Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Fermiaufgaben
2.1 Was sind Fermiaufgaben?
2.2 Woran erkennt man Fermiaufgaben?
2.3 Wozu sind Fermiaufgaben gut?
2.3.1 Offenheit der Aufgaben
2.3.2 Förderung der Selbstständigkeit
2.3.3 Strategisch arbeiten
2.3.4 Alltagsbezug
2.3.5 Kompetenzförderung
2.3.5.1 Prozessbezogene Kompetenzen
2.3.5.1.1 Problemlösen/kreativ sein
2.3.5.1.2 Modellieren
2.3.5.1.3 Argumentieren
2.3.5.1.4 Darstellen/Kommunizieren
2.3.5.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
2.3.5.2.1 Zahlen und Operationen
2.3.5.2.2 Raum und Form.
2.3.5.2.3 Größen und Messen
3 Analyse der Fahrradaufgabe
3.1 Musterlösung
3.2 Offenheit der Aufgabe
3.3 Förderung der Selbstständigkeit
3.4 Strategisch arbeiten
3.5 Alltagsbezug
3.6 Kompetenzförderung
3.6.1 Prozessbezogene Kompetenzen
3.6.1.1 Problemlösen/Kreativ sein
3.6.1.2 Modellieren
3.6.1.3 Argumentieren
3.6.1.4 Darstellen/Kommunizieren
3.6.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
3.6.2.1 Zahlen und Operationen
4 Auswertung der Schülerbearbeitungen
4.1 Methodische Umsetzung
4.2 Zusammenschau der Bearbeitungen
4.2.1 Gruppe 1
4.2.1.1 Phasierung
4.2.1.2 Kompetenzerwartungen
4.2.1.3 Rechenfehler
4.2.1.4 Angemessene Lösung
4.2.1.5 Kooperation
4.2.2 Gruppe 2
4.2.2.1 Phasierung
4.2.2.2 Kompetenzerwartung
4.2.2.3 Rechenfehler
4.2.2.4 Angemessene Lösung
4.2.2.5 Kooperation
4.2.3 Gruppe 3
4.2.3.1 Phasierung
4.2.3.2 Kompetenzerwartungen
4.2.3.3 Rechenfehler
4.2.3.4 Angemessene Lösung
4.2.3.5 Kooperation
4.3 Vergleich der Gruppen
4.4 Reflexion
5 Fazit
6 Literaturliste
7 Anhang
7.1 Bearbeitete Arbeitsblätter
7.1.1 Gruppe 1
7.1.2 Gruppe 2
7.1.3 Gruppe 3
7.1.4 Gruppe 4
7.1.5 Gruppe 5
7.1.6 Gruppe 6
7.1.7 Gruppe 7
7.2 Zusammenschau ausgewählter Bearbeitungen
7.2.1 Gruppe 1
7.2.2 Gruppe 2
7.2.3 Gruppe 3
1 Einleitung
Die Förderung von fachlichen sowie von sozialen und persönlichen Kompetenzen steht im Mathematikunterricht im Vordergrund. Eine Grundlage für die weiterführende Schule und für das alltägliche Leben, in welchem mathematische Fähigkeiten als unverzichtbar gelten, soll bereits in der Grundschule geschaffen werden. Um dieses Ziel zu erfüllen, sollen im Mathematikunterricht diverse Kompetenzen entwickelt und erweitert werden und das Interesse am Mathematiklernen gesteigert werden (vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2004, S. 6f.). Da in der Grundschule die Heterogenität der Schüler1 besonders ausgeprägt ist, müssen Aufgabenformate gefunden werden, welche eine Chancengleichheit für alle Individuen darstellen und die Anwendung verschiedener Bearbeitungswege akzeptiert.
Im Verlauf dieser Arbeit soll herausgefunden werden, ob durch den Einbezug von Fermiaufgaben im Mathematikunterricht die oben genannten Forderungen erfüllt werden können und ob es möglich ist mit diesem Aufgabenformat die verschiedenen fachlichen und sozialen Kompetenzen der Schüler zu fördern und zu vertiefen. Um dies zu erforschen, wurde eine Fermiaufgabe in einer dritten Klasse gestellt und die Bearbeitungsprozesse bezüglich der angesprochenen Kompetenzen analysiert. Ein besonderes Augenmerk liegt zusätzlich auf den unterschiedlichen Bearbeitungswegen, welche von den Schülern gewählt wurden.
Im Folgenden wird zunächst das Aufgabenformat der Fermiaufgaben vorgestellt und charakterisiert. Es wird erläutert, welche Eigenschaften diese Aufgaben im Allgemeinen besonders machen und welche Kompetenzen durch die Bearbeitung gefördert werden können. Hierbei werden sowohl die prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen aus dem Lehrpläne für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen einbezogen als auch allgemeingültige Ziele eines guten Mathematikunterrichts. Zusätzlich wird die Ausbildung von sozialen und persönlichen Kompetenzen berücksichtigt.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der theoretischen Analyse der ausgewählten Fermiaufgabe. Dafür wird die Aufgabe genannt und eine mögliche Musterlösung angefertigt. Diese dient der Vereinfachung des weiteren Verlaufs sowie der Veranschaulichung des Aufgabenformates. Im Anschluss daran wird die Aufgabe anhand der im vorherigen Kapitel genannten Kompetenzen analysiert.
Daraufhin folgt der praktische Teil, in dem ausgewählte Schülerbearbeitungen ausgewertet werden. Zunächst wird die methodische Umsetzung erläutert und die Rahmenbedingungen der Erprobung werden genannt. Anschließend werden die Bearbeitungsprozesse von drei verschiedenen Gruppen beschrieben und analysiert. Diese Analyse orientiert sich an ausgewählten Kriterien, welche sich auf die theoretische Analyse der Aufgabe beziehen. Für einen besseren Überblick werden die Gruppen im nächsten Teil hinsichtlich der verschiedenen Kriterien miteinander verglichen. Im Anschluss daran folgt eine Reflexion der Kriterien und der gesamten Erprobung.
Im letzten Teil wird ein Fazit gezogen. Hier werden die wichtigsten Beobachtungen erfasst und ein Ergebnis bezüglich der Anwendung von Fermiaufgaben im Mathematikunterricht zusammenfassend formuliert.
2 Fermiaufgaben
Fermiaufgaben sind nach dem italienischen Kernphysiker Enrico Fermi benannt. Dieser war dafür berühmt, unbekannte Dinge spontan genau abschätzen zu können und er stellte bereits seinen Studenten Schätzungsfragen. Die bekannteste Frage lautet: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“. Da auch die Mathematikfragen nach diesem offenen Schätzungsschema aufgebaut sind, werden sie als Fermiaufgaben bezeichnet (vgl. Büchter et al. 2010, S.3).
Fermiaufgaben werden dem Thema des Sachrechnens untergeordnet. Sachaufgaben, welche sich auf den Alltag der Schüler beziehen und die Interessen der Kinder berücksichtigen, sollen zeigen, dass Mathematik sowohl in der Schule als auch im alltäglichen Leben von großer Bedeutung ist. Sachrechnen soll die Problemlösefähigkeiten der Schüler fördern, was gleichzeitig eines der Ziele von Fermiaufgaben darstellt (vgl. Franke 2003, S. 21- 23).
In der Realität ist es allerdings nicht immer leicht passende Sachrechenaufgaben zu finden, welche den Anforderungen entsprechen und im Interessengebiet der Schüler liegen (vgl. ebd., S. 25). Hier können allerdings die Fermiaufgaben einen entscheidenden Beitrag leisten. Diese behandeln vielseitige und interessante Themen für Schüler verschiedener Altersgruppen. Da zusätzliche Hilfsmittel erlaubt sind und bei der Bearbeitung der Aufgaben geschätzt und gerundet werden darf, kann ohne größere Probleme im hohen Zahlenbereich gerechnet werden. Trotz ihrer vielseitigen Lösungsmöglichkeiten bleiben die Aufgaben dennoch realistisch.
2.1 Was sind Fermiaufgaben?
Fermiaufgaben sind komplexe Schätzungsaufgaben, die mathematische Problemsituationen darstellen. Für die Bearbeitung der Aufgaben müssen die Schüler ihre Basisfertigkeiten mit ihrem Alltagswissen und beherrschten Strategien vernetzen. Es können keine vorgefertigten Schemata angewendet werden, da jede Fermiaufgabe eine individuelle Herangehensweise fordert (vgl. Büchter und Leuders 2009, S. 158).
2.2 Woran erkennt man Fermiaufgaben?
Fermiaufgaben behandeln alltägliche Phänomene und Probleme, die den Kindern aus ihrem Umfeld bekannt sind. Dies hilft den Schülern dabei, die Aufgaben zu verstehen und weckt ihr Interesse. Der Unterscheid zwischen Fermiaufgaben und herkömmlichen Textaufgaben liegt darin, dass bei Fermiaufgaben nicht alle benötigten Daten in der Problemfrage benannt sind. Somit müssen die Schüler die gesuchten Daten durch ihr Vorwissen erschließen, Annahmen anstellen und Zahlen plausibel schätzen. Es ist auch erlaubt Hilfsmittel wie zum Beispiel das Internet zu benutzen, um Werte zu recherchieren (vgl. Büchter et al. 2010, S. 7).
Durch die offene Fragestellung bei Fermiaufgaben können die Kinder verschiedene Annahmen anstellen, woraus häufig sehr unterschiedliche Bearbeitungswege entstehen und somit auch die Ergebnisse voneinander abweichen können. Die entstehenden Unterschiede im Ergebnis und auch die verschiedenen Bearbeitungswege werden akzeptiert, da es bei Fermiaufgaben nicht nur eine richtige Lösung gibt und auch der Bearbeitungsweg freigestellt ist. Solange der Rechenweg plausibel ist und die Daten sinnvoll geschätzt wurden, ist jedes Ergebnis auf seine individuelle Weise richtig (vgl. ebd., S. 7).
2.3 Wozu sind Fermiaufgaben gut?
2.3.1 Offenheit der Aufgaben
Fermiaufgaben erfüllen das Kriterium der Offenheit von Aufgaben. Bei diesen Aufgaben muss das Problem zunächst konkretisiert werden, denn es sind vorerst keine eindeutigen Lösungswege zu erkennen. Diese müssen erst erarbeitet werden. Zusätzlich gibt es nicht nur ein eindeutiges Ergebnis, wie es bei geschlossenen Aufgaben der Fall ist. Durch diese Offenheit von Aufgaben ist ein authentischer Umgang mit Mathematik geboten und alle Schüler haben die Möglichkeit einen individuellen Lösungsweg einzuschlagen und die Aufgabe auf ihre eigene Art und Weise zu lösen (vgl. Büchter und Leuders 2009, S.88f.).
2.3.2 Förderung der Selbstständigkeit
Zusätzlich fördern Fermiaufgaben die Selbstständigkeit der Schüler, da die Aufgaben durch ihre Offenheit eigeständig oder kooperativ in Kleingruppen gelöst werden können. Es müssen eigene Entscheidungen hinsichtlich der Daten getroffen werden, die Kinder lernen mit Unsicherheiten umzugehen und für die Aufgabe wichtige Entscheidungen zu treffen (vgl. Büchter et al. 2010, S. 5).
2.3.3 Strategisch arbeiten
Da das Problem häufig in viele kleine Teilaufgaben unterteilt werden muss, lernen die Kinder strategisch zu arbeiten. Sie müssen das Problem gliedern und vorerst Teilfragen stellen, diese lösen und im weiteren Verlauf miteinander verknüpfen. (vgl. ebd., S. 5).
2.3.4 Alltagsbezug
Insgesamt sind Fermiaufgaben gut zugänglich für alle Schüler, da sie Alltagsfragen und Sachverhalte aus ihrer Umwelt thematisieren. Die Probleme, welche behandelt werden, sind ihnen bekannt und die Kinder gewinnen somit einen besseren Bezug zu der Aufgabe, was wiederum ihr Interesse fördert und bei der Bearbeitung hilfreich sein kann (vgl. ebd., S. 7).
2.3.5 Kompetenzförderung
Ein großer Vorteil der Fermiaufgaben liegt außerdem darin, dass sie nahezu alle Kompetenzbereiche der Bildungsstandards abdecken. Dazu zählen sowohl die prozessbezogenen als auch die inhaltsbezogenen Kompetenzen. Auf diese wird in den nächsten Abschnitten genauer eingegangen.
2.3.5.1 Prozessbezogene Kompetenzen
Bei der Bearbeitung von guten Fermiaufgaben werden die vier folgenden prozessbezogenen Kompetenzen angesprochen und erworben.
2.3.5.1.1 Problemlösen/kreativ sein
Fermiaufgaben stellen Sachaufgaben dar, bei denen ein Problem gelöst werden muss. Da keine Zahlenwerte in der Aufgabenstellung vorgegeben sind, müssen die Schüler Vermutungen anstellen und die Zusammenhänge zwischen der Ausgangssituation und ihrem Ziel erkennen. Die Aufgaben müssen in einzelne Zwischenschritte unterteilt werden, wobei es wichtig ist, dass die Kinder die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Teilaufgaben nicht vergessen. All diese Vorgehensweisen werden im Lehrplan unter der Kompetenz „Problemlösen/kreativ sein“ zusammengefasst (vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2008, S. 59; vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2004, S. 7).
2.3.5.1.2 Modellieren
Auch der Kompetenzbereich des Modellierens wird beim Lösen von Fermiaufgaben gefördert. Um an die Lösung zu gelangen, muss die gegebene Fermiaufgabe in ein mathematisches Modell übertragen werden. Anschließend wird die Aufgabe mithilfe der bereits erworbenen mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten berechnet und die Lösung muss im nächsten Schritt auf die ursprüngliche Sachsituation zurückgeführt werden. Hierbei ist der Bezug zwischen Realität und Mathematik sehr wichtig, welcher bei dem Lösen von Fermiaufgaben gefördert wird (vgl. ebd., S. 59; ebd., S. 8).
2.3.5.1.3 Argumentieren
Auch das Argumentieren kann beim Lösen von Fermiaufgaben ausgebildet werden. Da Fermiaufgaben verschiedene Rechenwege und Ergebnisse zulassen, ist es besonders wichtig, dass die Schüler ihre eigenen Gedanken begründet darstellen können. Sobald die Aufgabe mit den Mitschülern diskutiert wird, Vermutungen anhand von Beispielen belegt werden und mathematische Zusammenhänge erklärt werden, resultiert eine Förderung der Kompetenz des Argumentierens (vgl. ebd., S. 60; ebd., S. 8).
2.3.5.1.4 Darstellen/Kommunizieren
Die Aufgaben werden vorrangig in Gruppenarbeit gelöst, daher ist das Kommunizieren über mathematische Gegenstände automatisch inbegriffen. Um die Aufgabe zu lösen, müssen sich die Schüler über ihre Vorgehensweise austauschen, was sowohl mündlich als auch schriftlich geschehen kann, wodurch dieser Kompetenzbereich gefördert wird (vgl. ebd., S. 60; ebd., S. 8).
2.3.5.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
Im Folgenden wird auf die inhaltsbezogenen Kompetenzen eingegangen, welche bei der Bearbeitung von Fermiaufgaben gefördert werden können.
2.3.5.2.1 Zahlen und Operationen
Für die Berechnung von Fermiaufgaben werden die Zahl- und Operationsvorstellungen der Kinder benötigt. Hierbei werden verschiedene Rechenoperationen miteinander verknüpft. Zum Lösen der Aufgaben hilft sowohl das überschlagende Rechnen, als auch Schätzungen und Durchschnittswerte, welche die Schüler rechnend ermitteln müssen. Die Zahlvorstellungen werden durchgehend gefördert und auch das Zahlenrechnen wird ausgeweitet (vgl. ebd., S. 61-63; ebd., S. 9).
2.3.5.2.2 Raum und Form
Auch dieser Kompetenzbereich kann von Fermiaufgaben abgedeckt werden. Häufig wird beim Lösen der Aufgabe das Wissen über bestimmte Flächen und Rauminhalte benötigt. Besitzen die Kinder noch keine realistische Raumvorstellung, wird diese bei der Bearbeitung gefördert. Je nach Sachverhalt erlernen die Schüler demnach durch Einbezug von Fermiaufgaben den Umgang mit Räumen und Formen (vgl. ebd., S. 63-65; ebd., S. 10).
2.3.5.2.3 Größen und Messen
Viele Fermiaufgaben thematisieren den Umgang mit unterschiedlichen Größen. Häufig werden realistische Vorstellungen von Längen, Gewichten und Größen benötigt. Durch die Verwendung dieser Größen werden die Vorstellungen gleichzeitig gefördert. Beim Lösen der Aufgaben entwickeln die Schüler eine Vorstellung von verschiedenen Größeneinheiten und wie diese in ihrer Umwelt vorkommen (vgl. ebd., S. 65f.; ebd., S. 11).
Es wird deutlich, dass durch die Bearbeitung von Fermiaufgaben nahezu alle Kompetenzbereiche der prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen gefördert werden können. Düringer fasst das Potenzial des Aufgabenformates treffend zusammen:
Fermi-Aufgaben leisten damit einen vielfältigen Beitrag zu einem aktuellen Mathematikunterricht, der sich an den geltenden Bildungsstandards orientiert und gleichzeitig Konsequenzen aus den Ergebnissen verschiedener internationaler Vergleichsstudien zieht, die einen vermehrten Einsatz von offenen und lebensrelevanten Aufgaben fordern. (Düringer 2014, S.6)
3 Analyse der Fahrradaufgabe
Im folgenden Kapitel wird die Fermiaufgabe, welche den Kindern dieser Untersuchung gestellt wurde, in Bezug auf die oben genannten Kriterien untersucht. Es soll herausgefunden werden, welche Kriterien erfüllt werden und ob es sich demnach um eine gute Fermiaufgabe handelt.
Die Aufgabe lautet:
„Wie viele Fahrräder besitzen die Familien aller Schülerinnen und Schüler deiner Schuler zusammen?“ (Büchter et al. 2010, S. 58)
3.1 Musterlösung
Eine Musterlösung für die Fermiaufgabe könnte so aussehen:
1. Wie viele Schüler sind auf meiner Schule?
Dafür erhebe ich den Mittelwert von 25 Schülern pro Klasse. Die Geisweider Grundschule hat acht Klassen. Also muss 8×25=200 gerechnet werden. Es sind also 200 Schüler auf der Schule.
2. Wie viele Menschen sind durchschnittlich in einer Familie?
Da es viele Familien gibt, die lediglich drei Personen enthalten, allerdings auch viele mit fünf oder mehr Personen, gehe ich von einem Mittelwert von vier Personen pro Familie aus.
3. Wie viele Personen haben davon ein Fahrrad?
Ich gehe davon aus, dass jede Person in der Familie ein Fahrrad besitzt und komme daher auf vier Fahrräder pro Familie.
4. Wie viele Fahrräder haben die Familien aller Schüler einer Schule zusammen?
Dafür werden meine vorherigen Daten miteinander multipliziert und ich rechne: 200×4=800
Die Familien aller Schüler meiner Schule haben insgesamt 800 Fahrräder.
3.2 Offenheit der Aufgabe
Das Kriterium der Offenheit trifft auf die verwendete Fermiaufgabe zu, da beim Lesen der Frage kein eindeutiger Lösungsweg zu erkennen ist. Wie die Aufgabe zu bearbeiten ist, wird nicht vorgegeben und jeder Problemlöser darf eine eigene Vorgehensweise wählen. Es besteht die Möglichkeit die Zahlen lediglich zu schätzen, so wie es in der Musterlösung gemacht wurde. Die Kinder dürfen allerdings auch im Sekretariat nachfragen, wie viele Schüler die Schule besuchen. Es ist außerdem erlaubt, die Klassengrößen bei den jeweiligen Klassen zu erfragen und die Gesamtzahl daraus zu errechnen beziehungsweise einen Mittelwert zu bilden. Auch für die Größe der Familien können die Schüler eine Umfrage in den Klassen machen und daraus einen Mittelwert bilden oder einige Stichproben nehmen und daran anlehnend einen realistischen Wert bilden. Auch die Reihenfolge der Teilschritte ist nicht vorgegeben. Die Problemlöser können frei entscheiden, welche Werte sie zuerst erheben wollen und mit welchem Lösungsweg sie am besten das Ergebnis erhalten. Zusätzlich gibt es nicht nur ein einziges richtiges Ergebnis, sondern solange die erhobenen Werte plausibel begründet sind, ist jedes Ergebnis richtig. Je nachdem mit welchen Zahlen gerechnet wird, weichen die Lösungen voneinander ab. Es wäre beispielsweise auch realistisch, dass von 250 Schülern ausgegangen wird und auch die Anzahl von Fahrrädern in einer Familie kann zwischen zwei und sechs schwanken. Somit verändert sich das Ergebnis und bleibt dennoch korrekt, soweit es sinnvoll begründet wird.
3.3 Förderung der Selbstständigkeit
Da in der Aufgabenstellung keine konkreten Zahlen und Angaben enthalten sind, müssen die Schüler selbstständig Entscheidungen hinsichtlich der benötigten Daten treffen. Dadurch lernen die Kinder mit Unsicherheit umzugehen und eigenständig Lösungen zu finden. Sie müssen entscheiden, von wie vielen Personen pro Familie sie ausgehen wollen, wie viele Schüler auf ihrer Schule sind ob alle Personen einer Familie ein Fahrrad besitzen. Die Zahlwerte werden nicht wie bei anderen Aufgabenformaten vorgegeben und dadurch entsteht eine Chance zur Förderung von Selbstständigkeit.
3.4 Strategisch arbeiten
Wie in der Musterlösung zu sehen ist, muss das Problem in verschiedene Teilaufgaben gegliedert werden, um das Ergebnis errechnen zu können. Die Schüler müssen also strategisch vorgehen, um die Teilfragen herauszuarbeiten und zu lösen. Bei der verwendeten Fermiaufgabe müssen die Anzahl der Kinder auf der Schule und die Anzahl der Fahrräder in einer Familie ermittelt und so miteinander verknüpft werden, dass eine sinnvolle Lösung entsteht.
3.5 Alltagsbezug
Auch der Alltagsbezug ist bei der Fahrradaufgabe gegeben. Es werden Gegenstände aus dem alltäglichen Leben der Kinder einbezogen, wodurch ein authentischer Bezug zur Mathematik gegeben ist. Einige Kinder kommen mit dem Fahrrad zur Schule und fahren gerne Rad, wodurch ihr Interesse zum Lösen der Aufgabe gefördert werden kann. Auch andere Faktoren, wie die Familien und die Größe der Schule stammen aus dem Umfeld der Kinder, womit eine Verknüpfung zum Alltag hergestellt wird. Insgesamt hilft dieser Bezug die Verbindung zwischen Mathematik und ihrer Alltagswelt zu entdecken und das Interesse an Mathematik zu steigern.
3.6 Kompetenzförderung
Im Folgenden werden die Kompetenzen beschrieben, welche von der Fahrradaufgabe angesprochen und gefördert werden.
3.6.1 Prozessbezogene Kompetenzen
3.6.1.1 Problemlösen/Kreativ sein
Mit der Frage „Wie viele Fahrräder besitzen die Familien aller Schülerinnen und Schüler deiner Schule zusammen“ liegt den Schülern eine Problemstellung vor, welche bearbeitet werden muss. Hierzu müssen vorerst Vermutungen zu den verschiedenen Teilergebnissen angestellt werden. Die Problemlöser müssen die Anzahl aller Schüler der Schule ermitteln, außerdem müssen sie sich überlegen, wie viele Personen durchschnittlich zu einer Familie gehören und wie viele Fahrräder demnach in einer Familie vorhanden sind. Diese erhobenen Daten müssen die Kinder anschließend in Zusammenhang miteinander bringen und herausfinden, wie sich die Zahlen miteinander verknüpfen lassen, um auf das endgültige Ergebnis zu kommen. Im Laufe dieser Schritte müssen sie immer wieder ihre Zwischenergebnisse reflektieren und überprüfen, ob die Daten realistisch sind. Kommen sie zwischenzeitlich auf den Entschluss, dass ihre Zahlen nicht richtig sein können, müssen sie ihre Daten variieren und neu übertragen. Demnach schult die Aufgabe die Kompetenz des Problemlösens und der Kreativität (vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2008, S. 59; Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2004, S. 7).
3.6.1.2 Modellieren
Auch die Kompetenz des Modellierens wird beim Lösen der Aufgabe gefördert. Das Modellieren ist ein unverzichtbarer Vorgang beim Lösen von Sachaufgaben und somit auch beim Lösen dieser Fermiaufgabe. Die Kinder müssen die gegebene Sachsituation aus der realen Welt erfassen und verstehen. Ihnen muss bewusst sein, dass sie die Anzahl der Schüler ihrer Schule, die Größe einer Familie und die Anzahl von Fahrrädern in einer Familie ermitteln müssen. Im nächsten Schritt müssen sie diese Daten in die Mathematik übertragen, indem sie die Zahlen miteinander verknüpfen und durch Rechnungen zu einem Ergebnis gelangen. Das Ergebnis müssen sie erneut auf den Rest der Welt beziehen, indem sie sich bewusst machen, was dieses Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung aussagt. In diesem Fall müssen die Kinder die resultierende Zahl als Anzahl der Fahrräder aller Familien der Schüler ihrer Schule interpretieren (vgl. ebd., S. 59; ebd., S. 8).
3.6.1.3 Argumentieren
Da die Schüler die Fahrradaufgabe in Dreier- oder Vierergruppen gemeinsam lösen, müssen sie ihre Vermutungen begründen und ihre Rechenwege für die anderen Gruppenmitglieder nachvollziehbar erklären. Sie überprüfen ihre Aussagen sowie ihre Lösungen und hinterfragen diese kritisch. Die Schüler bestätigen ihre Aussagen an Beispielen, in diesem Fall können sie sich auf ihre eigenen Familien oder die von Freunden und Mitschülern beziehen. Ausgehend von diesen konkreten Beispielen sollen sie allgemeine Überlegungen entwickeln, mit denen sie weiterarbeiten können. Es geht außerdem nicht nur darum, die eigenen Überlegungen begründet darzulegen, sondern auch die Ansätze der anderen Kinder nachvollziehen und verstehen zu können. Da die Fahrradaufgabe nicht nur eine Lösung zulässt, müssen die Schüler bei Unterschieden ihre Daten erläutern und argumentieren, warum sie bestimmte Werte verwendet haben (vgl. ebd., S. 60; ebd., S. 8).
3.6.1.4 Darstellen/Kommunizieren
Auch diese Kompetenz wird durch die Gruppenarbeit beim Lösen der Fahrradaufgabe gefördert. Da die Kinder zusammenarbeiten, tauschen sie sich über ihre Gedanken aus und helfen sich gegenseitig. Alle Kinder können zusammentragen, wie viele Personen zu ihrer Familie gehören und wie viele Fahrräder sie besitzen. Mit Hilfe dieser verschiedenen Werte erhalten sie Anhaltspunkte, um einen Mittelwert gemeinsam zu bestimmen. Außerdem sollen die Schüler ihren Rechenweg auf dem Arbeitsblatt schriftlich festhalten, wobei sie ihre Vorgehensweise nachvollziehbar darstellen und mathematische Zeichen sachgerecht verwenden sollen (vgl. ebd., S. 60; ebd., S. 8).
3.6.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
Bei der Fahrradaufgabe fallen zwei inhaltsbezogene Kompetenzen weg, da sie sich weder mit dem Kompetenzbereich „Raum und Form“ noch mit „Größen und Messen“ beschäftigt. Bei der Aufgabe geht es lediglich um die Anzahl von Fahrrädern und die Ermittlung von Personen, wodurch der Bereich „Zahlen und Operationen“ geschult wird.
3.6.2.1 Zahlen und Operationen
Zum Lösen der Aufgabe benötigen die Schüler realistische Zahlvorstellungen und müssen ihre mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten nutzen, um zu einem Ergebnis zu gelangen. Ihnen muss bewusst sein, dass 1000 Schüler eine unrealistische Zahl für eine kleine Grundschule ist und ihnen sollte die ungefähre Größe einer durchschnittlichen Familie bekannt sein, beziehungsweise sollten sie diese logisch erschließen können. Dabei kann ihnen das überschlagende Rechnen, aber auch Schätzungen und das Ermitteln von Durchschnittswerten behilflich sein. Zusätzlich werden die Operationsvorstellungen benötigt und geschult, da sie beim Bearbeiten der Teilaufgaben wissen müssen, wann welche Rechenoperation angewendet werden muss. Besonders im letzten Teil, wenn die Schüleranzahl ihrer Schule mit der Anzahl der Fahrräder einer Familie verknüpft wird, muss ihnen bewusst sein, dass sie das Ergebnis beispielsweise erreichen, indem sie die beiden Zahlen miteinander multiplizieren. Somit wird mit der Fahrradaufgabe die Zahl- und Operationsvorstellung der Schüler gefördert, außerdem vertiefen sie das Zahlenrechnen (vgl. ebd., S. 61-63; ebd., S. 9).
4 Auswertung der Schülerbearbeitungen
4.1 Methodische Umsetzung
Die Fermiaufgabe wurde in einer dritten Klasse einer Grundschule in Siegen-Geisweid durchgeführt. Nach Rücksprache mit der Lehrerin ist die Klasse in Dreier- und Vierergruppen eingeteilt worden, wodurch sich sieben Gruppen ergaben. Die Gruppen sind einzeln mit mir in einen Raum gegangen, um die Aufgabe selbstständig zu lösen. Dort saßen sich die Kinder an einem Gruppentisch gegenüber und bekamen ein Aufgabenblatt auf dem sie ihre gemeinsame Rechnung festhalten sollten. Ursprünglich sollte eine Fermiaufgabe gelöst werden, welche sich mit der Kilometeranzahl der Schulwege der Schüler beschäftigt. Nach Absprache mit der Lehrkraft, wurde allerdings eine weniger komplexe Aufgabe ausgewählt, da die Kinder noch keine Erfahrungen mit Fermiaufgaben gemacht haben und sie laut Lehrerin im höheren Zahlenraum und beim Rechnen mit Kilometern noch nicht geübt sind. Die Wahl der leichteren Aufgabe ist mit dem Ziel zu begründen, allen Kindern die Möglichkeit zu geben diese Aufgabe eigenständig lösen zu können und langsam an das Aufgabenformat der Fermiaufgaben herangeführt zu werden. Die Gruppen wurden so eingeteilt, dass das Leistungsniveau der Schüler gemischt war und somit in jeder Gruppe stärkere und schwächere Mathematikschüler vertreten waren.
Um die Lösungsstrategien und Rechenwege der Kinder besser nachvollziehen und auswerten zu können, wurden die Gruppenphasen gefilmt. Bevor die Schüler die Aufgabe bearbeiteten, wurden ihnen die Merkmale von Fermiaufgaben mitgeteilt, um eine Überforderung mit der Offenheit des Aufgabenformates vorzubeugen. Sie wurden darauf aufmerksam gemacht, dass sie schätzen und überschlagen dürfen und dass es bei dieser Aufgabe nicht nur ein richtiges Ergebnis gibt, sondern viele Lösungen richtig sein können, solange die Rechnung und Begründung plausibel dargelegt wird. Außerdem wurden sie darüber aufgeklärt, dass jegliche Hilfsmittel, die ihnen in den Sinn kommen, benutzt werden dürfen und dass sie die Aufgabe gemeinsam als Gruppe lösen sollen.
Insgesamt waren die Bearbeitungsprozesse der sieben Gruppen sehr unterschiedlich. Besonders auffällig war die Abweichung der Selbstständigkeit der Schüler, weshalb die Gruppen für die Analyse in drei Kategorien eingeordnet wurden. Es gab drei Gruppen, die auf Anhieb selbstständig einen eigenen Ansatz zum Lösen der Aufgabe gefunden haben. Meine Hilfe beim Bearbeiten der Aufgabe wurde nicht benötigt (vgl. Anhang 7.1.1; 7.1.4: 7.1.5). Zwei Gruppen haben weitgehend einen eigenen Ansatz gefunden, benötigten allerdings zum vollständigen Lösen der Aufgabe ein wenig Unterstützung (vgl. Anhang 7.1.2; 7.1.6). Die anderen beiden Gruppen brauchten viele lenkende Tipps und sind nicht selbstständig auf ein Ergebnis gekommen. Sie hatten keine Idee, mit welchen Teilschritten sie das Problem lösen können (vgl. Anhang 7.1.3; 7,1.7).
4.2 Zusammenschau der Bearbeitungen
Im Folgenden wird aus jeder Gruppenkategorie der Bearbeitungsprozess einer Gruppe beschrieben und analysiert. Die Analyse wird anhand ausgewählter Kriterien durchgeführt. Einerseits werden die oben angesprochenen Kompetenzen im Fokus stehen, wobei herausgefunden werden soll, welche prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen die Schüler beherrschen und wie diese durch die Fermiaufgabe weitergehend gefördert werden (vgl. Kapitel 2.7).
Außerdem wird die Bearbeitung den vier Phasen nach Polya zugeordnet. Diese Phasen werden im Folgenden kurz erläutert:
1. „Verstehen der Aufgabe“: Hierbei geht es darum, dass die Aufgabenstellung verstanden wird und die Schüler in der Lage sind den Kern des Problems herauszufiltern (vgl. Polya 1995, S. 19-22).
2. „Ausdenken eines Planes“: Ein Plan wird entworfen, um die unbekannten Daten der Aufgabe herauszufinden und er beinhaltet die Rechnungen, Umformungen und Herangehensweisen für die Lösung des Problems. Die Entstehung des Plans ist bei allen Individuen unterschiedlich. Bei einigen entsteht die nötige Idee sofort, andere benötigen eine lange Überlegungszeit und erfahren erst später eine Art Geistesblitz (vgl. ebd., S.22-26).
3. „Ausführen des Planes“: Im Anschluss daran wird der Plan schrittweise ausgeführt. Hinzu kommt das Überprüfen der einzelnen Schritte, um die Richtigkeit der Lösung zu gewährleisten (vgl. ebd., S. 26-28).
4. „Rückschau“: Der letzte Schritt behandelt die Rückschau, in der sowohl das Ergebnis als auch der Lösungsweg reflektiert und überprüft werden. Der Schüler soll die Lösung nachvollziehen und auftretende Fehler verbessern können (vgl. ebd. 1995, S. 28-33).
Eine Aufteilung der Bearbeitungswege in die beschriebenen Phasen soll dabei helfen, die Gedankengänge und Vorgehensweisen der Schüler zu strukturieren und besser nachvollziehen zu können.
Im weiteren Verlauf werden die Bearbeitungsformen der Schüler hinsichtlich auftretender Rechenfehler, der Kooperation innerhalb der Gruppe und einer angemessenen Lösung analysiert.
[...]
1 Bei Personenbezeichnungen werden aus Gründen der besseren Lesbarkeit im Text keine geschlechtsspezifischen Unterscheidungen vorgenommen. „Schüler“, „Lehrer“ und andere Bezeichnungen beinhalten sowohl männliche als auch weibliche Vertreter dieser Gruppe.