Fuzzy Mengenlehre. Eine Einführung

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Klassische Mengenlehre

3. Fuzzy-Mengenlehre
Entwicklungsgeschichte der Fuzzy-Mengenlehre
Rechenoperationen mit unscharfen Mengen
Unscharfe Relationen
L-R-Fuzzy-Zahlen

4. Praktische Anwendungen der Fuzzy-Mengenlehre

5. Fazit und Prognose für die Zukunft

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

Viele technische und nichttechnische Systeme in der realen Welt lassen sich auf den ersten Blick nur vage und ungenau beschreiben. Aber auch Systeme, welche man mathematisch mit Formeln und Gesetzen wiederge­ben kann, entsprechen oft, nur unter vereinfachten Annahmen, den tatsäch­lichen Verhältnissen. Oftmals steht außerdem der Aufwand zur Erstellung und Verifizierung der mathematischen Modelle in keinem Verhältnis zum erzielbaren Nutzen, da aufwendige Modellierungen notwendig sind. Ein ma­thematisches Modell täuscht meistens eine Genauigkeit auf einige Dezimal­stellen vor, die in Realität weder vorhanden noch gebraucht wird. Außerdem lassen sich nicht alle Klassen von Objekten mittels der klassischen Boole'schen Logik darstellen. In all diesen Fällen liefert die Fuzzy-Theorie zwar nicht das theoretisch exakte Ergebnis, dafür jedoch schnell und ein­fach eine gute Lösung.¹

Außerdem ist die Fuzzy-Logik gut geeignet um zwischen unscharfen For­mulierungen von Menschen wie: „Dreh bitte die Heizung etwas höher“ oder „Fahr bitte etwas langsamer“ und der Umsetzung von technischen Syste­men zu übersetzen.

Aufgrund der Relevanz für viele Aspekte des täglichen Lebens soll in die­sem Assignment ein Einblick in die Fuzzy-Mengenlehre gegeben werden, die der Fuzzy-Logik zugrunde liegt und untersucht werden, wie die Fuzzy- Mengenlehre bereits angewendet wird. Abschließend wird der Versuch un­ternommen, abzuschätzen, wie sie in Zukunft verwendet werden könnte.

2. Klassische Mengenlehre

Die klassische Mengenlehre geht auf den deutschen Mathematiker Georg Cantor zurück, der im Jahre 1874 die ersten Abhandlungen zu dem Thema veröffentlichte. Heutzutage definieren wir den Begriff der Menge wie folgt: “Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschie­denen Objekten (Elementen) mit gemeinsamen Eigenschaften unserer An­schauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“²

In der klassischen Mengenlehre ist ein Element also entweder Teil oder Menge oder nicht. Hierbei spricht man von „scharfen Mengen“. Die Anzahl an Elementen einer Menge kann dabei von 0 bis unendlich reichen. Die Nullmenge, in der kein einziges Element vorhanden ist, bildet dabei eine Spezialmenge.³ Eine weitere Spezialmenge bildet die Universalmenge, in der alle Elemente der Grundmenge vereint sind.^{4 5}

Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die Notation in der Men­genlehre.

Tabelle 1 Symbole der Mengenlehre5

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Fuzzy-Mengenlehre

Um reale Probleme zu lösen, ist ein Ansatz auf Basis des binären Wahr­heitssystems oftmals nicht zielführend. Häufig muss mit ungenauen Infor­mationen und nicht eindeutigen Tatsachen bei diversen Anwendungsfel­dern Entscheidungen getroffen werden. Hierbei kann die Fuzzy-Logik un- terstützen.⁶

Im Gegensatz zu der strikten Einteilung der klassischen Mengenlehre nach klarer Zugehörigkeit zu einer Menge oder nicht, arbeitet die Fuzzy-Mengen­lehre mit „unscharfen Mengen“. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass eine klare und trennscharfe Zuordnung der Mengenelemente nicht mehr möglich ist. Anstelle dessen werden sogenannte Zugehörigkeitsfunktionen verwen­det, die angeben zu welchem Grad p zwischen 0 und 1 (0 < p(x) > 1) ein Element einer bestimmten Menge angehört. Dies wird als Elastizität des Wahrheitswertes bezeichnet. Die unscharfe Menge Ä wird über die Zuge­hörigkeitsfunktion wird wie folgt definiert:⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Prinzipiell ist jeder denkbare Verlauf einer Zugehörigkeitsfunktion denkbar.

In Abbildung 1 sind die gängigsten Funktionsverläufe dargestellt.⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 Mögliche Verlaufsformen von Zugehörigkeitsfunktionen von Fuzzy-Mengen⁹

Für die oben genannten Funktionsgraphen gibt es viele Beispiele aus dem täglichen Leben. Bei dem Graphen oben links, könnte man etwa an die Fuzzy-Menge „alter Mann“ denken. Für den Verlauf oben rechts in der Ab­bildung XX, wäre ein denkbares Beispiel „preiswertes Angebot“. Für die tri­anguläre Fuzzy-Meng unten links wäre das Beispiel „Zahl ungefähr gleich 10“ denkbar. Eine mögliche Fuzzy-Menge mit trapezförmigem Verlauf ist „angenehme Raumtemperatur“.

Wie auch bei der klassischen Mengenlehre gelten bei der Fuzzy-Mengen- lehre die gleichen Eigenschaften in Bezug auf Mengenoperationen und Mengenabhängigkeiten. Diese umfassen beispielsweise die Assoziativität, Kommutativität, Idempotenz, Distributivität, Transitivität und die De Mor- gan'sche Regel.¹⁰

Entwicklungsgeschichte der Fuzzy-Mengenlehre

Die ersten Grundlagen zum Thema Fuzzy-Mengenlehre stammen aus dem 20. Jahrhundert. Der polnische Philosoph, Mathematiker und Logiker Jan Lukasiewicz veröffentlichte zwischen 1920 und 1930 die ersten Arbeiten zu einer mehrwertigen Logik. Er hat unter anderem den dritten Wahrheitswert „möglich“ eingeführt.¹¹

Der nächste wichtige Meilenstein auf dem Gebiet mehrwertiger Logik waren die Arbeiten von Max Black. Er hat Ende der 1930er-Jahre die sogenannten Konsistenzprofile vorgeschlagen. Die Konsistenzprofile dienen zur Be­schreibung von ungenauen Symbolen. Diese Konsistenzprofile können aus heutiger Sicht als Vorversion deren später etablierten Fuzzy-Zugehörig- keitsfunktionen betrachtet werden. Weitere relevante Beiträge auf diesem Gebiet kamen bis in die 1960er-Jahren unter anderem von H. Weyl, A. Ka­plan, H. Schott und K. Menger. Die eigentliche Theorie der Fuzzy-Mengen (Fuzzy sets), die eine Grundlage für die anschließend etablierte Fuzzy-Lo- gik darstellt, wurde von Lotfi A. Zadeh eingeführt. Er hat 1965 seinen be­rühmten Aufsatz „Fuzzy Sets“ veröffentlicht. Die Theorie der Fuzzy-Sets stellt einen Ansatz dar, unscharfe bzw. nicht exakte Klassen von Objekten zu beschreiben und somit deren Verarbeitung zu ermöglichen. Ausgehend von dieser Theorie wurde das Gebiet in den letzten 50 Jahren intensiv er­forscht.¹²

Rechenoperationen mit unscharfen Mengen

Wie auch in der klassischen Mengenlehre existieren in der Fuzzy-Mengen- lehre verschiedene Rechenoperationen.¹³

Durchschnitt

Der Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen ist dabei als eine Art Minimumope­rator zu verstehen. Der Durchschnitt der Mengen M nN, die durch ihre Zu­gehörigkeitsfunktionen ^^(x)und ^(x) gegeben sind, berechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vereinigung

Die Vereinigung von zwei Mengen MuN wird durch das Maximum der Zu­gehörigkeitsfunktionen bestimmt und wie folgt berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Komplement

Das Komplement einer unscharfen Menge entspricht der unscharfen Nega­tion. Es lässt sich formal wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 ist die Vereinigung, der Durchschnitt und das Komplement von Fuzzy-Mengen graphisch dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ (Styczynski, Rudion, & Naumann, 2017, S. 90f)

² (Walter, 2009, S. 3)

³ (Walter, Einführung in die Analysis, Band 2, 2007, S. 145)

⁴ (Sommerfeld, 2013, S. 44)

⁵ (Kemnitz & Kemnitz, 2015, S. 11ff)

⁶ (Styczynski, Rudion, & Naumann, 2017, S. 95ff)

⁷ (Styczynski, Rudion, & Naumann, 2017, S. 96)

⁸ (Wiedemann, 2013, S. 96ff)

⁹ (Wiedemann, 2013, S. 97)

¹⁰ (Styczynski, Rudion, & Naumann, 2017, S. 101)

¹¹ (Blau, 2008)

¹² (Styczynski, Rudion, & Naumann, 2017, S. 86)

¹³ (Böhme, 2013, S. 33ff)