Lehrprobe Mathematik. Lösen von Extremwertproblemen

Lehrprobe in der 11. Jahrgangsstufe am bayerischen Gymnasium


Unterrichtsentwurf, 2014

19 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. PädagogischeSituation

2. Darstellung des Lerninhalts
a) Vorwissen
b) Einbettung in die Unterrichtssequenz
c) Lerninhalt der Lehrprobenstunde

3. Ziele derStunde
a) Lernziele
b) Geförderte mathematische Kompetenzen

4. Verlaufsplanung

5. Quellenangaben

1. Pädagogische Situation

Die Klasse besteht aus 17 Schülerinnen und 6 Schülern. Die Klasse kann als nett und ruhig beschrieben werden, Schüler1 mit auffälligem Verhalten gibt es nicht. Es zeigt sich ein kontinuierliches Leistungsspektrum, wobei die absolute Leistungsspitze darstellt und derzeit die schlechtesten Leistungen erbringen. zeigen rege Mitarbeit mit guten bis sehr guten Beiträgen. Darüber hinaus bereichert den Unterricht häufig mit ihrer engagierten Mitarbeit, wenngleich die Beiträge inhaltlich nicht ganz auf dem Niveau der zuvor genannten Schüler liegen. Die Schüler pflegen im Mathematikunterricht einen freundlichen und hilfsbereiten Umgang miteinander, insbesondere erklären stärkere Schüler ihren Mitschülern Sachverhalte gerne nochmals. Insgesamt ergibt sich ein konstruktives Arbeitsklima, welches unter Berücksichtigung der Bedürfnisse der besonders starken und schwachen Schüler, ein normales Arbeitstempo ermöglicht.

Die Schüler haben sich einstimmig dafür entschieden, dass sie von der Lehrkraft geduzt werden möchten.

2. Darstellung des Lerninhalts

a) Vorwissen

Die vorliegende Unterrichtseinheit stellt in erster Linie eine Anwendung der eindimensionalen Differenzialrechnung dar, welche die Schüler zu Beginn der 11. Jahrgangsstufe erlernt (M ll.l)2 und anhand unterschiedlichster Funktionstypen eingeübt haben (M 11.3, M 11.4). Daneben knüpft die Behandlung von Extremwertproblemen in Jahrgangsstufe 11 an die Extremwertprobleme aus Jahrgangsstufe 9 an (M 9.2.2). Mit den Mitteln der 9. Jahrgangsstufe konnten im Normalfall nur Probleme untersucht werden, die durch eine ganzrationale Funktion f mit grad(f) < 2 beschrieben wurden. Die Differentialrechnung ermöglich nun in Jahrgangsstufe 11 auch Extremwerte ganzrationaler Funktionen dritten Grades und unter Umständen anderer Funktionstypen zu berechnen. Theoretisch ist den Schülern der Umgang mit Extremwertproblemen also bekannt. Allerdings wurde dieses Wissen lange nicht benötigt und es ist unklar wie tiefgreifend diese Thematik behandelt wurde, weshalb hier nicht allzu viel Vorwissen von den Schülern erwartet werden darf. Darüber hinaus werden Kenntnisse im Umgang und Lösen von linearen Gleichungen aus Jahrgangsstufe 7 (M 7.3.2, M 7.6) sowie Fertigkeiten im Zusammenhang mit der Lösung von linearen Gleichungssystemen aus Jahrgangsstufe 8 (M 8.1.4) benötigt. Hierbei geht es vor allem um das Prinzip bekannte Zusammenhänge zwischen Variablen zu nutzen, um einen Sachverhalt nur noch in Abhängigkeit einer Variable darzustellen. Dieses Vorgehen ist essentiell, da die Schüler nur die eindimensionale Differentialrechnung beherrschen. Die Umformung von Termen und das Lösen von quadratischen Gleichungen muss von den Schülern sicher beherrscht werden. Dies gilt jedoch für alle Bereiche der Analysis in der Oberstufe und stellt somit eher eine Grundfähigkeit als spezifisches Vorwissen für diese Unterrichtseinheit dar.

b) Einbettung in die Unterrichtssequenz

Die Unterrichtssequenz „Anwendungen der Differentialrechnung" (M 11.6) schließt sich an die Sequenz „Die natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion" (M 11.4) an. Auch bei Exponential- und Logarithmusfunktion hatte die Differentialrechnung einen hohen Stellenwert. Die Differentiation anderer Funktionstypen, wie ganzrationaler Funktionen haben die Schüler beispielsweise bei verknüpften Funktionen immer wieder geübt. Die vorliegende Stunde ist die zweite Unterrichtseinheit der Sequenz „Anwendungen der Differentialrechnung". In der Vorstunde wurden wesentliche Elemente des o.g. Vorwissens aufgefrischt. Neu ist für die Schüler nun, dass die Differentialrechnung nicht zur Untersuchung einer gegebenen Funktion genutzt wird, sondern dass eine reale Problemstellung zunächst geeignet „mathematisiert" werden muss, um die Differentialrechnung überhaupt dafür nutzen zu können. Der Inhalt der Lehrprobenstunde wird in der Folgestunde anhand der Thematik 16:9-Format wieder aufgegriffen um die Schüler nochmals für die notwendige Überprüfung der Praxistauglichkeit eines Ergebnisses zu sensibilisieren. Beispielsweise soll die Frage geklärt werden ob die Flächenmaximale Leinwand unabhängig vom Übertragungsformat die optimale Projektionsfläche darstellt. Außerdem wird der Begriff der Randextrema eingeführt und diskutiert. In den darauffolgenden Stunden wird das Lösen von Extremwertproblemen anhand weiterer Beispiele geübt und vertieft. Der Zweite Teil der Sequenz befasst sich dann mit der Modellierung von Funktionen. Auf M 11.6 baut in Jahrgangsstufe 12 das Kapitel „Anwendungen der Differential- und Integralrechnung" (M 12.4) auf.

Fächerübergreifend lässt sich ein Zusammenhang zu den wirtschaftswissenschaftlichen Fächern herstellen, wenn Kostenfunktionen von Unternehmen untersucht werden (z.B. Win 11/12.3.1).3

c) Lerninhalt der Lehrprobenstunde

In der Lehrprobenstunde werden die Schüler mit der Aufgabe konfrontiert für ein WM-Public- Viewing in einen Brückenbogen der Siebenbogen-Brücke in Fürth eine flächenmaximale rechteckige Leinwand einzupassen. Die Schüler erhalten die Information, dass der Brückenbogen 10m hoch und eine Stützweite von 20m hat.4 Vom Boden ab ist der Bogen zunächst senkrecht und kann ab einer Höhe von einem Meter gut durch eine Parabel angenähert werden. Die Unterkante der Leinwand soll einen Meter über dem Boden hängen. Damit muss die Leinwand in eine Parabel einbeschrieben werden, deren Scheitel bei (0;9) liegt mit Nullstellen bei (10;0) und (-10,0). Die Unterkante liegt auf der x-Achse, die oberen beiden Ecken auf dem Parabelbogen. Aus rein mathematischer Sicht müsste die Parabel nicht symmetrisch zur y-Achse liegen, es vereinfacht die weiteren Berechnungen jedoch erheblich, da mit der Parabel auch die Leinwand symmetrisch zur y-Achse liegt. Die Problemstellung wird durch die Lehrkraft vorgetragen. Die Schüler Tabea Grüner, Tim Hübner, Tanja Meier und Tobias Kunze sind im Technik-Team der Schule engagiert. In der Aufgabenschilderung erhalten diese Schüler die fiktive Aufgabe die Leinwand für ein Public-Viewing am Fürther Wiesengrund zu organisieren wobei sie von der gesamten Klasse unterstützt werden. Damit sind die Schüler gewissermaßen in den „Fall" involviert. Weitere Motivation entsteht durch die Aktualität der Fußball-Weltmeisterschaft und der Wahl des Ortes für das Public-Viewing in der Lebensumwelt der Schüler. Eine Skizze der Parabel und einer beispielhaft einbeschriebenen Leinwand wird im Unterrichtsgespräch mit den Schülern erarbeitet. Um bei der ursprünglichen Fragestellung zu bleiben wird nun zunächst festgehalten, wie sich die Fläche eines Rechtecks berechnet. Aus Gründen der Anschauung werden die Seiten der senkrecht hängenden Leinwand mit Breite (b) und Höhe (h) anstatt mit den üblichen Rechtecksbezeichnungen Länge und Breite benannt. Bei anderen Bezeichnungsvorschlägen von Seiten der Schüler kann dies kurz thematisiert werden. Die Fläche (A) ergibt sich demnach wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Funktion aufgefasst hängt die Fläche also von den beiden Variablen b und h ab:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf die Frage hin, wie man von einer Funktion, die hier die Fläche beschreibt, den größten oder kleinsten Wert ermitteln könnte, sehen die Schüler den Zusammenhang zur Differentialrechnung, wobei zunächst noch unklar ist wie dies genau funktioniert, da die Fläche noch von zwei Variablen abhängt. An dieser Stelle sollte auch auf die Wahl eines geeigneten Definitionsbereichs von b eingegangen werden. Sinnvoll wäre beispielsweise = [0; 20] . Die Ränder können auch ausgeschlossen werden, da sie zu entarteten Rechtecken führen würden. Die Problematik der Randextrema wird erst in der Folgestunde durchgenommen; auf eventuelle Schülerfragen dazu kann kurz eingegangen und auf die nächste Stunde verwiesen werden.

Die Schüler erkennen, dass für die Bestimmung der Höhe h die Funktionsgleichung f(x] der Parabel ermittelt werden muss. Diese kann relativ leicht mithilfe der Scheitelpunktsform berechnet werden. Eine quadratischen Funktion mit Scheitel S(ys|ys] hat folgende Scheitelpunktsform:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Demnach berechnet sich die Funktionsgleichung von f wie folgt:

Einsetzen des Scheitels liefert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch das Einsetzen einer

Nullstelle kann a berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Parabelgleichung lautet also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berechnung der Parabelgleichung erfolgt in einer kurzen Partnerarbeit. Die Verwendung der Scheitelpunktsform ist für die Schüler eine bekannte und geübte Technik zur Bestimmung von Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen. Eine Erarbeitung im Unterrichtsgespräch würde daher Langeweile hervorrufen, da das reine Nachvollziehen eines bekannten Sachverhalts kaum Denkleistung erfordert.

Die Schüler erlernen im Rahmen der gymnasialen Ausbildung im Fach Mathematik nur die Differenzialrechnung in einer Variablen. Deshalb ist es notwendig eine Beziehung zwischen b und h zu finden, sodass die Fläche nur von einer Variable abhängt. Im Unterrichtsgespräch wird dieser Zusammenhang erarbeitet. Ausgehend von der Fragestellung, wie hoch eine Leinwand mit vorgegebener Breite ist, bemerken die Schüler, dass man sich die Achsensymmetrie zu nutze machen kann und die Höhe gleich dem Funktionswert der halben Breite ist. Damit gilt der Zusammenhang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Sachverhalt wird zudem anhand einer dynamischen Zeichnung in GeoGebra über Beamer und Leinwand veranschaulicht. Der Einsatz dynamischer Geometriesoftware erleichtert es den Schülern die Zusammenhänge zu Verstehen. Zudem können alle Varianten der Leinwand „durchgespielt" werden und abschließend eine näherungsweise Ergebniskontrolle stattfinden. Dies könnte eine statische Zeichnung nie leisten.

An dieser Stelle verfügen die Schüler über alle relevanten Informationen um die Fläche nur in Abhängigkeit von b zu beschreiben und jenes b zu berechnen für das die Fläche maximal wird. Diese Arbeitsschritte führen die Schüler in Partnerarbeit aus. Dazu erhalten die Schüler ein Arbeitsblatt (Arbeitsblatt 1, siehe Anhang], auf dem das grundlegende Vorgehen vorskizziert ist. Ein Kontrollergebnis für die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von b ist beigefügt und soll von den Schülern vor dem Ableiten überprüft werden, um völlig in die falsche Richtung laufende Berechnungen zu vermeiden und Fehler früh aufzudecken. Einige Paare erhalten den Auftrag ihre Berechnungen auf Folie zu schreiben. Aus diesen Paaren wird am Ende der Bearbeitung eines ausgewählt, das die Ergebnisse der Klasse vorstellt. Ergeben sich sehr unterschiedliche Ergebnisse oder werden „typische Fehler" gemacht können gegebenenfalls auch weitere Lösungen mit der Klasse thematisiert werden. Kurz vor Ende der Bearbeitungszeit bekommen die Schüler zudem die Gelegenheit sich in Vierergruppen, d.h. jeweils mit dem benachbarten Paar über die Ergebnisse auszutauschen. Hierbei erhalten die Schüler ggf. Einblick in andere Lösungswege. Die potentiell vortragenden Schüler mit Folie haben die Möglichkeit ihre Ergebnisse zu vergleichen und so mehr Sicherheit für die Vorstellung zu haben. Die einzelnen Berechnungsschritte und idealen Ergebnisse der Partnerarbeit werden nachfolgend aufgeführt:

Zunächst muss die Beziehung zwischen b und h verwertet werden. In der Flächengleichung wird h durch f (b/2) ersetzt, sodass die Fläche nur noch von b abhängt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ausmultiplizieren liefert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Extremstellen der Fläche zu finden, müssen die Nullstellen der Ableitung A'(b) gefunden werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ergeben sich also zwei Werte für b, für die die Fläche maximal werden könnte. Zuerst sollen die Schüler erkennen, dass eine negative Breite in der Realität keinen Sinn ergibt. Daran schließt sich die Untersuchung des positiven Wertes für b an, ob es sich hier tatsächlich um ein Maximum handelt. Dabei kann der klassische Weg über die Vorzeichentabelle der Ableitung gewählt werden oder die Schüler argumentieren geschickt mithilfe des Terms der Ableitungsfunktion. Unter Umständen ziehen einzelne Schüler auch die zweite Ableitung heran, da diese Methode in einem anderen Zusammenhang einmal kurz angesprochen wurde.

Die Vorzeichentabelle hat folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Eine Betrachtung der Bereiche in Fettdruck ist ausreichend)

Eine Argumentation mit dem Term der Ableitung greift im Prinzip den Inhalt der Vorzeichentabelle auf ohne diese explizit aufzustellen. Bei einer nach unten geöffneten Parabel mit zwei Nullstellen muss bei der größeren Nullstelle ein Vorzeichenwechsel von positiv nach negativ vorliegen.

Wählt man das Kriterium der zweiten Ableitung so muss zunächst deren Term berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend muss der zu untersuchende Wert für b eingesetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unabhängig von der Wahl der Untersuchungsmethode ergibt sich ein Maximum der Fläche für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf Basis dieses Wertes berechnen die Schüler noch die zugehörige Höhe und den sich ergebenden maximalen Flächeninhalt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Ergebnispräsentation sollte auch thematisiert werden, wie realistisch das Ergebnis ist. Im Anschluss an die Ergebnispräsentation und ggf. der Besprechung von Alternativlösungen oder typischen Fehlern findet die Ergebnissicherung im Unterrichtsgespräch statt. Dazu erhalten die Schüler ein farbiges, vorstrukturiertes Arbeitsblatt (Arbeitsblatt 2, siehe Anhang), auf dem die wichtigsten Schritte der vorangegangenen Aufgabe noch einmal aufgegriffen und mit den entsprechenden Fachbegriffen benannt werden. Es werden fünf zentrale Schritte festgehalten:

1. Festlegung der benötigten Variablen, Benennung der Zielgröße, ggf. Anfertigung einer Skizze
2. Formulierungvon Nebenbedingungen
3. Aufstellen der Zielfunktion (hängt nur von einer Variablen ab)
4. Bestimmung der Extremwerte
5. Interpretation des Ergebnisses

Ziel ist es den Schülern das grundlegende Vorgehen bei der Lösung von Extremwertproblemen zu Vermitteln, sodass die Schüler in der Lage sind auch andere Aufgaben aus diesem Bereich systematisch und selbstständig zu lösen. Der Einsatz des farbigen Sicherungsblattes anstatt eines klassischen Hefteintrages hat im wesentlichen zwei Gründe: Erstens kennen die Schüler diese Art der Sicherung für besonders wichtige Inhalte bereits aus dem Unterricht von Frau Bortolazzi. Zweitens kann auf dem Sicherungsblatt bereits eine saubere Skizze des Sachverhalts vorgedruckt werden, wodurch ein Zerschneiden und Einkleben der Skizze von Arbeitsblatt 1 oder eine relativ zeitaufwendige Erstellung per Hand vermieden werden. Des Weiteren wäre auch denkbar auf Arbeitsblatt 1 am Rand eine Spalte vorzusehen, in die die Schüler nachträglich die Schritte eintragen. Allerdings ist das erste Arbeitsblatt eher als Konzeptblatt zu verstehen, auf dem die Schüler auch ausprobieren sollen. Die Schüler haben auf diesem Blatt also vermutlich auch ungünstige Lösungswege oder sogar falsche Dinge stehen, was im Bereich der Sicherung kontraproduktiv ist. Zusammenfassend und nach Abwägung der jeweiligen Vor- und Nachteile empfiehlt es sich in dieser Stunde die Erarbeitung klar von der Sicherung zu trennen und den Hefteintrag durch ein Sicherungsblatt zu ersetzen.

Zum Abschluss der Stunde werden die Schüler nochmals dafür sensibilisiert Ergebnisse kritisch hinsichtlich ihrer Sinnhaftigkeit im realen Kontext zu hinterfragen. Als Denkanstoß dient das Übertragungsformat 16:9. Ist die gefundene flächenmaximale Leinwand vom Seitenverhältnis her günstig für eine Übertragung in diesem Format oder gibt es eventuell eine kleinere Leinwand die in diesem Fall besser geeignet ist? Dieser Impuls leitet schließlich über zur Hausaufgabenstellung. Alle Schüler sollen Zuhause eine ähnliche Extremwertaufgabe aus dem Schulbuch bearbeiten. Darüber hinaus erhalten Schüler, die sich noch unsicher fühlen den Auftrag die Aufgabe aus der Unterrichtsstunde noch einmal durchzuarbeiten und Fehler in der eignen Lösung zu korrigieren. Schüler die sich bereits sicherer fühlen sollen sich mit der 16:9-Problematik auseinandersetzen. Gegebenenfalls wird leicht vom vorgestellten Konzept und den Musterlösungen der Arbeitsblätter abgewichen, da gute Schülerbeiträge gerne in den Unterricht integriert werden.

[...]


1 Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird auf die gleichzeitige Verwendung männlicher und weiblicher Sprachformen verzichtet. Sämtliche Personenbezeichnungen gelten gleichwohl für beiderlei Geschlecht.

2 Die Angaben in Klammern verweisen jeweils auf die entsprechenden Punkte in den Jahrgangsstufenlehrplänen.

3 BStMUK/ISB (Hrsg.): Lehrplan des achtjährigen Gymnasiums in Bayern. München 2004.

4 Vgl. http://www.fuerthwiki.de/wiki/index.php/Siebenbogenbrücke.

Ende der Leseprobe aus 19 Seiten

Details

Titel
Lehrprobe Mathematik. Lösen von Extremwertproblemen
Untertitel
Lehrprobe in der 11. Jahrgangsstufe am bayerischen Gymnasium
Note
2,0
Autor
Jahr
2014
Seiten
19
Katalognummer
V513050
ISBN (eBook)
9783346104342
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Lehrprobe, Mathematik, Extremwertprobleme, Bayern, Gymnasium, 11. Klasse
Arbeit zitieren
Jens Porst (Autor), 2014, Lehrprobe Mathematik. Lösen von Extremwertproblemen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/513050

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