Schulbücher im Mathematikunterricht der Grundschule. Eine vergleichende Analyse zu geometrischen Inhalten

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Geometrieunterricht in der Primarstufe

3. Verknüpfung der Inhaltsbereiche

4. Mathematikdidaktische Prinzipien
4.1 Spiralprinzip
4.2 Handlungsorientierung und Materialeinsatz
4.3 Kernlehrplan und Bildungsstandards
4.3.1 Prozessbezogene Kompetenzen
4.4 Zusammenschau

5. Schulbuchanalyse
5.1 Ausgewählte Schulbücher
5.2 Fragestellung der Analyse
5.3 Vorgehensweise
5.3.1 Makrostruktur
5.3.2 Mesostruktur
5.3.3 Mikrostruktur

6. Die Struktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch
6.1 Makrostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch
6.2 Mesostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch
6.3 Mikrostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch
6.4 Mikrostruktur Das Mathebuch 1
6.4.1 Spiralprinzip
6.4.2 Materialeinsatz
6.4.3 Prozessbezogene Kompetenzen
6.4.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 1
6.5 Mikrostruktur Das Mathebuch 2
6.5.1 Spiralprinzip
6.5.2 Materialeinsatz
6.5.3 Prozessbezogene Kompetenzen
6.5.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 2
6.6 Mikrostruktur Das Mathebuch 3
6.6.1 Spiralprinzip
6.6.2 Materialeinsatz
6.6.3 Prozessbezogene Kompetenzen
6.6.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 3
6.7 Mikrostruktur Das Mathebuch 4
6.7.1 Spiralprinzip
6.7.2 Materialeinsatz
6.7.3 Prozessbezogene Kompetenzen
6.7.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 4
6.8 Zusammenschau des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch

7. Die Struktur des Schulbuchlehrgangs Welt der Zahl
7.1 Makrostruktur des Schulbuchlehrgangs Welt der Zahl
7.2 Mesostruktur des Schulbuchlehrgangs Welt der Zahl
7.3 Mikrostruktur des Schulbuchlehrgangs Welt der Zahl
7.4 Mikrostruktur Welt der Zahl 1
7.4.1 Spiralprinzip
7.4.2 Materialeinsatz
7.4.3 Prozessbezogene Kompetenzen
7.4.4 Analyse der Mikrostruktur Welt der Zahl 1
7.5 Mikrostruktur Welt der Zahl 2
7.5.1 Spiralprinzip
7.5.2 Materialeinsatz
7.5.3 Prozessbezogene Kompetenzen
7.5.4 Analyse der Mikrostruktur Welt der Zahl 2
7.6 Mikrostruktur Welt der Zahl 3
7.6.1 Spiralprinzip
7.6.2 Materialeinsatz
7.6.3 Prozessbezogene Kompetenzen
7.6.4 Analyse der Mikrostruktur Welt der Zahl 3
7.7 Mikrostruktur Welt der Zahl 4
7.7.1 Spiralprinzip
7.7.2 Materialeinsatz
7.7.3 Prozessbezogene Kompetenzen
7.7.4 Analyse der Mikrostruktur Welt der Zahl 4
7.8 Zusammenschau des Schulbuchlehrgangs Welt der Zahl

8. Vergleich der Schulbuchlehrgänge beider Verlage

9. Reflexion

10. Fazit

11. Literaturverzeichnis

12. Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Symbolverzeichnis Das Mathebuch 3 (Keller et al. 2013a)

Abb. 2: Auszug Inhaltsverzeichnis Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 3)

Abb. 3: Erläuterungen Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 69)

Abb. 4: Würfelgebäude – Ansichten Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 69)

Abb. 5: Würfelgebäude – Ansichten Das Mathebuch 3 (Keller et al. 2013a, S. 114)

Abb. 6: Körper – Ansichten Das Mathebuch 3 (Keller et al. 2013a, S. 114)

Abb. 7: Körper – Ansichten Das Mathebuch 4 (Keller et al. 2014a, S. 120)

Abb. 8: Symbolverzeichnis Welt der Zahl 4 (Rinkens et al. 2016a)

Abb. 9: Auszug Inhaltsverzeichnis Welt der Zahl 4, (Rinkens et al. 2016a, S. 3)

Abb. 10: Beispiellösung Welt der Zahl 1 (Rinkens et al. 2014a, S. 108)

Abb. 11: Wortspeicher Welt der Zahl 1 (Rinkens et al. 2014a, S. 107)

Abb. 12: Ebene Figuren Welt der Zahl 2 (Rinkens et al. 2014b, S. 84)

Abb. 13: Körper Welt der Zahl 2 (Rinkens et al. 2014b, S. 122)

Abb. 14: Würfelnetze Welt der Zahl 3 (Rinkens et al. 2015a, S. 66)

Abb. 15: Quadernetze Welt der Zahl 4 (Rinkens et al. 2016a, S. 53)

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Geometrischen Lerninhalten wird häufig eine Randstellung gegenüber anderen Inhaltsbereichen im Mathematikunterricht der Primarstufe zugeschrieben, obwohl geometrisches Basiswissen für nahezu alle Bereiche der Mathematik notwendig ist. Die Ausbildung der Raumvorstellung zählt zu den obersten Lernzielen im Mathematikunterricht, da sie sowohl im Alltag als auch beim Mathematiklernen als unerlässlich gilt. Zur Entwicklung der Raumvorstellung, welche vorrangig durch die Auseinandersetzung mit verschiedenen geometrischen Körpern erlernt werden kann, sind beispielsweise handlungsorientierte Tätigkeiten mit konkretem Material von zentraler Bedeutung (vgl. Grassmann 1998, S. 24). Die Geometrie gilt dementsprechend als essenzielle Basis für diverse fundamentale Fähigkeiten der Schüler¹ und infolgedessen sollte ein kompetenzorientierter Geometrieunterricht sowie ein grundlegender Einbezug dieser Inhalte als unverzichtbar für den Grundschulunterricht angesehen werden. Das Schulbuch zählt dabei zu den wichtigsten Medien des Mathematikunterrichts und verschiedene Studien zeigen, dass Lehrer es neben der Unterrichtsvorbereitung auch im Unterricht einsetzen. In diesem Zusammenhang dient es auf der einen Seite als maßgebliche Orientierung bei der Strukturierung der Kerninhalte, während es auf der anderen Seite im Rahmen der Unterrichtsvorbereitung als inhaltlicher und methodischer Leitfaden hinzugezogen wird (vgl. Backe-Neuwald 2000, S. 69; Rezart 2009, S. 51). Zum einen wird jedoch dargelegt, dass die Geometrie in vielen Schulbüchern häufig unterrepräsentiert vorhanden ist, wodurch die Themen vernachlässigt werden (vgl. Radatz 1989, S. 133). Zum anderen enthalten laut Krauthausen (2018, S. 98) Lehrwerke wie auch Zusatzmaterialien neuer Schulbuchausgaben heutzutage wesentlich umfangreichere Aufgabenangebote zur Geometrie, als noch in den letzten Jahren.

Folglich sind verschiedene Äußerungen hinsichtlich des Einbezugs geometrischer Inhalte in Lehrbüchern der Primarstufe zu finden. Da aber sowohl fachspezifische Schulbücher einen zentralen Stellenwert im Mathematikunterricht darstellen als auch geometrische Lerninhalte als unabdingbar gelten sollten, werden im Verlauf der Arbeit ausgewählte Mathematikschulbuchlehrgänge im Hinblick auf ihre geometrischen Inhalte untersucht. Der Fokus der Untersuchung soll, auf Grund ihrer hohen Relevanz, auf den geometrischen Körpern liegen. Dabei soll herausgefunden werden, ob geometrische Themen noch immer eine Randstellung gegenüber anderen Lerninhalten einnehmen und ob die Schulbücher ausgewählte mathematikdidaktische Prinzipien einhalten, um einen förderlichen und kompetenzorientierten Geometrieunterricht erzielen zu können.

Dementsprechend wird zunächst eine theoretische Grundlage gelegt. Dafür wird einleitend herausgearbeitet, warum die Geometrie ein fundamentaler Kerninhalt des Mathematikunterrichts der Primarstufe sein sollte und inwiefern eine Verknüpfung geometrischer und arithmetischer Aktivitäten einer Vernachlässigung der Geometrie entgegenwirken könnte. Darüber hinaus werden mathematikdidaktische Prinzipien angeführt, auf die sich ein erfolgreicher und kompetenzorientierter Geometrielehrgang berufen sollte. Im Mittelpunkt steht das Spiralprinzip, anhand welchem der Lernstoff aufgebaut sein sollte. Zusätzlich soll die Relevanz des Materialeinsatzes erläutert sowie geometrische Lern- und Kompetenzziele auf Grundlage der Bildungsstandards im Fach Mathematik wie auch des Kernlehrplans des Landes NRW dargelegt werden.

Vorbereitend auf die darauffolgende Schulbuchanalyse werden die beiden ausgewählten Schulbuchlehrgänge vorgestellt und sowohl die Fragestellung ebenso wie die Vorgehensweise der Analyse detailliert erörtert. Die Analyse erfolgt auf Grundlage des Verfahrens von Mayring (2008) und Rezart (2009), welches anschließend beschrieben wird. Unter Berücksichtigung dieses Ansatzes als auch der mathematikdidaktischen Prinzipien wurde ein Kriterienkatalog erstellt, welcher für die anknüpfende Beschreibung und Analyse der Schulbuchlehrgänge herangezogen wird (s. Anhang A–H).

Im 6. Kapitel wird der erste Schulbuchlehrgang Das Mathebuch vorgestellt und analysiert. Die Makro- und Mesostruktur wird dabei für alle Bücher des Lehrgangs gemeinsam dargelegt, die differenzierte Mikrostrukturanalyse erfolgt für die jeweiligen Schulbücher im Einzelnen. Um eine fundierte Analyse erstellen zu können, wird auf die in Kapitel 4 erschaffene Grundlage Bezug genommen. Am Ende des Kapitels werden die Ergebnisse des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch wie auch zentrale Erkenntnisse zusammengefasst. Das 7. Kapitel, in welchem der zweite ausgewählte Schulbuchlehrgang Welt der Zahl beschrieben und analysiert wird, ist analog zum Vorherigen aufgebaut.

Für einen Überblick werden daraufhin beide Schulbuchlehrgänge hinsichtlich der vorangegangenen Analysen verglichen, wobei die Divergenzen der Lehrbücher fokussiert erarbeitet werden.

Den Abschluss der Arbeit bildet eine Reflexion des Kriterienkatalogs, der Vorgehensweise sowie der gesamten Erarbeitung. Dabei wird auf mögliche weiterführende Forschungen aufmerksam gemacht. Im 10. Kapitel wird ein abschließendes Fazit gezogen. Diesbezüglich werden die wichtigsten Beobachtungen erfasst und ein Ergebnis hinsichtlich der Einbindung der geometrischen Körper in ausgewählten Schulbüchern und ihrer Anwendung zusammenfassend formuliert.

2. Geometrieunterricht in der Primarstufe

Geometrische Inhalte haben unter der Überschrift Raum und Form sowohl in den Bildungsstandards als auch im Kernlehrplan des Landes NRW ihren festen Platz (vgl. KMK 2005, S. 10; MSW des Landes NRW 2008, S. 63f.). Neben anderen Inhalten des Mathematikunterrichts, z. B. der Arithmetik, wird der Bereich Raum und Form jedoch noch immer häufig vernachlässigt (vgl. Schipper et al. 2015a, S. 130). Dies liegt unter anderem daran, dass insbesondere arithmetische Inhalte häufig als relevanter angesehen werden. Als weitere Gründe führen Franke und Reinhold (2016, S. 4f.) die häufig unklar definierten Lernziele des Geometrieunterrichts sowie die schwer überprüfbaren Leistungen an. Auch die Stoffauswahl und deren Anordnung, beispielsweise in Schulbüchern, wirken häufig beliebig. Darüber hinaus erfordert der Geometrieunterricht oftmals einen hohen Vorbereitungsaufwand, um Raumerfahrungen und Raumvorstellungsfähigkeiten anhand geometrischer Lernumgebungen ermöglichen zu können (vgl. ebd., S. 4f.).

Warum der Geometrieunterricht in der Grundschule allerdings keinesfalls unberücksichtigt bleiben darf und wie wichtig die geometrischen Kompetenzen für weitere mathematische Bereiche wie auch für das alltägliche Leben sind, soll deshalb im Folgenden angeführt werden.

Geometrische Probleme, Fragestellungen und Erfahrungen helfen den Kindern, ihre Umwelt zu erschließen und sich in ihr zu orientieren. Sie entdecken geometrische Beziehungen, Strukturen und Ordnungen, die ihnen die Umwelterschließung mit ermöglichen. (Schipper et al. 2015a, S. 130)

Da die Umwelt eine vorwiegend geometrische Struktur besitzt, kann diese ohne die Ausbildung der Raumvorstellung und der visuellen Fähigkeiten nur schwer erkannt und verarbeitet werden. Nahezu jedes Denken benötigt visuelle, also geometrische, Stützen. Im Geometrieunterricht sollen diese grundlegenden kognitiven Fähigkeiten im Bereich der räumlichen Vorstellung und des räumlichen Denkens geschult werden. Sie gelten als Grundlage zur Bewältigung vieler alltäglicher Situationen (vgl. Grassmann 1998, S. 22; Radatz/ Rickmeyer 1991, S. 7).

Ein weiterer Aspekt für die Einbindung des Geometrieunterrichts in die Primarstufe besteht darin, dass so eine Basis für fast alle anderen Bereiche der Mathematik gebildet werden kann. Mathematisches Denken ist ohne ein grundlegendes geometrisches Verständnis kaum möglich. In jeder Veranschaulichung – beispielsweise durch Diagramme oder Tabellen – und in jedem didaktischen Material, wie dem Zahlenstrahl und dem Rechenrahmen, stecken geometrische Strukturen. Um diese verstehen und mit ihnen arbeiten zu können, sind geometrische Grundlagen erforderlich (vgl. Schipper et al. 2015a, S. 130). Auch den grundlegenden arithmetischen Inhalten, wie der Vorstellungsbildung des Zahlenraums und der Durchführung von Rechenoperationen, liegen räumliche Vorstellungen zugrunde; Zahlen haben in unserer Vorstellung laut Lorenz (2005, S. 23ff.) eine geometrische Beziehung zueinander. Da dementsprechend für die Mathematik in der Grundschule viele geometrische Fähigkeiten vorausgesetzt werden, können diese Tätigkeiten ohne geometrische Kenntnisse eine große Herausforderung für die Schüler darstellen (vgl. Grassmann 1998, S. 22).

Damit geht einher, dass Schwierigkeiten in der Raumvorstellung und der visuellen Wahrnehmung eine der häufigsten Ursachen von Rechenschwäche darstellen. Betroffene Kinder können keine Vorstellungen von Zahlen und Rechenoperationen ausbilden, wodurch die enorme Relevanz geometrischer Inhalte in der Primarstufe erneut betont wird (vgl. ebd., S. 22).

Zuletzt sollte der Geometrieunterricht nicht vernachlässigt werden, da sich geometrische Fähigkeiten der Schüler in ihren Grundschuljahren besonders stark entwickeln und versäumte Inhalte später nur diffizil nachgeholt werden können (vgl. ebd., S. 22; Krauthausen 2018, S. 103).

Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass der Geometrieunterricht eine unabdingbare Basis für das Mathematiklernen in der Grundschule und das alltägliche Leben darstellt. Es muss demnach ein fester Platz für die Ausbildung geometrischer Fähigkeiten in der Primarstufe eingeräumt werden.

3. Verknüpfung der Inhaltsbereiche

Als ein Grund der Vernachlässigung wurde in Kapitel 2 unter anderem die häufig willkürlich wirkende Anordnung der geometrischen Inhalte in Schulbuchlehrgängen aufgeführt. Eine Möglichkeit, wie Schulbücher dieser Verinselung und Beliebigkeit geometrischer Themen entgegenwirken könnten, besteht in der Verknüpfung mit anderen mathematischen Inhaltsbereichen. Es kann sich als äußerst sinnvoll erweisen, die geometrischen Inhalte nicht isoliert einzuführen. Für eine Verbindung bietet sich der Bezug zur Arithmetik in besonderer Weise an, da beide Bereiche in einem engen Zusammenhang stehen (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 37).

Im Arithmetikunterricht werden immer wieder geometrische Raumordnungsbegriffe und Gebilde, Darstellungen, Diagramme u. Ä. benutzt, um Zahlen, Zahlbeziehungen und Operationen zu veranschaulichen (Zahlenstrahl, Pfeildiagramme, Tabellen, Zahlentafeln …). Die geometrischen Grundlagen, welche zu einer adäquaten Nutzung erforderlich sind, werden oft (bewusst oder unbewusst) als selbstverständlich vorausgesetzt, wenn man meint, das Kind könne die gemeinte Beziehung ja einfach sehen, denn das Bild erkläre sich doch selbst, was solle man daran missverstehen? Tatsächlich gehen dem aber vielfach begriffliche Voraussetzungen im geometrischen Denken voraus. (Krauthausen 2018, S. 104)

Deshalb fordert Krauthausen (ebd., S. 105), dass Lehrer und Schulbuchlehrgänge die wechselseitige Stützung der geometrischen und arithmetischen Bereiche bewusst wahrnehmen sowie geeignete Inhalte bei jeder Gelegenheit explizit aufeinander beziehen sollten. Auch die KMK beschreibt in den Bildungsstandards des Fachs Mathematik für den Primarbereich (2005, S. 9), dass die inhaltsbezogenen Kompetenzen aufeinander bezogen und miteinander verknüpft werden sollen. Denn sofern die Arithmetik und die Geometrie vielseitiger aufeinander bezogen werden, können geometrische Aktivitäten vermehrt als Ausgangspunkt für arithmetische Fragestellungen dienen. Daraus könnten die sinnvolle Vernetzung und dementsprechend geringere Vernachlässigung der Geometrie resultieren (vgl. Eichler o.J., S. 9).

Diese Verknüpfung kann außerdem hilfreich sein, wenn Inhalte bereits vor der expliziten Vermittlung implizit vorgeschaltet und einbezogen werden. Dem Erwerb einer neuen Strategie geht eine Phase der unbewussten Nutzung des betreffenden Regelwissens voraus. Das implizite Vorschalten bestimmter Inhalte, die bei der späteren Behandlung von Bedeutung sein könnten, würde demnach Sinn ergeben. Ein unbewusst vorhandener Inhalt kann durch die Kommunikation zwischen Lehrperson und Schülern hervorgerufen werden und wirkt dadurch für die Kinder bekannt und plausibel. Somit kann das implizite Wissen explizit mit neuen Kenntnissen in Verbindung gebracht und eine Verankerung mit bisherigen Erfahrungen aufgebaut werden (vgl. Keller et al. 2012c, S. 2). Es ist also durchaus wirksam die Inhaltsbereiche im Schulbuch so anzuordnen, dass eine implizite Verknüpfung hergestellt werden kann.

Ferner kann bereits durch die Materialverwendung eine Verbindung zwischen Arithmetik und Geometrie stattfinden. Dafür können ebene Veranschaulichungsmittel wie Plättchen gegen Würfel eingetauscht werden. „Würfel ermöglichen die Aneignung des Zahlbegriffs unter dem Kardinalzahl- wie auch dem Maßzahlaspekt und eignen sich zugleich zum Sammeln räumlicher Erfahrungen beim Veranschaulichen“ (Eichler o.J., S. 11). So werden bereits mit Hilfe arithmetischer Inhalte Erfahrungen gesammelt, welche später für geometrische Themen, wie dem Arbeiten mit Würfelgebäuden, explizit herangezogen werden können. Häufig herrscht eine Divergenz zwischen der individuell aufgebauten Vorstellung der Schüler und der räumlichen Wirklichkeit, welche nur durch einen intensiven Umgang mit der ikonischen als auch der enaktiven Ebene (s. Kapitel 4.1) geschlossen werden kann. Der Geometrieunterricht allein bietet oftmals nicht ausreichend Zeit, um diese Kluft zu schließen. Daher ist der Einbezug räumlicher Veranschaulichungsmittel in der Arithmetik eine sinnvolle Stütze für die Geometrie (vgl. ebd., S. 12).

4. Mathematikdidaktische Prinzipien

Didaktische Prinzipien sind nach Winter (1984, zit. nach Lauter 1991, S. 52) wissenschaftlich begründete Regeln zur Planung und Durchführung von Unterricht. Wie förderlicher Geometrieunterricht aufgebaut und auf welche Prinzipien dabei Bezug genommen werden sollte, steht detailliert in diversen fachliterarischen und mathematikdidaktischen Quellen beschrieben. Dabei kann unter anderem auf Franke und Reinhold (2016), Schipper et al. (2015, 2017, 2018) und Lauter (1991) verwiesen werden. Im Folgenden werden ausgewählte Kriterien ausführlich dargelegt, welche als Grundlage zur Erstellung eines Kriterienkatalogs dienen werden. Im späteren Verlauf der vorliegenden Arbeit stellt dieser wiederum die Basis für die Untersuchung und Analyse bestimmter Mathematikschulbücher dar, welche hinsichtlich der Kriterien analysiert werden (s. Kapitel 6; Kapitel 7; Anhang A–H).

4.1 Spiralprinzip

Die Inhalte des Geometrieunterrichts sollten in der Schulpraxis hinsichtlich des Spiralprinzips aufgebaut werden (vgl. Lauter 1991, S. 52f.). Dabei handelt es sich um ein Prinzip, das auf die Theorie des amerikanischen Entwicklungs- und Kognitionspsychologen Jerome Bruner (1980) zurückgeht. Unter dem Spiralprinzip wird die spiralige, besser schraubenlinienförmige, Anordnung des Lehrstoffs über einen längeren Zeitraum hinweg verstanden. Kinder in einem bestimmten Alter sind noch nicht in der Lage, den gesamten Inhalt eines mathematischen Problems oder Prinzips zu erfassen, allerdings können sie die einzelnen Elemente des Inhalts bereits gut verstehen. Daher sollte ein Thema vorerst nur bis zu einem gewissen Vollständigkeitsgrad behandelt werden, welcher den Denkformen des Kindes entspricht. Später sollte die Thematik dann allerdings wieder aufgenommen und auf einer höheren Stufe weitergeführt werden (vgl. ebd., S. 44; Lauter 1991, S. 52).

Für die Grundschulpraxis bedeutet dies, dass die Kernideen und Themen bereits in der ersten Jahrgangsstufe eingeführt und zunächst zu einem vorläufigen Abschluss gebracht werden, welcher einer der Altersstufe angemessenen Tiefe entspricht. Im Laufe der folgenden Grundschuljahre werden diese Inhalte immer wieder aufgegriffen und zunehmend umfassender auf einem höheren Abstraktionsniveau behandelt. Dieselben Inhalte bilden demnach den Mittelpunkt des Unterrichts, werden vermehrt miteinander in Verbindung gebracht und systematische erweitert (vgl. Lauter 1991, S. 53; Franke/ Reinhold 2016, S. 32).

Neben den Inhalten, welche sich im Laufe der gesamten Primarstufe erweitern, kann sich das Spiralprinzip zudem auf weitere Grundsätze beziehen. Darstellungsformen, Aufgabenformate und weitere didaktische Elemente können über die Schuljahre hinweg aufgegriffen und weiterentwickelt werden. Zudem sollten Materialien wiederholend eingesetzt und die Aufgaben an den gleichbleibenden Anschauungsmitteln dem Spiralprinzip gemäß erweitert werden (vgl. Keller et al. 2014b, S. 3; s. Kapitel 4.2).

Auch die Verwendung verschiedener Repräsentationsformen steht mit dem Spiralprinzip in Verbindung. Einerseits gibt es die Handlungsebene (enaktive Darstellungsform), bei welcher Operationen an konkretem Material ausgeführt werden oder Objekte als reale Gegenstände erfasst werden. Die bildhafte (ikonische) Darstellungsform stellt Aufgaben, Handlungen oder Situationen grafisch dar, wobei die Spannbreite von kindgemäßen Situationsskizzen bis hin zu abstrakten Diagrammen reichen kann. Auf der symbolischen Ebene werden abstrakte Zeichen oder die Versprachlichung der Erkenntnisse, Vorgehensweisen oder Lösungen genutzt. Diese Darstellungsformen (EIS-Prinzip) sieht Bruner (1971) als grundlegend für den Aufbau kognitiver Systeme beim Kind an, welche die Entwicklung des Menschen in verschiedenen Altersstufen prägen. Somit müssen diese Repräsentationsformen auch im Laufe der Primarstufe in der Unterrichtspraxis mit einem wechselnden Fokus berücksichtigt werden. Zunächst ist die enaktive Phase vorherrschend, später werden die ikonische und symbolische Ebene intensiver einbezogen. Zwar steht je nach Entwicklungsstufe eine einzelne Repräsentationsform im Fokus, ein Wechsel zwischen den verschiedenen Darstellungsformen sollte allerdings von Beginn an ermöglicht werden (vgl. ebd., S. 21; Lauter 1991, S. 21ff., 67ff.). Im folgenden Kapitel werden die Ebenen unter besonderer Berücksichtigung der Handlungsorientierung weiterführend erläutert (s. Kapitel 4.2). Eine Verknüpfung zum Spiralprinzip besteht in dem Sinne, dass die gewählte Darstellungsform dem Entwicklungsstand der Schüler möglichst angepasst sein sollte.

Auch innerhalb eines Schuljahres ist der spiralförmige Aufbau häufig erforderlich. Um die Schüler nicht durch eine umfangreiche, zusammenhängende Behandlung eines Inhalts in einem großen Block zu überfordern, sollen die Themen im Verlauf des Schuljahres wiederholt aufgegriffen und erweitert werden. Die Schüler werden dadurch angehalten sich mehrfach, über das Schuljahr verteilt, mit dem Inhalt auseinanderzusetzen. Somit wird die Gelegenheit geboten, Querverbindungen zwischen den Inhaltsbereichen der Mathematik zu erleben und einer bloßen Ansammlung von Einzelthemen entgegenzuwirken (vgl. Lauter 1991, S. 53; Keller et al. 2014b, S. 3).

4.2 Handlungsorientierung und Materialeinsatz

„Im Vordergrund sollte immer der handelnde Umgang mit Material stehen“ (Schipper et al. 2015a, S. 133). Materialien unterstützen die Entwicklung tragfähiger, mentaler Konzepte und fördern die mathematische Grundvorstellung der Kinder, wie beispielsweise Bitzer (2015, S. 38) erläutert. Demnach sollte die Handlungsorientierung zu den zentralen Prinzipien des Geometrieunterrichts zählen.

In der Schuleingangsphase sollte das Sammeln geometrischer Grunderfahrungen durch einen handelnden Umgang mit konkretem Material im Fokus stehen, da diese Aktivitäten eine Basis für die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens darstellen und den geometrischen Begriffserwerb der Schüler prägen. Durch aktives Handeln können die Schüler bereits erste Einsichten in die Unterscheidungsmerkmale von Körpern gewinnen, wodurch sich zusätzlich Eigenschaften vertiefen können (vgl. Schipper 2015a, S. 153f.; Franke/ Reinhold 2016, S. 2; Schipper et al. 2017, S. 131). Handelnd können Bilder und Vorstellungen im Kopf erzeugt werden, welche für das Arbeiten auf der ikonischen Ebene und die späteren kopfgeometrischen Fähigkeiten² als Grundlage dienen. Letztendlich sollte die Handlung an Materialien mathematische Operationen in der Vorstellung nicht ersetzen, sondern eine Basis bilden, um Operationen so zu veranschaulichen, dass sie langfristig auch ohne Material vollzogen werden können (vgl. Bitzer 2015, S. 39; Keller et al. 2015, S. 391). Entdeckungen können beispielsweise vom Umgang mit einem realen Würfel, dem Anfassen, Bauen und Experimentieren mit diesem, auf eine räumliche Abbildung oder auf die Darstellung von Körpernetzen übertragen werden. Außerdem werden die Entdeckungen benötigt, um einen Würfel oder komplexe Würfelgebäude mental zu bewegen. Somit sollte die Einführung neuer Lerninhalte im Geometrieunterricht durch das Arbeiten an konkretem Material geprägt sein, während die Schüler weiterführende Aufgaben, vornehmlich in den späteren Jahrgangsstufen, überwiegend an bildlichen und grafischen Darstellungen erweitern und ihre kopfgeometrischen Fähigkeiten ausbauen sollen. Um Kopfgeometrie betreiben zu können, müssen gemäß Weigand et al. (2014, S. 153f.) konkrete Erfahrungen mit den beteiligten Körpern vorliegen und wesentliche Eigenschaften bekannt sein. Es ist also nicht möglich, Kopfgeometrie unvorbereitet auszuüben. Bereits durch handlungsorientierte Vorgänge werden weitere Schritte in der Vorstellung geplant, womit auf kopfgeometrische Prozesse vorbereitet wird und zusätzlich geometrische Erfahrungen und flexibles geometrisches Denken entwickelt werden können (vgl. Schipper et al. 2015a, S. 131, 153; Franke/ Reinhold 2016, S. 166f.).

Dieses Vorgehen entspricht also, wie bereits in Kapitel 4.1 beschrieben, den Vorgaben des EIS-Prinzips. Der Einbezug der Ebenen sollte sich an der Entwicklungsstufe der Schüler orientieren. Dennoch sollten von Beginn an alle Darstellungsformen Anwendung finden und eine Übersetzung zwischen ihnen stattfinden, um sich langfristig von den Arbeitsmitteln lösen zu können (vgl. Bitzer 2005, S. 39; Schipper et al. 2015a, S. 132).

Für den Umgang mit Materialien sollten zusätzlich weitere Kriterien berücksichtigt werden. Zwar sollten Materialeinsatz und Handlungsorientierung im Fokus des Geometrieunterrichts stehen, dennoch ist das Spiralprinzip insbesondere bei der Materialverwendung zu beachten, da somit ein Materialüberfluss verhindert werden kann. Arbeitsmittel sollten demnach möglichst sparsam eingeführt werden, da eine Einarbeitung sehr zeitaufwendig ist und Kinder Zeit benötigen, um sich an das Material zu gewöhnen, ihr Handeln daran zu vervollkommnen und zu automatisieren. Je mehr dies geschieht, je mehr der bewusste Vollzug der genutzten Handlungen also in den Hintergrund tritt, desto besser können sich Lernende auf das eigentliche Problem konzentrieren. Daher sollten Aufgaben und Fragestellungen möglichst an ein und demselben Material variiert, vertieft und erweitert werden, um so im Sinne des Spiralprinzips aufgegriffen und weiterentwickelt werden zu können. Der Blick der Schüler wird somit auf einen Sachverhalt geweitet und sie lernen diesen aus verschiedenen Perspektiven zu betrachten als auch unter diversen Fragestellungen zu bearbeiten. (vgl. Eichler o.J., S. 7; Eichler 2005, S. 4; s. Kapitel 4.1). Darüber hinaus ist es dennoch bedeutsam, unterschiedliche Modelle eines Körpers im Unterricht zu thematisieren, damit das Begriffsverständnis der Schüler nicht auf einen Prototyp reduziert bleibt. Dafür sollten beispielsweise die Größen der Körper variieren und besonders bei Quadern oder Pyramiden diverse Ausführungen einbezogen werden (vgl. Schipper et al. 2015b, S. 147).

Grundsätzlich ist darauf zu achten, dass die Materialorientierung zwar eine zentrale Idee im Geometrieunterricht darstellt, eine Handlung allerdings immer mit einer geistigen Tätigkeit verbunden werden sollte, um einen Lernerfolg zu erzielen. Das Handeln allein, ohne spezifische Aufgabe, wird keinen Erfolg erzielen und erfüllt nicht den Sinn des Geometrielernens (vgl. Eichler 2005, S. 4). Die geistigen Tätigkeiten können vor allem durch den Einbezug der prozessbezogenen Kompetenzen in den Aufgaben beansprucht werden, auf welche im folgenden Kapitel genauer eingegangen wird.

4.3 Kernlehrplan und Bildungsstandards

In den Bildungsstandards und den Lehrplänen für die einzelnen Bundesländer werden Richtlinien und Kompetenzen für die verschiedenen Fächer ausgewiesen. Im Bereich der Mathematik in der Primarstufe werden neben den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen zusätzlich prozessbezogene (allgemeine) Kompetenzen beschrieben (vgl. KMK 2005, S. 7; MSW des Landes NRW 2008, S. 57). Der inhaltsbezogene Bereich Geometrie ist im Lehrplan des Landes NRW und den Bildungsstandards im Fach Mathematik unter diesem Namen nicht zu finden, geometrische Inhalte werden allerdings im Kompetenzbereich Raum und Form ³ behandelt.

Die im Geometrieunterricht zu erwerbenden Kompetenzen beziehen sich neben räumlichen auch auf ebene Darstellungen. „Es geht im weitesten Sinne darum, die dreidimensionale Welt um uns herum in allen ihren Formen und Relationen besser zu verstehen und sich in ihr orientieren zu können“ (Franke/ Reinhold 2016, S. 15). Alle Inhalte des Lehrplans – und somit auch die Geometrie – sind von fundamentaler Bedeutung für den gesamten Mathematikunterricht.

Im Lehrplan des Landes NRW (2008, S. 64) wird im Schwerpunkt Körper für Schüler am Ende der Schuleingangsphase definiert, dass sie die geometrischen Körper Würfel, Quader und Kugel erkennen, benennen und nach Eigenschaften sortieren können. Dies gilt bezüglich der genannten Körper neben geometrischen Prototypen auch für Gegenstände der Lebenswirklichkeit. Des Weiteren sollen sie Vollmodelle⁴ der Körper und einfache Würfelgebäude selbstständig herstellen.

Am Ende der vierten Klasse sollen Schüler zusätzlich Pyramiden sowie Zylinder als geometrische Körper erkennen und benennen können. Alle bis dahin bekannten Körper sollen nach geometrischen Eigenschaften unter der Verwendung der Fachbegriffe Fläche und Kante sortiert werden können. Aufbauend auf den Kompetenzen der Schuleingangsphase sollen nun auch Kanten- und Flächenmodelle⁵ ebenso wie komplexe Würfelgebäude erstellt werden. Die Schüler sollen am Ende des vierten Schuljahres sowohl verschiedene Netze⁶ für Würfel ermitteln als auch den Rauminhalt verschiedener Körper mit Hilfe von Einheitswürfeln bestimmen und vergleichen können. Des Weiteren sollen sie zwei- und dreidimensionale Darstellungen verschiedenen Bauwerken zuordnen und Bauwerke unter Berücksichtigung ihrer Baupläne erstellen können (vgl. ebd., S. 64).

Der Einbezug von Körpern findet sich auch in weiteren Schwerpunkten des Inhaltsbereichs Raum und Form wieder. In Verbindung mit der Raumorientierung und -vorstellung sollen Schüler Lagebeziehungen zwischen konkreten oder bildlich dargestellten Gegenständen beschreiben. Zusätzlich soll die Kopfgeometrie beherrscht werden, bei welcher Körper in der Vorstellung bewegt und das Ergebnis der Bewegung vorausgesagt werden soll. Im Bereich des Zeichnens sollen am Ende der vierten Jahrgangsstufe Würfelgebäude auf Punkte- oder Gitterraster gezeichnet werden (vgl. ebd., S. 63, 65). Für die Fokussierung des Schwerpunkts Körper müssen demnach auch andere Schwerpunkte des Inhaltsbereichs Raum und Form betrachtet werden, da die Kompetenzen eng ineinander übergreifen.

4.3.1 Prozessbezogene Kompetenzen

Das Ziel eines modernen Mathematikunterrichts in der Primarstufe sollte sich nicht auf die Vermittlung der inhaltlichen Kompetenzen beschränken, sondern in zunehmendem Maße auch die Ausbildung der prozessbezogenen Kompetenzen berücksichtigen (vgl. KMK 2005, S. 7). Dazu eignet sich der Geometrieunterricht durch Einbezug verschiedener Aufgabenstellungen besonders gut (vgl. Kleinschmidt 2008, S. 5). Die prozessbezogenen Kompetenzen sind mit entscheidend für den Aufbau einer positiven Einstellung zum Fach und der Entwicklung von Freude am Mathematiklernen, da die Entdeckerhaltung der Kinder insbesondere durch sie gefördert und weiter ausgebaut werden kann (vgl. KMK 2005, S. 6).

Grundsätzlich bietet der Geometrieunterricht besonders anschauliche Möglichkeiten, um das Problemlösen zu schulen. Dabei sollten die Schüler mathematische Fragestellungen erkennen und formulieren sowie diese mit geometrischen Mitteln bearbeiten. Sie sollten mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten einsetzen und eigenständig Lösungsstrategien entwickeln können (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 17, 36).

Im Unterricht sollten außerdem regelmäßig Anlässe zum Argumentieren und Kommunizieren geboten werden, um das Vorgehen explizit und kognitiv zu begleiten. Dabei kann der mathematische Fachwortschatz der Kinder entwickelt und durch den Einbezug von Wortspeichern unterstützt werden. Partner- oder Gruppenarbeiten bieten sich für geometrische Problembearbeitungen besonders an. Dabei müssen die Vorgehensweisen der Mitschüler nachvollzogen werden und die Kinder können diese gemeinsam reflektieren. Dies kann zu Beginn der Schulzeit noch implizit in den Kommunikationsprozess einfließen und somit unbewusst gelernt werden. Später sollen die Schüler explizit zu Begründungen aufgefordert werden. Entscheidend ist die sprachliche Begleitung aller Aktivitäten. Diesbezüglich ist darauf zu achten, dass einheitlich zu einer Fachsprache hingeführt wird und die Schüler mit Hilfe von Materialien, Abbildungen oder Tätigkeiten eine Vorstellung zu dem Fachvokabular aufbauen können (vgl. Keller et al. 2015, S. 11; Franke/ Reinhold 2016, S. 21ff., 167). Zusätzlich zur Partner- oder Gruppenarbeit kann eine Bearbeitung nach dem Ich-Du-Wir-Modell die Kommunikation sinnvoll leiten. Gemeinsam wird ein geometrisches Problem oder ein neuer Inhalt im Plenum eingeführt (Wir). Darauf folgt die Möglichkeit der individuellen Auseinandersetzung mit dem Problem (Ich), welche in einen gemeinsamen Austausch in Partner- oder Gruppenarbeit (Du) übergehen kann. Die letzte Phase, in welcher die Vorgehensweisen beschrieben und reflektiert werden, findet erneut im Plenum (Wir) statt (vgl. Gallin 2010, zit. nach Franke/ Reinhold 2016, S. 24).

Dennoch muss beachtet werden, dass die Versprachlichung insbesondere für jüngere Schüler, deren Ausdrucksvermögen noch nicht vollständig ausgebildet ist, eine Schwierigkeit darstellen kann. Dieser Herausforderung kann jedoch durch handelnde Tätigkeiten entgegengewirkt werden. Durch Handlungen wie Legen, Zeichnen und Bauen, welche unabdingbar zum Geometrieunterricht gehören, lernen Schüler ihr Vorgehen und ihre Ergebnisse auf verschiedene Art und Weise zu präsentieren. Sowohl das Anfertigen eigener Darstellungen (Bauwerke, Würfelgebäude oder Zeichnungen) als auch das Interpretieren und wechselseitige Übertragen sollten daher unbedingt Berücksichtigung im Geometrieunterricht finden. Die Darstellungen können sich dabei wie bereits im Abschnitt des Spiralprinzips beschrieben, auf verschiedenen Ebenen befinden (s. Kapitel 4.1; Kapitel 4.2). Enaktive Darstellungen können in Form von konkreten Bauwerken oder Würfelgebäuden bestehen. Die ikonische Ebene bezieht sich auf Grafiken oder Zeichnungen und die symbolische Ebene kann für geometrische Inhalte verbal oder, sofern möglich, formal repräsentiert werden. Der Geometrieunterricht bietet vielfältige Möglichkeiten diverse Darstellungen in eine Andere zu übertragen und zwischen den Ebenen zu wechseln (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 24).

Auch das Modellieren lässt sich in den Geometrieunterricht einbinden. Die Verknüpfung ist einerseits bereits bei der Erstellung eigener Körper, beispielsweise aus Knete, vorhanden. Dabei abstrahieren die Schüler Material aus ihrer Umwelt und überführen es in eine vereinfachte geometrische Darstellung. Andererseits müssen die Schüler Abbildungen von Elementen aus der Umwelt lesen, wobei geometrische Aspekte aus ihrem Umfeld transferiert, oder geometrische Sachverhalte auf die Umwelt bezogen werden. Insgesamt sollen räumliche Sachverhalte in die Sprache der Geometrie übersetzt (verschiedene Darstellungen) und nach der Nutzung geometrischer Verfahren ein Rückbezug zur Umwelt gezogen werden (vgl. ebd., S. 26f.).

Die praktisch-gegenständlichen Tätigkeiten des Geometrieunterrichts der Grundschule bieten sich dazu an, dass die Schüler ihr Vorgehen demonstrieren, beschreiben, begründen und darstellen, womit sie in vielen Situationen die prozessbezogenen Kompetenzen weiterentwickeln können (vgl. Eichler 2005, S. 5). Auch dabei kann im Verlauf der Schuljahre das Spiralprinzip Anwendung finden und die Kompetenzen fortlaufend aufgenommen und erweitert werden.

4.4 Zusammenschau

Die oben genannten Prinzipien sind von großer Bedeutung für den Geometrieunterricht und infolgedessen auch für den Aufbau und die Struktur zugelassener Schulbuchlehrgänge. Bei der späteren Beschreibung und Analyse ausgewählter Lehrbücher, wird der Fokus auf dem Spiralprinzip liegen, welches neben dem thematischen Aufbau der geometrischen Inhalte auch hinsichtlich der Materialien und der prozessbezogenen Kompetenzen Anwendung finden sollte. Der Einbezug von Materialien und die angesprochenen Kompetenzen werden demnach ebenfalls in den einzelnen Schulbüchern betrachtet. Dabei werden die spiralförmige Anordnung und die Erweiterung dieser Grundsätze im Verlauf der Primarstufe hervorgehoben.

5. Schulbuchanalyse

Ein gutes Schulbuch sollte die Inhalte des Lehrplans abdecken und darüber hinaus Unterrichtsprinzipien, didaktische Grundsätze und fachspezifische Anforderungen erfüllen (vgl. Vogl 2006, S. 15).

Studien belegen, dass Schulbücher Einfluss auf die Art und Weise des Unterrichts haben und Lehrer bei der Unterrichtsvorbereitung das Schulbuch und die dazugehörige Lehrerhandreichung einbeziehen. Die unterrichtlichen Inhalte können demzufolge weitgehend vom Lehrwerk gelenkt werden, sodass die Qualität des Unterrichts in gewissem Maße durch das Lehrbuch mitbestimmt wird (vgl. Backe-Neuwald 2000, S. 28). Da das Schulbuch eine zentrale Rolle in dieser Arbeit einnimmt, werden im Folgenden sowohl ausgewählte Schulbücher vorgestellt als auch die weitere Vorgehensweise bezüglich der Schulbuchanalyse erläutert.

5.1 Ausgewählte Schulbücher

Um eine vergleichende Analyse durchführen zu können, wurden zwei Schulbuchlehrgänge verschiedener Verlage ausgewählt. Beide gelten auf Grund ihrer Aktualität und teilweisen Neubearbeitung als geeignete Repräsentanten für gegenwärtig genutzte Lehrwerke. Es handelt sich einerseits um den gesamten Lehrgang Das Mathebuch vom Mildenberger Verlag und andererseits um den gesamten Lehrgang Welt der Zahl des Schroedel Verlags. Die Bücher sind laut ZSL (2019) auf der aktuellen Liste der zugelassenen Schulbücher für die Grundschule enthalten und wurden zwischen 2012 und 2016 veröffentlicht. Der Schulbuchlehrgang Welt der Zahl ist in Bremen, Hamburg, Hessen, Niedersachsen, Nordrhein-Westfalen, Rheinland-Pfalz, Saarland und Schleswig-Holstein zugelassen (vgl. Georg Westermann Verlag 2019). Der in der Arbeit verwendete Lehrgang von Das Mathebuch ist für alle Bundesländer außer Bayern freigegeben (vgl. Mildenberger Verlag GmbH o.J.).

Schulbücher und Lehrerhandreichungen müssen als eine zusammenhängende Einheit gesehen werden, weil die Handreichungen die Qualität des Schulbuches entscheidend lenken kann (vgl. Grassmann 2006, S. 28f.). Aus diesem Grund und um die Hintergründe und Prinzipien, auf welchen die Lerneinheiten und Aufgaben basieren, berücksichtigen zu können, werden die entsprechenden Informationen aus den Lehrerhandreichungen in dieser Erprobung ebenfalls beachtet und für die Analyse herangezogen.

5.2 Fragestellung der Analyse

Gegenstand der Analyse ist die Behandlung geometrischer Inhaltsbereiche in den oben beschriebenen Schulbüchern der Primarstufe. Der Inhaltsbereich Raum und Form mit dem Schwerpunkt geometrische Körper wird dabei vordergründig einbezogen . Es soll ermittelt werden, welcher Struktur die geometrischen Inhalte unterliegen und wie diese aufeinander aufgebaut werden. Des Weiteren wird überprüft, ob die Lerninhalte der Körper und die diesbezüglich zu erwerbenden Kompetenzen dem Spiralcurriculum gemäß im Laufe der vier Grundschuljahre aufgegriffen und systematisch weiterentwickelt werden. Neben dem Fokus auf dem spiralförmigen Aufbau der Inhalte, wird der Einbezug von Materialien und die Förderung der prozessbezogenen Kompetenzen, verbunden mit den verwendeten Aufgabenformaten, betrachtet, wobei diese auch hinsichtlich ihres spiralförmigen Aufbaus erfasst werden sollen. Unter Berücksichtigung der Ansprüche an Mathematikschulbücher aus Kapitel 3 wird zusätzlich die Verknüpfung der geometrischen Inhaltsbereiche mit den anderen inhaltsbezogenen Kompetenzen des Mathematikunterrichts in den Blick genommen.

5.3 Vorgehensweise

Analysiert wird die Struktur und der Inhalt von Mathematikschulbüchern der Primarstufe auf Grundlage der Analysevorschläge von Mayring (2008) und Rezart (2009).

Um einen Gesamtüberblick über die Schulbücher, ihren Aufbau, die Struktur und mögliche Besonderheiten zu erlangen, wird vorerst die Makro- und Mesostruktur in den Blick genommen. Dabei werden zunächst der Einband, das Inhaltsverzeichnis und das Symbolverzeichnis⁷ betrachtet. Anschließend wird die Gewichtung der inhaltsbezogenen Kompetenzen und die Strukturierung der Kapitel hinzugezogen. Darüber hinaus wird der Anteil der Schwerpunkte des Inhaltsbereichs Raum und Form sowie die Verknüpfung zu anderen Inhaltsbereichen der Mathematik überprüft.

Daran schließt die detaillierte Mikrostrukturanalyse an, bei welcher ausschließlich die Lerneinheiten zum Schwerpunkt Körper berücksichtigt werden. Der Aufbau dieser Lerneinheiten sowie die thematische Abfolge fließen mit in die Analyse ein. Dabei werden Informationen, wie bereits zuvor dargelegt, einerseits aus den Inhalten der Bücher selbst gewonnen, andererseits werden die ausführlichen Beschreibungen der Lehrerhandreichungen zur weiterführenden Informationsbeschaffung inkludiert. Bezüglich der Richtlinien und Kompetenzerwartungen werden der Lehrplan für die Grundschulen in NRW (vgl. MSW des Landes NRW 2008) und die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (vgl. KMK 2005) verwendet.

Im Folgenden sollen für ein verbessertes Verständnis die Begriffe Makro-, Meso- und Mikrostruktur definiert werden.

5.3.1 Makrostruktur

„Die Makrostruktur bezieht sich auf die grundlegende Systematik der Bücher. Dazu gehört im Wesentlichen, welche mathematischen Themenbereiche behandelt werden und wie diese Themenbereiche innerhalb des Buches angeordnet sind“ (Rezart 2009, S. 78).

Grundsätzlich sind Schulbücher entweder als Jahrgangsstufenbände oder Lehrgänge geschlossener Sachgebiete aufgebaut. Der Jahrgangsstufenband bezieht sich auf eine Jahrgangsstufe und beinhaltet alle Themen, die der Lehrplan für dieses Schuljahr vorgibt. Im Gegensatz dazu orientieren sich Lehrgänge geschlossener Sachgebiete an fachwissenschaftlichen Unterteilungen, wodurch Inhalte einzelner Teildisziplinen zusammengefasst werden. So werden in einem Buch beispielsweise nur geometrische Inhalte einer oder auch mehrerer Jahrgangsstufen behandelt. In Deutschland sind Mathematikschulbücher meist als Jahrgangsstufenbände aufgebaut (vgl. ebd., S. 78f.).

5.3.2 Mesostruktur

Die Mesostruktur berücksichtigt die Aufteilung der Schulbuchinhalte in einzelne Kapitel und bezieht sich auf die Struktur innerhalb dieser Kapitel (vgl. ebd., S. 80). Meist werden sie in weitere kleine Abschnitte untergliedert, welche unterschiedlich aufgebaut sein können. Entweder werden die Inhalte ohne äußere Vorgaben auf einem für die Autoren angemessenen Umfang dargestellt oder jedes Thema eines Kapitels bekommt eine einzige Buchseite zur Verfügung. Üblich ist jedoch die Unterteilung der Kapitel in einzelne Lerneinheiten. Dabei enthält eine solche Lerneinheit den thematischen Inhalt für ein bis vier Unterrichtsstunden (vgl. ebd., S. 80).

5.3.3 Mikrostruktur

Die Mikrostruktur beschreibt den Aufbau der thematischen Abschnitte eines Kapitels. Abhängig von der oben beschriebenen Mesostruktur, bezieht sich die Mikrostruktur demzufolge auf die Gliederung eines Themenkomplexes, einer einzelnen Themenseite oder einer Lerneinheit.

Sie befasst sich mit dem Aufbau sowie der Gestaltung einzelner Seiten oder Themen und berücksichtigt, ob weitere Darstellungen, Bilder oder Merkkästen in den Themenabschnitten dargestellt werden. Zusätzlich werden die verwendeten Aufgaben in den Blick genommen (vgl. ebd., S. 80f.).

6. Die Struktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch

Die zuvor beschriebene Makro-, Meso- und Mikrostruktur wird nun auf den Schulbuchlehrgang Das Mathebuch angewendet, um den Aufbau der Bücher dementsprechend zu beschreiben. Anschließend an die Darlegung der Makro- und Mesostruktur des entsprechenden Schulbuchlehrgangs, werden die geometrischen Inhalte des Themenschwerpunkts Körper auf der Mikrostrukturebene für die einzelnen Jahrgangsstufen sowohl detailliert beschrieben als auch analysiert.

6.1 Makrostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch

Die Makrostruktur des Schulbuchlehrgangs ist für die verschiedenen Jahrgangsstufen analog aufgebaut und kann infolgedessen für den gesamten Lehrgang gemeinsam beschrieben werden.

Die vier Lehrbücher gelten als Jahrgangsstufenbände und werden jeweils für das gesamte Schuljahr eingesetzt. Bereits der Einband der Lehrbücher ist gleichbleibend gestaltet. Auf jedem Cover ist eine große farbige Zahl abgebildet, welche der zugehörigen Jahrgangsstufe entspricht. Die Gestaltung weiterer Abbildungen wirken kindgemäß und auf der Rückseite ist ein Mathematikspiel inklusive der Spielregeln dargestellt.

Auf der Innenseite des Buchdeckels befindet sich ein Symbolverzeichnis, in welchem die Zeichen, die im Buch Anwendung finden, erläutert werden. Die Zeichen bleiben über die Jahrgangsstufen gleich, in der zweiten und dritten Klasse werden allerdings vereinzelt weitere Zeichen hinzugefügt (s. Abb. 1).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Symbolverzeichnis Das Mathebuch 3 (Keller et al. 2013a)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Auszug Inhaltsverzeichnis Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 3)

Das Inhaltsverzeichnis befindet sich auf der ersten Doppelseite und ist in neun bis zehn Kapitelpäckchen aufgeteilt. Diese beinhalten Lerneinheiten zu den verschiedenen inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen auf Grundlage der Bildungsstandards, welche mit farbigen Punkten links neben den Lerneinheiten gekennzeichnet sind. Insgesamt bieten die Päckchen eine strukturierte Kapitelübersicht, welche durch die farbige Hervorhebung der Überschrift sowie besonderer Lerneinheiten ansprechend gestaltet ist. Auch die farbige Kennzeichnung der entsprechenden inhaltsbezogenen Kompetenzen bietet einen Überblick über die Aufteilung und Häufigkeit der Inhaltsbereiche (s. Abb. 2).

Ab der zweiten Jahrgangsstufe beginnt das Buch mit einem Wiederholungskapitel und sowohl Das Mathebuch 3 als auch Das Mathebuch 4 enthalten als letztes Kapitel Mathematik zum Nachschlagen, in welchem wichtige Fachbegriffe und Rechenregeln aufgeführt sind.

In den Lehrbüchern werden alle fünf inhaltsbezogenen Kompetenzen der Bildungsstandards behandelt, wobei diese unterschiedlich oft vorhanden sind. Zahlen und Operationen sowie Muster und Strukturen werden in allen Schulbüchern mit Abstand am häufigsten thematisiert (für eine genaue Übersicht s. Anhang A-D).

6.2 Mesostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch

Auch die Mesostruktur der Lehrwerke kann zusammenfassend beschrieben werden, da die Kapitel der Jahrgangsstufen größtenteils in gleicher Weise aufgebaut sind. Sie sind jeweils in weitere Lerneinheiten gegliedert. Wie bereits zuvor kurz beschrieben, behandelt ein Kapitel nicht einen einzigen Inhaltsbereich der Bildungsstandards, sondern verknüpft die verschiedenen Bereiche innerhalb der Kapitel miteinander. In den zugehörigen Lehrerhandreichungen der Lehrgänge wird die Struktur wie folgt begründet: „Bei der Abfolge der Themen in der Neubearbeitung von ‚Das Mathebuch‘ wurde darauf geachtet, insbesondere die arithmetischen Themen durch das Vorschalten geeigneter geometrischer Themen vorzubereiten“ (Keller et al. 2012c, S. 5). Immer wieder sollen implizite Vorkenntnisse geschaffen werden, durch welche die Kinder unbewusste Vorerfahrungen zum entsprechenden Thema erwerben. Diese sollen wiederum einem sicheren Aufbau des Verständnisses dienen (vgl. ebd., S. 5).

Die Kapitel der Schulbücher enthalten unterschiedlich viele Lerneinheiten und auch der Seitenumfang variiert. Eine Einführung in ein neues Kapitel ist innerhalb des Buches nicht erkenntlich; der Kapitelname wird in den Lerneinheiten nicht genannt. In allen vier Büchern enden die Kapitel – das letzte Kapitel ausgeschlossen – einheitlich mit den Lerneinheiten Üben und Wiederholen und Nachdenken und Vertiefen.

Bei Betrachtung der Mesostruktur konnte der Anteil des Inhaltsbereichs Raum und Form ermittelt werden. Alle Bücher beinhalten insgesamt 124–132 Seiten, von welchen durchschnittlich 24 Seiten geometrische Inhalte betreffen. Die fünf geometrischen Schwerpunkte des Kernlehrplans des Landes NRW (2008, S. 63ff.) Raumorientierung und Raumvorstellung, ebene Figuren, Körper, Symmetrie und Zeichnen werden in allen Lehrwerken behandelt. Im ersten Schuljahr wird der Schwerpunkt Körper mit lediglich zwei Seiten sehr gering thematisiert. Dies ändert sich im zweiten Schuljahr, da geometrische Körper nun detaillierter behandelt und auch Würfelgebäude mit einbezogen werden. Grundsätzlich gibt es in der dritten Klassenstufe weniger Seiten für den gesamten Inhaltsbereich Raum und Form, der Umfang der Lerneinheiten zu den Körpern steigt jedoch an. Das Mathebuch 4 beinhaltet den größten Anteil der Geometrie. Innerhalb der körperbezogenen Lerneinheiten werden häufig weitere Schwerpunkte des Bereichs Raum und Form einbezogen und in den Aufgaben miteinander verknüpft. Darauf wird in den folgenden Beschreibungen der Mikrostrukturen konkreter eingegangen.

Neben der Verknüpfung verschiedener geometrischer Schwerpunkte, werden in den Lerneinheiten der Lehrwerke zusätzlich auch andere Inhaltsbereiche miteinander in Verbindung gebracht. Von besonderer Bedeutung für diese Arbeit ist der Einbezug geometrischer Körper in andere Themenbereiche. Objekte der Lebenswirklichkeit und einige Körper – vornehmlich Würfel und Gebilde aus zusammengesteckten Steckwürfeln – treten im ersten Schuljahr im Zusammenhang mit Themen des Inhaltsbereichs Zahlen und Operationen auf. Dort werden sie als Zählanlass einbezogen oder dienen als Anschauungs- oder Rechenmittel (vgl. Keller et al. 2012a, S. 6f, 32, 40, 55, 63, 99). Auch im zweiten Schuljahr werden Steckwürfel weiterhin als Mittel zur Veranschaulichung und zum Rechnen in arithmetische Lerneinheiten einbezogen. Sie werden zur Addition, Multiplikation und Division genutzt (vgl. Keller et al. 2012b, S. 53, 63, 102, 104, 110). Sowohl im dritten als auch im vierten Schuljahr dienen Würfel ferner zum Veranschaulichen der großen Zahlenräume bis zur Tausend und einer Million. Des Weiteren wird die Nutzung von Würfeln im Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeiten aufgegriffen (vgl. Keller et al. 2013a, S. 33). Auch im Bereich Größen und Messen gibt es eine Verknüpfung zu Körpern. Einheitswürfel werden zur Volumenberechnung von Würfeln und Quadern hinzugenommen, um das Vorgehen anschaulich darzustellen (vgl. Keller et al. 2014a, S. 78).

6.3 Mikrostruktur des Schulbuchlehrgangs Das Mathebuch

Die Mikrostrukturen der Lerneinheiten des Schulbuchlehrgangs unterscheiden sich bezüglich ihrer Aufgaben und bauen größtenteils im Verlauf der Schuljahre aufeinander auf. Um eine möglichst genaue Beschreibung erzielen zu können, wird jeder Jahrgangsstufenband in den folgenden Unterkapiteln separat beschrieben und analysiert.

6.4 Mikrostruktur Das Mathebuch 1

Die Lerneinheit Körper in Das Mathebuch 1 umfasst zwei Seiten (vgl. Keller et al. 2012a, S. 126f.). Der Name der Einheit befindet sich in der Kopfzeile und jede Seite enthält zwei Aufgaben, welche untereinander angeordnet und mit Nummern versehen sind. Rechts neben einigen Aufgabennummern sind Symbole abgebildet, welche zu Beginn des Lehrwerks im Symbolverzeichnis erklärt werden. Diese weisen darauf hin, dass sich ein Gesprächsanlass aus der Aufgabe ergibt und der Inhalt demnach im Plenum thematisiert werden sollte. Eine kurze Arbeitsanweisung steht, sofern die Aufgaben nicht selbsterklärend sind, rechts neben der Nummer. Dabei werden neben einer großen Schrift auch kurze, verständliche Sätze oder imperative Aufgabenbeschreibungen genutzt. In der Fußzeile stehen weitere Anmerkungen zu den Aufgaben, die diese weiterführend vornehmlich für die Lehrkraft oder Eltern erläutern. Insgesamt werden viele eindeutige Abbildungen und Zeichnungen verwendet. Somit wird die Aufgabenstellung meist bereits durch die Abbildungen, Piktogramme oder kurzen Beispiele deutlich.

In der Lehrerhandreichung sind beide Seiten mit einem Sternchen markiert. Dadurch wird darauf hingewiesen, dass sie bei mangelnder Zeit ausgelassen werden können (vgl. Keller et al. 2012c, S. 339–342; s. Anhang A).

6.4.1 Spiralprinzip

Jahrgangsübergreifend kann das Spiralprinzip für die Lerninhalte im Bereich der Körper erst in Verbindung mit den Schulbüchern der weiteren Klassenstufen erkennbar werden. Spiralförmige Ansätze können dennoch bereits in dieser Lerneinheit sowie im Hinblick auf den Aufbau der Inhalte innerhalb des Buches erkannt werden.

Die Lerneinheit beginnt mit der Herstellung von Verbindungen zwischen Alltagsgegenständen und geometrischen Körpern. Als Vorarbeit zu der Schülerbuchseite sollen reale Alltagsgegenstände von den Schülern angefasst und begriffen werden. Anschließend sollen sie diese mit eigenen Worten beschreiben und hinsichtlich ihrer Formen sortieren. Erst daran anknüpfend werden Prototypen der geometrischen Körper als Vollmodelle eingeführt und mit den entsprechenden Fachbegriffen bezeichnet. Es folgen Aufgaben, die eine Zuordnung der geometrischen Körperformen mit den Alltagsgegenständen und das Hinzufügen von Begriffskarten zur Festigung der Fachbegriffe anweisen. Daraufhin soll die Aufgabe, bei welcher Alltagsgegenstände mit geometrischen Körpern verbunden werden sollen, im Buch bearbeitet werden. Die Kinder handeln analog zur vorhergehenden Handlungsphase auf der ikonischen Ebene und lernen die bildliche Darstellung der Körper kennen. Auf die Hinzunahme von konkretem Material wird dabei verzichtet. Die nächste Aufgabe greift erneut den Bezug zu den Alltagsgegenständen auf und stellt diese in Formen dar, welche nicht denen unserer Umwelt entsprechen. Die Schüler sollen sich dadurch Gedanken zum Nutzen bzw. zur Verwendung dieser Formen in der Lebenswirklichkeit machen und den Sinn oder Unsinn der Formen für Gegenstände des alltäglichen Lebens erkennen. Infolgedessen sollen sie im Klassengespräch beschrieben werden, woraufhin die Schüler eigene unsinnige Formen für Alltagsgegenstände erfinden und zeichnen sollen (vgl. Keller et al. 2012a, S. 126).

Anschließend an diesen Einbezug der Gebrauchsgegenstände stehen auf der nächsten Seite die geometrischen Körperformen im Mittelpunkt. Die Fachbegriffe werden wiederholt sowie gefestigt und die Schüler müssen die Körper in Bauwerken wiedererkennen (vgl. ebd., S. 127).

Wird das Spiralprinzip im Verlauf des Schulbuches betrachtet, sind einige Verknüpfungen zu erkennen. Ebene Figuren (Kreis, Dreieck, Rechteck) werden bereits weiter vorne im Buch behandelt und können an den Körpern sowohl erkannt sowie bei der Beschreibung aufgegriffen werden. Bezüglich der Raumorientierung und dem Zeichnen aus freier Hand konnten die Schüler im Laufe des Schuljahres Erfahrungen im Schulbuch sammeln, welche in dieser Lerneinheit einbezogen werden.

6.4.2 Materialeinsatz

Alltagsgegenstände, die den geometrischen Formen entsprechen, werden als Materialien benötigt. Zusätzlich werden Vollkörper der geometrischen Formen Quader, Würfel, Kugel, Prisma und Zylinder eingesetzt als auch, sofern vorhanden, Pyramide, Ovoid und Ellipsoid. Diese werden vor der Bearbeitung der Aufgaben im Buch mit der gesamten Klasse eingeführt, sodass die Schüler die Möglichkeit bekommen, die Körper anzufassen und zu begreifen. Die Aufgaben im Buch werden anschließend ohne Material gelöst.

6.4.3 Prozessbezogene Kompetenzen

Die in den Aufgaben angesprochenen prozessbezogenen Kompetenzen beschränken sich auf das Argumentieren, Darstellen und Kommunizieren. Das Problemlösen sowie das Modellieren werden in dieser Lerneinheit nicht geschult (s. Anhang A).

Die Schulung der Argumentationsfähigkeit hängt mit der Kommunikation über den Sinn der Form von Gegenständen zusammen. Die Schüler sollen Bilder betrachten und diese umgangssprachlich beschreiben. Dabei stellen sie möglicherweise erste Vermutungen über den Nutzen bestimmter Formen auf. Die Aufgabe beschränkt sich auf den alltäglichen Gebrauch von Gegenständen und kann das Argumentieren lediglich in ersten Ansätzen fördern (vgl. Keller et al. 2012c, S. 65).

Als Weiterführung dieser Aufgabe sollen die Schüler eigenständig unsinnige Formen von Gegenständen entwickeln. Dafür sollen sie eine geeignete Darstellungsform wählen und ihre Idee nachvollziehbar abbilden. Sie dürfen ohne Vorgaben handeln und Freihandzeichnungen anfertigen, wodurch die prozessbezogene Kompetenz Darstellen geschult werden kann (vgl. ebd., S. 65).

Das Kommunizieren kann bereits in ersten Ansätzen gefördert werden. Bei der Einführung der Lerneinheit beschreiben die Schüler die Formen der Gegenstände mit eigenen Worten und vergleichen diese miteinander. Erste Fachbegriffe werden anschließend eingeführt, welche später von den Schülern angewendet und den passenden Körpern zugeordnet werden sollen. Auch das Beschreiben der Bilder im Schulbuch kann das Kommunizieren fördern. Zwar werden vorerst viele umgangssprachliche Ausdrücke genutzt, das allmähliche Erlernen der Fachbegriffe ist dabei dennoch durchaus möglich (vgl. ebd., S. 65).

6.4.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 1

Die Aufgaben der Lerneinheit beziehen die prozessbezogenen Kompetenzen nicht ausreichend ein. Bereits eine Bearbeitung in Partnerarbeit könnte die Kommunikation fördern und gleichzeitig auf argumentierende Kompetenzen vorbereiten. Doch abgesehen von Gesprächsanlässen in der Lerngruppe, werden die Schüler nicht aufgefordert ihre Vorgehensweise und Ergebnisse zu Verbalisieren. Zwar wird der mathematische Fachwortschatz begleitend eingeführt, es fehlen allerdings Aufgaben, welche verschiedene Vorgehensweisen unterstützen und auch das Problemlöseverhalten der Schüler fördern (s. Kapitel 4.3.1). In der Lehrerhandreichung wird darauf aufmerksam gemacht, dass die Kompetenzen im Bereich des Argumentierens zumeist implizit ablaufen. Bevor sie ausdrücklich eingeführt werden, sollen die Schüler implizite Erfahrungen bezüglich ihres Einsatzes machen, weshalb auf eine explizite Forderung verzichtet wird. Eine Heranführung soll durch ein hohes Maß an Gruppen- und Partnerarbeit gelingen, welche in dieser Lerneinheit jedoch ausbleibt (vgl. ebd., S. 6). Positiv aufzuführen ist hingegen der Einbezug einer kreativen Aufgabe, bei welcher die Schüler eine eigene unsinnige Form eines Alltagsgegenstandes zeichnen sollen. Die Schüler können im Sinne der Selbstdifferenzierung ihr eigenes Leistungsniveau definieren (Perspektive, Darstellungsform und Körper sind frei wählbar). Dies gibt der Lehrperson die Gelegenheit zu beobachten, wie sich die Schüler mit der Aufgabe auseinandersetzen (vgl. ebd., S. 5). Diese Aufgabenformate sollten allerdings häufiger einbezogen werden.

Das Spiralprinzip findet innerhalb der Lerneinheit auf verschiedene Weisen Anwendung. Durch die Verbindung von Alltagsgegenständen und geometrischen Körpern in der Einführung des Themas wird bereits Bekanntes der Schüler mit neuen Inhalten verknüpft und auf die Umwelterfahrung der Kinder zurückgegriffen. Die Schüler sollen geometrische Grundformen in den Gebrauchsgegenständen erkennen (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 164). Der allgemeine Zugang in Verbindung mit Alltagsgegenständen wird im Verlauf der Lerneinheit auf eine abstrakte mathematische Ebene erweitert. Die Gegenstände und Körper werden zu Beginn enaktiv eingeführt, wodurch die Kinder die Möglichkeit bekommen, ein erstes räumliches Vorstellungsvermögen aufzubauen. Durch das handlungsorientierte Kennenlernen können erste Bilder in der Vorstellung erzeugt und Einsichten in die Unterscheidungsmerkmale von Körpern gewonnen werden, welche im späteren Verlauf auf der ikonischen Ebene oder für die Kopfgeometrie genutzt werden können. Auf den Schulbuchseiten werden viele Zeichnungen und Abbildungen verwendet, die von den Schülern räumlich interpretiert werden müssen und den Lernprozess auf der ikonischen Ebene fördern. So können die Schüler eine Verknüpfung zwischen den Repräsentationsformen herstellen und der Wechsel der Darstellungsformen ist von Beginn an gegeben (vgl. ebd., S. 165; s. Kapitel 4.1). Diskrepanzen entstehen allerdings zwischen den in der Lehrerhandreichung genannten Körpern sowie denen im Schulbuch. Auf den Buchseiten finden nicht alle in der Handreichung empfohlenen Körper Berücksichtigung und die Anzahl der Körper übersteigt die Vorgaben des Lehrplans (s. Kapitel 4.3). Es ist demnach fraglich, ob die Anzahl der einzuführenden Körper angemessen ist oder zu Überforderungen führen kann.

Insgesamt gestaltet sich die handlungsorientierte Phase zu kurz und es wird schnell auf die ikonische Ebene gewechselt, ohne eine materialgebundene Hilfestellung anzubieten oder eine ausführlichere Vorbereitung zu ermöglichen. Der Vorschlag der enaktiven Einführung im Plenum bietet möglicherweise nicht jedem Einzelnen einen ausreichenden handlungsbezogenen Umgang mit den neuen Körperformen. Eine enaktive Erfahrung der Körper durch das freie Bauen oder Experimentieren, um eine Hilfe beim Einprägen der Eigenschaften und Fachbegriffe geboten zu bekommen, fehlt. Diese materialgebundene Phase ist jedoch besonders bei der Einführung neuer Körper, insbesondere im ersten Schuljahr, von großer Bedeutung, da geometrische Erfahrungen gefördert werden können und sich das flexible geometrische Denken bereits in ersten Schritten (s. Kapitel 4.2).

Hinsichtlich der geometrischen Schwerpunkte im gesamten Schulbuch wird der spiralförmige Aufbau berücksichtigt. Durch das Vorschalten der ebenen Figuren können die Schüler Vorkenntnisse erwerben und diese Erfahrungen bei der Bearbeitung der Aufgaben bezüglich der Körper sowie ihres Aufbaus einbeziehen. Auch Kenntnisse der Raumorientierung und des Zeichnens werden in dieser Lerneinheit eingegliedert und können weiter ausgebaut werden (s. Kapitel 4.1).

Durch den Hinweis, dass einige Seiten ausgelassen werden können, wird möglicherweise eine geringe Relevanz der Thematik signalisiert. Die Inhalte sollten jedoch nicht als unbedeutend gelten, wie in Kapitel 2 fundiert belegt wurde. Die Lerneinheit dient als wichtige Grundlage für die weitere Behandlung der Körper in den folgenden Schuljahren und darf nicht ausgelassen werden.

6.5 Mikrostruktur Das Mathebuch 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Erläuterungen Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 69)

Die Lerneinheiten in Das Mathebuch 2 sind ähnlich aufgebaut wie die des vorherigen Schuljahres und bezüglich der Struktur der Seiten gelten die Beschreibungen aus Kapitel 6.4. Daher werden hier nur Ergänzungen und Besonderheiten des vorliegenden Buches eingebunden. Dieses Lehrwerk enthält vier Lerneinheiten zu dem Schwerpunkt Körper, welche jeweils eine Seite umfassen. Die Symbole bei einigen Aufgabennummern weisen neben möglichen Gesprächsanlässen auf die Bearbeitung in Partnerarbeit hin. Darüber hinaus werden einige Aufgaben als Wahlaufgabe markiert. Die Arbeitsanweisung ist ausführlicher als im vorherigen Schuljahr beschrieben. Es werden weiterhin viele eindeutige und aussagekräftige Abbildungen und Zeichnungen verwendet (vgl. Keller et al. 2012b, S. 56f., 68f.). Zur zusätzlichen Erläuterung dienen illustrierte Erklärungen von Kindern und Heftausschnitte, welche die Übertragung der Aufgabe in ein Heft verdeutlichen und vorgeben, wie diese dort gelöst werden soll (s. Abb. 3; s. Anhang B).

6.5.1 Spiralprinzip

Die Einführung der Körper erfolgt wie im ersten Schuljahr mit dem Sortieren von Alltagsgegenständen und dem Zuordnen der passenden geometrischen Körper. Als Erweiterung der körperrelevanten Fachbegriffe kommen die Eigenschaften Ecke, Fläche und Kante hinzu, welche handelnd erfahrbar gemacht werden. Die Körperform des Prismas aus dem ersten Schuljahr wird nicht mehr aufgegriffen (auch Ovoid und Ellipsoid aus der Lehrerhandreichung werden ausgelassen), im Gegenzug werden die Formen Pyramide und Kegel zusätzlich eingeführt. Im Anschluss an die gemeinsame Einführung erfolgt eine Partnerarbeit an diversen Stationen, welche die Eigenschaften der bekannten sowie der neuen Körper fokussiert. Die Kinder können die Eigenschaften handlungsorientiert erfahren und sich detailliert mit allen Körpern auseinandersetzen (vgl. Keller et al. 2012b, S. 56). Der Bau eines Geobaums⁸ in der nächsten Lerneinheit bezieht erneut Alltagsgegenstände und deren Formen in den Lernprozess mit ein. Die zuvor erlernten Eigenschaften bleiben dabei unbeachtet (vgl. ebd., S. 57). In der folgenden Lerneinheit werden einfache Würfelgebäude und die Notierung eines Bauplans⁹ eingeführt. Die den Schülern bekannten Würfel dienen in dieser Einheit als Grundlage. Sie lernen Gebäude nach Plan zu erstellen, wobei die symbolische Ebene durch die Baupläne hinzugezogen wird. Zum Lösen der Aufgaben soll weitestgehend die enaktive Ebene genutzt werden, erst bei einer späteren Aufgabe soll auf der ikonischen Ebene gearbeitet sowie eigene Baupläne notiert werden ­­– bei Bedarf können Materialien weiterhin einbezogen werden. Die nun bekannten Würfelgebäude werden in der nächsten Lerneinheit für die Einführung verschiedener Ansichten genutzt. Die Zuordnung unterschiedlicher Seitenansichten zu entsprechenden Würfelgebäuden kann mit Hilfe von Steckwürfeln oder auch in der Vorstellung vollzogen werden (vgl. ebd., S. 68f.; s. Abb. 4).

Wird der Blick auf das gesamte Schulbuch gerichtet, können Verknüpfungen der Themenbereiche erkannt werden. Auch in Das Mathebuch 2 werden ebene Figuren zeitlich vor den Körpern behandelt und die Eigenschaften der Formen konkret kennengelernt (vgl. ebd., S. 22). Diese zweidimensionalen Darstellungen finden sich bei der Bearbeitung der Körper wieder und die Vorkenntnisse der ebenen Figuren werden für die Seitenflächen der Körper, Baupläne sowie der Ansichten der Würfelgebäude einbezogen.

6.5.2 Materialeinsatz

Wie im vorherigen Unterkapitel bereits angedeutet, werden Vollkörper der geometrischen Formen Quader, Würfel, Kugel, Zylinder, Pyramide und Kegel ebenso wie dazu passende Alltagsgegenstände benötigt. Des Weiteren sollen Steckwürfel und würfelförmige Bauklötze zur Einführung und Bearbeitung von Würfelgebäuden, ihren Bauplänen und Ansichten genutzt werden. Alle Materialien sollen so für das Lösen der meisten Aufgaben hinzugezogen werden.

6.5.3 Prozessbezogene Kompetenzen

Weiterführend zu den Lerneinheiten des ersten Schuljahres werden bei den Aufgaben in Das Mathebuch 2 alle prozessbezogenen Kompetenzen beansprucht. Nicht jede Aufgabe bezieht alle Kompetenzen ein, insgesamt werden sie aber im Verlauf der einzelnen Lerneinheiten einbezogen (s. Anhang B).

Das Problemlösen wird gefördert, indem die Schüler Zusammenhänge erkennen und nutzen müssen. Bei der Bearbeitung von Aufgaben mit Würfelgebäuden, deren Bauplänen und Ansichten müssen sie Strategien entwickeln und mathematische Kenntnisse anwenden (vgl. Keller et al. 2013b, S. 42, 46f.).

Für das Modellieren sollen die Schüler den Darstellungen aus der Lebenswirklichkeit relevante Informationen entnehmen. Dabei sollen sie Alltagsgegenstände den entsprechenden geometrischen Körpern zuordnen und mit ihnen arbeiten (vgl. ebd., S. 42).

Dem Argumentieren kommt in diesem Lehrwerk eine veränderte Stellung zu. Die Schüler sollen begründen, warum der Bauplan zu dem Würfelgebäude passt und warum die ausgewählte Ansicht sich auf das abgebildete Würfelgebilde bezieht. Dabei bringen sie die beiden Darstellungen miteinander in Beziehung und erklären diese. Auf den Schulbuchseiten werden die Begründungen nicht explizit gefordert, in der Lehrerhandreichung wird allerdings darauf aufmerksam gemacht (vgl. ebd., S. 47).

In der gesamten Lerneinheit Würfelgebäude und Baupläne sollen die Schüler verschiedene Darstellungsformen übertragen und miteinander vergleichen. Anders als im vorherigen Schuljahr sollen sie nach Vorgaben handeln und sich dabei an Regeln halten. Sie lesen und erstellen Baupläne, verknüpfen diese mit den Abbildungen der Würfelgebäude oder bauen sie nach (vgl. Keller et al. 2012b, S. 68).

Das Kommunizieren über Mathematik wird geschult, da neue Fachbegriffe weiterer Körper und deren Eigenschaften eingeführt und verwendet werden. Die Lerneinheiten beinhalten viele Partnerarbeiten, wodurch die Kinder Aufgabenstellungen gemeinsam bearbeiten sowie miteinander kommunizieren, Verabredungen treffen und kooperieren. Zusätzlich zu den Partnerarbeiten bieten einige Aufgaben einen Gesprächsanlass, der in der gesamten Lerngruppe besprochen werden soll (vgl. ebd., S. 56f., 68).

6.5.4 Analyse der Mikrostruktur Das Mathebuch 2

Das Mathebuch 2 enthält mehr Lerneinheiten zu Körpern, baut auf das Wissen der ersten Klasse auf und erweitert es in hohem Maße.

In diesem Schulbuch werden die prozessbezogenen Kompetenzen verstärkt einbezogen. Die Schüler sollen in vielfältigen Situationen kommunizieren, wodurch bereits teilweise argumentative Fähigkeiten geschult werden können. Die häufige Partnerarbeit soll die Schüler zu einem verbalen Austausch mit ihren Mitschülern bezüglich ihrer Vorgehensweise anregen. Die Kinder werden allerdings nicht explizit dazu aufgefordert, ihre Lösungen zu begründen, Vermutungen anzustellen und diese zu überprüfen. Das Argumentieren kann bei einigen Aufgaben fördernd einbezogen werden – die Aufgabenstellungen der Lerneinheiten erfordern dies jedoch nicht ausdrücklich, bloß in der Ausführung der Lehrerhandreichung werden Begründungen verlangt (vgl. Keller et al. 2013, S. 248). Die Arbeit mit unterschiedlichen Darstellungen kann durch den Einbezug der Würfelgebäude und den dazugehörigen Bauplänen eingeführt werden. Dabei sollen die Schüler lernen, verschiedene Darstellungen zu übertragen, zu vergleichen und sich an Vorgaben zu halten. Die Nutzung unterschiedlicher Anforderungsniveaus und die Möglichkeit einiger Aufgaben, individuelle Lösungswege zu wählen, kann die Bearbeitung für Schüler mit heterogenen Voraussetzungen ermöglichen. Auch kreative Aufgaben können sowohl eine Selbstdifferenzierung auf Seiten der Schüler begünstigen als auch der Lehrkraft bei der Einschätzung der Stärken und Schwächen der Kinder verhelfen (s. Kapitel 4.1; Kapitel 4.3.1).

Die zur Bearbeitung einzubeziehenden Materialien sind bereits aus dem vorherigen Schuljahr bekannt und die Steckwürfel werden auch in anderen Inhaltsbereichen, beispielsweise für die Arithmetik, häufig verwendet. Somit wird ein Überfluss an Material vermieden, die Kinder sind an die Handlungen gewöhnt und können zielgerichtet damit arbeiten (s. Kapitel 4.2).

Der Aufbau innerhalb einer Lerneinheit ist gleichartig gestaltet und am Spiralprinzip orientiert. Neue Themen beginnen mit einer gemeinsamen Einführung, Besprechung von Besonderheiten und der Darstellung an Modellen. Anschließend können die Schüler selbstständig enaktiv arbeiten und die Handlungen verinnerlichen. Weitere Aufgaben beziehen dann durch viele Abbildungen die ikonische oder mit Bauplänen und der Versprachlichung, die symbolische Ebene ein. So ist ein Wechsel zwischen den Repräsentationsformen möglich und die Schüler lernen diese miteinander zu verknüpfen (s. Kapitel 4.1). Sofern bereits möglich kann auf die enaktive Ebene verzichtet und kopfgeometrische Bearbeitungen initiiert werden.

Wird der Blick auf die Verbindung zur ersten Jahrgangsstufe geweitet, kann die Berücksichtigung des Spiralprinzips in einigen Aufgaben erkannt werden – teilweise entsprechen die Aufgaben allerdings nicht dem spiralförmigen Aufbau. Durch den Einbezug der Alltagsgegenstände in der ersten Lerneinheit der Körper wird eine Verbindung zum ersten Schuljahr geknüpft, wodurch das Wissen bezüglich der Körper wiederholt und gefestigt werden kann. Als Erweiterung werden sie mit zusätzlichen Eigenschaften angereichert. Entgegen des Spiralprinzips werden Prisma, Ovoid und Ellipsoid in der zweiten Klasse nicht aufgegriffen. Im Gegenzug kommen die neuen Körper Pyramide und Kegel hinzu. Körperformen sollten jedoch über die Jahre kontinuierlich thematisiert und hinsichtlich ihrer Eigenschaften und anderer Themenschwerpunkte angereichert werden, um geometrische Kompetenzen fortlaufend aufzubauen (vgl. Hellmich 2007, S. 298; s. Kapitel 4.1). Außerdem werden bei der Stationsarbeit Themen aus späteren Lerneinheiten oder Jahrgangsstufen vorweggegriffen und der spiralförmige Aufbau unbeachtet gelassen. In der Lehrerhandreichung werden die Stationen aus dem Buch erläutert und Vorschläge zu weiteren Stationen beschrieben. Die Anforderungen vieler dieser Stationen entsprechen nicht dem Lehrplan der Jahrgangsstufe und der eigentliche Fokus hinsichtlich der Eigenschaften der Körper verliert an Aufmerksamkeit. Es handelt sich um Aufgaben, wie Baupläne lesen und nachbauen, Ansichten von Würfelgebäuden und die Zuordnung von Körpern und Netzen. Die übrigen Stationen können einerseits effektiv eingesetzt werden, um den Kindern einen handelnden Umgang mit den Körpern zu ermöglichen sowie die Eigenschaften kennenzulernen und zu verinnerlichen. Andererseits fehlt auf der enaktiven Ebene der zusätzliche Einbezug von Kantenmodellen, an welchen die Schüler gezielte Untersuchungen bezüglich der Anzahl der Ecken und Kanten vornehmen können und somit das Verständnis erleichtert werden kann (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 185). Insgesamt ist der Einbezug dieser Merkmale allerdings laut Lehrplan für die Grundschule in NRW (2008, S. 64) erst für die nächste Klassenstufe vorgesehen, worauf in der folgenden Analyse in Kapitel 6.6.4 genauer eingegangen werden soll.

Auch der Bau eines Geobaums wirkt an dieser Stelle im Sinne des Spiralprinzips nicht fördernd, da die zuvor erlernten Eigenschaften unberücksichtigt bleiben. Zwar erfolgt eine enaktive Phase mit Einbezug geometrischer Körper, da diese allerdings nicht mit einer geistigen Tätigkeit verbunden wird, bleibt ein erweiternder Lernerfolg aus (s. Kapitel 4.2). Denn es muss bedacht werden, dass das reine Handeln nicht zwangsläufig zu einer fundierten Ausbildung der Raumvorstellung beiträgt. Oft sind es zusätzliche Reflexionen der Handlungen oder das Kommunizieren über die Handlungsprozesse, die dazu beitragen, dass sich das Handeln zur Vorstellung entwickelt, was in dieser Lerneinheit nicht der Fall ist (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 109).

Die späteren Lerneinheiten zu Würfelgebäuden fokussieren den Würfel, vernetzen diesen mit neuen Inhalten und Kompetenzen, wodurch eine Basis für spätere Jahrgangsstufen gebildet werden kann. Die Thematik entspricht einer der Altersstufe angemessenen Tiefe und durch die enaktive Begleitung der Aufgaben können Vorstellungen aufgebaut werden. Darüber hinaus tragen die vielfältigen Übungen mit Einbezug der Baupläne wesentlich zur Raumvorstellung und -wahrnehmung bei. In der folgenden Klassenstufe kann diese Vorerfahrung aufgegriffen und auf einem höheren Niveau weitergeführt werden (vgl. ebd., S. 192; s. Kapitel 4.1). Darüber hinaus ergibt sich bei der Aufgabe bezüglich der Ansichten von Würfelgebäuden bereits die Möglichkeit der Förderung kopfgeometrischer Fähigkeiten, da die Gebäude in der Vorstellung rotiert werden müssen. Der frühe Einbezug der Kopfgeometrie kann sich somit vorteilhaft für die Entwicklung solcher Fähigkeiten zeigen, er kann jedoch auch überfordernd wirken. Um dies zu verhindern, können Materialien bei Bedarf einbezogen werden (vgl. Weigand et al. 2014, S. 154).

Durch die Aufteilung der Thematik in mehrere Lerneinheiten, welche mit zeitlichem Abstand voneinander bearbeitet werden, bekommen die Schüler die Möglichkeit sich wiederholt mit den körperbezogenen Inhalten auseinanderzusetzen (s. Kapitel 4.1).

Mit Blick auf das gesamte Schulbuch wird deutlich, dass Vorerfahrungen der ebenen Figuren sinnvoll bei der Bearbeitung der Körpereinheit einbezogen werden können. Bei den ebenen Figuren haben die Schüler bereits konkrete Eigenschaften kennengelernt. Durch dieses Vorschalten können die Formen an den Seitenflächen der Körper wiedergefunden und somit die Eigenschaften der ebenen Figuren, mit denen der Körper in Verbindung gebracht werden. Dadurch wird ein Bezug innerhalb der Schwerpunkte des Inhaltsbereichs Raum und Form deutlich (s. Kapitel 3; Kapitel 4.1).

6.6 Mikrostruktur Das Mathebuch 3

Auch für die wesentliche Struktur von Das Mathebuch 3 gelten die Beschreibungen der ersten Schulbücher (s. Kapitel 6.4; Kapitel 6.5; für eine genaue Beschreibung s. Anhang C). Das Lehrbuch für die dritte Jahrgangsstufe beinhaltet vier Lerneinheiten zum Schwerpunkt Körper, welche jeweils eine Seite füllen. Bezüglich der Symbole kommen das Ich-Du-Wir -Symbol und die Gruppenarbeit hinzu. Erstmalig werden Tabellen und Körpernetze eingebunden. Heftausschnitte und illustrierte Erklärungen von dargestellten Kindern dienen auch in diesem Band zur Erläuterung der Aufgaben (s. Abb. 3).

6.6.1 Spiralprinzip

Wiederholend zum vorherigen Schuljahr werden die Körpermodelle in der ersten Lerneinheit erneut aufgeführt und von den Kindern mit Fachbegriffen und Eigenschaften benannt. Im Buch werden dann Abbildungen aus der Lebenswirklichkeit gezeigt, welche den Körperformen zugeordnet werden sollen. Die Übung mit Alltagsgegenständen ist den Kindern bereits bekannt, in dieser Aufgabe sollen die Körper allerdings vornehmlich in Gebäuden entdeckt werden. Es folgt eine erneute Einführung und Festigung der Begriffe Ecke, Kante, Fläche – wie bereits aus dem zweiten Schuljahr bekannt – und die Spitze des Kegels wird hinzugefügt. Vollkörper und Kantenmodelle sollen anschließend selbstständig nachgebaut werden, wodurch sich die Schüler enaktiv mit den Kanten und Ecken der Körper beschäftigen. Kognitiv wird die Übung begleitet, indem die Schüler sich vorerst Gedanken machen sollen, welche Körper nicht als Kantenmodelle dargestellt werden können. Anhand von gebastelten Modellen soll die Anzahl der Flächen, Kanten, Ecken und Spitzen ermittelt und in einer Tabelle eingetragen werden (vgl. ebd., S. 84).

Eine Erweiterung der bekannten Inhalte findet auf der folgenden Seite statt. Zu den bereits bekannten Vollkörper- und Kantenmodellen kommt das Flächenmodell der Würfel und Quader hinzu. In einer Stationsarbeit werden diese Inhalte vertieft, sodass sich die Schüler ausführlich und enaktiv mit den Netzen von Würfeln und Quadern auseinander können.

Die folgenden Lerneinheiten zu den Würfelgebäuden bauen mit bereits bekannten Aufgabenformaten auf den gelernten Inhalten der zweiten Jahrgangsstufe auf. Die Anreicherung der Inhalte besteht in Das Mathebuch 3 in der wachsenden Komplexität der Gebäude und der zunehmenden Beanspruchung der ikonischen Darstellung. Auch die Ansichten von Würfelgebäuden aus der zweiten Klasse werden in diesem Buch aufgegriffen und erweitert. Einerseits müssen die Schüler die Ansichten nun selbst zeichnen, andererseits kommt die Ansicht von oben neu dazu (s. Abb. 4; Abb. 5).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Würfelgebäude – Ansichten Das Mathebuch 2 (Keller et al. 2012b, S. 69)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5: Würfelgebäude – Ansichten Das Mathebuch 3 (Keller et al. 2013a, S. 114)

Des Weiteren werden die Ansichten einzelner Körper von vorne sowie von oben eingeführt und sollen den Abbildungen der Körper zugeordnet werden (s. Abb. 6).

Zusätzlich sind das Spiralprinzip und die Vernetzung der geometrischen Inhalte im gesamten Schulbuch erkennbar. Formen und Flächen, insbesondere Quadrate und Rechtecke, werden zu Beginn des Schulbuches behandelt und auch das Zeichnen wird bereits mit Bezug zu den ebenen Figuren thematisiert (vgl. ebd., S. 24f., 74f.). Das Zeichnen aus freier Hand oder mit dem Lineal dient als Vorerfahrungen und wird bei den Ansichten auf Seite 114 (vgl. ebd.) erneut aufgegriffen.

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¹ Bei Personenbezeichnungen werden aus Gründen der besseren Lesbarkeit im Text keine geschlechtsspezifischen Unterscheidungen vorgenommen. „Schüler“, „Lehrer“ und andere Bezeichnungen beinhalten sowohl männliche, weibliche als auch diverse Vertreter dieser Gruppe.

² „Kopfgeometrie bezeichnet das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf, also ohne Hilfsmittel. Es darf dabei nur auf Vorstellungen und sprachlich formuliertes Wissen über geometrische Objekte zurückgegriffen werden“ (Weigand et al. 2014, S. 151).

³ Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die Begriffe Raum und Form und Geometrie gleichgestellt und somit synonym verwendet.

⁴ Bei einem Vollmodell wird der gesamte Körper nachgebildet, beispielsweise aus Knete oder Styropor (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 184).

⁵ Bei einem Kantenmodell werden nur die Kanten und Ecken eines geometrischen Körpers mit geeigneten Materialien nachgebildet. Ein Flächenmodell besteht aus den Flächen des Körpers, welche zur Körperoberfläche zusammengefügt werden, sodass ein Hohlkörper entsteht (vgl. Radatz, Rickmeyer 1991, S. 53f., 56).

⁶ „Ein Netz ist eine zweidimensionale Figur, in der Flächen so verbunden sind, dass daraus ein dreidimensionaler Körper gefaltet werden kann“ (Franke/ Reinhold 2016, S. 185).

⁷ Das Symbolverzeichnis erläutert dem Nutzer die Bedeutung der Zeichen und Piktogramme im Buch, welche neben den Aufgaben abgebildet sind.

⁸ Eine Astskulptur, an welche Verpackungen geklebt werden (vgl. Keller et al. 2012b, S. 57).

⁹ Die Standfläche bildet dabei den Grundriss eines Bauplans, in welchen die jeweilige Anzahl der übereinander gebauten Würfel mit Ziffern eingefügt werden (vgl. Franke/ Reinhold 2016, S. 192).