Die vorliegende Arbeit soll einen Überblick über die Eigenschaften und Wirkungsweisen von Optionen aufzeigen und dass sich in Optionen auch positive Eigenschaften verbergen. Eben diese originäre Funktion der Absicherungen wird bei einem Delta-Hedging im Vordergrund stehen. Hierfür wird das Delta-Hedging mithilfe einer stochastischen Simulation theoretisch und praktisch erläutert. Derivative Finanzinstrumente prägten in den vergangenen Jahren die Entwicklung der globalen Finanzmärkte entscheidend mit. Eines der renommiertesten Beispiele der letzten Jahre stellen mit Sicherheit die Credit Default Swaps während der Finanzkrise 2007/2008 dar. Diese Instrumente sichern ein Ausfallrisiko ab. Dadurch kann das Kreditrisiko eines Referenzschuldners ein ganz anderes Unternehmen tragen. Abgesehen von der Finanzkrise 2007/2008 ist es erstaunlich, dass den Derivaten viele Jahrzehnte, gar Jahrhunderte zuvor keine solch große Bedeutung zuteil wurde. Bereits im 17. Jahrhundert wurden Optionen auf Tulpenzwiebeln in Holland gehandelt. Tulpenzüchter sicherten sich durch den Kauf von Verkaufsoptionen gegen fallende Preise ab. Als die Optionsverkäufer ihre Verpflichtungen nicht erfüllen konnten, brach der Tulpenmarkt im Jahr 1637 zusammen. Erst in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts kam es zum erneuten Aufblühen der Optionen. In diesem Jahrzehnt wurde die erste Terminbörse in Chicago eröffnet und Black und Scholes veröffentlichten ihre Arbeit zur Optionspreisfindung. Als Parallele zwischen Vergangenheit und Gegenwart scheinen Optionen ihren negativen Charakter nicht verloren zu haben.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
1 Einleitung
2 Optionen
2.1 Grundlegendes, Eigenschaften und Notation
2.2 Bewertung und Einflussfaktoren
3 Das Delta unter den Griechen
4 Vom Delta zum Delta-Hedging
4.1 Einführung und praktische Umsetzung
4.2 Diskussion des Delta-Hedgings
5 Zusammenfassung und Ausblick
Literaturverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Derivative Finanzinstrumente prägten in den vergangenen Jahren die Entwicklung der globalen Finanzmärkte entscheidend mit. Eines der renommiertesten Beispiele der letzten Jahre stellen mit Sicherheit die Credit Default Swaps während der Finanzkrise 2007/2008 dar. Diese Instrumente sichern ein Ausfallrisiko ab. Dadurch kann das Kreditrisiko eines Referenzschuldners ein ganz anderes Unternehmen tragen. Abgesehen von der Finanzkrise 2007/2008 ist es erstaunlich, dass den Derivaten viele Jahrzehnte gar Jahrhunderte zuvor keine solch große Bedeutung zuteilwurde. Bereits im 17. Jahrhundert wurden Optionen auf Tulpenzwiebeln in Holland gehandelt. Tulpenzüchter sicherten sich durch den Kauf von Verkaufsoptionen gegen fallende Preise ab. Als die Optionsverkäufer ihre Verpflichtungen nicht erfüllen konnten, brach der Tulpenmarkt im Jahr 1637 zusammen. Erst in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts kam es zum erneuten Aufblühen der Optionen. In diesem Jahrzehnt wurde die erste Terminbörse in Chicago eröffnet und Black und Scholes veröffentlichten ihre Arbeit zur Optionspreisfindung. Als Parallele zwischen Vergangenheit und Gegenwart scheinen Optionen ihren negativen Charakter nicht verloren zu haben. Die vorliegende Arbeit soll einen Überblick über die Eigenschaften und Wirkungsweisen von Optionen aufzeigen und dass sich in Optionen auch positive Eigenschaften verbergen. Eben diese originäre Funktion der Absicherungen wird bei einem Delta-Hedging im Vordergrund stehen. Hierfür wird das Delta-Hedging mithilfe einer stochastischen Simulation theoretisch und praktisch erläutert.1
Im Anschluss an die Einleitung werden in Kapitel 2 und Kapitel 3 die konzeptionellen Grundlagen für das Delta-Hedging beschrieben. In Kapitel 2 folgen die Grundlagen und Eigenschaften von Optionen sowie die Herausarbeitung der vorherrschenden Optionspositionen. Zusätzlich werden die Optionspreisformel nach Black und Scholes und deren beeinflussenden Determinanten vorgestellt. Aus diesen Einflussfaktoren können unterschiedliche Sensitivitätskennzahlen abgeleitet werden. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich hierbei auf das Delta. Dieses wird in Kapitel 3 theoretisch und praktisch beschrieben. Nach einem einführenden Beispiel zum Hedging münden die konzeptionellen Grundlagen in Kapitel 4 in die Beschreibung und einer beispielhaften Umsetzung des Delta-Hedgings. Die Vorgehensweise und die Ergebnisse werden entsprechend kommentiert. Im Anschluss daran wird über die Validität dieses Verfahrens und den unterstellten Annahmen diskutiert. In Kapitel 5 schließt die Ausarbeitung mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick.
2 Optionen
2.1 Grundlegendes, Eigenschaften und Notation
Optionen werden zu den Termingeschäften subsumiert. Diese Gruppe unterteilt sich in unbedingte und bedingte Termingeschäfte. Die Unterschiede dieser Unterteilung liegen in ihren Vertragsbindungen. Beim unbedingten Termingeschäft existiert eine bindende Verpflichtung zur Durchführung des Geschäftes zu einem bestimmten Zeitpunkt. Stellvertretend hierfür sind Forwards, Futures und Swaps. Beim bedingten Termingeschäft obliegt die Erfüllungspflicht nicht beiden Vertragsparteien, sondern nur einer. Typisch für ein solches Konstrukt ist die Option. Eine Option gewährt dem Käufer das Recht, nicht aber die Pflicht, ein Termingeschäft zu einem bestimmten Wert (Basiswert oder Underlying), zu einem bestimmten Preis (Basispreis oder Strike) und zu einem bestimmten Zeitpunkt (Verfalltag oder Fälligkeit) auszuüben. Grundsätzlich werden Call- und Put-Optionen unterschieden. Bei einer Call-Option (Kaufoption) besitzt der Inhaber dieser Option das Recht, das Underlying zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem festgelegten Basispreis zu kaufen. Bei einer Put-Option (Verkaufsoption) besteht das Recht, das Underlying zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem festgelegten Basispreis zu verkaufen. Der Anleger, welcher das Ausübungsrecht der Call- oder Put-Option erwirbt, nimmt die sogenannte Long-Position ein. Auf der anderen Seite nimmt der Verkäufer von Optionen die Short-Position ein. Der Optionsverkäufer wird durch eine Optionsprämie im Voraus entschädigt und muss im Falle der Optionsausübung den vereinbarten Verpflichtungen nachkommen. Aus diesen Konstellationen entstehen die vier nachfolgenden Optionspositionen; Long-Call, Long-Put, Short-Call und Short-Put. Unter der Annahme des rationalen Handelns eines homo oeconomicus würden die beteiligten Akteure von ihrem Optionsausübungsrecht dann Gebrauch machen, wenn daraus ein monetärer Nutzen zu ziehen wäre. Bei einem Long-Call müsste demnach der Kurs des Basiswertes über dem Bezugspreis des Underlyings liegen. Ein geldmäßiger Nutzen resultiert indem der Basiswert zum Ausübungspreis erworben und gleichzeitig zu einem höheren Preis an der Börse verkauft wird. In Tabelle 1 sind die zuvor beschriebenen Eigenschaften der Optionspositionen und deren zugehörigen Auszahlungsfunktionen zusammengefasst.2
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 1: Übersicht der Optionspositionen3
Ferner können Optionen amerikanischer oder europäischer Art sein. Amerikanische Optionen können bis zum Verfalldatum jederzeit ausgeübt werden. Bei der europäischen Option besteht die Ausübungsmöglichkeit nur am Fälligkeitstag. Auch wenn an den Börsen zumeist der amerikanische Typ gehandelt wird, so wird sich bei Analysen oder Modellierungen, aufgrund des eindeutigen Ausübungstages, den europäischen Optionen bedient. Analog wird in der vorliegenden Arbeit verfahren.3 4
2.2 Bewertung und Einflussfaktoren
Der Wert einer Option setzt sich grundsätzlich aus dem inneren Wert und dem Zeitwert zusammen. Der innere Wert ist der tatsächliche rechnerische Wert einer Option. Bei einem Call ergibt sich dieser aus der Differenz zwischen dem aktuellen Preis des Underlyings und dem Preis des Strikes, unter der Berücksichtigung des Bezugsverhältnisses bei der Ausübung. Durch Umkehrung ergibt sich der innere Wert für einen Put. Optionen mit einem inneren Wert werden als in the money (im Geld) bezeichnet. Entspricht der Preis des Underlyings dem Preis des Strikes, dann ist die Option at the money (am Geld). Anderenfalls ist die Option out of the money (aus dem Geld). Somit kann der innere Wert nicht negativ sein. Der Zeitwert determiniert als weitere Komponente den Wert einer Option. Er ist die Differenz zwischen dem Marktpreis der Option und ihrem inneren Wert. Der Zeitwert ist umso höher desto länger die Laufzeit der Option und desto höher die erwartete Schwankung (Volatilität) des Aktienkurses sind. Daraus lassen sich die nachfolgenden Einflussfaktoren auf den Optionspreis ableiten: Kurs des Basiswerts (S), Strike (K), risikoloser Zins (r), Restlaufzeit (t) und Volatilität des Basiswerts (o). Mögliche zukünftige Dividendenzahlungen (D) beeinflussen ebenfalls den Optionspreis, da es am Ausschüttungstag zu einer Reduktion des Aktienpreises kommt. Diese Ausschüttungen wirken sich bei Calls negativ und bei Puts positiv auf den Optionspreis aus.5
Bei Kenntnis dieser Einflussfaktoren kann ein fairer Optionspreis bestimmt werden. Hierfür wurden unterschiedlichste Optionsbewertungsmodelle entwickelt. Im Folgenden steht nur das Modell von Black und Scholes im Fokus. Zum einen ist es das in der Praxis am häufigsten genutzte Modell und zum anderen baut das Delta-Hedging in Kapitel 4 auf diesem Modell auf. Typischerweise stellen Modelle lediglich eine Vereinfachung der Realität dar. Daher werden zumeist nur die wesentlichen Funktionsweisen modelliert und gewisse Restriktionen vorgegeben. In ihrem Modell von 1973 unterstellen Black und Scholes unter anderem:
- einen Kapitalmarkt ohne Arbitragemöglichkeiten und ununterbrochenen Handel,
- der Preis des Underlyings folgt einer geometrischen brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität,
- es gibt einen zeitlich konstanten risikofreien Zinssatz,
- innerhalb der Optionslaufzeit werden keine Dividenden gezahlt,
- Transaktionskosten und Steuern bleiben unberücksichtigt und alle Finanzinstrumente sind beliebig teilbar,
- es liegen ausschließlich europäische Optionen vor und
- es gibt keinerlei Einschränkungen für Leerverkäufe.6
Der Grundgedanke des Modells fußt auf einem risikolosen Portfolio aus der Option und der Aktie. Somit sollen Gewinne beziehungsweise Verluste der einen Position durch die Gegenposition neutralisiert werden. Dementsprechend wirft das risikolose Portfolio den risikolosen Zins ab. Aus diesen Annahmen leiteten Black und Scholes die beiden nachfolgenden Optionspreisformeln für den Call (C) und den Put (P) ab.7 und ®(d) die Normalverteilung angeben. Für eine detaillierte Herleitung wird auf das Paper von Black und Scholes (1973) und das Buch von Hull (2015) verwiesen.8
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3 Das Delta unter den Griechen
In Kapitel 2.2 wurden bereits die Einflussfaktoren, die den Optionspreis determinieren, identifiziert. Bezüglich dieser Einflussfaktoren können unterschiedliche Sensitivitätskennzahlen berechnet werden. Bei Konstanz aller anderen Variablen kann der Einfluss einer Variablen auf den Optionspreis gemessen werden. Hierfür wird die zu untersuchende Variable aus der Black- Scholes-Optionsformel 2.2.1 oder 2.2.2 partiell abgeleitet. Bei der Bezeichnung der Sensitivitäts- kennzahlen wurde sich dem griechischen Alphabet bedient. Daher ist in diesem Zusammenhang auch von den Griechen oder Greeks die Rede.9
Mathematisch ist das Delta (A) die erste partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Kurs des Basiswerts. Für den Call ergibt sich Formel 3.1.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit gibt das Delta die Veränderung des Optionspreises relativ zur Änderung des Aktienkurspreises an. Das Delta kann Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Für den Call können nur Werte im Intervall [0,1] angenommen werden, weil sich der Preis des Calls mit dem gleichen Vorzeichen wie der Basiswert entwickelt. Analog liegt das Delta eines Puts im Intervall [-1,0]. Dementsprechend bedeutet ein Delta von null, dass der Preis einer Option unverändert bleibt. Bei einem Delta von 0,5 steigt der Preis einer Option um 0,5 Geldeinheiten an, wenn der Kurs des Basiswertes um eine Geldeinheit ansteigt. Bei einem Delta von 0,5 für den Call beziehungsweise 0,5 für den Put, entsprechen sich Basispreis und Aktienkurs in ungefähr. Folglich handelt es sich um eine at the money Option. Je weiter sich eine Call-Option in the money befindet, desto höher ist das Delta. Bei einer Put-Option gilt das genaue Gegenteil. Delta-Werte nahe eins werden als deep in the money Optionen und Delta-Werte nahe null als deep out of the money Optionen bezeichnet.10 Unter Anwendung von Formel 3.1 kann dies für eine Call-Option im folgenden Fallbeispiel in Tabelle 2 und Abbildung 1 nachvollzogen werden. Für dieses Beispiel wurden folgenden Daten angenommen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2: Ergebnis des Optionsdeltas einer Beispielrechnung
Aus Tabelle 2 kann der Aktienkurs von 95 und das Delta von 0,5373 entnommen werden. Bei einem Anstieg des Kassakurses um 20 Cent, würde der Call-Preis um 10,75 Cent (0,5373 • 20) ansteigen. Zudem verdeutlicht dieser Exkurs, dass sich die Call-Option bei einem Delta von 0,5373 im Bereich at the money befindet. Dies unterstreicht ebenfalls Abbildung 1. Die Deltaklassen wurden farbig in 0,1 Sprüngen eingeteilt. Bei einem Delta von 0,5 entspricht der Aktienkurs in etwa dem Strike von 100. Wenn sich der Aktienkurs weit über dem Basispreis befindet, kann von einer Auszahlung am Laufzeitende ausgegangen werden. Aufgrund der geringeren Schwankung erreicht das Delta den Wert von 1 je geringer die Volatilität ist, siehe hierzu Abbildung 1. Allerdings ist bei einem Delta nahe eins der Optionspreis praktisch identisch mit dem Aktienpreis. Mit dem Unterschied, dass die Option keine Dividende abwirft. Solche Optionen werden auch als Low Exercise Price Option (LEPO) bezeichnet.11
[...]
1 Vgl. Rieger (2016), S. 21 ff.; Hausmann et. al. (2002), S. 1 f.
2 Vgl. Hull (2015), S. 276 ff.; Rieger (2016), S. 42 ff.; Enthofer/Haas (2012), S. 571 ff.
3 Eigene Darstellung in Anlehnung an Spindler (1999), S 41.
4 Vgl. Hull (2015), S. 276.
5 Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2008), S. 335 ff.; Enthofer/Haas (2012), S. 585 ff.; Hull (2015), S. 302 ff.
6 Vgl. Black/Scholes (1973), S. 673 ff.; Hull (2015), S. 415.
7 Vgl. Rieger (2016), S. 37 f.
8 Vgl. Hull (2015), S. 404 ff.
9 Vgl. Streit (2007), S. 227.
10 Vgl. Rieger (2016), S. 75 ff.; Bruns/Meyer-Bullerdiek (2008), S. 342.
11 Vgl. Rieger (2016), S. 75 ff.
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