Ein Versicherungsunternehmen trägt das Risiko des Versicherungsnehmers und begleicht auftretende Schäden. Als Gegenleistung zahlt der Versicherungsnehmer eine Prämie. Anhand von verschiedenen Prinzipien zur Prämienkalkulation lässt sich die Prämie berechnen. Ziel ist es ein Überblick über die Prinzipien zu vermitteln und die Eignung der einzelnen Prinzipien zur Prämienberechnung mittels ihrer Eigenschaften festzustellen. Abschnitt 2 führt zunächst Grundbegriffe der Risikotheorie ein. Darauf folgend beschäftigt sich die Arbeit mit der Frage, bei welcher Prämienhöhe der Ruin eines Versicherungsunternehmens eintritt und aus welchen Bestandteilen sich eine Prämie zusammensetzt. Zuletzt werden einige Prinzipien zur Prämienkalkulation vorgestellt und überprüft welche Eigenschaften sie erfüllen.
Das Versicherungsunternehmen begleicht durch die Prämie die Kosten, die bei einem Schadenfall auftreten. Die Versicherungsprämie ist der Preis eines Versicherungsproduktes und richtet sich nach der Höhe des versicherten Risikos beziehungsweise nach dem Gegenstand der Versicherung. Für eine genauere Beschreibung der Versicherungsprämie werden zunächst einige Grundlagen eingeführt.Der auftretende Schadenverlauf wird in Anzahl und Höhe der Schäden an Wahrscheinlichkeitsverteilungen angepasst. Die im Allgemeinen kontinuierliche Schadenhöhenverteilung kann durch absolut stetige Verteilungen und die Schadenanzahlverteilung durch diskrete Verteilungen beschrieben werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Einführung
2.1 Risiko und Schadenverteilungen
2.2 Gesamtschaden-Modelle
3 Prämienkalkulation
3.1 Ruintheorie
3.2 Bestandteile einer Prämie
3.3 Kollektive und individuelle Prämie
4 Prinzipien zur Prämienkalkulation
4.1 Eigenschaften von Prämienprinzipien
4.2 Beispiele für Prämienprinzipien
5 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der Prämienkalkulation in der Versicherungsmathematik. Das Hauptziel besteht darin, einen fundierten Überblick über verschiedene Prämienprinzipien zu vermitteln und deren Eignung zur Prämienberechnung anhand spezifischer theoretischer Eigenschaften kritisch zu überprüfen.
- Grundlagen der Risikotheorie und Schadenverteilungen
- Modellierung von Gesamtschadenprozessen
- Analyse der Ruinwahrscheinlichkeit als Entscheidungsgrundlage
- Vergleichende Untersuchung verschiedener Prämienprinzipien
- Eigenschaften von Prämienprinzipien (z. B. Additivität, Homogenität)
Auszug aus dem Buch
2.1 Risiko und Schadenverteilungen
Das Versicherungsunternehmen begleicht durch die Prämie die Kosten, die bei einem Schadenfall auftreten. Die Versicherungsprämie ist der Preis eines Versicherungsproduktes und richtet sich nach der Höhe des versicherten Risikos beziehungsweise nach dem Gegenstand der Versicherung. Für eine genauere Beschreibung der Versicherungsprämie werden zunächst einige Grundlagen eingeführt.
Das versicherte Risiko wird definiert als Familie R = (Xi)i∈{1,...,N} von Zufallsvariablen Xi ≥ 0, wobei N ∈ N0 die zufällige Anzahl von Schäden und Xi die Schadenhöhe ist. Jedes Risiko Rj entspricht hier einer Versicherungspolice, dem Vertrag über einen Versicherungsabschluss. Es wird nachfolgend angenommen, dass ein Versicherungsnehmer nur einen Vertrag abgeschlossen hat. In einem Portefeuille oder Kollektiv K = {Rj : j = 1,...,n} ist ein bestimmtes Teilsegment oder die Gesamtheit von Versicherungspolicen eines Versicherungsunternehmens enthalten.
Der auftretende Schadenverlauf wird in Anzahl und Höhe der Schäden an Wahrscheinlichkeitsverteilungen angepasst. Die im Allgemeinen kontinuierliche Schadenhöhenverteilung kann durch absolut stetige Verteilungen und die Schadenanzahlverteilung durch diskrete Verteilungen beschrieben werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Thematik der Risikotragung durch Versicherungsunternehmen ein und definiert das Ziel der Arbeit, verschiedene Prinzipien der Prämienberechnung hinsichtlich ihrer Eigenschaften zu bewerten.
2 Einführung: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen, indem es Wahrscheinlichkeitsräume, Zufallsvariablen sowie erzeugende und momenterzeugende Funktionen definiert.
2.1 Risiko und Schadenverteilungen: Hier werden Modelle für das versicherte Risiko entwickelt, wobei verschiedene stetige Verteilungen für Schadenhöhen und diskrete Verteilungen für die Schadenanzahl diskutiert werden.
2.2 Gesamtschaden-Modelle: Dieses Kapitel erläutert individuelle und kollektive Modelle zur Modellierung des Gesamtschadens, inklusive der Anwendung der Wald’schen Gleichungen zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz.
3 Prämienkalkulation: Der Abschnitt befasst sich mit der Ruinwahrscheinlichkeit als motivierendem Faktor für die Prämienhöhe und schlüsselt die Bestandteile einer Prämie auf.
3.1 Ruintheorie: Hier wird der Ruinprozess definiert und die Ruinwahrscheinlichkeit als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer negativen Reserve bei festen Prämienzahlungen analysiert.
3.2 Bestandteile einer Prämie: Dieses Kapitel erklärt die Zusammensetzung einer Bruttoprämie aus Nettorisikoprämie und Sicherheitszuschlag unter Verwendung der Ungleichung von Cantelli.
3.3 Kollektive und individuelle Prämie: Hier wird die Problematik der Berechnung individueller Prämien bei unzureichender Datenlage erörtert und aufgezeigt, wann Kollektivprämien als Näherung dienen können.
4 Prinzipien zur Prämienkalkulation: Der Hauptteil der Arbeit stellt verschiedene mathematische Funktionale zur Prämienberechnung vor.
4.1 Eigenschaften von Prämienprinzipien: Hier werden wesentliche Kriterien wie Erwartungswertübersteigerung, Translationsinvarianz, Homogenität, Additivität und Subadditivität formal definiert.
4.2 Beispiele für Prämienprinzipien: Dieser Abschnitt untersucht verschiedene Prinzipien (Nettorisiko-, Erwartungswert-, Standardabweichungs-, Varianz-, Quantil- und Nutzenprinzip) anhand ihrer Eigenschaften.
5 Zusammenfassung: Das abschließende Kapitel fasst die Ergebnisse zusammen und bewertet die Eignung der untersuchten Prinzipien für die praktische Anwendung unter Berücksichtigung versicherungstechnischer Anforderungen.
Schlüsselwörter
Prämienkalkulation, Versicherungsmathematik, Risikotheorie, Ruinwahrscheinlichkeit, Nettorisikoprämie, Sicherheitszuschlag, Schadenhöhenverteilung, Gesamtschadenmodell, Prämienprinzip, Erwartungswertprinzip, Varianzprinzip, Quantilprinzip, Nutzenfunktion, stochastische Ordnung, Versicherungstechnik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht mathematische Methoden zur Bestimmung angemessener Versicherungsprämien unter Berücksichtigung von Risikostrukturen und verschiedenen ökonomischen bzw. versicherungstechnischen Prinzipien.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themenfelder sind die mathematische Modellierung von Schäden, die Analyse von Risikoprozessen (Ruintheorie) sowie die formale Herleitung und Prüfung von Prämienprinzipien auf Basis ihrer mathematischen Eigenschaften.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, einen systematischen Überblick über diverse Prinzipien zur Prämienkalkulation zu geben und deren Eignung durch die Prüfung spezifischer mathematischer Eigenschaften (wie Homogenität oder Additivität) zu bewerten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine theoretisch-mathematische Arbeit, die auf der Risikotheorie basiert. Die Autoren verwenden Ableitungen von Verteilungsfunktionen, momenterzeugende Funktionen, die Ungleichung von Jensen sowie Beweise durch Gegenbeispiele zur Evaluierung der Prinzipien.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden nach einer theoretischen Einführung in das Gesamtschadenmodell diverse Prämienprinzipien detailliert vorgestellt, darunter das Erwartungswertprinzip, das Varianzprinzip sowie quantil- und nutzenbasierte Ansätze.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär durch Begriffe wie Prämienkalkulation, Ruintheorie, Prämienprinzipien, Schadenhöhenverteilung und Risikotheorie charakterisieren.
Warum ist die Ruinwahrscheinlichkeit ein entscheidender Faktor für die Prämienhöhe?
Die Ruintheorie zeigt, dass bei einem Versicherungsunternehmen der Ruin mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, wenn die eingenommene Prämie den Erwartungswert des Gesamtschadens nicht übersteigt; daher ist ein Sicherheitszuschlag zwingend notwendig.
Warum ist die theoretische Additivität von Prämien in der Praxis oft problematisch?
Obwohl Additivität für die Konsistenz bei der Aggregation von Risiken wünschenswert ist, zeigen viele der untersuchten Prinzipien bei Anwendung in inhomogenen Kollektiven oder bei Berücksichtigung spezifischer Schadenstrukturen, dass sie diese Eigenschaft nicht in jeder Konstellation erfüllen.
- Arbeit zitieren
- Franziska Summe (Autor:in), 2018, Prinzipien zur Prämienkalkulation bei Versicherungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/541248
