigt werden, und Endnullen, die rechts vom Komma angehängt oder gestrichen werden können, herausgearbeitet werden“ (Sprenger & Hußmann, 2014, S. 102). Nach der Förderung folgte die abschließende Ausgangsstandortbestimmung, welche den Aufgaben aus dem Kompetenzbereich „Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen“ in der Eingangsstandortbestimmung entsprachen (siehe Tabelle 3).

Tabelle 3: Ausgangs-Standortbestimmung Kompetenzbausteine (Prediger et al., 2014)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zusätzlich wurden Aufgaben aus dem Unter-Kompetenzbereich „Ich kann Dezimalzahlen vergleichen und der Größe nach ordnen“ hinzugenommen, da diese Thematik in den Fördersitzungen mehrfach implizit angesprochen und Ansätze bearbeitet wurden.

Einige angewendete Aufgaben dieser Studie wurden aus dem Material in Original übernommen, während andere sprachlich hinsichtlich der Aufgabenstellungen angepasst wurden (siehe Anhang 1-4).

3.4) Durchführung der Studie

Für die Durchführung der Studie wurde ein qualitatives Untersuchungsdesign verwendet. „Bei qualitativen Methoden erfolgt die Datenerhebung mit Hilfe offener Verfahren. Das sind nicht-standardisierte, interaktive wenig strukturierte Interviews von zumeist längerer Dauer“ (Beck & Maier, 1993, S. 166). Mithilfe dieser Methode konnte man tragfähige und nicht tragfähige individuelle Denkweisen von den Lernenden ermitteln und definieren, mit welchen Anschauungsmitteln besser gearbeitet werden konnte. So war es auch möglich, festzustellen, ob die fokussierte Förderung hilfreich war (Beck & Maier, 1993). In qualitativen Studien geht es auch darum, dass „ein zunächst noch wenig determiniertes theoretisches Vorverständnis in einem steten Austausch zwischen offener Materialerhebung und theoriegeleiteter Interpretation genauer bestimmt, verändert oder korrigiert wird“ (Beck & Maier, 1993, S. 167). Man kann komplexe Sachverhalte und Vorgänge differenziert erfassen und so war es bspw. innerhalb dieser Studie möglich Ursachen für nicht tragfähige individuelle Denkweisen aufzuspüren und zu deuten (Beck & Maier, 1993). Es ging also primär nicht darum, die Lernenden durch geschicktes Fragen zu Lösungsansätzen zu führen, wobei auch dies natürlich gewünscht und eines der Ziele war. Vielmehr war es interessant zu ergründen, wie die Lernenden denken, da jeder Lernende seine eigene, für sich logische Erklärung hat, warum die eigenen Denkweisen richtig sein müssen (Selter &Spiegel, 1997, Voßmeier, 2011).

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