Die vorliegende Unterrichtseinheit stellt in erster Linie eine Anwendung der eindimensionalen Differenzialrechnung dar, welche die Schüler zu Beginn der 11. Jahrgangsstufe erlernt und anhand unterschiedlichster Funktionstypen eingeübt haben. Daneben knüpft die Behandlung von Extremwertproblemen in Jahrgangsstufe 11 an die Extremwertprobleme aus Jahrgangsstufe 9 an. Mit den Mitteln der 9. Jahrgangsstufe konnten im Normalfall nur Probleme untersucht werden, die durch eine ganzrationale Funktion f mit grad (f)) ≤ 2 beschrieben wurden. Die Differentialrechnung ermöglich nun in Jahrgangsstufe 11 auch Extremwerte ganzrationaler Funktionen dritten Grades und unter Umständen anderer Funktionstypen zu berechnen. Theoretisch ist den Schülern der Umgang mit Extremwertproblemen also bekannt. Allerdings wurde dieses Wissen lange nicht benötigt und es ist unklar wie tiefgreifend diese Thematik behandelt wurde, weshalb hier nicht allzu viel Vorwissen von den Schülern erwartet werden darf. Darüber hinaus werden Kenntnisse im Umgang und Lösen von linearen Gleichungen aus Jahrgangsstufe 7 sowie Fertigkeiten im Zusammenhang mit der Lösung von linearen Gleichungssystemen aus Jahrgangsstufe 8 benötigt. Hierbei geht es vor allem um das Prinzip bekannte Zusammenhänge zwischen Variablen zu nutzen, um einen Sachverhalt nur noch in Abhängigkeit einer Variable darzustellen. Dieses Vorgehen ist essentiell, da die Schüler nur die eindimensionale Differentialrechnung beherrschen. Die Umformung von Termen und das Lösen von quadratischen Gleichungen muss von den Schülern sicher beherrscht werden. Dies gilt jedoch für alle Bereiche der Analysis in der Oberstufe und stellt somit eher eine Grundfähigkeit als spezifisches Vorwissen für diese Unterrichtseinheit dar.
Inhaltsverzeichnis
1. Pädagogische Situation
2. Darstellung des Lerninhalts
a) Vorwissen
b) Einbettung in die Unterrichtssequenz
c) Lerninhalt der Lehrprobenstunde
3. Ziele der Stunde
a) Lernziele
b) Geförderte mathematische Kompetenzen
4. Verlaufsplanung
5. Quellenangaben
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit dient als Prüfungslehrprobe und verfolgt das Ziel, Schülern der 11. Jahrgangsstufe die systematische Lösung von Extremwertproblemen mithilfe der Differentialrechnung zu vermitteln. Dabei wird ein realer Anwendungsbezug hergestellt, um mathematische Modellierungskompetenzen zu stärken.
- Anwendung der Differentialrechnung zur Bestimmung von Extremwerten
- Mathematische Modellierung von realen Sachverhalten anhand einer Parabel
- Überführung von Nebenbedingungen in eine Zielfunktion mit einer Variablen
- Förderung der fachspezifischen Kommunikations- und Problemlösekompetenz
Auszug aus dem Buch
c) Lerninhalt der Lehrprobenstunde
In der Lehrprobenstunde werden die Schüler mit der Aufgabe konfrontiert für ein WM-Public-Viewing in einen Brückenbogen der Siebenbogen-Brücke in Fürth eine flächenmaximale rechteckige Leinwand einzupassen. Die Schüler erhalten die Information, dass der Brückenbogen 10m hoch und eine Stützweite von 20m hat. Vom Boden ab ist der Bogen zunächst senkrecht und kann ab einer Höhe von einem Meter gut durch eine Parabel angenähert werden. Die Unterkante der Leinwand soll einen Meter über dem Boden hängen. Damit muss die Leinwand in eine Parabel einbeschrieben werden, deren Scheitel bei (0;9) liegt mit Nullstellen bei (10;0) und (-10;0).
Als Funktion aufgefasst hängt die Fläche also von den beiden Variablen b und h ab:
A: R² -> R, (b,h) -> b · h
Auf die Frage hin, wie man von einer Funktion, die hier die Fläche beschreibt, den größten oder kleinsten Wert ermitteln könnte, sehen die Schüler den Zusammenhang zur Differentialrechnung, wobei zunächst noch unklar ist wie dies genau funktioniert, da die Fläche noch von zwei Variablen abhängt. An dieser Stelle sollte auch auf die Wahl eines geeigneten Definitionsbereichs von b eingegangen werden. Sinnvoll wäre beispielsweise Db = [0; 20]. Die Ränder können auch ausgeschlossen werden, da sie zu entarteten Rechtecken führen würden.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Pädagogische Situation: Eine Analyse der Klassenzusammensetzung sowie des Leistungsniveaus und des Arbeitsklimas der Lerngruppe.
2. Darstellung des Lerninhalts: Erläuterung des notwendigen Vorwissens, der Einbettung in die Unterrichtssequenz sowie der mathematischen Problemstellung der Lehrprobenstunde.
3. Ziele der Stunde: Definition der übergeordneten Lernziele sowie der mathematischen Kompetenzen, die durch die Unterrichtseinheit gefördert werden sollen.
4. Verlaufsplanung: Eine tabellarische Übersicht der einzelnen Unterrichtsphasen mit den jeweiligen Inhalten, Methoden, Sozialformen und Medien.
5. Quellenangaben: Auflistung der verwendeten Literatur, Lehrpläne, Internetquellen und sonstigen Materialien.
Schlüsselwörter
Extremwertprobleme, Differentialrechnung, Mathematik, Unterrichtsentwurf, Brückenbogen, Flächenmaximierung, Zielfunktion, Nebenbedingungen, Modellierung, Schulmathematik, Parabel, Funktionsgleichung, Scheitelpunktform, Public-Viewing, Problemlösekompetenz
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit ist ein Entwurf für eine Prüfungslehrprobe im Fach Mathematik, die das Thema "Lösung von Extremwertproblemen" in einer 11. Klasse behandelt.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Im Zentrum steht die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung praktischer Optimierungsprobleme, konkret die Maximierung der Fläche einer Leinwand in einem Brückenbogen.
Was ist das primäre Ziel der Unterrichtseinheit?
Die Schüler sollen befähigt werden, reale Sachverhalte mathematisch zu modellieren, eine Zielfunktion aufzustellen und diese mithilfe der Differentialrechnung zu optimieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der Optimierung von Funktionen mittels Ableitungen angewandt, wobei die Schüler von mehreren Variablen auf eine einzige Variable reduzieren müssen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Erarbeitung der Funktionsgleichung, die Aufstellung der Zielfunktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen und die abschließende Extremwertberechnung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Extremwertprobleme, Differentialrechnung, Modellierung, Brückenbogen und Zielfunktion.
Warum wird die Siebenbogen-Brücke in Fürth als Beispiel verwendet?
Das konkrete Beispiel dient als realer Anwendungsbezug und bietet durch die WM-Public-Viewing-Thematik eine hohe Identifikationsmöglichkeit für die Schüler.
Welche Rolle spielt die Dynamische Geometriesoftware GeoGebra?
GeoGebra wird zur Veranschaulichung der Zusammenhänge genutzt, um den Schülern durch dynamische Zeichnungen ein besseres Verständnis der Flächenoptimierung zu ermöglichen.
- Quote paper
- Jens Porst (Author), 2014, Lehrprobe Mathematik. Lösen von Extremwertproblemen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/513050
