Bewertung von Caps und Floors

INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlegende Elemente des Zinsmarktes für die Bewertung von Caps und Floors
2.1 Zinssätze im Interbankhandel und risikolose Zinssätze
2.2 Tagzählungskonvention (Day-Count Convention)
2.3 Diskontierungsfunktion und Kassazinssätze (Spot Rates)
2.4 Terminzinssätze (Forward Rates).
2.5 Arten von Anleihen (Bonds)
2.6 Bestimmung von Zinsstrukturkurven

3 Theoretische Ansätze in der Bewertung von Caps und Floors
3.1 Caps und Floors
3.2 Das Black-Scholes-Merton-Modell
3.2.1. Grundlagen zum Black-Scholes-Merton-Modell
3.2.2. Das B/S-Modell
3.3 Das Black Modell und die Bewertungsformel von Black für Caps und Floors
3.4 Kritische Würdigung des Black Modells
3.5 Weiterführende Modelle zur Bewertung von Caps und Floors

4 Empirische Bewertung von Caps und Floors
4.1 Datenauswahl
4.2 Berechnungen und Ergebnisse für die Bewertung
4.3 Kritische Würdigung der empirischen Berechnungen zur Bewertung von Caps und Floors

5 Zusammenfassung

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Zeitliche Entwicklung des Drei-Monats EURIBOR- Zinssatzes im Zeitraum vom 1.1.2010 bis 20.6.2014

Abbildung 2: Risikoprofil Long Caplet und Short Caplet

Abbildung 3: Risikoprofil Long Floorlet und Short Floorlet

Abbildung 4: Flat- und Spotvolatilitäten in [%] aufgetragen über den Zeitraum in Jahren

Abbildung 5: Errechnete Spot Rate Kurve mit Laufzeit auf Abszisse und den Spot Rates in [%] auf der Ordinate

Abbildung 6: Berechnung von Cap-Werten in Basispunkten vom Nominalwert gegenüber der prozentualen Änderung der Cap Rates für unterschiedliche Laufzeiten

Abbildung 7: Berechnung von Cap-Werten in Basispunkten vom Nominalwert gegenüber der prozentualen Änderung der Cap Rates mit unterschiedliche Flat-Volatilitäten

Abbildung 8: Berechnung von Floor-Werten in Basispunkten vom Nominalwert gegenüber der prozentualen Änderung der Cap Rates für unterschiedliche Laufzeiten

Abbildung 9: Berechnung von Floor-Werten in Basispunkten vom Nominalwert gegenüber der prozentualen Änderung der Floor Rates mit unterschiedliche Flat-Volatilitäten

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Aus Euribor-Futures ermittelte Werte für Spot Rates 29 Aus Swap Rates ermittelte Werte für Spot Rates

Tabelle 2: Fiktiver Kontrakt für einen Cap

Tabelle 3: Ergebnisse aus den Berechnungen der einzelnen Caps mit unterschiedlichen Strikes und Volatilitäten

Tabelle 4: Fiktiver Kontrakt für einen Floor

Tabelle 5: Ergebnisse aus den Berechnungen der einzelnen

Tabelle 6: Floors mit unterschiedlichen Strikes und Volatilitäten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einleitung

In den vergangenen Jahrzehnten haben Finanzderivate und somit auch Caps und Floors ein immer größeres Wachstum erreicht und dadurch an Bedeutung gewonnen. Das ansteigende Handelsvolumen derivativer Fi­nanzierungsinstrumente und die im Juni 2007 erfolgte Finanzkrise, verdeut­lichen die große Bedeutung der Bewertung von Derivaten.¹ Somit erfreuen sich auch Caps und Floors in den letzten Jahren einer immer größeren Beliebtheit im Unternehmenssektor sowie auch im privaten Bereich zur Absicherung des Zinsrisikos. So können z.B. Unternehmen als Käufer ei­nes Caps (Long Cap) beim Übersteigen einer festgelegten Zinsobergrenze durch den Referenzzinssatz des Marktes gegen Zahlung einer Options­prämie das Recht erwerben, sich vom Verkäufer des Caps (Short Cap) den Differenzbetrag bezüglich des vereinbarten Nominalbetrages auszahlen zu lassen. Das Unternehmen kann somit den variablen Zinssatz einer Passiv­position gegenüber ungünstigen Zinsentwicklungen absichern, ohne dabei aber auf die Vorteile, in diesem Fall einer Zinssenkung, verzichten zu müs­sen. Analog dazu gibt ein Floor die Zinsuntergrenze vor, von der der Käufer eines Floors (Long Floor) vom Verkäufer des Floors (Short Floor) eine Ausgleichszahlung verlangen kann. Zinsabgrenzungsverträge werden von Unternehmen vorwiegend zur Absicherung variabel verzinslicher Positio­nen auf der Aktivseite gegen fallende Zinssätze und auf der Passivseite gegen steigende Zinssätze eingesetzt.² Caps und Floors können somit zur Absicherung, dem sogenannten Hedging verwendet werden, aber auch zur Spekulation genutzt werden, wenn beispielsweise auf steigende oder fal­lende Zinssätze spekuliert wird. Wie alle Optionen gehören Caps und Floors zu den bedingten Termingeschäften.³

Die hier vorliegende Arbeit befasst sich mit Zinsderivaten d.h. im speziellen mit der Bewertung von Caps und Floors. Es sollen die theoretischen Ansät­ze und die praktische Umsetzung zur Bewertung von Caps und Floors her­ausgearbeitet werden. Im Mittelpunkt der Betrachtung steht das Black- Scholes-Merton-Modell⁴ und die Erweiterung dieses Bewertungsmodells durch Black, welches in der Literatur als Black Modell5 bekannt wurde. Ur­sprünglich wurde das Black-Scholes-Merton-Modell, im Folgenden B/S- Modell genannt, zur Bewertung von europäischen Aktienoptionen entwi­ckelt und nicht für zinsabhängige Optionen wie Caps und Floors. Fischer Black entwickelte 1976 in seiner Arbeit eine Bewertungsformel, die auch für zinsabhänge Optionen wie Caps und Floors anwendbar ist.

Die Gliederung dieser Arbeit erfolgt in fünf Kapitel. Zunächst werden im zweiten Kapitel die Grundlagen für Standardprodukte, auch Plain Vanilla Produkte genannt, beschrieben. Das Ziel in diesem Kapitel ist es, die Grundlagen für die Bewertung von Caps und Floors zu erörtern. Dabei wird auch festgestellt, dass sich Caps und Floors auf die Grundbausteine des Zinsmarktes, die sogenannten Nullkuponanleihen, auch Zerobonds ge­nannt, zurückführen lassen.6 Vorab werden allerdings in diesem Kapitel einige grundlegende Begrifflichkeiten wie Zählkonventionen, Interbanken­handel und Over-the-Counter-Handel (OTC-Handel)7 beschrieben.

Im dritten Kapitel erfolgt zunächst eine grundlegende Beschreibung von Caps und Floors. Dabei wird kurz auf Auszahlungsprofile eingegangen. Danach wird das Standardmodell zur Optionsbewertung, das sogenannte B/S-Modell mit den Erweiterungen des Black Modells, eine Bewertungsme­thodik zur Bewertung von Caps und Floors vorgestellt und diese Bewer­tungsmethodik einer kritischen Würdigung unterzogen. Am Ende des Kapi­tels werden alternative Verfahren zur Bewertung von Caps und Floors vor­gestellt, bei welchen die Prämisse einer Lognormalverteilung von einem zukünftigen Zeitpunkt eines Zinssatzes, Anleihepreises oder anderer Vari­ablen aufgehoben wird.8 Auch die Veränderung des Zinssatzes im Zeitab­lauf wird mit dem Black Modell nicht beschrieben. Um diese Probleme zu kompensieren wird in dieser Arbeit kurz auf alternative Verfahren wie Short-Rate-Modelle und LIBOR-Market-Modelle verwiesen.

Im vierten Kapitel werden die aus dem dritten Kapitel gewonnenen Er­kenntnisse zur Bewertung von Caps und Floors im Rahmen einer empiri­schen Bewertung durch Berechnungen abgerundet. Zudem wird in diesem Kapitel die Datenauswahl der benötigten Variablen beschrieben und die Ergebnisse aus den dem Modell zugrundeliegenden Prämissen beleuchtet und kritisch gewürdigt, sowie auf die Schwierigkeiten bei der Berechnung von Caps und Floors eingegangen.

Im fünften Kapitel werden die Ergebnisse im Lichte der ursprünglichen Fra­gestellung gewürdigt und interpretiert.

2 Grundlegende Elemente des Zinsmarktes für die Bewertung von Caps und Floors

2.1 Zinssätze im Interbankhandel und risikolose Zinssätze

Caps und Floors sind vom Typ Optionen europäischen Stils deren Basis­wert (Underlying) ein Basiszins ist, wie z.B. der LIBOR- oder EURIBOR- Zinssatz. Für die Bewertung von Caps und Floors sind die wichtigsten Zinssätze diejenigen Zinsen, die Banken untereinander im Interbanken­handel miteinander vereinbaren. Die wichtigsten Vertreter dieser Zinssätze sind der LIBOR- und der EURIBOR-Zinssatz. Der LIBOR wird banktäglich als arithmetisches Mittel aus den (Brief-)Zinssätzen errechnet, zu denen eine Gruppe von Londoner Banken und anderen Finanzinstituten der Bri­tish Bankers‘ Association mit erstklassiger Bonität bereit sind, Geld an an­dere Banken zu verleihen. Die typischen Laufzeiten von LIBOR-Zinssätzen werden für ein, drei, sechs und zwölf Monate und in verschiedenen Wäh­rungen veröffentlicht. Der EURIBOR ist ein von der European Banking Fe­deration (FBE) und der Financal Markets Association (ACI) initiierter Zins­satz. Es handelt sich hier um den Zinssatz für Termingelder, mit dem sich Banken untereinander kurzfristig (bis zu zwölf Monate) Gelder in Euro aus- leihen.⁵ Eine große Anzahl europäischer und internationaler Banken mit wesentlicher Geschäftstätigkeit im Interbankengeschäft errechnen täglich ihre Briefsätze für Ein- bis Zwölfmonatsgelder im Interbankenhandel im Euroraum.⁶ Daraus ergibt sich der EURIBOR durch Bildung des arithmeti­schen Mittels nach Streichung der 15% höchsten und 15% niedrigsten Sät­ze. Es werden acht von der Laufzeit verschiedene EURIBOR-Zinssätze von einer Woche bis zu zwölf Monaten ermittelt. Die Veröffentlichung des EURIBOR erfolgt um elf Uhr mitteleuropäischer Zeit auf Reuters.

Der LIBOR- und der EURIBOR-Zinssatz sind wegen der, wenn auch gerin­gen Möglichkeit des Ausfalls der ausleihenden Partei nicht kreditrisikolos und daher stets höher als die entsprechenden Zinssätze auf Staatsanleihen (Government Bonds), da es für gewöhnlich nicht vorkommt, dass eine Re­gierung bei einer Verbindlichkeit in der eigenen Währung in Zahlungsver­zug gerät. hier werden die Zahlungsverpflichtungen stets durch Steuerein­nahmen als gedeckt angesehen.⁷ In der Praxis werden Interbankzinssätze als Referenzzinsätze in der Bewertung der grundlegenden Zinsderivate, wie es etwa Caps und Floors sind, eingesetzt.⁸ Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird der EURIBOR-Zinssatz verwendet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einlagen von Banken werden als Darlehen von diesen Banken angesehen, d.h. es müssen Anforderungen hinsichtlich deren Kreditwürdigkeit erfüllt werden, damit diese Banken Einlagen der anderen Banken zum Interban­kenzinssatz erhalten. Dazu muss ein AA-Rating von Banken vorgelegt werden.¹³ Für den Ausfall eines Kredits auf z.B. 3M-EURIBOR einer Bank mit AA-Rating in diesen drei Monaten besteht allerdings eine geringe Wahrscheinlichkeit. Unter normalen Umständen sind EURIBOR-Zinssätze jedoch nahezu risikolos.¹⁴ Zur Ausweitung der beispielsweise risikolosen EURIBOR-Zinssätze über ein Jahr hinaus werden von Händlern traditionell EURIBOR-Futures und Zinsswaps verwendet.¹⁵ D.h. für das kurze Ende der Zinsstrukturkurve werden üblicherweise rekursiv EURIBOR-Termin- geldraten verwendet.¹⁶ Die Zinssätze des mittleren Laufzeitbereichs bis zu 2 Jahren werden aus den aktuellen EURIBOR-Futures abgeleitet.¹⁷ Für den langen Laufzeitbereich ab einem Jahr bis zu zwei Jahren verwendet man Swap-Zinssätze.¹⁸ Das dazu verwendete Verfahren zur Ausweitung der EURIBOR-Zinssätze über ein Jahr hinaus, nennt man Bootstrapping.

2.2 Tagzählungskonvention (Day-Count Convention)

Für die Berechnung der Zinsen auf ein zu einem Zeitpunkt t angelegtes Kapital der Größe N (Nominal) mit einer Fälligkeit in T > t wird der annuali­sierte Zinssatz r(t,T) benötigt. Das ist der Zinssatz, der auf die einjährige Laufzeit umgerechnet wird. Zusätzlich benötigt man die Zinsmethode sowie die Zählkonvention (Day-Count Convention), welche die Berechnung der Verzinsungsperiode (T - t) festgelegt.¹⁹ Diese Zeitdifferenz zwischen den Zeitpunkten t und T wird mit x(t,T) bezeichnet. Die Day-Count Convention wird mit d/p angegeben, wobei d die Anzahl der Tage zwischen T - t angibt und p die Anzahl der Tage innerhalb eines Jahres. Es existieren mehrere Berechnungsmethoden, von denen nun drei Methoden vorgestellt werden.

Bei Act/365 werden die tatsächlichen Kalendertage zwischen t und T durch 365 geteilt, um den Zeittraum in Jahren zu erhalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Act/360 ist ein Jahr 360 Tage lang und führt zur selben Formel (1) mit 360 Tagen im Nenner. Mit 30/360 entspricht ein Monat generell 30 Tagen und ein Jahr ist 360 Tage lang. Die Berechnung ergibt sich aus^{20 21}

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3 Diskontierungsfunktion und Kassazinssätze (Spot Rates)

Alle Zinsprodukte und somit auch Caps und Floors lassen sich auf die Grundbausteine des Zinsmarktes, die sogenannten Nullkuponanleihen, im folgenden Zerobonds genannt, zurückführen.²² So erhält man den Preis B(t,r) eines Zerobond mit einem Nominal N = 1 und der Endfälligkeit in t e [t;T] zum Zeitpunkt t mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei r(tj) der zum Zeitpunkt t gültige stetige Zerozinssatz, im folgenden Spot Rate genannt, zur Fälligkeit in t e [t;T] ist. Für ein Nominal von N = 1 ist der Preis eines Zerobonds gleich mit der stetigen Diskontierungsfunkti- on,²³ d.h. es ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dieser Beziehung kann man die Spot Rate r(t,r) ermitteln mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei diskreter Verzinsung gilt für den diskreten Spot Rate rd(tj) von t bis t²⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Zusammenhang zwischen diskreten und stetigen Spot Rates ergibt sich aus den Gleichungen (3) und (6)²⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Menge aller r(t,x) mit i > t wird als Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt t bezeichnet.²⁶ Aus den Gleichungen (3) und (4) ist zu erkennen, dass man aus der Diskontierungsfunktion die Zinsstrukturkurve erhält und umgekehrt. Zinsstrukturkurven können drei unterschiedliche Grundformen aufweisen. Empirisch wird oft beobachtet, dass die Spot Rates mit wachsendem Anla­gezeitraum i - t steigen. Wenn dies der Fall ist, ergibt sich eine normale d.h. steigende Zinsstrukturkurve. Bei flacher Zinsstrukturkurve ist t - t gleich hoch. Wenn die Kassazinsen bei wachsendem Anlagezeitraum t - t immer kleiner werden, ist die Zinsstruktur invers bzw. fallend. In der Reali­tät können Zinsstrukturkurven sowohl normale als auch inverse Abschnitte haben, d.h. eine Mischung aus den drei Grundformen.

2.4 Terminzinssätze (Forward Rates)

Im vorhergehenden Abschnitt wurden Spotrates r(t,r) und Diskontierungs­faktoren df(t,r) betrachtet. Deren Gültigkeit ergibt sich für eine Anlageperio­de vom Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t. Sie dienen also der Bewertung zum Zeitpunkt t. Der Terminzins (Forward Rate) beschreibt den Zinssatz Frt(z,S), der zum Zeitpunkt t für eine zukünftige Anlage bei stetiger Verzinsung für den Zeitraum von r bis S vereinbart werden kann.²⁷ Bei Arbitragefreiheit²⁸ müssen die Zahlungen in S gleich sein. Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei diskreter Verzinsung gilt für den diskreten Terminzins FRtdftS) in t für eine Anlage von t bis S²⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Zusammenhang zwischen diskreten und stetigen Forward Rates ergibt sich aus den Gleichungen (10) und (12)³⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Menge aller FRt(x,S) wird als Forwardzinskurve zum Zeitpunkt t mit Startdatum i bezeichnet.

2.5 Arten von Anleihen (Bonds)

Die wichtigsten Anleihen, welche für die Bewertung von Caps und Floors von Bedeutung sind, werden im Folgenden beschrieben. Die einfachste Anleihe ist der Zerobond. Daneben gibt es Anleihen, welche während ihrer Laufzeit feste oder variable Zinszahlungen leisten. Ein Zerobond ist ein Zinstitel, bei dem während der Laufzeit keine Zinszahlungen, sondern nur bei seiner Fälligkeit in i eine Zahlung in der Höhe des auf eins normierten Nennwertes erfolgt. Der Preis des Zerobonds wurde mit B(t,r) in Gleichung (3) eingeführt. Des Weiteren gilt B(t) = 1. Wenn die Zinsen stets nicht nega­tiv sind, so ist der Preis eines Zerobonds kleiner als ihr Nennwert und umso kleiner, je länger die Restlaufzeit ist.31 Ein Zerobond-Zins ermöglicht es, den Wert jeder beliebigen Zahlung, die in T erfolgt, zum Zeitpunkt t durch Diskontieren zu bestimmen.³¹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kuponanleihen sind gekennzeichnet durch periodische Zinszahlungen in konstanter Höhe, d.h. als festverzinsliche Anleihen leisten sie auch wäh­rend ihrer Laufzeit Zahlungen. Kuponanleihen sind definiert durch einen Nennwert N, welcher im folgenden mit eins angenommen wird, den Fällig­keitstermin T, die Zahlungszeitpunkte t1, t2, ... , tn = T mit den geleisteten Kuponzahlungen cti und die Tilgungsmodalitäten.³² Im Folgenden wird als Prämisse angenommen, dass die Kuponanleihe endfällig ist und sich zu jedem Zeitpunkt die Kuponzahlung aus der konstanten Kuponrate von c ergibt. Der Kuponinhaber erhält dadurch in ti mit i = 1, ... , n - 1 jeweils den Kupon c(ti - ti-1) und tn = T zusätzlich zum fälligen Kupon auch den Nenn­wert. Die Gesamtzahlung ergibt sich mit 1 + c(tn - tn-1). Somit entspricht die Kuponanleihe einem Portfolio aus Zerobonds.³³ Der Preis der Kuponanlei- he in t < t1 ergibt sich mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Stückzinsen 35 werden hier nicht berücksichtigt, da sie nicht aus einer Be­wertungsbeziehung folgen.

Eine variabel verzinsliche Anleihe (Floating Rate Note) leistet periodisch Zahlungen, deren Höhe unsicher ist und sich aus dem gerade herrschenden Marktzins ergibt. Meist bestimmt sich die Höhe dieser variablen Zahlungen aus dem Zinssatz im Interbankhandel, also aus einem Referenzzinssatz, wie dem EURIBOR oder LIBOR-Zinssatz. Im Folgenden wird ein friktionsloser Markt unterstellt, d.h. der EURIBOR entspricht dem Kapitalmarktzins.36

Es wird nun zwischen Spot Rate- und Forward-EURIBOR unterschieden. Der Forward-EURIBOR EFRt bezeichnet eine Anlage, die in t von t bis S vereinbart wird und ist durch folgende Beziehung in diskreter Zeit definiert 37 Der Spot Rate-EURIBOR zum Zeitpunkt t für eine Anlage von t bis t ergibt sich als der Preis des in i fälligen Zerobonds mit mit Auflösung nach ESRT(t,x) erhält man 38 Nun kann man die Zahlungen einer einfachen variabel verzinslichen Anlei­he mit den Zahlungszeitpunkten t1 = t0 + At, t2 = t0 + 2At +, ... , tn-1 = t0 + (n - 1)At, tn = t0+nAt berechnen. Wobei die variable Zahlung in ti < tn gleich dem EURIBOR für die vorangegangene Anlagenperiode von ti-1 bis ti multipliziert mit der Anlagenperiodenlänge At ist:

Die für die Zeit zwischen dem letzten Zinszahlungstermin und dem Verkaufstag anfal­lenden Zinsen werden als Stückzinsen bezeichnet. Sie werden vom Käufer an den Verkäufer bezahlt, da der Käufer am nächsten Zinszahlungstermin die volle Höhe der Zahlung bekommt, obwohl diese Zinsen dem Verkäufer zustehen. Der an der Börse notierte Kurs einer Anleihe ist immer der Clean Price, d.h. der Preis ohne Stückzinsen. Der tatsächlich für eine Anleihe zu bezahlende Preis wird Dirty Price genannt. Vgl. Wiedemann (2003), S. 45.

Mit dem Einsetzen der Definition des EURIBOR erhält man³⁹ Die oben bestimmte Formel entspricht der Zinszahlung auf eine Anlage von 1 GE von ti-1 bis ti zum in ti-1 herrschenden Marktzins. Nun ist die Zahlung in tn zu bestimmen, welche sich aus der Rückzahlung zum Nennwert und dem variablen Anteil der Zinszahlung zusammensetzt.⁴⁰ Dies ergibt sich aus Entscheidend für die konkrete Zinsfestlegung und Zahlungen in ti ist, dass ihre Höhe in ti-1, d.h. die Höhe des EURIBOR an den jeweiligen vorab be­stimmten Fixing-Tagen festgelegt wird. Man kann daher die variablen Zins­zahlungen und den Wert der variablen verzinsten Anleihe ohne zugrunde liegendes Zinsmodell bestimmen. Die Zahlungen sind also unabhängig von dem unterstellten Verhalten der Zinsen über die Zeit.

Die Höhe zur Bewertung der variablen Zahlung aus Gleichung (18) in ti ist aus Sicht von t < ti-1 unbekannt, in ti-1 jedoch bekannt. Man kann nun den Wert der variablen Zahlung in ti-1 durch Multiplikation mit dem Preis der entsprechenden Zerobonds bestimmen41 mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ergibt sich hier also der Wert in ti-1 eines Portfolios, das aus Zerobonds mit Fälligkeit in ti-1 als Kauf-Position (long) und eines Zerobonds mit Fällig­keit in ti als Verkaufs-Position (short) besteht. Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t0 < ti-1 ergibt sich als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe in t0 ergibt sich aus den Werten der variablen Zahlungen und dem Wert der Rückzahlung des Nennwertes mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es gilt für variabel verzinsliche Anleihen zu jedem Zahlungszeitpunkt all­gemein, dass ihr Wert unmittelbar nach erfolgter Zahlung gleich eins bzw. gleich ihrem Nominal ist.⁴¹

2.6 Bestimmung von Zinsstrukturkurven

Ein Ansatz zur Bestimmung von Zinsstrukturkurven ist die Bootstrapping- Methode.⁴² Bei dem Bootstrapp-Verfahren werden aus gegebenen Daten von Kuponanleihen mit unterschiedlichen Laufzeiten die Zinssätze für Ze­robonds oder Spot Rates bestimmt. Bei dieser Methode werden Kuponan- leihen als eine Abfolge von Zerobonds interpretiert. Das Verfahren geht zunächst von dem Zinssatz der Anleihe mit der geringsten Laufzeit aus. Dann wird sukzessiv aus den zur Verfügung stehenden Daten der Zinssatz für Nullkuponanleihen mit der entsprechenden Laufzeit berechnet.⁴³ Die Zinsstrukturen können alternativ durch die Diskontierungsfunktion, die Kas­sazinsstruktur oder die Terminzinsstruktur beschrieben werden. Allerdings sind bei Zinsstrukturmodellen einige Besonderheiten zu beachten. Bei ei­nem Zinsmodell werden Zerobonds verschiedener Laufzeiten betrachtet, deren Entwicklung simultan zu modellieren ist. Zum anderen werden Wert­papiere gehandelt, wogegen der Zins selbst nicht gehandelt wird. Je mehr der Zeithorizont für die zukünftigen Aktienkurse zunimmt, umso größer wird die Unsicherheit. Ein Zerobond dagegen zahlt bei Fälligkeit mit Sicherheit den Nennwert zurück. Der Wert der Zerobond konvergiert mit abnehmen­der Restlaufzeit gegen den Nennwert. Wenn die kurzfristigen Zinsen unter den langjährigen Zinsen liegen, ergibt sich eine steigende oder auch nor­male Zinsstrukturkurve. Sie kann flach oder invers sogar invers sein bei höheren kurzfristigen Zinsen als langfristigen Zinsen.45

Theoretische Ansätze in der Bewertung von Caps und Floors

3.1 Caps und Floors

Caps und Floors sind Finanzderivate, welche in ihrer Wertentwicklung bzw. ihren Auszahlungen von Zinssätzen und deren Entwicklung abhängig sind.³⁵ Zu den bekanntesten Vertretern der Zinsderivate zählen Anleiheop­tionen, Caps und Floors, Collars sowie Swaptions.

Eine Anleiheoption ist eine Option auf den Kauf oder Verkauf einer be­stimmten Anleihe zu einem bestimmten Zeitpunkt für einen bestimmten Preis. Swap-Optionen oder auch Swaptions sind Optionen auf Zinsswaps. Ein Collar ist eine Kombination aus einem Cap und einem Floor. Collars garantieren, dass die Zinsbelastung einen bestimmten Zinssatz nicht über­schreitet bzw. nicht unterschreitet.

In der vorliegenden Arbeit liegt das besondere Augenmerk auf Caps und Floors und deren Bewertung. Bei Caps und Floors versteht man unter dem Basiswert oder auch Underlying Zinssätze. Sie werden außerbörslich auf OTC-Handelsmärkten gehandelt. Ein Cap-Geschäft stellt eine vertragliche Vereinbarung dar, bei der dem Käufer gegen die Zahlung einer Options­prämie für einen vereinbarten Zeitraum eine Zinsobergrenze (Cap Rate, Strike) bezogen auf einen bestimmten Referenzzinssatz (z.B. EURIBOR) und ein bestimmtes Nominalkapital garantiert wird.³⁶ Dabei ergibt sich für den Käufer eines Caps die Long-Position (Long Cap). Der Verkäufer eines Caps hält die Short-Position (Short Cap). Der Käufer eines Caps erwirbt dabei das Recht vom Verkäufer eine Ausgleichzahlung zu erhalten, wenn zu den festgelegten zukünftigen Zeitpunkten der vereinbarte Referenzzins über der ebenfalls festgelegten Zinsobergrenze liegt.³⁷ Der Verkäufer des Caps hat dagegen die Pflicht die Ausgleichszahlung zu erbringen. Die Höhe der Ausgleichzahlung bestimmt sich aus der Differenz der beiden Zinssätze und dem zugrundliegenden Nominalbetrag. Caps eignen sich sehr gut zur Absicherung gegen einen Anstieg der Zinssätze von variabel verzinslichen Anleihen über ein bestimmtes Niveau.³⁸

Wie schon erwähnt handelt es sich bei Caps und Floors meist um OTC- gehandelte Optionen zwischen Banken und anderen institutionellen Investo­ren. Daher sind alle Parameter von den Vertragsparteien frei vereinbar. Sie können, wenn auch weniger häufig auch in Form von börsengehandelten Wertpapieren (Optionsscheine) vorkommen und als implizite Optionen in variabel verzinsten Anleihen (Floater) oder als Kredite in Form einer Höchst­oder Mindestverzinsung. Caps bzw. Floors eignen sich zur Absicherung von Zinsverpflichtungen durch Finanzinstrumente auf der Passivseite sowie Ak­tivseite. Ebenso können Caps und Floors zur Spekulation auf die zukünftige Marktentwicklung eingesetzt werden.³⁹ Als Referenzzinssätze dienen meist LIBOR- oder EURIBOR-Sätze für meist drei oder sechs Monate.

Ein Cap ist also ein Portfolio aus Call-Optionen auf einen Zins, in dem man die einzelnen Call-Optionen als Caplets bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Risikoprofil Long Caplet und Short Caplet. (Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wiedemann (2003), S. 251 f.)

In der obigen Abbildung beträgt der Strike des Cap 8% und die Caplet Prämie beträgt 0,8%. Der Nominalwert sei mit 1 Mio. [GE] gegeben. Der Zinsertrag des Caplet ist abhängig von der Höhe des Referenzzinssatzes zum Verfallzeitpunkt. Liegt der Referenzzinsatz unter dem Strike erreicht das Long Caplet den maximalen Verlust (= Optionsprämie). Liegt nun der Referenzzinssatz oberhalb des Strikes kommt es zur Ausübung für dieses Caplet. Allerdings kommt es zu einem Teilverlust, wenn die Differenz zwi­schen Referenzzinssatz und Basiszins kleiner ist als die gezahlte Caplet Prämie. Bei einem Referenzzinssatz bei Verfall von 6,4% beträgt der Ver­lust des Caplets 0,5% des Kontraktvolumens (= 4000 [GE]). Wenn der Re­ferenzzinssatz über dem Strike und der gezahlten Caplet Prämie, also über 6,8% liegt, befindet sich das Long Caplet in der Gewinnzone.

[...]

---

¹ Vgl. Merk (2011), S. 1.

² Vgl. Wiedemann (2003), S. 251.

³ Bei bedingten Termingeschäften wird dem Käufer einer Option die Wahlmöglichkeit gegeben, innerhalb einer bestimmten Frist (amerikanische Option) oder zu einem be­stimmten zukünftigen Zeitpunkt (europäische Option) zu einem vorher vereinbarten Kurs (Basiskurs, -preis) gegen sofortige Zahlung einer Optionsprämie den Basiswert zu kaufen (Kaufoption, Call) oder zu verkaufen (Verkaufsoption, Put). Der Verkäufer (Stillhalter) ist verpflichtet auf Verlangen des Käufers den Basiswert zu liefern oder ab­

⁴ zunehmen. Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 36.

⁵ Vgl. Black/Scholes (1973), S. 637-654; Merton (1973), S. 141-183.

⁶ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 2.

⁷ Vgl. Steiner/Bruns/Stöckl (2012), S. 469.

⁸ Vgl. Hull (2012), S. 112; Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 2.

⁹ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 2.

¹⁰ AAA bezeichnet das beste von den Rating-Agenturen S&P und Fitch vorgegebene Rating, wobei AA das zweitbeste Rating darstellt. Die entsprechenden Ratings von

¹¹ Moody's sind Aaa bzw. Aa, vgl. Hull (2012), S. 113.

¹² Analog zum LIBOR; vgl. Hull (2012), S. 112 f.

¹³ Vgl. Hull (2012), S. 114.

¹⁴ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 32.

¹⁵ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 32.

¹⁶ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 33.

¹⁷ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 4; Kruse (2014), S. 6 f.

¹⁸ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 4.

¹⁹ Vgl. Brigo/Mercurio (2006), S. 5.

²⁰ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 1.

²¹ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 1.

²² Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 1.

²³ Vgl. Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 6.

²⁴ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 9.

²⁵ Vgl. Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 9; Reitz/Schwarz/Martin (2004), S. 9.

²⁶ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 9.

²⁷ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 10.

²⁸ Ein Kapitalmarkt gilt als arbitragefrei, wenn es nicht möglich ist, ohne Kapitaleinsatz und ohne das Risiko eines Verlustes einen Gewinn zu erzielen.

²⁹ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 10.

³⁰ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 10.

³¹ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 12.

³² Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 12.

³³ Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 14.

³⁴ Vgl. Wiedemann (2003), S. 237.

³⁵ Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 117.

³⁶ Vgl. Wiedemann (2003), S. 251.

³⁷ Vgl. Wiedemann (2003), S. 251.

³⁸ Vgl. Wiedemann (2003), S. 251.

³⁹ Vgl. Kruse (2014), S. 243.