Die numerische Mathematik ist heutzutage ein unverzichtbares Gebiet, das sich mit der Entwicklung von Algorithmen für verschiedenste mathematische Probleme befasst. Ein wichtiger Teilbereich beschäftigt sich mit der Ermittlung einer stetigen Funktion zu gegebenen Datenpunkten, wie sie sich aus Messungen oder technischen Anwendungen ergeben können. In der Schule sprechen wir anschaulich von "Steckbriefaufgaben": Gesucht wird meistens eine stetige Funktion, die zu einer Problemstellung passt.
Mit dieser Arbeit soll beispielhaft der mathematische Hintergrund derartiger Methoden gezeigt werden. Welche Funktion passt am besten, um ein Problem mathematisch zu beschreiben? Nicht selten – und das wird im Folgenden deutlich werden – gibt es mehrere Möglichkeiten, die sich in ihrer Genauigkeit und im Rechenaufwand unterscheiden. Mögliche Gründe für ein mathematisches Problem sind: Man hat den Fall, dass eine vorhandene Funktion f (x)...
Inhaltsverzeichnis
- Motivation und Einführung
- Mathematische Modelle
- Approximation
- Interpolation
- Polynominterpolation
- Spline-Interpolation
- Splinefunktionen
- Allgemeine Definition
- Splines ersten Grades
- Splines zweiten Grades
- Splines dritten Grades
- Lösung des Problems
- Anwendungsbereiche
- Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Facharbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung eines Achterbahnschienenverlaufs durch eine stetige Funktion. Dabei wird die Anwendung verschiedener Interpolationsmethoden, insbesondere der Spline-Interpolation, untersucht.
- Stetige Funktionen zur Modellierung von Verläufen
- Approximation und Interpolation als Methoden zur Funktionsbestimmung
- Polynominterpolation und ihre Grenzen bei komplexen Verläufen
- Spline-Interpolation als effizientes Verfahren zur genauen Darstellung von Verläufen
- Anwendung der Spline-Interpolation zur Modellierung von Achterbahnschienen
Zusammenfassung der Kapitel
- Motivation und Einführung: Dieses Kapitel erläutert die Motivation hinter der Facharbeit und stellt den mathematischen Hintergrund von Interpolationsmethoden dar. Es wird die Problematik der Funktionsbestimmung anhand von Datenpunkten aus Messungen oder technischen Anwendungen beleuchtet.
- Mathematische Modelle: Dieses Kapitel stellt die verschiedenen Methoden zur Approximation und Interpolation von Datenpunkten vor. Es werden die Vor- und Nachteile der verschiedenen Methoden erläutert, insbesondere die Polynominterpolation und die Spline-Interpolation.
- Splinefunktionen: Dieses Kapitel behandelt die verschiedenen Arten von Splinefunktionen, von Splines ersten Grades bis zu Splines dritten Grades. Es werden die Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten der jeweiligen Spline-Typen beschrieben.
- Lösung des Problems: Dieses Kapitel zeigt, wie die Spline-Interpolation konkret zur Modellierung eines Achterbahnschienenverlaufs verwendet werden kann. Es werden die Schritte zur Bestimmung der Splinefunktion und die Ergebnisse der Modellierung präsentiert.
- Anwendungsbereiche: Dieses Kapitel diskutiert die vielfältigen Anwendungsbereiche von Spline-Interpolation in verschiedenen Disziplinen, wie z.B. in der technischen Modellierung, der Computergrafik oder der Physik.
Schlüsselwörter
Spline-Interpolation, Polynominterpolation, Approximation, Interpolation, Achterbahnschienenverlauf, stetige Funktion, mathematische Modellierung, numerische Mathematik, Datenpunkte.
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- Anonym (Autor), 2017, Spline-Interpolation. Wie kann ein Achterbahnschienenverlauf mit Hilfe von kubischen Splines beschrieben werden?, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/520692
