Introduction à la Magnétostatique. Notes de cours et applications


Notes (de cours), 2019
41 Pages

Extrait

Sommaire

Chapitre 1
Loi de Biot – Savart - Champ magnétostatique
1.1 Courant électrique
1.2 Loi de Biot – Savart
1.3 Champ magnétostatique créé par une spire circulaire
1.4 Bobine plate

1.5 Bobines d’Helmholtz

1.6 Solénoïde de longueur finie

Exercices d’application

Réponses

Chapitre 2

Théorème d’Ampère et applications

2.1 Principe de Curie

2.2 Application du théorème d’Ampère - Illustration par l’intermédiaire d’un exemple

Exercices d’applications

Réponses

Références

Préface

Ces notes de cours qui s’articulent autour des connaissances fondamentales de la magnétostatique dans le vide sont vouées aux étudiants de première année de Licence de Physique et de Chimie du cycle universitaire.

Le chapitre 1 présente, dans un premier temps, la notion de courant électrique en focalisant l’intérêt sur les trois types de ce dernier (volumique, surfacique et filiforme). Dans un second temps, l’accent est mis sur le champ magnétostatique créé par des systèmes usuels (spire circulaire, bobine plate, bobines d’Helmholtz).

Au début du chapitre 2, nous considérons que la cause est une distribution de courant alors que l’effet correspond au champ magnétostatique. Ensuite, les différentes étapes suivies lorsqu’on utilise le théorème d’Ampère sont présentées aussi bien dans le cas général que dans le cas d’un exemple.

Dans ces notes de cours, l’exposé est à la fois simple et enrichi par des exemples concrets. En outre, des exercices d’applications avec des réponses succinctes sont présentés à la fin de chaque chapitre.

Liste des figures

Fig.1.1 : Vecteur densité volumique de courant

Fig.1.2 : Courant circulant dans le volume d’un cylindre d’axe Z’Z et de rayon R

Fig.1.3 : Vecteur densité surfacique de courant

Fig.1.4: Fil conducteur parcouru par un courant d’intensité I

Fig.1.5 : Circuit filiforme fermé parcouru par un courant d’intensité constante I – Vecteur déplacement élémentaire situé au point P

Fig.1.6 : Spire circulaire de centre O, de rayon R et d’axe OZ parcourue par un courant d’intensité constante I

Fig.1.7 : Sens du vecteur champ magnétostatique donné par la règle du tire – bouchon

Fig.1.8 : Angle q sous lequel on voit, du point M, un point quelconque de la spire

Fig.1.9: Bobine plate

Fig.1.10 : Bobines d’Helmholtz

Fig.1.11 : Courbe représentative de BH (z)

Fig.1.12: Solénoïde de longueur finie

Fig.1.13 : Conducteur sous forme d’un arc de cercle, de centre O, de rayon R, d’axe OZ et d’angle j 0 = parcouru par un courant d’intensité constante I

Fig.1.14 : fil de longueur finie (un segment [AB] selon l’axe Z’Z) parcouru par un courant d’intensité constante I

Fig.2.1 : Fil de longueur infinie parcouru par un courant d’intensité constante I

Fig.2.2 : Courants circulant en deux points P et P’ symétriques par rapport au plan p

Fig.2.3 : Contour d’Ampère Г : cercle orienté d’axe Z’Z et de rayon r

Fig.2.4 : Vecteur surface élémentaire donné par la règle du tire – bouchon

Fig.2.5 : Courant volumique circulant dans un cylindre d’axe Z’Z, de rayon R et de hauteur infinie

Fig.2.6 : Courant circulant dans le volume compris entre deux cylindres infiniment longs d’axe Z’Z et de rayons R1 et R2

Fig.2.7 : Courant circulant sur la surface latérale d’un cylindre d’axe Z’Z, de rayon R et de hauteur infinie

Chapitre 1

Loi de Biot - Savart Champ magnétostatique

1.1 Courant électrique

1.1.1 Notion de courant électrique

Par courant électrique on entend un mouvement d’ensemble d’électrons au sein d’un conducteur.

En fait, dans un tel matériau, les électrons, étant chargés et peu liés aux atomes auxquels ils appartiennent, se déplacent facilement. Plus précisément, lorsqu'une différence de potentiel est appliquée aux extrémités du conducteur, elle provoque le déplacement de ces électrons, ce qui engendre le courant électrique.

Dans ce qui suit, on distinguera trois types de courant (volumique, surfacique et filiforme). De plus, on va se situer dans le cas où l’intensité du courant que l’on notera I est constante ce qui signifie que ce dernier est permanent ou encore stationnaire.

1.1.2 Courant volumique

Il s’agit d’un courant qui circule dans un volume et traverse une surface S (Fig.1.1).

Dans ce cadre, on définit le vecteur densité volumique de courant comme étant [1]:

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où n est la densité volumique de charges qui correspond au nombre de charges par unité de volume, q est la charge élémentaire et est le vecteur vitesse des charges.

Remarques

(i) Le vecteur a le même sens que celui du déplacement des charges positives alors qu’il est opposé au sens du déplacement des électrons.
(ii) Le courant volumique et le vecteur possèdent le même sens.

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j étant la densité de courant qui n’est autre que la norme du vecteur et correspond au vecteur unitaire selon lequel est porté.

(iv) j est une constante dans le cas d’une distribution volumique uniforme de courant.

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Fig.1.1 : Vecteur densité volumique de courant

L’intensité du courant volumique est définie comme étant :

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où est le vecteur surface élémentaire.

Exemple

On se situe dans le cas où le courant circule dans le volume d’un cylindre d’axe Z’Z et de rayon R de sorte que la densité volumique de courant est constante (Fig.1.2).

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Fig.1.2 : Courant circulant dans le volume d’un cylindre d’axe Z’Z et de rayon R

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1.1.3 Courant surfacique

Il s’agit d’un courant qui circule sur une surface et traverse une longueur L (Fig.1.3).

Dans ce cas, on introduit le vecteur densité surfacique de courant de sorte que l’intensité du courant surfacique s’exprime comme étant :

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est un vecteur unitaire perpendiculaire à la longueur L et dl est une longueur élémentaire.

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Fig.1.3 : Vecteur densité surfacique de courant

Remarques

(i) Le vecteur a le même sens que celui du déplacement des charges positives alors qu’il est opposé au sens du déplacement des électrons.
(ii) Le courant surfacique et le vecteur possèdent le même sens.

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étant la densité de courant et correspond à la norme du vecteur

(iv) est un vecteur unitaire selon lequel est porté.

(iv) est une constante signifie qu’il s’agit d’une distribution surfacique uniforme de courant.

1.1.4 Courant filiforme

C’est un courant d’intensité I qui circule dans un fil conducteur (Fig.1.4).

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Fig.1.4: Fil conducteur parcouru par un courant d’intensité I

Remarque

En toute rigueur, le conducteur doit constituer un circuit fermé pour que le courant puisse y circuler. Néanmoins, dans les exercices d’applications, on traitera souvent des situations dans lesquelles le circuit est ouvert.

1.2 Loi de Biot – Savart

On considère un circuit filiforme et fermé parcouru par un courant d’intensité constante I (Fig.1.5).

Soit un point P appartenant à ce circuit.

Soit un vecteur déplacement élémentaire situé au point P (Fig.1.5).

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Fig.1.5 : Circuit filiforme fermé parcouru par un courant d’intensité constante I – Vecteur déplacement élémentaire situé au point P

est parcouru par le courant élémentaire I .

Désormais, on va considérer que le courant élémentaire I est situé au point P.

La loi de Biot – Savart stipule que [1]:

‘’ Dans le vide, le champ magnétostatique élémentaire créé, en un point M, par le courant élémentaire I situé au point P s’exprime comme étant :

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où est la perméabilité magnétique du vide’’.

1.3 Champ magnétostatique créé par une spire circulaire

Une spire circulaire de centre O, de rayon R et d’axe OZ est parcourue par un courant d’intensité constante I (Fig.1.6).

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Fig.1.6 : Spire circulaire de centre O, de rayon R et d’axe OZ parcourue par un courant d’intensité constante I

On se propose d’exprimer le champ magnétostatique créé, en un point M de l’axe OZ, par cette spire.

Le point P est repéré par :

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Le vecteur déplacement élémentaire situé au point P s’exprime comme étant :

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Le champ magnétostatique élémentaire créé, au point M, par le courant élémentaire situé au point P s’exprime comme étant :

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Le champ magnétostatique créé, au point M, par la spire décrite ci-dessus s’écrit :

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En vertu du fait que

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Remarques

(i) Le sens du vecteur champ magnétostatique dépend de celui du courant conformément à la règle du tire – bouchon (Fig.1.7)

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Fig.1.7 : Sens du vecteur champ magnétostatique donné par la règle du tire – bouchon

(ii) On peut exprimer le champ magnétostatique créé par la spire circulaire décrite ci-dessus en fonction de l’angle q sous lequel on voit, du point M, un point quelconque de la spire (Fig.1.8). En effet, on peut écrire :

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Fig.1.8 : Angle q sous lequel on voit, du point M, un point quelconque de la spire

1.4 Bobine plate

Une bobine plate est un ensemble de N spires jointives (situées les unes à côté des autres) parcourues chacune par un courant d’intensité constante I de sorte que son épaisseur est faible devant son rayon (Fig.1.9).

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Fig.1.9: Bobine plate [2]

Remarques

(i) Le rayon de la bobine plate n’est autre que celui de chacune de ses spires (Fig.1.9).

(ii) L’épaisseur de la bobine plate étant faible. Ainsi, la position de cette dernière peut être considérée comme celle de la spire centrale (z=0) (Fig.1.9). De plus, On peut considérer que chaque spire crée, au point M de l’axe OZ, le même champ magnétostatique [3].

(iii) D’après le principe de superposition, le champ magnétostatique créé, au point M, par la bobine plate décrite ci-dessus s’exprime comme étant :

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(iv) Le champ magnétostatique créé, au point M, par une bobine plate située en z = a s’exprime comme étant :

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1.5 Bobines d’Helmholtz

C’est l’association de deux bobines plates situées respectivement en et (Fig.1.10).

La bobine plate située en crée, en un point M de l’axe OZ, un champ magnétostatique donné par :

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La bobine plate située en crée, en un point M de l’axe OZ, un champ magnétostatique donné par :

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D’après le principe de superposition, les deux bobines plates décrites ci-dessus créent, au point M, un champ magnétostatique qui s’exprime comme étant :

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[...]

Fin de l'extrait de 41 pages

Résumé des informations

Titre
Introduction à la Magnétostatique. Notes de cours et applications
Université
University of Monastir
Auteur
Année
2019
Pages
41
N° de catalogue
V507532
ISBN (ebook)
9783346071156
Langue
Français
mots-clé
Magnétostatique dans le vide, Couant électrique, Champ magnétostatique, Loi de Biot - Savart, Théorème d'Ampère
Citation du texte
Nabil Safta (Auteur), 2019, Introduction à la Magnétostatique. Notes de cours et applications, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/507532

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