Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Kurzfassung

Abstract

Einführung

1.) Geschichtlicher Hintergrund des Mauerwerkbaus

2.) Grundlagen der Plastizitätstheorie
2.1.) Eindimensionaler Spannungszustand
2.2.) Mehrdimensionale Spannungszustände
2.2.1.) Fließfläche
2.2.2.) Fließpotential und Fließregel
2.2.3.) Ideal elastisch-plastische Werkstoffe
2.2.4.) Elastoplastische Werkstoffe mit Verfestigung
2.2.5.) Elastoplastische Spannungs-Verzerrungsbeziehungen, elastoplastischer Tangentenmodul
2.3.) Fehlerkriteriensflächen und Fließflächen
2.3.1.) Kriterium nach von Mises
2.3.2.) Kriterium nach Drucker-Prager
2.3.3.) Kriterium nach Mohr-Coulomb

3.) Materialmodelle für Mauerwerk
3.1.) Materialmodell nach Zelger (1967)
3.2.) Materialmodell nach Hendry und Sinha (1969)
3.3.) Materialmodell nach Stafford-Smith und Carter (1971)
3.4.) Materialmodell nach Mann und Müller (1973)
3.5.) Materialmodell nach Yokel and Fattal (1976)
3.6.) Materialmodell nach Hamid und Drysdale (1978)
3.7.) Materialmodell nach Hegemier et al (1978)
3.8.) Materialmodell nach Page (1978)
3.9.) Materialmodell nach Schneider, Schnell und Manns et al. (1978)
3.10.) Materialmodell nach Samarasinghe (1980)
3.11.) Materialmodell nach Bernadini, Modena und Vescovi (1982)
3.12.) Materialmodell nach Dhanasekar (1982)
3.13.) Materialmodell nach Rivero und Phan (1984)
3.14.) Materialmodell nach Ganz (1985)
3.15.) Materialmodell nach Essawy und Drysdale (1986)
3.16.) Materialmodell nach Qinglin und Wenzong (1986)
3.17.) Vergleiche von Dialer (1990)
3.18.) Materialmodell nach Vratsanou (1990)
3.19.) Materialmodell nach Seim (1994)
3.20.) Materialmodell nach Lourenço (1996)
3.21.) Materialmodell nach Mojsilovic und Marti (1999)
3.22.) Materialmodell nach Schermer (2003)
3.23.) Materialmodell nach Schlegel (2003)

4.) Materialmodell nach Ganz
4.1.) Versagen der Steine
4.2.) Versagen der Lagerfugen

5.) Modifiziertes Materialmodell für Mauerwerk
5.1) Modifikation 1 – Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
5.2.) Modifikation 2 - Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
5.3.) Modifikation 3 - Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
5.4.) Modifikation 4 – Studie der Hypothesen „Drucker-Prager“ versus „Mohr-Coulomb“
5.5.) Modifikation 5 – Erweiterungen für eine Implementierung in das Finite Elemente Programm ANSYS
5.5.1.) Modifikation 5/a für das Modell ohne Zugfestigkeit
5.5.2.) Modifikation 5/b für das Modell mit Zugfestigkeit
5.6.) Fließfläche des neuen Modells

6.) Materialkennwerte des Mauerwerks
6.1.) Druckfestigkeit orthogonal zu den Lagerfugen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6.2.) Druckfestigkeit parallel zu den Lagerfugen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6.3.) Zugfestigkeit orthogonal zu den Lagerfugen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6.4.) Zugfestigkeit parallel zu den Lagerfugen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6.5.) Schubfestigkeit: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Kohäsion - Anfangs Scherfestigkeit: c; Dilatanzwinkel: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6.6.) Elastizitätsmodul orthogonal zu den Lagerfugen: EX
6.7.) Elastizitätsmodul parallel zu den Lagerfugen: Ey
7.) Implementierung des Materialmodells in das Finite Elemente-Programm ANSYS
7.1.) Teilprogramm 1
7.2.) Teilprogramm 2
7.3.) Teilprogramm 3
7.4.) Rechenkennwerte
7.5.) Quellcode

8.) Verifizierung des Materialmodells durch Vergleich von numerischen und experimentellen Ergebnissen
8.1.) Daten der verwendeten Materialien
8.1.1.) Steine
8.1.2.) Mörtel
8.1.3.) Wand
8.2.) Versuchsanordnung
8.3.) Berechnungsparameter des Finite Elemente Modells
8.4.) Ergebnisse der numerischen Simulation
8.4.1.) Versuch am Testobjekt K1
8.4.2.) Versuch am Testobjekt K3
8.4.3.) Versuch am Testobjekt K4
8.4.4.) Versuch am Testobjekt K6
8.4.5.) Versuch am Testobjekt K7
8.4.6.) Versuch am Testobjekt K8
8.4.7.) Versuch am Testobjekt K10
8.4.8.) Versuch am Testobjekt K11
8.4.9.) Versuch am Testobjekt K12
8.5.) Zusammenfassung der Ergebnisse

9.) Seismisches Assessment von Mauerwerkshochbauten
9.1.) Diskussion zu Sicherheitsniveaus, Duktilität, plastische Verformbarkeit und Nichtlinearität
9.2.) Konstruktionsregeln und Schwachstellen von Mauerwerkshochbauten unter Erdbebenbelastungen
9.2.1.) Unbewehrtes Mauerwerk
9.2.2.) Holzgeschoßdecken und weiche Geschoßdecken
9.2.3.) Weiche Geschoße
9.2.4.) Kurze Stützen

10.) Seismisches Assessment vom LKH Innsbruck – Gebäude für interne Medizin
10.1.) Objekterklärung
10.2.) Versuchsanordnung
10.3.) Ergebnisse der in-Situ Messungen, Eigenfrequenzen, Eigenformen
10.4.) Numerisches Modell für eine Finite Elemente Berechnung
10.4.1.) Eingangswerte für die Berechnung - Decken
10.4.2.) Eingangswerte für die Berechnung - Wände
10.4.3.) Eingangswerte für die Berechnung - Baugrund
10.5.) Modale Analyse
10.6.) Erdbebenberechnung
10.7.) Rissidentifikation mit Hilfe des neuen Materialmodells

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literaturverzeichnis

Anhang A.) Einachsige Materialgesetze - Ideal elastisch-plastisches Modell

Anhang B.) Erdbebenberechnung für Mauerwerk nach den Normen ÖNORM B4015 und EN 1998-1
B.1.) Bemessung nach der ÖNORM B4015
B.1.1.) Allgemeines
B.1.2.) Erdbebenzonen
B.1.3.) Bauwerks-Bewertungsfaktor, Sicherheitsklassen, Schwingungsanfälligkeitsklassen, Erforderliche Nachweise
B.1.4.) Elastisches Antwortspektrum
B.1.5.) Erdbebenkraft
B.1.6.) Besondere Regeln für Mauerwerksbauten
B.2.) Bemessung nach der EN 1998-1
B.2.1.) Allgemeines
B.2.2.) Erdbebenzonen
B.2.3.) Bauwerksbedeutung
B.2.4.) Antwortspektrum
B.2.5.) Erdbebenkraft
B.2.6.) Besondere Regeln für Mauerwerksbauten

Anhang C.) Numerisches Beispiel für den Einfluss der Schlankheit der Wände
C.1.) Allgemeines
C.2.) Modale Analyse
C.3.) Erdbebenanalyse
C.4.) Risskriterien
C.5.) Resümee

Anhang D.) Numerisches Beispiel für den Einfluss von weichen Geschoßdecken
D.1.) Analyse unter Berücksichtigung von Holztramdecken
D.1.1.) Allgemeines
D.1.2.) Statischer Lastfall
D.1.3.) Modale Analyse
D.1.4.) Erdbebenanalyse
D.1.5) Risskriterien mit Berücksichtigung der Zugfestigkeit
D.1.6.) Risskriterien ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit
D.2.) Analyse mit Berücksichtigung von Stahlbetondecken
D.2.1.) Allgemeines
D.2.2.) Statischer Lastfall
D.2.3.) Modale Analyse
D.2.4.) Erdbebenanalyse
D.2.5.) Risskriterien mit Berücksichtigung der Zugfestigkeit
D.2.6) Risskriterien ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit
D.3.) Resümee

Anhang E. Sourcecode

Curriculum Vitae

„Ob du sie (die Mutmaßungen) akzeptierst oder nicht, wird keinerlei Auswirkungen auf die Realität haben, Traumfinder. Du magst dich entschließen, nicht an einstürzendes Mauerwerk zu glauben, falls diese Vorstellung dir zuwider ist, doch wenn dir ein Ziegel auf den Schädel fällt, befördert er dich nichtsdestotrotz ins Jenseits.“

Roger Taylor: Traumfinder (Tarrian), S. 28

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand teilweise während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter bei der Firma arsenal research, Österreichisches Forschungs- und Prüfzentrum Arsenal Ges.m.b.H., Geschäftsfeld Verkehrswege.

Ich möchte mich vom tiefsten Herzen bei meinen Eltern, Frau Yuxian Lu,
Herr Dipl.-Ing. GuoCai Lu und meiner Schwester, Suibei Lu, die mich seinerzeit in die Richtung des Bauwesens gelenkt haben bedanken, womit ich auch die vorliegende Arbeit meinen lieben Eltern widme. Gleichzeitig bin ich für meine gesamte bisher genossene Erziehung ihnen zu Dank verpflichtet. Ohne ihre Unterstützung und familiären Wärme wäre meine gesamte Ausbildung zum Bauingenieur, womit ich eine Familientradition weiterführe, niemals möglich gewesen.

Mein besonderer Dank gilt meinem Professor, Doktorvater und 1. Dissertationsgutachter Herrn Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Rudolf Heuer – TU Wien, der mir bereits während meiner Studienzeit den Ansporn zu einer wissenschaftlichen Weiterbildung vermittelte und mich auch in die Welt der Mechanik einführte. Ebenso möchte ich mich bei Herrn Prof. Heuer für seinen Einsatz und Hilfe auch in persönlichen und privaten Belangen herzlichst danken. Durch seinen Einsatz ist es mir u.a. ermöglicht worden während meines Diplomstudiums meine Masters Thesis an der Stanford University, John A. Blume Earthquake Engineering Center, USA, zu verfassen.

Herr Prof. Heuer hat mich während der letzten Jahre ständig motiviert und durch zahlreiche Diskussionen, teilweise auch außerhalb seiner Sprechstunden, immer wieder aufgebaut und die Dissertation in die hier vorliegende Form gelenkt.

Ebenso gilt mein besonderer Dank meinem 2. Dissertationsgutachter Herrn Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Rainer Flesch – arsenal research, der gleichzeitig der Geschäftsfeldleiter des Geschäftsfeldes Verkehrswege ist. Prof. Flesch gab mir die Anregung zu diesem Thema und unterstützte stets mein Vorhaben, eine Dissertation zu verfassen. Herrn Prof. Flesch möchte ich insbesondere dafür danken, dass er mich durch Forschungsprojekte unterstütze und somit Teile dieser Arbeit überhaupt erst ermöglichte.

Weiters gebühren Herrn Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Christoph Adam – TU Wien, Herrn Dipl.-Ing. Michael Kogler – Wienerberger Ziegelindustrie AG, Herrn Dipl.-Ing. Dr. techn. Vladimir Benko – TU Wien, Frau Dipl.-Ing. Dr. techn. Yvonne Spira – TU Wien und Herrn Univ. Doz. Dipl.-Ing. Dr. techn. Roman Lackner – TU Wien, mein aufrichtigster Dank für die vielen fachlichen Diskussionen und Ratschläge; ohne ihr Mitwirken wäre diese Arbeit unter ungleich schwierigeren Bedingungen durchführbar gewesen.

Selbstverständlich möchte ich meiner langjährigen Freundin und Lebensgefährtin Mag. iur. Renata Hrnjak für all die unvergesslichen und wundervollen Jahre während meines Studiums danken. Ebenso bedanke ich mich für Ihre aufgebrachte Geduld während der Schaffungszeit dieser Dissertation und insbesondere für das mehrmalige Korrekturlesen der vorliegenden Arbeit.

Auch gebührt mein Dank meinen Freunden und all jenen, die mir nahe stehen und mich stets unterstützten.

Teile der Forschungstätigkeiten für die vorliegende Arbeit wurden im Rahmen des arsenal research – Eigenforschungsprojekt „Dynamische Eigenschaften von Baumaterialien“, Fund Nr. 2.05.00187.4.0, sowie des EU-Forschungsprojektes FP6 Integrated Project, „LESSLOSS – Risk Mitigation for Earthquakes and Landslides, SP5 In-Situ assessment, monitoring and typification“, durchgeführt.

Kurzfassung

Diese Arbeit beschreibt die Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen unbewehrten Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement. Einleitend wird ein Überblick über die geschichtliche Entwicklung des Materials und deren verschiedenen Anwendungsgebieten gegeben.

Für die Beurteilung der Tragsicherheit eines Bauwerks ist es notwendig sowohl die Materialeigenschaften, als auch das Materialverhalten gegenüber verschiedenen Einwirkungen zu kennen. Um ein Makromodell (verschmiertes Modell) eines Materials erstellen zu können, werden hierzu die Formulierungen der klassischen Plastizitätstheorie angewendet. In Kapitel 2 dieser Arbeit werden die Grundlagen dieser Theorie erklärt, wobei die allgemeinen Formulierungen für den eindimensionalen sowie den mehrdimensionalen Spannungszustand beschrieben werden. Weiters ist eine ausführliche Literaturrecherche von vorhandenen Makromaterialmodellierungen für Mauerwerk geführt worden. Diese ist chronologisch nach deren Entwicklung in Kapitel 3 zusammengefasst. Kapitel 4 fokussiert sich auf das Makromaterialmodell nach Ganz [35], wobei dieses erklärt und erläutert wird. Ganz [35] beschreibt sein Materialgesetz mit verschiedenen Versagenskriterien, welche einzelne Fließflächen darstellen. Anschließend fügt er diese Fließflächen zu einem kombinierten Fließflächenmodell zusammen.

In der seismischen Beurteilung (Assessment) von maßgeblichen unbewehrten Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement ist es erforderlich, alle Tragreserven des Materials auszuschöpfen. Mauerwerk besitzt eine, wenn auch im Vergleich zur Druckfestigkeit geringe, Zugfestigkeit. Das ursprüngliche Modell nach Ganz [35] wird in Kapitel 5 um die Fähigkeit der Aufnahme von Zugkräften erweitert und modifiziert. Somit ist eine neue Makromodellierung für unbewehrtes Mauerwerk in dieser Arbeit entstanden, wobei diese ebenfalls mit einer kombinierten Fließfläche beschrieben wird.

Im nächsten Schritt werden in Kapitel 6 die Materialeigenschaften und Materialkenndaten von verschiedenen Forschungsarbeiten analysiert und präsentiert. Das neue Materialmodell wird in das Finite Elemente Programm ANSYS implementiert, wobei die hierfür notwendigen theoretischen Formulierungen in Kapitel 5 und Kapitel 7 beschrieben werden. Das implementierte Programm ist in der Lage, Mauerwerk auf seine Versagensarten zu analysieren und graphisch darzustellen. Das neue Materialmodell wird anhand von verschiedenen Laborversuchen verifiziert und auf seine Richtigkeit in Kapitel 8 bestätigt. Kapitel 9 behandelt das seismische Assessment von Mauerwerkshochbauten, wobei hier die Methode der „quasi nichtlinearen“ Analyse eingeführt und präsentiert wird. Weiters wird hier auf potentielle Schwachstellen von unbewehrten Mauerwerkshochbauten gegenüber Erdbebenbeanspruchung sowie auf Verstärkungsmethoden eingegangen.

Kapitel 10 zeigt eine Anwendung der vorgestellten Methode, um das LKH Innsbruck auf seine Sicherheit gegenüber seismischen Einwirkungen zu analysieren. Um die dynamischen Eigenschaften des Bauwerks zu ermitteln, werden zunächst in-Situ Schwingungsversuche am Gebäude des LKH Innsbrucks durchgeführt. Die gewonnenen experimentellen Ergebnisse werden schließlich verwendet, um das numerische Finite Elemente Modell an die realen Gegebenheiten anzupassen. Die Analyse findet unter Verwendung des neuen Materialmodells statt, wobei die Effektivität des neu entwickelten Materialmodells präsentiert wird. Es ist damit möglich, komplexe Bauwerke zu analysieren und die Schäden nicht nur zu lokalisieren, sondern auch zu kategorisieren. Man kann mit diesem Modell einerseits gezielt abschätzen, welche Bauteile durch ein Erdbeben geschädigt werden und andererseits auch die für die Schädigung maßgebliche Versagensart identifizieren. Der Vorteil liegt beispielsweise in der gezielten Wahl der Verstärkungsmethode.

Im Anhang B dieser Arbeit werden die in Österreich gültigen Normen ÖNORM B4015 [90] und die Norm EN 1998-1 [87] für Erdbebeningenieurwesen erläutert. Insbesondere werden die in diesen Normen vorgeschlagenen Analysemethoden für Mauerwerksbauten vorgestellt.

Der Einfluss der Schlankheit von unbewehrten Mauerwerkswänden wird in Anhang C erklärt. Des weiteren wird der Einfluss von einachsig gespannten Holzdecken in Mauerwerksbauten, welche eine übliche Konstruktionsart für bestehende Gebäude darstellen mit der Gegenüberstellung von steifen, scheibenartigen Stahlbetondecken in Anhang D anhand eines Beispiels diskutiert.

Abstract

This thesis describes the seismic assessment of buildings of strategic importance (lifeline structures), consisting of unreinforced masonry. An overview of the historical development and the different fields of application of masonry is given in the introduction.

It is necessary to have detailed knowledge about both the material parameters and the behavior of the material due to different excitations to perform structural assessment. To create a macromodel (smeared model) of a material, formulations according to the classical theory of plasticity are applied. Chapter 2 explains the general formulations of this theory in the one dimensional and multidimensional stress state. Furthermore a detailed literature review of existing macro models for masonry in form of a chronically summary is given in Chapter 3. Chapter 4 is focused on the macro material model of Ganz [35]. Ganz [35] has developed a material law based on different failure criteria, which are expressed as a proper combination of yielding surfaces.

In the seismic assessment of unreinforced masonry lifeline structures, it is necessary to use material strength reserves as far as possible. Compared to the compression strength, masonry exhibits rather low portions of tension strength. The original model by Ganz [35] is expanded in Chapter 5 to cover tension strength aspects. Therefore a new developed macro material model for unreinforced masonry is elaborated in this thesis, which consists of a modified combined yielding surface.

The material properties of different research works are presented in Chapter 6. The new material model is implemented into the Finite Element software ANSYS. The theory of this implementation is given in Chapter 5 and Chapter 7. To verify the new implemented material model, calculated results are compared to different laboratory experiments in Chapter 8. Chapter 9 deals with the seismic assessment of masonry structures, where the definition „quasi nonlinear“ is introduced and explained. Furthermore weak points in unreinforced masonry structures and retrofitting methods to strengthen masonry are presented.

The new material model was used in Chapter 10 to assess the structure of the hospital LKH Innsbruck on its safety due to seismic excitation. Therefore in-Situ vibration tests on the building of LKH Innsbruck are performed to evaluate the dynamic properties and behavior in advance. The experimental results are used to calibrate the numerical Finite Element model to the real condition of the structure in a model updating process. The effectiveness of the new model is shown in cases where it is possible to analyse a complex structure due to its failures. The cracks can not only be localised, but also the type of failure can be identified. It is possible to prognosticate accurately, in which structural members cracks and the corresponding crack type will occur due to earthquake loading. Thus, choosing the best suitable method of retrofitting is supported efficiently.

Annex B in this thesis gives an introduction of the codes for earthquake engineering ÖNORM B4015 [90] (Austrian Seismic Code) and Eurocode EN 1998-1 [87]. Especially the proposed analysis methods for masonry structures are presented.

The influence of slenderness of unreinforced masonry walls is explained in Annex C. Finally Annex D discusses the influence of a fictive unreinforced masonry structure with a uni-axially spanned timber slab in comparison to a rigid reinforced concrete slab.

Einführung

Es ist den Ingenieuren und Forschern dieser Welt immer schon ein Anliegen gewesen, Bauten standsicher gegen verschiedenste Belastungen zu entwerfen und zu konstruieren. Neben den statischen Belastungen, welche unter dem Einfluss von Eigengewicht und Nutzlast entstehen, werden Gebäude auch von dynamischen Belastungen wie Wind- oder Erdbebenbelastungen heimgesucht. Zu den dynamischen Einwirkungen zählen natürlich auch Schockbelastungen, welche durch eine Windböe oder eine Explosion verursacht werden können. Um ein Gebäude widerstandsfähig und stabil gegen all diese Einwirkungen zu planen, ist es natürlich wichtig, die genaue Art und Wirkungsweise der Belastung auf der einen Seite und das exakte Materialverhalten der einzelnen Bauteile auf der anderen Seite zu kennen. Diese Arbeit konzentriert sich auf das Baumaterial des unbewehrten Ziegelmauerwerks.

Gerade in letzter Vergangenheit ist es auf tragische Art und Weise bekannt geworden, dass Mauerwerksbauten sehr verletzlich gegen dynamische oder zyklische Belastungen sind, insbesondere im Falle des Lastfalles Erdbeben.

Als Beispiel sei das Erdbeben von Bam, Iran am 26. Dezember, 2003 genannt, bei dem ~35.000 Menschen ums Leben kamen, ~30.000 verletzt wurden und ~45.000 obdachlos geworden sind [64]. Hierbei bestand der maßgebliche Anteil der Gebäude aus Mauerwerksbauten geringer Qualität. Da die meisten historischen Bauten in Europa und der restlichen Welt aus Mauerwerk bestehen, ist es von außerordentlicher Bedeutung diese Bauten für die Nachwelt zu erhalten und wenn notwendig zu verstärken. Das Material ist schon im Mittelalter sehr häufig eingesetzt worden und entfaltete sich während der Gründerzeit, Ende 19. Jahrhundert bis Anfang 20. Jahrhundert, zur Hochblüte. Deshalb ist es neben dem Entwurf von neuen Mauerwerksbauten und deren Belastbarkeit gegenüber einem Erdbeben auch sehr wichtig, bestehende Gebäude zu beurteilen und deren Tragwiderstand bzw. Sicherheit festzustellen. Es ist für den Ingenieur notwendig, das Tragverhalten von Mauerwerksbauten genauestens zu untersuchen um eine Vorhersage treffen zu können, inwieweit ein Gebäude einem Erdbeben standhalten kann.

Um eine richtige Beurteilung zu leisten, ist es im Vorfeld aller Untersuchungen wichtig die Materialeigenschaften des Mauerwerks genau zu kennen. Da Mauerwerk ein hochgradig nichtlineares, wenig duktiles, sprödes Materialverhalten aufweist und nur geringe Zugfestigkeit besitzt, bietet es einem Erdbeben keinen großen Widerstand. Hinzu kommt, dass Mauerwerksbauten durch Erdbeben sehr verletzbar sind, weil Mauerwerkswände durch Ihre hohe Steifigkeit Erdbebenkräfte regelrecht „anziehen“. Mit den vorgeschlagenen Bemessungsverfahren für Mauerwerksbauten nach den derzeit gültigen Normen gelingt es selten auch bei relativ geringer Erdbebeneinwirkung genügendes Tragverhalten nachzuweisen. Eine wirklichkeitsnähere Betrachtung des Baustoffes zeigt jedoch, dass das Material, wenn auch nur im Verhältnis zur Druckfestigkeit, geringe Reserven durch eine vorhandene Zugfestigkeit besitzt. In dieser Arbeit wurde das ursprüngliche Materialmodell von Ganz [35] um diese Zugfestigkeit erweitert. Motivation dieser Erweiterung ist eine verbesserte Modellierung des Materials mit der Einschließung vorhandener Tragreserven. Es ist somit möglich Nachweise zu führen, die mit den konventionellen Methoden als unmöglich galten, ohne dabei die Sicherheit herabzusetzen.

Um das Verhalten numerisch simulieren zu können, wurden in den letzten Jahren zahlreiche Forschungsarbeiten verfasst, welche das lineare und nichtlineare Verhalten auf der Mikro- oder Makroebene beschreiben.

1.) Geschichtlicher Hintergrund des Mauerwerkbaus

Bereits seit der Frühgeschichte der Menschheit werden Steine zum Bauen verwendet [54].

Die ersten sicher nachweisbaren Bauwerke aus bearbeiteten Natursteinen stammen aus der Zeit 9000-8000 Jahren v. Chr. [123] aus dem Umfeld des Hullen See in Israel. Hierbei sind vor allem alte Steinhütten (siehe Bild 1) Relikte aus dieser Zeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 1: Stein Hütte, entnommen aus [123]

Die bis heute erhaltenen Monumente damaliger Zeit sind zum einen die allseits bekannten Pyramiden der Ägypter und der Azteken und zum anderen die in vielen Teilen der Welt anzutreffenden Megalithbauten wie die "Hühnengräber"-Dolmen der Jungsteinzeit in Deutschland oder zu Kultzwecken die "Henges"-Steinkreise wie beispielsweise Stonehenge bei Salisbury in Südengland oder die zahlreichen imposanten erhaltenen Bauwerke aus Zyklopenmauerwerk im alten Griechenland.

In den tonreichen Flußauen des Niltales begannen die Menschen noch erheblich früher mit Hilfe von Formen künstliche Mauersteine aus Lehm herzustellen, die durch Untermischen von Strohhäcksel und Kamelmist verfestigt wurden. Diese Technik dürfte rund 15000 Jahre alt sein. Ein bedeutender Entwicklungssprung trat durch die "Erfindung" des gebrannten Ziegels ein. Man ist heute sicher, dass bereits um 4000 v.Chr. in Mesopotamien gebrannte Ziegel bekannt waren und dass es um 3000 v. Chr. möglich war, Ziegel in verschiedenen Färbungen herzustellen.

Eines der bekanntesten Ziegelbauwerke der Frühzeit ist der Turm von Babylon (Babel), dessen Geschichte bis 2000 v.Chr. zurückreicht (siehe Bild 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 2: Ziegelöfen beim Bau des Turmes von Babylon, entnommen aus [54]

Auch die Griechen haben Ziegelsteine für Ihre Bauwerke bereits in der Vergangenheit genutzt [93]. In Griechenland begann man zum ersten Mal in der Geschichte Maueröffnungen über mehrere Meter herzustellen. Ein Beispiel hierfür ist das 1300 v. Chr. erbaute Löwentor in Mycenae mit einer lichten Spannweite von etwa 3m (siehe Bild 3). Dieses Tor wurde allerdings mit Natursteinen hergestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 3: Löwentor in Mycenae, entnommen aus [123]

Die Römer [93] haben einen bedeuteten Schritt im Mauerwerksbau vollbracht. Im Vergleich zu den Griechen haben sie aus Mauersteinen nicht nur Tempel und Amphitheatern, sondern auch Straßen, Brücken, Aquädukte und Häfenanlagen gebaut. Die Römer führten auch neue Verfahren ein, um die Qualität der Steine zu verbessern. Außerdem wird auch die Erfindung des Mörtels „pulvis puteolanus" aus Sand, Kalk und spezielle vulkanische Sande (Pozzolane) den Römern zugeschrieben. Durch das Mischen von Mörtel mit Ziegelbruchstücken oder Schutt, wurde der Römische Beton „opus caementitium" erfunden. Neue Verbandarten, welche billiger und ökonomischer waren als die bis dato verwendete Verfahren namens „opus quadratum", wurden entwickelt. Die neue Verbandart wurde „opus mixtum" genannt [141] und [142], und inkludiert auch gebrannte Steine (siehe Bild 4).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 4: Römische Mauertechniken, entnommen aus [142]

Bis in die Neuzeit wurden wichtige Gebäude - Burgen, Klöster oder Kirchen - überwiegend mit Mauerwerk aus Naturstein oder künstlichen Ziegeln errichtet, während der überwiegende Teil der Wohnbebauung auf Holz- und Fachwerkkonstruktionen beschränkt war. Verheerende Brände führten schließlich zu der Einsicht, dass Häuser aus Stein in punkto Sicherheit und Langlebigkeit auch bei wirtschaftlicher Betrachtung von Vorteil sind.

Das imposanteste Bauwerk aus Mauerwerk ist die Chinesische Mauer (chinesisch:万里长城 Wànlĭ Chángchéng) mit 6350 Kilometern Länge (Hauptmauer 2400 km), welche bis heute das größte Bauwerk der Welt darstellt [56]. Dabei besteht die Mauer aus einem System mehrerer teilweise auch nicht miteinander verbundener Abschnitte unterschiedlichen Alters und unterschiedlicher Bauweise.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 5: Chinesische Mauer, entnommen aus [56]

Erste mauerartige Grenzbefestigungen entstanden wahrscheinlich in der zweiten Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr. in der Zeit der Streitenden Reiche als Schutz gegen die sich unter einander befeindeter Völker. Diese einzelnen Mauerabschnitte bestanden aus festgeklopftem Lehm, der zur besseren Haltbarkeit mit Stroh- und Reisigschichten vermischt wurde.

214 v. Chr. ließ der erste chinesische Kaiser, Qin Shi Huang Di, Schutzwälle errichten, die das chinesische Kaiserreich nach der Expansion über den Gelben Fluss gegen die Völker aus dem Norden, vor allem die Xiongnu, schützen sollte. Im Unterschied zu schon vorhandenen alten Mauerresten wurde die Mauer nicht in den Tälern, sondern unterhalb der Kammlinie der Gebirge an den Nordabhängen errichtet. Sie bestand wegen des Fehlens von Lehm zu großen Teilen aus aufeinander geschichteten Natursteinplatten.

Seitdem wurde die Mauer immer wieder aus- und umgebaut. Die heute bekannte Form erhielt sie in der Zeit der Ming-Dynastie, der letzten großen Ausbauphase. 1493 begann der Bau der Ming-Mauer, die dem Schutz gegen die Mongolen dienen sollte. Ihr Verlauf folgte den Bergkämmen; eine besonders aufwendige und teure Bauweise. Sie wurde weitgehend aus gebrannten Steinen und zum Teil auch aus Natursteinen errichtet. Der verwendete Mörtel bestand aus gebranntem Kalk und Klebreis. Das Innere des Mauerwerks verfüllte man mit Lehm, Sand und Schotter. Die Maße der Mauer sind recht unterschiedlich; im Gebiet von Peking sind 8 bis 10 m an der Basis und 4 bis 8 m auf der Krone sowie eine Höhe von 6 bis 9 m üblich. Im Abstand von einigen hundert Metern wurden ungefähr 12 m hohe Türme errichtet, die als Waffenlager und Signaltürme dienten. Daneben boten sie bei Angriffen Schutz für die Verteidiger. Es wird geschätzt, dass bis zu 25.000 solcher Türme in der Mauer integriert waren und dass 15.000 weitere Signaltürme die Kommunikation mit der Hauptstadt sichern sollten. Reste von Signaltürmen wurden noch bei Kashgar gefunden, der alten Handelsstadt in Chinas äußerstem Westen.

Erst nach der Erfindung von mechanischen Aufbereitungshilfen und Formpressen für Ton in der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Ziegel zum Massenprodukt und auch für den normalen Bürger zum Errichten der Häuser erschwinglich.(Wichtige Erfindungen der Ziegel-Verfahrenstechnik: Ziegelmaschinen Doolitle 1819; Delamoriniere 1824; Strangpresse Schlickeysen 1854; Hoffmann'scher Ringofen 1858.)

Mit der Erfindung des Portlandzementes und den zugehörigen Grundlagenkenntnissen über die hydraulischen Bindemittel gegen Ende des 19. Jahrhunderts war es auch möglich, Mauersteine aus kalk- oder zementgebundenen Massen herzustellen, aus denen sich die heute bekannten Kalksandsteine, Porenbetonsteine oder die - durch Einsatz spezieller Zuschläge veredelten - Betonsteine entwickelt haben.

Erst seit Ende der 40er Jahre wird das Augenmerk in Deutschland und Österreich zunehmend auch auf die bauphysikalischen Eigenschaften des Mauerwerks gelegt. Die Einsicht, Gebäude wärmedämmend, brandsicher und schallschützend herstellen zu wollen und dabei Standsicherheit und Langlebigkeit zu gewährleisten, führte zur Entwicklung der modernen Mauerwerksbaustoffe mit ihren vielseitigen Eigenschaften.

Heute wird Mauerwerk überwiegend zur Errichtung von Wänden und Pfeilern in Gebäuden verwendet. Dass aus vergleichbaren Produkten inzwischen auch Deckenelemente, Pflastersteine oder Schalsteine hergestellt werden, sei nur am Rande erwähnt. Die handwerkstechnische Herstellung von konstruktiven Elementen wie Kappen, Bögen oder Gewölben aus Mauerwerk spielt praktisch nur noch bei der Restauration eine Rolle.

Mauerwerk und Beton werden als "massive" Baustoffe bezeichnet, die sich in einigen wesentlichen Merkmalen wie Masse und Volumen von den Leichtbaustoffen und -konstruktionen (Stahl, Stahl-Verbund, Holz, Holzskelett, Aluminium, Fachwerkständer etc.) unterscheiden. Neben der eigentlichen Mauerwerksbauweise, bei der das Tragwerk aus Mauerwerk besteht, zählt auch die Stahlbeton-Skelettbauweise mit Ausfachungen aus Mauerwerk zur Massivbauweise.

2.) Grundlagen der Plastizitätstheorie

2.1.) Eindimensionaler Spannungszustand

Der Spezialfall des eindimensionalen elastisch-plastischen Körpers wird im Anhang A behandelt.

2.2.) Mehrdimensionale Spannungszustände

In mehrachsigen Spannungszuständen wird die Fließgrenze durch eine Fließfläche im Spannungsraum beschrieben [51], die den elastischen Bereich umschließt. Ein Spannungsvektor kann entweder innerhalb (elastisch) oder auf der Fließfläche (plastisch) liegen. Wenn die plastischen Deformationen isotrop sind, kann diese Fließfläche nur von den Invarianten des Spannungstensors abhängen. Die Hauptnormalspannungen sind Lösungen der kubischen Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (1)

mit den Invarianten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (2)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (3)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (4)

Ausgedrückt durch die Komponenten des Hauptspannungstensors ergeben sich die Invarianten zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (5)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (6)

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Der hydrostatische Spannungsanteil ist durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (7)

definiert. Die erste Invariante Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten hat keinen Einfluss auf das Fließen von isotropen beispielsweise metallischen Werkstoffen, da der Einfluss der hydrostatischen Spannungskomponente auf das Fließen vernachlässigt wird. Deswegen kann die Fließfläche mit den deviatorischen Invarianten definiert werden. Jedoch muss Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in orthotropen Materialien wie Ziegelmauerwerk berücksichtigt werden. Der Tensor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (8)

gibt die Abweichung des Spannungszustandes von den mittleren (hydrostatischen) Spannungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten an. Die Invarianten des deviatorischen Spannungstensors ergeben sich analog den Invarianten des Spannungszustandes aus der Determinantenbeziehung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (9)

Die Invarianten ergeben sich zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (10)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (11)

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (12)

2.2.1.) Fließfläche

Die Fließfläche im mehrachsigen Spannungsraum besitzt somit die allgemeine Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (13)

Hierbei sind die Größen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]die Temperatur, und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten stellen die Innere Variable als Skalar oder Tensor dar.

Im einfachsten Fall ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nur eine Funktion der Spannungen. Hängt sie auch von inneren Variablen ab, so beschreiben diese das Ver- oder Entfestigungsverhalten des Werkstoffes.

Man unterscheidet zwischen folgenden Fällen:

1) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (14)

Belastung in den plastischen Bereich, das Material verformt sich plastisch, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (15)

Entlastung in den elastischen Bereich, das Material verformt sich elastisch, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (16)

neutrale Belastung entlang der Fließfläche, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (17)

Elastische Verformung innerhalb der Fließfläche, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 6: Vier Fallunterscheidungen für die Richtung der Belastung

2.2.2.) Fließpotential und Fließregel

Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik verlangt, dass die dissipierte Leistung nicht negativ werden kann. Dies bedeutet, dass bei plastischen Verzerrungen der Vorgang irreversibel ist und die dabei entstandene mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird, wobei folgende Bedingung,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (18)

gilt.

Bei plastischen Deformationen hängen die Verzerrungen von der Belastungsgeschichte (Spannungsgeschichte, Temperaturgeschichte) ab. Deswegen ist eine Versagensweise erforderlich, die die Geschichte berücksichtigt. Die mathematische Konsequenz daraus ist die Berücksichtigung von Evolutionsgleichungen. Die Verzerrungsinkremente werden in elastische und plastische Teile zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (19)

getrennt.

Eine hinreichende Bedingung zur Erfüllung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ist die Annahme einer konvexen Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], welche auch als plastisches Potential bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass die Fließfläche niemals konkave Flächenteile aufweisen darf. Hierbei ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (20)

in welchem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der plastische Multiplikator ist, und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Gradient (in Richtung des plastischen Flusses) darstellt.

Im Falle der Annahme von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] spricht man von der assoziierten Plastizität.

Damit können die Be- und Entlastungsbedingungen auch laut den Bedingungen von Kuhn-Tucker,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (21)

angeschrieben werden, welche auch die Konsistenzbedingung,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (22)

erfüllt.

Des Weiteren wird das Drucker´sche Stabilitätspostulat eingeführt, welches folgendes aussagt:

Überlagert man einem beliebigen Spannungszustand einen Spannungszyklus Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, so darf für einen stabilen Werkstoff die verrichtete Arbeit nicht negativ sein. Somit muß die Bedingung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (23)

erfüllt werden.

Für ein verfestigendes Material ist diese Bedingung erfüllt, bei ideal plastischen Verhalten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und bei rein elastischer Verformung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt das Gleichheitszeichen. Bei Entfestigung wird die Bedingung verletzt. Solche Zustände sind instabil unter spannungskontrollierter Belastung.

Zwei Konsequenzen ergeben sich aus der Drucker´schen Definition weiters:

1) Damit alle zulässigen Spannungen auf einer Seite der Tangente an der Fließfläche liegen, muss die Fließfläche somit überall eine konvexe Form aufweisen und darf niemals konkav werden.

2) Die Richtung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entspricht der Richtung des Gradienten von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Spannungsraum. Das bedeutet, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein plastisches Potential ist. Daraus folgt die spezielle Form der Fließregel, welche auch als Prandtl – Reuss´sche – Normalenregel oder assoziierte Fließregel (Assoziation von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) bezeichnet wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (24)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 7: Darstellung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für assoziierte Plastizität gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] // [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 8: Assoziierte Plastizität

2.2.3.) Ideal elastisch-plastische Werkstoffe

In diesem Fall sind Hypothesen von Tresca oder V.Mises-Huber-Hencky aufgestellt worden.

Die hier allgemeine Form der Fließbedingung lautet

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], (25)

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Materialkonstante (z.B. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]….etc.), [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Fließspannung unter einachsiger Beanspruchung und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die effektive Vergleichsspannung darstellt.

Es wird zwischen zwei Fällen unterschieden:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], …. Belastung in den plastischen Bereich (26)

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], …. Entlastung in den elastischen Bereich (27)

2.2.4.) Elastoplastische Werkstoffe mit Verfestigung

Das Verfestigungsgesetz in allgemeiner Form lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (28)

Bei assoziierter Verfestigung gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) (29)

Der plastische Multiplikator [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] errechnet sich aus der Konsistenzbedingung (22) und dem Verfestigungsgesetz (28),

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (30)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (31)

in welchem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Verfestigungskoeffizient ist und folgendes gilt:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] …. Verfestigung; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] …. Ideal elastisch-plastisch; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] … Entfestigung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (32)

Isotrope Verfestigung:

Als isotrope Verfestigung bezeichnet man eine Erhöhung der Fließgrenze, die unabhängig von der Richtung des Spannungsvektors ist (isotrop). Dies ist ein irreversibler Vorgang, der durch entgegengesetzt plastische Verformungen nicht rückgängig gemacht werden kann.

Die hier allgemeine Form der Fließbedingung lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (33)

Hierbei sind die inneren Variablen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (34)

und der Verfestigungsparameter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (35)

Kinematische Verfestigung:

Wie bereits erwähnt sind plastischen Materialien zwar nicht von der Zeit, aber von der Belastungsgeschichte abhängig. Bei plastischen Materialien tritt der Effekt ein, dass sich ein Punkt auf einer Vorbelastung, welche die Fließgrenze übersteigt, an einem anderen Ort befindet als bei einem Körper, der noch nie einer mechanischen Belastung ausgesetzt war. Es tritt eine plastische und somit bleibende Deformation ein. Bei Materialien mit kinematischer Verfestigung tritt weiters noch der Effekt ein, dass eine vorangegangene Zugbeanspruchung eine Verringerung der Fließgrenze bei späteren Druckuntersuchungen zur Folge hat und umgekehrt. Dieses Phänomen wird als Bauschinger – Effekt oder als plastische Hysterese bezeichnet.

2.2.5.) Elastoplastische Spannungs-Verzerrungsbeziehungen, elastoplastischer Tangentenmodul

Dieses Kapitel befasst sich mit dem elastoplastischen Tangentenmodul für Materialien mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (36)

und assoziierter Fließregel.

Die elastischen Verzerrungen sind über das verallgemeinerte Hooke´sche Gesetz mit den Spannungen verknüpft:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (37)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (38)

Durch das Einsetzen der Fließregel Gleichung (20) in (38) erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (39)

Aus Gleichung (23) und (39) kann die Fließregel in Form von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (40)

oder auch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (41)

angeschrieben werden.

Setzt man Gleichung (35), ein, kann der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (42)

ersetzt werden.

Berücksichtigung von Gleichung (20) führt weiters auf folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (43)

Mit Gleichung (20), (39), (41) und (43) wird

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (44)

Daraus errechnet sich der plastische Multiplikator [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (45)

mit dem Verfestigungskoeffizienten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (46)

Für ideale Plastizität gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Weiters wird der elastoplastische Modul durch Einsetzen von Gleichung (20), in (45) ermittelt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (47)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (48)

Hier sind: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=Elastoplastizitätstensor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= Elastizitätstensor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= Plastizitätstensor

Unter Annahme von (48) und Einsetzen von Gleichung (47) in (39), erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (49)

oder durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (50)

der elastoplastische Tangentenmodul.

2.3.) Fehlerkriteriensflächen und Fließflächen

Im Folgenden werden Fließflächen bzw. Fehlerkriterien vorgestellt, die in den weiteren Kapiteln verwendet werden.

2.3.1.) Kriterium nach von Mises

Die Fließfläche des von Mises Modell wird im Spannungsraum durch einen Kreiszylinder mit der Achse in der hydrostatischen Achse beschrieben. Es sagt aus, dass das Fließen zum Zeitpunkt des Erreichens der Oktaederschubspannungen, den kritischen Fließspannungswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], eintritt.

Das Kriterium lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (51)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 9: Fließhypothese nach von Mises

Einen Sonderfall dieses Kriteriums findet für die Schubbegrenzung im Mauerwerk in Kapitel 4.1 und den späteren Modifikationen dieser Fehlerart Verwendung.

2.3.2.) Kriterium nach Drucker-Prager

Das Kriterium von Drucker-Prager beschreibt in seiner allgemeinen Form, einen Kegel mit der Grundfläche eines Kreises. Die Achse des Kegels liegt in der hydrostatischen Achse.

Das Kriterium lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (52)

mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei c bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Kohäsion und den Scherwinkel beschreiben.

Auf dieses Kriterium wird in Kapitel 5.4 näher eingegangen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 10: Fließhypothese nach Drucker-Prager

Sonderfälle des Kriteriums finden für die Druck- und Zugbegrenzungen im Mauerwerk in Kapitel 4.1 und den späteren Modifikationen dieser Fehlerarten verwendet. Es wird außerdem in Kapitel 5.4 diskutiert, inwieweit man das Kriterium nach Drucker-Prager für das Gleiten entlang der Lagerfugen Verwendung.

2.3.3.) Kriterium nach Mohr-Coulomb

Das Kriterium von Mohr-Coulomb beschreibt in seiner allgemeinen Form einen Kegel mit der Grundfläche eines regelmäßigen Sechsecks. Die Achse des Kegels fällt mit der hydrostatischen Achse zusammen.

Das Kriterium lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (53)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 11: Fließhypothese nach Mohr-Coulomb

Einen Sonderfall des Kriteriums findet für das Versagen der Lagerfugen in Kapitel 4.2 Verwendung.

3.) Materialmodelle für Mauerwerk

Da Mauerwerk ein Verbundbaustoff ist und aus den Komponenten Mauerwerksstein und Mörtel besteht, sind für eine geeignete Materialformulierung hierfür mehrere Kriterien notwendig. Hinzu kommt das nichtlineare anisotrope Materialverhalten. Es wurde in der Vergangenheit von zahlreichem Forschen auf diesem Gebiet versucht, geeignete Modelle zu finden. Die in Mitteleuropa am häufigsten angewendeten Materialmodelle sind von MANN/MÜLLER [72], [73], [74], [76], [77], [78], [84] und GANZ/THÜRLIMANN [35], weil sich diese als am besten geeignet erwiesen haben. Da das Material Mauerwerk ein hybrider Werkstoff ist, sieht die Modellierung einer Struktur in Mikro- oder Makroform folgendermaßen aus (siehe Bild 12) [67] und [93].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 12: Modellierungsarten von Mauerwerk, entnommen aus [67]

Bei der Mikromodellierung wird zwischen einer vereinfachten Mikro- und einer detaillierten Mikromodellierung unterschieden.

Bei der detaillierten Mirkomodellierung werden sowohl die Steinkomponente als auch die Mörtelkomponente diskretisiert und mit Volumselementen modelliert, wobei die Verbindungsflächen zwischen Stein und Mörtel als Flächenelemente eingebaut werden.

Bei der vereinfachten Mirkomodellierung werden etwas vergrößerte Steine mit Volumselementen modelliert, wobei die Vergrößerung der Steine soweit durchgeführt wird, bis die fiktive Steinfläche die Fläche der Fugen ausfüllt. Die Mörtelfugen werden dann als Flächenelemente mit diskretisiert gemittelten Werten der Verbindung zwischen Stein und Mörtelfuge oder als Linienelemente modelliert.

Bei Mikromodellierungsverfahren muss beachtet werden, dass ein genaues Abbilden der geometrischen Lage jedes Steines und jeder Fuge notwendig ist. Diese Vorgehensweise benötigt die Kenntnis der exakten Verbandsart und zusätzlich Details an der zu modellierenden Struktur. Mit dieser Methode kann man zwar lokale Effekte, wie z.B. die Spannungs- bzw. Dehnungsverteilung in einer bestimmten Fuge nachweisen, jedoch ist es für ganze Bauwerke zu aufwendig. Dies wird nur für Nachrechnungen an Laborversuchen oder als Kalibrierung von Makromodellen verwendet. Jedoch scheidet dieses Verfahren für praktische Anwendungen aus, da es zu aufwendig wäre, jeden einzelnen Stein und jede einzelne Fuge zu modellieren. Hinzu kommt, dass es an einem bestehenden Gebäude mit verputzten Wänden nur mit hohem Aufwand möglich ist, diese Informationen zerstörungsfrei zu erhalten.

Diese Arbeit widmet sich der Makromodellierung von Mauerwerk. Bei der so genannten Makromodellierung handelt es sich um eine verschmierte homogenisierte Materialvorstellung. Dies bedeutet, dass die zwei Komponenten zu einem Material mit den Eigenschaften von sowohl Mauerwerksstein als auch Mörtel zusammengefasst wird. Der Vorteil hierbei ist eine einfache Modellierung einer gesamten Struktur, ohne dabei auf die Lage von jeder Fuge achten zu müssen. Anzumerken ist hierbei, dass aber der Winkel der Fugen trotz der verschmierten Modellierung berücksichtigt werden muss, da z.B. ein gemauerter Bogen eine andere Tragfunktion hat, als eine gemauerte Wand.

Nächststehend werden chronologisch einige Materialmodelle vorgestellt, wobei ein Teil dieser in [21] zusammengefasst sind. Desweiteren wird in dieser Arbeit auf das Modell von Ganz [35] eingegangen und, basierend auf diesen, ein neues Modell entwickelt.

3.1.) Materialmodell nach Zelger (1967)

Um ein Bemessungsverfahren für schubbeanspruchte bewehrte Mauerwerksstürze zu entwickeln, führt Zelger [21], [144] an der TU-München einachsige Druckversuche an Mauerwerksausschnitten mit geneigten Fugen durch. Als Ergebnis bestätigt sich in guter Näherung in unterschiedlichen Spannungsbereichen das Mohr - Coulombsche Reibungsgesetz.

3.2.) Materialmodell nach Hendry und Sinha (1969)

Hendry und Sinha [21], [50] untersuchen das Schubtragverhalten von eingeschossigen Wänden mit und ohne Öffnungen. Die Ergebnisse führen zu der in Bild 13 dargestellten Bruchkurve (Gleichung (54)), die einen Vergleich von Ergebnissen aus der Literatur und den Versuchen an Modellsteinen wiedergibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (54)

mit: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = Steindruckfestigkeit

und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = Normalspannung orthogonal zu den Lagerfugen

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = Schubspannung parallel zu den Lagerfugen

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = Spaltzugspannung in Richtung der Resultierenden Kraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 13: Bruchkriterium von Hendry und Sinha, entnommen aus [49]

3.3.) Materialmodell nach Stafford-Smith und Carter (1971)

Stafford-Smith und Carter [21], [85], [134] schließen erstmals aus den Versuchen von Murthy und Hendry [85], dass die Annahme einer reinen Mohr – Coulombschen Schergeraden für ein vollständiges Bruchkriterium nicht zutreffend ist, da der Reibungsbeiwert eine Funktion der Spannung normal zur Lagerfuge ist. Es zeigt sich nämlich, dass der Reibbeiwert mit zunehmender Normalspannung kleiner wird.

3.4.) Materialmodell nach Mann und Müller (1973)

Im Rahmen der Schubbruchtheorie von Mann und Müller [72], [73], [74], [76], [77], [78], [84] und [147] werden unter Vernachlässigung der Spannungen in Richtung der Lagerfugen vier Bruchbedingungen formuliert, auf denen auch die Schubbemessung der aktuellen deutschen Mauwerksnorm basiert. Diese Theorie geht davon aus, dass wegen geringer Qualität der Stoßfugenausbildung zwecks Wärmeschutz- und Rationalisierungsgründen (glatte Steine, Schwinden des Fugenmaterials und mangelnde bzw. nicht sorgfältig Verfüllung) in den Stoßfugen keine Schubspannungen übertragen werden können. Da in den Stoßfugen keinerlei Spannungen übertragen werden können, muss das Moment infolge angreifender Schubspannungen durch eine blockförmige Verteilung von den Normalspannungen Dsy orthogonal zur Lagerfuge mit unterschiedlichen Vorzeichen in der linken und rechten Steinhälfte ausgeglichen werden. Zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts müssen deshalb gezahnt verlaufende Normalspannungen in den Lagerfugen wirken. Zusammen mit den mittleren Normalspannungen sy infolge Vertikalauflast und den Schubspannungen txy ergibt sich folgender Spannungsverlauf (Bild 14).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 14: Spannungsverteilung am Einzelstein (links) und im Verband (rechts) unter kombinierter Schub- und Druckbeanspruchung, links entnommen aus [77], rechts entnommen aus [21]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 15: Brucheinhüllende, entnommen aus [73]

Als Versagensformen können dabei folgende Fälle auftreten (vgl. Bild 15):

-) Klaffen der Lagerfuge
-) Reibungsversagen der Lagerfuge
-) Zugversagen der Steine
-) Druckversagen.

3.5.) Materialmodell nach Yokel and Fattal (1976)

Yokel und Fattal [21], [143] stellen an Hand der Versuche von Grenley/Cattaneo [40] an so genannten „diagonal tension tests“ ihre Bruchhypothese für Mauerwerk auf. Aus den beobachteten Bruchvorgängen und Schädigungsabläufen folgern sie drei Bruchkriterien:

-) Versagen infolge einer Hauptspannung
-) Versagen infolge eines zweiachsigen Hauptspannungszustandes
-) Versagen infolge einer kritischen Zugdehnung in der Scheibenebene.

3.6.) Materialmodell nach Hamid und Drysdale (1978)

Hamid und Drysdale führen zahlreiche Versuche an Ziegelmauerwerk durch. Dabei wurden Prismen mit schrägen Fugen einachsig auf Druck [44] bzw. Zug [45] und Spaltzug geprüft [21]. Die Ergebnisse der Versuche führen zu einer Bruchtheorie [25], die von zwei Versagensarten ausgeht:

-) Abscheren entlang der Stoß- oder Lagerfugen
-) Zugversagen des Steins bei hohen Normalspannungen .

3.7.) Materialmodell nach Hegemier et al (1978)

Hegemier et. al. [21], [47], [48], untersuchen mit mehreren Versuchseinrichtungen das Schubtragverhalten von dem in den USA gebräuchlichen Betonsteinmauerwerk. Nachfolgend sind die Druck-Zug Versuche an Scheiben und die theoretische Formulierung der Brucheinhüllenden (siehe Bild 16) abgebildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 16: Druck – Zug Versuche an Betonsteinmauerwerk, entnommen aus [48]

3.8.) Materialmodell nach Page (1978)

Page [21], [95], [96], [97], [98], [99], [100], [101] und [102] ist einer der Ersten, der zweiachsige Versuche an Scheiben mit geneigten Fugen durchführt und als Versuchsparameter den Winkel der Lagerfugenneigung (0°; 22,5°; 45°; 67,5°; 90°) und das Lastverhältnis der äußeren Hauptspannungen variieren.

Auf dieser Weise werden in Australien 106 Scheiben im Druck-Zug Bereich [101] und 102 Scheiben im Druck-Druck Bereich [99] untersucht. Page führt außerdem noch Versuche im Zug-Zug [95] Bereich durch. Die Bruchflächen sind in Bild 17 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 17: Bruchflächen von Page

links oben: Druck-Druck Bereich [97], [99]; rechts oben: Zug-Druck Bereich [97], [101]

unten Zug-Zug Bereich [95]

Bei den Versuchen von Page zeigen die Ergebnisse, dass sich aufgrund der verwendeten Materialien und ungünstigen Verhältnissen zwischen dem verwendeten Mörtel und Steinen, kein signifikanter Unterschied zwischen dem Elastizitätsmodul senkrecht und parallel zur Lagerfuge aufweist. Dies führt zu einem falschen Schluss, nämlich dass das Material Mauerwerk isotropes Verhalten aufweist. In Kapitel 6.6 und 6.7 sind die Beziehungen zwischen den Elastizitätsmodulen beschrieben.

3.9.) Materialmodell nach Schneider, Schnell und Manns et al. (1978)

Schneider, Schnell [125] und Manns [79] et al. [21] untersuchen das Schubtragverhalten von Wänden mittels einer Schubkrafteinleitung mit Randbalken. Nach Schneider [124] sind die auftretenden Hauptzugspannungen als Bruchursache maßgebend.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 18: Brucheinhüllende, entnommen aus [79]

Bild 18 zeigt die Brucheinhüllende für den gesamten untersuchten Bereich, wobei erwartungsgemäß in Druck-Zug Versuchen keine Festigkeitssteigerung über die einachsige Wandfestigkeit festgestellt werden kann. Die höchste aufnehmbare Schubspannung liegt bei 88% der Wanddruckfestigkeit orthogonal zur Lagerfuge.

3.10.) Materialmodell nach Samarasinghe (1980)

Samarasinghe [21], [112] führte an der Universität von Edingburgh einachsige Zug- und Druckversuche und zweiachsige Druck-Zug-Versuche erstmals an Mauerwerk aus Modellsteinen (l/b/h = 38/18/13 [mm]) durch. Dabei wird der Winkel (0°; 22,5°; 45°; 67,5°; 90°) und das Lastverhältnis variiert. Ziel ist vor allem die Entwicklung einer Hüllkurve für die zweiachsige Festigkeit im Druck-Zug Bereich.

Aufgrund der zahlreichen vorangegangenen Edingburgher Modellversuche, geht Samarasinghe davon aus, dass der Einfluss der Maßstabsverkleinerung auf das Festigkeits- und Verformungsverhalten dieselbe Größenordnung besitzt, wie der Einfluss der streuenden Materialkennwerte.

Alle Versuche lassen sich in drei Versagensarten einteilen:

-) Versagen der Lagerfugen auf Haftung und Reibung
-) Risse senkrecht durch die Fugen (Zick-Zack Linien)
-) Zugrisse, sowohl durch die Steine als auch durch den Mörtel.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 19: Bruchfläche nach Samarasinghe, entnommen aus [112]

Bild 19 zeigt die gewonnenen Versuchsergebnisse in Form einer dreidimensionalen Bruchfläche in Abhängigkeit der äußeren Hauptspannungen und der Neigung der Lagerfugen.

3.11.) Materialmodell nach Bernadini, Modena und Vescovi (1982)

Bernadini, Modena und Vescovi [6], [7], [21] führen in Padua Tension Splitting Tests durch. Für ein Rechenmodell wird die in Bild 20 dargestellte linearisierte Brucheinhüllende für verschiedene Lagerfugenfugenneigungswinkel vorgeschlagen. Daraus ist zwar deutlich ein orthotropes Verhalten feststellbar, die Verfasser gehen aber nicht von einer Festigkeitszunahme im Druck- Druck Bereich aus.

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