Es werden die Grundlagen der Fourieranalyse sowie deren Approximationseigenschaften dargelegt. Zusätzlich wird die Programmierung eines Rechteck- und eines Dreiecksignals in MATLAB erörtert und die Darstellung von Spektrallinien erarbeitet.
Diagnose von Herzrhythmusstörungen, Bildbearbeitung durch beispielsweise Weichzeichnen oder Kantenerkennung oder auch Spracherkennung durch eine Analyse akustischer Signale. Diese drei Beispiele haben auf den ersten Blick keinen direkten Zusammenhang. Die Gemeinsamkeit dieser Beispiele liegt allerdings in der Anwendungsmethode, also in der Technik, wie alle diese Dinge durchgeführt werden. In allen drei Bereichen wird die Fourier-Transformation zur Um- und Berechnung frequenzabhängiger Signale eingesetzt.
Bereits 1822 von Physiker Joseph Fourier entwickelt, findet die Fourier-Analyse heutzutage, wie oben bereits ersichtlich, in diversen Branchen Anwendung. Die Grundidee von Fourier besagt, dass sich sämtliche periodische Schwingungen als Summe von harmonischen Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen darstellen lässt. Mit der Fourier-Analyse können auf Basis dieses Grundgedankens auch komplizierte Funktionen und Probleme in übersichtlichere, einfacher zu berechnende Funktionen transformiert und nach entsprechender Lösung wieder zurücktransformiert werden.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Entwicklung und Berechnung der Fourier-Analyse darzustellen und in mehreren Anwendungsbeispielen mithilfe von Programmierungen in MATLAB® zu verdeutlichen. Dabei sollen auch mögliche fehlerhafte Effekte oder Ungenauigkeiten analysiert werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Konzeptionelle Grundlagen der Fourier-Zerlegung
- Entwicklung und Aufbau von Fourier-Reihen
- Approximationseigenschaften der Fourier-Analyse
- Lösung der Aufgabenstellungen
- Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
- Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
- Berechnung der Spektrallinien
- Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit zielt darauf ab, die Entwicklung und Berechnung der Fourier-Analyse darzustellen und mithilfe von Programmierungen in MATLABⓇ zu verdeutlichen. Dabei sollen auch mögliche fehlerhafte Effekte oder Ungenauigkeiten analysiert werden.
- Entwicklung und Aufbau von Fourier-Reihen
- Approximationseigenschaften der Fourier-Analyse
- Anwendung der Fourier-Analyse zur Zerlegung verschiedener Signale
- Analyse von fehlerhaften Effekten und Ungenauigkeiten bei der Fourier-Analyse
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Die Einleitung stellt die Bedeutung der Fourier-Transformation in verschiedenen Anwendungsbereichen, wie z.B. Diagnose von Herzrhythmusstörungen, Bildbearbeitung und Spracherkennung, dar. Es wird die Grundidee der Fourier-Analyse erläutert und die Zielsetzung der Arbeit definiert, die darin besteht, die Entwicklung und Berechnung der Fourier-Analyse darzustellen und mithilfe von MATLABⓇ zu verdeutlichen. Die Arbeit beinhaltet auch eine Analyse möglicher Fehler und Ungenauigkeiten.
Konzeptionelle Grundlagen der Fourier-Zerlegung
Dieses Kapitel befasst sich mit der historischen Entwicklung und dem Aufbau von Fourier-Reihen. Es wird der Satz von Fourier erläutert, der besagt, dass sich jede periodische Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen mit ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz darstellen lässt. Es werden die drei Dirichletbedingungen erläutert, die eine Funktion erfüllen muss, um als Fourier-Reihe dargestellt werden zu können.
Lösung der Aufgabenstellungen
Dieses Kapitel behandelt verschiedene Anwendungsbeispiele der Fourier-Analyse mithilfe von MATLABⓇ. Es werden die Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals, die Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten und die Berechnung der Spektrallinien behandelt. Diese Beispiele verdeutlichen die Anwendung der Fourier-Analyse in der Praxis.
Schlüsselwörter
Fourier-Transformation, Fourier-Analyse, Fourier-Reihen, Fourier-Koeffizienten, Spektrallinien, MATLABⓇ, Rechtecksignal, Dreieckfunktion, Signalverarbeitung, Frequenzanalyse.
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- Jennifer Jäger (Autor), 2019, Grundlagen der Fourierzerlegung mit Beispielen in MATLAB, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/505982
